Matrici nesingulare. Criteriul de existență a unei matrici inverse. Condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse Existența unei matrici inverse

Matrice inversă a unuia dat.

Nu orice matrice are un invers.

Teorema 1. Cele mai simple proprietăți matrice inversă.

1°. Orice matrice poate avea cel mult un invers.

2°. E –1 = E.

3°. ( A –1) –1 = A.

4°. ( AB) –1 = B –1 A –1 .

Matrici pătrate singulare și nesingulare.

Teorema 2. Criteriul inversibilității matricei.

O matrice este inversabilă dacă și numai dacă este nesingulară.

Lema 1. Orice transformare elementară de rând (coloană) a unei matrice poate fi implementată prin înmulțirea acestei matrice din stânga (dreapta) cu matricea elementară corespunzătoare.

Lema 2. Pentru ca o matrice să fie nesingulară, este necesar și suficient ca ea să poată fi redusă la matricea de identitate folosind doar transformări elementare pe rând.

Lema 3. Dacă rândurile (coloanele) matricei A (B) sunt dependente liniar și C = AB, atunci exact la fel dependență liniară efectuat pentru rândurile (coloanele) matricei CU.

O modalitate practică de a calcula matricea inversă:

A|E ... E|A –1 .

Ecuații matriceale.

Înregistrarea SLE-urilor sub forma unei ecuații matriceale a unei forme speciale. Turnul lui Cramer sub formă de matrice.

Permutări și substituții

Rearanjamente. Înregistrarea unei permutări. Numărul de permutări n elemente. Inversiunile. Permutări pare și impare. Transpuneri.

Teorema. Proprietăţile transpoziţiilor.

1°. Puteți trece de la orice permutare la orice altă permutare folosind mai multe transpoziții.

2°. Fiecare transpunere schimbă paritatea permutării.

Înlocuiri. S n. Înregistrarea înlocuirilor. Paritatea de substituție. Corectitudinea determinării parității unei substituții. Wildcard. (–1) s (p) .

Definiţia determinant

Definiţia determinant.

Exemple de calculare a determinanților matricelor de ordinul doi și trei, determinantul matricei triunghiulare superioare (inferioare), determinantul unei matrici în care toate elementele de sub (deasupra) diagonalei laterale sunt egale cu zero.

Proprietățile determinantului

Teorema. Proprietățile determinantului.

1°. det t A= det A.

2°.det = det + det .

3°. det = l×det .

4°. det = –det .

5°. Dacă unul dintre rândurile matricei este zero, atunci determinantul matricei este egal cu zero.

6°. Dacă oricare două rânduri ale unei matrice sunt egale, atunci determinantul matricei este zero.

7°. Dacă oricare două rânduri ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul matricei este zero.

8°. Dacă unul dintre rândurile matricei este înmulțit cu un număr și adăugat la un alt rând, determinantul nu se va schimba.

9°. Determinantul unei matrice singulare este egal cu zero.

10°. Determinantul unei matrici nesingulare este diferit de zero.

Notă. Proprietățile 1°–4° sunt dovedite prin definiție, restul proprietăților sunt derivate folosind proprietățile 1°–4°.

Corolarul 1. Criteriul de nedegenerare a unei matrice.

O matrice pătrată este nesingulară dacă și numai dacă determinantul ei este diferit de zero.

Corolarul 2. Sistem omogen ecuatii lineare, constând din n ecuatii cu n necunoscut, are soluții diferite de zero dacă și numai dacă determinantul matricei sistemului este egal cu zero.

Minori și complemente algebrice. Descompunerea determinantului în rând și coloană

Minor M ij matrice pătrată. Complement algebric A ij element a ij matrice pătrată.

