Derivată a unei funcții cu două variabile. Derivate parțiale de ordinul doi. Probleme cu funcții trigonometrice și funcții cu trei variabile

17.09.2021Titlu: Calcul

Derivate parțiale ale unei funcții a două variabile.
Concept și exemple de soluții

În această lecție vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom lua în considerare, probabil, cea mai comună sarcină tematică - găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferența totală a funcției. Studenții cu fracțiune de normă, de regulă, întâlnesc derivate parțiale în anul I în semestrul II. Mai mult decât atât, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale apare aproape întotdeauna la examen.

Pentru învăţare eficientă următorul material pentru tine necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivate „obișnuite” ale funcțiilor unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul?Și Derivată a unei funcții complexe. Avem nevoie și de un tabel de derivate functii elementareși regulile de diferențiere, este cel mai convenabil dacă este la îndemână în formă tipărită. Puteți obține material de referință pe pagină Formule și tabele matematice.

Să repetăm rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: – funcţia a două variabile.

Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.

Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile reprezintă cel mai adesea o suprafață în spațiu tridimensional (plan, cilindru, sferă, paraboloid, hiperboloid etc.). Dar, de fapt, aceasta este mai mult geometrie analitică, iar pe agenda noastră este analiza matematică, pe care profesorul meu universitar nu mi-a lăsat-o niciodată să o scriu și este „punctul meu forte”.

Să trecem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei care au băut câteva cești de cafea și se găsesc la un material incredibil de dificil: derivatele parțiale sunt aproape la fel cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe, pe care le vom cunoaște chiar acum:

...da, apropo, pentru acest subiect pe care l-am creat carte mica pdf, care vă va permite să vă „prindeți dinții” în doar câteva ore. Dar utilizând site-ul, veți obține cu siguranță același rezultat - poate puțin mai lent:

Exemplul 1

Găsiți derivatele parțiale de ordinul I și II ale funcției

Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Denumiri:
sau – derivată parțială în raport cu „x”
sau – derivată parțială în raport cu „y”

Sa incepem cu . Când găsim derivata parțială față de „x”, variabila este considerată o constantă (număr constant).

Comentarii asupra acțiunilor efectuate:

(1) Primul lucru pe care îl facem atunci când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub prim cu indice.

Atentie, important! NU PIERDERM abonamente în timpul procesului de soluționare. În acest caz, dacă desenați o „loc” undeva fără , atunci profesorul, cel puțin, îl poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din punct pentru neatenție).

(2) Folosim regulile de diferențiere , . Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate cu ușurință într-un singur pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatului, apoi l-am scos din paranteze. Adică, în această situație nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(3) Folosim derivate tabulare și .

(4) Să simplificăm sau, după cum îmi place să spun, să „ajustăm” răspunsul.

Acum . Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilaconsiderată o constantă (număr constant).

(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere , . În primul termen scoatem constanta din semnul derivatei, în al doilea termen nu putem scoate nimic deoarece este deja o constantă.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Să schimbăm mental toate „X”-urile din tabel cu „I”. Adică, acest tabel este la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice literă). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și .

Care este sensul derivatelor parțiale?

În esență, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă derivat „obișnuit”.:

- Acest funcții, care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi, respectiv. Deci, de exemplu, funcția caracterizează abruptul „creșterilor” și „pantelor” suprafeteîn direcția axei absciselor, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția axei ordonatelor.

! Notă : aici ne referim la direcții care paralel axele de coordonate.

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm în considerare un punct specific din plan și să calculăm valoarea funcției („înălțimea”) la acesta:
– și acum imaginează-ți că ești aici (LA suprafață).

Să calculăm derivata parțială în raport cu „x” la un punct dat:

Semn negativ Derivata „x” ne vorbește despre in scadere funcţionează într-un punct în direcţia axei absciselor. Cu alte cuvinte, dacă facem un mic, mic (infinitezimal) pas spre vârful axei (paralel cu această axă), apoi vom coborî pe panta suprafeței.

Acum aflăm natura „terenului” în direcția axei ordonatelor:

Derivata față de „y” este pozitivă, prin urmare, într-un punct din direcția axei funcția crește. Pentru a spune simplu, aici așteptăm o urcare în urcare.

În plus, derivata parțială la un punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia corespunzătoare. Cu cât valoarea rezultată este mai mare modulo– cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu cât este mai aproape de zero, cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția axei absciselor este mai abruptă decât „muntele” în direcția axei ordonatelor.

