Un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute. Rezolvarea ecuațiilor liniare cu exemple Rezolvarea unui sistem de ecuații cu 3 necunoscute

Compunem principalul determinant pentru sistem

si calculeaza-l.

Apoi compunem determinanți suplimentari

si calculeaza-le.

Conform regulii lui Cramer, soluția sistemului se găsește folosind formulele

;
;
,Dacă

1)

Să calculăm:

Folosind formulele lui Cramer găsim:

Răspuns: (1; 2; 3)

2)

Să calculăm:

Deoarece principalul determinant
, iar cel puțin unul suplimentar nu este egal cu zero (în cazul nostru
), atunci sistemul nu are soluție.

3)

Să calculăm:

Deoarece toți determinanții sunt egali cu zero, sistemul are un număr infinit de soluții, care pot fi găsite după cum urmează:

Rezolvați singur sistemele:

A)
b)

Răspuns: a) (1; 2; 5) b) ;;

Lecția practică nr. 3 pe tema:

Produsul scalar al doi vectori și aplicarea acestuia

1. Dacă este dat
Și
, atunci găsim produsul scalar folosind formula:

∙

2.Dacă, atunci produsul scalar al acestor doi vectori se găsește prin formula

1. Dați doi vectori
Și

Găsim produsul lor scalar după cum urmează:

.

2. Sunt dați doi vectori:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Produsul scalar se găsește astfel:

3.
,

3.1 Găsirea muncii unei forțe constante pe o secțiune dreaptă a drumului

1) Sub influența unei forțe de 15 N, corpul s-a deplasat în linie dreaptă 2 metri. Unghiul dintre forță și direcția de mișcare =60 0. Calculați munca efectuată de o forță pentru a deplasa un corp.

Dat:

Soluţie:

2) Având în vedere:

Soluţie:

3) Un corp s-a deplasat din punctul M(1; 2; 3) în punctul N(5; 4; 6) sub influența unei forțe de 60 N. Unghiul dintre direcția forței și vectorul deplasare =45 0. Calculați munca efectuată de această forță.

Soluție: găsiți vectorul deplasare

Găsirea modulului vectorului deplasare:

Conform formulei
gaseste o slujba:

3.2 Determinarea ortogonalității a doi vectori

Doi vectori sunt ortogonali dacă
, acesta este

deoarece

1)

– nu ortogonală

2)

– ortogonală

3) Să se determine la ce  vectorii
Și
reciproc ortogonale.

Deoarece
, Acea
, Mijloace

Decide pentru tine:

A)

. Găsiți produsul lor scalar.

b) Calculaţi câtă muncă produce forţa
, dacă punctul de aplicare a acestuia, deplasându-se rectiliniu, s-a deplasat din punctul M (5; -6; 1) în punctul N (1; -2; 3)

c) Să se determine dacă vectorii sunt ortogonali
Și

Răspunsuri: a) 1 b) 16 c) da

3.3.Găsirea unghiului dintre vectori

1)

. Găsi .

Găsim

înlocuiți în formula:

.

1). Sunt date vârfurile triunghiului A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1). Aflați unghiul la vârful A.

Să o punem în formula:

Decide pentru tine:

Sunt date vârfurile triunghiului A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Determinați unghiul interior la vârful A.

Raspuns: 90 o

Lecția practică nr. 4 pe tema:

PRODUS VECTOR DIN DOI VECTORI ŞI APLICAREA SA.

Formula pentru găsirea produsului încrucișat a doi vectori:

1) Aflați modulul produsului vectorial:

Să compunem un determinant și să-l calculăm (folosind regula lui Sarrus sau teorema despre extinderea determinantului în elementele primului rând).

1a metodă: după regula lui Sarrus

Metoda 2: extindeți determinantul în elementele primului rând.

2) Aflați modulul produsului vectorial:

4.1. CALCULUL AREEI UNUI PARALELOGRAM CONSTRUIT PE DOI VECTORI.

1) Calculați aria unui paralelogram construit pe vectori

2). Găsiți produsul vectorial și modulul acestuia

4.2. CALCULUL AREEI UNUI TRIUNGHI

Exemplu: sunt date vârfurile triunghiului A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Calculați aria triunghiului.

Mai întâi, să găsim coordonatele a doi vectori care emană de la același vârf.

Să găsim produsul lor vectorial

4.3. DETERMINAREA COLINEARITATII A DOI VECTORI

Dacă vectorul
Și
sunt coliniare, atunci

, adică coordonatele vectorilor trebuie să fie proporționale.

a) Vectori dați::
,
.

Ele sunt coliniare deoarece
Și

după reducerea fiecărei fracții obținem raportul

b) Vectori dați:

.

Ele nu sunt coliniare deoarece
sau

Decide pentru tine:

a) La ce valori m și n ale vectorului
coliniar?

Răspuns:
;

b) Aflați produsul vectorial și modulul acestuia
,
.

Răspuns:
,
.

Lecția practică nr. 5 pe tema:

LINIE DREPTĂ PE UN AVION

Problema nr. 1. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul A(-2; 3) paralel cu dreapta

1. Aflați panta dreptei
.

este ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular și o ordonată inițială (
). De aceea
.

2. Deoarece dreptele MN și AC sunt paralele, coeficienții lor unghiulari sunt egali, adică.
.

3. Pentru a găsi ecuația dreptei AC, folosim ecuația unei drepte care trece printr-un punct cu un coeficient unghiular dat:

. În această formulă în schimb Și înlocuiți coordonatele punctului A(-2; 3), în schimb Să înlocuim – 3. Ca rezultat al înlocuirii obținem:

Răspuns:

Sarcina nr. 2. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul K(1; –2) paralel cu dreapta.