Teorema despre descompunere.

det A = un k 1 A k 1 +un k 2 A k 2 + ... +a kn A kn, det A = A 1k A 1k +A 2k A 2k + ... +a nk A nk

pentru orice k =

Etapele probei

1. Pentru o matrice în care A n = e n, prin definiție det.

2. Pentru o matrice în care A i = e j, prin reducerea la cazul 1, luând în considerare semnul A iși imuabilitate M ij.

3. Caz general prin reprezentare A i ca suma n vectori și reducerea la cazul 2.

O altă proprietate a determinantului

11°. un k 1 A p 1 +un k 2 A p 2 + ... +a kn A pn,A 1 k A 1 p+A 2 k A 2 p+ ... +a nk A np, Dacă k ¹ p.

Adăugarea matricei.

Proprietăți suplimentare:

· A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C).

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Înmulțirea matricei.

Matrice inversă.

Proprietățile determinanților

4. Teorema substituției.

5. Teorema anulării.

completări la aceste elemente

unde i=,

Matrici de transpunere.

Matrice transpusă
A T [ i, j] = A[j, i].
De exemplu,

Și

Suprafețe cilindrice.

O suprafață formată prin mișcarea unei drepte L, care se deplasează în spațiu, menținând o direcție constantă și intersectându-se de fiecare dată cu o anumită curbă K, se numește suprafață sau cilindru cilindric; curba K este ghidajul cilindrului, iar L este generatorul acestuia.

Cilindru eliptic

Ecuație eliptică:

Un caz special cilindru eliptic este cilindru circular, ecuația sa este x 2 + y 2 = R 2 . Ecuația x 2 =2pz se definește în spațiu cilindru parabolic.

Ecuația: definește în spațiu cilindru hiperbolic.

Toate aceste suprafețe sunt numite cilindri de ordinul doi, deoarece ecuațiile lor sunt ecuații de gradul doi în raport cu coordonatele curente x, y, z.

62. Elipsoide.

Să examinăm suprafața definită de ecuație:

Să considerăm secțiuni ale unei suprafețe cu plane paralele cu planul xOy. Ecuațiile unor astfel de plane: z=h, unde h este orice număr. Linia obținută în secțiune este determinată de două ecuații:

Să examinăm suprafața:

Si daca Acea Linia de intersecție a suprafeței cu planele z=h nu există.

B) dacă , linia de intersecție degenerează în două puncte (0,0,c) și (0,0,-c). Planul z = c, z = - c atinge suprafața dată.

B) dacă , atunci ecuațiile pot fi rescrise astfel:
, după cum se vede, linia de intersecție este o elipsă cu semiaxele a1 = , b1 = . În acest caz, cu cât h este mai mic, cu atât semiaxele sunt mai mari. La n=0 ele ating cele mai mari valori: a1=a, b1=b. Ecuațiile vor lua forma:

Secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea suprafeței ca o suprafață ovală închisă. Suprafața se numește elipsoid Dacă vreo semiaxă este egală, elipsoidul triaxial se transformă într-un elipsoid de revoluție, iar dacă a=b=c, atunci într-o sferă.

Hiperboloizi.

1. Examinați suprafața . Intersectând suprafața cu planul z=h, obținem o dreaptă de intersecție ale cărei ecuații au forma

z=h. sau z=hsemiaxa: a1= b1=

semiaxele ating valoarea minimă la h=0: a1=a, b1=b. Pe măsură ce h crește, semiaxele elipsei vor crește. => x=0.

Analiza acestor secțiuni arată că suprafața definită de ecuație are forma unui tub în expansiune infinită. Suprafața se numește hiperboloid cu o singură foaie.

2. - ecuația suprafeței.

Și - o suprafață formată din 2 cavități în formă de boluri convexe nelimitate. Suprafața se numește hiperboloid cu două foi.

64. paraboloizi.

.
-Acest paraboloid eliptic.

Ecuația canonică: (p>0, q>0).

p = q este un paraboloid de rotație în jurul axei Oz.

Secțiunile unui paraboloid eliptic sunt fie o elipsă, fie o parabolă, fie un punct.

2.
- paraboloid hiperbolic.

