Material teoretic. Plan tangent la o suprafață de ordinul doi Găsiți ecuația ecuației tangente a planului normal

1°. Ecuații ale planului tangent și ale normalei pentru cazul definirii explicite a suprafeței.

Să considerăm una dintre aplicațiile geometrice ale derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile. Lasă funcția z = f (X ;y) diferentiabil la punct (x 0; y 0) vreo zonă DÎ R 2. Să tăiem suprafața S, reprezentand functia z, avioane x = x 0Și y = y 0(Fig. 11).

Avion X = x 0 intersectează suprafața S de-a lungul vreunei linii z 0 (y), a cărei ecuație se obține prin substituirea în expresia funcției inițiale z ==f (X ;y)în loc de X numere x 0 . Punct M 0 (x 0 ;y 0,f (x 0 ;y 0)) aparține curbei z 0 (y). Datorita functiei diferentiabile z la punct M 0 funcţie z 0 (y) este, de asemenea, diferențiabilă la punct y =y 0 . Prin urmare, în acest punct al avionului x = x 0 la curbă z 0 (y) se poate trasa o tangentă l 1.

Efectuarea unui raționament similar pentru secțiune la = y 0, să construim o tangentă l 2 la curbă z 0 (X) la punct X = x 0 - Direct 1 1 Și 1 2 defini un plan numit plan tangent la suprafata S la punct M 0.

Să-i creăm ecuația. Deoarece avionul trece prin punct lună(x 0 ;y 0 ;z 0), atunci ecuația sa poate fi scrisă ca

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

care poate fi rescris astfel:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(împărțind ecuația la -C și notând ).

Vom găsi A 1și B 1.

Ecuații tangente 1 1 Și 1 2 arată ca

respectiv.

Tangentă l 1 se află în planul a , prin urmare, coordonatele tuturor punctelor l 1 satisface ecuația (1). Acest fapt poate fi scris sub forma unui sistem

Rezolvând acest sistem în raport cu B 1, obținem că.Efectuând raționament similar pentru tangente l 3, este ușor de stabilit că .

Înlocuirea valorilor A 1și B 1 în ecuația (1), obținem ecuația dorită a planului tangent:

Linie care trece printr-un punct M 0 iar perpendicular pe planul tangent construit în acest punct de pe suprafață se numește ei normal.

Folosind condiția de perpendicularitate a dreptei și a planului, se obține ușor ecuațiile canonice normale:

Cometariu. Formulele pentru planul tangent și normala la suprafață sunt obținute pentru punctele obișnuite, adică nespeciale, ale suprafeței. Punct M 0 suprafata se numeste special, dacă în acest moment toate derivatele parțiale sunt egale cu zero sau cel puțin una dintre ele nu există. Nu luăm în considerare astfel de puncte.

Exemplu. Scrieți ecuații pentru planul tangent și normala la suprafața în punctul său M(2; -1; 1).

Soluţie. Să găsim privat derivate ale acestei funcții și valorile lor la punctul M

De aici, aplicând formulele (2) și (3), vom avea: z-1=2(x-2)+2(y+1) sau 2х+2у-z-1=0- ecuaţia planului tangent şi - ecuații normale.

2°. Ecuații ale planului tangent și normală pentru cazul definirii implicite a suprafeței.

Dacă suprafaţa S dat de ecuaţie F (X ; y;z)= 0, apoi ecuațiile (2) și (3), ținând cont de faptul că derivatele parțiale pot fi găsite ca derivate ale unei funcții implicite.

Să avem o suprafață definită de o ecuație de formă

Să introducem următoarea definiție.

Definiție 1. O dreaptă se numește tangentă la suprafață la un punct dacă este

tangentă la orice curbă situată la suprafață și care trece prin punct.

Deoarece un număr infinit de curbe diferite situate pe suprafață trec prin punctul P, atunci, în general, vor exista un număr infinit de tangente la suprafața care trece prin acest punct.

Să introducem conceptul de puncte singulare și obișnuite ale unei suprafețe

Dacă într-un punct toate cele trei derivate sunt egale cu zero sau cel puțin una dintre aceste derivate nu există, atunci punctul M se numește punct singular al suprafeței. Dacă într-un punct există toate cele trei derivate și sunt continue și cel puțin una dintre ele este diferită de zero, atunci punctul M se numește punct obișnuit al suprafeței.

Acum putem formula următoarea teoremă.

Teorema. Toate liniile tangente la o suprafață dată (1) în punctul ei obișnuit P se află în același plan.

