Principiul mișcărilor posibile. Ecuația generală a dinamicii. Calculul reacției suportului după principiul deplasărilor posibile Metoda deplasărilor posibile Mecanica teoretică

După cum se știe din cursul mecanicii teoretice, starea de echilibru a unui obiect poate avea o formulă de forță sau energie. Prima opțiune este condiția egalității la zero a vectorului principal și momentul principal al tuturor forțelor și reacțiilor care acționează asupra corpului. A doua abordare (variațională), numită principiul posibilelor deplasări, s-a dovedit a fi foarte utilă pentru rezolvarea unui număr de probleme din mecanica structurală.

Pentru un sistem de corpuri absolut rigide, principiul deplasărilor posibile este formulat astfel: dacă un sistem de corpuri absolut rigide este în echilibru, atunci suma muncii tuturor forțelor externe asupra oricărei deplasări infinitezimale posibile este egală cu zero. Se numește mișcare posibilă (sau virtuală), care nu încalcă conexiunile cinematice și continuitatea corpurilor. Pentru sistemul din fig. 3.1, este posibilă doar rotirea tijei față de suport. Când întoarceți printr-un unghi mic arbitrar, forțează și lucrează Conform principiului posibilelor deplasări, dacă sistemul este în echilibru, atunci trebuie să existe . Inlocuind aici relatiile geometrice obţinem condiţia de echilibru în formularea forţei

Principiul deplasărilor posibile pentru corpurile elastice este formulat după cum urmează: dacă un sistem de corpuri elastice este în echilibru, atunci suma muncii tuturor forțelor externe și interne asupra oricărei deplasări infinitezimale posibile este egală cu zero. Acest principiu se bazează pe conceptul de energie totală a unui sistem elastic deformat P. Dacă structura este încărcată static, atunci această energie este egală cu munca efectuată de forțele externe U și W interne atunci când sistemul este transferat din starea deformată. la cea inițială:

Cu această translație, forțele externe nu își schimbă valoarea și fac lucru negativ U= -F . În acest caz, forțele interne scad la zero și efectuează un lucru pozitiv, deoarece acestea sunt forțele de aderență ale particulelor de material și sunt îndreptate în direcția opusă sarcinii externe:

Unde - energia potenţială specifică de deformare elastică; V este volumul corpului. Pentru sistem liniar, Unde . Conform teoremei Lagrange-Dirichlet, starea de echilibru stabil corespunde minimului totalului energie potențială sistem elastic, adică

Ultima egalitate corespunde pe deplin formulării principiului posibilelor deplasări. Creșterile de energie dU și dW pot fi calculate pe orice posibile deplasări (abateri) ale sistemului elastic de la starea de echilibru. Pentru a calcula structuri care îndeplinesc cerințele de liniaritate, deplasarea posibilă infinit de mică d poate fi înlocuită cu o deplasare finală foarte mică, care poate fi orice stare deformată a structurii creată de un sistem de forțe ales arbitrar. Având în vedere acest lucru, condiția de echilibru rezultată ar trebui scrisă ca

Lucrarea forțelor externe

Luați în considerare metoda de calcul a muncii forțelor externe asupra deplasării reale și posibile. Sistemul de tije este încărcat cu forțe și (Fig. 3.2, a), care acționează simultan, iar în orice moment raportul rămâne constant. Dacă luăm în considerare forța generalizată, atunci după valoare în orice moment puteți calcula toate celelalte sarcini (în acest caz, ). Linia întreruptă arată deplasarea elastică reală care decurge din aceste forțe. Să notăm această stare cu indicele 1. Să notăm deplasarea punctelor de aplicare a forțelor și în direcția acestor forțe în starea 1 și .

În procesul de încărcare a unui sistem liniar cu forțe și, forțele cresc și deplasările și cresc proporțional cu acestea (Fig. 3.2, c). Munca efectivă a forțelor și asupra deplasărilor pe care le creează este egală cu suma ariilor graficelor, adică. . Scriind această expresie ca , se obtine produsul fortei generalizate si deplasarea generalizata . În acest formular, puteți trimite

În continuare, luați în considerare munca forțelor externe asupra unei posibile deplasări. Ca posibilă deplasare, vom lua, de exemplu, starea deformată a sistemului rezultată din aplicarea unei forțe într-un anumit punct (Fig. 3.2, b). Această stare, corespunzătoare deplasării suplimentare a punctelor de aplicare a forțelor și printr-o distanță și , se va nota cu 2. Forțele și , fără a-și modifica valoarea, efectuează lucrări virtuale asupra deplasărilor și (Fig. 3.2, c):

După cum puteți vedea, în notația deplasării, primul indice arată starea în care sunt specificate punctele și direcțiile acestor deplasări. Al doilea indice arată starea în care acționează forțele care provoacă această mișcare.