Secțiunile unui paraboloid hiperbolic pe planuri sunt fie o hiperbolă, fie o parabolă, fie o pereche de linii drepte (generatoare rectilinii).

65. Suprafețe canonice.

Ecuația canonică:

a = b - con de rotație (circular drept)
Secțiuni ale unui con pe plane: în planul care intersectează toate generatricele rectilinie - o elipsă; într-un plan paralel cu o generatoare rectilinie - o parabolă; într-un plan paralel cu două generatoare rectilinii - o hiperbolă; în planul care trece prin vârful conului - o pereche de drepte care se intersectează sau un punct (vârf).

66. Funcția. Noțiuni de bază. Modalități de a seta.

O funcție este o lege conform căreia un număr x dintr-o mulțime dată X este asociat cu un singur număr y, scris , în timp ce x se numește argumentul funcției, y

numită valoarea funcției.

1. Metodă analitică.

2. Metoda grafică.

3. Metoda verbală.

4. Metoda tabelară.

Teorema comparației.

în teoria ecuațiilor diferențiale, o teoremă care afirmă existența unei anumite proprietăți a soluțiilor unei ecuații diferențiale (sau a unui sistem de ecuații diferențiale) în ipoteza că o anumită proprietate are ecuație auxiliară sau inegalitate (sistem de ecuaţii diferenţiale sau inegalităţi).

1) Teorema lui Sturm: orice soluție netrivială a ecuației dispare pe interval de cel mult de m ori dacă ecuația și pentru au această proprietate.

2) Inegalitatea diferențială: soluția problemei este nenegativă din punct de vedere al componentelor dacă soluția problemei are această proprietate și inegalitățile sunt satisfăcute

Prima este o limită minunată.

La calcularea limitelor expresiilor care conţin funcții trigonometrice, limita este adesea folosită numit primul limită remarcabilă.

Se citește: limita raportului dintre sinus și argumentul său este egală cu unu atunci când argumentul tinde spre zero.

Dovada:

Să luăm un cerc cu raza 1 și să notăm cu x măsura în radian a unghiului MOV. fie 0 , arcul MV este numeric egal cu unghiul central x, . Evident, avem. Pe baza formulelor de geometrie corespunzătoare, obținem . Să împărțim inegalitatea la >0, obținem 1<

Deoarece , apoi pe baza criteriului (pe limita unei funcţii intermediare) al existenţei limitelor .

Și dacă x<0 => , unde –x>0 =>

83. A doua limită remarcabilă.

După cum se știe, limita succesiune de numere
, are o limită egală cu e. . 1.Lasa . Fiecare valoare x este închisă între două numere întregi pozitive: , unde n=[x] este partea întreagă a lui x. Rezultă că prin urmare
. Dacă , Acea . De aceea:
,

Pe baza existenței limitelor: . 2. Lasă . Să facem înlocuirea –x=t, apoi = . Și numită a doua limită remarcabilă. Sunt utilizate pe scară largă în calcularea limitelor. Joacă un rol important în aplicațiile de analiză functie exponentiala cu baza e. Funcţie se numește exponențial, se folosește și notația .

Dovada.

(ținând cont că dacă Dx®0, atunci Du®0, deoarece u = g(x) este o funcție continuă)

Apoi . Teorema a fost demonstrată.

teorema lui Cauchy

Teorema lui Cauchy: Dacă funcţiile f(x) şi sunt continue pe interval, diferențiabile pe intervalul (a,b) și Pentru , atunci există cel puțin un punct , astfel încât egalitatea
.

Matrici. Noțiuni de bază. Operații liniare pe matrice și proprietățile acestora.

O matrice de dimensiunea m cu n este o colecție de mn numere reale (complexe) sau elemente ale unei alte structuri (polinoame, funcții etc.), scrise sub forma unui tabel dreptunghiular, care constă din m rânduri și n coloane și luate în paranteze drepte rotunde sau dreptunghiulare sau duble. În acest caz, numerele în sine sunt numite elemente de matrice și fiecare element este asociat cu două numere - numărul rândului și numărul coloanei.

