Lucru din momentul aplicat pe corp. Munca și puterea forței aplicate unui corp solid. Munca și energia potențială

Aflați: V A , a A , T .

1. Să descriem toate forțele externe pe diagrama sistemului mecanic (Fig. 26):

P A , N A , F tr. , P B , N B , P C , N C .

2. Să exprimăm toate vitezele liniare și unghiulare necesare prin viteza dorită V A (Fig. 26)

ω B = r A = R B ; B B

V B = R B V A ; r B

ω C = V B = R B V A ; 2 R C r B 2 R C

T 1 pozitii.

T 0 = 0 - sistemul era în repaus;

T 1 = TA + T B + T C ;

Corpul A se mișcă înainte;

TA = 0,5 mA VA 2 = mV 2 A

Corpul B efectuează o mișcare de rotație în jurul axei OZ trecând perpendicular pe planul de desen prin punctul O.

Corpul C realizează mișcare plan-paralelă:

T 1 = mV A 2 + 1,125 mV A 2 + 0,75 mV A 2 = 2,875 mV A 2 .

4. Să determinăm suma muncii efectuate de toate forțele externe la o deplasare dată s.

Deoarece mișcările punctelor se modifică proporțional cu viteza lor,

SC = R B S

2r B

∑ A i E = 1,72mqS − 0,1mqS − 0,5mqS = 1,12mqS .

Deoarece valoarea sumei muncii tuturor forțelor externe este pozitivă, direcția reală a vitezei V A coincide cu cea indicată în fig. 26.

5. Aflați valoarea vitezei V A din formula T 1 − T 0 = ∑ A i E

2,875 mV A 2 = 1,12 mqS

f (x, y, z, t) = 0.

6. ELEMENTE DE MECANICA ANALITICA

6.1. Conexiunile și ecuațiile lor

Vom începe studiul nostru asupra elementelor mecanicii analitice cu o analiză mai detaliată a conexiunilor.

Un punct material neliber este un punct a cărui libertate de mișcare este limitată. Corpurile care limitează mișcarea unui punct se numesc constrângeri. Fie conexiunea să reprezinte suprafața unui corp de-a lungul căreia se mișcă un punct. Atunci coordonatele punctului trebuie să satisfacă ecuația acestei suprafețe, numită ecuația conexiunii:

f (x i, y i, z i) = 0.

Sistemele disting între liber și non-liber.

Un sistem de puncte materiale se numește liber dacă toate punctele incluse în el pot ocupa poziții arbitrare și au viteze arbitrare. În caz contrar, sistemul este numit non-free.

6.2. Clasificarea conexiunilor

Conexiunile sunt clasificate după următoarele criterii:

1) staționar și non-staționar;

2) holonomic și nonholonomic;

3) reținere și nereținere.

Staționare sunt acele conexiuni ale căror ecuații nu corespund.

păstrați timpul t explicit. Ecuația liniei fixe este: f (x i, y i, z i) = 0.

Relațiile care sunt descrise prin ecuații care conțin timpul t în mod explicit sunt numite nestaționară. Analitic ele sunt exprimate prin ecuație

Conexiunile holonomice sunt conexiuni care nu impun restricții asupra vitezei punctelor din sistem. Conexiunile de mai sus sunt, de asemenea, holonomice.

Conexiunile care impun restricții nu numai asupra coordonatelor, ci și asupra vitezelor punctelor din sistem sunt numite nonholonomice. Expresia lor analitică în cazul general are următoarea formă

f (t , x i , y i , z i , x & i , y & i , z & i ) = 0

Sistemele mecanice supuse constrângerilor holonomice se numesc sisteme holonomice. Dacă printre conexiuni există unele nonholonomice, atunci sistemele se numesc nonholonomic.

Un exemplu clasic de mișcare a unui sistem nonholonomic este rularea unei mingi solide pe o suprafață aspră (de exemplu, o minge de biliard).

Conexiunile de reținere sunt conexiuni care nu permit mișcări, drept urmare punctele sistemului ar putea fi eliberate de conexiune.

Un exemplu de obligațiune de deținere este primul exemplu. Un alt exemplu ar fi două plane paralele între care se mișcă o minge.

Pentru o legătură de deținere, ecuația este dată de o egalitate de forma f (t, x i, y i, z i, x & i, y & i, z & i) = 0.

Legăturile de reținere sunt uneori numite legături bidirecționale. Conexiuni care permit mișcări, ca urmare a căror puncte ale sistemului

se pot elibera de conexiune fără a o distruge, sunt chemați nestăpânit. Uneori, astfel de conexiuni sunt numite unidirecționale. Ecuația conexiunii neconținătoare are forma inegalității

f (t, x i, y i, z i, x & i, y & i, z & i) ≤ 0.

Exemple de legături neconținătoare sunt al doilea și al treilea exemple. Un alt exemplu de astfel de conexiune este un singur plan de-a lungul căruia se mișcă o minge.

