Poziția relativă a două linii în spațiul de prezentare. Prezentare „Poziția relativă a liniilor și a planurilor în spațiu”

Secțiuni: Matematică

Clasă: 10

Tipul lecției: lecție folosind tehnologii informatice moderne.

Pe tablă: număr, tema lecției, desene pentru problemele de teme.

Pe pupitrele elevilor: foi de hârtie pentru reflecție, manuale, caiete, instrumente pentru realizarea desenelor.

Materiale didactice folosite: calculator, instalație multimedia, centru educațional central „Lecții de geometrie ale lui Chiril și Metodiu, clasa a X-a”, prezentare”, manual L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsevși alții. „Geometrie, 10–11”.

Scopul lecției:

• Educațional: pentru a forma cunoștințele elevilor despre liniile de intersectare, luați în considerare semnul dreptelor de intersectare, teorema despre trasarea unui plan paralel cu o altă dreaptă printr-una dintre dreptele de intersectare, învățați cum să aplicați cunoștințele dobândite în practică.
• Dezvoltare - lucrați la dezvoltarea aparatului conceptual, dezvoltați gândirea logică, capacitatea de cercetare și dezvoltarea abilităților de autocontrol.
• Educațional – pentru a cultiva o atitudine responsabilă față de muncă, încredere, capacitatea de muncă, pentru a forma bazele unei viziuni științifice asupra lumii, calități morale, abilități de comunicare

În timpul orelor

1. Moment organizatoric. (2 minute.)

Scop: organizarea ordinii la locurile de muncă ale elevilor, organizarea atenției.

Salutări reciproce, înregistrarea absenților, verificarea stării exterioare a clasei, verificarea pregătirii clasei pentru lecție (locul de muncă, aspectul, postura de lucru), organizarea atenției, formarea de grupuri.

2. Pregătirea elevilor pentru asimilarea activă, conștientă a cunoștințelor . (10 minute.)

Scop: organizați și direcționați activitatea cognitivă a elevului către obiectiv.

1. Actualizarea cunoștințelor pe tema „Linii paralele în spațiu”.

Întrebări pentru studenți:

– Este corectă formularea semnului de paralelism între o dreaptă și un plan: „O dreaptă paralelă cu orice dreaptă dintr-un plan este paralelă cu planul însuși?”
– Dreptele a și b sunt paralele. Ce poziție poate ocupa linia a față de planul care trece prin linia b?
– Dată o dreaptă și două plane care se intersectează. Caracterizați toate cazurile posibile de aranjare reciprocă.

2. Verificați teme pentru acasă.

În lecția anterioară, elevii au primit teme pe mai multe niveluri ( Aplicație).

În grupuri „puternice”, elevii verifică soluțiile la problemele de nivel de bază.

Se discută soluția problemei nivel mai înalt. Elevii comentează soluția folosind desene gata făcute.

3. Comunicarea temei, a obiectivelor studierii materialelor noi, arătându-și semnificația practică.

Subiect: „Poziția relativă a liniilor în spațiu. Trecerea liniilor drepte”

Obiectivele lecției:

– se familiarizează cu conceptul de linii oblice
– sistematizarea cazurilor de poziții relative ale liniilor în spațiu
– luați în considerare testul liniilor oblice și teorema despre liniile oblice
– învață să găsești perechi de linii care se intersectează, aplică semnul.

4. Explicarea materialului nou. (15 minute.)

Scop: de a oferi elevilor o idee specifică a liniilor care se intersectează, ideea principală a unui semn, pentru a realiza percepția, conștientizarea generalizării primare și sistematizarea noilor cunoștințe.

1. Localizarea liniilor drepte în spațiu (studiați răspunsul, scrieți diagrama în caiet).

Ei zac în același plan.

2.??? Sarcină.

Conform teoremei a trei drepte paralele. AA 1 și C sunt paralele?

Se intersectează?

3. Definiție: Se numesc două linii drepte încrucișarea, dacă nu se află în același plan.

Al treilea caz de localizare a liniilor în spațiu.

Dreptele a și b nu se află în același plan.

4. Semn de trecere a liniilor.

5. Consolidarea teoremei studiate. Desenul este prezentat printr-un videoproiector.

Grupurilor au primit modele de poligoane. Luați în considerare diverse perechi de linii de intersectare pe modele, observând faptul înregistrat în atributul de linii de intersectare.

(De exemplu, AA 1 B 1 B este un cub. AA 1 și DS sunt muchii care se încrucișează. În ce planuri se află linia dreaptă CD? Cum este situată dreapta AA 1 în raport cu aceste plane?)