O matrice ale cărei elemente sunt toate zero se numește matrice zero

O matrice de mărimea n cu n se numește matrice pătrată de ordinul n-a, adică. numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane.

O matrice pătrată se numește diagonală dacă toate elementele sale în afara diagonalei sunt zero.

O matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu 1 se numește matrice de identitate
Adăugarea matricei.

Proprietăți suplimentare:

· A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C).

· Dacă O este o matrice zero, atunci A + O = O + A = A

Observație 1. Valabilitatea acestor proprietăți rezultă din definiția operației de adunare a matricei.

Observație 2. Rețineți că numai matrice de aceeași dimensiune pot fi adăugate.

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Proprietățile înmulțirii unei matrice cu un număr

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Observație 1. Valabilitatea proprietăților rezultă din Definițiile 3.4 și 3.5.

Observația 2. Să numim diferența matricelor A și B o matrice C pentru care C+B=A, adică C=A+(-1)B.
Înmulțirea matricei.

Înmulțirea unei matrice cu o matrice necesită, de asemenea, să fie îndeplinite anumite condiții pentru dimensiunile factorilor și anume: numărul de coloane al primului factor trebuie să fie egal cu numărul de rânduri al celui de-al doilea.

Pentru matrice pătrată de același ordin, produsele AB și BA există și au aceeași dimensiune, dar elementele lor corespunzătoare nu sunt în general egale.

Cu toate acestea, în unele cazuri produsele AB și BA coincid

Matrice inversă.

O matrice pătrată A se numește singulară dacă ∆A=0 și nesingulară dacă ∆A≠0

O matrice pătrată B se numește inversul unei matrice pătrate A de același ordin dacă AB = BA = E. În acest caz, B se notează

Pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca matricea originală să fie nesingulară.

2. Determinant de matrice. Proprietățile determinanților.

Determinant (sau determinant) este unul dintre conceptele de bază ale algebrei liniare. Determinantul unei matrice este un polinom al elementelor unei matrice pătrate (adică unul în care numărul de rânduri și coloane este egal). În general, o matrice poate fi definită peste orice inel comutativ, caz în care determinantul va fi un element al aceluiași inel. (∆A)

Proprietățile determinanților

· Determinantul este o funcție poliliniară oblică-simetrică a rândurilor (coloanelor) matricei. Multiliniaritatea înseamnă că determinantul este liniar pe toate rândurile (coloanele): , unde etc. sunt rândurile matricei, este determinantul unei astfel de matrice.

· Când adăugați o combinație liniară de alte rânduri (coloane) la orice rând (coloană), determinantul nu se va schimba.

· Dacă două rânduri (coloane) ale unei matrice coincid, atunci determinantul acesteia este zero.

· Dacă două (sau mai multe) rânduri (coloane) ale unei matrice sunt dependente liniar, atunci determinantul acesteia este egal cu zero.

· Dacă rearanjați două rânduri (coloane) ale unei matrice, atunci determinantul acesteia este înmulțit cu (-1).

· Factorul comun al elementelor oricărei serii a determinantului poate fi scos din semnul determinantului.

· Dacă cel puțin un rând (coloană) al matricei este zero, atunci determinantul este egal cu zero.

· Suma produselor tuturor elementelor oricărui rând prin complementele lor algebrice este egală cu determinantul.

· Suma produselor tuturor elementelor oricărei serii prin complementele algebrice ale elementelor corespondente ale unei serii paralele este zero.

· Determinantul produsului matricelor pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților acestora (vezi și formula Binet-Cauchy).

· Folosind notația de index, determinantul unei matrice 3x3 poate fi determinat folosind simbolul Levi-Civita din relația:

3. Minori și complemente algebrice.

Minorul unui element al unei matrice de ordin al n-lea este determinantul unei matrice de ordin (n-1), obtinut din matricea A prin stergere I-a linieși a j-a coloană.