6.3. Posibile mișcări ale sistemului. Numărul de grade de libertate. Conexiuni ideale

Să ne imaginăm un corp neliber, de exemplu, un cub, întins pe un avion. Să dăm mental acestui cub o deplasare infinitezimală. Să ne imaginăm, de exemplu, că l-am ridicat puțin deasupra planului; cu o astfel de mișcare se va rupe legătura dintre cub și avion. Dar putem da cubului o astfel de deplasare infinitezimală imaginară care să nu rupă legătura; o astfel de mișcare este orice mișcare de-a lungul unui plan.

Deci, posibilele mișcări ale unui sistem mecanic neliber sunt mișcări infinitezimale imaginare permise la un moment dat de constrângerile impuse sistemului.

În exemplul nostru, pentru un cub, o posibilă mișcare este orice mișcare infinitezimală imaginară a acestuia de-a lungul planului.

Posibilele deplasări ale punctelor unui sistem mecanic sunt considerate cantități de ordinul întâi de micime, neglijând în același timp cantitățile de ordine superioare de micime. Prin urmare, mișcările curbilinii ale punctelor sunt

sunt înlocuite cu segmente drepte trasate de-a lungul tangentelor la traiectoriile punctelor și notate cu δ r.

Deci, de exemplu, o posibilă mișcare a pârghiei AB este rotirea acesteia printr-un unghi infinitezimal δϕ în jurul axei O (Fig. 27).

Cu această rotație, punctele A și B trebuie să se miște de-a lungul arcurilor de cerc AA1 și BB1. Dar până la valori mici de ordinul întâi, acestea

deplasările pot fi înlocuite cu posibile deplasări δ r A = AA ′ și δ r B = BB ′ sub formă de segmente drepte trasate de-a lungul tangentelor la

traiectorii punctelor și, respectiv, în mărime egală cu:

δ rA = OA δϕ și δ rB = OB δϕ .

Deplasările reale ale unui sistem mecanic neliber, care se mișcă sub influența forțelor aplicate acestuia, se numără printre ele. posibile mișcăriși sunt cazul lor special. Cu toate acestea, acest lucru este valabil numai pentru conexiunile de telefonie fixă. În cazul conexiunilor nestaționare, mișcările efective ale sistemului nu se numără printre mișcările sale posibile.

În general, pot exista multe mișcări posibile diferite pentru punctele din sistem. Totuși, pentru fiecare sistem, în funcție de natura legăturilor impuse acestuia, este posibil să se indice un anumit număr de astfel de mișcări reciproc independente, încât orice altă mișcare posibilă să poată fi reprezentată ca suma lor geometrică. De exemplu, o minge situată pe un plan poate fi deplasată de-a lungul acestui plan în mai multe direcții. Cu toate acestea, orice mișcare posibilă δ r poate fi obținută ca sumă a două mișcări

δ x și δ r 2 de-a lungul axelor reciproc perpendiculare situate în acest plan:

δ r = δ r1 + δ r2 .

Numărul de mișcări independente posibile ale sistemului mecanic determină numărul de grade de libertate acest sistem.

Astfel, bila din planul considerat mai sus, dacă este considerată un punct material, are două grade de libertate. Cubul considerat mai sus are 3 grade de libertate pe un plan - două mișcări de translație de-a lungul axelor de coordonate și o mișcare de rotație în jurul axei verticale. Pârghia montată pe axă are un grad de libertate. Un solid liber are

Există șase grade de libertate - mișcările independente sunt trei mișcări de translație de-a lungul axelor de coordonate și trei mișcări de rotație în jurul acestor axe.

În concluzie, introducem conceptul de lucru posibil al forțelor aplicate sistemului.

δ r i

Lucrul elementar al unei forțe asupra deplasării (Fig. 3.22) este produsul scalar al unei forțe și deplasarea elementară a punctului de aplicare a acesteia:

unde a este unghiul dintre direcțiile vectorilor și

Deoarece atunci putem scrie o altă expresie pentru munca elementară:

Pentru munca elementară, puteți scrie mai multe expresii:

Din formulele de lucru elementar rezultă că această mărime poate fi pozitivă (unghiul a este acut), negativă (unghiul a este obtuz) sau egală cu zero (unghiul a este drept).

Munca deplină a forțelor. Pentru a determina munca totală efectuată de o forță la deplasarea dintr-un punct M 0 la M Să împărțim această mișcare în n deplasări, fiecare dintre ele în limită devine elementară. Apoi munca de forță A:

Unde dA k- lucrează pentru k-a-a mișcare elementară.

Suma scrisă este integrală și poate fi înlocuită cu o integrală de linie luată de-a lungul curbei la deplasare M 0 M. Apoi

sau

unde este momentul în timp t=0 corespunde unui punct M 0 și momentul în timp t– punct M.

Din definiția lucrării elementare și complete rezultă:

1) lucrul forței rezultante asupra oricărei deplasări este egal cu suma algebrică a muncii forțelor componente asupra acestei deplasări;

2) munca efectuată de forțe asupra unei deplasări complete este egală cu suma muncii efectuate de aceeași forță asupra deplasărilor componente în care se împarte în vreun fel întregul deplasare.

