Lucrări practice: Transformarea graficelor de funcții. Lucrare practică: Transformarea graficelor de funcții Sensul fizic al derivatei

Derivata unei functii $y = f(x)$ la un punct dat $x_0$ este limita raportului dintre incrementul unei functii si incrementul corespunzator al argumentului acesteia, cu conditia ca acesta din urma sa tina la zero:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Diferențierea este operația de găsire a derivatei.

Tabel de derivate ale unor funcții elementare

Reguli de bază de diferențiere

1. Derivata sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) derivatelor

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Aflați derivata funcției $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Derivata unei sume (diferență) este egală cu suma (diferența) derivatelor.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Derivat al produsului

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Aflați derivata $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Derivată a coeficientului

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Găsiți derivata $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivat functie complexa este egal cu produsul dintre derivata funcției externe și derivata funcției interne

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Sensul fizic al derivatului

Dacă un punct material se mișcă rectiliniu și coordonatele lui se modifică în funcție de timp conform legii $x(t)$, atunci viteza instantanee a acestui punct este egală cu derivata funcției.

Punctul se deplasează de-a lungul liniei de coordonate conform legii $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, unde $x(t)$ este coordonata la momentul $t$. În ce moment va fi viteza punctului egală cu $12$?

1. Viteza este derivata lui $x(t)$, deci să găsim derivata funcției date

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. Pentru a afla în ce moment $t$ viteza a fost egală cu $12$, creăm și rezolvăm ecuația:

Sensul geometric al derivatului

Amintiți-vă că ecuația unei linii drepte nu este paralel cu axele coordonate, se pot scrie sub forma $y = kx + b$, unde $k$ este panta dreptei. Coeficientul $k$ este egal cu tangentei unghiului de înclinare dintre dreapta și direcția pozitivă a axei $Ox$.

Derivata funcției $f(x)$ în punctul $х_0$ este egală cu panta $k$ a tangentei la grafic în acest punct:

Prin urmare, putem crea o egalitate generală:

$f"(x_0) = k = tanα$

În figură, tangenta la funcția $f(x)$ crește, deci coeficientul $k > 0$. Deoarece $k > 0$, atunci $f"(x_0) = tanα > 0$. Unghiul $α$ dintre tangentă și direcția pozitivă $Ox$ este ascuțit.

În figură, tangenta la funcția $f(x)$ scade, prin urmare, coeficientul $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

În figură, tangenta la funcția $f(x)$ este paralelă cu axa $Ox$, prin urmare, coeficientul $k = 0$, prin urmare, $f"(x_0) = tan α = 0$. punctul $x_0$ la care $f "(x_0) = 0$, numit extremum.

Figura prezintă un grafic al funcției $y=f(x)$ și o tangentă la acest grafic desenată în punctul cu abscisa $x_0$. Aflați valoarea derivatei funcției $f(x)$ în punctul $x_0$.

Tangenta la grafic crește, prin urmare, $f"(x_0) = tan α > 0$

Pentru a găsi $f"(x_0)$, găsim tangenta unghiului de înclinare dintre tangentă și direcția pozitivă a axei $Ox$. Pentru aceasta, construim tangenta la triunghiul $ABC$.

Să găsim tangenta unghiului $BAC$. (Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Răspuns: 0,25 USD

Derivata este, de asemenea, folosită pentru a găsi intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare:

Dacă $f"(x) > 0$ pe un interval, atunci funcția $f(x)$ crește pe acest interval.

Dacă $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Figura prezintă graficul funcției $y = f(x)$. Găsiți printre punctele $х_1,х_2,х_3...х_7$ acele puncte la care derivata funcției este negativă.

Ca răspuns, notați numărul acestor puncte.

Linia dreaptă y=3x+2 este tangentă la graficul funcției y=-12x^2+bx-10. Găsiți b, având în vedere că abscisa punctului tangent este mai mică decât zero.

Soluţie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y=-12x^2+bx-10 prin care trece tangenta la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y"(x_0)=-24x_0+b=3. Pe de altă parte, punctul de tangență aparține simultan atât graficului funcția și tangenta, adică -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Obținem un sistem de ecuații \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cazuri)

Rezolvând acest sistem, obținem x_0^2=1, ceea ce înseamnă fie x_0=-1, fie x_0=1. Conform condiției de abscisă, punctele tangente sunt mai mici decât zero, deci x_0=-1, apoi b=3+24x_0=-21.

Răspuns

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) (care este o linie întreruptă formată din trei segmente drepte). Folosind figura, calculați F(9)-F(5), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x).

Soluţie

Conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(9)-F(5), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x), este egală cu aria trapezului curbiliniu limitat prin graficul funcției y=f(x), drepte y=0 , x=9 și x=5. Din grafic determinăm că trapezul curbat indicat este un trapez cu bazele egale cu 4 și 3 și înălțimea 3.

Suprafața sa este egală \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al lui y=f"(x) - derivata funcției f(x), definită pe intervalul (-4; 10). Găsiți intervalele funcției descrescătoare f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Soluţie

După cum se știe, funcția f(x) scade pe acele intervale în fiecare punct în care derivata f"(x) este mai mică decât zero. Având în vedere că este necesar să se afle lungimea celui mai mare dintre ele, trei astfel de intervale sunt se disting în mod natural de figură: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Lungimea celui mai mare dintre ele - (5; 9) este 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al lui y=f"(x) - derivata funcției f(x), definită pe intervalul (-8; 7). Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) aparținând acestuia intervalul [-6; -2].

