Teoria cozilor. modele de formare a cozilor și metode pentru prezicerea dimensiunii medii a cozii. Teoria cozilor de aşteptare Teoria cozilor de aşteptare în management

Teoria cozilor

secţiunea teoriei cozilor de aşteptare (vezi Teoria cozilor de aşteptare). O.T. studiază sisteme în care solicitările care găsesc sistemul ocupat nu se pierd, ci așteaptă ca acesta să devină liber și apoi sunt deservite într-o ordine sau alta (adeseori acordând prioritate anumitor categorii de solicitări). Concluzii Otomanii sunt folosiți pentru planificarea rațională a sistemelor de așteptare. Din punct de vedere matematic, problemele O. t. pot fi incluse în teoria proceselor aleatoare (Vezi Procesul aleator), iar răspunsurile sunt adesea exprimate în termeni de transformări Laplace (Vezi transformarea Laplace). caracteristicile cerute. Utilizarea metodelor statistice este necesară chiar și în cele mai simple cazuri pentru o înțelegere corectă a tiparelor statistice care apar în sistemele de așteptare.

Exemplu. Să existe un singur dispozitiv de serviciu care primește un flux aleatoriu de solicitări. Dacă dispozitivul este liber atunci când se primește o solicitare, acesta începe imediat să fie deservit. În caz contrar, este pus în coadă și dispozitivul deservește cererile una după alta, în ordinea în care au fost primite. Lăsa A - numărul mediu de cereri primite în timpul unui serviciu, A T este durata perioadei de ocupare, adică perioada de timp din momentul în care dispozitivul este ocupat de o anumită cerere care găsește dispozitivul liber, până în primul moment în care dispozitivul este eliberat complet. O.T. arată că în ipotezele naturale așteptările matematice T egală m= 1/(1 - a), iar varianța este (1 + A) m 3(deci când a = 0,8 valorile corespunzătoare sunt 5 și 225). Astfel, pentru un dispozitiv de service „bine încărcat” (adică pentru o valoare apropiată de 1), valoarea medie m variabilă aleatorie T este o caracteristică foarte nesigură T.

Lit.: Gnedenko B.V., Kovalenko I.N., Introducere în teoria cozilor, M., 1966; Sisteme de servicii prioritare, M., 1973.

Yu. V. Prohorov.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

• Eyebright
• Următoarele sarcini ale guvernului sovietic

Vedeți ce este „Teoria cozilor” în alte dicționare:

TEORIA COZILOR- la matematică, o secțiune a teoriei cozilor de așteptare, în care sunt studiate sisteme în care solicitările care găsesc sistemul ocupat nu se pierd, ci se așteaptă să fie eliberat și apoi sunt deservite într-o ordine sau alta... Dicţionar enciclopedic mare

teoria cozilor- (matematică), o secțiune a teoriei cozilor de așteptare, în care sunt studiate sistemele în care solicitările care găsesc sistemul ocupat nu se pierd, ci se așteaptă ca acesta să fie eliberat și apoi sunt deservite într-o ordine sau alta. * * * TEORIA COZILOR TEORIA COZIILOR, în... ... Dicţionar enciclopedic

TEORIA COZILOR- vezi Teoria cozilor... Big Enciclopedic Polytechnic Dictionary

TEORIA COZILOR- secțiunea teoriei cozilor de așteptare. O.t. studiază sistemele în care solicitările care găsesc sistemul ocupat nu se pierd, ci așteaptă ca acesta să fie eliberat și apoi sunt deservite într-o ordine sau alta (adesea cu prioritate acordată anumitor... ... Enciclopedie matematică

TEORIA COZILOR- (matematică), o secțiune a teoriei cozilor în care sunt studiate sistemele în care solicitările care găsesc sistemul ocupat nu se pierd, ci se așteaptă să fie eliberat și apoi sunt deservite într-o ordine sau alta... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Teoria cozilor- (teoria cozilor de așteptare) o secțiune a teoriei probabilităților, al cărei scop cercetării este alegerea rațională a structurii sistemului de servicii și a procesului de serviciu bazat pe studiul fluxului de cereri de servicii care intră și ies din sistem ... ... Wikipedia

teoria cozilor- - teoria cozilor O secțiune de cercetare operațională care examinează diferite procese din economie, precum și în comunicațiile telefonice, asistența medicală și altele... ... Ghidul tehnic al traducătorului

Teoria cozilor

Teoria cozilor- o secțiune de cercetare operațională care ia în considerare diverse procese din economie, precum și din comunicațiile telefonice, asistența medicală și alte domenii ca procese de servicii, i.e. satisfacție pentru ceea ce...... Dicționar economic și matematic

Teoria cozilor- vezi Teoria cozilor... Dicționar economic și matematic

Cărți

• Logistica și teoria cozilor de așteptare
• Teoria logisticii și a cozii, Ryzhikov Yu.I.. Manualul discută starea curenta teoria logisticii, elementele sunt discutate model matematic managementul stocurilor și elementele de bază ale metodelor numerice ale teoriei cozilor de așteptare;...

Această metodă, propusă de Danzig, Kesten și Rannenberg (metoda mărcilor colective) și dezvoltată apoi de G.P. Klimov (metoda „catastrofei”) facilitează obținerea rezultatelor analitice în situațiile în care alte metode cunoscute duc la calcule care necesită o forță de muncă intensivă. S-a dovedit a fi deosebit de eficient atunci când se analizează sistemele de așteptare prioritare și nesigure.

Esența acestei metode este următoarea. Să fie necesar să găsim o distribuție care să caracterizeze funcționarea QS-ului. Funcția generatoare a acestei distribuții (dacă distribuția este discretă) sau transformarea ei Laplace-Stieltjes primește o semnificație probabilistică prin „colorarea” interogărilor sau prin introducerea unui flux de „catastrofe” în considerare. Apoi se ia în considerare un eveniment aleatoriu (suplimentar) și se calculează probabilitatea în termeni de funcție generatoare sau transformarea Laplace-Stieltjes a distribuției dorite în două moduri diferite. Rezultă o ecuație a cărei soluție este funcția care interesează cercetătorul.

Să ilustrăm această metodă aplicând-o pentru a găsi caracteristicile probabilistice ale sistemului M\G\1. O caracteristică importantă de performanță a multor sisteme din lumea reală este distribuția perioadei de ocupare a sistemului. Perioada ocupată este intervalul de timp din momentul în care o solicitare ajunge într-un sistem gol și până în momentul în care sistemul este din nou gol pentru prima dată. Cunoașterea perioadei aglomerate face posibilă rezolvarea problemelor legate, de exemplu, de planificarea activităților din sistem. munca preventivă, explorând posibilitatea încărcării suplimentare a dispozitivului prin efectuarea unor lucrări minore „de fundal” etc.

Să notăm funcția distribuției staționare a lungimii perioadei ocupate în sistemul luat în considerare prin transformarea sa Laplace-Stieltjes.

Considerăm că este îndeplinită următoarea condiție:

garantând existența unei distribuții staționare a duratei perioadei aglomerate a QS-ului considerat.

Afirmația 13.

Transformarea Laplace-Stieltjes a distribuției lungimii perioadei de ocupare a QS considerată satisface următoarea ecuație funcțională:

Dovada. Este ușor de observat că distribuția duratei perioadei de ocupare a sistemului nu depinde de ordinea în care sunt servite cererile. Pentru a facilita analiza structurii perioadei ocupate, presupunem că cererile sunt deservite în ordine inversă, adică cererea care a venit ultima în sistem este întotdeauna selectată pentru serviciu. Această disciplină de selecție a cozii este codificată ca LIFO (Last In - First Out) sau LCFS (Last Came - First Served). Cu o astfel de disciplină de selecție din coadă, fiecare cerere pare să genereze o perioadă de ocupare a sistemului cu cereri care au intrat în sistem după ea. Mai mult, structura și, prin urmare, distribuția duratei perioadei de ocupare generate de o anumită solicitare este aceeași cu structura și distribuția duratei perioadei de ocupare a sistemului. Folosind aceste argumente, ajungem la înțelegerea că perioada de ocupare a sistemului constă în timpul deservirii primei solicitări, de la care a început perioada de ocupare, și un număr aleator de perioade de ocupare generate de cererile care au intrat în sistem în timpul serviciului de prima cerere.

Acum să presupunem că, indiferent de funcționarea acestui sistem, sosește un simplu flux de catastrofe de intensitate s. Să introducem în considerare evenimentul (suplimentar) A, care constă în faptul că nu au avut loc dezastre în perioada aglomerată dată.

Să ne amintim că, conform interpretării probabilistice a transformării Laplace-Stieltjes, valoarea este probabilitatea ca nicio catastrofă să nu se producă într-un timp aleator având o funcție de distribuție H(t). Prin urmare, este ușor de înțeles că probabilitatea evenimentului A este determinată după cum urmează:

Să găsim acum probabilitatea aceluiași eveniment în mod diferit. Să numim o solicitare arbitrară „rea” dacă în perioada aglomerată pe care o generează are loc un dezastru. Folosind înțelegerea noastră a structurii perioadei de ocupare, nu este dificil să verificăm că, pentru ca cererea cu care perioada de ocupare a început să fie bună (probabilitatea acesteia este P(A)), este necesar și suficient ca în timpul deservirii sale nu există evenimente din totalul unui flux de dezastre și un flux de solicitări proaste.

Fluxul catastrofei este cel mai simplu flux de intensitate s. Fluxul de cereri proaste este obținut din cel mai simplu flux inițial de intensitate ca rezultat al aplicării cea mai simplă procedură cernerea recurentă (o cerere arbitrară este inclusă în fluxul cernut cu o probabilitate independentă de alte solicitări). Prin urmare, conform afirmației 6, fluxul cernut este cel mai simplu flux de intensitate Conform afirmației 5, fluxul total de dezastre și cereri necorespunzătoare este cel mai simplu flux de intensitate

Astfel, folosind încă o dată interpretarea probabilistică a transformării Laplace-Stieltjes, obținem următoarea formulă pentru probabilitatea unui eveniment:

Comparând expresiile (1.83) și (1.84), suntem convinși de validitatea formulei (1.82). Afirmația 13 a fost dovedită.