La scrierea determinantului ordinului (n-1), în determinantul inițial nu sunt luate în considerare elementele situate sub linii.
Complementul algebric Aij al unui element aij de o matrice de ordin al n-lea este minorul acestuia, luat cu un semn, în funcție de numărul rândului și numărul coloanei: adică complementul algebric coincide cu minorul atunci când suma rândului și numerele coloanei este un număr par și diferă de semnul minor, atunci când suma numerelor rândurilor și coloanelor este un număr impar.

4. Teorema substituției.

Sumele produselor numerelor arbitrare bi ,b2,...,b prin complementele algebrice ale elementelor oricărei coloane sau rânduri ale unei matrici de ordinul n sunt egale cu determinantul matricei, care se obține din aceasta prin înlocuirea elementelor acestei coloane (rând) cu numerele b1,b2,...,bn.

5. Teorema anulării.

Suma produselor elementelor uneia dintre coloanele (rândurile) matricei prin complementele algebrice corespunzătoare ale elementelor altei coloane (rânduri) este egală cu zero.

6. Câteva metode de calcul al determinanților.

Teorema (Laplace). Determinant al unei matrice de ordin N = suma produsului tuturor minorilor de ordinul k, care poate fi compus din k serii paralele alese arbitrar și complemente algebrice ale acestor minore

Teoremă (cu privire la extinderea determinantului în elemente ale unei serii). Calificativ mp. matrice = suma produselor elementelor unei anumite serii și algebrice

completări la aceste elemente

7. Înmulțirea matricei. Proprietățile înmulțirii.

Operația de înmulțire a două matrice este introdusă numai în cazul în care numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua matrice.

Produsul matricei A m * n = (a i , g) cu matricea B n * p = (b i , k) este o matrice Cm*p = (cu i , k) astfel încât: ,

unde i=, , adică elementul coloanelor i-a și k-a a matricei de produs C este egal cu suma produselor elementelor din rândul i-a al matricei A cu elementele corespunzătoare ale coloanei k-a a matricei B .

Matricele A, n*m și B, m*n, numite. ne-am înțeles asupra. (dacă A este compatibil cu B, aceasta nu înseamnă că B este compatibil cu A).

Semnificația consistenței este că numărul de coloane din prima matrice se potrivește cu numărul de rânduri din a doua matrice. Pentru matricele potrivite, poate fi definită o operație de înmulțire.

Dacă matricele A și B sunt pătrate și de aceeași dimensiune, atunci A*B și B*A există întotdeauna. Transpunerea este schimbarea tuturor elementelor unei coloane în elementele corespunzătoare ale unui rând. Dacă A T =A, atunci se numește matricea A. simetric (trebuie să fie pătrat).

Matrici de transpunere.

Matrice transpusă- matrice obtinuta din matricea originala prin inlocuirea randurilor cu coloane.
Formal, matricea transpusă pentru o matrice de dimensiune este o matrice de dimensiune, definită ca A T [ i, j] = A[j, i].
De exemplu,

Și

Matrice inversă. O condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse. Aflarea matricei inverse.

Să fie o matrice A - nesingulară.

A -1 , A -1 *A=A*A -1 =E, unde E este matricea de identitate. A -1 are aceleași dimensiuni ca și A.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse:

1. În locul fiecărui element al matricei a ij scriem complementul algebric al acestuia.

A* este o matrice de unire.

2. transpuneți matricea de unire rezultată. A*T

3. împărțiți fiecare element al matricei de unire la determinantul matricei A.

A -1 = A *T

Teorema: (despre anularea determinantului):
suma produselor elementelor unei anumite serii ale unui determinant prin complementul algebric la elementele unei alte serii paralele este întotdeauna egală cu zero.

10. Reprezentarea matricială a unui sistem de ecuații liniare și soluțiile acestuia.

Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:

Luați în considerare matricea sistemului și coloane de matrice de termeni necunoscuți și liberi

Să găsim de lucru

acestea. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris sub forma

sau mai scurt A∙X=B.