1. Să găsim panta dreptei.

Acest ecuație generală linie dreaptă, care este vedere generala este dat de formula. Comparând ecuațiile, constatăm că A = 2, B = –3. Panta dreptei date de ecuație se află prin formula
. Înlocuind A = 2 și B = –3 în această formulă, obținem panta dreptei MN. Asa de,
.

2. Deoarece dreptele MN și KS sunt paralele, coeficienții lor unghiulari sunt egali:
.

3. Pentru a găsi ecuația dreptei KS, folosim formula pentru ecuația dreptei care trece printr-un punct cu un coeficient unghiular dat
. În această formulă în schimb Și să substituim coordonatele punctului K(–2; 3), în loc de

Problema nr. 3. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(–1; –3) perpendicular pe dreaptă.

1. este o ecuație generală a unei drepte, care în formă generală este dată de formula.

și aflăm că A = 3, B = 4.

Panta dreptei date de ecuație se găsește prin formula:
. Înlocuind A = 3 și B = 4 în această formulă, obținem panta dreptei MN:
.

2. Deoarece dreptele MN și KD sunt perpendiculare, coeficienții lor unghiulari sunt invers proporționali și opus în semn:

.

3. Pentru a găsi ecuația dreptei KD, folosim formula pentru ecuația dreptei care trece prin punctul cu un coeficient unghiular dat

. În această formulă în schimb Și înlocuiți coordonatele punctului K(–1;–3), în schimb hai sa inlocuim Ca rezultat al înlocuirii obținem:

Decide pentru tine:

1. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(–4; 1) paralel cu dreapta
.

Răspuns:
.

2. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(5; –2) paralel cu dreapta
.

3. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(–2, –6) perpendicular pe dreapta
.

4. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(7; –2) perpendicular pe dreapta
.

Răspuns:
.

5. Aflați ecuația perpendicularei căzute din punctul K(–6; 7) la dreapta
.

Sistem ecuatii lineare se pare ca

unde sunt coeficienții; - membri gratuiti; - cantități necunoscute.

Soluția acestui sistem este un set de numere care, atunci când sunt înlocuite cu necunoscute în ecuații, transformă aceste ecuații în identități. Un sistem de ecuații se numește consistent dacă are cel puțin o soluție. Dacă sistemul nu are o singură soluție, atunci se numește inconsecvent.

Se spune că un sistem consistent este determinat dacă are o singură soluție și nedefinit dacă are mai multe soluții.

sunt numite matrice și, respectiv, matrice extinsă a sistemului (2).

Teorema Kronecker-Capelli. Pentru ca sistemul (2) să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei acestui sistem să fie egal cu rangul matricei extinse:

regula lui Cramer. Dacă rangul matricei sistem articular este egal cu numărul necunoscutelor sale, atunci sistemul este definit. Dacă numărul de necunoscute ale sistemului (2) coincide cu numărul de ecuații și matricea sistemului este nesingulară, atunci sistemul are o soluție unică, care se găsește conform regulii lui Cramer:

În aceste formule, este determinantul sistemului și este determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coloanei cu o coloană de termeni liberi

Soluția matriceală a sistemului. Sistemul de ecuații liniare (2) poate fi scris sub formă de matrice

unde A este matricea sistemului; X - matricea coloanei de necunoscute; B este o coloană-matrice de membri liberi. Dacă matricea A este pătrată și nesingulară, atunci soluția sistemului (3) poate fi scrisă sub formă de matrice:

Sisteme echivalente de ecuații. Două sisteme de ecuații liniare se numesc echivalente dacă seturile lor de soluții coincid. Găsirea soluțiilor unui sistem de ecuații liniare se bazează pe trecerea la un sistem echivalent care este mai simplu decât cel original. Să indicăm cele mai simple operații care conduc la un sistem echivalent:

1) schimbarea a două ecuații în sistem;

2) înmulțirea oricărei ecuații a sistemului cu numar real(non-zero);

3) adăugarea unei ecuații a unei alte ecuații, înmulțită cu un număr arbitrar.

O necunoscută se numește rezolvată sau bazică dacă orice ecuație a sistemului o conține cu un coeficient de 1, dar nu este inclusă în toate celelalte ecuații.

Dacă fiecare ecuație a unui sistem conține o necunoscută rezolvată, atunci un astfel de sistem se numește rezolvat. Necunoscutele sale care nu sunt de bază sunt numite gratuite.

Pentru a găsi toate soluțiile unui sistem simultan de ecuații liniare, este suficient să găsiți un sistem rezolvat echivalent cu acesta. Dacă toate necunoscutele se dovedesc a fi de bază, atunci sistemul rezolvat oferă valorile acestor necunoscute care constituie singura soluție pentru sistemul original. În caz contrar, necunoscutele de bază sunt exprimate în termeni de libere.

Jordan - metoda Gauss. Să scriem sistemul de ecuații liniare (2) sub forma unui tabel

Transformarea Jordan a unui sistem cu un element de rezolvare este următoarea secvență de acțiuni:

1) înmulțirea unui rând de tabel cu un număr;

2) adăugarea la primul rând al tabelului rândul său (obținut după prima acțiune), înmulțit cu -

3) adăugarea la a doua linie a unui șir înmulțit cu -, etc.

