Integrale improprii. Teste pentru convergența integralelor improprie ale funcțiilor nenegative Definiție și proprietăți de bază

1. Integrale improprii cu limite infinite

Să ne amintim definiția unei integrale ca limită a sumelor integrale:

Definiția presupune că intervalul de integrare este finit și funcția f(x) este continuă în cadrul acestuia. Încălcarea acestor ipoteze duce la integrale necorespunzătoare.

Definiție. Dacă integrala tinde spre o limită finită pe măsură ce crește nedefinit "b", atunci această limită se numește integrală improprie cu o limită superioară infinită a funcției f (x) și se notează cu simbolul

În acest caz, se spune că integrala improprie există sau converge.

Dacă limita specificată nu există sau există, dar este infinită, atunci se spune că integrala nu există sau diverge.

O integrală improprie cu o limită inferioară infinită este definită în mod similar:

O integrală improprie cu două limite infinite este dată de:

unde c este orice punct fix pe axa Ox.

Deci, integralele improprii pot avea o limită inferioară infinită, o limită superioară infinită și, de asemenea, două limite infinite.

Semne de convergență. Convergența absolută și condiționată

O integrală există numai dacă fiecare dintre integrale există: și .

Exemplu. Examinați convergența integralei

Presupunând c = 0, obținem:

acestea. integrala converge.

Uneori nu este nevoie să calculați o integrală improprie, dar este suficient să știți dacă converge sau diverge comparând-o cu o altă integrală.

Teorema de comparare a integralelor improprie.

Fie ca funcția f (x) din interval să aibă mai multe (număr finit) puncte de discontinuitate de primul fel, acest „obstacol” poate fi ușor eliminat prin împărțirea segmentului în mai multe segmente cu puncte de discontinuitate, calculând integrale definite pe fiecare secțiune individuală și însumând rezultatele.

Să luăm în considerare integrala definită a unei funcții care este nelimitată atunci când se apropie de unul dintre capetele segmentului, de exemplu, .

(În astfel de cazuri se spune de obicei: „Funcția are o discontinuitate infinită la capătul drept al intervalului de integrare”.)

Este clar că definiția obișnuită a unei integrale își pierde sensul aici.

Definiție. O integrală improprie a funcției f(x), continuă pentru un £ x< b и неограниченной при x ® b - 0, называется предел:

Integrala improprie a unei funcții care are o discontinuitate infinită la capătul din stânga segmentului este definită în mod similar:

În consecință, în secțiunea [-1, 0] integrala diverge.

Aceasta înseamnă că integrala diverge și în secțiune.

Astfel, această integrală diverge pe întreg intervalul [-1, 1]. Rețineți că dacă am începe să calculăm această integrală fără să acordăm atenție discontinuității integrandului în punctul x = 0, am obține un rezultat incorect. Într-adevăr,

, ceea ce este imposibil.

Deci, pentru a studia integrala improprie a unei funcții discontinue, este necesar să o „împarți” în mai multe integrale și să le studiezi.

După cum știți, găsirea integralei poate fi o sarcină destul de dificilă. Ar fi o mare dezamăgire să începem să calculăm o integrală necorespunzătoare și să descoperim la sfârșitul căii că aceasta diverge. Prin urmare, sunt interesante metodele care permit, fără calcule serioase bazate pe un singur tip de funcție, să se tragă o concluzie despre convergența sau divergența unei integrale improprii. Prima și a doua teoreme de comparație, care vor fi discutate mai jos, ajută foarte mult la studiul integralelor improprii pentru convergență.

Fie f(x)?0. Apoi funcțiile

sunt monoton crescătoare în variabilele t sau -g (deoarece luăm g>0, -g tinde spre zero din stânga). Dacă, pe măsură ce argumentele cresc, funcțiile F 1 (t) și F 2 (-d) rămân mărginite de sus, aceasta înseamnă că integralele improprie corespunzătoare converg. Aceasta este baza primei teoreme de comparație pentru integralele funcțiilor nenegative.

Fie funcțiile f(x) și g(x) la x?a să îndeplinească următoarele condiții:

• 1) 0?f(x)?g(x);
• 2) Funcțiile f(x) și g(x) sunt continue.

Apoi din convergența integralei urmează convergența integralei, iar din divergența integralei rezultă divergența

Deoarece 0?f(x)?g(x) și funcțiile sunt continue, atunci

După condiție, integrala converge, i.e. are o valoare finită. Prin urmare, și integrala converge.

Acum, lăsați integrala să diverge. Să presupunem că integrala converge, dar atunci trebuie să convergă integrala, ceea ce contrazice condiția. Presupunerea noastră este incorectă, integrala diverge.