Puterea forței. Puterea unei forțe este munca efectuată pe unitatea de timp:

sau având în vedere că

Putere de putere este o mărime egală cu produsul scalar al forței și viteza punctului de aplicare a acesteia.

Astfel, la putere constantă, o creștere a vitezei duce la o scădere a forței și invers. Unitatea de putere este Watt: 1W=1 J/s.

Dacă se aplică o forță unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe, atunci puterea sa este egală cu

Puterea unei perechi de forțe este determinată în mod similar.

3.3.4.3. Exemple de calcul al muncii forței

Munca totala a fortei -

Unde h– înălțimea la care a coborât punctul.

Astfel, munca efectuată de gravitație este pozitivă când un punct coboară și negativ când un punct se ridică. Lucrul efectuat de gravitație nu depinde de forma traiectoriei dintre puncte M 0 și M 1 .

Lucru de forță elastică liniară. Forța elastică liniară este forța care acționează conform legii lui Hooke (Fig. 3.24):

unde este vectorul rază trasat de la punctul de echilibru, unde forța este zero, până la punctul în cauză M; Cu– coeficient de rigiditate constant.

Lucru efectuat de o forță asupra deplasării dintr-un punct M 0 la punct M 1 este determinat de formula

Efectuând integrarea, obținem

(3.27)

Folosind formula (3.27), lucrul forței elastice liniare a arcurilor se calculează atunci când se deplasează pe orice cale de la punctul M 0, în care deformarea sa inițială este egală cu exact M 1, unde deformarea este, respectiv, egală cu În noua notație, formula (3.27) ia forma

Lucru efectuat de o forță aplicată unei rotații corp solid . Când un corp rigid se rotește în jurul unei axe fixe, viteza punctului M poate fi calculat folosind formula lui Euler, vezi fig. 3.25:

Apoi determinăm munca elementară a forței prin formula

Folosind proprietatea produsului încrucișat mixt
primim

Deoarece – momentul de forță relativ la un punct DESPRE. Având în vedere că – momentul de forta fata de axa de rotatie Ozși ω dt=dφ, obținem în sfârșit:

dA=M z dφ.

Lucrul elementar al unei forțe aplicate oricărui punct al unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe este egal cu produsul dintre momentul forței raportat la axa de rotație și diferența dintre unghiul de rotație al corpului.

Munca completa:

În cazul special când , lucrul este determinat de formula

unde j este unghiul de rotație al corpului la care se calculează munca forței.

Lucrul forțelor interne ale unui corp rigid. Să demonstrăm că munca efectuată de forțele interne ale unui corp rigid este nulă pentru orice mișcare. Este suficient să demonstrăm că suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor interne este egală cu zero. Luați în considerare oricare două puncte ale corpului M 1 și M 2 (Fig. 3.26). Deoarece forțele interne sunt forțe de interacțiune între punctele corpului, atunci:

Să introducem un vector unitar direcționat de-a lungul forței.Atunci

Suma lucrărilor elementare ale forțelor și este egală cu

Extinderea produselor scalare ale vectorilor din paranteze, obținem

Deoarece s-a dovedit în cinematică că proiecțiile vitezelor oricăror două puncte ale unui corp rigid pe direcția dreptei care leagă aceste puncte sunt egale între ele pentru orice mișcare a corpului rigid, atunci în expresia rezultată: diferența de valori identice este între paranteze, adică valoare egală cu zero.

3.3.4.4. Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct

Pentru un punct material cu masă m, deplasându-se sub influența unei forțe, legea de bază a dinamicii poate fi reprezentată ca

Înmulțind ambele părți ale acestei relații scalar cu diferența vectorului rază a punctului pe care îl avem

sau

Având în vedere că - munca de forta elementara,

(3.28)

Formula (3.28) exprimă teorema privind modificarea energiei cinetice pentru un punct în formă diferențială.

Diferența energiei cinetice a unui punct este egală cu munca elementară a forței care acționează asupra punctului.

Dacă ambele părți ale egalității (3.28) sunt integrate din punct M 0 la punct M(vezi Fig. 3.22), obținem o teoremă despre modificarea energiei cinetice a unui punct în forma finală:

Modificarea energiei cinetice a unui punct la orice deplasare este egală cu munca forței care acționează asupra punctului la aceeași deplasare.

3.4.4.5. Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem

Pentru fiecare punct al sistemului, teorema privind modificarea energiei cinetice poate fi exprimată sub forma:

Însumând părțile din dreapta și din stânga acestor relații peste toate punctele sistemului și deplasând semnul diferențial dincolo de semnul sumei, obținem:

sau

Unde – energia cinetică a sistemului; – munca elementară a forțelor externe, respectiv interne.

Formula (3.29) exprimă teorema despre modificarea energiei cinetice a sistemului în formă diferențială.

Diferența față de energia cinetică a sistemului este egală cu suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor externe și interne care acționează asupra sistemului.

