Toate proprietățile integralelor. Proprietățile de bază ale integralei nedefinite. Schimbarea unei variabile într-o integrală definită

Aceste proprietăți sunt folosite pentru a transforma integrala pentru a o reduce la una dintre integralele elementare și pentru a efectua un calcul suplimentar.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

Mai mult, a ≠ 0

5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:

6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:

Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:

Daca atunci

8. Proprietate:

Daca atunci

De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Să ne uităm la un exemplu:

Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul de antiderivate și am obținut rezultatul.

Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și va găsi cu ușurință o soluție detaliată pentru integrala dvs.

In calculul diferential problema se rezolva: sub această funcție ƒ(x) găsiți derivata ei(sau diferential). Calculul integral rezolvă problema inversă: găsiți funcția F(x), cunoscând derivata ei F "(x)=ƒ(x) (sau diferențială). Funcția căutată F(x) se numește antiderivată a funcției ƒ(x). ).

Se numește funcția F(x). antiderivat funcția ƒ(x) pe intervalul (a; b), dacă pentru orice x є (a; b) egalitatea

F " (x)=ƒ(x) (sau dF(x)=ƒ(x)dx).

De exemplu, antiderivată a funcției y = x 2, x є R, este funcția, deoarece

Evident, orice funcții vor fi și antiderivate

unde C este o constantă, deoarece

Teorema 29. 1. Dacă funcția F(x) este o antiderivată a funcției ƒ(x) pe (a;b), atunci mulțimea tuturor antiderivatelor pentru ƒ(x) este dată de formula F(x)+ C, unde C este un număr constant.

▲ Funcția F(x)+C este o antiderivată a lui ƒ(x).

Într-adevăr, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Fie Ф(х) o altă antiderivată a funcției ƒ(x), diferită de F(x), adică Ф "(x)=ƒ(х). Atunci pentru orice x є (а; b) avem

Și aceasta înseamnă (vezi Corolarul 25.1) că

unde C este un număr constant. Prin urmare, Ф(x)=F(x)+С.▼

Se numește mulțimea tuturor funcțiilor antiderivate F(x)+С pentru ƒ(x). integrală nedefinită a funcției ƒ(x)și se notează prin simbolul ∫ ƒ(x) dx.

Astfel, prin definiție

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Aici se numește ƒ(x). funcția integrand, ƒ(x)dx — expresie integrantă, X - variabila de integrare, ∫ -semn integrală nedefinită .

Operația de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acestei funcții.

Geometric, integrala nedefinită este o familie de curbe „paralele” y=F(x)+C (fiecare valoare numerică a lui C corespunde unei curbe specifice a familiei) (vezi Fig. 166). Graficul fiecărei antiderivate (curbe) se numește curbă integrală.

Fiecare funcție are o integrală nedefinită?

Există o teoremă care spune că „fiecare funcție continuă pe (a;b) are o antiderivată pe acest interval” și, în consecință, o integrală nedefinită.

Să notăm o serie de proprietăți ale integralei nedefinite care decurg din definiția ei.

1. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul, iar derivata integralei nedefinite este egală cu integrandul:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Într-adevăr, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Datorită acestei proprietăți, corectitudinea integrării este verificată prin diferențiere. De exemplu, egalitatea

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

adevărat, deoarece (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

∫dF(x)= F(x)+C.

Într-adevăr,

3. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

α ≠ 0 este o constantă.

Într-adevăr,

(puneți C 1 / a = C.)

4. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții continue este egală cu suma algebrică a integralelor sumelor funcțiilor:

Fie F"(x)=ƒ(x) și G"(x)=g(x). Apoi

unde C1 ±C2 =C.

5. (Invarianța formulei de integrare).

Dacă , unde u=φ(x) este o funcție arbitrară cu derivată continuă.

▲ Fie x o variabilă independentă, ƒ(x) o funcție continuă și F(x) antiderivată. Apoi

Să setăm acum u=φ(x), unde φ(x) este o funcție diferențiabilă continuu. Se consideră funcția complexă F(u)=F(φ(x)). Datorită invarianţei formei primei diferenţiale a funcţiei (vezi p. 160), avem

De aici▼

Astfel, formula pentru integrala nedefinită rămâne valabilă indiferent dacă variabila de integrare este variabila independentă sau orice funcție a acesteia care are o derivată continuă.

