Pentru a determina poziția unui punct pe un plan, puteți utiliza coordonatele polare [g, (r), Unde G este distanța punctului de la origine și (R- unghiul care face raza - vectorul acestui punct cu directia pozitiva a axei Oh. Direcția pozitivă a schimbării unghiului (R Direcția luată în considerare este în sens invers acelor de ceasornic. Profitând de legătura dintre coordonatele carteziene și polare: x = g cos avg,y = g sin (p,

obţinem forma trigonometrică a scrierii unui număr complex

z - r(sin (p + i sin

Unde G

Xi + y2, (p este argumentul unui număr complex, care se găsește din

l X . y y

formule cos(p --, sin^9 ​​= - sau datorită faptului că tg(p --, (p-arctg

Rețineți că atunci când alegeți valori mier din ultima ecuaţie este necesar să se ţină cont de semne x și y.

Exemplul 47. Scrieți un număr complex sub formă trigonometrică 2 = -1 + l/Z / .

Soluţie. Să găsim modulul și argumentul unui număr complex:

= yj 1 + 3 = 2 . Colţ mier găsim din relaţii cos (pag = -, sin(p = - . Apoi

primim cos(p = -, suup

u/z g~

• - -. Evident, punctul z = -1 + V3-/ este situat
• 2 La 3

in al doilea trimestru: (R= 120°

Înlocuind

2 k.. cos--h; păcat

în formula (1) găsit 27Г L

Cometariu. Argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic, ci într-un termen care este un multiplu al 2p. Apoi prin sp^g denota

valoarea argumentului inclusă în (p 0 %2 Apoi

A)^r = + 2kk.

Folosind celebra formulă Euler e, obținem forma exponențială a scrierii unui număr complex.

Avem r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

Acțiuni pe numere complexe

• 1. Suma a două numere complexe r, = X] + y x/ și g 2 - x 2 +y 2 / se determină după formula r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)‘ r
• 2. Operația de scădere a numerelor complexe este definită ca operația inversă de adunare. Număr complex g = g x - g 2, Dacă g 2 + g = g x,

este diferența numerelor complexe 2 și g 2. Atunci r = (x, - x 2) + (y, - la 2) /.

• 3. Produsul a două numere complexe g x= x, +y, -z și 2 2 = x 2+ U2‘r este determinat de formula
• *1*2 =(* +U„0(X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + U1 U2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2У)-"-

În special, a-y= (x + y-y)(x-y /)= x 2 + y 2.

Puteți obține formule pentru înmulțirea numerelor complexe în forme exponențiale și trigonometrice. Avem:

• 1^2 - G x e 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + medie 2) + isin
• 4. Împărțirea numerelor complexe este definită ca operație inversă

înmulțire, adică număr G-- numit coeficientul diviziunii r! pe g 2,

Dacă g x -1 2 ? 2 . Apoi

X + Ti _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x,x 2 + /y,x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (R-,)] >2 >2
• 5. Integrare grad pozitiv Este mai bine să produceți un număr complex dacă numărul este scris în forme exponențiale sau trigonometrice.

Într-adevăr, dacă g = ge 1 atunci

=(ge,) = g p e t = G"(co8 psr+іт gkr).

Formula g" =r n(cosn(p+este n(p) numită formula lui Moivre.

6. Extragerea rădăcinilor P- A-a putere a unui număr complex este definită ca operația inversă de ridicare la o putere p, p- 1,2,3,... adică. număr complex = y[g numită rădăcină P- puterea a unui număr complex

g, dacă G = g x. Din această definiţie rezultă că g - g", A g x= l/g. (r-psr x, A sr^-sr/n, care rezultă din formula lui Moivre scrisă pentru numărul = r/*+ іьіпп(р).

După cum sa menționat mai sus, argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic, ci până la un termen care este un multiplu de 2 și. De aceea = (p + 2 buc, iar argumentul numărului r, în funcție de La, să notăm (r kși hui

dem calcula folosind formula (r k= - + . Este clar că există P com-

numere complexe, P-a cărei putere este egală cu numărul 2. Aceste numere au unul

și același modul egal y[g, iar argumentele acestor numere se obţin prin La = 0, 1, P - 1. Astfel, în formă trigonometrică rădăcină i-a grade se calculează folosind formula:

(p + 2kp . . Miercuri + 2kp

, La = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

iar în formă exponenţială – conform formulei l[g - y[ge p

Exemplul 48. Efectuați operații pe numere complexe în formă algebrică:

a) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 l/2 / ? 3)(3 + /) =
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

Exemplul 49. Ridicați numărul r = Uz - / la a cincea putere.

Soluţie. Obținem forma trigonometrică de scriere a numărului r.