După aceste transformări, necunoscutul se va rezolva, toți coeficienții coloanei vor fi egali cu zero, cu excepția

Efectuând transformări succesive Jordan cu elemente de rezoluție luate pe diferite rânduri, obținem un sistem rezolvat echivalent cu cel inițial.

Dacă, ca urmare a transformărilor, toți coeficienții pentru necunoscutele dintr-un rând se dovedesc a fi egali cu zero, iar termenul liber al acestui rând nu este egal cu zero, atunci acest sistem de ecuații este inconsecvent. Dacă obțineți o linie care constă numai din zerouri, atunci aceasta este ștearsă din tabel.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații

Soluţie. Să scriem acest sistem sub forma unui tabel și să-l transformăm într-o formă permisă în șase pași.

Sistemele de trei ecuații liniare cu trei necunoscute au forma:

2.3.1. Definiție.

Să fie date ecuații liniare:

A 1 X + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

A 2 X + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

A 3 X + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Dacă este necesar să se găsească o soluție generală a ecuațiilor (2.3.1) ¾ (2.3.3), atunci ei spun că formează sistem . Sistemul format din ecuațiile (2.3.1) ¾ (2.3.3) se notează după cum urmează:

Soluția generală a ecuațiilor care alcătuiesc sistemul se numește soluție de sistem . Rezolvați sistemul (2.3.4) ¾ aceasta înseamnă fie găsirea mulțimii tuturor soluțiilor sale, fie demonstrarea că nu există.

Ca și în cazurile anterioare, mai jos vom găsi condiții în care sistemul (2.3.4) are o soluție unică, are mai multe soluții și nu are nicio soluție.

2.3.2. Definiție. Să fie dat sistemul (2.3.4) de ecuații liniare. Matrici

sunt numite în consecință ( de bază )matrice Și matrice extinsă sisteme.

2.3.3. Definițiile sistemelor echivalente de forma (2.3.4), precum și transformările elementare de tipul I și al II-lea, sunt introduse în același mod ca și pentru sistemele de două ecuații cu două și trei necunoscute.

Transformare elementară Al treilea tip de sistem (2.3.4) se numește schimbul a două ecuații ale acestui sistem. Similar cu cazurile anterioare ale sistemelor cu 2 ecuații cu transformări elementare ale sistemului se obţine sistemul,echivalent cu acesta.

2.3.4. Exercițiu. Rezolvarea sistemelor de ecuații:

Soluţie. A)

(1) Am schimbat prima și a doua ecuație a sistemului (transformare de tip 3).

(2) Prima ecuație înmulțită cu 4 a fost scăzută din a doua, iar prima ecuație înmulțită cu 6 a fost scăzută din a treia (transformare de tip 2); astfel, necunoscutul a fost exclus din a doua și a treia ecuație X .

(3) A doua ecuație, înmulțită cu 14, a fost scăzută din a treia; necunoscutul a fost exclus din a treia y .

(4) Din ultima ecuație găsim z = 1, înlocuind care în al doilea, găsim y = 0. În final, înlocuind y = 0 și z = 1 în prima ecuație, găsim X = -2.ñ

(1) Am schimbat prima și a doua ecuație a sistemului.

(2) Prima ecuație înmulțită cu 4 a fost scăzută din a doua, iar prima ecuație înmulțită cu 6 a fost scăzută din a treia.

(3) A doua și a treia ecuație au coincis. Pe unul dintre ele îl excludem din sistem (sau, cu alte cuvinte, dacă îl scădem pe al doilea din a treia ecuație, atunci a treia ecuație se transformă în identitatea 0 = 0; este exclusă din sistem. Presupunem z = A .

(4) Înlocuitor z = A în a doua și prima ecuație.

(5) Înlocuirea y = 12 - 12A în prima ecuație, găsim X .

c) Dacă prima ecuație este împărțită la 4, iar a treia ¾ la 6, atunci ajungem la un sistem echivalent

care este echivalent cu ecuația X - 2y - z = -3. Soluțiile acestei ecuații sunt cunoscute (vezi Exemplul 2.2.3 b))

Ultima egalitate din sistemul rezultat este contradictorie. Prin urmare, sistemul nu are soluții.

Transformările (1) și (2) ¾ sunt exact aceleași cu transformările corespunzătoare ale sistemului b))

(3) Scădeți a doua din ultima ecuație.

Răspuns: a) (-2; 0; 1);

b) (21 - 23 A ; 12 - 12A ; A ), A Î R;

c) ((-3 + 2 A + b ; A ; b )|A , b Î R};

d) Sistemul nu are soluții.

2.3.5. Din exemplele anterioare rezultă că sistem cu trei necunoscute, ca un sistem cu două necunoscute, poate avea o singură soluție, un număr infinit de soluții și neavând o singură soluție. Mai jos vom analiza toate cazurile posibile. Dar mai întâi introducem o notație.

Fie D indică determinantul matricei sistemului:

Fie D 1 determinantul obținut din D prin înlocuirea primei coloane cu o coloană de termeni liberi:

În mod similar, să punem

D 2 = și D 3 = .

2.3.6. Teorema. Dacă D¹0, apoi sistemul(2.3.4)are o soluție unică

, , . (2.3.5)

Se numesc formulele (2.3.5). formule = = 0 pentru toți i ¹ j și cel puțin unul dintre determinanți , , nu este egal cu zero, atunci sistemul nu are soluții.

4) Dacă = = = = = = 0 pentru toți i ¹ j , atunci sistemul are un număr infinit de soluții, in functie de doi parametri.