Dacă ambele părți ale (3.29) sunt integrate între două poziții ale sistemului - inițială și finală, în care energia cinetică este egală cu T 0 și T, apoi, schimbând ordinea însumării și integrării, avem:

sau

Unde – munca forței exterioare pentru un punct din sistem M k când se deplasează din poziţia iniţială în poziţia finală M k; – munca forței interne care acționează asupra unui punct M k.

Formula (3.30) exprimă teorema despre modificarea energiei cinetice a sistemului în formă finită sau integrală.

Modificarea energiei cinetice a unui sistem atunci când acesta se deplasează dintr-o poziție în alta este egală cu suma muncii efectuate de toate forțele externe și interne care acționează asupra sistemului asupra mișcărilor corespunzătoare ale punctelor sistemului în timpul aceleiași mișcări de sistemul.

Să considerăm două puncte arbitrare ale unui corp rigid M 1 și M 2, care fac parte dintr-un sistem mecanic. Să realizăm construcția (vezi Fig. 14.13).

Forțele interioare PJ 1, PJ 2 , care acționează de la un punct la altul, pe baza legii egalității de acțiune și reacție, sunt egale ca mărime și direcționate opus P J 1 = - P J 2 .

Fie la un moment dat vitezele punctelor să fie egale cu u 1 și, respectiv, u 2, iar pe o perioadă de timp incrementele de-a lungul vectorilor sunt ds 1 = u 1 dt, ds 2 = u 2 dt.

Deoarece, pe baza primului corolar al teoremei privind vitezele punctelor unei figuri plane, proiecțiile vectorilor viteză pe direcția segmentului M 1 M 2 sunt egale, atunci proiecțiile deplasărilor elementare ale acestor puncte vor fi egal.

Prin urmare, calculând suma lucrărilor elementare a 2 forțe interne asupra deplasării luate în considerare și ținând cont de egalitatea și direcția opusă a acestora, obținem

P J 1 ds 1 cos(P J1,u 1) + P J 2 ds 1 cos(P J2,u 2)= P J 1 * M 1 M’ 1 - P J 1 * M 2 M’ 2 = 0.

Deoarece fiecărei forțe interne îi corespunde alteia, egale ca mărime și direcționate opus, suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor interne este zero.

Mișcarea finală este un set de mișcări elementare și, prin urmare

A j = 0,

acestea. suma muncii efectuate de forțele interne ale unui corp rigid în timpul oricărei mișcări este zero.

Mișcarea de translație a unui corp rigid.

În timpul mișcării de translație a unui corp rigid, traiectoriile tuturor punctelor sale sunt identice și paralele. Prin urmare, vectorii deplasărilor elementare sunt egali geometric.

Munca elementară de forță P E i

d A E i =P E i d r.

Va fi putere pentru toată lumea

d A=Sd A E i = SP E i d r= d r SP E = d r R E .

Prin urmare,

d A=d r R E . (14-46)

Lucrul elementar al forțelor aplicat unui corp rigid care se mișcă translațional este egal cu munca elementară a vectorului principal de forțe.

A= . (14-47)

Lucrul elementar al forțelor aplicate unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe este egal cu produsul dintre momentul principal al forțelor externe față de axa de rotație și creșterea unghiului de rotație.

Lucrați la mișcarea finală

SA i = , (14-48)

Unde - punctul principal forțe externe față de axa de rotație.

Dacă momentul principal este constant, atunci

SA i = Ez = Ez (j2-j1).(14-49)

În acest caz, suma muncii asupra deplasării finale este egală cu produsul dintre momentul principal al forțelor externe și modificarea finală a unghiului de rotație al corpului.

Apoi putere

N= =M E z dj/dt= M E z w.(14-50)

În cazul general al mișcării, lucrul elementar al forțelor exterioare aplicate unui corp rigid liber este egal cu

dA= SdA i =R E d r O + M E W da,(14-51)

Unde M E W- momentul principal al fortelor exterioare fata de axa instantanee; da- unghi elementar de rotaţie faţă de axa instantanee.

14.10. Rezistență la rostogolire.

O rolă cilindrice aflată în repaus pe un plan orizontal (Fig. 14.14a) este acționată de două forțe de echilibrare reciprocă: greutatea rolei G și reacția plană normală N = -G .

Dacă se află sub influența forței orizontale R, aplicat în centrul rolei C, se rostogolește de-a lungul planului fără alunecare, apoi forța G, N formează câteva forțe care împiedică rostogolirea (Fig. 14.14, b).

Apariția acestei perechi de forțe se datorează deformării suprafețelor de contact ale rolei și planului. Linia de acțiune de reacție N se dovedește a fi deplasat cu o anumită distanță d față de linia de acțiune a forței G.

Moment de câteva forțe G, N numit momentul rezistenţei la rulare. Valoarea acestuia este determinată de produs

M rezist = Nd. (14-52)

Coeficientul de rulare este exprimat în unități liniare, adică [d]= vezi. De exemplu, bandă de oțel pe șină de oțel d= 0,005 cm; lemn pe oțel d= 0,03-0,04 cm.