G = l/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1 - 2/X2 + /)
• (z-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O" (z-O

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) ’з+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

De aici O--, A r = 2

Primim Moivre: eu -2

/ ^ _ 7G, . ?G

• -SS-- ІБІП -

• --b / -

= -(l/w + g)= -2.

Exemplul 50: Găsiți toate valorile

Soluție, r = 2, a mier găsim din ecuație sob(p = -,zt--.

Acest punct 1 - /d/z este situat în al patrulea trimestru, i.e. f =--. Apoi

• 1 - 2
• ( ( UG L

Găsim valorile rădăcinii din expresie

V1 - /l/z = l/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 kk
• 3 . . 3

S08--1- și 81P-

La La - 0 avem 2 0 = l/2

Puteți găsi valorile rădăcinii numărului 2 prin reprezentarea numărului pe afișaj

-* LA/ 3 + 2 cl

La La= 1 avem o altă valoare rădăcină:

• 7G. 7G_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . h

7G . . 7G L-С05- + 181П - 6 6

• --N-

co? - 7G + /5SH - I"

l/3__t_

forma telial. Deoarece r= 2, a mier= , atunci g = 2e 3 , a y[g = y/2e 2

Operații pe numere complexe scrise în formă algebrică

Forma algebrică a unui număr complex z =(A,b).se numește expresie algebrică a formei

z = A + bi.

Operatii aritmetice pe numere complexe z 1 = a 1 +b 1 iȘi z 2 = a 2 +b 2 i, scrise sub formă algebrică, se realizează după cum urmează.

1. Suma (diferența) numerelor complexe

z 1 ± z 2 = (A 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

acestea. adunarea (scăderea) se efectuează conform regulii de adunare a polinoamelor cu reducerea termenilor similari.

2. Produsul numerelor complexe

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

acestea. inmultirea se realizeaza prin regula obișnuităînmulţirea polinoamelor, ţinând cont de faptul că i 2 = 1.

3. Împărțirea a două numere complexe se efectuează după următoarea regulă:

, (z 2 ≠ 0),

acestea. împărțirea se realizează prin înmulțirea dividendului și a divizorului cu numărul conjugat al divizorului.

Exponentiația numerelor complexe este definită după cum urmează:

Este ușor să arăți asta

Exemple.

1. Aflați suma numerelor complexe z 1 = 2 – iȘi z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Aflați produsul numerelor complexe z 1 = 2 – 3iȘi z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3eu∙ 5eu = 7+22i.

3. Găsiți coeficientul z din diviziune z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Rezolvați ecuația: , XȘi y Î R.

(2x+y) + (x+y)eu = 2 + 3i.

Datorită egalității numerelor complexe avem:

Unde x =–1 , y= 4.

5. Calculați: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,i -2 .

6. Calculaţi dacă .

.

7. Calculați reciproca unui număr z=3-i.

Numere complexe în formă trigonometrică

Plan complex numit plan cu coordonate carteziene ( X y), dacă fiecare punct cu coordonatele ( a, b) este asociat cu un număr complex z = a + bi. În acest caz, se numește axa absciselor axa reală, iar axa ordonatelor este imaginar. Apoi fiecare număr complex a+bi reprezentat geometric pe un plan ca punct A (a, b) sau vector.

Prin urmare, poziția punctului A(și, prin urmare, un număr complex z) poate fi specificat prin lungimea vectorului | | = rși unghi j, format din vectorul | | cu direcția pozitivă a axei reale. Se numește lungimea vectorului modulul unui număr complexși se notează cu | z |=r, și unghiul j numit argument de număr complex si este desemnat j = arg z.

Este clar că | z| ³ 0 și | z | = 0 Û z = 0.

Din fig. 2 este clar că .

Argumentul unui număr complex este determinat în mod ambiguu, dar cu o precizie de 2 pk,kÎ Z.

Din fig. 2 este de asemenea clar că dacă z=a+biȘi j=arg z, Acea

cos j =,păcat j =, tg j = .

Dacă zÎRȘi z> 0, atunci arg z = 0 +2pk;

Dacă z ОRȘi z< 0, atunci arg z = p + 2pk;

Dacă z = 0,arg z nedefinit.

Valoarea principală a argumentului este determinată pe intervalul 0 £ arg z£2 p,

sau -p£ arg z £ p.

Exemple:

1. Aflați modulul numerelor complexe z 1 = 4 – 3iȘi z 2 = –2–2i.

2. Definiți zone pe planul complex definit de condițiile:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+i) | 3 lire sterline; 4) 6 GBP | z – i| £7.

Solutii si raspunsuri:

1) | z| = 5 Û Û - ecuația unui cerc cu raza 5 și centru la origine.

2) Un cerc cu raza 6 cu centrul la origine.

3) Cerc cu raza 3 cu centrul în punct z 0 = 2 + i.

4) Un inel delimitat de cercuri cu raze 6 și 7 cu un centru într-un punct z 0 = i.