Teorema de comparație pentru integrale improprie de al 2-lea fel.

Fie pentru funcțiile f(x) și g(x) din intervalul , să crească fără limită pentru x>+0. Pentru x>+0, este valabilă următoarea inegalitate:<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.

Teorema de comparare a integralelor improprie de primul fel.

Fie pentru funcția f(x) și g(x) pe intervalul $, ambele numere de mai jos sunt presupuse a fi finite. Dacă există doar 1 discontinuitate, aceasta poate fi localizată fie în punctul $a$, fie în punctul $b$, fie în interiorul intervalului $(a,\,b)$. Să considerăm mai întâi cazul în care există o discontinuitate de al doilea fel în punctul $a$, iar în alte puncte funcția integrand este continuă. Deci discutăm despre integrală

\begin(equation) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(equation)

și $f(x) \rightarrow \infty $ când $x \rightarrow a+0$. Ca și înainte, primul lucru de făcut este să dai sens acestei expresii. Pentru a face acest lucru, luați în considerare integrala

\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Definiție. Să existe o limită finită

\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Apoi se spune că integrala improprie de al doilea fel (22) converge și i se atribuie valoarea $A$; se spune că funcția $f(x)$ în sine este integrabilă pe intervalul $\left[ a, \ , b\dreapta]$.

Să luăm în considerare opțiunea când există o discontinuitate de al doilea fel în funcția integrand la limita superioară a intervalului de integrare. Acest caz poate fi redus la cel anterior făcând modificarea variabilei $x=-t$ și apoi rearanjarea limitelor de integrare.

Să considerăm opțiunea când funcția integrand are o discontinuitate de al doilea fel în interiorul intervalului de integrare, în punctul $c \in (a,\,b)$. În acest caz, integrala originală

\begin(equation) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(equation)

prezentat ca o sumă

\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]

Definiție. Dacă ambele integrale $I_1, \, I_2$ converg, atunci integrala improprie (23) se numește convergentă și i se atribuie o valoare egală cu suma integralelor $I_1, \, I_2$, funcției $f(x)$ se numește integrabil pe intervalul $\left [a, \, b\right]$. Dacă cel puţin una dintre integralele $I_1,\, I_2$ este divergentă, integrala improprie (23) se numeşte divergentă.

Integralele improprie convergente de al 2-lea fel au toate proprietățile standard ale integralelor definite obișnuite.

1. Dacă $f(x)$, $g(x)$ sunt integrabile pe intervalul $\left[ a, \,b \right ]$, atunci suma lor $f(x)+g(x)$ este de asemenea, integrabil în acest interval și \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( b)g (x)dx. \] 2. Dacă $f(x)$ este integrabil pe intervalul $\left[ a, \, b \right ]$, atunci pentru orice constantă $C$ funcția $C\cdot f(x)$ este de asemenea integrabil pe acest interval , și \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Dacă $f(x)$ este integrabil pe intervalul $\left[ a, \, b \right ]$, iar pe acest interval $f(x)>0$, atunci \[ \int _a^ (b ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Dacă $f(x)$ este integrabil pe intervalul $\left[ a, \, b \right ]$, atunci pentru orice $c\in (a, \,b)$ integralele \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] converg, de asemenea, și \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (aditivitatea integralei pe interval).

Luați în considerare integrala

\begin(equation) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(equation)

Dacă $k>0$, integrandul tinde spre $\infty$ ca $x \rightarrow +0$, deci integrala este improprie de al doilea fel. Să introducem funcția

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

În acest caz antiderivatul este cunoscut, deci

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \]

pentru $k \neq 1$,

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \]

pentru $k = 1$. Având în vedere comportamentul la $\epsilon \rightarrow +0$, ajungem la concluzia că integrala (20) converge la $k

10.2.2 Teste pentru convergența integralelor improprie de al 2-lea fel

Teorema (primul semn al comparației). Fie $f(x)$, $g(x)$ continuu pentru $x\in (a,\,b)$ și $0 1. Dacă integrala \[ \int _a^(b)g(x) dx \] converge, apoi integrala \[ \int _a^(b)f(x)dx converge. \] 2. Dacă integrala \[ \int _a^(b)f(x)dx \] diverge, atunci integrala \[ \int _a^(b)g(x)dx diverge. \]

Teorema (al doilea criteriu de comparare). Fie $f(x)$, $g(x)$ continuu și pozitiv pentru $x\in (a,\,b)$ și să existe o limită finită

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Apoi integralele

\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]

converg sau diverg simultan.