Să determinăm cea mai mică forță orizontală R , aplicat pe centrul patinoarului.

Pentru ca rola să înceapă să ruleze, momentul cuplului de forțe, compus din forța P și forța de aderență F sc, trebuie să devină mai mare decât momentul de rezistență, adică.

PR>Nd.

Unde P>Nd/R.

Deoarece aici N=G, atunci

Munca efectuată de o forță asupra unei deplasări infinitezimale, numită muncă elementară, se exprimă prin formula

unde este unghiul dintre forța F și viteza v a punctului de aplicare a acesteia (Fig. 171), sau sub forma unui produs scalar:

unde este diferența vectorului rază a punctului de aplicare a forței.

Exprimând acest produs scalar prin proiecțiile vectorilor F și pe axele de coordonate, obținem o expresie analitică pentru opera elementară:

unde X, Y, Z sunt proiecții de forță pe axele de coordonate și sunt modificări infinitezimale (diferențiale) în coordonatele punctului de aplicare a forței în timpul unei mișcări elementare a acestui punct.

Dacă o forță F este aplicată unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe z, atunci

unde este unghiul elementar de rotație al corpului în jurul axei sale.

Dacă o pereche de forțe cu un moment este aplicată unui corp cu o axă de rotație fixă, atunci lucrul elementar al acestei perechi se exprimă după cum urmează:

unde este proiecția vectorului – momentul perechii pe axă.

Un interes deosebit este cazul când forța este o funcție de coordonatele punctului și, în plus,

În acest caz, există o funcție de coordonate ale cărei derivate parțiale în raport cu coordonate sunt egale cu proiecțiile forței pe axele de coordonate corespunzătoare, i.e.

O astfel de funcție se numește funcție de forță sau potențial. Astfel, dacă există o funcție de forță, atunci

adică, munca elementară a forței este egală cu diferența totală a funcției de forță. O parte limitată sau nelimitată a spațiului în care se manifestă acțiunea unei forțe care are o funcție de forță se numește câmp potențial de forță.

Locația geometrică a punctelor câmpului potențial de forță la care funcția de forță menține o valoare constantă se numește suprafață echipotențială sau suprafață de nivel.

Lucrul A a forței F pe un drum final este definit ca limita sumei lucrărilor elementare și se exprimă sub forma unei integrale curbilinii luate de-a lungul arcului traiectoriei de la punctul la punctul M:

Dacă produsul a este exprimat printr-o funcție cunoscută a coordonatei arcului s a punctului de aplicare a forței, atunci variabila de integrare este această mărime s și formula de calcul a muncii ia forma

(168)

unde sunt valorile coordonatei arcului corespunzătoare pozițiilor și M ale punctului de aplicare a forței, este proiecția forței pe tangenta la traiectoria acestui punct.

Dacă o forță cu modul constant formează un unghi constant cu linia dreaptă de-a lungul căreia se mișcă punctul său de aplicare, atunci

În cazul particular când punctul M se mișcă în linie dreaptă sub acțiunea unei forțe constante F, îndreptată de-a lungul aceleiași drepte în direcția mișcării sau împotriva mișcării, atunci, în consecință, avem:

unde este calea parcursă de punct.

Eu gras mișcare de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe, momentul de forță aplicat acestuia este în funcție de unghiul de rotație al corpului, adică.

Lucrul unei perechi de forțe este determinat în mod similar:

Munca unei forțe care are o funcție potențială asupra unei deplasări finale este exprimată prin diferența dintre valorile acestei funcții la punctele finale și inițiale ale traseului:

adică în acest caz, munca forței nu depinde de curba de-a lungul căreia se mișcă punctul M, ci depinde doar de pozițiile sale inițiale și finale. Când studiem mișcarea unui punct material într-un câmp potențial de forță, este foarte mare importanță are conceptul de energie potenţială. Energia potențială a unui punct material este un tip special de energie deținut de un punct situat într-un câmp potențial de forță. Energia potențială P este egală cu munca pe care l-ar face forța câmpului atunci când se deplasează punctul de aplicare a acesteia dintr-o poziție dată M(x, y, z) într-o poziție luată ca zero, adică.

Lucrul efectuat de o forță pe o cale finală prin energia potențială se exprimă după cum urmează:

Dacă asupra unui punct acționează mai multe forțe, atunci munca efectuată de rezultanta acestor forțe pe orice cale este egală cu suma muncii efectuate de forțele componente pe aceeași cale.

În sistemul tehnic de unități, munca se măsoară în kilograme metri. În Sistemul Internațional de Unități, unitatea de lucru este 1 joule.

Puterea N caracterizează viteza cu care se efectuează munca și, în cazul general, este definită ca derivată a muncii în raport cu timpul:

adică puterea este egală cu produsul scalar dintre vectorul forță și vectorul viteză.

Dacă munca A este efectuată uniform, atunci puterea se determină după cum urmează:

unde este timpul în care a fost efectuată lucrarea.

Astfel, în acest caz particular, puterea este numeric egală cu munca produsă pe unitatea de timp.