Lucrul unei forțe unitare F 2 asupra deplasării efective

Dacă considerăm starea 1 ca o posibilă deplasare pentru forța F 2, atunci lucrarea sa virtuală asupra deplasării

Munca forțelor interne

Să găsim lucrul forțelor interne ale stării 1, adică din forțele și , pe deplasările virtuale ale stării 2, adică rezultate din aplicarea sarcinii F 2 . Pentru a face acest lucru, selectați un element de tijă de lungime dx (Fig. 3.2 și 3.3, a). Deoarece sistemul luat în considerare este plat, în secțiunile elementului acţionează doar două forţe S şi Q z și un moment încovoietor Mu. Aceste forţe pentru elementul tăiat sunt externe. Forțele interne sunt forțe de coeziune care conferă rezistență materialului. Ele sunt egale cu cele exterioare ca valoare, dar sunt îndreptate în direcția opusă deformării, prin urmare munca lor sub încărcare este negativă (Fig. 3.3, b-d, prezentată cu gri). Să calculăm secvenţial munca efectuată de fiecare factor de forţă.

Lucrul forțelor longitudinale asupra deplasării, care este creat de forțele S 2 care au apărut ca urmare a aplicării sarcinii F 2 (Fig. 3.2, b, 3.3, b),

Găsim alungirea unei tije cu lungimea dx folosind formula binecunoscută

unde A este aria secțiunii tijei. Înlocuind această expresie în formula anterioară, găsim

În mod similar, definim munca pe care o face momentul încovoietor asupra deplasării unghiulare create de moment (Fig. 3.3, c):

Găsim unghiul de rotație ca

unde J este momentul de inerție al secțiunii tijei față de axa y. După înlocuire, obținem

Să aflăm lucrul forței transversale asupra deplasării (Fig. 3.3, d). Tensiunile tangenţiale şi deplasările de la forţa de forfecare Q z nu sunt distribuite liniar pe secţiunea barei (spre deosebire de solicitările şi alungirile normale din cazurile de încărcare anterioare). Prin urmare, pentru a determina lucrul de forfecare, este necesar să se ia în considerare munca efectuată de solicitările de forfecare în straturile tijei.

Tensiunile tangenţiale de la forţa Q z, care acţionează într-un strat situat la o distanţă z de axa neutră (Fig. 3.3, e), sunt calculate prin formula Zhuravsky

unde Su este momentul static al părții din zona secțiunii transversale situată deasupra acestui strat, luat în raport cu axa y; b este lățimea secțiunii la nivelul stratului luat în considerare. Aceste tensiuni creează o forfecare a stratului printr-un unghi, care, conform legii lui Hooke, este definită ca - modulul de forfecare. Ca urmare, capătul stratului este deplasat de

Lucrul total al tensiunilor tăietoare ale primei stări care acționează asupra capătului acestui strat, asupra deplasărilor celei de-a doua stări se calculează prin integrarea produsului pe aria secțiunii transversale.

După ce înlocuim aici expresiile pentru și obținem

Scoatem de sub valorile integrale care nu depind de z, înmulțim și împărțim această expresie la A, obținem

Aici se introduce coeficientul adimensional,

in functie doar de configuratie si raportul dimensiunilor sectiunilor. Pentru un dreptunghi \u003d 1.2, pentru secțiuni I-beam și casete (A c - zona secțională a peretelui sau într-o secțiune casetă - doi pereți).

Deoarece munca fiecăreia dintre componentele de încărcare considerate (S, Q, M) asupra deplasărilor cauzate de alte componente este egală cu zero, atunci munca totală a tuturor forțelor interne pentru elementul considerat al tijei de lungime dx

În secțiunea unui element al unui sistem de tije spațiale, acționează șase forțe interne (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), prin urmare, pentru aceasta, expresia pentru munca totală a forțelor interne va arăta ca ,

Aici M x - cuplul în tijă; J T este momentul de inerție al tijei în torsiune liberă (rigiditate geometrică la torsiune). În integrand, indicii „și” sunt omiși.

În formulele (3.3) și (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 notăm expresiile analitice ale diagramelor de forțe interne din acțiunea forțelor F (și F (, aS 2 , Q y 2) , Q z 2 , M x2 , M y2 , M r2 - descrieri ale diagramelor forțelor interne din forța F 2 .

Teoreme asupra sistemelor elastice

Structura formulelor (3.3) și (3.4) arată că ele sunt „simetrice” față de stările 1 și 2, adică munca forțelor interne ale stării 1 asupra deplasărilor stării 2 este egală cu munca forțele stării 2 asupra deplasărilor stării 1 Dar conform (3.2)

Prin urmare, dacă munca forțelor interne este egală, atunci munca forțelor externe este egală - Această afirmație se numește teorema muncii de reciprocitate (teorema lui Betty, 1872).