3. Aflați modulul și argumentul numerelor: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Sugestie: Când determinați argumentul principal, utilizați planul complex.

Prin urmare: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

Forma trigonometrică a unui număr complex

Plan

1. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

2. Notarea trigonometrică a numerelor complexe.

3. Acţiuni asupra numerelor complexe în formă trigonometrică.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

a) Numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe un plan conform următoarei reguli: A + bi = M ( A ; b ) (Fig. 1).

Poza 1

b) Un număr complex poate fi reprezentat printr-un vector care începe în punctDESPRE iar sfârșitul într-un punct dat (Fig. 2).

Figura 2

Exemplul 7. Construiți puncte reprezentând numere complexe:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Fig. 3).

Figura 3

Notarea trigonometrică a numerelor complexe.

Număr complexz = A + bi poate fi specificat folosind vectorul rază cu coordonate( A ; b ) (Fig. 4).

Figura 4

Definiție . Lungimea vectorului , reprezentând un număr complexz , se numește modulul acestui număr și se notează saur .

Pentru orice număr complexz modulul acestuiar = | z | este determinată în mod unic de formulă .

Definiție . Mărimea unghiului dintre direcția pozitivă a axei reale și vector , reprezentând un număr complex, se numește argumentul acestui număr complex și se noteazăA rg z sauφ .

Argumentul numărului complexz = 0 nedefinit. Argumentul numărului complexz≠ 0 – o cantitate cu mai multe valori și este determinată într-un termen2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Undearg z – valoarea principală a argumentului cuprins în interval(-π; π] , acesta este-π < arg z ≤ π (uneori o valoare care aparține intervalului este luată ca valoare principală a argumentului .

Această formulă cândr =1 numită adesea formula lui Moivre:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Exemplul 11: Calculați(1 + i ) 100 .

Să scriem un număr complex1 + i în formă trigonometrică.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos +i păcat )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i păcat ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extragerea rădăcinii pătrate a unui număr complex.

Când luăm rădăcina pătrată a unui număr complexA + bi avem doua cazuri:

Dacăb >o , Acea ;

NUMERE COMPLEXE XI

§ 256. Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie un număr complex a + bi corespunde vectorului O.A.> cu coordonate ( a, b ) (vezi Fig. 332).

Să notăm lungimea acestui vector cu r , și unghiul pe care îl face cu axa X , prin φ . Prin definiția sinusului și cosinusului:

A / r =cos φ , b / r = păcat φ .

De aceea A = r cos φ , b = r păcat φ . Dar în acest caz numărul complex a + bi poate fi scris ca:

a + bi = r cos φ + ir păcat φ = r (cos φ + i păcat φ ).

După cum știți, pătratul lungimii oricărui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor sale. De aceea r 2 = A 2 + b 2, de unde r = √a 2 + b 2

Asa de, orice număr complex a + bi poate fi reprezentat sub formă :

a + bi = r (cos φ + i păcat φ ), (1)

unde r = √a 2 + b 2 și unghiul φ se determină din condiția:

Această formă de scriere a numerelor complexe se numește trigonometric.

Număr r în formula (1) se numește modul, și unghiul φ - argument, număr complex a + bi .

Dacă un număr complex a + bi nu este egal cu zero, atunci modulul său este pozitiv; dacă a + bi = 0, atunci a = b = 0 și apoi r = 0.

Modulul oricărui număr complex este determinat în mod unic.

Dacă un număr complex a + bi nu este egal cu zero, atunci argumentul său este determinat de formulele (2) categoric până la un unghi divizibil cu 2 π . Dacă a + bi = 0, atunci a = b = 0. În acest caz r = 0. Din formula (1) este ușor de înțeles că ca argument φ V în acest caz, poți alege orice unghi: la urma urmei, în orice unghi φ

0 (cos φ + i păcat φ ) = 0.

Prin urmare, argumentul nul este nedefinit.

Modulul unui număr complex r uneori notat | z |, iar argumentul este arg z . Să ne uităm la câteva exemple de reprezentare a numerelor complexe în formă trigonometrică.

Exemplu. 1. 1 + i .

Să găsim modulul r si argument φ acest număr.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Prin urmare păcatul φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, de unde φ = π / 4 + 2nπ .

Prin urmare,

1 + i = √ 2 ,

Unde P - orice număr întreg. De obicei, din setul infinit de valori ale argumentului unui număr complex, se alege unul care este între 0 și 2 π . În acest caz, această valoare este π / 4 . De aceea

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i păcat π / 4)

Exemplul 2. Scrieți un număr complex în formă trigonometrică √ 3 - i . Avem:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, sin φ = - 1 / 2

Prin urmare, până la un unghi divizibil cu 2 π , φ = 11 / 6 π ; prin urmare,

√ 3 - i = 2(cos 11 / 6 π + i păcatul 11/6 π ).