6. Teorema despre trasarea printr-una dintre drepte de încrucișare a unui plan paralel cu cealaltă dreaptă.

Pentru a „descoperi” faptul celei de-a doua teoreme pentru elevi, treceți din nou la luarea în considerare a modelelor, răspunzând de fiecare dată la întrebările: numiți planul care trece printr-una dintre dreptele care se intersectează paralele cu cealaltă dreaptă? Câte astfel de avioane există? Când luăm în considerare cel de-al treilea model, apare o problemă: este posibil să construim un plan paralel cu celălalt printr-una dintre dreptele care se intersectează? Elevii sunt rugați să construiască un astfel de avion.

Astfel, au demonstrat teorema că prin fiecare dintre cele două drepte oblice trece un plan paralel cu cealaltă dreaptă și, în plus, doar unul.

Minut de educație fizică. (1 min.)

Scop: eliberați tensiunea, pregătiți-vă pentru munca ulterioară

Ne-am ridicat, am ridicat mâinile în sus, în spatele capului, cu coatele în lateral, ne-am îndreptat spatele, am coborât mâinile. Am făcut 3-4 întoarceri ale capului într-o direcție și în cealaltă.

Exerciții pentru articulația spatelui și umărului. Mâinile la umeri, coatele în lateral, mișcați omoplații, îndreptați spatele și faceți 3-4 mișcări circulare într-o direcție și în alta.

Noi am stat jos. Exerciții pentru ochi. Privește în sus la tablă, apoi la caiet și așa mai departe de 3-4 ori.

5. Consolidarea materialului nou. (15 minute.)

Scop: consolidarea cunoștințelor și abilităților dobândite, consolidarea metodelor răspunsului viitor al elevului la următorul test de cunoștințe

1. Sarcină.

Construiți un plan α care trece prin punctul K și paralel cu liniile de încrucișare a și b.

Constructie:

1. Prin punctul K trageți o dreaptă a 1 || A.

2. Prin punctul K trageți o dreaptă b 1 || b.

3. Desenați un plan α prin drepte care se intersectează. α este planul dorit.

2. Sarcina nr. 34 (oral, pe baza desenului finit, demonstrarea desenului printr-un videoproiector). Când decideți, solicitați elevilor să pronunțe formularea atributului.

3. Problema nr. 36.

Demonstrați că b și c sunt încrucișate.

Pentru a demonstra că b și c sunt încrucișate, ce trebuie demonstrat? (Unul dintre ei se află într-un anumit plan, iar celălalt intersectează acest plan.)

Prin ce linii putem desena un plan? (Prin intersectare, prin paralel.)

Dacă desenăm planul α. prin intersectarea dreptelor a și c, atunci linia b va fi paralelă cu planul α. Adică trebuie să desenați planul α prin linii paralele a și b.

(Formularea deciziei.)

6. Rezumând. (2 minute.)

Scop: informați elevii cu privire la temele lor, explicați cum să o finalizați, rezumați lecția

1. Notează temele pentru acasă. pct. 7, nr. 35 (folosește metoda prin contradicție), nr. 37.

2. Analizați lecția conform diagramei de pe diapozitiv și predați bucățile de hârtie.

• L-am înțeles pe deplin și îl pot folosi;
• L-am stăpânit complet, dar îmi este greu să aplic;
• învățat parțial;
• Nu inteleg, am nevoie de un sfat.

• ai avut in clasa:
• uşor;
• de obicei;
• dificil.

Profesorul anunță note pentru cei care au răspuns la tablă și pentru cei care au lucrat activ în timpul lecției: s-au remarcat în timpul discuției temelor pentru acasă, în timp ce explicau un subiect nou, sau au făcut față soluțiilor la probleme înaintea altora și profesorul le-a verificat.

La verificarea caietului, ne uităm dacă problemele au fost rezolvate corect, construcțiile au fost finalizate, modul în care elevii au evaluat gradul de stăpânire a materialului și gradul de complexitate al lecției. Ce sarcini au fost îndeplinite corect și care nu au fost, luăm în considerare cei care nu stăpâneau materialul și cei care stăpâneau totul. Pe baza analizei, se pregătește următoarea lecție..

Lista literaturii folosite în pregătirea lecției:

1. Mustakimov R.D.,„Geometrie – 10”, Kazan, „Unipress”, 1999
2. Kovaleva G.I.. „Geometrie clasa a X-a”, Volgograd, „Profesor”, 2005
3. Litvinenko V.N..„Sarcini pentru dezvoltarea conceptelor spațiale”, M. „Prosveshchenie”, 1991.