Dovada. Să considerăm o anumită dreaptă L de pe suprafață (Fig. 206) care trece printr-un punct dat P al suprafeței. Fie curba luată în considerare prin ecuații parametrice

Tangenta la curbă va fi tangenta la suprafață. Ecuațiile acestei tangente au forma

Dacă expresiile (2) sunt substituite în ecuația (1), atunci această ecuație se va transforma într-o identitate față de t, deoarece curba (2) se află pe suprafața (1). Diferențiându-l prin obținem

Proiectiile acestui vector depind de - coordonatele punctului P; rețineți că, deoarece punctul P este obișnuit, aceste proiecții în punctul P nu dispar simultan și, prin urmare

tangentă la o curbă care trece prin punctul P și se află la suprafață. Proiecțiile acestui vector sunt calculate pe baza ecuațiilor (2) la valoarea parametrului t corespunzător punctului P.

Să calculăm produsul scalar al vectorilor N și care este egal cu suma produselor proiecțiilor cu același nume:

Pe baza egalității (3), expresia din partea dreaptă este egală cu zero, prin urmare,

Din ultima egalitate rezultă că vectorul LG și vectorul tangent la curba (2) în punctul P sunt perpendiculare. Raționamentul de mai sus este valabil pentru orice curbă (2) care trece prin punctul P și se află pe suprafață. În consecință, fiecare tangentă la suprafață în punctul P este perpendiculară pe același vector N și, prin urmare, toate aceste tangente se află în același plan perpendicular pe vectorul LG. Teorema a fost demonstrată.

Definiția 2. Planul în care se află toate liniile tangente la liniile de pe suprafața care trece prin punctul său dat P se numește plan tangent la suprafața în punctul P (Fig. 207).

Rețineți că în puncte singulare ale suprafeței este posibil să nu existe un plan tangent. În astfel de puncte, liniile tangente la suprafață pot să nu se afle în același plan. De exemplu, vârful unei suprafețe conice este un punct singular.

Tangentele la suprafața conică în acest punct nu se află în același plan (însele formează o suprafață conică).

Să scriem ecuația planului tangent la suprafața (1) într-un punct obișnuit. Deoarece acest plan este perpendicular pe vectorul (4), prin urmare, ecuația sa are forma

Dacă ecuația suprafeței este dată sub formă sau ecuația planului tangent în acest caz ia forma

Cometariu. Dacă punem în formula (6), atunci această formulă va lua forma

partea sa dreaptă este diferența completă a funcției. Prin urmare, . Astfel, diferența totală a unei funcții de două variabile într-un punct corespunzător incrementelor variabilelor independente x și y este egală cu incrementul corespunzător al aplicației planului tangent la suprafață, care este graficul acestei funcție.

Definiția 3. O dreaptă trasată printr-un punct de pe suprafața (1) perpendicular pe planul tangent se numește normală la suprafață (Fig. 207).

Să scriem ecuațiile normale. Deoarece direcția sa coincide cu direcția vectorului N, ecuațiile sale vor avea forma

O suprafață este definită ca un set de puncte ale căror coordonate satisfac un anumit tip de ecuație:

Dacă funcţia F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) este continuă la un moment dat și are derivate parțiale continue, dintre care cel puțin una nu dispare, atunci în vecinătatea acestui punct suprafața dată de ecuația (1) va fi suprafata potrivita.

Pe lângă cele de mai sus mod implicit de precizare, suprafața poate fi definită evident, dacă una dintre variabile, de exemplu, z, poate fi exprimată în termenii celorlalte:

Mai strict suprafata simpla se numește imaginea unei mapări homeomorfe (adică o mapare unu-la-unu și reciproc continuă) a interiorului unui pătrat unitar. Această definiție poate primi o expresie analitică.

Să fie dat un pătrat pe un plan cu un sistem de coordonate dreptunghiular u și v, ale cărui coordonate ale punctelor interne satisfac inegalitățile 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Exemplu suprafata simpla este o emisferă. Întreaga sferă nu este suprafata simpla. Acest lucru necesită o generalizare suplimentară a conceptului de suprafață.

Un subset de spațiu, fiecare punct al căruia are o vecinătate care este suprafata simpla, numit suprafata potrivita .