Dar acelea erau două căi private. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct de pe o suprafață dată) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, există interesul de a realiza o „hartă de navigație” generală care să ne informeze despre „peisajul” suprafeței. dacă este posibilîn fiecare punct domeniul de definire al acestei funcţii de-a lungul tuturor căilor disponibile. Despre aceasta și altele lucruri interesante Vă voi spune într-una dintre lecțiile următoare, dar deocamdată să revenim la partea tehnică a problemei.

Să sistematizăm regulile elementare aplicate:

1) Când facem diferență față de , variabila este considerată o constantă.

2) Când diferenţierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta) prin care se realizează diferențierea.

Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Denumiri:
sau – derivata a doua în raport cu „x”
sau – derivata a doua în raport cu „y”
sau - amestecat derivată a lui „x prin igr”
sau - amestecat derivata lui "Y"

Nu există probleme cu derivata a doua. In termeni simpli, a doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:

La început hai sa le gasim mixte derivate:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiam din nou, dar în acest caz - de data aceasta în funcție de „Y”.

De asemenea:

ÎN exemple practice se poate baza pe următoarea egalitate:

Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Aflați derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, să o luăm și diferențiază-l prin „x” din nou:

De asemenea:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, întrucât nu există egalități miraculoase care să le verifice.

Derivatele secunde găsesc, de asemenea, aplicații practice largi, în special, sunt utilizate în problema găsirii extremele unei funcţii a două variabile. Dar totul are timpul lui:

Exemplul 2

Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției în punctul. Găsiți derivate de ordinul doi.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă aveți dificultăți în diferențierea rădăcinilor, reveniți la lecție Cum să găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța să găsiți astfel de derivate „din mers”.

Să ne îmbunătățim la exemple mai complexe:

Exemplul 3

Verifică asta . Notați diferența totală de ordinul întâi.

Soluție: Aflați derivatele parțiale de ordinul întâi:

Atenție la indicele: , lângă „X” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Această notă poate fi foarte utilă pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.

Comentarii suplimentare:

(1) Luăm toate constantele în afara semnului derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei; în acest caz, constanta este .

(2) Sub prim avem produsul a două funcții rămase, prin urmare, trebuie să folosim regula pentru diferențierea produsului .

(3) Nu uitați că aceasta este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: .

Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele au fost efectuate corect.

Să notăm diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.

Diferenţial total de ordinul întâi funcția a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite în formulă. În această situație și în situații similare, cel mai bine este să scrieți semnele diferențiale în numărător:

Și conform solicitărilor repetate ale cititorilor, diferenţial complet de ordinul doi.

Arata cam asa:

Să găsim cu ATENȚIE derivatele „cu o literă” de ordinul 2:

și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt:

Este în regulă dacă ceva pare dificil; poți oricând să revii la derivate mai târziu, după ce ai stăpânit tehnica de diferențiere:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții . Verifică asta . Notați diferența totală de ordinul întâi.

Să ne uităm la o serie de exemple cu funcții complexe:

Exemplul 5

Găsiți derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției.

Soluţie:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .
Notați diferența totală.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției). Nu vă voi da o soluție completă pentru că este destul de simplă.

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

(1) Folosim regula de diferențiere a sumei

(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece nu există nimic în expresie care să depindă de „x” - doar „y”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero). Pentru al doilea termen aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar fi schimbat dacă s-ar fi dat în schimb o funcție - important este că aici produsul a doua functii, Fiecare dintre ele depinde de "X", și, prin urmare, trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.

(1) Primul termen atât la numărător, cât și la numitor conține un „Y”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientilor: . Al doilea termen depinde NUMAI de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape până la sfârșitul lecției, vă voi spune o glumă veche cu Mehmatov pentru ușurare:

Într-o zi, un derivat malefic a apărut în spațiul funcțiilor și a început să diferențieze pe toți. Toate funcțiile sunt împrăștiate în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se transforme! Și o singură funcție nu fuge. Derivatul se apropie de ea și o întreabă:

- De ce nu fugi de mine?

- Ha. Dar nu-mi pasă, pentru că sunt „e la puterea lui X”, iar tu nu-mi vei face nimic!