Ecuația (1.82), obținută de J. Kendall în 1951, are o soluție unică în regiunea Res > 0, astfel încât

Dacă distribuția timpului de serviciu este exponențială, sistemul luat în considerare este M|M|1 și transformarea Laplace - Stieltjes a distribuției timpului de serviciu are forma: În acest caz, ecuația funcțională (1.82) devine ecuație pătratică pentru necunoscuta transformare Laplace-Stieltjes

Rezolvând ecuația (1.85), obținem:

În această formulă alegem doar semnul astfel încât soluția rezultată să satisfacă condiția.Acum inversând transformata Laplace - Stieltjes, obținem următoarea expresie pentru derivata funcției de distribuție a lungimii perioadei ocupate a sistemului M| M|1:

unde funcția este o funcție Bessel modificată de primul fel.

În cazul general, ecuația (1.82) poate fi rezolvată prin metoda iterației, oferind funcției un indice în partea stângă a ecuației și un indice în partea dreaptă. Această procedură are o rată geometrică de convergență a secvenței la o valoare pentru o valoare fixă ​​a argumentului

În plus, prin diferențierea secvențială a ecuației (1.82) urmată de înlocuirea argumentului și luând în considerare proprietatea 5 a transformării Laplace-Stieltjes, se poate obține o succesiune recurentă de formule pentru calcularea momentelor inițiale ale distribuției lungimii ocupatei. perioadă. Astfel, valoarea medie a duratei perioadei ocupate și al doilea moment inițial al distribuției sale sunt determinate de formula:

După cum ar fi de așteptat, pe măsură ce factorul de încărcare crește și valoarea lui se apropie de unitate, valoarea medie a perioadei de ocupare tinde spre infinit.

Să luăm acum în considerare o altă caracteristică a funcționării sistemului M\G\1 - numărul de cereri deservite în perioada aglomerată. Să notăm

Enunțul 14. Funcția generatoare satisface următoarea ecuație funcțională:

Dovada. Să dăm un sens probabilist funcției generatoare după cum urmează. Fiecare dintre interogări, independent de celelalte, va fi numită roșu cu probabilitate z și albastru cu probabilitate suplimentară. Vom numi o cerere arbitrară roșu închis dacă ea însăși este roșie și în perioada de ocupare generată de ea, numai cererile roșii au fost deservite în sistem. Să introducem evenimentul A, care este că cererea care începe perioada ocupată este roșu închis. Să aflăm probabilitatea acestui eveniment. Pe de o parte, este evident că

Pe de altă parte, din analiza de mai sus a structurii perioadei ocupate, este clar că pentru ca o cerere să fie roșu închis, este necesar și suficient ca ea însăși să fie roșie (probabilitatea acesteia este egală cu z ) și în timpul serviciului său doar roșu închis puteau sosi cereri.

Deoarece fluxul de cereri este cel mai simplu cu parametrul , iar o cerere arbitrară este roșu închis cu probabilitate , atunci fluxul de apeluri care nu sunt roșu închis (după cum urmează din Instrucțiunea 6) este cel mai simplu cu parametrul Amintirea interpretării probabilistice a Transformarea Laplace - Stieltjes, din raționamentul de mai sus derivăm următoarea formulă alternativă pentru probabilitatea unui eveniment

Comparând formulele (1.90) și (1.91), suntem convinși de validitatea lui (1.89). Afirmația 14 a fost dovedită.

Ecuația (1.89) definește singura funcție analitică din domeniu astfel încât

Consecinţă. Numărul mediu de solicitări deservite în sistemul M\G\1 în timpul unei perioade aglomerate este dat de formula:

Să prezentăm o altă dovadă a formulei Pollyacek-Khinchin pentru funcția generatoare a distribuției de probabilitate a numărului de cereri în sistemul M\G\1 la sfârșitul serviciului. Fiecare dintre cererile care vin în sistem, independent de celelalte, va fi numită roșu cu probabilitatea 2 și albastru cu probabilitate suplimentară. Să introducem evenimentul A, care constă în faptul că cererea care părăsește sistemul în momentul finalizării serviciului este ea însăși roșie și toate cererile rămase în sistem în acest moment sunt de asemenea roșii.

Din interpretarea probabilistă a funcției generatoare rezultă în mod evident că:

unde este funcția generatoare dorită a distribuției de probabilitate a numărului de cereri din sistem la sfârșitul serviciului.

Pe de altă parte, pentru ca evenimentul A să apară, este necesar și suficient ca toate cererile care se aflau în sistem în momentul anterior încheierii serviciului (dacă sistemul nu era gol) să fie roșii și să nu fi sosit cereri albastre în timpul serviciul, iar dacă sistemul era gol, atunci prima solicitare care a sosit ar trebui să fie roșie și nicio solicitare albastră nu a sosit în timpul serviciului său.

Din aceste considerente rezultă că:

Din relațiile acestei relații și (1.92) rezultă în mod evident formula Pollyachek-Khinchin:

pe care am obținut-o mai devreme folosind metoda lanțului Markov imbricat.

Pentru a incheia subsectiunea vom gasi caracteristicile sistemului M\G\1 cu disciplina LIFO.

S-a remarcat mai sus că distribuția perioadei de ocupare a sistemului M|G|1 nu depinde de disciplina de serviciu. Prin urmare, ecuația (1.82) definește transformarea Laplace-Stieltjes a distribuției perioadei de angajare pentru toate disciplinele. În plus, este ușor de observat că distribuțiile numărului de cereri în sistemul M\G\1 la disciplinele FIFO și LIFO coincid și sunt date prin formula (1.81).

Distribuția timpului de așteptare a cererii pentru disciplinele FIFO și LIFO este diferită. În disciplina FIFO, transformata Laplace-Stieltjes a distribuției staționare a timpului de așteptare este dată de formula (1.52).

Afirmația 15. În disciplina LIFO, transformarea Laplace - Stieltjes are următoarea formă:

unde funcția este o soluție a ecuației (1.82).

Dovada. Să introducem fluxul dezastrelor și conceptul de cerere „proastă”, așa cum s-a făcut în dovada afirmației 13. În acest caz, funcția este probabilitatea ca un dezastru să nu se producă în timpul de așteptare al unei cereri date. , iar funcția este probabilitatea ca o solicitare arbitrară să nu fie „rea”, adică dezastrul să nu se producă în perioada aglomerată generată de această solicitare.

Ținând cont de esența disciplinei LIFO și de raționamentul folosit în proba afirmației 13, obținem formula:

unde este transformata Laplace - Stieltjes a distribuției timpului rezidual (după momentul sosirii cererii, al cărui timp de așteptare îl studiem) de deservire a cererii aflat pe dispozitiv.

1. Subiect și sarciniÎn activitățile de producție și viața de zi cu zi, apar adesea situații când este nevoie de servicii de cerințe sau aplicații care intră în sistem. Sunt adesea situații în care este necesar să rămâneți într-o situație de așteptare. Exemple în acest sens ar putea fi o linie de clienți la casele de marcat ale unui magazin mare, un grup de avioane de pasageri care așteaptă permisiunea de a decolare la aeroport, o serie de mașini și mecanisme defecte aflate la coadă pentru reparații în atelierul de reparații al unei întreprinderi. , etc. Uneori, sistemele de servicii au o capacitate limitată de a satisface cererea, rezultând cozi. În mod obișnuit, nu se cunosc în prealabil nici momentul în care nevoile de servicii și nici durata serviciului. Cel mai adesea nu este posibil să evitați o situație de așteptare, dar puteți reduce timpul de așteptare la o limită tolerabilă.

Subiect Teoriile de așteptare sunt sisteme de așteptare (QS). Sarcini Teoriile de așteptare sunt analiza și studiul fenomenelor care apar în sistemele de servicii. Una dintre sarcinile principale teoria este de a determina astfel de caracteristici ale sistemului care să asigure o anumită calitate a funcționării, de exemplu, un timp minim de așteptare, un minim din lungimea medie a cozii. Scopul studierii modului de funcționare al sistemului de serviceîn condițiile în care factorul de șansă este semnificativ, Control niste indicatori cantitativi ai funcționării sistemului de așteptare. Astfel de indicatori, în special, sunt timpul mediu pe care un client îl petrece într-o coadă sau proporția de timp în care sistemul de servicii este inactiv. Mai mult, în primul caz evaluăm sistemul din poziția de „client”, în timp ce în al doilea caz evaluăm gradul de încărcare a sistemului de deservire. Prin modificarea caracteristicilor de funcționare ale sistemului de servicii, rezonabil compromiteîntre cerințele „clienților” și capacitatea sistemului de deservire.

Ca indicatori ai SMO Pot fi utilizate și valori precum numărul mediu de aplicații din coadă, probabilitatea ca numărul de aplicații din coadă să depășească o anumită valoare etc.

Sistem - un ansamblu de elemente, legături între ele și scopul funcționării. Orice sistem de coadă se caracterizează printr-o structură care este determinată de compoziția elementelor și a conexiunilor funcționale.

Elementele principale ale sistemului următoarele:

1. Fluxul de intrare al cerințelor (intensitatea fluxului de intrare );

2. Canale de servicii (număr de canale n, număr mediu de angajați k, performanță  );

3. Coada de cerințe (număr mediu de aplicații  z, timpul mediu de ședere pentru o aplicație t);

4. Fluxul de ieșire al cererilor (intensitatea fluxului de intrare  ).

2. Clasificarea sistemelor de asteptare Pe baza numărului de canale, QS este împărțit în cu un singur canal Și multicanal . Pe baza locației surselor aplicației, sistemele de așteptare pot fi împărțite în:

 închis – o sursă în sistem și o influențează;

 deschis – în afara sistemului și nu are nicio influență.

În funcție de fazele de service, QS-ul poate fi împărțit în:

 monofazat – o etapă de întreținere,

 multifazic – două sau mai multe etape.

Pe baza condițiilor de așteptare, sistemele de așteptare (QS) sunt împărțite în două clase principale: Sisteme de așteptare cu eșecuri și SMO cu anticipare . Într-un QS cu refuzuri, o aplicație care sosește într-un moment în care toate canalele sunt ocupate este respinsă, părăsește QS-ul și nu participă la procesul de service ulterioar (de exemplu, un apel telefonic). Într-un QS în așteptare, o solicitare care ajunge într-un moment în care toate canalele sunt ocupate nu pleacă, ci devine în coadă pentru service.

Cozile cu așteptare sunt împărțite în diferite tipuri, în funcție de modul în care este organizată coada: cu limitat sau durata de așteptare nelimitată ,cu timp de așteptare limitat etc.