Ecuații liniare în două variabile

Un școlar are 200 de ruble pentru a mânca prânzul la școală. Un tort costă 25 de ruble, iar o ceașcă de cafea costă 10 ruble. Câte prăjituri și cești de cafea poți cumpăra cu 200 de ruble?

Să notăm numărul de prăjituri cu X, și numărul de cești de cafea prin y. Apoi costul prăjiturii va fi notat cu expresia 25 X, iar costul ceștilor de cafea în 10 y .

25X- Preț X prăjituri
10y — Preț y cesti de cafea

Suma totală ar trebui să fie de 200 de ruble. Apoi obținem o ecuație cu două variabile XȘi y

25X+ 10y= 200

Câte rădăcini are această ecuație?

Totul depinde de apetitul elevului. Dacă cumpără 6 prăjituri și 5 căni de cafea, atunci rădăcinile ecuației vor fi numerele 6 și 5.

Se spune că perechea de valori 6 și 5 este rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 . Scris ca (6; 5), primul număr fiind valoarea variabilei X, iar al doilea - valoarea variabilei y .

6 și 5 nu sunt singurele rădăcini care inversează ecuația 25 X+ 10y= 200 la identitate. Dacă doriți, pentru aceleași 200 de ruble un student poate cumpăra 4 prăjituri și 10 căni de cafea:

În acest caz, rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 este o pereche de valori (4; 10).

În plus, un școlar poate să nu cumpere cafea deloc, ci să cumpere prăjituri pentru toate cele 200 de ruble. Apoi rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 vor fi valorile 8 și 0

Sau invers, nu cumpărați prăjituri, ci cumpărați cafea pentru toate cele 200 de ruble. Apoi rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 valorile vor fi 0 și 20

Să încercăm să enumerăm toate rădăcinile posibile ale ecuației 25 X+ 10y= 200 . Să fim de acord că valorile XȘi y aparțin mulțimii numerelor întregi. Și să fie aceste valori mai mari sau egale cu zero:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Acest lucru va fi convenabil pentru elevul însuși. Este mai convenabil să cumpărați prăjituri întregi decât, de exemplu, mai multe prăjituri întregi și o jumătate de prăjitură. De asemenea, este mai convenabil să luați cafeaua în căni întregi decât, de exemplu, mai multe căni întregi și o jumătate de ceașcă.

Rețineți că pentru ciudat X este imposibil să se realizeze egalitatea sub nicio formă y. Apoi valorile X următoarele numere vor fi 0, 2, 4, 6, 8. Și știind X poate fi ușor de determinat y

Astfel, am primit următoarele perechi de valori (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Aceste perechi sunt soluții sau rădăcini ale ecuației 25 X+ 10y= 200. Ei transformă această ecuație într-o identitate.

Ecuația formei ax + by = c numit ecuație liniară cu două variabile. Soluția sau rădăcinile acestei ecuații sunt o pereche de valori ( X; y), care o transformă în identitate.

De asemenea, rețineți că dacă o ecuație liniară cu două variabile este scrisă sub formă ax + b y = c , apoi spun că este scris în canonic formă (normală).

Unele ecuații liniare în două variabile pot fi reduse la formă canonică.

De exemplu, ecuația 2(16X+ 3y − 4) = 2(12 + 8X − y) poate fi adus în minte ax + by = c. Să deschidem parantezele de pe ambele părți ale acestei ecuații și să obținem 32X + 6y − 8 = 24 + 16X − 2y . Grupăm termeni care conțin necunoscute în partea stângă a ecuației și termeni fără necunoscute - în dreapta. Apoi primim 32x− 16X+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Prezentăm termeni similari în ambele părți, obținem ecuația 16 X+ 8y= 32. Această ecuație se reduce la forma ax + by = cși este canonică.

Ecuația 25 discutată mai devreme X+ 10y= 200 este, de asemenea, o ecuație liniară cu două variabile în formă canonică. În această ecuație parametrii A , bȘi c sunt egale cu valorile 25, 10 și, respectiv, 200.

De fapt, ecuația ax + by = c are nenumarate solutii. Rezolvarea ecuației 25X+ 10y= 200, am căutat rădăcinile sale doar pe mulțimea numerelor întregi. Drept urmare, am obținut mai multe perechi de valori care au transformat această ecuație într-o identitate. Dar pe mulțimea numerelor raționale, ecuația 25 X+ 10y= 200 va avea infinit de soluții.

Pentru a obține perechi noi de valori, trebuie să luați o valoare arbitrară pentru X, apoi exprima y. De exemplu, să luăm pentru variabilă X valoarea 7. Apoi obținem o ecuație cu o variabilă 25×7 + 10y= 200 în care se poate exprima y

Lăsa X= 15. Apoi ecuația 25X+ 10y= 200 devine 25 × 15 + 10y= 200. De aici aflăm că y = −17,5

Lăsa X= −3 . Apoi ecuația 25X+ 10y= 200 devine 25 × (−3) + 10y= 200. De aici aflăm că y = −27,5

Sistem de două ecuații liniare cu două variabile

Pentru ecuație ax + by = c puteți lua valori arbitrare de câte ori doriți Xși găsiți valori pentru y. Luată separat, o astfel de ecuație va avea nenumărate soluții.

Dar se întâmplă și ca variabilele XȘi y legate nu de una, ci de două ecuații. În acest caz ele formează așa-numitele sistem de ecuații liniare în două variabile. Un astfel de sistem de ecuații poate avea o pereche de valori (sau cu alte cuvinte: „o soluție”).