Iată matricele AȘi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Este necesar să-l găsim, pentru că... elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.

Fie determinantul matricei diferit de zero | A| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei A: . Deoarece A -1 A = EȘi E∙X = X, apoi obținem o soluție a ecuației matriceale sub forma X = A -1 B.

Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, înregistrarea matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea A nu va fi pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.

11. Rezolvarea sistemelor liniare nedegenerate, formule Cramer.

Se obișnuiește să scrieți SLAE-uri în formă de matrice, când necunoscutele în sine nu sunt indicate, ci sunt indicate doar matricea sistemului A și coloana de termeni liberi B.

Rezolvarea SLAE-urilor nedegenerate folosind metoda lui Cramer:

A -1 =

X1= (A 11 b 1 + A 21 b 2 + …+A n 1 b n)

Teorema: (Cramer):
rezolvarea ecuațiilor nedegenerate AX=B, se poate scrie asa:

, Ak se obține din A prin înlocuirea coloanei k-a cu coloana termenului liber B.

12. Rangul matricei. Proprietățile rangului matricei. Calcularea rangului unei matrice folosind transformări elementare.

Se numește numărul maxim de rânduri dependente liniar ale matricei A. rangul matricei și denotația r(a). Se numește cel mai mare dintre ordinele minore ale unei matrice date, alta decât 0 rangul matricei.

Proprietăți:

1) la transpunerea rang=const.

2) dacă tăiați rândul zero, atunci song=const;

3)rang=cost, cu transformări elementare.

3) pentru a calcula rangul folosind elementul, transformați matricea A în matricea B, al cărei rang este ușor de găsit.

4) rangul triunghiului matriceal = numărul de elemente nenule situate pe diagonalele principale.

Metode pentru găsirea rangului unei matrice:

1) metoda de limitare a minorilor

2) metoda transformărilor elementare

Metoda minorilor în graniță:

Metoda limitării minorilor vă permite să algoritmizați procesul de găsire a matricei de rang și vă permite să minimizați numărul de calcule ale minorilor.

1) dacă matricea are toate elementele zero, atunci rang = 0

2) dacă există cel puțin un element diferit de zero => r(a)>0

Acum vom margini M1 minor, i.e. vom construi toți minorii posibili de ordinul 2, ktr. conține al-lea rând și j-a coloană până când găsim un minor diferit de zero de ordinul 2.

Procesul va continua până când apare unul dintre următoarele evenimente:
1. Mărimea minorului va ajunge la numărul k.

2. la un moment dat, toți minorii granițați se vor dovedi a fi = 0.

În ambele cazuri, mărimea matricei de rang va fi egală cu ordinul minorului mai mare, diferit de zero.

Metoda elementară de transformare:
După cum se știe, conceptul de matrice triunghiulară este definit doar pentru matrice pătrată. Pentru matricele dreptunghiulare, un analog este conceptul de matrice trapezoidală.

De exemplu:
rang = 2.

4.1 MATRICE INVERSA ȘI RANG MATRICE

Matrice pătrată A Ordinnnumit nedegenerat(sau Nimic special), Dacă det A≠ 0. Altfel matricea A – degenerat(sau special). MatriceA este verso pentru o matrice pătrată nesingulară A, Dacă A A AA E , Unde E- matricea unitară de ordinen:

.

Teorema 4.1. (o condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse). matrice inversă A există dacă și numai dacă matricea originală Anedegenerat.

Dovada . Necesitate. Lasă matriceaA are invers A , adică A A AA E . Prin proprietatea a 10 determinanți avemD(A A ) = D(A ) D(A) D(E) = 1 și prin urmareD(A ) 0.

Adecvarea. Lăsa D(A ) 0. Considerăm o matrice pătrată n-a ordine, numitanexat. Elementele sale sunt complementele algebrice ale elementelor matricei, transpus la matrice A:

.

Este ușor să arăți asta

.