Pentru clasificarea QS este importantă disciplina de serviciu, determinând procedura de selectare a cererilor dintre cele primite și procedura de distribuire a acestora între canalele gratuite. Disciplina de serviciu – regulile după care funcționează QS. Pe baza acestei caracteristici, deservirea unei cerințe poate fi organizată:

1. pe principiul „primul venit, primul servit”;

2. pe principiul „primul venit, ultimul servit” (de exemplu, expedierea produselor omogene dintr-un depozit).

3. întâmplător;

4. cu prioritate. În acest caz, prioritatea poate fi absolut (o ordine mai importantă o înlocuiește pe una obișnuită) și relativ (o aplicație importantă primește doar „cel mai bun” loc în coadă).

Când se analizează procese aleatoare cu stări discrete, este convenabil să se folosească o schemă geometrică - așa-numita grafic de stare.

Exemplu. Dispozitiv S constă din două noduri,

fiecare dintre ele poate eșua la un moment aleatoriu, după care începe imediat reparația unității, continuând cu un timp aleator necunoscut în avans. Stări posibile ale sistemului: S 0 – ambele unități sunt operaționale; S 1 – prima unitate este în reparație, a doua este în funcțiune; S 2 – prima unitate este operațională, a doua este în reparație; S 3 – ambele unitati sunt in reparatie.

3. Flux de intrare de cerințeO caracteristică comună a tuturor problemelor asociate cu coada de așteptare este natura aleatorie a fenomenelor studiate.. Numărul de cereri de serviciu, intervalele de timp dintre sosirea acestora și durata serviciului sunt aleatorii. Prin urmare, principalul aparat pentru descrierea sistemelor de servicii este aparatul teoriei proceselor aleatorii, în special a celor Markov. Pentru a studia procesele care au loc în aceste sisteme, se folosesc metode de modelare prin simulare.

Procesul de operare QS este un proces aleatoriu cu stări discrete și timp continuu. Aceasta înseamnă că starea QS-ului se schimbă brusc în momente aleatorii când apar orice evenimente (apariția unei noi solicitări, prioritatea serviciului, sfârșitul serviciului).

SubAleatoriu (stochastic, probabilistic)proces se referă la procesul de schimbare a stării unui sistem în timp în conformitate cu o lege probabilistică. Solicitările de service în QS de obicei nu ajung în mod regulat (de exemplu, un flux de apeluri la o centrală telefonică, un flux de defecțiuni ale computerului, un flux de clienți etc.), formând așa-numitul fluxul de aplicații (sau cerințe).

Fluxul este caracterizat intensitate λ – frecvența de apariție a evenimentelor sau numărul mediu de evenimente care intră în QS pe unitatea de timp.

Fluxul de evenimente este numit regulat , dacă evenimentele urmează unul după altul la anumite intervale de timp egale (flux de produse pe o linie de asamblare într-un atelier de asamblare).

Fluxul de evenimente este numit staționar , dacă caracteristicile sale probabilistice nu depind de timp . În special, pentru un flux staționar λ(i)= λ (debitul mașinilor pe bulevard în orele de vârf).

Fluxul de evenimente este numit curge fara consecinte , dacă pentru oricare două perioade de timp disjunse – τ 1 Și τ 2 – numărul de evenimente care cad asupra unuia dintre ele nu depinde de numărul de evenimente care cad asupra celorlalte (fluxul de persoane care intră în metrou sau fluxul de clienți care părăsesc casa de marcat).

Flux de evenimente comun , dacă evenimentele apar în el unul câte unul și nu în grupuri (fluxul trenurilor este normal, fluxul vagoanelor nu).

Fluxul de evenimente este numit cel mai simplu , dacă este și staționar, obișnuit și nu are consecințe.

Un flux obișnuit de aplicații fără consecințe este descris de distribuția Poisson (legea).

Cel mai simplu flux în teoria cozilor joacă același rol ca legea normală în teoria probabilității. Caracteristica sa principală este că atunci când se adaugă mai multe fluxuri independente cele mai simple, se formează un flux total, care este, de asemenea, aproape de cel mai simplu.

Fiecare eveniment are un momentt, în care a avut loc acest eveniment. T – intervalul dintre două momente în timp . Fluxul evenimentelor - succesiune independentă de momentet.

Pentru cel mai simplu flux cu intensitate λ probabilitatea de a atinge un interval de timp elementar (mic) Δ t cel puțin un eveniment de fir este egal.

Un flux obișnuit de ordine fără consecințe este descris de distribuția Poisson (legea) cu parametrul λτ :

, (1)

pentru care așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este egală cu varianța acesteia:
.

În special, probabilitatea ca în timp τ nu se va întâmpla niciun eveniment ( m=0), egal

. (2)

Exemplu. Linia telefonică automată primește cel mai simplu flux de apeluri cu intensitate λ =1,2 apeluri pe minut. Găsiți probabilitatea ca în două minute: a) să nu vină un singur apel; b) va veni exact un apel; c) va veni cel puțin un apel.

Soluţie. a) Variabila aleatoare X– numărul de apeluri în două minute – distribuit conform legii lui Poisson cu parametrul λτ =1,2·2=2,4. Probabilitatea ca nu vor exista apeluri ( m=0), conform formulei (2):

b) Probabilitatea unui apel ( m=1):

c) Probabilitatea apariției a cel puțin unui apel:

4. Limitarea probabilităților stărilorDacă numărul de stări ale sistemului este finit și din fiecare dintre ele se poate trece la orice altă stare într-un număr finit de pași, atunci există probabilități limitative.

Să considerăm o descriere matematică a unui proces Markov cu stări discrete și timp continuu folosind exemplul unui proces al cărui grafic este prezentat în Fig. 1. Presupunem că toate tranzițiile sistemului de la statS i VS j apar sub influența unor simple fluxuri de evenimente cu intensități de stareλ ij (i, j=0,.1,2,3).

De la trecerea sistemului de la statS 0 VS 1 va avea loc sub influența fluxului de eșec al primului nod și a tranziției inverse de la stareS 1 VS 0 – sub influența fluxului și a evenimentelor legate de finalizarea reparațiilor primului nod etc.

Se va apela graficul stărilor sistemului cu intensitățile marcate la săgeți marcat . Sistemul luat în considerare are patru stări posibile: S 0 ,S 1 ,S 2 ,S 3 . Să-i spunem probabilitate i-a probabilitatea de stare p i (t) ce în acest moment t sistemul va fi într-o stare S i. Evident, pentru orice moment t suma probabilităților tuturor stărilor este egală cu unu:
.

Limita probabilității de stare S i are – arată timpul relativ mediu în care sistemul rămâne în această stare (dacă probabilitatea marginală a statuluiS 0 , adicăp 0 =0,5, aceasta înseamnă că în medie jumătate din timp sistemul este în stareS 0 ).

Pentru sistem S cu graficul de stare prezentat în Fig. sistemul de ecuații algebrice liniare care descrie regimul staționar are forma (numit și sistem Ecuații Kolmogorov ):

(3)

Acest sistem poate fi obținut dintr-un grafic de stare etichetat, ghidat de regulă, conform care în partea stângă a ecuațiilor este probabilitatea marginală a unei stări datep i , înmulțit cu intensitatea totală a tuturor fluxurilor care pleacăi -a stare, egală cu suma produselor intensității tuturor fluxurilor care intră dini -a stare asupra probabilității acelor stări din care provin aceste fluxuri.

Exemplu. Găsiți probabilitățile limită pentru sistemul al cărui grafic de stare este prezentat în Fig. superior. la λ 01 =1, λ 02 =2, λ 10 =2, λ 13 =2, λ 20 =3, λ 23 =1, λ 31 =3, λ 32 =2 .

Sistemul de ecuații algebrice pentru acest caz, conform (3), are forma:

După ce am rezolvat sistemul liniar de ecuații, obținem p 0 = 0,4, p 1 = 0,2, p 2 = 0,27, p 3 = 0,13; acestea. în modul staționar limitator sistemul Sîn medie 40% din timp va fi într-o stare S 0 (ambele noduri sunt operaționale), 13% în stare bună S 1 (primul nod este reparat, al doilea funcționează), 27% - în stare S 2 (a doua unitate este in reparatie, prima functioneaza) si 13% sunt in stare S 3 (ambele unitati sunt in reparatie).

Să determinăm venitul net din funcționarea în regim staționar al sistemului considerat Sîn condițiile în care pe unitatea de timp, buna funcționare a nodului unu și a nodului doi generează venituri de 10, respectiv 6 unități monetare, iar repararea acestora necesită costuri de 4, respectiv 2 unități monetare. Să evaluăm eficiența economică a posibilității existente de înjumătățire a timpului mediu de reparație pentru fiecare dintre cele două unități, dacă în același timp este necesară dublarea costului reparației fiecărei unități (pe unitate de timp).

Pentru a rezolva această problemă, ținând cont de valorile obținute p 0 , p 1 , p 2 , p 3 Să determinăm fracțiunea de timp în care primul nod funcționează corect, adică. p 0 + p 2 = 0,4+0,27 = 0,67 și fracțiunea de timp de funcționare corectă a celui de-al doilea nod p 0 + p 1 = 0,4+0,2 = 0,6. În același timp, prima unitate este în reparație în medie pentru o fracțiune de timp egală cu p 1 + p 3 = 0,2+0,13 = 0,33, iar al doilea nod p 2 + p 3 = 0,27+0,13 = 0,40. Prin urmare, venitul net mediu pe unitatea de timp din operarea sistemului este egal cu D=0,67·10+0,6·6–0,33·4–0,4·2=8,18 unități monetare. reducerea la jumătate a timpului mediu de reparație pentru fiecare nod va însemna dublarea intensității fluxului de „finalizare a reparațiilor” pentru fiecare nod, adică. Acum λ 10 =4, λ 20 =6, λ 31 =6, λ 32 =4 și un sistem de ecuații care descriu modul staționar al sistemului S, va arăta astfel:

.

După ce am rezolvat sistemul pe care îl obținem p 0 = 0,6, p 1 = 0,15, p 2 = 0,2, p 3 = 0,05. Având în vedere că p 0 + p 2 = 0,6+0,2 = 0,8,

p 0 + p 1 = 0,6+0,15 = 0,75, p 1 + p 3 = 0,15+0,05 = 0,2, p 2 + p 3 = 0,2+0,05 = 0,25, iar costurile de reparare a primei și a doua unități sunt de 8, respectiv 4 unități monetare, să calculăm venitul mediu net pe unitatea de timp: D1=0,8·10+0,75·6–0,2·8–0,25·4=9,99 unități monetare.

Deoarece D1 Mai mult D(cu aproximativ 20%), atunci este evidentă fezabilitatea economică a accelerării reparației componentelor.