Deci, din formula prin înlocuirea x cu u (u=φ(x)) obținem

În special,

Exemplul 29.1. Găsiți integrala

unde C=C1+C2+C3+C4.

Exemplul 29.2. Găsiți soluția integrală:

• 29.3. Tabelul integralelor nedefinite de bază

Profitând de faptul că integrarea este acțiunea inversă a diferențierii, se poate obține un tabel de integrale de bază inversând formulele corespunzătoare de calcul diferențial (tabelul diferențialelor) și folosind proprietățile integralei nedefinite.

De exemplu, deoarece

d(sin u)=cos u . du

Derivarea unui număr de formule din tabel va fi dată în considerarea metodelor de bază de integrare.

Integralele din tabelul de mai jos se numesc tabulare. Ele trebuie cunoscute pe de rost. În calculul integral nu există reguli simple și universale pentru a găsi antiderivate ale functii elementare, ca în calculul diferenţial. Metodele pentru găsirea antiderivatelor (adică integrarea unei funcții) sunt reduse la indicarea tehnicilor care aduc o integrală dată (căută) la una tabelară. Prin urmare, este necesar să cunoașteți integralele tabelului și să le puteți recunoaște.

Rețineți că în tabelul integralelor de bază, variabila de integrare poate desemna atât o variabilă independentă, cât și o funcție a variabilei independente (conform proprietății de invarianță a formulei de integrare).

Valabilitatea formulelor de mai jos poate fi verificată luând diferența din partea dreaptă, care va fi egală cu integrandul din partea stângă a formulei.

Să demonstrăm, de exemplu, validitatea formulei 2. Funcția 1/u este definită și continuă pentru toate valorile de și altele decât zero.

Dacă u > 0, atunci ln|u|=lnu, atunci De aceea

Daca tu<0, то ln|u|=ln(-u). НоMijloace

Deci, formula 2 este corectă. În mod similar, să verificăm formula 15:

Tabelul integralelor principale

Prieteni! Vă invităm să discutați. Dacă aveți propria părere, scrieți-ne în comentarii.

Acest articol vorbește în detaliu despre principalele proprietăți ale integralei definite. Ele sunt dovedite folosind conceptul de integrală Riemann și Darboux. Calculul unei integrale definite are loc datorită a 5 proprietăți. Cele rămase sunt folosite pentru a evalua diverse expresii.

Înainte de a trece la principalele proprietăți ale integralei definite, este necesar să vă asigurați că a nu depășește b.

Proprietățile de bază ale integralei definite

Funcția y = f (x) definită la x = a este similară cu egalitatea justă ∫ a a f (x) d x = 0.

Dovada 1

Din aceasta vedem că valoarea integralei cu limite coincidente este egală cu zero. Aceasta este o consecință a integralei Riemann, deoarece fiecare sumă integrală σ pentru orice partiție pe intervalul [ a ; a ] și orice alegere de puncte ζ i este egală cu zero, deoarece x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , ceea ce înseamnă că găsim că limita funcțiilor integrale este zero.

Definiția 2

Pentru o funcție care este integrabilă pe intervalul [a; b ] , condiția ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x este îndeplinită.

Dovada 2

Cu alte cuvinte, dacă schimbați limitele superioare și inferioare de integrare, valoarea integralei se va schimba la valoarea opusă. Această proprietate este preluată din integrala Riemann. Cu toate acestea, numerotarea partiției segmentului începe de la punctul x = b.

Definiția 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x se aplică funcțiilor integrabile de tip y = f (x) și y = g (x) definite pe intervalul [ a ; b ] .

Dovada 3

Scrieți suma integrală a funcției y = f (x) ± g (x) pentru împărțirea în segmente cu o alegere dată de puncte ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

unde σ f și σ g sunt sumele integrale ale funcțiilor y = f (x) și y = g (x) pentru împărțirea segmentului. După trecerea la limita la λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 obținem că lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Din definiția lui Riemann, această expresie este echivalentă.

Definiția 4

Extinderea factorului constant dincolo de semnul integralei definite. Funcție integrată din intervalul [a; b ] cu o valoare arbitrară k are o inegalitate justă de forma ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Dovada 4

Dovada proprietății integrale definite este similară cu cea anterioară:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Definiția 5

Dacă o funcție de forma y = f (x) este integrabilă pe un interval x cu a ∈ x, b ∈ x, obținem că ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d X.