Rezultă că dacă luăm matricea ca matrice inversăA , apoi produseleA A Și A.A. egal cu matricea de identitateE n-a comanda: A A A.A. E .

Rangmatrici A (notat rang A sau r(A)) este cea mai mare ordine a minorilor (determinanți) non-zero generați de acesta. Orice minor diferit de zero al unei matrice a cărei ordine este egală cu rangul său se numește sa minor de bază. Rândurile și coloanele implicate în formarea minorului de bază vor fi, de asemenea, de bază. O matrice poate avea mai multe minore de bază, dar toate ordinele lor sunt aceleași și egale cu rangul matricei.

Rangul matricei nu se va schimba dacă:

1) schimbați rândurile și coloanele matricei;

2) rearanjați oricare două dintre coloanele (rândurile) ale acesteia;

3) eliminați din ea o coloană (rând) ale cărei elemente sunt egale cu zero;

4) eliminați o coloană (rând) din aceasta, care este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) rămase;

5) înmulțiți coloana (rândul) sa arbitrară cu orice număr diferit de zero;

6) la oricare dintre coloanele (rândurile) acesteia adăugați o combinație liniară arbitrară a coloanelor (rândurilor) rămase din această matrice.

Transformările 2) - 6) se numesc elementar. Cele două matrice sunt echivalent, dacă una se obține din cealaltă folosind transformări elementare și se notează ca A~ÎN.

Următoarele relații sunt valabile pentru rândurile matricelor:

1) r(A+ ÎN ) r(A) + r(B),

§6. Proprietățile determinanților

§7. matrice inversă

Matrici nesingulare și singulare

matrice inversă

Condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse

Algoritm pentru calcularea matricei inverse folosind formula

Calcularea matricei inverse folosind transformări elementare

§ 6. Proprietățile determinanților

1. Dacă orice rând (coloană) al matricei este egal cu zero, atunci determinantul său este egal cu zero.

Corolarul 1. Dacă o matrice pătrată conține două rânduri (coloane) identice, atunci determinantul ei este zero.

Corolarul 2. Dacă elementele a două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul acesteia este egal cu zero.

2. Dacă toate elementele oricărui rând (coloană) unei matrice sunt înmulțite cu un număr, determinantul acestuia va fi înmulțit cu acest număr.

Cometariu. Semnul determinantului poate fi considerat ca fiind factorul comun al oricărui rând (coloană), spre deosebire de o matrice, al cărei semn poate fi luat doar ca fiind factorul comun al tuturor elementelor.

3. Când o matrice este transpusă, determinantul ei nu se schimbă.

4. Când două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt interschimbate, determinantul acesteia își schimbă semnul în cel opus.

5. Determinantul matricei nu se modifică dacă la orice rând (coloană) se adaugă un alt rând (coloană) înmulțit cu un număr.

6. Determinantul produsului a două matrice pătrate este egal cu produsul determinanților lor, adică.

Cometariu. Chiar A∙ÎN ≠ ÎN∙A, .

Deci, folosind proprietățile determinanților, putem reduce orice determinant la o formă triunghiulară. Să ne uităm la acest proces cu un exemplu.

Exemplu. Calculați determinant

Soluţie.

§ 7. matrice inversă

Pentru fiecare număr A¹ 0 există un număr invers A–1 astfel încât A· A–1 = 1. Pentru matricele pătrate se introduce un concept similar.

Luați în considerare o matrice pătrată

.

Matrice pătrată A numit nedegenerat, dacă determinantul său este diferit de zero și degenerat dacă determinantul său este zero.

Matrice pătrată A–1 este numit verso pentru o matrice pătrată A, dacă produsul lor atât din stânga cât și din dreapta este egal cu matricea de identitate:

A · A –1 = A-1 · A = E.

Spre deosebire de numere, nu orice matrice pătrată are un invers.

Teoremă (condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse). Pentru ca matricea A să aibă inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nedegenerată.

;

,