• 1.Linii paralele
• 2. Liniile care se intersectează
• 3. Trecerea liniilor

• 1) Dreptele paralele sunt drepte care se află în același plan și fie coincid, fie nu se intersectează.

• 2) Semne de paralelism:
• I. Două drepte paralele cu o a treia sunt paralele.
• II. Dacă unghiurile transversale interne sunt egale, atunci liniile sunt paralele
• III. Dacă suma unghiurilor interioare unilaterale este de 180°, atunci liniile sunt paralele.
• IV. Dacă unghiurile corespunzătoare sunt egale, atunci liniile sunt paralele.

• Se spune că două drepte se intersectează dacă au un punct comun.

• Liniile se numesc intersectare dacă una dintre linii se află într-un plan, iar cealaltă intersectează acest plan într-un punct care nu aparține primei drepte.

• 1) Planuri paralele
• 2) Planuri care se intersectează

• Planurile care nu au puncte comune se numesc paralele

• Se spune că planurile se intersectează dacă au puncte comune

• O dreaptă și un plan se numesc paralele dacă nu se intersectează și nu au puncte comune

• Se spune că un plan și o dreaptă se intersectează dacă au un punct de intersecție comun

• O dreaptă care intersectează un plan se numește perpendiculară pe acest plan dacă este perpendiculară pe fiecare dreaptă care se află în planul dat și trece prin punctul de intersecție.

Răspunde la întrebările:

da

• Pot o linie dreaptă și un plan să nu aibă puncte comune?
• Este adevărat că dacă două drepte nu se intersectează, atunci ele sunt paralele?
• Avioane α Și β paralelă, dreaptă t se află în plan α . Este adevărat că dreapta t este paralelă cu planul β ?
• Este adevărat că dacă linia a este paralelă cu unul dintre cele două plane paralele, dreapta a are un punct comun cu celălalt plan?
• Este adevărat că planurile sunt paralele dacă o dreaptă situată într-un plan este paralelă cu alt plan?

Nu

da

Nu

Nu

Rezolvarea problemelor

Punctele E, F,M,N - mijlocul coastelor.

1). Dovedi: E.F. ll MN ;

2). Determinați poziția relativă a liniilor DC Și AB

Dat: α || β

AO = 5,

OB = 4,

OA 1 = 3,

A 1 ÎN 1 = 6.

Găsiți: AB și OB 1

A 1

B 1

Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

№ 6

B 1

C 1

Secțiunea trece prin punctele M, N și P situate pe marginile BC, AD și, respectiv, AA 1.

A 1

D 1

Tetraedrul DABC

№ 2

Sectiunea trece prin punctul M situat pe muchia DA, paralel cu fata ABC.

Aflați: aria secțiunii transversale a unui tetraedru cu o muchie egală cu 3 cm, dacă punctul M este mijlocul muchiei DA.

Determinați poziția relativă a liniilor.

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

A 1

D 1

C 1

B 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

Determinați pozițiile relative ale dreptelor și planelor.

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

Determinați poziția relativă a planurilor.

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

• Se încrucișează.
• Se intersectează.
• Paralel.
• Se încrucișează.
• Se intersectează.

• Paralel.
• Se intersectează.
• Se intersectează.
• Paralel.

• Paralel.
• Se intersectează.
• Paralel.

• Teme pentru acasă:
• 1. pregătire pentru test pp. 35-36 „Testează-te pe tine”

Rezolvarea problemelor pe tema "Paralelismul dreptelor și planelor. Poziția relativă a liniilor în spațiu"

Obiectivele lecției:

a) educațional:

repeta material teoretic pe tema „Paralelismul dreptelor şi planurilor. Poziția relativă a liniilor în spațiu”;

Consolidarea aptitudinilor:rezolva probleme de demonstrare pe baza unor argumente precise (cunoasterea materialului teoretic);

la rezolvarea problemelor stereometrice, aplicați cunoștințele acumulate în urma studierii planimetriei;

Când finalizați un desen pentru o sarcină, luați în considerare claritatea și regulile pentru reprezentarea figurilor spațiale

b) dezvoltarea: dezvoltarea abilităților

muncă independentă,

gândire spațială, gândire logică;

c) educațional: educa elevii

capacitatea de a se asculta, de a pune întrebări și de a evalua răspunsurile în mod rezonabil;

interes pentru subiect

Tip de lecție: lecție privind îmbunătățirea cunoștințelor, abilităților și abilităților

Echipament: calculator, proiector, prezentare

În timpul orelor.