5. Procesul de reproducere și moarte Procesul de reproducere și moarte luat în considerare în QS se caracterizează prin faptul că, dacă toate stările sistemului sunt numerotate S 1 ,S 2 ,… ,S n apoi de la stat S k (k< n) puteți fie să intrați într-o stare S k -1 , sau într-o stare S k +1 .

Următorul sistem de ecuații este tipic pentru limitarea probabilităților:

(4)

la care se adauga conditia:

Din acest sistem se pot găsi probabilitățile limitative. Primim:

, (6)

,
, …,
. (7)

Exemplu. Procesul morții și al reproducerii este reprezentat printr-un grafic. (orez).

Aflați probabilitățile limită ale stărilor.

Soluţie. Folosind formula (6) găsim
,

de (7)
,
,

acestea. în modul staționar, în medie 70,6% din timp sistemul va fi în stare S 0 , 17,6% – capabil S 1 iar 11,8% sunt capabili S 2 .

6. Sisteme cu defecțiuni Ca indicatori ai eficacității unui QS cu eșecuri, vom lua în considerare:

A– capacitatea absolută a QS, adică numărul mediu de solicitări servite pe unitatea de timp,

Q– debit relativ, de ex. ponderea medie a aplicațiilor primite deservite de sistem;

– probabilitatea de eșec, de ex. că aplicația va lăsa QS-ul neservit;

– numărul mediu de canale ocupate (pentru un sistem multicanal).

Astăzi, în multe domenii ale activității practice umane, ne confruntăm cu nevoia de a rămâne într-o stare de anticipare. Situații similare apar în cozile la casele de bilete, pe aeroporturile mari, când personalul de întreținere a aeronavelor așteaptă permisiunea de decolare sau aterizare, la centralele telefonice în așteptarea liberării liniei abonatului, în atelierele de reparații în așteptarea reparației utilajelor. și echipamente, în depozitele organizațiilor de aprovizionare și distribuție în așteptare pentru descărcarea sau încărcarea vehiculelor. Studiul unor astfel de situații ține de problemele teoriei cozilor.

Odată cu dezvoltarea ulterioară a cozii de așteptare, aplicarea principiilor teoriei cozilor de așteptare în managementul diferitelor tipuri de organizații este o conditie necesara funcționarea lor cu succes. Dacă clienții stau mult timp la coadă, este puțin probabil să facă achiziții repetate la un magazin universal unde au fost nevoiți să aștepte o jumătate de oră pentru a fi serviți, deoarece oamenilor nu le place să piardă timpul așteptând. Scopul principal al teoriei cozilor este de a studia principiile de funcționare a sistemului de servicii atunci când apar cozi și de a studia fenomenele care apar în timpul procesului de service.

Timpul pe care o cerere îl petrece în coadă poate fi redus prin creșterea numărului de dispozitive de service. Cu toate acestea, fiecare dispozitiv suplimentar necesită anumite costuri materiale, iar timpul de inactivitate al dispozitivului de service crește din cauza lipsei cerințelor de întreținere, care este și un fenomen negativ. Prin urmare, se pune problema cum se realizează contracție maximă coadă sau pierderea cerințelor când costuri minime asociat cu timpul de nefuncţionare a dispozitivelor de service.

Conceptul de teoria cozilor

Teoria stării de așteptare în literatura în limba rusă este mai des denumită teoria stării de așteptare. Într-adevăr, în multe lucrări ele sunt tratate ca echivalente; în altele, teoria cozilor este considerată doar ca o secțiune a teoriei cozilor de așteptare, deoarece aceasta din urmă studiază sistemele nu numai cu cozi, ci și cu eșecuri, de exemplu, atunci când sistemul este ocupat și nu se formează o coadă de cereri, deci cum li se „refuză” serviciul. Termenul „masiv” implică stabilitatea statistică a imaginii și repetarea repetată a situațiilor într-un sens sau altul: multe aplicații care ajung în sistem și sunt deservite, un număr mare de sisteme similare în funcțiune.

Teoria cozilor de așteptare și teoria cozilor de așteptare sunt folosite ca echivalent, deoarece nu luăm în considerare sistemele cu defecțiuni.

„Teoria cozilor este o ramură a matematicii aplicate care studiază procesele asociate cu satisfacerea cererii în masă de servicii, ținând cont de natura aleatorie a cererii și a serviciului.” Acestea includ sisteme concepute pentru a satisface un flux masiv de cerințe de natură aleatorie; atât momentele în care apar cerințe, cât și timpul petrecut pentru deservirea acestora pot fi aleatorii.

Teoria cozilor a apărut la începutul secolului al XX-lea. pe baza problemelor de telefonie: a fost necesar să se găsească o modalitate de a determina numărul de linii telefonice care să ofere un serviciu satisfăcător abonaților. Specificul acestei sarcini este natura aleatorie a momentelor în care abonații se sună între ei și durata conversației. La început problema a fost rezolvată empiric; apoi a început să se construiască o teorie bazată pe metodele teoriei probabilităților. Probleme similare în formularea matematică cu problemele de telefonie au apărut în timpul creării de întreprinderi de servicii în masă, aeroporturi, autostrăzi, la planificarea transportului feroviar, a inventarelor de produse etc. În a doua jumătate a anilor '60. teoria cozilor a început să fie aplicată la diverse probleme de cibernetică: organizarea interacțiunii calculatoarelor, teoria fiabilității, cercetarea operațională, inginerie radio, radar etc.

În același timp, „teoria cozilor de așteptare este o secțiune a cercetării operaționale care ia în considerare diverse procese din economie, precum și din comunicațiile telefonice, asistența medicală și alte domenii, ca procese de servicii, adică satisfacerea unor solicitări, comenzi (de exemplu, servicii). navele din port - descărcarea și încărcarea acestora, întreținerea strunjitorilor în magazia de scule a atelierului - eliberarea tăietorilor acestora, deservirea clienților în spălătorie - spălarea rufelor etc.)”.

În ciuda diversității lor, aceste procese au caracteristici comune:

Solicitările de service intră neregulat (aleatoriu) pe canalul de service (un loc la dană, o fereastră în camera de distribuție);

În funcție de ocuparea canalului, durata serviciului și alți factori, se formează o coadă de solicitări.

Teoria cozilor studiază tiparele statistice de sosire a cererilor și, pe această bază, dezvoltă soluții, i.e. astfel de caracteristici sub care timpul petrecut cu așteptarea la coadă, pe de o parte, și pe timpul de nefuncționare a canalelor de servicii, pe de altă parte, ar fi cel mai mic. Astfel, putem considera timpul pierdut la așteptarea la cozi și la oprirea canalelor de servicii (depozitarea mărfurilor în depozite) ca măsură a eficienței sistemului economic studiat: cu cât pierderile sunt mai mici, cu atât eficiența este mai mare.

„Teoria cozilor studiază sistemele în care cererile care găsesc sistemul ocupat nu se pierd, ci așteaptă ca acesta să devină liber și apoi sunt deservite într-o ordine sau alta și este, de asemenea, posibil să se acorde prioritate anumitor categorii de solicitări.”

Descoperirile teoriei cozilor de așteptare sunt utilizate pentru planificarea rațională a sistemelor de așteptare. Utilizarea metodelor teoriei cozilor de așteptare este necesară chiar și în cele mai simple cazuri pentru o înțelegere corectă a tiparelor statistice care apar în sistemele de cozi de așteptare.

„Un sistem de așteptare este un obiect (întreprindere, organizație etc.) ale cărui activități sunt asociate cu implementarea repetată a unor sarcini și operațiuni similare.”

Din punctul de vedere al teoriei cozilor de așteptare, acesta este un set de puncte în care cererile de servicii sau cerințele care trebuie satisfăcute sunt primite în momente aleatorii sau nealeatorii.

"Un sistem de așteptare constă dintr-un sistem de service și de service. Sistemul de service include un set de surse de cerințe și un flux de cerințe primite. Sistemul de service constă dintr-un dispozitiv de stocare și un mecanism de service."

Sistemul este caracterizat de următorii parametri:

Cerință/aplicare – fiecare cerere individuală de a efectua orice lucrare.

Fluxul de cerințe de intrare - cerințe care vin din toate sursele către sistemul de deservire.

Timp de serviciu – timpul în care cererea este procesată.

Interactivitatea serviciului este numărul de solicitări deservite de un canal pe unitate de timp.

Unitatea de servicii este partea sistemului de servicii care primește fluxul de cereri. Poate consta din unul sau mai multe „dispozitive”, „canale”, care sunt înțelese ca dispozitive sau persoane care prestează serviciul.

Există multe exemple de sisteme de așteptare. Rețea telefonică: aici cererea este un apel de abonat, dispozitivul de deservire este un comutator. Pentru supermarketuri: aplicația în acest caz este sosirea unui cumpărător la magazin, iar dispozitivul de servire este casa de marcat.

Este posibil, totuși, să se ia în considerare munca unui supermarket din poziții opuse: se consideră că casierul care așteaptă un client este o cerere de service, iar dispozitivul de service este un client capabil să satisfacă cererea, adică. mergeți la casă cu achizițiile dvs. și opriți timpul de nefuncționare forțat al casieriei. Posibilitatea unei astfel de abordări duale stă la baza optimizării structurii sistemelor studiate.

Dacă, de exemplu, într-un magazin există o singură casă de marcat, iar clienții vin frecvent, atunci va fi o coadă de clienți care așteaptă să fie serviți. Dacă, dimpotrivă, clienții intră rar și sunt mai multe casierii, atunci va fi o coadă de casierii care așteaptă cumpărătorul. În ambele cazuri, magazinul suferă pierderi: în primul caz, pentru că nu vor fi serviți toți cei care vor să cumpere marfa, iar în al doilea, pentru că sunt prea multe casierii și o parte din fondul lor. salariile va fi risipită.

Prin urmare, suma medie a timpului de așteptare al clientului și a timpului de așteptare al casieriei poate servi drept criteriu pentru organizarea corectă a activității magazinului. Munca magazinului este organizată cel mai bun mod, dacă această valoare este minimă.

Probleme de teoria cozilor

„O coadă este o secvență de solicitări sau aplicații care, găsind sistemul de service ocupat, nu pleacă, ci așteaptă să fie eliberată, iar apoi sunt deservite într-o ordine sau alta. O coadă poate fi numită și un set de canale de așteptare sau facilități de servicii. Acesta este un concept cheie al cozilor de teorie."