Pentru un sistem de tije încărcat cu o forță F 1 (Fig. 3.4, a), luăm ca posibilă deplasare starea deformată care a apărut când a fost încărcat cu o forță F 2 (Fig. 3.4, b). Pentru acest sistem, conform teoremei Betti 1- Dacă punem , atunci obținem

Această formulă exprimă teorema lui Maxwell (1864) privind reciprocitatea deplasărilor: deplasarea punctului de aplicare a primei forțe unitare în direcția sa, cauzată de acțiunea celei de-a doua forțe unitare, este egală cu deplasarea punctului de aplicare. a celei de-a doua forțe unitare în direcția sa, cauzată de acțiunea primei forțe unitare. Această teoremă poate fi aplicată și sistemului din fig. 3.2. Dacă setăm = 1 N (secțiunea 3.1.2), atunci obținem egalitatea deplasărilor generalizate .

Să considerăm un sistem static nedeterminat cu suporturi cărora li se poate da deplasarea necesară, luată pe cât posibil (Fig. 3.4, c, d). În prima stare, deplasăm suportul 1 și în a doua - setăm rotația ansamblului cu un unghi - În acest caz, reacțiile vor avea loc în prima stare și , iar în a doua - i . Conform teoremei de reciprocitate a muncii, scriem Dacă setăm (aici dimensiunea = m, iar valoarea este adimensională), atunci obținem

Această egalitate este numerică, deoarece dimensiunea reacției = H, a = N-m. Astfel, reacția R 12 în legătura fixă ​​1, care are loc atunci când legătura 2 este deplasată cu unu, este numeric egală cu reacția care are loc în legătura 2 cu o deplasare unitară a legăturii 1. Această afirmație se numește teorema reciprocității reacției.

Teoremele prezentate în această secțiune sunt utilizate pentru calculul analitic al sistemelor static nedeterminate.

Definiţia displacements

Formula generală de deplasare

Pentru a calcula deplasările care apar în sistemul de tije sub acțiunea unei sarcini date (starea 1), este necesar să se formeze o stare auxiliară a sistemului în care acționează o forță unitară, lucrând la deplasarea dorită (starea 2) . Aceasta înseamnă că la determinarea deplasării liniare este necesar să se precizeze o forță unitară F 2 = 1 N aplicată în același punct și în aceeași direcție în care urmează să fie determinată deplasarea. Dacă este necesar să se determine unghiul de rotație al oricărei secțiuni, atunci în această secțiune se aplică un singur moment F 2 = 1 N m. După aceea, este compilată ecuația de energie (3.2), în care starea 2 este luată ca cea principală și cea deformată

starea 1 este tratată ca o mișcare virtuală. Din această ecuație se calculează deplasarea dorită.

Să găsim deplasarea orizontală a punctului B pentru sistemul din fig. 3.5, a. Pentru ca deplasarea dorită D 21 să se încadreze în ecuația lucrărilor (3.2), luăm ca stare principală deplasarea sistemului sub acțiunea unei forțe unitare F 2 - 1 N (starea 2, Fig. 3.5, b). Vom considera starea deformată reală a structurii ca o posibilă deplasare (Fig. 3.5, a).

Lucrarea forțelor externe ale stării 2 asupra deplasărilor stării 1 se găsește ca Conform (3.2),

prin urmare, deplasarea dorită

Deoarece (secțiunea 3.1.4), munca forțelor interne ale stării 2 asupra deplasărilor stării 1 se calculează prin formula (3.3) sau (3.4). Inlocuind in expresia (3.7) (3.3) munca fortelor interne ale unui sistem de tije plate, gasim

Pentru utilizarea ulterioară a acestei expresii, este recomandabil să se introducă conceptul de diagrame unice ale factorilor de forță interni, i.e. dintre care primele două sunt adimensionale, iar dimensiunea . Rezultatul va fi

Aceste integrale trebuie înlocuite cu expresii pentru diagramele de distribuție a forțelor interne corespunzătoare din sarcina care acționează și iar din forte F 2 = 1. Expresia rezultata se numeste formula lui Mohr (1881).

La calcularea sistemelor de bare spațiale, formula (3.4) trebuie utilizată pentru a calcula munca totală a forțelor interne, apoi se va dovedi

Este destul de evident că expresiile pentru diagramele forțelor interne S, Q y , Q z , M x, M y, M g și valorile caracteristici geometrice secțiunile A, J t, Jy, J, pentru secțiunea a n-a corespunzătoare. Pentru a scurta notația în notația acestor mărimi, indicele „i” este omis.

3.2.2. Cazuri particulare de determinare a deplasărilor

Formula (3.8) este utilizată în cazul general al unui sistem de tije plane, dar în unele cazuri poate fi simplificată semnificativ. Luați în considerare cazuri speciale de implementare a acestuia.