Suprafață în geometrie diferențială

Elicoid

Catenoid

Metrica nu determină în mod unic forma suprafeței. De exemplu, metrica unui elicoid și a unui catenoid, parametrizate în consecință, coincid, adică există o corespondență între regiunile lor care păstrează toate lungimile (izometria). Proprietățile care sunt păstrate sub transformări izometrice sunt numite geometria internă suprafete. Geometria internă nu depinde de poziția suprafeței în spațiu și nu se modifică atunci când este îndoită fără tensiune sau compresie (de exemplu, când un cilindru este îndoit într-un con).

Coeficienți metrici E , F , G (\displaystyle E,\F,\G) determinați nu numai lungimile tuturor curbelor, ci și în general rezultatele tuturor măsurătorilor în interiorul suprafeței (unghiuri, zone, curbură etc.). Prin urmare, tot ceea ce depinde numai de metrică se referă la geometria internă.

Secțiune normală și normală

Vectori normali în punctele de suprafață

Una dintre principalele caracteristici ale unei suprafețe este ea normal- vector unitar perpendicular pe planul tangent la un punct dat:

Semnul normalului depinde de alegerea coordonatelor.

O secțiune a unei suprafețe printr-un plan care conține normala suprafeței într-un punct dat formează o anumită curbă numită sectiune normala suprafete. Normala principală pentru o secțiune normală coincide cu normala la suprafață (până la semn).

Dacă curba de pe suprafață nu este o secțiune normală, atunci normala sa principală formează un anumit unghi cu normala suprafeței θ (\displaystyle \theta ). Apoi curbura k (\displaystyle k) curba legata de curbura k n (\displaystyle k_(n)) secțiune normală (cu aceeași tangentă) prin formula lui Meunier:

Coordonatele vectorului unitar normal pentru căi diferite alocațiile de suprafață sunt date în tabel:

Aici D (y, z) D (u, v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Toate derivatele sunt luate la punctul (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Curbură

Pentru direcții diferite la un punct dat de pe suprafață, se obține o curbură diferită a secțiunii normale, care se numește curbură normală; i se atribuie un semn plus dacă normala principală a curbei merge în aceeași direcție cu normala la suprafață sau un semn minus dacă direcțiile normalelor sunt opuse.

În general, în fiecare punct al unei suprafețe există două direcții perpendiculare e 1 (\displaystyle e_(1))Și e 2 (\displaystyle e_(2)), în care curbura normală ia valori minime și maxime; aceste direcții se numesc principal. Excepția este cazul când curbura normală în toate direcțiile este aceeași (de exemplu, lângă o sferă sau la sfârșitul unui elipsoid de revoluție), atunci toate direcțiile dintr-un punct sunt principale.

Suprafețe cu curbură negativă (stânga), zero (centru) și pozitivă (dreapta).

Se numesc curburi normale în direcțiile principale curburi principale; să-i desemnăm κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))Și κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Mărimea:

La un moment dat și are derivate parțiale continue, dintre care cel puțin una nu dispare, atunci în vecinătatea acestui punct suprafața definită de ecuația (1) va fi suprafata potrivita.

Pe lângă cele de mai sus mod implicit de precizare suprafata poate fi definita evident, dacă una dintre variabile, de exemplu z, poate fi exprimată în termenii celorlalte:

De asemenea este si parametrice modalitatea de atribuire. În acest caz, suprafața este determinată de sistemul de ecuații:

Conceptul de suprafață simplă

Mai precis, suprafata simpla se numește imaginea unei mapări homeomorfe (adică o mapare unu-la-unu și reciproc continuă) a interiorului unui pătrat unitar. Această definiție poate primi o expresie analitică.

Să fie dat un pătrat pe un plan cu un sistem de coordonate dreptunghiular u și v, ale cărui coordonate ale punctelor interne satisfac inegalitățile 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Exemplu suprafata simpla este o emisferă. Întreaga sferă nu este suprafata simpla. Acest lucru necesită o generalizare suplimentară a conceptului de suprafață.

Un subset de spațiu, fiecare punct al căruia are o vecinătate care este suprafata simpla, numit suprafata potrivita .

Suprafață în geometrie diferențială

Elicoid

Catenoid

Metrica nu determină în mod unic forma suprafeței. De exemplu, metrica unui elicoid și a unui catenoid, parametrizate în consecință, coincide, adică există o corespondență între regiunile lor care păstrează toate lungimile (izometria). Proprietățile care sunt păstrate sub transformări izometrice sunt numite geometria internă suprafete. Geometria internă nu depinde de poziția suprafeței în spațiu și nu se modifică atunci când este îndoită fără tensiune sau compresie (de exemplu, când un cilindru este îndoit într-un con).