Procesul de formare a cozilor este de natură stocastică, deoarece constă din variabile aleatorii ale căror valori se modifică în timp.

Cozile de cerințe sau aplicații sunt împărțite în primul rând în închise și liniare.

În primul caz, cererile deservite pot fi returnate în sistem și reintroduse pentru service. De exemplu, vehiculele alocate unei anumite flote pot forma o coadă închisă pentru stația de încărcare și baterie a flotei respective. Sau comandantul, a cărui sarcină este să monteze mașinile în atelier, trebuie să le întrețină periodic. Fiecare mașină reglată devine o sursă potențială de cerințe pentru o altă ajustare în viitor. În astfel de sisteme, numărul total de cerințe de circulație este finit și cel mai adesea constant.

În al doilea caz, cererile deservite nu sunt returnate sistemului, de exemplu, o stație publică de încărcare și baterie pe o autostradă. De asemenea, exemple de astfel de sisteme sunt magazinele, casele de bilete din stații, porturi etc. Pentru aceste sisteme, fluxul de cerințe de intrare poate fi considerat nelimitat.

Disciplina de serviciu este un set de reguli, folosind cerințele pentru serviciu sunt selectate din coadă. În funcție de disciplina de serviciu, cozile sunt, de asemenea, împărțite într-un număr de tipuri: coadă live, coadă cu priorități, atunci când cerințele individuale sunt preferate, cozi aleatorii etc.

De asemenea, parametri importanți sunt lungimea cozii, adică numărul mediu de cereri în așteptare și timpul de așteptare al serviciului - timpul mediu pe care o cerere rămâne în sistem până la începerea serviciului.

Problemele teoriei cozilor, formulate matematic, se reduc de obicei la studiul unui tip special de procese aleatorii. Pe baza caracteristicilor probabilistice date ale fluxului de apeluri de intrare și a duratei serviciului, teoria cozilor de așteptare determină caracteristicile corespunzătoare ale calității serviciului: probabilitatea de defecțiune, timpul mediu de așteptare pentru începerea serviciului, timpul mediu de întrerupere a liniilor de comunicație etc.

Timpul de service este timpul necesar sistemului pentru a răspunde unei cereri individuale. Cel mai adesea, durata serviciului este variabilă aleatorie si se caracterizeaza prin timpul maxim de service posibil. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca timpul petrecut pentru deservirea unei cereri să nu depășească timpul maxim permis.

Calcularea capacității sistemului implică determinarea numărului maxim de cereri care pot fi deservite simultan. Cerințele sunt deservite folosind un canal de servicii. Un canal de servicii înseamnă un dispozitiv, o unitate sau o persoană care este capabilă să servească doar o singură cerință la un moment dat. Capacitatea canalului este unul dintre parametrii determinanți atunci când se rezolvă problemele teoriei coadă. Cealaltă caracteristică a sa cea mai importantă este timpul mediu de a răspunde unei cereri.

Disponibilitatea sistemului implică identificarea tuturor motivelor posibile pentru care numărul de cereri care sunt satisfăcute simultan este mai mic decât capacitatea.

În plus, întregul sistem poate să nu fie pregătit să primească din când în când solicitări, cum ar fi o pauză de prânz la un magazin, astfel încât disponibilitatea include caracteristicile de sincronizare „off” ale sistemului. „Timpul de nefuncționare” al sistemului este cel mai adesea considerat, ca și durata serviciului, o variabilă aleatorie și este descris de probabilitatea ca canalul sau întregul sistem să fie oprit pentru un anumit timp. Sistemele reale sunt adesea „incomplet accesibile”, deși există și sisteme „complet accesibile”.

Un rol important în îndeplinirea sarcinilor de teorie a cozilor de așteptare îl joacă modelele de teorie a cozilor de așteptare, cu ajutorul cărora sunt concepute modele de servicii optime.

Modelul teoriei cozilor de așteptare sau modelul optim al serviciului este utilizat pentru a determina numărul optim de canale de servicii în raport cu cererea. Situațiile în care modelele teoriei de așteptare pot fi utile includ persoanele care sună la o companie aeriană pentru a rezerva un loc și pentru a obține informații, așteptarea la coadă pentru prelucrarea datelor mașinii, tehnicieni reparatori de echipamente, o linie de camioane care urmează să fie descărcate într-un depozit și clienții băncii care așteaptă un casier disponibil... Dacă, de exemplu, clienții trebuie să aștepte prea mult timp pentru un casier, aceștia pot decide să își transfere conturile la o altă bancă. De asemenea, dacă camioanele trebuie să aștepte prea mult pentru a se descărca, nu vor putea efectua atât de multe călătorii într-o zi cât ar trebui. Așadar, o problemă fundamentală este echilibrarea costurilor canalelor de servicii suplimentare: mai mulți oameni pentru a descărca camioanele, mai mulți casierii, mai mulți funcționari pentru a pre-vând bilete de avion. A doua problemă fundamentală este menținerea pierderilor de serviciu la niveluri suboptime: camioanele nu pot face opriri inutile din cauza întârzierilor la descărcare, consumatorii trec la o altă bancă sau trec la o altă companie aeriană din cauza serviciului lent.

„Motivul principal al lipsei canalelor de servicii îl reprezintă schimbările pe termen scurt ale frecvenței cererilor clienților pentru serviciu, precum și timpii de service. Acest lucru duce la un exces de capacitate la anumite ore și la cozi în altele, deși capacitatea ar putea fi suficientă dacă s-a asigurat serviciul complet.controlul asupra primirii cerinţelor şi ar fi posibilă construirea unui program adecvat."

Modelele de coadă oferă managementului un instrument pentru a determina numărul optim de canale de servicii pentru a trebui să echilibreze costurile prea puține și prea multe canale de servicii.

Să luăm în considerare formularea generală a problemei teoriei coadă în coadă.

Există un anumit sistem conceput pentru a deservi aplicațiile sau cerințele primite. Sistemul are un anumit număr de locuri de muncă sau facilități de servicii (canale de servicii). Sosirea cererilor în sistem și momentul deservirii acestora sunt aleatorii. În acest caz, în sistem apar situații când:

1) fie se formează o coadă de cereri în așteptarea serviciului;

2) sau canalele de servicii sunt inactive.

Ambele duc la creșterea costurilor de întreținere.

Pentru a preveni creșterile nejustificate ale costurilor, puteți:

1) modificarea numărului mediu de solicitări care intră în sistem pe unitatea de timp;

2) modificarea numărului de canale de servicii;

3) modificați ambii parametri.

Problemele teoriei cozilor sunt luate în considerare pentru sistemele existente și proiectate.

Pentru sistemele existente, acestea oferă o evaluare cantitativă a funcționării sistemului și a elementelor sale individuale, pe baza căreia se iau decizii care vizează îmbunătățirea funcționării sistemului și îmbunătățirea organizării acestuia.

Pentru sistemele proiectate se determină caracteristicile lor calitative și cantitative optime:

1. Număr optim de canale de servicii.

2. Probabilitatea apariției unor situații nedorite (timp de oprire a canalelor de servicii, timp de nefuncționare a solicitărilor în coadă).

Astfel, în oricare dintre cele două cazuri, modelul problemei de coadă include:

Fluxul aplicațiilor;

Canale de servicii;

Organizarea cozilor și disciplina de serviciu;

Indicatori de performanta.

Să luăm în considerare aceste elemente ale problemei teoriei cozilor.

Un flux de cerere de intrare este o secvență de cereri care intră într-un canal de servicii. Cerințele apar aleatoriu și necesită un anumit timp, de obicei, nu tocmai previzibil în avans pentru a le satisface.

În cele mai multe cazuri, fluxul de intrare este incontrolabil și depinde de o serie de factori aleatori. Numărul de cereri care sosesc pe unitatea de timp este o variabilă aleatorie. O variabilă aleatorie este, de asemenea, intervalul de timp dintre cererile adiacente primite. Cu toate acestea, se presupune că numărul mediu de cereri primite pe unitatea de timp și intervalul de timp mediu dintre cererile adiacente primite sunt date.

Fluxul de cereri este omogen dacă toate cererile sunt egale și sunt luate în considerare doar momentele de timp în care se primesc cererile, i.e. faptele aplicațiilor fără a specifica detaliile fiecărei aplicații specifice.

În cel mai simplu caz, probabilitatea ca o cerință să apară în orice perioadă scurtă de timp este proporțională cu lungimea acestui interval și nu depinde de dacă cerințele au apărut sau nu în perioadele anterioare de timp.

Cel mai simplu flux este important din următoarele motive:

1. Suma unui număr finit de fluxuri independente cele mai simple formează un flux cel mai simplu cu o intensitate egală cu suma intensităților componentelor.

2. Suma debitelor staţionare independente cu efecte secundare limitate, cu condiţia ca intensitatea componentelor să fie scăzută în comparaţie cu intensitatea totală, cu condiţia ca suma debitelor să tinde spre infinit, converge către cel mai simplu flux.

3. Subțierea aleatorie a unui flux obișnuit staționar arbitrar cu efecte secundare limitate, i.e. ejectarea fiecărei cerințe succesive independent cu o anumită probabilitate; pe măsură ce probabilitatea de ejectare crește, fluxul se apropie cel mai simplu.

4. Probabilitatea apariției unui eveniment din cel mai simplu (și doar cel mai simplu) flux într-un interval de timp mic este proporțională cu durata acestui interval și nu depinde de timpul său de apariție a intervalului și de sfârșitul acestuia, care oferă avantaje enorme calculate.

Cu ajutorul acestuia, este posibil să se proiecteze modele care descriu poziția sistemului fără a lua în considerare alți factori.

Aceste proprietăți sunt adesea observate, dar nu întotdeauna. De exemplu, intensitatea fluxului de aplicații poate depinde de momentul zilei sau al anului; aplicațiile pot ajunge în grupuri de volum constant sau aleatoriu. În cazul unui flux extraordinar de cereri sub formă de „pachete” de volum constant, este mai convenabil să se treacă la fluxul obișnuit de cereri de grup.

În practică, condițiile celui mai simplu flux nu sunt întotdeauna îndeplinite cu strictețe. Procesul este adesea non-staționar: la diferite ore ale zilei și zile diferite luna, fluxul de cereri se poate schimba, poate fi mai intens dimineata sau la ultimele zile lună. Există, de asemenea, un efect secundar, când numărul de cerințe pentru eliberarea mărfurilor la sfârșitul lunii depinde de satisfacerea acestora la începutul lunii. Fenomenul de eterogenitate se observă și atunci când mai mulți clienți ajung simultan la depozitul de materiale.