1. Dacă deformațiile din forțele longitudinale pot fi neglijate, ceea ce este tipic pentru sistemele de grinzi, atunci formula (3.8) se va scrie ca

2. Dacă un sistem plat constă numai din grinzi îndoite cu pereți subțiri cu un raport l / h> 5 pentru console sau l / h> 10 pentru trave (I și h sunt lungimea grinzii și înălțimea secțiunii), atunci, de regulă , energia deformarii la încovoiere depășește semnificativ energia de deformare din forțele longitudinale și transversale, astfel încât acestea pot fi ignorate în calculul deplasărilor. Apoi formula (3.8) ia forma

3. Pentru ferme, ale căror tije, sub încărcarea nodală, suferă în principal forțe longitudinale, putem presupune că M \u003d 0 și Q \u003d 0. Apoi deplasarea nodului este calculată prin formula

Integrarea se realizează pe lungimea fiecărei tije, iar însumarea se realizează pe toate tijele. Ținând cont de faptul că forța S u in i-m tija iar aria secțiunii transversale nu se modifică pe lungimea sa, putem simplifica această expresie:

Cu toată aparenta simplitate a acestei formule, calculul analitic al deplasărilor în ferme este foarte laborios, deoarece necesită determinarea forțelor din toate tijele de ferme din sarcina care acționează () și dintr-o forță unitară () aplicată în punctul a cărui deplasare necesită a fi gasit.

3.2.3. Metodologie și exemple pentru determinarea deplasărilor

Luați în considerare calculul integralei Mohr prin metoda lui A. N. Vereshchagin (1925). Integrala lui Mohr are forma (3.8), unde ca D 1 , D 2 pot apărea diagrame ale momentelor încovoietoare, ale forțelor longitudinale sau transversale. Cel puțin una dintre diagramele () din integrand este liniară sau liniară pe bucăți, deoarece este construită dintr-o singură sarcină. Prin urmare, pentru

Prima dintre integrale este numeric egală cu aria subgrafului (umbrită în Fig. 3.6), iar a doua este momentul static al acestei zone în raport cu axa. Momentul static poate fi scris ca , unde este coordonata pozitiei centrului de greutate al zonei (punctul A). Având în vedere ceea ce s-a spus, obținem

(3.13)

Regula lui Vereshchagin este formulată după cum urmează: dacă cel puțin una dintre diagrame este liniară pe diagramă, atunci integrala Mohr este calculată ca produsul ariei unui

La calcularea structurilor în mediul Mathcad, nu este nevoie să utilizați regula Vereshchagin, deoarece puteți calcula integrala prin integrare numerică.

Exemplul 3.1(Fig. 3.7, a). Grinda este încărcată cu două forțe situate simetric. Aflați deplasările punctelor de aplicare a forțelor.

1. Să construim o diagramă a momentelor încovoietoare M 1 din forțele F 1 . Reacții de sprijin Moment maxim de încovoiere sub forță

2. Deoarece sistemul este simetric, deviațiile sub forțe vor fi aceleași. Ca stare auxiliară, luăm încărcarea grinzii cu două forțe unitare F 2 = 1 N, aplicate în aceleași puncte cu forțele F 1

(Fig. 3.7, b). Diagrama momentelor încovoietoare pentru această încărcare este similară cu cea anterioară, iar momentul încovoietor maxim M 2max = 0,5 (L-b).

3. Încărcarea sistemului de către două forțe din a doua stare se caracterizează prin forța generalizată F 2 și deplasarea generalizată , care creează munca forțelor externe asupra deplasării stării 1, egală cu . Să calculăm deplasarea folosind formula (3.11). Înmulțind diagramele cu secțiuni conform regulii Vereshchagin, găsim

După înlocuirea valorilor primim

Exemplul 3.2. Aflați deplasarea orizontală a suportului mobil al cadrului în formă de U încărcat cu forța F x (fig. 3.8, a).

1. Să construim o diagramă a momentelor încovoietoare din forța F 1 Reacții de sprijin . Momentul încovoietor maxim sub forța F 1

2. Ca stare auxiliară luăm încărcarea grinzii cu o forță orizontală unitară F 2 aplicată în punctul B (Fig. 3.8, b). Construim o diagramă a momentelor încovoietoare pentru acest caz de încărcare. Reacții de susținere A 2y \u003d B 2y \u003d 0, A 2x \u003d 1. Moment încovoietor maxim.

3. Calculăm deplasarea după formula (3.11). Pe secțiunile verticale, produsul este zero. Pe o secțiune orizontală, graficul M 1 nu este liniar, dar graficul este liniar. Înmulțind diagramele prin metoda Vereshchagin, obținem

Produsul este negativ, deoarece diagramele se află pe părți opuse. Valoarea negativă obținută a deplasării indică faptul că direcția sa reală este opusă direcției forței unitare.

Exemplul 3.3(Fig. 3.9). Găsiți unghiul de rotație al secțiunii grinzii cu două suporturi sub forță și găsiți poziția forței la care acest unghi va fi maxim.