La care derivatul malefic cu un zâmbet insidios îi răspunde:

- Aici te înșeli, te voi diferenția prin „Y”, așa că ar trebui să fii zero.

Cine a înțeles gluma a stăpânit derivatele, cel puțin la nivelul „C”).

Exemplul 8

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția completă și exemplul problemei sunt la sfârșitul lecției.

Ei bine, asta e aproape tot. În cele din urmă, nu pot să nu le rog iubitorilor de matematică încă un exemplu. Nici măcar nu e vorba de amatori, fiecare are un alt nivel de pregătire matematică – sunt oameni (și nu atât de rari) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complex, cât este greoi din punct de vedere computațional.

Conceptul de funcție a mai multor variabile

Fie n-variabile și fiecărui x 1, x 2 ... x n dintr-un anumit set de x i se atribuie o definiție. numărul Z, atunci funcția Z = f (x 1, x 2 ... x n) a multor variabile este dată pe mulțimea x.

X – definirea zonei de funcție

x 1, x 2 ... x n – variabilă independentă (argumente)

Z – funcția Exemplu: Z=P x 2 1 *x 2 (Volumul cilindrului)

Se consideră Z=f(x;y) – funcția a 2 variabile (x 1, x 2 înlocuit cu x,y). Rezultatele sunt transferate prin analogie la alte funcții ale multor variabile. Zona pentru determinarea funcției a 2 variabile este întregul cordon (oh) sau o parte a acestuia. Numărul de valori ale funcției a 2 variabile este o suprafață în spațiu tridimensional.

Tehnici de construire a graficelor: - Se consideră secțiunea transversală a suprafeței în pătrate || pătrate de coordonate.

Exemplu: x = x 0, zn. pătratul X || 0уz y = y 0 0хz Tipul funcţiei: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

De exemplu: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Înconjurare parabolă(centru(0,1)

Limitele și continuitatea funcțiilor a două variabile

Fie dat Z=f(x;y), atunci A este limita funcției în t.(x 0 ,y 0), dacă pentru orice mulțime arbitrar mică. numărul E>0 este un număr pozitiv b>0, care pentru toate x, y satisface |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z=f(x;y) este continuu intr-un t. (x 0 ,y 0) daca: - este definit in acest t.; - are o finală limită la x, tinde spre x 0 și y spre y 0; - această limită = valoare

funcții în t. (x 0 ,y 0), adică. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0)

Dacă funcţia este continuă în fiecare t. mn-va X, atunci este continuu in aceasta zona

Funcția diferențială, semnificația sa geom. Aplicarea diferenţialului în valori aproximative.

dy=f’(x)∆x – funcție diferențială

dy=dx, adică dy=f ’(x)dx dacă y=x

Din punct de vedere geologic, diferența unei funcții este incrementul ordonatei tangentei trasate la graficul funcției în punctul cu abscisa x 0

Dif-l este utilizat la calcularea aprox. valorile funcției conform formulei: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Cu cât ∆x este mai aproape de x, cu atât rezultatul este mai precis

Derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea

Derivată de ordinul întâi (care se numește parțială)

A. Fie x, y incrementele variabilelor independente x și y la un moment dat din regiunea X. Atunci valoarea egală cu z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y) se numește total increment în punctul x 0, y 0. Dacă fixăm variabila x și dăm incrementul y variabilei y, atunci obținem zу = f(x,y,+ y) – f(x,y)

Derivata parțială a variabilei y se determină în mod similar, adică.

Derivata parțială a unei funcții de 2 variabile se găsește folosind aceleași reguli ca și pentru funcțiile unei variabile.

Diferența este că la diferențierea unei funcții față de variabila x, y este considerat const, iar la diferențierea față de y, x, este considerat const.

Const izolate sunt conectate la o funcție folosind operații de adunare/scădere.

Bound const sunt conectate la o funcție prin operații de înmulțire/împărțire.

Derivată a const izolat = 0

1.4.Funcția diferențială completă a 2 variabile și aplicațiile acesteia

Fie z = f(x,y), atunci

tz = - numit increment complet

Derivată parțială de ordinul 2

Pentru funcțiile continue a 2 variabile, derivatele parțiale mixte de ordinul 2 coincid.

Aplicarea derivatelor parțiale la determinarea derivatelor parțiale ale funcțiilor max și min se numesc extreme.