Un flux de cereri de intrare se numește staționar dacă probabilitatea de a primi un anumit număr de cereri într-o anumită perioadă de timp este determinată doar de mărimea acestui interval și nu depinde de momentul începerii acestuia. Dacă cerințele pot intra în sistem doar unul câte unul, atunci un astfel de flux se numește obișnuit. Dacă numărul de cereri care sosesc în diferite perioade de timp sunt reciproc independente, acesta este un flux fără efecte secundare.

Dacă cererile ajung în anumite momente în timp, atunci vorbim de un flux de intrare discret. Sistemele cu astfel de fluxuri sunt cele mai comune. Acestea includ, de exemplu, rețeaua de telefonie și supermarketurile. Există, de asemenea, sisteme cu un flux continuu de intrare. Un exemplu este un rezervor de gaz în care gazul este alimentat continuu, iar scoaterea din depozit, deoarece în acest caz aceasta este întreținerea, poate fi efectuată fie discret, deoarece gazul poate fi necesar în porțiuni separate, fie în mod continuu.

Dacă doar un număr finit de cereri pot intra în sistem în același timp, fluxul de intrare se numește limitat; altfel – nelimitat. De exemplu, dacă o echipă de reparații deservește o zonă de 30 de mașini, atunci numărul de cerințe - defecțiuni ale mașinii - nu poate fi mai mare de 30 simultan, iar în problema încărcării rețelei telefonice, fluxul de intrare poate fi de obicei considerat nelimitat.

În funcție de numărul de dispozitive instalate, sistemele de servicii sunt împărțite în unic și multicanal. Numărul de solicitări care pot fi deservite simultan nu depășește numărul de canale. Într-un sistem de așteptare cu mai multe canale, o solicitare de intrare poate fi deservită de unul dintre mai multe canale incluse în blocul de servicii. Canalele pot fi omogene, specializate pe tipuri de solicitari, care difera prin intensitatea serviciului etc.

Aplicațiile care sosesc într-un sistem ocupat nu pot fi deservite imediat și formează o coadă. Coada poate fi limitată lungime maxima sau timpul maxim petrecut în ea. Un exemplu de sarcină cu o constrângere de timp este sosirea unui autobasculant cu amestec de beton la un șantier. Dacă restricția este încălcată, cererea este respinsă. Introducerea unei limite elimină automat întârzierile foarte mari, dar este asociată cu „penalități” suplimentare pentru refuzul serviciului.

O cerere nou venită, în funcție de organizarea și scopul sistemului, devine fie la sfârșitul cozii (disciplina FCFS: First Come – First Served), fie la început (LCFS: Last Come – First Served). Ultima opțiune este altfel numită principiul stivei („magazin”).

Pentru cereri eterogene, poate fi introdus serviciul prioritar. În acest caz, aplicațiile sunt aliniate în mai multe cozi, iar canalul eliberat primește o aplicație dintr-o coadă negoală cu cea mai mare prioritate. În unele situații (prioritate absolută)

Cei mai importanți indicatori ai eficienței sistemului sunt:

1. probabilitatea refuzului de a accepta o cerere de notificare;

2. probabilitatea de așteptare zero, i.e. probabilitatea ca cererea să fie deservită imediat după intrarea în sistem;

3. timpul în care aplicația rămâne în sistem;

4. timp de așteptare pentru începerea serviciului;

5. lungimea cozii;

6. distribuţia şi momentele de durată a angajării continue a sistemului.

Sistemele sunt, de asemenea, evaluate pe baza caracteristicilor de distribuție a timpului de rezidență. Caracteristicile de așteptare și, în special, durata medie de așteptare reflectă prețul pe care un client trebuie să îl plătească pentru partajarea sistemului de servicii cu alți clienți.

Utilizarea teoriei cozilor de așteptare în crearea sistemelor de așteptare în activități comerciale

Natura serviciilor de masă, în special într-un domeniu precum activitatea comercială, este foarte subtilă și complexă. Activitatea comercială este asociată cu efectuarea multor operațiuni în etapele de mișcare a masei de mărfuri din sfera producției în sfera consumului. Astfel de operațiuni sunt încărcarea mărfurilor, transportul, descărcarea, depozitarea, procesarea, ambalarea și vânzarea. Pe lângă aceste operațiuni, procesul de deplasare a mărfurilor este însoțit de un număr mare de operațiuni preliminare, pregătitoare, de însoțire, paralele și ulterioare cu documente de plată, containere, bani, autoturisme, clienți etc.

Fragmentele de activitate comercială enumerate se caracterizează prin sosirea masivă a mărfurilor, banilor și vizitatorilor în momente aleatorii, apoi deservirea lor secvențială (satisfacerea cererilor, solicitărilor, aplicațiilor) prin efectuarea de operațiuni adecvate, al căror timp de execuție este și el aleatoriu. Toate acestea creează denivelări în muncă, dau naștere la subîncărcări, timpi de nefuncționare și supraîncărcări în operațiunile comerciale. Cozile cauzează o mulțime de probleme, de exemplu, pentru vizitatorii din cafenele, cantine, restaurante, șoferii de mașini de la depozitele de mărfuri care așteaptă descărcarea, încărcarea sau documentele. În acest sens, se ridică sarcinile de analiză a opțiunilor existente pentru efectuarea întregului set de operațiuni, de exemplu, podeaua de vânzare a unui supermarket, restaurant sau în ateliere pentru producerea de produse proprii în scopul evaluării muncii lor, identificând verigi slabe. și rezerve pentru elaborarea în ultimă instanță a recomandărilor care vizează creșterea eficienței activităților comerciale.

În plus, apar și alte sarcini legate de crearea, organizarea și planificarea unei noi opțiuni economice, raționale pentru efectuarea multor operațiuni în cadrul podelei, cofetăriei, întregii producții a unui restaurant, cafenea, cantină, departament de planificare, contabilitate, personal. departament, etc.

Rolul cererilor în activitățile comerciale îl au bunurile, vizitatorii, banii, auditorii, documentele, iar rolul canalelor de servicii îl joacă vânzătorii, administratorii, bucătarii, cofetarii, ospătarii, casierii, experții în marfă, încărcătoarele, echipamentele comerciale etc. Este important de remarcat faptul că într-o variantă de realizare, de exemplu, un bucătar în procesul de preparare a mâncărurilor este un canal de servicii, iar în altul acționează ca o cerere de servicii, de exemplu, către managerul de producție pentru a primi mărfuri.

Aplicațiile, din cauza numărului masiv de chitanțe pentru service, formează fluxuri care sunt numite primite înainte de efectuarea operațiunilor de service și după o posibilă așteptare pentru începerea service-ului, de ex. timpul de inactivitate în serviciul din formularul de coadă curge în canale și apoi se formează un flux de cereri de ieșire. În general, combinația de elemente ale fluxului de cereri de intrare, o coadă, canale de servicii și fluxul de cereri de ieșire formează cel mai simplu sistem de așteptare cu un singur canal - QS, al cărui model structural este prezentat în Fig. 1.

Un sistem este înțeles ca un set de părți (elemente) interconectate și care interacționează în mod intenționat. Exemple de astfel de QS simple în activități comerciale sunt locurile de primire și procesare a mărfurilor, centrele de plată pentru clienți din magazine, cafenele, cantine, locuri de muncă pentru economiști, contabili, comercianți, bucătari etc.

Figura 1. Model structural al unui sistem de așteptare cu un singur canal

Procedura de service este considerată finalizată atunci când cererea de service părăsește sistemul. Durata intervalului de timp necesar implementării procedurii de service depinde în principal de natura solicitării de service, de starea sistemului de servicii în sine și de canalul de servicii.

Într-adevăr, durata șederii unui cumpărător într-un supermarket depinde, pe de o parte, de calitățile personale ale cumpărătorului, de nevoile acestuia, de gama de bunuri pe care urmează să le achiziționeze și, pe de altă parte, de forma de organizare a serviciilor și a personalului de service, ceea ce poate scurta semnificativ șederea cumpărătorului în supermarket și poate crește intensitatea serviciului. De exemplu, stăpânirea metodei „oarbe” de lucru la o casă de marcat de către casierii-controlori a făcut posibilă creșterea debitului nodurilor de plată de 1,3 ori și economisirea timpului petrecut cu decontările cu clienții la fiecare casă de marcat cu mai mult de 1,5 ore. pe zi. Introducerea unui singur centru de plată într-un magazin universal oferă cumpărătorului următoarele beneficii tangibile. Astfel, dacă cu forma tradițională de plată timpul pentru deservirea unui client a fost în medie de 1,5 minute, atunci odată cu introducerea unei unități de plată unice a fost de 67 de secunde. Dintre acestea, 44 de secunde sunt cheltuite pentru efectuarea unei achiziții în secțiune și 23 de secunde direct pentru plățile pentru achiziții la ieșirea din magazin. Dacă cumpărătorul face mai multe achiziții în secțiuni diferite, atunci pierderea de timp se reduce la achiziționarea a două achiziții de 1,4 ori, de trei cu 1,9, de cinci cu 2,9 ori.

Sarcinile de organizare a serviciilor de masă apar în aproape toate domeniile de activitate comercială, de exemplu, vânzătorii care deservesc clienții în magazine, deservesc vizitatorii în unități de alimentație publică, servicii pentru clienți în întreprinderile de servicii pentru consumatori, furnizarea de convorbiri telefonice la o centrală telefonică, furnizarea îngrijire medicală pacienţii din clinică etc. În toate exemplele de mai sus, există necesitatea de a satisface o anumită nevoie a unui număr mare de consumatori.

Orice cerere pentru a satisface orice nevoie este o cerere sau cerere. De exemplu, solicitările care necesită servicii sunt clienții din magazine, apelurile telefonice, solicitările de primire a mărfurilor etc.

Prin solicitări de service înțelegem satisfacerea unei nevoi. Serviciile din exemplele date sunt de altă natură. Cu toate acestea, în toate exemplele, solicitările primite necesită service de către un anumit dispozitiv. În unele cazuri, serviciul este efectuat de o singură persoană (deservirea unui client de către un agent de vânzări într-o secțiune a magazinului), în unele cazuri de către un grup de persoane (servirea unui pacient de către o comisie medicală într-o clinică), iar în unele cazuri de către dispozitive tehnice (vânzarea apei gazoase, sandvișuri la automate). Setul de instrumente pe care le solicită serviciul se numește canal de servicii.