1. Să construim o diagramă a momentelor încovoietoare M 1 din forța F 1. Pentru a face acest lucru vom găsi reacția de sprijin A 1. Din ecuația de echilibru pentru sistemul ca întreg aflați.Momentul încovoietor maxim sub forța Fj

2. Ca stare auxiliară, luăm încărcarea fasciculului cu un singur moment F 2 \u003d 1 Nm în secțiunea a cărei rotație trebuie determinată (Fig. 3.9, b). Construim o diagramă a momentelor încovoietoare pentru acest caz de încărcare. Reacții de susținere A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L, momente încovoietoare

Ambele momente sunt negative, deoarece sunt îndreptate în sensul acelor de ceasornic. Diagramele sunt construite pe o fibră întinsă.

3. Calculăm unghiul de rotație după formula (3.11), efectuând înmulțirea pe două secțiuni,

Notând , puteți obține această expresie într-o formă mai convenabilă:

Graficul dependenței unghiului de rotație de poziția forței F 1 este prezentat în fig. 3.9, c. Diferențiând această expresie, de condiția găsim poziția forței la care unghiul de înclinare al grinzii sub ea va fi cel mai mare în valoare absolută. Acest lucru se va întâmpla la valori egale cu 0,21 și 0,79.

Principiul posibilelor deplasări permite rezolvarea unei game largi de sarcini privind echilibrul sistemelor mecanice - găsirea forțelor active necunoscute, determinarea reacțiilor legăturilor, găsirea pozițiilor de echilibru ale unui sistem mecanic sub acțiunea unui sistem de forțe aplicat. . Să ilustrăm acest lucru cu exemple specifice.

Exemplul 1. Aflați mărimea forței P care ține prisme grele netede cu mase în stare de echilibru. Unghiul de teșire al prismelor este (Fig. 73).

Soluţie. Să folosim principiul posibilelor deplasări. Să spunem sistemului posibila deplasare și să calculăm lucrul posibil al forțelor active:

Lucrul posibil al gravitației este zero, deoarece forța este perpendiculară pe vectorul elementar de deplasare al punctului de aplicare a forței. Înlocuind valoarea aici și echivalând expresia cu zero, obținem:

Deoarece , atunci expresia dintre paranteze este egală cu zero:

De aici găsim

Exemplul 2. O grindă omogenă AB cu lungimea și greutatea P, încărcată cu o pereche de forțe cu un moment dat M, este fixată așa cum se arată în fig. 74 și este în repaus. Determinați reacția tijei BD dacă formează un unghi a cu orizontul.

Soluţie. Sarcina diferă de cea anterioară prin aceea că aici se cere să se găsească reacția unei legături ideale. Dar în ecuația muncii care exprimă principiul posibilelor deplasări, reacțiile legăturilor ideale nu sunt incluse. În astfel de cazuri, principiul posibilelor deplasări ar trebui aplicat împreună cu principiul eliberării de legături.

Să aruncăm mental tija BD și să considerăm reacția ei S ca o forță activă necunoscută ca mărime. După aceea, vom informa sistemul despre o posibilă mișcare (cu condiția ca această conexiune să fie complet absentă). Aceasta va fi o rotație elementară a fasciculului AB la un unghi în jurul axei balamalei A într-o direcție sau alta (în Fig. 74 - în sens invers acelor de ceasornic). Deplasările elementare ale punctelor de aplicare a forțelor active și reacția S aferentă acestora sunt egale cu:

Întocmim ecuația muncii

Echivalând cu zero expresia din paranteze, de aici găsim

Exemplul 3. O tijă omogenă OA este fixată cu o greutate folosind o balama cilindrică O și un arc AB (Fig. 75). Determinați pozițiile în care tija poate fi în echilibru dacă constanta arcului este egală cu k, lungimea naturală a arcului - iar punctul B se află pe aceeași verticală cu punctul O.

Soluţie. Două forțe active sunt aplicate tijei OA - greutatea proprie și forța elastică a arcului unde este unghiul format de tijă cu verticala OB. Legăturile suprapuse sunt ideale (în acest caz, există o singură legătură - balama O).

Informam sistemul despre o posibilă deplasare - o rotație elementară a tijei în jurul axei balamalei O sub un unghi, calculăm posibilul lucru al forțelor active și o echivalăm cu zero:

Inlocuind aici expresia pentru forta F si valoarea

după transformări simple obținem următoarele ecuație trigonometrică pentru a determina unghiul (p la echilibrul tijei:

Ecuația definește trei valori pentru unghi:

Prin urmare, tija are trei poziții de echilibru. Deoarece primele două poziții de echilibru există dacă condiția este îndeplinită. Echilibrul există întotdeauna.

În concluzie, observăm că principiul posibilelor deplasări poate fi aplicat și sistemelor cu constrângeri neideale. Accentul pe idealitatea legăturilor se pune în formularea principiului cu un singur scop - de a arăta că ecuațiile de echilibru ale sistemelor mecanice pot fi compuse fără a include reacțiile legăturilor ideale în ele, simplificând astfel calculele.

Pentru sistemele cu legături non-ideale, principiul posibilelor deplasări ar trebui reformulat astfel: pentru echilibrul unui sistem mecanic cu legături de restricție, printre care există legături neideale, este necesar și suficient ca posibila lucrare a activului forțele și reacțiile legăturilor non-ideale este egală cu zero. Este posibil, totuși, să se renunțe la reformularea principiului, clasificând în mod convențional reacțiile legăturilor neideale ca forțe active.