Coeficienții metrici determină nu numai lungimile tuturor curbelor, ci și în general rezultatele tuturor măsurătorilor în interiorul suprafeței (unghiuri, zone, curbură etc.). Prin urmare, tot ceea ce depinde numai de metrică se referă la geometria internă.

Secțiune normală și normală

Vectori normali în punctele de suprafață

Una dintre principalele caracteristici ale unei suprafețe este ea normal- vector unitar perpendicular pe planul tangent la un punct dat:

Semnul normalului depinde de alegerea coordonatelor.

O secțiune a unei suprafețe printr-un plan care conține normala (la un punct dat) formează o anumită curbă pe suprafață, care se numește sectiune normala suprafete. Normala principală pentru o secțiune normală coincide cu normala la suprafață (până la semn).

Dacă curba de pe suprafață nu este o secțiune normală, atunci normala sa principală formează un anumit unghi θ cu normala suprafeței. Apoi curbura k curba legata de curbura k n secțiune normală (cu aceeași tangentă) prin formula lui Meunier:

Coordonatele vectorului unitar normal pentru diferite metode de definire a unei suprafețe sunt date în tabel:

	Coordonate normale la un punct de suprafață
atribuire implicită
atribuire explicită
specificație parametrică

Curbură

Pentru direcții diferite la un punct dat de pe suprafață, se obține o curbură diferită a secțiunii normale, care se numește curbură normală; i se atribuie un semn plus dacă normala principală a curbei merge în aceeași direcție cu normala la suprafață sau un semn minus dacă direcțiile normalelor sunt opuse.

În general, în fiecare punct al unei suprafețe există două direcții perpendiculare e 1 și e 2, în care curbura normală ia valori minime și maxime; aceste direcții se numesc principal. Excepția este cazul când curbura normală în toate direcțiile este aceeași (de exemplu, lângă o sferă sau la sfârșitul unui elipsoid de revoluție), atunci toate direcțiile dintr-un punct sunt principale.

Suprafețe cu curbură negativă (stânga), zero (centru) și pozitivă (dreapta).

Se numesc curburi normale în direcțiile principale curburi principale; să le notăm κ 1 și κ 2. Mărimea:

numit curbura gaussiana, curbură completă sau pur și simplu curbură suprafete. Există și termenul curbură scalară, care implică rezultatul convoluției tensorului de curbură; în acest caz, curbura scalară este de două ori mai mare decât curbura gaussiană.

Curbura gaussiană poate fi calculată printr-o metrică și, prin urmare, este un obiect al geometriei intrinseci a suprafețelor (rețineți că curburele principale nu aparțin geometriei intrinseci). Puteți clasifica punctele de suprafață pe baza semnului de curbură (vezi figura). Curbura planului este zero. Curbura unei sfere cu raza R este egală peste tot. Există, de asemenea, o suprafață cu curbură negativă constantă - pseudosferă.

Linii geodezice, curbură geodezică

Curba de pe suprafață se numește linie geodezică, sau pur și simplu geodezic, dacă în toate punctele sale normala principală la curbă coincide cu normala la suprafață. Exemplu: pe un plan, geodezicele sunt linii drepte și segmente de drepte, pe o sferă - cercuri mari și segmentele lor.

Definiție echivalentă: pentru o linie geodezică, proiecția normalei sale principale pe planul osculator este vectorul zero. Dacă curba nu este geodezică, atunci proiecția specificată este diferită de zero; lungimea sa se numește curbura geodezică k g curba la suprafata. Există o relație:

Unde k- curbura acestei curbe, k n- curbura secțiunii sale normale cu aceeași tangentă.

Liniile geodezice se referă la geometria internă. Să enumeram principalele lor proprietăți.

• Printr-un punct de suprafață dat într-o direcție dată trece una și o singură geodezică.
• Pe o zonă suficient de mică a suprafeței, două puncte pot fi întotdeauna conectate printr-o geodezică și, în plus, doar printr-un singur punct. Explicație: pe o sferă, polii opuși sunt legați printr-un număr infinit de meridiane, iar două puncte apropiate pot fi conectate nu numai printr-un segment dintr-un cerc mare, ci și prin adăugarea acestuia la un cerc complet, astfel încât unicitatea este menținută doar în mic.
• O geodezică este cea mai scurtă cale. Mai strict: pe o bucată mică de suprafață, cea mai scurtă cale dintre punctele date se află de-a lungul unei geodezice.