Dacă canalele de servicii sunt capabile să satisfacă cereri identice, atunci canalele de servicii sunt numite omogene. Un set de canale omogene de servicii se numește sistem de servicii.

Sistemul de așteptare primește un număr mare de solicitări în momente aleatorii, a căror durată de serviciu este, de asemenea, o variabilă aleatorie. Sosirea secvențială a aplicațiilor în sistemul de servicii se numește flux de aplicații de intrare, iar succesiunea de aplicații care părăsesc sistemul de servicii se numește flux de ieșire.

Natura aleatorie a distribuției duratei operațiunilor de serviciu, împreună cu natura aleatorie a primirii cererilor de serviciu, duce la faptul că în canalele de servicii are loc un proces aleatoriu, care poate fi apelat (prin analogie cu intrarea). fluxul de cereri) fluxul de servicii de cereri sau pur și simplu fluxul de servicii.

Aplicațiile care intră în sistemul de servicii îl pot lăsa neservit. De exemplu, dacă un client nu găsește produsul dorit într-un magazin, el părăsește magazinul fără a fi servit. Cumpărătorul poate părăsi magazinul și dacă produsul dorit este disponibil, dar este o coadă lungă, iar cumpărătorul nu are timp.

Teoria cozilor de aşteptare se ocupă cu studiul proceselor asociate cu cozile de aşteptare şi cu dezvoltarea unor metode de rezolvare a problemelor tipice de cozi de aşteptare.

Atunci când se studiază eficiența unui sistem de servicii, diverse moduri de localizare a canalelor de servicii în sistem joacă un rol important.

Cu o aranjare paralelă a canalelor de servicii, o solicitare poate fi deservită de orice canal gratuit. Un exemplu de astfel de sistem de servicii este un centru de plată în magazinele cu autoservire, unde numărul de canale de servicii coincide cu numărul de casieri-controlori.

În practică, o solicitare este adesea deservită secvenţial de mai multe canale de servicii. În acest caz, următorul canal de servicii începe să lucreze la deservirea cererii după ce canalul anterior și-a încheiat activitatea. În astfel de sisteme, procesul de service este în mai multe faze; deservirea unei cereri printr-un singur canal se numește faza de service. De exemplu, dacă un magazin cu autoservire are departamente cu vânzători, atunci clienții sunt serviți mai întâi de vânzători și apoi de casierii-controlori.

Organizarea sistemului de servicii depinde de voința persoanei. În teoria cozilor de așteptare, calitatea funcționării sistemului este înțeleasă nu ca cât de bine este prestat serviciul, ci cât de complet încărcat este sistemul de servicii, dacă canalele de servicii sunt inactive sau dacă se formează o coadă.

În activitățile comerciale, aplicațiile care intră în sistemul de așteptare solicită și calitatea serviciului în ansamblu, care include nu numai o listă de caracteristici care s-au dezvoltat istoric și sunt luate în considerare direct în teoria stării de așteptare, ci și altele suplimentare caracteristice specificul activității comerciale, inclusiv, în special, procedurile individuale de întreținere, cerințele pentru nivelul acestora, care acum au crescut foarte mult. În acest sens, este necesar să se țină cont și de indicatorii activității comerciale.

Funcționarea sistemului de servicii este caracterizată de indicatori cum ar fi timpul de așteptare pentru începerea serviciului, lungimea cozii de așteptare, posibilitatea unui refuz al serviciului, posibilitatea de întrerupere a canalelor de servicii, costul serviciului și, în cele din urmă, satisfacție față de calitatea serviciului, care include și indicatori ai activității comerciale. Pentru a îmbunătăți calitatea funcționării sistemului de servicii, este necesar să se determine cum să distribuiți cererile primite între canalele de servicii, câte canale de servicii ar trebui să fie disponibile, cum să aranjați sau grupați canalele de servicii sau dispozitivele de service pentru a deservi și îmbunătăți performanța afacerii.

Utilizarea teoriei cozilor de așteptare într-un sistem de învățământ la distanță la calcularea capacității optime a sistemului

În materie de prețuri în domeniul învățământului la distanță (DL), este destul de evident că este necesar să se calculeze debitul optim al sistemului DL în sine, determinat de limitările tehnologice ale sistemului, cum ar fi suma ratelor de personalul didactic (FTA) pentru fiecare curs dintr-o specialitate, curriculum, etc. separat, i.e. în cazul cel mai general, intensitatea muncii a procesului de învăţământ. Pe baza debitului optim, puteți calcula limita inferioară a costului serviciilor filialelor, care în viitor va fi necesară pentru analiza comparativa prețuri în comparație cu prețurile de consum și cele competitive.

În primul rând, vom lua în considerare pe scurt metoda cea mai evidentă de calcul a numărului maxim admis de st. în sistem (ca parametru al debitului sistemului), bazat pe o expresie aritmetică simplă care ține cont de capacitățile de producție ale potențialului științific și pedagogic al universității.

Capacitățile tehnologice ale procesului de furnizare a serviciilor educaționale sunt limitate de intensitatea muncii a suportului educațional și metodologic. Cea mai recentă inițiativă a Ministerului Educației al Federației Ruse, privind stabilirea standardelor pentru numărul de studenți pe unitate de cadre didactice, se referă la formarea în 1999 a unui grup de lucru (Ordinul din 14 mai 1999 N 1302), pe baza rezultatelor căreia s-a întocmit un raport pe care însă nu a găsit implementare practică. Cu toate acestea, aceste studii ne permit să luăm în considerare următoarele rate ale populației de studenți pentru universități:

Studenți cu normă întreagă – 1:10

Studenți cu fracțiune de normă – 1:18.75

Studenți cu fracțiune de normă – 1:43,75

Studenți străini – 1:7.50

Studenți absolvenți cu normă întreagă – 1:7.50

Studenți absolvenți cu fracțiune de normă – 1:10

Ascultători FPK și IPPC – 1:7.50

Elevii catedrelor pregătitoare – 1:10

Rezidenți – 1:3.75

Stagiari – 1:5.

În scopul muncii noastre, să ne oprim, de exemplu, asupra raportului propus pentru studenții de la învățământ la distanță, adică. 43,75 elevi pe unitate didactică.

În consecință, luând ca bază oferta actuală de resurse de muncă pentru procesul educațional de învățământ la distanță, și bazându-se pe standardele propuse, pe baza datelor curriculum pentru cursul de specialitate (i), se calculează sarcina medie pe unitate de cadre didactice (pentru cursurile prin corespondență):

Q_i = numărul_i personalului didactic \xx 43,75\xx ((ChaG - ChaSR)/ChaKP, conform curriculum_i) (1)

ChaG – numărul de ore academice pe an (perioada studiată),

ChaSR – numărul de ore academice prevăzute muncă independentă student, conform curriculum-ului,

ChaKP - numărul de ore academice prevăzute pentru consultări cu profesorii, conform curriculum-ului.

Calculele iau în considerare numărul de cadre didactice cu normă întreagă, cu alte cuvinte, suma tarifelor personalului didactic pentru o anumită specialitate, i.e. nu este neapărat un număr întreg. Vă rugăm să rețineți că este necesar să se mențină uniformitatea în formulare în ceea ce privește orele academice și de lucru. Numătorul conține o expresie pentru calcularea numărului de ore academice pentru perioada în care un elev poate cere sfatul unui profesor. Să explicăm.

Actul departamental de reglementare cheie care vizează reglementarea legală a învățământului la distanță este Ordinul Ministerului Educației al Federației Ruse din 18 decembrie 2002 nr. 4452 „Cu privire la aprobarea Metodologiei de utilizare a tehnologiilor educaționale la distanță (învățare la distanță) în instituții de învățământ de învățământ superior, secundar și profesional suplimentar Federația Rusă„. Indică în mod direct obligația unei instituții de învățământ de a oferi fiecărui student posibilitatea de a accesa instrumentele de învățământ la distanță și principala resursă de informații în cantitatea de ore din curriculum-ul necesar pentru a stăpâni programul educațional relevant sau o parte din acesta, indiferent de forma de studiu (normă întreagă, seară, corespondență) ( itemul 11) De la această expresie (1) se trece la următoarea egalitate:

Q_i/(Ch_a G – Ch_a SR) = (număr_i personal didactic \xx 43,75)/ChaKP, conform curriculum_i (2)

Raportul din partea stângă a egalității este, de fapt, intensitatea medie a fluxului de cereri în sistemul de așteptare; în cele ce urmează îl vom nota cu λ. Raportul din partea dreaptă a ecuației reprezintă intensitatea serviciului, notat de acum înainte cu μ. Când condiția este îndeplinită:

((\r = \l /\m))<= 1 (3), где

ρ – așa-numitul factor de sarcină a sistemului, sistemul funcționează în modul staționar. În modul staționar, numărul mediu de aplicații din QS este constant, prin urmare numărul mediu de aplicații care ajung la QS pe unitatea de timp este egal cu numărul mediu de aplicații pe unitatea de timp care părăsesc QS. Prin urmare, în modul staționar, intensitatea fluxului de cereri de ieșire este egală cu λ. Factorul de sarcină ρ în regim staționar este:

a) valoarea medie a acelei părți dintr-o unitate de timp în care canalul este ocupat;

b) probabilitatea ca canalul să fie ocupat;

c) numărul mediu de cereri din canal.

Din acest moment începem să vorbim despre mecanismul DO ca un sistem de așteptare și în același timp să facem câteva modificări specifice expresiilor.

Sistemul luat în considerare aparține tipului de multi-canal (în funcție de numărul de discipline) QS cu coadă (în așteptare). În sistemul de notație acceptat arată ca M|M|n, adică. un sistem cu n canale de servicii (număr de discipline conform curriculumului), în care legea distribuției probabilității pentru fluxul de aplicații și servicii de intrare este exponențială.

Deoarece considerăm ca canale de serviciu nu o unitate de personal a personalului didactic, ci o disciplină, ar fi logic să scriem următoarea expresie pentru λ:

\l = n\xx (Q_i/(ChaG – ChaSR)) (4), unde

n – numărul de discipline, conform curriculumului. Acestea. în cazul nostru, considerăm fiecare elev ca o sursă de n aplicații care pot ocupa sistemul. Acest lucru are sens pentru că, în special, luăm valoarea lui μ ca medie și luăm în considerare capacitatea canalului în raport cu o singură cerere de student, și nu o colecție de astfel de solicitări, ceea ce ar fi incorect.