Întrebări pentru autoexaminare

1. Care este caracteristica principală a unui sistem mecanic neliber în comparație cu unul liber?

2. Ce se numește posibilă deplasare? Dă exemple.

3. Cum se determină variațiile în coordonatele punctelor sistemului în timpul posibilei sale deplasări (specificați trei moduri)?

4. Cum sunt clasificate legăturile în funcție de tipul ecuațiilor lor? Dați exemple de obligațiuni care dețin și nu dețin, staționare și non-staționare.

5. În ce caz conexiunea se numește ideală? Nu este ideal?

6. Dați o formulare verbală și o notare matematică a principiului deplasărilor posibile.

7. Cum este formulat principiul posibilelor deplasări pentru sistemele care conțin legături imperfecte?

8. Enumeraţi principalele tipuri de probleme rezolvate folosind principiul posibilelor deplasări.

Exerciții

Folosind principiul posibilelor deplasări, rezolvați următoarele probleme din colecția de I.V. Edițiile Meshchersky 1981: 46,1; 46,8; 46,17; 2,49; 4,53.

CLASIFICAREA RELATIILOR

Conceptul de conexiuni introdus în § 3 nu acoperă toate tipurile lor. Deoarece chiar și metodele luate în considerare pentru rezolvarea problemelor din mecanică sunt în general aplicabile sistemelor care nu au nicio constrângere, să luăm în considerare problema constrângerilor și clasificarea lor mai detaliat.

Legăturile sunt orice fel de restricții care sunt impuse pozițiilor și vitezelor punctelor unui sistem mecanic și sunt efectuate indiferent de ce forțe date acționează asupra sistemului. Să vedem cum sunt clasificate aceste conexiuni.

Relațiile care nu se schimbă cu timpul se numesc staționare, iar cele care se schimbă cu timpul se numesc non-staționare.

Legăturile care impun restricții asupra pozițiilor (coordonatele) punctelor sistemului se numesc geometrice, iar cele care impun și restricții asupra vitezelor (primele derivate ale coordonatelor în raport cu timpul) punctelor sistemului se numesc cinematice sau diferențiale.

Dacă conexiunea diferențială poate fi reprezentată ca fiind geometrică, adică dependența dintre vitezele stabilite de această conexiune poate fi redusă la dependența dintre coordonate, atunci o astfel de conexiune se numește integrabilă, iar în caz contrar - neintegrabilă.

Constrângerile diferențiale geometrice și integrabile se numesc constrângeri golonomice, iar constrângerile diferențiale neintegrabile sunt numite nonholonomice.

După tipul de constrângeri, sistemele mecanice sunt, de asemenea, împărțite în holonomice (cu constrângeri holonomice) și nonholonomice (conținând constrângeri nonholonomice).

În cele din urmă, ei disting între legăturile restrictive (restricțiile impuse de acestea sunt păstrate în orice poziție a sistemului) și cele nereținătoare, care nu posedă această proprietate (cum se spune, sistemul se poate „elibera” de astfel de legături). . Luați în considerare exemple.

1. Toate constrângerile considerate la § 3 sunt geometrice (holonomice) și, în plus, staționare. Lnft în mișcare prezentat în Fig. 271, a, va fi pentru sarcina aflată în ea, când se consideră poziția încărcăturii în raport cu axele Ox, o legătură geometrică nestaționară (planșeul cabinei care implementează legătura își schimbă poziția în spațiu în timp) .

2 Poziția unei roți care rulează fără alunecare (vezi Fig. 328) este determinată de coordonatele centrului C al roții și unghiul de rotație. La rulare, starea sau

Aceasta este o conexiune diferențială, dar ecuația rezultată este integrată și dă , adică se reduce la o relație între coordonate. Prin urmare, constrângerea impusă este holonomică.

3. Spre deosebire de roata pentru o minge care rulează fără alunecare pe un plan grosier, condiția ca viteza unui punct al mingii care atinge planul să fie egală cu zero nu poate fi redusă (când centrul mingii nu se mișcă în interior). o linie dreaptă) la unele dependenţe între coordonate, determinând poziţia mingii. Acesta este un exemplu de legătură non-haloiom. Un alt exemplu este dat de constrângerile impuse mișcării controlate. De exemplu, dacă o condiție (cuplaj) este impusă mișcării unui punct (rachetă) ca viteza acestuia în orice moment de timp să fie direcționată către un alt punct în mișcare (aeronava), atunci această condiție nu poate fi redusă la nicio dependență între coordonate fie, iar constrângerea este nonholonomică.

4. În § 3 racordurile prezentate în fig. se țin, iar în fig. 8 și 9 - nereținere (în Fig. 8, a bila poate părăsi suprafața, iar în Fig. 9 - se deplasează spre punctul A, strivind firul). Ținând cont de particularitățile legăturilor care nu rețin, am întâlnit în Problemele 108, 109 (§ 90) și în Problema 146 (§ 125).