Dovada 5

Proprietatea este considerată valabilă pentru c ∈ a; b, pentru c ≤ a și c ≥ b. Dovada este similară cu proprietățile anterioare.

Definiția 6

Când o funcție poate fi integrabilă din segmentul [a; b ], atunci acest lucru este fezabil pentru orice segment intern c; d ∈ a; b.

Dovada 6

Dovada se bazează pe proprietatea Darboux: dacă sunt adăugate puncte la o partiție existentă a unui segment, atunci suma inferioară a Darboux nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.

Definiția 7

Când o funcție este integrabilă pe [a; b ] din f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pentru orice valoare x ∈ a ; b , atunci obținem că ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Proprietatea poate fi demonstrată folosind definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere de puncte de partiție a segmentului și puncte ζ i cu condiția ca f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 este nenegativă .

Dovada 7

Dacă funcţiile y = f (x) şi y = g (x) sunt integrabile pe intervalul [ a ; b ], atunci următoarele inegalități sunt considerate valide:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Datorită declarației, știm că integrarea este permisă. Acest corolar va fi folosit în demonstrarea altor proprietăți.

Definiția 8

Pentru o funcție integrabilă y = f (x) din intervalul [ a ; b ] avem o inegalitate justă de forma ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Dovada 8

Avem că - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Din proprietatea anterioară am constatat că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen și corespunde unei inegalități de forma - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Această dublă inegalitate poate fi scrisă sub altă formă: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definiția 9

Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrate din intervalul [ a ; b ] pentru g (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ a ; b , obținem o inegalitate de forma m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , unde m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x).

Dovada 9

Dovada se face într-un mod similar. M și m sunt considerate a fi cele mai mari și mai mici valori ale funcției y = f (x) definite din segmentul [a; b ] , atunci m ≤ f (x) ≤ M . Este necesar să se înmulțească inegalitatea dublă cu funcția y = g (x), care va da valoarea inegalității duble de forma m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Este necesar să-l integrăm pe intervalul [a; b ] , atunci obținem enunțul de demonstrat.

Consecinţă: Pentru g (x) = 1, inegalitatea ia forma m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Prima formulă medie

Pentru y = f (x) integrabil pe intervalul [ a ; b ] cu m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x) există un număr μ ∈ m; M , care se potrivește cu ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Consecinţă: Când funcţia y = f (x) este continuă din intervalul [ a ; b ], atunci există un număr c ∈ a; b, care satisface egalitatea ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Prima formulă medie în formă generalizată

Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrabile din intervalul [ a ; b ] cu m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x) și g (x) > 0 pentru orice valoare x ∈ a ; b. De aici avem că există un număr μ ∈ m; M , care satisface egalitatea ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

A doua formulă medie

Când funcţia y = f (x) este integrabilă din intervalul [ a ; b ], iar y = g (x) este monoton, atunci există un număr care c ∈ a; b , unde obținem o egalitate justă de forma ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Sarcina principală a calculului diferențial este de a găsi derivata f'(X) sau diferential df=f'(X)dx funcții f(X).În calculul integral se rezolvă problema inversă. Conform unei funcţii date f(X) trebuie să găsiți o astfel de funcție F(X), Ce F'(x)=f(X) sau dF(x)=F'(X)dx=f(X)dx.

Prin urmare, sarcina principală a calculului integral este restabilirea funcției F(X) prin derivata (diferenţialul) cunoscută a acestei funcţii. Calculul integral are numeroase aplicații în geometrie, mecanică, fizică și tehnologie. Dă metoda generala găsirea de zone, volume, centre de greutate etc.

Definiție. FuncţieF(x), , se numește antiderivată a funcțieif(x) pe multimea X daca este diferentiabila pentru oricare siF'(x)=f(x) saudF(x)=f(X)dx.

Teorema. Orice linie continuă pe intervalul [A;b] funcţiaf(x) are o antiderivată pe acest segmentF(x).

Teorema. DacăF 1 (x) șiF 2 (x) – două antiderivate diferite cu aceeași funcțief(x) pe mulțimea x, atunci ele diferă între ele printr-un termen constant, adică.F 2 (x)=F 1x)+C, unde C este o constantă.