Soluţie

Din grafic reiese clar că derivata f"(x) a funcției f(x) își schimbă semnul din plus în minus (în astfel de puncte va fi maxim) la exact un punct (între -5 și -4) din intervalul [-6; -2 ] Prin urmare, pe intervalul [-6; -2] există exact un punct maxim.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x), definită pe intervalul (-2; 8). Determinați numărul de puncte la care derivata funcției f(x) este egală cu 0.

Soluţie

Egalitatea derivatei într-un punct la zero înseamnă că tangenta la graficul funcției desenate în acest punct este paralelă cu axa Ox. Prin urmare, găsim puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa Ox. Pe acest grafic, astfel de puncte sunt puncte extreme (puncte maxime sau minime). După cum puteți vedea, există 5 puncte extreme.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Linia dreaptă y=-3x+4 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=-x^2+5x-7. Aflați abscisa punctului tangent.

Soluţie

Coeficientul unghiular al dreptei la graficul funcției y=-x^2+5x-7 într-un punct arbitrar x_0 este egal cu y"(x_0). Dar y"=-2x+5, ceea ce înseamnă y" (x_0)=-2x_0+5. Unghiar coeficientul dreptei y=-3x+4 specificat în condiție este egal cu -3. Dreptele paralele au aceiași coeficienți de pantă.De aceea, găsim o valoare x_0 astfel încât =- 2x_0 +5=-3.

Se obține: x_0 = 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și punctele -6, -1, 1, 4 sunt marcate pe abscisă. În care dintre aceste puncte este derivata cea mai mică? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Serghei Nikiforov

Dacă derivata unei funcții este de semn constant pe un interval, iar funcția în sine este continuă pe granițele sale, atunci punctele de limită sunt adăugate atât la intervale crescătoare, cât și la intervale descrescătoare, ceea ce corespunde pe deplin definiției funcțiilor crescătoare și descrescătoare.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Buna ziua. Cum (pe ce bază) putem spune că în punctul în care derivata este egală cu zero, funcția crește. Da motive. Altfel, e doar capriciu al cuiva. După ce teoremă? Și, de asemenea, dovada. Mulțumesc.

A sustine

Valoarea derivatei într-un punct nu este direct legată de creșterea funcției pe interval. Luați în considerare, de exemplu, funcțiile - toate cresc pe interval

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Dacă o funcție crește pe intervalul (a;b) și este definită și continuă în punctele a și b, atunci este în creștere pe intervalul . Acestea. punctul x=2 este inclus în acest interval.

Deși, de regulă, creșterea și scăderea sunt considerate nu pe un segment, ci pe un interval.

Dar în punctul x=2 însuși, funcția are un minim local. Și cum să explicăm copiilor că atunci când caută puncte de creștere (scădere), nu numărăm punctele de extremum local, ci intrăm în intervale de creștere (scădere).

Având în vedere că prima parte a examenului unificat de stat este pentru „grupul de mijloc” grădiniţă„, atunci poate că astfel de nuanțe sunt prea multe.

Separat, multe mulțumiri întregului personal pentru „Rezolvarea examenului de stat unificat” - un ghid excelent.

Serghei Nikiforov

O explicație simplă poate fi obținută dacă pornim de la definiția unei funcții crescătoare/descrescătoare. Permiteți-mi să vă reamintesc că sună așa: o funcție se numește crescător/descrescător pe un interval dacă un argument mai mare al funcției corespunde unei valori mai mari/mai mici a funcției. Această definiție nu folosește în niciun fel conceptul de derivată, așa că nu pot apărea întrebări despre punctele în care derivata dispare.

Irina Ismakova 20.11.2017 11:46

Bună ziua. Aici, în comentarii, văd convingeri că trebuie incluse granițele. Să zicem că sunt de acord cu asta. Dar vă rugăm să priviți soluția dvs. la problema 7089. Acolo, atunci când specificați intervale crescătoare, limitele nu sunt incluse. Și asta afectează răspunsul. Acestea. soluțiile la sarcinile 6429 și 7089 se contrazic. Vă rugăm să clarificați această situație.

Alexandru Ivanov

Sarcinile 6429 și 7089 au întrebări complet diferite.

Unul este despre intervale crescătoare, iar celălalt este despre intervale cu derivată pozitivă.

Nu există nicio contradicție.

Extremele sunt incluse în intervalele de creștere și descreștere, dar punctele în care derivata este egală cu zero nu sunt incluse în intervalele în care derivata este pozitivă.

A Z 28.01.2019 19:09

Colegii, există un concept de creștere la un moment dat

(vezi Fichtenholtz de exemplu)

iar înțelegerea dvs. a creșterii la x=2 este contrară definiției clasice.

Creșterea și scăderea este un proces și aș dori să ader la acest principiu.

În orice interval care conține punctul x=2, funcția nu crește. Prin urmare, includerea unui punct dat x=2 este un proces special.

De obicei, pentru a evita confuzia, includerea capetelor de intervale este discutată separat.

Alexandru Ivanov

Se spune că o funcție y=f(x) crește pe un anumit interval dacă o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mari a funcției.

În punctul x=2 funcția este diferențiabilă, iar pe intervalul (2; 6) derivata este pozitivă, adică pe intervalul )