Exemplul 3 Scrieți un număr complex în formă trigonometrică i.

Număr complex i corespunde vectorului O.A.> , care se termină în punctul A al axei la cu ordonata 1 (Fig. 333). Lungimea unui astfel de vector este 1, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este egal cu π / 2. De aceea

i =cos π / 2 + i păcat π / 2 .

Exemplul 4. Scrieți numărul complex 3 în formă trigonometrică.

Numărul complex 3 corespunde vectorului O.A. > X abscisa 3 (Fig. 334).

Lungimea unui astfel de vector este 3, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este 0. Prin urmare

3 = 3 (cos 0 + i păcat 0),

Exemplul 5. Scrieți numărul complex -5 în formă trigonometrică.

Numărul complex -5 corespunde unui vector O.A.> se termină într-un punct al axei X cu abscisă -5 (Fig. 335). Lungimea unui astfel de vector este 5, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este egal cu π . De aceea

5 = 5(cos π + i păcat π ).

Exerciții

2047. Scrieți aceste numere complexe în formă trigonometrică, definindu-și modulele și argumentele:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Indicați pe plan o mulțime de puncte reprezentând numere complexe ale căror module r și argumente φ îndeplinesc condițiile:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Pot numerele să fie simultan modulul unui număr complex? r Și - r ?

2050. Argumentul unui număr complex poate fi simultan unghiuri? φ Și - φ ?

Prezentați aceste numere complexe în formă trigonometrică, definindu-și modulele și argumentele:

2051*. 1 + cos α + i păcat α . 2054*. 2(cos 20° - i păcat 20°).

2052*. păcat φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i păcatul 15°).

3.1. Coordonate polare

Deseori folosit într-un avion sistemul de coordonate polare . Se definește dacă este dat un punct O, numit pol, și raza care emană din pol (pentru noi aceasta este axa Ox) – axa polară. Poziția punctului M este fixată de două numere: raza (sau raza vector) și unghiul φ dintre axa polară și vector. Unghiul φ se numește unghi polar; măsurată în radiani și numărată în sens invers acelor de ceasornic de la axa polară.

Poziția unui punct în sistemul de coordonate polar este dată de o pereche ordonată de numere (r; φ). La Pol r = 0, iar φ nu este definit. Pentru toate celelalte puncte r > 0, iar φ este definit până la un termen care este un multiplu de 2π. În acest caz, perechile de numere (r; φ) și (r 1 ; φ 1) sunt asociate cu același punct dacă .

Pentru un sistem de coordonate dreptunghiular xOy Coordonatele carteziene ale unui punct sunt ușor de exprimat în termeni de coordonatele sale polare, după cum urmează:

3.2. Interpretarea geometrică a numărului complex

Să considerăm un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian pe plan xOy.

Orice număr complex z=(a, b) este asociat cu un punct din planul cu coordonate ( X y), Unde coordonata x = a, i.e. partea reală a numărului complex, iar coordonata y = bi este partea imaginară.

Un plan ale cărui puncte sunt numere complexe este un plan complex.

În figură, un număr complex z = (a, b) corespunde punctului M(x, y).

Exercițiu.Desenați numere complexe pe planul de coordonate:

3.3. Forma trigonometrică a unui număr complex

Un număr complex din plan are coordonatele unui punct M(x;y). în care:

Scrierea unui număr complex - forma trigonometrică a unui număr complex.

Se numește numărul r modul număr complex z si este desemnat . Modulul este un număr real nenegativ. Pentru .

Modulul este zero dacă și numai dacă z = 0, adică a = b = 0.

Se numește numărul φ argument z si este desemnat. Argumentul z este definit ambiguu, ca și unghiul polar din sistemul de coordonate polar, și anume până la un termen care este multiplu de 2π.

Apoi acceptăm: , unde φ este cea mai mică valoare a argumentului. Este evident că

.

La studierea mai profundă a temei se introduce un argument auxiliar φ*, astfel încât

Exemplul 1. Aflați forma trigonometrică a unui număr complex.

Soluţie. 1) luați în considerare modulul: ;

2) căutând φ: ;

3) forma trigonometrică:

Exemplul 2. Aflați forma algebrică a unui număr complex .

Aici este suficient să înlocuiți valorile funcții trigonometriceși transformați expresia:

Exemplul 3. Găsiți modulul și argumentul unui număr complex;

1) ;

2) ; φ – în 4 sferturi:

3.4. Operații cu numere complexe în formă trigonometrică

· Adunare si scadere Este mai convenabil să faci cu numere complexe în formă algebrică:

· Multiplicare- cu ajutorul simplului transformări trigonometrice se poate arăta că La înmulțire, modulele de numere sunt înmulțite și se adaugă argumentele: ;