În timpul mișcării de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe:

unde este momentul principal al forțelor aplicate corpului față de axa de rotație și este viteza unghiulară a corpului.

În sistemul tehnic de unități, puterea se măsoară în cai putere și

În Sistemul Internațional de Unități, unitatea de putere este

La rezolvarea problemelor de calcul a muncii și a puterii, coeficientul este adesea folosit acțiune utilă. Eficiența este raportul dintre munca sau puterea utilă și munca sau puterea forțelor motrice:

Deoarece din cauza rezistențelor nocive, atunci.

La calculul muncii, trebuie să se distingă următoarele cazuri.

1. Mișcarea rectilinie sub acțiunea unei forțe constante în mărime și direcție, în probleme de acest tip se folosesc formulele (169) și (170) (problemele 756, 762).

2. Mișcarea rectilinie sub influența unei forțe, a cărei proiecție pe direcția unei traiectorii rectilinie este în funcție de distanța punctului față de un centru fix pe această dreaptă (problema nr. 768), în probleme de acest tip , se utilizează formula (167), care, dacă axa este îndreptată de-a lungul traiectoriei punctului, ia forma

3. Mișcare curbilinie sub influența unei forțe constante în mărime și direcție, în acest caz se poate folosi formula (167).

4. Mișcare curbilinie sub influența unei forțe, care este în funcție de coordonatele punctului de aplicare a forței.

Aici, definiția muncii se reduce la calcularea integralei curbilinii folosind formula (167). Dacă în cazul în cauză există o funcție de forță, atunci lucrul este determinat prin formula (173) sau (176).

5. Mișcarea de rotație a unui corp rigid sub acțiunea unui cuplu constant sau a unui cuplu care este în funcție de unghiul de rotație al corpului; în acest caz, se utilizează formula (171) pentru a calcula munca.

Pentru a calcula puterea în funcție de natura mișcării, folosim formula (177) pentru mișcarea rectilinie sau curbilinie a punctului de aplicare a forței (problemele 760, 764), sau formula (179) în cazul mișcării de rotație a unui rigid. corp (problemele 771, 772, 765). Puterea medie poate fi determinată folosind formula (178).

Exemplul 131. De-a lungul tijei acţionează o forţă constantă, cu ajutorul căreia remorca este trasă de-a lungul unei căi orizontale (Fig. 172). Împingerea formează un unghi cu orizontul. Determinați munca efectuată de forța F pe traseu.

Soluţie. Aici munca este determinată de formula (169):

Exemplul 132. Un corp cu o greutate este deplasat de-a lungul unei podele orizontale folosind o forță orizontală pe o distanță. Determinați munca pe care o va face forța de frecare dacă coeficientul de frecare dintre suprafața corpului și podea este .

Soluţie. Conform legii lui Coulomb, forța de frecare este , unde N este presiunea normală a corpului pe suprafața podelei și în acest caz . Deoarece forța de frecare este îndreptată în direcția opusă mișcării, munca efectuată de această forță este negativă:

Exemplul 133. Găsiți munca efectuată de gravitație atunci când mutați un punct material din poziția în poziția M (x, y, z) și calculați, de asemenea, energia potențială a punctului din poziția M (Fig. 173).

Soluţie. Direcționând axa z vertical în sus, avem:

unde este greutatea corporală. Prin urmare, conform formulei (162)

(182)

adică munca gravitațională este egală cu produsul dintre greutatea unui punct material și diferența de înălțimi a acestuia în pozițiile inițiale și finale, iar aceste înălțimi sunt măsurate dintr-un plan orizontal ales arbitrar.

Să determinăm energia potențială a unui punct pe baza formulei (175):

unde C este o constantă de integrare arbitrară.

Exemplul 134. Să se determine munca efectuată de forța elastică a unei tije întinse, la capătul căreia este suspendată o sarcină M, când această sarcină se deplasează din poziție în poziție M, dacă lungimea tijei nedeformate este egală cu, se calculează și energia potenţială a punctului din poziţia M (Fig. 174).

Soluţie. Notând forța elastică F și direcționând axa x vertical în jos, avem:

unde x este alungirea tijei, c este rigiditatea acesteia.

Prin urmare,

Exemplul 135. O forță acționează asupra unui punct material, ale cărei proiecții pe axele de coordonate sunt exprimate după cum urmează:

Determinați munca efectuată de această forță la deplasarea unui punct din poziție în poziție dacă forța este exprimată în n și coordonatele sunt în cm.

Soluţie. În primul rând, să aflăm dacă există o funcție de forță în acest caz: pentru a face acest lucru, găsim derivatele parțiale:

De aici obținem asta

adică, condițiile (164) sunt îndeplinite și funcția de forță există. Diferenţialul total al acestei funcţii este egal cu munca elementară, adică. Găsim lucrarea elementară folosind formula sau înlocuind valorile:

Această expresie este într-adevăr o diferență totală

Valorile funcției în puncte și M sunt egale:

Prin urmare, munca necesară este egală cu

Exemplul 136. Determinați lucrul forței centrale, al cărei modul este o funcție a distanței punctului material de centrul acestei forțe, adică (Fig. 175).