De asemenea, se poate întâmpla ca sistemul să nu aibă deloc soluții. Un sistem de ecuații liniare poate avea nenumărate soluții în cazuri rare și excepționale.

Două ecuații liniare formează un sistem atunci când valorile XȘi y intră în fiecare dintre aceste ecuații.

Să revenim la prima ecuație 25 X+ 10y= 200 . Una dintre perechile de valori pentru această ecuație a fost perechea (6; 5) . Acesta este cazul în care pentru 200 de ruble puteai cumpăra 6 prăjituri și 5 căni de cafea.

Să formulăm problema astfel încât perechea (6; 5) să devină singura soluție pentru ecuația 25 X+ 10y= 200 . Pentru a face acest lucru, să creăm o altă ecuație care să conecteze la fel X prajituri si y cesti de cafea.

Să prezentăm textul problemei după cum urmează:

„Studentul a cumpărat mai multe prăjituri și câteva cești de cafea pentru 200 de ruble. Un tort costă 25 de ruble, iar o ceașcă de cafea costă 10 ruble. Câte prăjituri și cești de cafea a cumpărat elevul dacă se știe că numărul de prăjituri este cu o unitate mai mare decât numărul de cești de cafea?

Avem deja prima ecuație. Aceasta este ecuația 25 X+ 10y= 200 . Acum să creăm o ecuație pentru condiție „numărul de prăjituri este cu o unitate mai mare decât numărul de cești de cafea” .

Numărul de prăjituri este X, iar numărul de cești de cafea este y. Puteți scrie această expresie folosind ecuația x−y= 1. Această ecuație va însemna că diferența dintre prăjituri și cafea este 1.

x = y+ 1 . Această ecuație înseamnă că numărul de prăjituri este cu unul mai mult decât numărul de cești de cafea. Prin urmare, pentru a obține egalitate, la numărul de cești de cafea se adaugă una. Acest lucru poate fi ușor de înțeles dacă folosim modelul de scale pe care l-am luat în considerare atunci când studiem cele mai simple probleme:

Avem două ecuații: 25 X+ 10y= 200 și x = y+ 1. Deoarece valorile XȘi y, și anume 6 și 5 sunt incluse în fiecare dintre aceste ecuații, apoi împreună formează un sistem. Să scriem acest sistem. Dacă ecuațiile formează un sistem, atunci ele sunt încadrate de semnul sistemului. Simbolul sistemului este o acoladă:

Să rezolvăm acest sistem. Acest lucru ne va permite să vedem cum ajungem la valorile 6 și 5. Există multe metode de rezolvare a unor astfel de sisteme. Să ne uităm la cele mai populare dintre ele.

Metoda de înlocuire

Numele acestei metode vorbește de la sine. Esența sa este de a substitui o ecuație în alta, după ce a exprimat anterior una dintre variabile.

În sistemul nostru, nimic nu trebuie exprimat. În a doua ecuație X = y+ 1 variabilă X deja exprimat. Această variabilă este egală cu expresia y+ 1 . Apoi puteți înlocui această expresie în prima ecuație în loc de variabilă X

După înlocuirea expresiei y+ 1 în prima ecuație X, obținem ecuația 25(y+ 1) + 10y= 200 . Aceasta este o ecuație liniară cu o variabilă. Această ecuație este destul de ușor de rezolvat:

Am găsit valoarea variabilei y. Acum să înlocuim această valoare într-una dintre ecuații și să găsim valoarea X. Pentru aceasta este convenabil să folosiți a doua ecuație X = y+ 1 . Să înlocuim valoarea în ea y

Aceasta înseamnă că perechea (6; 5) este o soluție a sistemului de ecuații, așa cum ne-am propus. Verificăm și ne asigurăm că perechea (6; 5) satisface sistemul:

Exemplul 2

Să înlocuim prima ecuație X= 2 + yîn a doua ecuație 3 x− 2y= 9. În prima ecuaţie variabila X egală cu expresia 2 + y. Să înlocuim această expresie în a doua ecuație în loc de X

Acum să găsim valoarea X. Pentru a face acest lucru, să înlocuim valoarea yîn prima ecuație X= 2 + y

Aceasta înseamnă că soluția sistemului este valoarea perechii (5; 3)

Exemplul 3. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Aici, spre deosebire de exemplele anterioare, una dintre variabile nu este exprimată în mod explicit.

Pentru a înlocui o ecuație în alta, mai întâi aveți nevoie de .

Este indicat să exprimați variabila care are un coeficient de unu. Variabila are un coeficient de unu X, care este cuprinsă în prima ecuație X+ 2y= 11. Să exprimăm această variabilă.

După exprimarea variabilă X, sistemul nostru va lua următoarea formă:

Acum să înlocuim prima ecuație în a doua și să găsim valoarea y

Să înlocuim y X

Aceasta înseamnă că soluția sistemului este o pereche de valori (3; 4)

Desigur, puteți exprima și o variabilă y. Acest lucru nu va schimba rădăcinile. Dar dacă exprimi y, Rezultatul nu este o ecuație foarte simplă, care va dura mai mult timp pentru rezolvare. Va arata asa:

Vedem că în acest exemplu ne exprimăm X mult mai convenabil decât exprimarea y .