Pătrat

Un alt atribut important al suprafeței este ea pătrat, care se calculează prin formula:

Și anume despre ceea ce vezi în titlu. În esență, acesta este un „analog spațial” probleme de găsire a tangenteiȘi normali la graficul unei funcții a unei variabile și, prin urmare, nu ar trebui să apară dificultăți.

Să începem cu întrebările de bază: CE ESTE un plan tangent și CE ESTE un normal? Mulți oameni înțeleg aceste concepte la nivelul intuiției. Cel mai model simplu Cea care îmi vine în minte este o minge pe care se află o bucată subțire plată de carton. Cartonul este situat cât mai aproape de sferă și îl atinge într-un singur punct. În plus, în punctul de contact este fixat cu un ac care lipește drept în sus.

În teorie, există o definiție destul de ingenioasă a unui plan tangent. Imaginați-vă un liber suprafaţăși punctul care îi aparține. Evident, multe trec prin punct linii spațiale, care aparțin acestei suprafețe. Cine are ce asociații? =) ...personal mi-am imaginat o caracatiță. Să presupunem că fiecare astfel de linie are tangenta spatiala la punctul .

Definiția 1: plan tangent la suprafață într-un punct - acesta este avion, care conține tangente la toate curbele care aparțin unei suprafețe date și trec prin punct.

Definiția 2: normal la suprafață într-un punct - acesta este Drept, trecând printr-un punct dat perpendicular pe planul tangent.

Simplu și elegant. Apropo, ca să nu muriți de plictiseală din cauza simplității materialului, puțin mai târziu vă voi împărtăși un secret elegant care vă permite să uitați de înghesuirea diferitelor definiții ODATĂ PENTRU TOATEA.

Să ne familiarizăm cu formulele de lucru și algoritmul de soluție folosind un exemplu specific. În marea majoritate a problemelor, este necesar să se construiască atât ecuația planului tangent, cât și ecuația normală:

Exemplul 1

Soluţie:daca suprafata este data de ecuatie (adică implicit), atunci ecuația planului tangent la o suprafață dată într-un punct poate fi găsită folosind următoarea formulă:

Acord o atenție deosebită derivatelor parțiale neobișnuite - lor nu trebuie confundat Cu derivate parțiale ale unei funcții specificate implicit (deși suprafața este specificată implicit). Când găsiți aceste derivate, trebuie să vă ghidați după reguli de diferențiere a unei funcții a trei variabile, adică la diferențierea față de orice variabilă, celelalte două litere sunt considerate constante:

Fără a părăsi casa de marcat, găsim derivata parțială la punctul:

De asemenea:

Acesta a fost cel mai neplăcut moment al deciziei, în care o eroare, dacă nu este permisă, apare în mod constant. Cu toate acestea, există tehnică eficientă verifica despre ce am vorbit in clasa Derivată direcțională și gradient.

Toate „ingredientele” au fost găsite și acum este o chestiune de înlocuire atentă cu simplificări suplimentare:

– ecuație generală planul tangent dorit.

Recomand cu tărie să verificați și această etapă a soluției. Mai întâi trebuie să vă asigurați că coordonatele punctului tangent într-adevăr satisfac ecuația găsită:

- egalitate adevărată.

Acum „eliminăm” coeficienții ecuație generală plane și verificați-le pentru coincidența sau proporționalitatea cu valorile corespunzătoare. În acest caz, ele sunt proporționale. După cum vă amintiți din curs de geometrie analitică, - Acest vector normal plan tangent și el este, de asemenea vector ghid linie dreaptă normală. Hai să compunem ecuații canonice normale prin vector punct și direcție:

În principiu, numitorii pot fi redusi cu doi, dar nu este nevoie în mod special de acest lucru

Răspuns:

Nu este interzisă desemnarea ecuațiilor cu unele litere, dar, din nou, de ce? Aici este deja extrem de clar ce este.

Următoarele două exemple sunt pe care le puteți rezolva singur. Un mic „storcitor de limbi matematic”:

Exemplul 2

Aflați ecuațiile planului tangent și normala la suprafață în punctul.

Și o sarcină care este interesantă din punct de vedere tehnic:

Exemplul 3

Scrieți ecuații pentru planul tangent și normala la suprafață într-un punct

La punctul.