Organizarea timpului. Verificarea gradului de pregătire pentru lecție.

Motivația lecției.

Slide 3. Geometria este plină de aventură pentru că în spatele fiecărei probleme se află o aventură a gândirii. A rezolva o problemă înseamnă a trăi o aventură.

(V. Proizvolov). Astăzi la clasă vom trăi multe aventuri.

Actualizarea cunoștințelor de bază.

Slide 4. Când studiezi stereometria, este foarte important să poți privi și vedea, observa și distinge, înfățișa și ghici. Când rezolvăm probleme stereometrice, vom învăța să vedem „non-evident”. Începem cu repetarea.

Numiți figurile de bază ale stereometriei.

Formulați metode pentru definirea unui plan.

Slide 5.

- Formulați definiția unei drepte paralele cu un plan.

- Formulați un semn de paralelism între o dreaptă și un plan.

Precizați un corolar important despre două plane care se intersectează, dintre care unul conține o dreaptă paralelă cu celălalt plan.

Enumerați cazurile de poziții relative ale liniilor în spațiu.

Formulați definiția dreptelor paralele și oblice.

Formulați semnul liniilor care se intersectează.

Formulați definiția unghiului dintre două drepte care se intersectează.

Ce unghi se numește unghiul dintre liniile care se intersectează?

Slide 7.8. Lucrări orale. Sarcina 1.

1) Având în vedere: punctele A, B, C, D nu aparțin aceluiași plan.

Demonstrați: oricare trei puncte sunt vârfuri ale unui triunghi.

Mai întâi, un elev spune soluția problemei, apoi arată cum să scrie soluția în scris. Deoarece Deoarece metoda prin contradicție este adesea întâlnită la rezolvarea primelor probleme stereometrice, este necesar să se demonstreze încă o dată algoritmul de utilizare a acestei metode.

Slide 9. Sarcina 2.

Deoarece În primele lecții de stereometrie, elevilor le este greu să noteze soluțiile la probleme, apoi după rezolvarea orală a problemei, se arată cum pot scrie soluția acestei probleme folosind semne geometrice și notații matematice.

Slide 10. Sarcina 3. Găsiți unghiul dintre liniile care se intersectează.

Care este unghiul dintre două drepte care se intersectează?

Rezolvarea problemelor.

Slide 11. Rezolvați singur în caietesarcina 1 .

Puteți chema un student la tablă pentru a rezolva o problemă pe o parte a tablei care este închisă pentru studenți.

Slide 12. Elevii discută apoi și verifică soluția.

Slide 13. Sarcina 2. Pe baza acestei condiții, faceți un desen, creați un model verbal al problemei și determinați valoarea care poate fi găsită pe baza acestei condiții.

Un elev este chemat la bord și rezolvă problema cu cel mai mic ajutor din partea profesorului. După ce problema este rezolvată pe tablă, profesorul arată cum ar putea fi scrisă soluția. Discuţie.

Slide 14. Sarcina nr. 3. Linia dreaptă MK este paralelă cu latura CD a rombului ABCD și nu se află în planul rombului. a) Aflați poziția relativă a dreptelor MK și BC b) Aflați unghiul dintre dreptele MK și BC dacă

Mai întâi, desenul problemei și soluția sunt discutate cu clasa. Elevii își notează apoi soluția. Desenul final pentru sarcină poate fi lăsat după cum este necesar. După ce problema este rezolvată, profesorul arată cum ar putea fi scrisă soluția.

Rezumând.

Elevii numesc ce informații teoretice au fost folosite pentru a rezolva probleme.

Reflecţie

7) Tema pentru acasă.

Repetați pașii 1 – 9.

Rezolvați nr. 45 (a), 46 (a), 38 (a).

Repetați nr. 11,23,26

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Poziția relativă a liniilor în spațiu. Traversarea liniilor drepte. Instituție de învățământ municipal școala gimnazială Nr 63 Shipilova E.S.

Obiectivele lecției: Introduceți definiția liniilor oblice. Introduceți formulări și demonstrați semnul și proprietatea liniilor oblice.

Localizarea dreptelor în spațiu: α α a b a b a ∩ b a || b Ei zac în același plan!