Pentru un QS multicanal \r = \l \xx T_obsl/n (5), unde

Tobsl este timpul mediu de serviciu al canalului sau. Valoarea sa trebuie să satisfacă și expresia staționarității (3).

L = \b_0 \xx ((\l T_obsl)^(n+1)/(n!n(1-\l T_obsl/n)^2)) (6), unde

unde β0 este probabilitatea staționară ca nu există aplicații în QS. Această probabilitate este definită ca:

\b_0 = 1/((\l T_obsl)^n/n!(1-\l T_obsl/n)+sum(m=0,n-1, (\l T_obsl)^m/m!)) (7 )

Variind numărul de studenți din sistem, obținem legea distribuției pentru lungimea cozii, prezentată, de exemplu, în Figura 2.

Figura 2. Dependența lungimii medii L la coadă în sistemul de învățământ la distanță de numărul de elevi Qi.

De remarcat că valoarea limită a Qi nu exprimă deloc starea optimă a sistemului din punct de vedere. satisfacerea nevoilor de calitate ale consumatorului de servicii. Într-adevăr, observăm că lungimea cozii, și deci timpul de așteptare pentru o aplicație în sistem, progresează vizibil, atingând valori inacceptabile. Cu toate acestea, devine posibilă selectarea valorii optime a Qi la care consumatorul va fi mulțumit de modul de serviciu. Din punctul de vedere al marketingului subsidiar, acest indicator va fi important nu numai la calcularea costurilor și a prețurilor ulterioare, ci și la analiza capacităților tehnologice ale concurenților.

Utilizarea metodelor teoriei cozilor de aşteptare în cercetarea de marketing în domeniul învăţământului la distanţă pare destul de adecvată.

Literatură

1. Gmurman V.E. Teoria Probabilității și Statistica Matematică. – M: Liceu, 2003.

2. Gracheva M.V. Modelarea proceselor economice. – M.: Unitate-Dana, 2005.

3. Kasamin N.S. Elemente de teorie și practică a managementului cozilor în organizații. – Rostov-pe-Don: Phoenix, 2003.

4. Kosorukov O.A. Cercetare operațională. – M.: Examen, 2005.

5. Orlova I.V. Modelare economică și matematică. – M.: Liceu, 2004.

6. Ryzhikov Yu.I. Teoria cozilor și gestionarea stocurilor. – Sankt Petersburg: Peter, 2004.

7. Solomentsev Yu.M. Bazele tehnologice ale sistemelor flexibile de producție. – M.: Manual universitar, 2007.

8. Utkin V.B., Baldin K.V. Sisteme și tehnologii informaționale în economie. – M.: Unitate, 2005.

9. Fomin G.P., Metode și modele matematice în activități comerciale. – M: Finanțe și Statistică, 2004.

10. Hemdi A. Introducere în cercetarea operațională. – M.: Williams, 2004.

11. Shapkin, A.S. Mazaeva N.P. Metode matematice și modele de cercetare operațională. – M.: Dashkov și K, 2004.

12. Shelobaev S.I. Metode și modele matematice în economie, finanțe, afaceri: Proc. manual pentru universități. – M.: UNITATEA-DANA, 2001.

3. Teoria cozilor

Definiți caracteristicile de sosire ale sistemelor liniare de așteptare

Cunoștințele de bază despre liniile de servicii se numesc teoria cozilor de așteptare.

Costurile serviciilor cresc pe măsură ce o firmă încearcă să-și crească nivelul de servicii. Managerii unui astfel de centru de service pot varia capacitatea prin plasarea mașinilor și a personalului în stații de service speciale și pot preveni sau reduce cozile inutil de lungi. În depozitele magazinelor alimentare, managerii și angajații pot lucra în spatele ghișeului atunci când este necesar. La bănci și aeroporturi, lucrătorii cu normă parțială pot fi chemați să ajute. Pe măsură ce serviciul se îmbunătățește (de exemplu, se accelerează), timpul petrecut în așteptarea serviciului scade, așa cum arată linia descrescătoare. Costurile de așteptare pot reflecta pierderea productivității lucrătorilor în timp ce uneltele sau mașinile lor așteaptă reparații sau pot fi pur și simplu costul pierderii clienților din cauza serviciului slab și a cozilor lungi. În astfel de sisteme de servicii (de exemplu, în ambulanțele de urgență), costul așteptărilor lungi poate fi insuportabil de mare.

Orez. 1. Relația dintre costurile de așteptare și costurile de servicii

O prezentare generală a celor trei părți ale sistemelor liniare de așteptare sau cozi:

1) sosiri sau intrări în sistem;

2) disciplina la coadă, sau sistemul de așteptare însuși;

3) echipamente de service.

Aceste trei componente au anumite caracteristici care trebuie studiate înainte de a putea fi dezvoltate modele matematice de așteptare.

Caracteristici de sosire. Sursa de intrare care generează sosiri sau clienți ai unui sistem de servicii are trei caracteristici principale. Trei caracteristici importante sunt dimensiunea sursei, modelele de sosire în sistemul de așteptare și comportamentul de sosire.

1. Dimensiunea sursei. Dimensiunea de sosire este considerată fie nelimitată (practic infinită), fie limitată (finită). Atunci când numărul de clienți sau de sosiri în orice moment este doar o mică parte din numărul de sosiri potențiale, sursa de sosire este considerată nelimitată sau infinită. În viața practică, exemplele de surse nelimitate includ mașinile de la benzinării, cumpărătorii de la un supermarket și studenții care se înscriu la cursuri la o universitate mare. Majoritatea modelelor de așteptare permit astfel de surse de sosire nelimitate.

Un exemplu de sursă limitată sau finită este un centru de copiere cu doar opt copiatoare, care poate eșua și necesită service.

2. Eșantion de sosire în sistem. Clienții ajung la punctul de service fie conform unui program cunoscut (de exemplu, un pacient la fiecare 15 minute sau un student pentru consultație la fiecare jumătate de oră) sau aleatoriu. Sosirile sunt considerate aleatorii dacă sunt independente unele de altele și apariția lor nu poate fi prezisă cu exactitate.

Adesea, în teoria stării de așteptare, numărul de sosiri pe unitatea de timp poate fi determinat folosind o distribuție de probabilitate cunoscută sub numele de distribuție Poisson. Pentru orice număr dat de sosiri (doi clienți pe oră sau patru camioane pe minut), distribuția Poisson discretă poate fi determinată prin formula:

pentru x=0, 1, 2, 3, 4...

unde P (x) este probabilitatea de sosire x;

x - numărul de sosiri pe unitatea de timp;

a - numărul mediu de sosiri;

e este baza logaritmului natural 2,7183.

Comportamentul de sosire. Majoritatea modelelor de așteptare presupun că clienții care intră sunt „răbdători”. Clienții pacienți sunt persoane sau mașini care stau la coadă până sunt serviți și nu schimbă cozile. Din păcate, viața este mai complicată pentru că oamenii nu au întotdeauna răbdare. Clienții nerăbdători refuză să se înscrie la coadă pentru că este prea lungă, ceea ce nu se potrivește nevoilor și intereselor lor. Un alt tip de clienți nerăbdători sunt cei care, s-au alăturat la coadă, apoi devin nerăbdători și părăsesc coada fără a finaliza acțiunea. Într-adevăr, ambele situații nu fac decât să evidențieze necesitatea teoriei cozilor și a analizei așteptării în cozi.

Definiți caracteristicile de așteptare ale sistemelor liniare de așteptare

Caracteristicile cozii. Linia de așteptare în sine este a doua componentă a sistemului de așteptare. Lungimea cozii poate fi fie limitată, fie nelimitată. O coadă este limitată dacă nu poate, prin lege sau prin limitare fizică, să crească la infinit. Acesta poate fi cazul unui salon de coafură mic care are doar un număr limitat de zone de așteptare. Modelele de cozi analitice discutate în acest capitol funcționează cu cozi de lungime nelimitată. O coadă este nelimitată dacă nu există nicio limită pentru dimensiunea sa, ca în exemplul deservirii mașinilor care sosesc.

A doua caracteristică a cozilor se referă la disciplina cozilor. Aceasta se referă la regula prin care clienții în linie primesc serviciul. Majoritatea sistemelor folosesc o disciplină de așteptare cunoscută sub numele de primul intrat, primul ieșit (F1FO).

Într-un spital sau supermarket la un punct de check-out expres, este posibil ca diferite priorități să nu respecte regula F1FO. Pacienților din spital care sunt grav bolnavi li se poate acorda prioritate pentru îngrijire față de pacienții cu răni ușoare. Clienții cu mai puțin de zece achiziții pot merge la centrul de casă rapidă (dar apoi sunt tratați pe principiul primul venit, primul servit).

Termenul F1FS (primul intrat, primul iesit) este folosit ca substitut pentru F1FO, iar o alta disciplina LIFS (ultimul intrat, primul iesit) este comuna atunci cand materialele sunt aranjate in acest fel. că nu se poate ajunge decât de sus.

Caracteristicile configurațiilor sistemului de service

Configurații de bază ale sistemului de așteptare. Sistemele de servicii sunt de obicei clasificate după numărul de canale, de exemplu numărul de servere, și numărul de faze, numărul de elemente de serviciu care trebuie finalizate.

Sistem de așteptare cu un singur canal - cu un singur server, de exemplu, o bancă care are o singură fereastră de serviciu deschisă sau un punct de service într-un restaurant fast-food. Pe de altă parte, dacă o bancă are mai mulți funcționari și fiecare client așteaptă într-o singură coadă comună la primul slot disponibil, atunci avem un sistem de așteptare cu mai multe linii. Majoritatea băncilor de astăzi sunt sisteme de servicii multicanal, la fel ca majoritatea saloanelor de coafură, caselor de bilete de avion și oficiilor poștale.

Un sistem de service monofazat este unul în care clientul primește serviciul de la o singură stație și apoi părăsește sistemul. Un restaurant cu servicii rapide în care persoana care ia comanda aduce și mâncare și primește bani este un sistem monofazat. Deci, în biroul de permis de conducere în care persoana. acceptând aplicația, efectuează și teste și colectează bani, are loc un sistem monofazat. Dacă un restaurant vă cere să plasați o comandă într-o locație, să plătiți la alta și să vă ridicați mâncarea într-o a treia, acesta devine un sistem multifazic. În consecință, dacă agenția de permis de conducere este mare sau foarte ocupată, clientul va trebui probabil să aștepte la coadă pentru a completa cererea (prima oprire de service), apoi să stea din nou pentru test (a doua oprire de service) și, în final, în locul trei plătesc bani.