A. Punctele se numesc max sau min z = f(x,y) dacă există unele segmente astfel încât pentru toate x și y din această vecinătate f(x,y)

T. Dacă este dat un punct extremum al unei funcții de 2 variabile, atunci valoarea derivatelor parțiale în acest punct este egală cu 0, i.e. ,

Punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt numite staționare sau critice.

Prin urmare, pentru a găsi punctele extreme ale unei funcții de 2 variabile, sunt utilizate suficiente condiții extreme.

Fie funcția z = f(x,y) să fie de două ori diferențiabilă și un punct staționar,

1) și maxA<0, minA>0.

1.4.(*)Diferenţial complet. Sensul geometric al diferenţialului. Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative

A. Fie definită funcția y = f(x) într-o anumită vecinătate în puncte. Se spune că o funcție f(x) este diferențiabilă într-un punct dacă incrementul ei în acest punct este , unde este prezentat sub forma (1)

Unde A este o valoare constantă independentă de , la un punct fix x și este infinitezimal la . O funcție relativ liniară A se numește diferența funcției f(x) într-un punct și se notează df() sau dy.

Astfel, expresia (1) poate fi scrisă ca ().

Diferenţialul funcţiei din expresia (1) are forma dy = A. Ca orice funcție liniară, este definită pentru orice valoare în timp ce creșterea funcției trebuie luată în considerare numai pentru cele pentru care + aparține domeniului de definiție al funcției f(x).

Pentru comoditatea scrierii diferenţialului, incrementul este notat cu dx şi se numeşte diferenţialul variabilei independente x. Prin urmare, diferența se scrie ca dy = Adx.

Dacă funcția f(x) este diferențiabilă în fiecare punct al unui anumit interval, atunci diferența sa este o funcție a două variabile - punctul x și variabila dx:

T. Pentru ca funcția y = g(x) să fie diferențiabilă la un moment dat, este necesar și suficient ca ea să aibă o derivată în acest punct și

(*) Dovada. Necesitate.

Fie funcția f(x) diferențiabilă în punct, adică. . Apoi

Prin urmare, derivata f’() există și este egală cu A. Prin urmare, dy = f’()dx

Adecvarea.

Să existe o derivată f’(), adică. = f'(). Atunci curba y = f(x) este un segment tangent. Pentru a calcula valoarea unei funcții într-un punct x, luați un punct într-o vecinătate a acestuia, astfel încât să nu fie dificil să găsiți f() și f’()/

Să fie dată funcția. Deoarece x și y sunt variabile independente, una dintre ele se poate modifica în timp ce cealaltă își menține valoarea. Să dăm variabilei independente x un increment, păstrând valoarea lui y neschimbată. Atunci z va primi un increment, care se numește increment parțial al lui z față de x și este notat cu . Asa de, .

În mod similar, obținem incrementul parțial al lui z peste y: .

Creșterea totală a funcției z este determinată de egalitatea .

Dacă există o limită, atunci se numește derivată parțială a funcției într-un punct față de variabila x și se notează cu unul dintre simbolurile:

Derivatele parțiale față de x într-un punct sunt de obicei notate prin simboluri .

Derivata parțială a lui față de variabila y este definită și notă în mod similar:

Astfel, derivata parțială a unei funcții de mai multe (două, trei sau mai multe) variabile este definită ca fiind derivata unei funcții a uneia dintre aceste variabile, cu condiția ca valorile variabilelor independente rămase să fie constante. Prin urmare, derivatele parțiale ale unei funcții se găsesc folosind formulele și regulile pentru calcularea derivatelor unei funcții a unei variabile (în acest caz, x sau y sunt considerate o valoare constantă, respectiv).

Derivatele parțiale sunt numite derivate parțiale de ordinul întâi. Ele pot fi considerate funcții ale . Aceste funcții pot avea derivate parțiale, care sunt numite derivate parțiale de ordinul doi. Acestea sunt definite și etichetate după cum urmează:

; ;

; .

Diferențiale de ordinul 1 și 2 ale unei funcții a două variabile.

Diferenţialul total al unei funcţii (formula 2.5) se numeşte diferenţială de ordinul întâi.

Formula de calcul a diferenţialului total este următoarea:

(2.5) sau , Unde ,

diferențiale parțiale ale unei funcții.

Fie ca funcția să aibă derivate parțiale continue de ordinul doi. Diferenţialul de ordinul doi este determinat de formulă. Să-l găsim:

De aici: . Simbolic este scris astfel:

INTEGRAL NEDETERMINAT.