Să trecem la considerarea unui alt principiu al mecanicii, care stabilește condiția generală pentru echilibrul unui sistem mecanic. Prin echilibru (vezi § 1) înțelegem starea sistemului în care toate punctele sale sub acțiunea forțelor aplicate sunt în repaus față de cadrul inerțial de referință (se consideră așa-numitul echilibru „absolut”). În același timp, vom considera că toate comunicațiile suprapuse pe sistem sunt staționare și nu vom prevedea acest lucru în mod specific de fiecare dată în viitor.

Să introducem conceptul de lucru posibil ca lucru elementar pe care l-ar putea face forța care acționează asupra unui punct material la o deplasare care coincide cu posibila deplasare a acestui punct. Vom nota munca posibilă a forței active cu simbolul, iar munca posibilă a reacției legăturii N cu simbolul

Să dăm acum definiție generală conceptul de legături ideale, pe care l-am folosit deja (vezi § 123): legăturile ideale sunt acelea pentru care suma lucrărilor elementare ale reacțiilor lor la orice deplasare posibilă a sistemului este egală cu zero, adică.

Dată în § 123 și exprimată prin egalitate (52), condiția de idealitate a legăturilor, atunci când sunt simultan staționare, corespunde definiției (98), întrucât la legăturile staționare, fiecare deplasare reală coincide cu una dintre cele posibile. . Prin urmare, exemple de conexiuni ideale vor fi toate exemplele date în § 123.

Pentru a determina condiția necesară de echilibru, demonstrăm că dacă un sistem mecanic cu constrângeri ideale este în echilibru prin acțiunea forțelor aplicate, atunci pentru orice posibilă deplasare a sistemului, egalitatea

unde este unghiul dintre forță și posibila deplasare.

Să desemnăm rezultatele tuturor forțelor și reacțiilor active (atât externe, cât și interne) ale legăturilor care acționează într-un anumit punct al sistemului, respectiv, prin . Apoi, deoarece fiecare dintre punctele sistemului este în echilibru și, în consecință, suma muncii acestor forțe pentru orice mișcare a punctului va fi, de asemenea, egală cu zero, adică . Compilând astfel de egalități pentru toate punctele sistemului și adunându-le termen cu termen, obținem

Dar, deoarece conexiunile sunt ideale, ele reprezintă posibile deplasări ale punctelor sistemului, atunci a doua sumă conform condiției (98) va fi egală cu zero. Atunci prima sumă este, de asemenea, egală cu zero, adică egalitatea (99) este valabilă. Astfel, am demonstrat că egalitatea (99) exprimă condiția necesară pentru echilibrul sistemului.

Să arătăm că această condiție este de asemenea suficientă, adică dacă forțele active care satisfac ecuația (99) sunt aplicate punctelor unui sistem mecanic în repaus, atunci sistemul va rămâne în repaus. Să presupunem contrariul, adică că sistemul va începe să se miște și unele dintre punctele sale vor face deplasări reale. Apoi forțele vor lucra asupra acestor deplasări și, conform teoremei privind modificarea energiei cinetice, va fi:

unde, evident, din moment ce sistemul era inițial în repaus; prin urmare, și . Dar în cazul conexiunilor staționare, deplasările efective coincid cu unele dintre posibilele deplasări, iar aceste deplasări trebuie să aibă și ceva care contrazice condiția (99). Astfel, atunci când forțele aplicate satisfac condiția (99), sistemul nu poate părăsi starea de repaus, iar această condiție este condiție suficientă echilibru.

Din dovedit rezultă următorul principiu al posibilelor deplasări: pentru echilibrul unui sistem mecanic cu conexiuni ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă deplasare a sistemului să fie egală. la zero. Condiția de echilibru formulată matematic este exprimată prin egalitate (99), care se mai numește și ecuația locurilor de muncă posibile. Această egalitate poate fi reprezentată și în formă analitică (vezi § 87):

Principiul posibilelor deplasări stabilește o condiție generală pentru echilibrul unui sistem mecanic, care nu necesită luarea în considerare a echilibrului părților (corpurilor) individuale ale acestui sistem și permite, cu legături ideale, excluderea din considerare a tuturor reacțiilor necunoscute anterior ale obligațiuni.

Figura 2.4

Soluţie

Înlocuim sarcina distribuită cu o forță concentrată Q = qDH. Această forță este aplicată în mijlocul segmentului D.H.- la punct L.

Putere F se descompune în componente, proiectându-l pe axa: orizontală F x cosαși verticală F y sinα.

Figura 2.5

Pentru a rezolva problema folosind principiul posibilelor deplasări, este necesar ca structura să se poată deplasa și, în același timp, să existe o reacție necunoscută în ecuația de lucru. în sprijinul A Reacția este descompusă în componente. X A, Y A.