Exemplul 4. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Să exprimăm în prima ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

y

Să înlocuim yîn prima ecuație și găsiți X. Puteți folosi ecuația originală 7 X+ 9y= 8, sau utilizați ecuația în care este exprimată variabila X. Vom folosi această ecuație pentru că este convenabilă:

Aceasta înseamnă că soluția sistemului este o pereche de valori (5; -3)

Metoda de adunare

Metoda adunării constă în adăugarea ecuațiilor incluse în sistem termen cu termen. Această adăugare are ca rezultat o nouă ecuație cu o variabilă. Și rezolvarea unei astfel de ecuații este destul de simplă.

Să rezolvăm următorul sistem de ecuații:

Să adăugăm partea stângă a primei ecuații cu partea stângă a celei de-a doua ecuații. Și partea dreaptă a primei ecuații cu partea dreaptă a celei de-a doua ecuații. Obținem următoarea egalitate:

Să ne uităm la termeni similari:

Ca rezultat, am obținut cea mai simplă ecuație 3 X= 27 a cărui rădăcină este 9. Cunoscând valoarea X puteți găsi valoarea y. Să înlocuim valoarea Xîn a doua ecuație x−y= 3 . Obținem 9 − y= 3 . De aici y= 6 .

Aceasta înseamnă că soluția sistemului este o pereche de valori (9; 6)

Exemplul 2

Să adăugăm partea stângă a primei ecuații cu partea stângă a celei de-a doua ecuații. Și partea dreaptă a primei ecuații cu partea dreaptă a celei de-a doua ecuații. În egalitatea rezultată prezentăm termeni similari:

Ca rezultat, am obținut cea mai simplă ecuație 5 X= 20, a cărui rădăcină este 4. Cunoscând valoarea X puteți găsi valoarea y. Să înlocuim valoarea Xîn prima ecuație 2 x+y= 11. Să obținem 8+ y= 11. De aici y= 3 .

Aceasta înseamnă că soluția sistemului este o pereche de valori (4;3)

Procesul de adăugare nu este descris în detaliu. Trebuie făcut mental. Când se adună, ambele ecuații trebuie reduse la formă canonică. Adică ac + prin = c .

Din exemplele luate în considerare, este clar că scopul principal al adunării ecuațiilor este acela de a scăpa de una dintre variabile. Dar nu este întotdeauna posibil să se rezolve imediat un sistem de ecuații folosind metoda adunării. Cel mai adesea, sistemul este adus mai întâi într-o formă în care se pot adăuga ecuațiile incluse în acest sistem.

De exemplu, sistemul poate fi rezolvată imediat prin adăugare. Când se adună ambele ecuații, termenii yȘi −y vor dispărea deoarece suma lor este zero. Ca rezultat, se formează cea mai simplă ecuație 11 X= 22, a cărui rădăcină este 2. Apoi se va putea determina y egal cu 5.

Și sistemul de ecuații Metoda de adăugare nu poate fi rezolvată imediat, deoarece aceasta nu va duce la dispariția uneia dintre variabile. Adunarea va duce la ecuația 8 X+ y= 28, care are un număr infinit de soluții.

Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, diferit de zero, obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată. Această regulă este valabilă și pentru un sistem de ecuații liniare cu două variabile. Una dintre ecuații (sau ambele ecuații) poate fi înmulțită cu orice număr. Rezultatul va fi un sistem echivalent, ale cărui rădăcini vor coincide cu cel anterior.

Să revenim la primul sistem, care descria câte prăjituri și cești de cafea a cumpărat un școlar. Soluția acestui sistem a fost o pereche de valori (6; 5).

Să înmulțim ambele ecuații incluse în acest sistem cu câteva numere. Să presupunem că înmulțim prima ecuație cu 2 și a doua cu 3

Ca rezultat, am primit un sistem
Soluția acestui sistem este încă perechea de valori (6; 5)

Aceasta înseamnă că ecuațiile incluse în sistem pot fi reduse la o formă adecvată pentru aplicarea metodei de adunare.

Să revenim la sistem , pe care nu le-am putut rezolva folosind metoda adunării.

Înmulțiți prima ecuație cu 6, iar a doua cu −2

Apoi obținem următorul sistem:

Să adunăm ecuațiile incluse în acest sistem. Adăugarea componentelor 12 Xși −12 X va rezulta 0, adunare 18 yși 4 y va da 22 y, iar adunând 108 și −20 dăm 88. Apoi obținem ecuația 22 y= 88, de aici y = 4 .

Dacă la început este greu să adaugi ecuații în capul tău, atunci poți scrie cum se adună partea stângă a primei ecuații cu partea stângă a celei de-a doua ecuații și partea dreaptă a primei ecuații cu partea dreaptă a ecuației. a doua ecuație:

Știind că valoarea variabilei y este egal cu 4, puteți găsi valoarea X. Să înlocuim yîntr-una dintre ecuații, de exemplu în prima ecuație 2 X+ 3y= 18. Apoi obținem o ecuație cu o variabilă 2 X+ 12 = 18. Să trecem cu 12 în partea dreaptă, schimbând semnul, obținem 2 X= 6, de aici X = 3 .

Exemplul 4. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Să înmulțim a doua ecuație cu −1. Apoi sistemul va lua următoarea formă:

Să adăugăm ambele ecuații. Adăugarea componentelor XȘi −x va rezulta 0, adunare 5 yși 3 y va da 8 y, iar adunând 7 și 1 rezultă 8. Rezultatul este ecuația 8 y= 8 a cărui rădăcină este 1. Știind că valoarea y este egal cu 1, puteți găsi valoarea X .