Soluţie. În acest caz, vectorul forță unitară este egal cu

Mai mult, semnul este ales în funcție de faptul dacă punctul M este respins din centrul de forță sau atras de acesta.

Astfel, vectorul forță F va fi exprimat astfel:

Prin urmare, folosind formula (161), avem:

Prin urmare,

adică, munca elementară este o diferenţială totală şi, prin urmare, există o funcţie de forţă, şi

Deci, în acest caz, avem o formulă generală prin care putem determina imediat funcția forță în funcție de vectorul rază a punctului de aplicare al forței și apoi să calculăm munca forței atunci când deplasăm acest punct din poziție în poziție.

Exemplul 137. Un capăt al arcului este articulat în punctul O, iar la celălalt capăt este atașată o bilă Lungimea arcului neîntins este , rigiditate . Bila este mutată din poziție în poziție, iar arcul este întins și nu se îndoaie. Să se determine munca efectuată de forța elastică a arcului dacă

Soluţie. Modulul elastic al forței arcului în acest caz este exprimat după cum urmează.

În secțiunea „Cinematică” s-a stabilit că viteza oricărui punct de pe un corp rigid este din punct de vedere geometric suma vitezei punctului luat ca pol și a vitezei obținute de punct în timpul mișcării sferice a corpului în jurul polului. În dinamică, polul este întotdeauna considerat centrul de masă al corpului. Viteza oricărui punct de pe corp este determinată de formulă

- viteza centrului de masă al corpului;

– vectorul vitezei unghiulare instantanee a corpului;

– vector rază relativ la centrul de masă al corpului.

Pentru puterea de forță aplicată unui corp absolut rigid, obținem:

De un interes deosebit este mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid. În acest caz special important, puterea forței poate fi calculată folosind formula:

unde este unghiul dintre vectorii forță și viteză ai centrului de masă al corpului.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține secțiunii:

Note de curs scurt de mecanică teoretică despre mecanica teoretică

Instituția de învățământ bugetar de stat federal de învățământ profesional superior.. Universitatea de stat de inginerie civilă din Moscova..

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material ți-a fost util, îl poți salva pe pagina ta de pe rețelele sociale:

Toate subiectele din această secțiune:

Legile fundamentale ale mecanicii
Mecanica teoretică este una dintre așa-numitele științe axiomatice. Se bazează pe un sistem de puncte de plecare - axiome, acceptate fără dovezi, dar verificate nu numai prin direct

Axioma 3
Două puncte de material interacționează cu forțe egale ca mărime și îndreptate de-a lungul unei linii drepte în direcții opuse (Fig.!.2). Axioma 4 (principiul

Viteza punctului
Viteza de mișcare a unui punct este caracterizată de viteza acestuia, la definiția căreia trecem acum mai departe. Lasă la un moment dat

Accelerație punctuală
Viteza de schimbare a vectorului viteză este caracterizată de accelerația punctului. Lasă în momentul de față punctul

Axioma 3
Un sistem de două forțe aplicate unui corp absolut rigid este echilibrat (echivalent cu zero) dacă și numai dacă aceste forțe sunt egale ca mărime și acționează într-o linie dreaptă în direcții opuse.

Moment de forță în jurul unui punct
Fie dată forța aplicată într-un punct

Moment de forță în jurul axei
Momentul de forță relativ la o axă este proiecția pe axa a momentului de forță calculat față de orice punct de pe această axă:

Câteva forțe
O pereche de forțe este un sistem de două forțe care sunt egale ca mărime și acționează de-a lungul liniilor paralele în direcții opuse. Avion, în

Ecuații diferențiale ale mișcării unui sistem mecanic
Să luăm în considerare un sistem mecanic format din puncte materiale. Pentru fiecare punct al sistemului din cadrul inerțial aproximativ

Proprietățile de bază ale forțelor interne
Luați în considerare oricare două puncte ale sistemului mecanic și

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic
Să adunăm toate egalitățile (3.1) termen cu termen: Ținând cont de prima relație de bază

Teorema privind modificarea momentului unghiular
Să înmulțim vectorial fiecare dintre ecuațiile (3.1) din stânga cu vectorul rază a punctului corespunzător și să adăugăm

Condiții de echilibru
Să ne oprim asupra problemelor echilibrului corpurilor materiale, care formează o parte esențială a secțiunii „Statică” a cursului de mecanică teoretică. Sub echilibru în mecanică în mod tradițional

Echilibrul unui sistem de forțe ale cărui linii de acțiune se află în același plan
În multe cazuri practic interesante, un corp este în echilibru sub acțiunea unui sistem de forțe, ale cărui linii de acțiune sunt situate în același plan. Să luăm acest plan ca plan de coordonate

Calcul truss
Un loc special printre problemele statice îl ocupă calculul fermelor. O ferme este o structură rigidă formată din tije drepte (Fig. 3.3). Dacă toate tijele fermei și tot ce este atașat de ea

Echilibrul unui corp în prezența frecării
După cum se știe, atunci când un corp alunecă de-a lungul unei suprafețe de susținere, apare o rezistență care încetinește alunecarea. Acest fenomen este luat în considerare prin introducerea în considerare a forței de frecare.