A 1 B 1 D 1 A B D C 1 Dat un cub ABC DA 1 B 1 C 1 D 1 Sunt dreptele AA 1 și DD 1 paralele? AA 1 și CC 1? De ce? AA 1 || DD 1, ca laturile opuse ale unui pătrat, se află în același plan și nu se intersectează. AA 1 || DD 1; DD 1 || CC 1 →AA 1 || CC 1 prin teorema a trei drepte paralele. 2. AA 1 și DC sunt paralele? Se intersectează? Două linii se numesc înclinate dacă nu se află în același plan.

Semn de trecere a liniilor. Dacă una dintre cele două linii se află într-un anumit plan, iar cealaltă linie intersectează acest plan într-un punct care nu se află pe prima linie, atunci aceste linii se intersectează. a b

Semn de trecere a liniilor. Dat fiind: AB α, C D ∩ α = C, C AB. a b Demonstrație: Să presupunem că C D și AB se află în același plan. Fie acesta să fie planul β. Demonstrați că AB Încrucișările cu C D A B C D α coincide cu β Planurile coincid, ceea ce nu poate fi, deoarece linia C D intersectează α. Planul căruia îi aparțin AB și C D nu există și de aceea, prin definiția dreptelor de intersectare, AB intersectează C D. Etc.

Întărirea teoremei studiate: C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D Determinați poziția relativă a dreptelor AB 1 și DC. 2. Indicați poziția relativă a dreptei DC și a planului AA 1 B 1 B 3. Este dreapta AB 1 paralelă cu planul DD 1 C 1 C?

Teorema: Prin fiecare dintre cele două linii oblice trece un plan paralel cu celălalt plan și doar unul. Având în vedere: AB este încrucișat cu C D. Construiți α: AB α , C D || α. A B C D Prin punctul A trasăm o dreaptă AE, AE || Cu D. E 2. Dreptele AB și AE se intersectează și formează un plan α. AB α , C D || α. α este singurul plan. Demonstrați că α este unic. 3. Dovada: α este singurul corolar al axiomelor. Orice alt plan căruia îi aparține AB intersectează AE și, prin urmare, dreapta C D.

Sarcină. Construiți un plan α care trece prin punctul K și paralel cu liniile de încrucișare a și b. Construcție: Prin punctul K trageți o dreaptă a 1 || A. 2. Prin punctul K trageți o dreaptă b 1 || b. a b K a 1 b 1 3 . Să desenăm un plan α prin drepte care se intersectează. α este planul dorit.

Problema nr. 34. A B C D M N P P 1 K Dat: D (ABC), AM = M D ; B N = ND; CP = PD K V N . Determinați poziția relativă a dreptelor: a) ND și AB b) RK și BC c) M N și AB

Problema nr. 34. A B C D M N P K Dat: D (ABC), AM = M D ; B N = ND; CP = PD K V N . Determinați pozițiile relative ale dreptelor: a) ND și AB b) RK și BC c) M N și AB d) MR și A C e) K N și A C f) M D și B C

Problema nr. 93 α a b M N Dat: a || b MN ∩ a = M Să se determine poziția relativă a dreptelor MN u b . Încrucișarea.

Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note

Poziția relativă a liniilor în spațiu

Scopul lecției: 1. Repetarea și generalizarea cunoștințelor pe tema aranjamentului relativ al liniilor în spațiu.; sistematizează cunoştinţele dobândite.2. Dezvoltați abilitățile mentale, gândirea logică și matematica...

Clasa de master: "Axiome de stereometrie. Poziția relativă a liniilor în spațiu. Poziția relativă a unei drepte și a unui plan"

Clasa de master: "Axiome de stereometrie. Poziția relativă a liniilor în spațiu. Poziția relativă a unei drepte și a unui plan", conform E.V. Potoskuev, L.I. Zvavich....

Prezentare pentru o lecție de generalizare și sistematizare a cunoștințelor și abilităților pe tema "Dispunerea relativă a liniilor în spațiu. Linii paralele" folosind EOR. Convenabil de utilizat la distanță...

Însoțirea unei lecții de generalizare și sistematizare a cunoștințelor și abilităților pe tema „Poziția relativă a liniilor în spațiu. Linii paralele" bazate pe ESM. Conține caracteristici și link-uri către...

Poziția relativă a liniilor drepte și a planelor în spațiu

Slide 2

Toate construcțiile pe un plan sunt realizate cu instrumente de desen și construcțiile sunt precise, dar construcțiile în spațiu se pot face schematic. Prin urmare, termenii „desenați un plan (linie)” sunt folosiți în sensul „demonstrați existența unui plan (linie)” care îndeplinește condițiile enunțate.