Să înlocuim yîn prima ecuație, obținem X+ 5 = 7, prin urmare X= 2

Exemplul 5. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Este de dorit ca termenii care conțin aceleași variabile să fie situați unul sub celălalt. Prin urmare, în a doua ecuație termenii 5 yși −2 X Să facem schimb de locuri. Ca urmare, sistemul va lua forma:

Să înmulțim a doua ecuație cu 3. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării obținem ecuația 8 y= 16, a cărui rădăcină este 2.

Să înlocuim yîn prima ecuație, obținem 6 X− 14 = 40. Să mutăm termenul -14 în partea dreaptă, schimbând semnul și obținem 6 X= 54 . De aici X= 9.

Exemplul 6. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Să scăpăm de fracții. Înmulțiți prima ecuație cu 36 și a doua cu 12

În sistemul rezultat prima ecuație poate fi înmulțită cu −5, iar a doua cu 8

Să adunăm ecuațiile din sistemul rezultat. Apoi obținem cea mai simplă ecuație −13 y= −156 . De aici y= 12. Să înlocuim yîn prima ecuație și găsiți X

Exemplul 7. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Să aducem ambele ecuații la forma normală. Aici este convenabil să se aplice regula proporției în ambele ecuații. Dacă în prima ecuație partea dreaptă este reprezentată ca , iar partea dreaptă a celei de-a doua ecuații ca , atunci sistemul va lua forma:

Avem o proporție. Să-i înmulțim termenii extremi și medii. Apoi sistemul va lua forma:

Să înmulțim prima ecuație cu −3 și să deschidem parantezele din a doua:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării acestor ecuații, obținem o egalitate cu zero pe ambele părți:

Se dovedește că sistemul are nenumărate soluții.

Dar nu putem doar să luăm valori arbitrare din cer pentru XȘi y. Putem specifica una dintre valori, iar cealalta va fi determinata in functie de valoarea pe care o specificam. De exemplu, lasa X= 2 . Să înlocuim această valoare în sistem:

Ca urmare a rezolvării uneia dintre ecuații, valoarea pt y, care va satisface ambele ecuații:

Perechea de valori rezultată (2; −2) va satisface sistemul:

Să găsim o altă pereche de valori. Lăsa X= 4. Să substituim această valoare în sistem:

Puteți spune cu ochii că valoarea y este egal cu zero. Apoi obținem o pereche de valori (4; 0) care ne satisface sistemul:

Exemplul 8. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Înmulțiți prima ecuație cu 6 și a doua cu 12

Să rescriem ce a mai rămas:

Să înmulțim prima ecuație cu −1. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării, se formează ecuația 6 b= 48, a cărui rădăcină este 8. Înlocuiește bîn prima ecuație și găsiți A

Sistem de ecuații liniare cu trei variabile

O ecuație liniară cu trei variabile include trei variabile cu coeficienți, precum și un termen de interceptare. În formă canonică se poate scrie după cum urmează:

ax + by + cz = d

Această ecuație are nenumărate soluții. Dând două variabile valori diferite, poate fi găsită o a treia valoare. Soluția în acest caz este un triplu de valori ( X; y; z) care transformă ecuația într-o identitate.

Dacă variabilele x, y, z sunt interconectate prin trei ecuații, apoi se formează un sistem de trei ecuații liniare cu trei variabile. Pentru a rezolva un astfel de sistem, puteți folosi aceleași metode care se aplică ecuațiilor liniare cu două variabile: metoda substituției și metoda adunării.

Exemplul 1. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Să exprimăm în a treia ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să facem înlocuirea. Variabil X este egală cu expresia 3 − 2y − 2z . Să substituim această expresie în prima și a doua ecuație:

Să deschidem parantezele în ambele ecuații și să prezentăm termeni similari:

Am ajuns la un sistem de ecuații liniare cu două variabile. În acest caz, este convenabil să utilizați metoda de adăugare. Ca urmare, variabila y va dispărea și putem găsi valoarea variabilei z

Acum să găsim valoarea y. Pentru a face acest lucru, este convenabil să folosiți ecuația − y+ z= 4. Înlocuiți valoarea în ea z

Acum să găsim valoarea X. Pentru a face acest lucru, este convenabil să utilizați ecuația X= 3 − 2y − 2z . Să înlocuim valorile în el yȘi z

Astfel, triplul valorilor (3; −2; 2) este o soluție pentru sistemul nostru. Prin verificare, ne asigurăm că aceste valori satisfac sistemul:

Exemplul 2. Rezolvați sistemul folosind metoda adunării

Să adunăm prima ecuație cu a doua, înmulțită cu −2.

Dacă a doua ecuație este înmulțită cu −2, ea ia forma −6X+ 6y − 4z = −4 . Acum să o adăugăm la prima ecuație:

Vedem că în urma transformărilor elementare s-a determinat valoarea variabilei X. Este egal cu unu.

Să revenim la sistemul principal. Să adunăm a doua ecuație cu a treia, înmulțită cu −1. Dacă a treia ecuație este înmulțită cu −1, ea ia forma −4X + 5y − 2z = −1 . Acum să o adăugăm la a doua ecuație:

Am primit ecuația x− 2y= −1 . Să înlocuim valoarea în ea X pe care le-am găsit mai devreme. Apoi putem determina valoarea y

Acum știm semnificațiile XȘi y. Acest lucru vă permite să determinați valoarea z. Să folosim una dintre ecuațiile incluse în sistem:

Astfel, triplul valorilor (1; 1; 1) este soluția sistemului nostru. Prin verificare, ne asigurăm că aceste valori satisfac sistemul:

Probleme de compunere a sistemelor de ecuații liniare

Sarcina alcătuirii sistemelor de ecuații se rezolvă prin introducerea mai multor variabile. În continuare, ecuațiile sunt compilate pe baza condițiilor problemei. Din ecuațiile compilate formează un sistem și îl rezolvă. După rezolvarea sistemului, este necesar să se verifice dacă soluția acestuia îndeplinește condițiile problemei.