Centrul Forțelor Paralele
Acest concept este introdus pentru un sistem de forțe paralele care au o rezultantă, iar punctele de aplicare a forțelor sistemului sunt punctele

Centrul de greutate al corpului
Să luăm în considerare un corp material situat lângă suprafața Pământului (în câmpul gravitațional). Să presupunem mai întâi că corpul este format dintr-un număr finit de puncte materiale, cu alte cuvinte, particule,

Centrul de masă al unui sistem mecanic. Teorema asupra mișcării centrului de masă
Proprietățile inerțiale ale unui corp material sunt determinate nu numai de masa sa, ci și de natura distribuției acestei mase în corp. Poziția centrului joacă un rol semnificativ în descrierea unei astfel de distribuții

PRELEZA 5
5.1. Mișcarea unui corp absolut rigid Una dintre cele mai importante sarcini ale mecanicii este descrierea mișcării unui corp absolut rigid. În general, puncte diferite

Mișcarea de translație a unui corp rigid
Translația este mișcarea unui corp rigid în care orice linie dreaptă trasată în corp rămâne paralelă cu poziția inițială pe toată durata mișcării.

Cinematica mișcării de rotație a unui corp rigid
În timpul mișcării de rotație într-un corp există o singură linie dreaptă, din care toate punctele

Viteza corpului
În cele din urmă obținem: (5.4) Formula (5.4) se numește formula lui Euler. În Fig.5.

Ecuația diferențială a mișcării de rotație a unui corp rigid
Rotirea unui corp rigid, ca orice altă mișcare, are loc ca urmare a influenței forțelor externe. Pentru a descrie mișcarea de rotație folosim teorema despre modificarea momentului cinetic relativ la

Cinematica mișcării plan-paralele a unui corp rigid
Mișcarea unui corp se numește plan-paralel dacă distanța de la orice punct al corpului până la un plan fix (principal) rămâne neschimbată pe toată durata mișcării.

Ecuații diferențiale ale mișcării plan-paralele a unui corp rigid
Când se studiază cinematica mișcării plan-paralele a unui corp rigid, orice punct al corpului poate fi luat drept pol. Când se rezolvă probleme de dinamică, centrul de masă al corpului este întotdeauna luat drept pol, iar centrul de masă este luat ca pol.

Sistemul Koenig. Prima teoremă a lui König
(Studiați pe cont propriu) Lăsați sistemul de referință să fie staționar (inerțial). Sistem

Munca și puterea forței. Energie potențială
Jumătate din produsul dintre masa unui punct și pătratul vitezei acestuia se numește energia cinetică a punctului material. Energia cinetică a unui sistem mecanic se numește

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic
Teorema privind modificările energiei cinetice este una dintre teoremele generale ale dinamicii, împreună cu teoremele demonstrate anterior asupra modificărilor momentului și modificărilor momentului unghiular.

Lucrul forțelor interne ale unui sistem mecanic neschimbabil din punct de vedere geometric
Rețineți că, spre deosebire de teorema privind modificarea impulsului și teorema privind modificarea momentului cinetic, teorema privind modificarea energiei cinetice în cazul general include forțe interne.

Calculul energiei cinetice a unui corp complet rigid
Să obținem formule pentru calcularea energiei cinetice a unui corp absolut rigid în timpul unora dintre mișcările sale. 1. În timpul mișcării de translație în orice moment, viteza tuturor punctelor corpului este una

Munca gravitatiei
Când calculăm munca gravitației, vom presupune că luăm în considerare o regiune limitată a spațiului în apropierea suprafeței Pământului, ale cărei dimensiuni sunt mici în comparație cu dimensiunile Pământului.

Lucru de forță elastică
Conceptul de forță elastică este de obicei asociat cu răspunsul unui arc elastic liniar. Să direcționăm axa de-a lungul

Lucru la cuplu
Să fie aplicată o forță într-un punct al unui corp care are o axă de rotație. Corpul se rotește cu viteză unghiulară

Viteze posibile și posibile mișcări
Introducem mai întâi conceptele de viteză posibilă și deplasare posibilă pentru un punct material asupra căruia este impusă o constrângere nestaționară de limitare holonomică. Posibilă viteză mate

Conexiuni ideale
Constrângerile impuse unui sistem mecanic sunt numite ideale dacă suma muncii tuturor reacțiilor constrângerilor asupra oricărei posibile mișcări a sistemului este egală cu zero:

Principiul mișcărilor posibile
Principiul deplasărilor posibile stabilește condițiile de echilibru a sistemelor mecanice. Echilibrul unui sistem mecanic este înțeles în mod tradițional ca starea de repaus în raport cu inerțiale alese.

Ecuația generală a dinamicii
Să considerăm un sistem mecanic format din puncte materiale pe care se suprapun condiții ideale