Pentru determinare X A modifica designul suportului A astfel încât punctul A nu se putea deplasa decât orizontal. Exprimăm deplasările punctelor structurii prin posibila rotație a piesei CDBîn jurul punctului B in colt δφ 1, parte AKC construcția în acest caz se rotește în jurul punctului C V1- centrul de rotație instantaneu (Figura 2.5) printr-un unghi δφ 2, și puncte în mișcare Lși C- voi

δS L = BL∙δφ 1;
δS C = BC∙δφ 1.

În același timp

δS C = CC V1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1.

Este mai convenabil să se compună ecuația de lucru prin lucrul momentelor forțelor date, raportate la centrele de rotație.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0.

Reacţie Y A nu face treaba. Transformând această expresie, obținem

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0.

Reducerea cu δφ 1, obținem o ecuație din care este ușor de găsit X A.

Pentru determinare Y A Structura de sprijin A schimba astfel încât la mutarea punctului A numai forța a făcut treaba Y A(Figura 2.6). Să luăm pentru posibila deplasare a unei părți a structurii bdc rotatie in jurul unui punct fix B — δφ 3.

Figura 2.6

Pentru punct C δS C = BC∙δφ 3, centru de rotație instantaneu pentru o parte a structurii AKC va fi un punct C V2, și mutând punctul C exprimat.

Este necesar și suficient ca suma muncii, a tuturor forțelor active aplicate sistemului la orice posibilă deplasare a sistemului, să fie egală cu zero.

Numărul de ecuații care pot fi compilate pentru un sistem mecanic, pe baza principiului posibilelor deplasări, este egal cu numărul de grade de libertate ale acestui sistem mecanic.

Literatură

• Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică. Proc. pentru colegii tehnice.- ed. a X-a, revăzută. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 1986.- 416 p., ill.
• Cursul principal de mecanică teoretică (partea întâi) N. N. Bukhgolts, editura „Nauka”, Colegiul editorial principal al literaturii fizice și matematice, Moscova, 1972, 468 pagini.

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți care este „Principiul mișcărilor posibile” în alte dicționare:

principiul miscarilor posibile

Unul dintre principiile variaționale ale mecanicii, care stabilește condiția generală pentru echilibrul unei mecanice. sisteme. După V. p. p., pentru echilibrul mecanicului. sisteme cu constrângeri ideale (vezi CONEXIUNI MECANICE) este necesar și suficient ca suma lucrărilor dAi… … Enciclopedia fizică

Dicţionar enciclopedic mare

PRINCIPIUL MIȘCĂRILOR POSIBILE, pentru echilibrul unui sistem mecanic, este necesar și suficient ca suma muncii tuturor forțelor care acționează asupra sistemului pentru orice posibilă deplasare a sistemului să fie egală cu zero. Principiul posibilului deplasare se aplică atunci când… … Dicţionar enciclopedic

Unul dintre principiile variaționale ale mecanicii (vezi Principiile variaționale ale mecanicii), care stabilește o condiție generală pentru echilibrul unui sistem mecanic. Potrivit V. p. p., pentru echilibrul unui sistem mecanic cu conexiuni ideale (vezi Conexiuni ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Principiul vitezelor virtuale, principiul variațional diferențial al mecanicii clasice, care exprimă condițiile cele mai generale pentru echilibrul sistemelor mecanice constrânse de conexiuni ideale. Potrivit lui V. p. p. mechan. sistemul este in echilibru... Enciclopedie matematică

Pentru echilibrul unui sistem mecanic, este necesar și suficient ca suma muncii tuturor forțelor care acționează asupra sistemului pentru orice posibilă deplasare a sistemului să fie egală cu zero. Principiul posibilelor deplasări este aplicat în studiul condițiilor de echilibru ...... Dicţionar enciclopedic

Pentru echilibru mecanic sistem este necesar și suficient ca suma muncii tuturor forțelor care acționează asupra sistemului pentru orice posibilă deplasare a sistemului să fie egală cu zero. V. p. p. este utilizat în studiul condițiilor de echilibru pentru mecanice complexe. sisteme…… Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

principiul deplasărilor virtuale- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. principiul deplasării virtuale vok. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. principiul deplasărilor virtuale, m; principiul miscarilor posibile, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas

Unul dintre principiile variaționale ale mecanicii, după Roma, pentru o anumită clasă de mișcări mecanice în comparație între ele. sistem este valabil pentru care fizic. valoare, numită acțiune, are cea mai mică (mai precis, staționară) ... ... Enciclopedia fizică

Cărți

• Mecanica teoretică. În 4 volume. Volumul 3: Dinamica. Mecanica analitica. Textele prelegerilor. Vultur al Ministerului Apărării al Federației Ruse, Bogomaz Irina Vladimirovna. Manualul conține două părți ale unui curs unificat de mecanică teoretică: dinamică și mecanică analitică. În prima parte, prima și a doua problemă de dinamică sunt luate în considerare în detaliu, de asemenea...