Problema 1. O mașină Volga a ieșit din oraș spre ferma colectivă. S-a întors înapoi pe un alt drum, care era cu 5 km mai scurt decât primul. În total, mașina a parcurs 35 km dus-întors. Câți kilometri are lungimea fiecărui drum?

Soluţie

Lăsa X- lungimea primului drum, y- lungimea secundei. Dacă mașina a parcurs 35 km dus-întors, atunci prima ecuație poate fi scrisă ca X+ y= 35. Această ecuație descrie suma lungimilor ambelor drumuri.

Se spune că mașina s-a întors pe un drum cu 5 km mai scurt decât primul. Atunci a doua ecuație poate fi scrisă ca X− y= 5. Această ecuație arată că diferența dintre lungimile drumului este de 5 km.

Sau a doua ecuație poate fi scrisă ca X= y+ 5. Vom folosi această ecuație.

Deoarece variabilele XȘi yîn ambele ecuații notăm același număr, atunci putem forma un sistem din ele:

Să rezolvăm acest sistem folosind unele dintre metodele studiate anterior. În acest caz, este convenabil să folosiți metoda substituției, deoarece în a doua ecuație variabila X deja exprimat.

Înlocuiți a doua ecuație în prima și găsiți y

Să înlocuim valoarea găsită yîn a doua ecuație X= y+ 5 și vom găsi X

Lungimea primului drum a fost desemnată prin variabilă X. Acum i-am găsit sensul. Variabil X este egal cu 20. Aceasta înseamnă că lungimea primului drum este de 20 km.

Iar lungimea celui de-al doilea drum era indicată de y. Valoarea acestei variabile este 15. Aceasta înseamnă că lungimea celui de-al doilea drum este de 15 km.

Sa verificam. Mai întâi, să ne asigurăm că sistemul este rezolvat corect:

Acum să verificăm dacă soluția (20; 15) satisface condițiile problemei.

S-a spus că mașina a parcurs în total 35 de km dus-întors. Adăugăm lungimile ambelor drumuri și ne asigurăm că soluția (20; 15) îndeplinește această condiție: 20 km + 15 km = 35 km

Următoarea condiție: mașina s-a întors înapoi pe un alt drum, care era cu 5 km mai scurt decât primul . Vedem că soluția (20; 15) îndeplinește și această condiție, deoarece 15 km este mai scurt decât 20 km cu 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Când compuneți un sistem, este important ca variabilele să reprezinte aceleași numere în toate ecuațiile incluse în acest sistem.

Deci sistemul nostru conține două ecuații. Aceste ecuații conțin la rândul lor variabile XȘi y, care reprezintă aceleași numere în ambele ecuații și anume lungimi de drum de 20 km și 15 km.

Problema 2. Pe platformă au fost încărcate traverse de stejar și pin, 300 de traverse în total. Se știe că toate traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât toate traversele de pin. Stabiliți câte traverse de stejar și pin au fost separat, dacă fiecare traversă de stejar cântărea 46 kg și fiecare traversă de pin 28 kg.

Soluţie

Lăsa X stejar şi y traverse de pin au fost încărcate pe platformă. Dacă au fost 300 de traverse în total, atunci prima ecuație poate fi scrisă ca x+y = 300 .

Toate traversele de stejar cântăreau 46 X kg, iar cele de pin aveau o greutate de 28 y kg. Deoarece traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât traversele de pin, a doua ecuație poate fi scrisă ca 28y − 46X= 1000 . Această ecuație arată că diferența de masă dintre traversele de stejar și pin este de 1000 kg.

Tonele au fost convertite în kilograme, deoarece masa traverselor de stejar și pin a fost măsurată în kilograme.

Ca rezultat, obținem două ecuații care formează sistemul

Să rezolvăm acest sistem. Să exprimăm în prima ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

Înlocuiți prima ecuație în a doua și găsiți y

Să înlocuim yîn ecuație X= 300 − y si afla ce este X

Aceasta înseamnă că 100 de traverse de stejar și 200 de pin au fost încărcate pe platformă.

Să verificăm dacă soluția (100; 200) satisface condițiile problemei. Mai întâi, să ne asigurăm că sistemul este rezolvat corect:

Se spunea că erau 300 de dormitoare în total. Adunăm numărul de traverse de stejar și pin și ne asigurăm că soluția (100; 200) îndeplinește această condiție: 100 + 200 = 300.

Următoarea condiție: toate traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât toate traversele de pin . Vedem că soluția (100; 200) îndeplinește și această condiție, deoarece 46 × 100 kg de traverse de stejar sunt mai ușoare decât 28 × 200 kg de traverse de pin: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Problema 3. Am luat trei bucăți de aliaj de cupru-nichel în raporturi de 2: 1, 3: 1 și 5: 1 în greutate. O piesă care cântărește 12 kg a fost topită din ele cu un raport de conținut de cupru și nichel de 4: 1. Aflați masa fiecărei piese originale dacă masa primei este de două ori masa celei de-a doua.