Slide 3: Posibile locații ale liniilor în spațiu:

Slide 4

4 b a b Trei cazuri de poziții relative ale dreptelor în spațiu n m l p n m l p II a

Slide 5

drepte în spațiu Au un punct comun Nu au puncte comune intersectează intersectează paralel

Slide 6

Definiție: Două drepte se numesc paralele dacă se află în același plan și nu au un punct comun sau coincid. Definiție: Se spune că două drepte se intersectează dacă nu se intersectează sau sunt paralele. Definiție: Două drepte se numesc intersectări dacă se află în același plan și au un punct comun.

Slide 7: Sarcină: printr-un punct dat K trageți o dreaptă paralelă cu o dreaptă dată a

Dat: K  a Demonstrați:  ! b: K  b, b  a Demonstrație: Construcție 1. Să desenăm planul α prin dreapta a etc. K. (după Sl.1) 2. Să trasăm o dreaptă b, b  a prin punctul K în planul α.(A planimetrie) Unicitatea (prin contradicție) 1. Fie  b 1: K  b 1, b 1  a .Prin drepte a şi b 1 se poate trasa un plan α 1 (după Sl. 3) 2. Linia a, deoarece  α 1 ;  α 1 = α (prin un punct și o dreaptă în spațiu) (SL.1). 3.  b = b 1 (A drepte paralele). Teorema a fost demonstrată. La un b

Slide 8

TEOREMA 1. Dacă una dintre două drepte se află într-un plan, iar cealaltă intersectează acest plan într-un punct care nu aparține primei drepte, atunci aceste drepte se intersectează. Vă rugăm să rețineți: un plan nu poate fi desenat prin linii care se intersectează. Dat: Demonstrați: un A

Slide 9

II. Poziția relativă a unei drepte și a unui plan. Linia dreaptă se află în plan. O linie dreaptă intersectează un plan. Linia dreaptă nu intersectează planul. O mulțime de puncte comune. Singurul punct comun. Nu există puncte comune. g a g a M g a a Ì g a Ç g = M a Ë g

10

Slide 10

a c Poziția relativă a unei drepte și a unui plan în spațiu.  b K

11

Slide 11

Definiție. O dreaptă și un plan se numesc paralele dacă nu au un punct comun sau linia se află în plan. Luați în considerare următorul semn de paralelism între o dreaptă și un plan

12

Slide 12

TEOREMA 2. Dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă situată într-un plan, atunci linia dată și planul sunt paralele. Dat: Demonstrați:

13

Slide 13

TEOREMA 3 (invers) Dacă un plan trece printr-o dreaptă paralelă cu un alt plan și intersectează acest plan, atunci linia de intersecție a planurilor este paralelă cu această dreaptă. Dat:  β ∩ α = Demonstrați:  Demonstrați: 1) a, b  β a nu poate ∩ b, deoarece altfel a ∩ α, ceea ce contrazice condiția. Prin urmare a  în α Se demonstrează teorema.

14

Slide 14

TEOREMA 4. Dacă se trasează un plan prin fiecare dintre cele două drepte paralele, iar aceste plane se intersectează, atunci linia lor de intersecție este paralelă cu fiecare dintre aceste drepte. Dat: Demonstrație: Demonstrați: a  b α  β = c c  a, c  b α Prin a tragem α, prin b – β și α ∩ β = c După criteriul || linie și plan a || β, apoi cu  a (T.3) În mod similar, c|| b

15

Slide 15

Dovada: Luați în considerare un caz. în, cu  β; a, c  α 1. Luați t.M, M  a Prin t.M și c desenăm planul α, b și M desenăm planul β; 2. T 4: α  β = MN (linia de intersecție a planelor  b și c) 3. Prin T.M este imposibil să se tragă două drepte diferite с, deci MN și a coincid. 4. Dar întrucât (MN)  b, atunci a  b  în  c Teorema este demonstrată. Teorema 5. Dacă două drepte sunt paralele cu o a treia, atunci sunt paralele între ele. Dat: a  c, b  c Demonstrați: a  b α M N

16

Slide 16

și M Linia dreaptă se află în plan Linia dreaptă intersectează planul Câte puncte au în comun dreapta și planul?

17

Slide 17

Metode de definire a planurilor Figura Cum poate fi definit un plan unic în spațiu? 1. Prin trei puncte 2. După o dreaptă și un punct care nu îi aparține. 3. De-a lungul a două linii care se intersectează. 4. De-a lungul a două linii paralele.