Există toate șansele nu numai să vă confuzi, ci și să întâmpinați dificultăți la înregistrare ecuații canonice ale dreptei. Și ecuațiile normale, după cum probabil înțelegeți, sunt de obicei scrise în această formă. Deși, din cauza uitării sau necunoașterii unor nuanțe, forma parametrică este mai mult decât acceptabilă.

Exemple aproximative de execuție finală a soluțiilor la sfârșitul lecției.

Există un plan tangent în orice punct al suprafeței? În general, desigur că nu. Exemplu clasic- Acest suprafata conica și punct - tangentele din acest punct formează direct o suprafață conică și, desigur, nu se află în același plan. Este ușor de verificat că ceva nu este în regulă analitic: .

O altă sursă de probleme este faptul inexistenţa orice derivată parțială la un punct. Totuși, acest lucru nu înseamnă că la un punct dat nu există un singur plan tangent.

Dar a fost, mai degrabă, știință populară, mai degrabă decât informații practic semnificative și revenim la problemele stringente:

Cum se scrie ecuații pentru planul tangent și normal la un punct,
dacă suprafața este specificată de o funcție explicită?

Să-l rescriem implicit:

Și folosind aceleași principii găsim derivate parțiale:

Astfel, formula planului tangent este transformată în următoarea ecuație:

Și în consecință, ecuațiile canonice normale:

După cum ați putea ghici, - acestea sunt deja „reale” derivate parțiale ale unei funcții a două variabileîn punctul, pe care îl notăm prin litera „z” și au fost găsite de 100500 de ori.

Vă rugăm să rețineți că în acest articol este suficient să vă amintiți chiar prima formulă, din care, dacă este necesar, este ușor să obțineți orice altceva (desigur, având un nivel de bază de pregătire). Aceasta este abordarea care ar trebui folosită atunci când studiezi științe exacte, adică dintr-un minim de informații trebuie să ne străduim să „tragem” un maxim de concluzii și consecințe. „Considerarea” și cunoștințele existente vă vor ajuta! Acest principiu este util și pentru că cel mai probabil te va salva într-o situație critică când știi foarte puține.

Să elaborăm formulele „modificate” cu câteva exemple:

Exemplul 4

Scrieți ecuații pentru planul tangent și normala la suprafață la punctul .

Există o ușoară suprapunere aici cu notațiile - acum litera denotă un punct din plan, dar ce poți face - o literă atât de populară...

Soluţie: să compunem ecuația planului tangent dorit folosind formula:

Să calculăm valoarea funcției în punctul:

Să calculăm Derivate parțiale de ordinul Iîn acest moment:

Prin urmare:

cu grijă, nu te grăbi:

Să scriem ecuațiile canonice ale normalei în punctul:

Răspuns:

Și un ultim exemplu pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 5

Scrieți ecuațiile pentru planul tangent și normala la suprafața punctului.

Final - pentru că am explicat practic toate punctele tehnice și nu este nimic special de adăugat. Chiar și funcțiile în sine propuse în această sarcină sunt plictisitoare și monotone - în practică sunteți aproape garantat că veți întâlni un „polinom”, iar în acest sens, Exemplul nr. 2 cu un exponent arată ca o „oaie neagră”. Apropo, este mult mai probabil să întâlniți o suprafață definită de o ecuație, iar acesta este un alt motiv pentru care funcția a fost inclusă în articol ca numărul doi.

Și, în sfârșit, secretul promis: deci cum să eviți înghesuiala de definiții? (Desigur, nu mă refer la situația în care un student înghesuie febril ceva înainte de un examen)

Definiția oricărui concept/fenomen/obiect oferă, în primul rând, un răspuns la următoarea întrebare: CE ESTE? (cine/asa/asa/sunt). Conştient Când răspundeți la această întrebare, ar trebui să încercați să reflectați semnificativ semne, categoric identificarea unui anumit concept/fenomen/obiect. Da, la început se dovedește a fi oarecum limbă, inexact și redundant (profesorul te va corecta =)), dar în timp se dezvoltă un discurs științific destul de decent.

Practicați pe cele mai abstracte obiecte, de exemplu, răspundeți la întrebarea: cine este Cheburashka? Nu este atât de simplu ;-) Este acesta un „personaj de basm cu urechi mari, ochi și blană maronie”? Departe și foarte departe de definiție - nu știi niciodată că există personaje cu astfel de caracteristici... Dar aceasta este mult mai aproape de definiție: „Cheburashka este un personaj inventat de scriitorul Eduard Uspensky în 1966, care... (lista principalelor caracteristici distinctive)”. Observați cât de bine a început