Integrală nedefinită, proprietățile sale.

Definiție. TotalitateF(x)+Din toate funcțiile antiderivatef(x) pe mulțimea X se numește integrală nedefinită și se notează:

În formula (1) f(X)dx numit expresie integrantă,f(x) – funcție integrand, x – variabilă de integrare, A C – constanta de integrare.

Să luăm în considerare proprietățile integralei nedefinite care decurg din definiția ei.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul, diferentiala integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

3. Factorul constant a (a≠0) poate fi luat ca semn al integralei nedefinite:

4. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor acestor funcții:

5. DacăF(x) – antiderivată a funcțieif(x), atunci:

6 (invarianța formulelor de integrare). Orice formulă de integrare își păstrează forma dacă variabila de integrare este înlocuită cu orice funcție diferențiabilă a acestei variabile:

Undeu este o funcție diferențiabilă.

Tabelul integralelor nedefinite.

Să dăm reguli de bază pentru integrarea funcţiilor.

Să dăm tabelul integralelor nedefinite de bază.(Rețineți că aici, ca și în calculul diferențial, litera u poate fi desemnată ca o variabilă independentă (u=X), și o funcție a variabilei independente (u=tu(X)).)

Se numesc integralele 1 – 17 tabular.

Unele dintre formulele de mai sus din tabelul de integrale, care nu au un analog în tabelul de derivate, sunt verificate prin diferențierea părților din dreapta.

Schimbarea variabilei și integrarea pe părți în integrala nedefinită.

Integrare prin substituire (înlocuire variabilă). Să fie necesar să se calculeze integrala

Teorema. Lasă funcțiax=φ(t) este definită și diferențiabilă pe o anumită mulțime T și fie X mulțimea de valori ale acestei funcție pe care este definită funcțiaf(X). Atunci dacă pe setul X funcțiaf(

Funcția antiderivată și integrală nedefinită

Faptul 1. Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii și anume restabilirea unei funcții din derivata cunoscută a acestei funcții. Funcția astfel restabilită F(X) se numește antiderivat pentru functie f(X).

Definiție 1. Funcție F(X f(X) pe un anumit interval X, dacă pentru toate valorile X din acest interval egalitatea este valabilă F "(X)=f(X), adică această funcție f(X) este derivata funcției antiderivative F(X). .

De exemplu, funcția F(X) = păcat X este o antiderivată a funcției f(X) = cos X pe întreaga dreaptă numerică, deoarece pentru orice valoare a lui x (păcat X)" = (cos X) .

Definiție 2. Integrală nedefinită a unei funcții f(X) este mulțimea tuturor antiderivatelor sale. În acest caz, se folosește notația

∫

f(X)dx

unde este semnul ∫ numit semn integral, funcția f(X) – funcția integrand și f(X)dx – expresie integrantă.

Astfel, dacă F(X) – unele antiderivate pt f(X) , Acea

∫

f(X)dx = F(X) +C

Unde C - constantă arbitrară (constant).

Pentru a înțelege semnificația mulțimii de antiderivate ale unei funcții ca integrală nedefinită, este potrivită următoarea analogie. Să existe o ușă (tradițională Ușa de lemn). Funcția sa este de a „fi o ușă”. Din ce este făcută ușa? Facut din lemn. Aceasta înseamnă că mulțimea de antiderivate ale integrandului funcției „a fi o ușă”, adică integrala sa nedefinită, este funcția „a fi un arbore + C”, unde C este o constantă, care în acest context poate denotă, de exemplu, tipul de arbore. Așa cum o ușă este făcută din lemn folosind unele unelte, un derivat al unei funcții este „făcut” dintr-o funcție antiderivată folosind formule pe care le-am învățat în timp ce studiam derivata .

Apoi tabelul de funcții ale obiectelor comune și antiderivatele lor corespunzătoare („a fi o ușă” - „a fi un copac”, „a fi o lingură” - „a fi metal”, etc.) este similar cu tabelul de bază. integrale nedefinite, care vor fi date mai jos. Tabelul de integrale nedefinite enumeră funcțiile comune cu o indicație a antiderivatelor din care sunt „facute” aceste funcții. În parte din problemele de găsire a integralei nedefinite sunt date integranți care pot fi integrați direct fără prea mult efort, adică folosind tabelul integralelor nedefinite. În problemele mai complexe, integrandul trebuie mai întâi transformat astfel încât integralele de tabel să poată fi utilizate.

Faptul 2. Când restabilim o funcție ca antiderivată, trebuie să luăm în considerare o constantă (constant) arbitrară C, iar pentru a nu scrie o listă de antiderivate cu diverse constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivate cu o constantă arbitrară C, de exemplu, astfel: 5 X³+C. Deci, o constantă arbitrară (constant) este inclusă în expresia antiderivatei, deoarece antiderivatul poate fi o funcție, de exemplu, 5 X³+4 sau 5 X³+3 și când este diferențiat, 4 sau 3 sau orice altă constantă ajunge la zero.

Să punem problema integrării: pentru această funcție f(X) găsiți o astfel de funcție F(X), al cărui derivat egal cu f(X).

Exemplul 1. Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Soluţie. Pentru această funcție, antiderivată este funcția

Funcţie F(X) se numește antiderivată pentru funcție f(X), dacă derivata F(X) este egal cu f(X), sau, ceea ce este același lucru, diferențială F(X) este egal f(X) dx, adică

(2)

Prin urmare, funcția este o antiderivată a funcției. Cu toate acestea, nu este singurul antiderivat pentru . Ele servesc și ca funcții

Unde CU– constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există o singură antiderivată pentru o funcție, atunci pentru aceasta există un număr infinit de antiderivate care diferă printr-un termen constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teoremă (enunțul formal al faptului 2). Dacă F(X) – antiderivată pentru funcție f(X) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivat pentru f(X) pe același interval poate fi reprezentat sub formă F(X) + C, Unde CU– constantă arbitrară.

În exemplul următor, ne întoarcem la tabelul integralelor, care va fi dat în paragraful 3, după proprietățile integralei nedefinite. Facem acest lucru înainte de a citi întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în întregime în timpul integrării.

Exemplul 2. Găsiți seturi de funcții antiderivate:

Soluţie. Găsim seturi de funcții antiderivate din care aceste funcții sunt „facute”. Când menționăm formule din tabelul integralelor, deocamdată acceptați doar că există astfel de formule acolo și vom studia tabelul integralelor nedefinite în sine puțin mai departe.

1) Aplicând formula (7) din tabelul de integrale pentru n= 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul de integrale pentru n= 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi conform formulei (7) cu n= -1/4 găsim

Nu funcția în sine este scrisă sub semnul integral. f, și produsul său prin diferenţial dx. Acest lucru se face în primul rând pentru a indica prin ce variabilă este căutat antiderivatul. De exemplu,

, ;

aici în ambele cazuri integrandul este egal cu , dar integralele sale nedefinite în cazurile considerate se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a variabilei X, iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Sensul geometric al integralei nedefinite

Să presupunem că trebuie să găsim o curbă y=F(x)și știm deja că tangenta unghiului tangentei în fiecare dintre punctele sale este o funcție dată f(x) abscisa acestui punct.

După semnificația geometrică a derivatei, tangenta unghiului de înclinare a tangentei într-un punct dat al curbei y=F(x) egal cu valoarea derivatei F"(x). Deci trebuie să găsim o astfel de funcție F(x), pentru care F"(x)=f(x). Funcția necesară în sarcină F(x) este un antiderivat al f(x). Condițiile problemei sunt îndeplinite nu de o curbă, ci de o familie de curbe. y=F(x)- una dintre aceste curbe, și orice altă curbă poate fi obținută din aceasta transfer paralel de-a lungul axei Oi.

Să numim graficul funcției antiderivative de f(x) curba integrala. Dacă F"(x)=f(x), apoi graficul funcției y=F(x) există o curbă integrală.

Faptul 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric prin familia tuturor curbelor integrale , ca in poza de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la originea coordonatelor este determinată de o constantă de integrare arbitrară C.

Proprietățile integralei nedefinite

Faptul 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul.

Faptul 5. Teorema 2. Integrală nedefinită a diferenţialului unei funcţii f(X) este egală cu funcția f(X) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproc inverse.

Faptul 6. Teorema 3. Factorul constant din integrand poate fi scos din semnul integralei nedefinite , adică