Antiderivată a unei funcții, integrală nedefinită, proprietăți.

Se numește funcția F(x). antiderivat pentru o funcție dată f(x), dacă F"(x)=f(x), sau, ceea ce este același, dacă dF(x)=f(x)dx.

Teorema. Dacă o funcție f(x), definită într-un interval (X) de lungime finită sau infinită, are o antiderivată, F(x), atunci are și infinite de antiderivate; toate sunt cuprinse în expresia F(x) + C, unde C este o constantă arbitrară.

Mulțimea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată f(x), definită într-un anumit interval sau pe un segment de lungime finită sau infinită, se numește integrală nedefinită din funcția f(x) [sau din expresia f(x)dx ] și se notează cu simbolul .

Dacă F(x) este una dintre antiderivatele pentru f(x), atunci conform teoremei antiderivate

, unde C este o constantă arbitrară.

Prin definiția unei antiderivate, F"(x)=f(x) și, prin urmare, dF(x)=f(x) dx. În formula (7.1), f(x) este numită funcție integrandă și f( x) dx se numește expresie integrandă.

Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt funcții ale acelorași variabile. Aceste funcții, la rândul lor, pot avea derivate parțiale, pe care le vom numi derivate parțiale a doua (sau derivate parțiale de ordinul doi) ale funcției originale.

De exemplu, o funcție a două variabile are patru derivate parțiale de ordinul doi, care sunt definite și notate după cum urmează:

O funcție de trei variabile are nouă derivate parțiale de ordinul doi:

Derivatele parțiale de ordinul al treilea și superior ale unei funcții a mai multor variabile sunt definite și notate în mod similar: derivata parțială de ordinul unei funcție a mai multor variabile este derivata parțială de ordinul întâi a derivatei parțiale de ordinul aceleiași funcţie.

De exemplu, derivata parțială de ordinul trei a unei funcții este derivata parțială de ordinul întâi în raport cu y a derivatei parțiale de ordinul doi

O derivată parțială de ordinul doi sau mai mare luată în raport cu mai multe variabile diferite se numește derivată parțială mixtă.

De exemplu, derivate parțiale

sunt derivate parțiale mixte ale unei funcții a două variabile.

Exemplu. Găsiți derivate parțiale mixte de ordinul doi ale unei funcții

Soluţie. Găsirea derivatelor parțiale de ordinul întâi

Apoi găsim derivatele parțiale mixte de ordinul doi

Vedem că derivatele parțiale mixte care diferă între ele numai în ordinea diferențierii, adică secvența în care se realizează diferențierea față de diferite variabile, s-au dovedit a fi identic egale. Acest rezultat nu este întâmplător. În ceea ce privește derivatele parțiale mixte, este valabilă următoarea teoremă, pe care o acceptăm fără demonstrație.

Definiție. Derivatele parțiale de ordinul doi ale unei funcții sunt derivatele parțiale ale derivatelor sale parțiale de ordinul întâi.

Notație pentru derivate parțiale de ordinul doi:

Pentru exemple practice, următoarea egalitate este adevărată:

Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi este foarte convenabil să se verifice corectitudinea găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi.

Exemple.

A) Găsiți derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții

Soluţie.

1. Numărăm variabila y

2. Să diferențiem din nou funcția rezultată în raport cu „x”, adică. Să găsim derivata a doua în raport cu „x”:

3. Numărăm variabila X constantă, aplicăm regula de diferențiere a sumei, regula de plasare a factorului constant în afara semnului derivatei și derivata tabulară a funcției de putere:

4. Să diferențiem încă o dată funcția rezultată în raport cu „y”, adică. Să găsim derivata a doua în raport cu „y”:

5. Să găsim derivata mixtă „x cu y”. Pentru a face acest lucru, diferențiam prima derivată față de „x” față de „y”.

5. Să găsim derivata mixtă „y față de x”. Pentru a face acest lucru, diferențiem prima derivată față de „y” față de „x”.

b) Găsiți derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției Verificați că Scrieți diferența totală de ordinul întâi dz.

Soluţie.

1. Să găsim derivate parțiale de ordinul întâi folosind regulile pentru calcularea derivatei unui produs, a sumei, plasând un factor constant în afara semnului derivatei și a integralelor tabulare ale funcțiilor trigonometrice: