Gjeni derivate të pjesshme të përziera në internet. Llogaritja e derivatit të një funksioni në internet. - Zëvendësimi aktual i ndryshores
Përkufizimi 1.11 Le të jepet një funksion i dy ndryshoreve z = z (x, y), (x, y) D ... Pika M 0 (x 0 y 0 ) - pika e brendshme e zonës D .
Nëse në D ka një lagje të tillë Um 0 pikë M 0 atë për të gjitha pikat
pika M 0 quhet pikë maksimale lokale. Dhe vetë kuptimi z (M 0 ) - maksimumi lokal.
Dhe nëse për të gjitha pikat
pika M 0 quhet pika e minimumit lokal të funksionit z (x, y) ... Dhe vetë kuptimi z (M 0 ) - një minimum lokal.
Maksimumi lokal dhe minimumi lokal quhen ekstreme lokale të funksionit z (x, y) ... Në fig. 1.4 shpjegon kuptimin gjeometrik të maksimumit lokal: M 0 është pika maksimale, pasi në sipërfaqe z = z (x, y) pikë përkatëse C 0 është mbi çdo pikë ngjitur C (ky është lokaliteti i maksimumit).
Vini re se ka pika në sipërfaqe në tërësi (për shembull, V ) që janë më lart C 0 , por këto pika (për shembull, V ) nuk janë "të afërta" me pikën C 0 .
Në veçanti, pika V Koncepti i një maksimumi global korrespondon:
Minimumi global përcaktohet në mënyrë të ngjashme:
Gjetja e niveleve të larta dhe të ulëta globale do të diskutohet në seksionin 1.10.
Teorema 1.3(kushtet e nevojshme për një ekstrem).
Lëreni funksionin z = z (x, y), (x, y) D ... Pika M 0 (x 0 y 0 D - pika e ekstremit lokal.
Nëse në këtë pikë ka z" x dhe z" y , pastaj
Prova gjeometrike është "e dukshme". Nëse në pikën C 0 vizatoni një plan tangjent në (Figura 1.4), atëherë ai "natyrshëm" do të kalojë horizontalisht, domethënë në një kënd 0° te boshti Oh dhe te boshti OU .
Pastaj, në përputhje me kuptimin gjeometrik të derivateve të pjesshme (Figura 1.3):
siç kërkohet.
Përkufizimi 1.12.
Nëse në pikën M 0 plotësohen kushtet (1.41), atëherë quhet pika stacionare e funksionit z (x, y) .
Teorema 1.4(kushte të mjaftueshme për një ekstrem).
Le të jepet z = z (x, y), (x, y) D , i cili ka derivate të pjesshëm të rendit të dytë në ndonjë lagje të pikës M 0 (x 0 , y 0 ) D ... Dhe M 0 është një pikë e palëvizshme (d.m.th., plotësohen kushtet e nevojshme (1.41). Le të llogarisim:
Vërtetimi i teoremës përdor tema (formula e Taylor-it për funksionet e disa variablave dhe teoria e formave kuadratike) që nuk janë trajtuar në këtë tutorial.
Shembulli 1.13.
Eksploroni për ekstremin:
Zgjidhje
1. Gjeni pika të palëvizshme duke zgjidhur sistemin (1.41):
pra janë gjetur katër pika të palëvizshme. 2.
nga teorema 1.4, në pikën është minimumi. Për më tepër 
nga teorema 1.4 në pikën
Maksimumi. Për më tepër
Koncepti i një funksioni të shumë variablave
Le të ketë n-ndryshore-x dhe çdo x 1, x 2 ... x n nga një grup i caktuar x i caktohet një përkufizim. numri Z, pastaj në bashkësinë e x është dhënë funksioni Z = f (x 1, x 2 ... x n) i shumë ndryshoreve.
X - rajoni i përcaktimit të funksionit
x 1, x 2 ... x n - ndryshim i pavarur (argumente)
Z - funksioni Shembull: Z = P x 2 1 * x 2 (Vëllimi i cilindrit)
Konsideroni Z = f (x; y) - f-tion i 2 ndryshores x (x 1, x 2 zëvendësohet me x, y). Rezultatet transferohen me analogji në funksione të tjera të shumë variablave. Zona e opred-I f-tion prej 2 variabël-x - i gjithë kordoni pl-ty (ooh) ose një pjesë e tij. Mn-në kuptimin e funksionit 2-ndryshore - sipërfaqja në hapësirën 3-dimensionale.
Teknikat e ndërtimit të grafikëve: - Konsideroni prerjen tërthore të sipërfaqes me pllaka || parcela koordinative.
Shembull: x = x 0, zn. zona X || 0yz y = y 0 0xz Lloji i funksionit: Z = f (x 0, y); Z = f (x, y 0)
Për shembull: Z = x 2 + y 2 -2y
Z = x 2 + (y-1) 2 -1 x = 0 Z = (y-1) 2 -1 y = 1 Z = x 2 -1 Z = 0 x 2 + (y-1) 2 -1
Rrethimi i parabolës (në qendër (0; 1)
Kufijtë dhe vazhdimësia e funksioneve të dy variablave
Le të jetë dhënë Z = f (x; y), atëherë A është kufiri i funksionit në m (X 0, y 0), nëse vendosim për ndonjë të vogël arbitrarisht. numrat E> 0 emër-t numër pozitiv b> 0, i cili për të gjithë x, y kënaqshëm | x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z = f (x; y) është i vazhdueshëm në t (X 0, y 0) nëse: - është përcaktuar në këtë t; - ka një fundme. kufiri në x, duke u prirur në x 0 dhe y në y 0; - ky limit = vlera funksionet duke përfshirë (x 0, y 0), d.m.th. limf (x; y) = f (x 0, y 0) Nëse funksioni është i vazhdueshëm në secilën. t. mn-va X, atëherë është e vazhdueshme në këtë zonë F-tion diferencial, kuptimi i tij gjeom. Zbatimi i diff-la në vlera të përafërta. dy = f ’(x) ∆x - funksion diff-l dy = dx, d.m.th. dy = f '(x) dx nëse y = x Nga pikëpamja gjeomike, diff-l f-tion është rritja e ordinatës së tangjentës së tërhequr në grafikun e f-tionit në një pikë me abshisë x 0 Dif-l përdoret në llogaritjen e përafrimit. vlerat e f-tionit sipas formulës: f (x 0 + ∆x) ~ f (x 0) + f '(x 0) ∆x Sa më afër ∆x me x, aq më i saktë është rezultati Derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë Derivat i rendit të parë (i quajtur herës) A. Le të jenë x, y rritja e ndryshoreve të pavarura x dhe y në një pikë nga fusha X. Atëherë vlera e barabartë me z = f (x + x, y + y) = f (x, y) quhet rritja totale në pikën x 0, y 0. Nëse ndryshorja x është fikse, dhe ndryshores y i jepet një rritje prej y, atëherë marrim zу = f (x, y, + y) - f (x, y ) Derivati i pjesshëm i ndryshores y përcaktohet në mënyrë të ngjashme, d.m.th. Derivati i pjesshëm i një funksioni prej 2 ndryshoresh gjendet sipas të njëjtave rregulla si për funksionet e një ndryshoreje. Dallimi është se kur diferencohet një funksion në lidhje me ndryshoren x, y, ai konsiderohet konst, dhe kur diferencohet në lidhje me y, x, konsiderohet konst. Konstet e izoluara lidhen me një funksion me anë të operacioneve të mbledhjes/zbritjes. Konstatimet e lidhura janë të lidhura me një funksion nga operacionet e shumëzimit/pjestimit. Derivati i konstitit të izoluar = 0 1.4.Diferenciali total i një funksioni prej 2 ndryshoresh dhe aplikimet e tij
Le të jetë z = f (x, y), atëherë tz = Derivat i pjesshëm i rendit të dytë Për funksionet e vazhdueshme të 2 ndryshoreve, derivatet e përziera të pjesshme të rendit të dytë përkojnë. Zbatimi i derivateve të pjesshëm në përcaktimin e derivateve të pjesshëm të funksioneve max dhe min quhen ekstreme. A. Pikat quhen max ose min z = f (x, y) nëse ka disa segmente të tilla që për të gjitha x dhe y nga kjo fqinjësi f (x, y) T. Nëse jepet pika ekstreme e funksionit të 2 ndryshoreve, atëherë vlerat e derivateve të pjesshme në këtë pikë janë të barabarta me 0, d.m.th. , Pikat në të cilat derivatet e pjesshme të rendit të parë quhen stacionare ose kritike. Prandaj, për të gjetur pikat ekstreme të një funksioni me 2 ndryshore, përdoren kushte të mjaftueshme ekstreme. Le të jetë funksioni z = f (x, y) dy herë i diferencueshëm dhe një pikë e palëvizshme, 1), dhe maxA<0, minA>0. 1.4.(*)Diferencial i plotë. Kuptimi gjeometrik i diferencialit. Zbatim diferencial në llogaritjet e përafërta
A. Le të jetë i përcaktuar funksioni y = f (x) në disa fqinjësi në pika. Një funksion f (x) quhet i diferencueshëm në një pikë nëse rritja e tij në këtë pikë Ku A është një konstante, e pavarur nga, në një pikë fikse x, është pafundësisht i vogël në. Funksioni linear A quhet diferencial i funksionit f (x) në pikë dhe shënohet me df () ose dy. Kështu, shprehja (1) mund të shkruhet si Diferenciali i funksionit në shprehjen (1) ka formën dy = A. Si çdo funksion linear, ai përcaktohet për çdo vlerë Për lehtësi në shkrimin e diferencialit, rritja shënohet me dx dhe quhet diferencial i ndryshores së pavarur x. Prandaj, diferenciali shkruhet si dy = Adx. Nëse funksioni f (x) është i diferencueshëm në secilën pikë të një intervali, atëherë diferenciali i tij është funksion i dy ndryshoreve - pika x dhe ndryshorja dx: T. Që funksioni y = g (x) të jetë i diferencueshëm në një moment, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të ketë një derivat në këtë pikë, ndërsa (*) Dëshmi. Nevoja. Le të jetë funksioni f (x) i diferencueshëm në një pikë, d.m.th. Prandaj, derivati f '() ekziston dhe është i barabartë me A. Prandaj dy = f' () dx Përshtatshmëria. Le të ketë një derivat f '(), d.m.th. = f '(). Atëherë kurba y = f (x) është një segment tangjent. Për të llogaritur vlerën e një funksioni në një pikë x, merret një pikë në disa nga lagjet e tij në mënyrë që të mos jetë e vështirë të gjesh f () dhe f '() / Në këtë mësim, ne do të njihemi me konceptin e një funksioni të dy ndryshoreve, dhe gjithashtu do të shqyrtojmë në detaje detyrën më të zakonshme - gjetjen derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë, diferenciali total i funksionit. Për të studiuar në mënyrë efektive materialin e mëposhtëm, ju e nevojshme të jetë në gjendje të gjejë pak a shumë me siguri derivatet "të zakonshëm" të një funksioni të një ndryshoreje. Ju mund të mësoni se si t'i trajtoni saktë derivatet në klasë. Si mund ta gjej derivatin? dhe Derivat i një funksioni kompleks... Ne gjithashtu kemi nevojë për një tabelë të derivateve të funksioneve elementare dhe rregullave të diferencimit, më e përshtatshme nëse është në dispozicion në formë të shtypur. Le të fillojmë me vetë konceptin e një funksioni të dy variablave, do të përpiqemi të kufizojmë veten në një minimum teorie, pasi faqja ka një fokus praktik. Një funksion i dy variablave zakonisht shkruhet si, ndërsa ndryshoret thirren variablat e pavarur ose argumentet. Shembull: - një funksion i dy ndryshoreve. Regjistrimi përdoret ndonjëherë. Ka edhe detyra ku përdoret një shkronjë në vend të një shkronje. Është e dobishme të dihet kuptimi gjeometrik i funksioneve. Funksioni i një ndryshoreje korrespondon me një vijë të caktuar në plan, për shembull, parabolën e njohur të shkollës. Çdo funksion i dy ndryshoreve nga pikëpamja gjeometrike është një sipërfaqe në hapësirën tredimensionale (aeroplanë, cilindra, topa, paraboloidë, etj.). Por, në fakt, kjo tashmë është gjeometri analitike dhe ne kemi në axhendën tonë analizën matematikore. Kalojmë në çështjen e gjetjes së derivateve të pjesshme të rendit të parë dhe të dytë. Lajm i mirë për ata që kanë pirë disa filxhanë kafe dhe janë akorduar me materiale të paimagjinueshme: derivatet e pjesshme janë pothuajse të njëjta me derivatet "të zakonshëm" të një funksioni të një ndryshoreje. Për derivatet e pjesshme vlejnë të gjitha rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare. Ka vetëm disa dallime të vogla që do t'i njohim tani. Shembulli 1 Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë të funksionit Së pari, gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të parë. Janë dy prej tyre. Legjenda: Ose - derivat i pjesshëm në lidhje me "x" Ose - derivati i pjesshëm i "y" Le të fillojmë me. E rëndësishme! Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "x", atëherë ndryshoren konsiderohet konstante (numër konstant).
Ne vendosim. Në këtë mësim, ne do të japim menjëherë një zgjidhje të plotë dhe do të japim komente më poshtë. Komentet për veprimet e kryera: (1) Gjëja e parë që bëjmë kur gjejmë derivatin e pjesshëm është të konkludojmë e gjitha funksioni në kllapa nën goditje nënshkrim. Kujdes, e rëndësishme! Ne NUK HUMBËM abonimet gjatë rrugës. Në këtë rast, nëse vizatoni një "goditje" diku pa, atëherë mësuesi, të paktën, mund të vendosë pranë detyrës (menjëherë kafshojë një pjesë të pikës për pavëmendje). (2) Ne përdorim rregullat e diferencimit (2) Ne përdorim tabelën e derivateve të funksioneve elementare. Le t'i ndryshojmë mendërisht të gjitha X-të në tabelë në igreki. Kjo do të thotë, kjo tabelë është po aq e vlefshme për (dhe në përgjithësi për çdo shkronjë). Në këtë rast, formulat që përdorim janë të formës: dhe. Pra, gjenden derivatet e pjesshme të rendit të parë Ne vazhdojmë temën tonë të preferuar të analizës matematikore - derivatet. Në këtë artikull do të mësojmë se si të gjejmë derivatet e pjesshme të një funksioni me tre ndryshore: derivatet e para dhe derivatet e dyta. Çfarë duhet të dini dhe të jeni në gjendje të bëni për të zotëruar materialin? Besoni apo jo, para së gjithash, ju duhet të jeni në gjendje të gjeni derivatet "të zakonshëm" të një funksioni të një ndryshoreje - në një nivel të lartë ose të paktën mesatar. Nëse ato janë shumë të ngushta, atëherë filloni me një mësim. Si mund ta gjej derivatin? Së dyti, është shumë e rëndësishme të lexoni artikullin dhe të kuptoni-zgjidhni, nëse jo të gjithë, atëherë shumicën e shembujve. Nëse kjo tashmë është bërë, atëherë ecni me mua me një ecje të sigurt, do të jetë interesante, madje do ta shijoni! Metodat dhe parimet e gjetjes derivatet e pjesshme të një funksioni me tre ndryshore në fakt janë shumë të ngjashme me derivatet e pjesshëm të funksioneve të dy ndryshoreve. Më lejoni t'ju kujtoj se funksioni i dy ndryshoreve ka formën, ku "x" dhe "lojë" janë variabla të pavarur. Gjeometrikisht, një funksion i dy ndryshoreve është një sipërfaqe në hapësirën tonë tredimensionale. Funksioni i tre variablave ka formën, ndërsa ndryshoret thirren i pavarurvariablave ose argumentet, ndryshorja quhet ndryshore e varur ose funksionin... Për shembull: - funksioni i tre variablave Dhe tani pak për filmat fantashkencë dhe alienët. Shpesh mund të dëgjoni për 4D, 5D, 10D, etj. hapësirat. E pakuptimta apo jo? - A ka një të katërt, të pestë etj në botë? matje në kuptimin e një kuptimi të përbashkët të hapësirës (gjatësi / gjerësi / lartësi)? - A është e mundur të ndërtohet katërdimensionale, pestë-dimensionale etj. hapësirë në kuptimin më të gjerë të fjalës? Kjo do të thotë, të japim një shembull të një hapësire të tillë në jetën tonë. - A është e mundur të udhëtosh në të kaluarën? - A është e mundur të udhëtosh në të ardhmen? - A ekzistojnë alienët? Ju mund të zgjidhni një nga katër përgjigjet për çdo pyetje: Kushdo që u përgjigjet saktë të gjitha pyetjeve, me shumë mundësi ka diçka ;-) Unë gradualisht do t'u jap përgjigje pyetjeve gjatë mësimit, mos humbisni shembuj! Në fakt, ata fluturuan. Dhe menjëherë lajmi i mirë: për një funksion të tre variablave vlejnë rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve... Kjo është arsyeja pse ju duhet të jeni të mirë në trajtimin e "të zakonshëm" derivatet e funksioneve një variabël. Ka shumë pak dallime! Shembulli 1 Zgjidhja: Nuk është e vështirë të merret me mend - për një funksion prej tre variablash, ekzistojnë tre derivatet e pjesshme të rendit të parë, të cilat shënohen si më poshtë: Ose - një derivat i pjesshëm në lidhje me "x"; Përcaktimi me një goditje është më i zakonshëm, por përpiluesit e koleksioneve, manualeve në kushtet e problemeve u pëlqen shumë të përdorin vetëm emërtime të rënda - kështu që mos u humbni! Ndoshta jo të gjithë dinë t'i lexojnë me zë të lartë këto "fraksione të tmerrshme". Shembull: duhet lexuar si më poshtë: "de u po de x". Le të fillojmë me derivatin x:. Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me , pastaj variablat dhe konsiderohen konstante (numra konstante). Dhe derivati i çdo konstante, oh, hiri, është zero: Kushtojini vëmendje nënshkrimit menjëherë - askush nuk ju ndalon të shënoni se ato janë konstante. Pra, është edhe më i përshtatshëm, për fillestarët unë rekomandoj përdorimin e një regjistrimi të tillë, ka më pak rrezik konfuzioni. (1) Ne përdorim vetitë e linearitetit të derivatit, në veçanti, ne i lëvizim të gjitha konstantet jashtë shenjës së derivatit. Ju lutemi vini re se në termin e dytë konstanta nuk ka nevojë të hiqet: meqenëse "loja" është një konstante, atëherë ajo është gjithashtu një konstante. Në term, konstanta "e zakonshme" 8 dhe konstantja "z" hiqen përtej shenjës së derivatit. (2) Gjeni derivatet më të thjeshta pa harruar se janë konstante. Tjetra, ne krehim përgjigjen. Derivat i pjesshëm. Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "lojën", atëherë ndryshoret dhe konsiderohen konstante:
(1) Ne përdorim vetitë e linearitetit. Dhe përsëri, vini re se termat janë konstante, që do të thotë se asgjë nuk duhet të hiqet përtej shenjës së derivatit. (2) Gjeni derivatet, duke mos harruar se konstantet. Le ta thjeshtojmë përgjigjen më tej. Dhe së fundi, derivati i pjesshëm. Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "z", atëherë ndryshoret dhe konsiderohen konstante:
Rregulli i përgjithshëm e dukshme dhe jo modeste: Kur gjejmë derivatin e pjesshëmpër çdo
ndryshore e pavarur, prady të tjerat
variablat e pavarur konsiderohen konstante. Kur përgatitni këto detyra, duhet të jeni jashtëzakonisht të kujdesshëm, në veçanti, abonimet nuk duhet të humbasin(që tregojnë se cila variabël është duke u diferencuar). Humbja e indeksit do të ishte një ZI. Hmmm .... Është qesharake nëse, pas një kërcënimi të tillë, unë vetë më mungojnë diku) Shembulli 2 Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni me tre ndryshore Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë. Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjuni në fund të tutorialit. Dy shembujt e konsideruar janë mjaft të thjeshtë dhe, pasi të keni zgjidhur disa probleme të ngjashme, edhe një çajnik do të mësohet t'i trajtojë ato gojarisht. Për të shkarkuar, le të kthehemi te pyetja e parë e kuizit: A ka të katërtën, të pestën etj në botë. matje në kuptimin e një kuptimi të përbashkët të hapësirës (gjatësi / gjerësi / lartësi)? Përgjigje e saktë: Shkenca nuk është e ndaluar... Të gjitha aksiomat themelore matematikore, teoremat, aparatet matematikore janë të shkëlqyera dhe në mënyrë të vazhdueshme punoni në një hapësirë të çdo dimensioni. Është e mundur që diku në Univers të ketë hipersipërfaqe përtej kontrollit të mendjes sonë, për shembull, një hipersipërfaqe katërdimensionale, e cila jepet nga një funksion i tre variablave. Ose mbase ka hipersipërfaqe pranë nesh, apo edhe ne jemi pikërisht aty, vetëm shikimi ynë, shqisat e tjera, vetëdija janë të afta të perceptojnë dhe kuptojnë vetëm tre dimensione. Le të kthehemi te shembujt. Po, nëse dikush është shumë i ngarkuar me kuizin, është më mirë të lexoni përgjigjet e pyetjeve të mëposhtme pasi të mësoni se si të gjeni derivatet e pjesshme të një funksioni të tre variablave, përndryshe do të heq gjithë trurin tim gjatë artikulli =) Përveç Shembujve 1 dhe 2 më të thjeshtë, në praktikë, ka detyra që mund të quhen një enigmë e vogël. Shembuj të tillë, për keqardhjen time, u larguan nga sytë kur krijova mësimin Derivatet e pjesshme të një funksioni të dy ndryshoreve... Kompensimi i kohës së humbur: Shembulli 3 Zgjidhja: Duket se gjithçka është e thjeshtë këtu, por përshtypja e parë është mashtruese. Kur gjejnë derivate të pjesshme, shumë do të hamendësojnë llumin e kafesë dhe do të bëjnë gabime. Le të analizojmë shembullin në mënyrë të vazhdueshme, të qartë dhe të qartë. Le të fillojmë me derivatin x. Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "x", atëherë variablat konsiderohen konstante. Prandaj, eksponenti i funksionit tonë është gjithashtu një konstante. Për dummies, unë rekomandoj zgjidhjen e mëposhtme: në një draft, ndryshoni konstanten në një numër të plotë pozitiv specifik, për shembull, në "pesë". Rezultati do të jetë një funksion i një ndryshoreje: Kjo qetësues një funksion me një radiks të përbërë (sinus). Nga: Tani kujtojmë se, në këtë mënyrë: Në një kopje të pastër, natyrisht, zgjidhja duhet të zyrtarizohet si më poshtë: Gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "lojën", konsiderohen konstante. Nëse "x" është një konstante, atëherë është gjithashtu një konstante. Në draft, ne bëjmë të njëjtin mashtrim: zëvendësojmë, për shembull, me 3, "z" - e zëvendësojmë me të njëjtën "pesë". Rezultati është përsëri një funksion i një ndryshoreje: Kjo tregues një funksion me një eksponent kompleks. Nga rregulli për diferencimin e një funksioni kompleks: Tani kujtojmë zëvendësimin tonë: Në këtë mënyrë: Në një kopje të pastër, natyrisht, dizajni duhet të duket i bukur: Dhe rasti i pasqyrës me një derivat të pjesshëm në lidhje me "z" (- konstante): Me një përvojë, analiza mund të kryhet mendërisht. Ne kryejmë pjesën e dytë të detyrës - ne do të kompozojmë diferencialin e rendit të parë. Është shumë e thjeshtë, për analogji me një funksion të dy ndryshoreve, diferenciali i rendit të parë shkruhet me formulën: Në këtë rast: Dhe pastaj biznesi. Vërej se në problemet praktike diferenciali i plotë i funksioneve të rendit të parë të tre variablave kërkohet të bëhet shumë më rrallë sesa për një funksion të dy ndryshoreve. Një shembull qesharak për një zgjidhje të bërë vetë: Shembulli 4 Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni me tre ndryshore dhe bëni diferencialin total të rendit të parë Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjuni në fund të tutorialit. Nëse keni ndonjë vështirësi, përdorni algoritmin e konsideruar "Dummy", garantohet se do t'ju ndihmojë. Dhe një këshillë tjetër e dobishme - mos u ngut... Edhe unë nuk mund t'i zgjidh shpejt shembuj të tillë. Zhvillojmë dhe analizojmë pyetjen e dytë: A është e mundur të ndërtohet një katër-dimensionale, pesë-dimensionale, etj. hapësirë në kuptimin më të gjerë të fjalës? Kjo do të thotë, të japim një shembull të një hapësire të tillë në jetën tonë. Përgjigje e saktë: po... Për më tepër, është shumë e lehtë. Për shembull, shtoni dimensionin e katërt në gjatësi / gjerësi / lartësi - kohë. Hapësira-koha popullore katërdimensionale dhe teoria e njohur e relativitetit, e vjedhur mjeshtërisht nga Ajnshtajni nga Lobachevsky, Poincaré, Lorentz dhe Minkowski. Gjithashtu, jo të gjithë e dinë. Pse Ajnshtajni merr çmimin Nobel? Kishte një skandal të tmerrshëm në botën shkencore dhe Komiteti i Nobelit e formuloi meritën e plagjiaturës afërsisht si më poshtë: "Për kontributin e përgjithshëm në zhvillimin e fizikës". Pra, kjo është ajo. Marka Troechnik e Ajnshtajnit është thjesht promovim dhe PR. Është e lehtë të shtosh një dimension të pestë në hapësirën e konsideruar katër-dimensionale, për shembull: presioni atmosferik. Dhe kështu me radhë, kështu me radhë, kështu me radhë, sa dimensione keni vendosur në modelin tuaj - kaq shumë do të jenë. Në kuptimin më të gjerë të fjalës, ne jetojmë në një hapësirë shumëdimensionale. Le të analizojmë disa detyra tipike: Shembulli 5 Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë në një pikë Zgjidhja: Një detyrë në këtë formulim haset shpesh në praktikë dhe përfshin dy veprimet e mëposhtme: Ne vendosim: (1) Kemi një funksion kompleks dhe në hapin e parë duhet të marrim derivatin e arktangjentit. Në këtë rast, ne, në fakt, përdorim me qetësi formulën tabelare për derivatin e arktangjentit. Nga rregulli për diferencimin e një funksioni kompleks rezultati duhet të shumëzohet me derivatin e funksionit të brendshëm (ngulitje):. (2) Ne përdorim vetitë e linearitetit. (3) Dhe marrim derivatet e mbetura, duke mos harruar se ato janë konstante. Sipas kushtit të detyrës, është e nevojshme të gjendet vlera e derivatit të pjesshëm të gjetur në pikë. Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës në derivatin e gjetur: Avantazhi i kësaj detyre është fakti se derivatet e tjerë të pjesshëm gjenden në një mënyrë shumë të ngjashme: Siç mund ta shihni, modeli i zgjidhjes është pothuajse i njëjtë. Le të llogarisim vlerën e derivatit të pjesshëm të gjetur në pikën: Dhe së fundi, derivati z: Gati. Zgjidhja mund të formulohet në një mënyrë tjetër: së pari, gjeni të tre derivatet e pjesshëm dhe më pas llogaritni vlerat e tyre në një pikë. Por, më duket, metoda e dhënë është më e përshtatshme - ata sapo gjetën derivatin e pjesshëm dhe menjëherë, pa lënë arkën, llogaritën vlerën e tij në pikë. Është interesante të theksohet se gjeometrikisht një pikë është një pikë shumë reale në hapësirën tonë tredimensionale. Vlerat e funksionit dhe të derivateve janë tashmë dimensioni i katërt, dhe askush nuk e di se ku është gjeometrikisht. Siç thonë ata, askush nuk u zvarrit rreth Universit me një masë kasetë, nuk kontrolloi. Edhe një herë tema filozofike ka ikur, merrni parasysh pyetjen e tretë: A është e mundur të udhëtosh në të kaluarën? Përgjigje e saktë: Jo... Udhëtimi në të kaluarën bie ndesh me ligjin e dytë të termodinamikës për pakthyeshmërinë e proceseve fizike (entropia). Pra, mos u zhytni në pishinë pa ujë, ju lutem, ngjarja mund të kthehet vetëm në video =) Urtësia popullore jo më kot ka dalë me ligjin e kundërt të jetës: "Masni shtatë herë, prisni një herë". Edhe pse, në fakt, një gjë e trishtueshme, koha është njëkahëshe dhe e pakthyeshme, askush nga ne nuk do të jetë më i ri nesër. Dhe filmat fantastiko-shkencorë si The Terminator janë shkencërisht të pakuptimta. Është absurde edhe nga pikëpamja e filozofisë - kur Pasoja, duke u kthyer në të kaluarën, mund të shkatërrojë Kauzën e vet. ... Është më interesante me derivatin në lidhje me "z", megjithëse është ende pothuajse i njëjtë: (1) Lëvizni konstantet jashtë shenjës së derivatit. (2) Këtu përsëri, produkti i dy funksioneve, secila prej të cilave varet nga ndryshorja "live" "z". Në parim, mund të përdorni formulën për derivatin e koeficientit, por është më e lehtë të shkoni në anën tjetër - të gjeni derivatin e produktit. (3) Një derivat është një derivat tabelor. Termi i dytë përmban derivatin e njohur të një funksioni kompleks. Shembulli 9 Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni me tre ndryshore Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë. Mendoni se si të gjeni në mënyrë racionale këtë apo atë derivat të pjesshëm. Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjuni në fund të tutorialit. Përpara se të kaloni te shembujt përfundimtarë të mësimit dhe merrni parasysh derivatet e pjesshme të rendit të dytë funksionet e tre variablave, edhe një herë gëzojnë të gjithë me pyetjen e katërt: A është i mundur udhëtimi në të ardhmen? Përgjigje e saktë: Shkenca nuk është e ndaluar... Në mënyrë paradoksale, nuk ka asnjë ligj matematikor, fizik, kimik apo tjetër të shkencës natyrore që do të ndalonte udhëtimin në të ardhmen! Tingëllon marrëzi? Por pothuajse të gjithë në jetën e tyre kishin një parandjenjë (për më tepër, jo të mbështetur nga ndonjë argument logjik) se kjo apo ajo ngjarje do të ndodhte. Dhe ndodhi! Nga erdhi informacioni? Nga e ardhmja? Kështu, filmat fantastikë për një udhëtim në të ardhmen, dhe, meqë ra fjala, parashikimet e të gjitha llojeve të fallxhorëve, psikikës nuk mund të quhen të tilla marrëzi. Të paktën, shkenca nuk e ka hedhur poshtë këtë. Çdo gjë është e mundur! Kështu, kur isha në shkollë, CD-të dhe monitorët me panel të sheshtë nga filmat më dukeshin një fantazi e pabesueshme. Komedia e mirënjohur "Ivan Vasilyevich ndryshon profesionin e tij" është gjysmë fiction (maksimumi). Asnjë ligj shkencor nuk e ndalonte Ivanin e Tmerrshëm të ishte në të ardhmen, por është e pamundur që dy speca të jenë në të kaluarën dhe të përmbushin detyrat e një cari. Konsideroni një funksion të dy variablave: Meqenëse variablat $ x $ dhe $ y $ janë të pavarura, për një funksion të tillë, mund të prezantoni konceptin e një derivati të pjesshëm: Derivati i pjesshëm i funksionit $ f $ në pikën $ M = \ majtas (((x) _ (0)); ((y) _ (0)) \ djathtas) $ në lidhje me ndryshoren $ x $ është kufiri \ [(((f) ") _ (x)) = \ nënvendosje (\ Delta x \ në 0) (\ mathop (\ lim)) \, \ frac (f \ majtas (((x) _ (0) ) + \ Delta x; ((y) _ (0)) \ djathtas)) (\ Delta x) \] Në mënyrë të ngjashme, ju mund të përcaktoni derivatin e pjesshëm në lidhje me variablin $ y $: \ [(((f) ") _ (y)) = \ nënvendosje (\ Delta y \ në 0) (\ mathop (\ lim)) \, \ frac (f \ majtas (((x) _ (0) ); ((y) _ (0)) + \ Delta y \ djathtas)) (\ Delta y) \] Me fjalë të tjera, për të gjetur derivatin e pjesshëm të një funksioni të disa ndryshoreve, duhet të rregulloni të gjitha variablat e tjerë, përveç atij të dëshiruar, dhe më pas të gjeni derivatin e zakonshëm në lidhje me këtë variabël të dëshiruar. Kjo nënkupton trukun kryesor për llogaritjen e derivateve të tillë: thjesht supozoni se të gjitha variablat përveç atij të dhënë janë konstante, dhe më pas dalloni funksionin siç do të dallonit atë "të zakonshëm" - me një ndryshore. Për shembull: $ \ fillojë (rreshtoj) & ((\ majtas (((x) ^ (2)) + 10xy \ djathtas)) _ (x)) ^ (\ krye) = ((\ majtas (((x) ^ (2 )) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) + 10y \ cdot ((\ majtas (x \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = 2x + 10y, \\ & (( \ majtas (((x) ^ (2)) + 10xy \ djathtas)) _ (y)) ^ (\ kryetar) = ((\ majtas (((x) ^ (2)) \ djathtas)) ^ (\ kryetar)) _ (y) + 10x \ cdot ((\ majtas (y \ djathtas)) ^ (\ kryetar)) _ (y) = 0 + 10x = 10x. \\\ fundi (rreshtoj) $ Natyrisht, derivatet e pjesshme në lidhje me variabla të ndryshëm japin përgjigje të ndryshme - kjo është normale. Është shumë më e rëndësishme të kuptojmë pse, të themi, në rastin e parë, ne hoqëm me qetësi 10y $ nga shenja e derivatit, dhe në të dytën, ne zerouam plotësisht termin e parë. E gjithë kjo ndodh për faktin se të gjitha shkronjat, përveç ndryshores me të cilën bëhet diferencimi, konsiderohen konstante: ato mund të nxirren, "digjen" etj. Sot do të flasim për funksionet e disa ndryshoreve dhe derivatet e tyre të pjesshme. Së pari, çfarë është një funksion me shumë ndryshore? Deri më tani, ne e mendonim një funksion si $ y \ majtas (x \ djathtas) $ ose $ t \ majtas (x \ djathtas) $, ose ndonjë variabël dhe një funksion të vetëm prej tij. Tani do të kemi një funksion dhe disa variabla. Kur ndryshojnë $ y $ dhe $ x $, vlera e funksionit do të ndryshojë. Për shembull, nëse $ x $ dyfishohet, vlera e funksionit do të ndryshojë, ndërsa nëse $ x $ ndryshon por $ y $ nuk ndryshon, vlera e funksionit do të ndryshojë në të njëjtën mënyrë. Natyrisht, një funksion i disa ndryshoreve, ashtu si një funksion i një ndryshoreje, mund të diferencohet. Megjithatë, duke qenë se ka disa variabla, është e mundur të diferencohen sipas variablave të ndryshëm. Kjo krijon rregulla specifike që nuk ekzistonin gjatë diferencimit të një ndryshoreje. Para së gjithash, kur numërojmë derivatin e një funksioni nga çdo variabël, duhet të tregojmë se me cilën variabël numërojmë derivatin - ky quhet derivat i pjesshëm. Për shembull, ne kemi një funksion të dy variablave dhe mund ta llogarisim atë me $ x $ dhe me $ y $ - dy derivate të pjesshëm të secilës prej variablave. Së dyti, sapo të kemi fiksuar një nga variablat dhe fillojmë të numërojmë derivatin e pjesshëm në lidhje me të, atëherë të gjithë të tjerët që përfshihen në këtë funksion konsiderohen konstante. Për shembull, në $ z \ majtas (xy \ djathtas) $, nëse e numërojmë derivatin e pjesshëm në lidhje me $ x $, atëherë kudo që takojmë $ y $, ne e trajtojmë atë si një konstante dhe e trajtojmë saktësisht si një konstante. Në veçanti, kur llogaritim derivatin e një produkti, mund të vendosim $ y $ jashtë kllapave (kemi një konstante), dhe kur llogaritim derivatin e një shume, nëse diku marrim një derivat të një shprehjeje që përmban $ y $ dhe që nuk përmban $ x $, atëherë derivati i kësaj shprehjeje do të jetë i barabartë me "zero" si derivat i konstantës. Në pamje të parë, mund të duket se po flas për diçka të vështirë dhe shumë studentë në fillim ngatërrohen. Sidoqoftë, nuk ka asgjë të mbinatyrshme në derivatet e pjesshme, dhe tani do të bindemi për këtë me shembullin e problemeve specifike. Për të mos humbur kohë kot, le të fillojmë me shembuj seriozë që në fillim. Për të filluar, më lejoni t'ju kujtoj formulën e mëposhtme: Kjo është vlera standarde tabelare që ne e dimë nga kursi standard. Në këtë rast, derivati $ z $ llogaritet si më poshtë: \ [(((z) ") _ (x)) = ((\ majtas (\ sqrt (\ frac (y) (x)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) ((\ majtas (\ frac (y) (x) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) \] Le ta bëjmë edhe një herë, meqenëse rrënja nuk është $ x $, por një shprehje tjetër, në këtë rast $ \ frac (y) (x) $, atëherë së pari do të përdorim vlerën standarde të tabelës, dhe më pas, pasi rrënja nuk është $ x $, dhe një shprehje tjetër, ne duhet të shumëzojmë derivatin tonë me një më shumë të kësaj shprehjeje për të njëjtën ndryshore. Le të fillojmë duke llogaritur sa vijon: \ [((\ majtas (\ frac (y) (x) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (((((y) ")) _ (x)) \ cdot xy \ cdot ((((x) ")) _ (x))) (((x) ^ (2))) = \ frac (0 \ cdot xy \ cdot 1) (((x) ^ (2)) ) = - \ frak (y) (((x) ^ (2))) \] I kthehemi shprehjes sonë dhe shkruajmë: \ [(((z) ") _ (x)) = ((\ majtas (\ sqrt (\ frac (y) (x)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) ((\ majtas (\ frac (y) (x) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot \ majtas (- \ frac (y) (((x) ^ (2))) \ djathtas) \] Në thelb, kjo është e gjitha. Sidoqoftë, është e gabuar ta lëmë atë në këtë formë: një ndërtim i tillë është i papërshtatshëm për t'u përdorur për llogaritjet e mëtejshme, kështu që le ta transformojmë pak: \ [\ frac (1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot \ majtas (- \ frac (y) (((x) ^ (2))) \ djathtas) = \ frac (1) (2) \ cdot \ sqrt (\ frac (x) (y)) \ cdot \ frac (y) (((x) ^ (2))) = \] \ [= - \ frac (1) (2) \ cdot \ sqrt (\ frac (x) (y)) \ cdot \ sqrt (\ frac (((y) ^ (2))) (((x) ^ (4)))) = - \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (x \ cdot ((y) ^ (2))) (y \ cdot ((x) ^ (4)))) = - \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (y) (((x) ^ (3))) \] Përgjigja është gjetur. Tani le të trajtojmë $ y $: \ [(((z) ") _ (y)) = ((\ majtas (\ sqrt (\ frac (y) (x)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (y) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot ((\ majtas (\ frac (y) (x) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (y) \] Le të shkruajmë veçmas: \ [((\ majtas (\ frac (y) (x) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (y) = \ frac (((((y) ")) _ (y)) \ cdot xy \ cdot ((((x) ")) _ (y))) (((x) ^ (2))) = \ frac (1 \ cdot xy \ cdot 0) (((x) ^ (2)) ) = \ frak (1) (x) \] Tani shkruajmë: \ [(((z) ") _ (y)) = ((\ majtas (\ sqrt (\ frac (y) (x)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (y) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot ((\ majtas (\ frac (y) (x) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (y) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot \ frac (1) (x) = \] \ [= \ frac (1) (2) \ cdot \ sqrt (\ frac (x) (y)) \ cdot \ sqrt (\ frac (1) (((x) ^ (2))) = \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (x) (y \ cdot ((x) ^ (2))) = \ frac (1) (2 \ sqrt (xy)) \] U krye. Ky shembull është edhe më i thjeshtë dhe më kompleks se ai i mëparshmi. Është më e vështirë sepse këtu ka më shumë veprime, por më e lehtë sepse këtu nuk ka rrënjë dhe, përveç kësaj, funksioni është simetrik në lidhje me $ x $ dhe $ y $, d.m.th. nëse shkëmbejmë vendet $ x $ dhe $ y $, formula nuk ndryshon. Kjo vërejtje do të thjeshtojë më tej llogaritjen e derivatit të pjesshëm, d.m.th. mjafton të numërosh njërën prej tyre, dhe në të dytën thjesht ndërroni $ x $ dhe $ y $. Le të zbresim në biznes: \ [(((z) ") _ (x)) = ((\ majtas (\ frac (xy) (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1) \ djathtas )) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (((\ majtas (xy \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) \ majtas ((x) ^ (2)) + ( (y) ^ (2)) + 1 \ djathtas) -xy ((\ majtas (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas)) ^ (\ kryesore) ) _ (x)) (((\ majtas (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas)) ^ (2))) \] Le të numërojmë: \ [((\ majtas (xy \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = y \ cdot ((\ majtas (x \ djathtas)) ^ (\ krye)) = y \ cdot 1 = y \ ] Megjithatë, shumë studentë nuk e kuptojnë një regjistrim të tillë, kështu që ne do ta shkruajmë kështu: \ [((\ majtas (xy \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = ((\ majtas (x \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) \ cdot y + x \ cdot ((\ majtas (y \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = 1 \ cdot y + x \ cdot 0 = y \] Kështu, ne jemi edhe një herë të bindur për universalitetin e algoritmit diferencial të pjesshëm: pavarësisht se si i numërojmë ato, nëse të gjitha rregullat zbatohen saktë, përgjigja do të jetë e njëjtë. Tani le të merremi me një derivat tjetër të pjesshëm nga formula jonë e madhe: \ [((\ majtas (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas)) ^ (\ primare)) _ (x) = ((\ majtas ((( x) ^ (2)) \ djathtas)) ^ (\ kryesor)) _ (x) + ((\ majtas (((y) ^ (2)) \ djathtas)) ^ (\ kryetar)) _ (x) + (((1) ") _ (x)) = 2x + 0 + 0 \] Zëvendësoni shprehjet që rezultojnë në formulën tonë dhe merrni: \ [\ frac (((\ majtas (xy \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) \ majtas (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas) -xy ((\ majtas (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas)) ^ (\ i pari)) _ (x)) ((\ majtas (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas)) ^ (2))) = \] \ [= \ frac (y \ cdot \ majtas (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas) -xy \ cdot 2x) (((\ majtas ((( x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas)) ^ (2))) = \] \ [= \ frac (y \ majtas (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1-2 ((x) ^ (2)) \ djathtas)) (((\ majtas (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas)) ^ (2))) = \ frac (y \ majtas (((y) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 1 \ djathtas)) (((\ majtas (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas)) ^ (2 ))) \] $ X $ është llogaritur. Dhe për të llogaritur $ y $ nga e njëjta shprehje, le të mos kryejmë të njëjtën sekuencë veprimesh, por të përdorim simetrinë e shprehjes sonë origjinale - thjesht do t'i zëvendësojmë të gjitha $ y $ në shprehjen tonë origjinale me $ x $ dhe anasjelltas : \ [(((z) ") _ (y)) = \ frac (x \ majtas (((x) ^ (2)) - ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas)) ((( \ majtas (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas)) ^ (2))) \] Për shkak të simetrisë, ne e llogaritëm këtë shprehje shumë më shpejt. Për derivatet e pjesshme, funksionojnë të gjitha formulat standarde që përdorim për ato të zakonshmet, përkatësisht derivati i herësit. Në këtë rast, megjithatë, ekzistojnë disa veçori specifike: nëse numërojmë derivatin e pjesshëm $ x $, atëherë kur e marrim atë nga $ x $, atëherë e konsiderojmë atë si një konstante, dhe për këtë arsye derivati i tij do të jetë i barabartë me "zero". ". Ashtu si me derivatet e zakonshëm, herësi (i njëjtë) mund të llogaritet në disa mënyra të ndryshme. Për shembull, i njëjti ndërtim që sapo kemi llogaritur mund të rishkruhet si më poshtë: \ [((\ majtas (\ frac (y) (x) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = y \ cdot ((\ majtas (\ frac (1) (x) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = - y \ frac (1) (((x) ^ (2))) \] \ [((\ majtas (xy \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = y \ cdot (((x) ") _ (x)) = y \ cdot 1 = y \] Megjithatë, nga ana tjetër, ju mund të përdorni formulën nga derivati i shumës. Siç e dimë, është e barabartë me shumën e derivateve. Për shembull, le të shkruajmë sa vijon: \ [((\ majtas (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = 2x + 0 + 0 = 2x \] Tani, duke ditur të gjitha këto, le të përpiqemi të punojmë me shprehje më serioze, pasi derivatet e pjesshme reale nuk kufizohen vetëm në polinome dhe rrënjë: trigonometria, logaritmet dhe funksioni eksponencial mund të gjenden atje. Tani do ta bëjmë këtë. Le të shkruajmë formulat standarde të mëposhtme: \ [((\ majtas (\ sqrt (x) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \] \ [((\ majtas (\ cos x \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = - \ sin x \] Të armatosur me këtë njohuri, le të përpiqemi të zgjidhim: \ [(((z) ") _ (x)) = ((\ majtas (\ sqrt (x) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x ) = ((\ majtas (\ sqrt (x) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot ((\ majtas (\ cos \ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = \] Le të shkruajmë një variabël veç e veç: \ [((\ majtas (\ cos \ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = - \ sin \ frac (x) (y) \ cdot ((\ majtas ( \ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = - \ frac (1) (y) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \] Kthehu te dizajni ynë: \ [= \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot \ majtas (- \ frac (1) (y) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \ djathtas) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) - \ frac (\ sqrt (x)) ( y) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \] Kjo është e gjitha, ne gjetëm $ x $, tani le të kalojmë në llogaritjen e $ y $: \ [(((z) ") _ (y)) = ((\ majtas (\ sqrt (x) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (y ) = ((\ majtas (\ sqrt (x) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (y) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot ((\ majtas (\ cos \ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (y) = \] Përsëri, le të llogarisim një shprehje: \ [((\ majtas (\ cos \ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (y) = - \ sin \ frac (x) (y) \ cdot ((\ majtas ( \ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (y) = - \ sin \ frac (x) (y) \ cdot x \ cdot \ majtas (- \ frac (1) (( (y) ^ (2))) \ djathtas) \] Kthehemi në shprehjen origjinale dhe vazhdojmë zgjidhjen: \ [= 0 \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot \ frac (x) (((y) ^ (2)) \ sin \ frac (x) (y) = \ frac (x \ sqrt (x)) (((y) ^ (2))) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \] U krye. Le të shkruajmë formulën që na nevojitet: \ [((\ majtas (\ ln x \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (1) (x) \] Tani le të numërojmë me $ x $: \ [(((z) ") _ (x)) = ((\ majtas (\ ln \ majtas (x + \ ln y \ djathtas) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac ( 1) (x + \ ln y). ((\ Majtas (x + \ ln y \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = \] \ [= \ frac (1) (x + \ ln y) \ cdot \ majtas (1 + 0 \ djathtas) = \ frac (1) (x + \ ln y) \] Gjetur nga $ x $. Ne numërojmë me $ y $: \ [(((z) ") _ (y)) = ((\ majtas (\ ln \ majtas (x + \ ln y \ djathtas) \ djathtas)) ^ (\ kryesor)) _ (y) = \ frac ( 1) (x + \ ln y). ((\ Majtas (x + \ ln y \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (y) = \] \ [= \ frac (1) (x + \ ln y) \ majtas (0+ \ frac (1) (y) \ djathtas) = \ frac (1) (y \ majtas (x + \ ln y \ djathtas) ) \ ] Problemi është zgjidhur. Pra, nga cilido funksion të marrim derivatin e pjesshëm, rregullat mbeten të njëjta, pavarësisht nëse punojmë me trigonometri, me rrënjë apo me logaritme. Rregullat klasike për të punuar me derivatet standarde mbeten të pandryshuara, përkatësisht, derivati i shumës dhe diferencës, herësi dhe funksionet komplekse. Formula e fundit haset më shpesh gjatë zgjidhjes së problemave me derivate të pjesshme. Ne takohemi me ta pothuajse kudo. Ende nuk ka pasur asnjë problem, që të mos e hasim aty. Por pavarësisht se çfarë formule përdorim, na shtohet një kërkesë më shumë, përkatësisht veçoria e punës me derivate të pjesshme. Pasi të rregullojmë një variabël, të gjitha të tjerat janë konstante. Në veçanti, nëse marrim parasysh derivatin e pjesshëm të shprehjes $ \ cos \ frac (x) (y) $ në lidhje me $ y $, atëherë është $ y $ që është një ndryshore dhe $ x $ mbetet konstante kudo. E njëjta gjë funksionon anasjelltas. Mund të merret jashtë shenjës së derivatit, dhe derivati i vetë konstantës do të jetë i barabartë me "zero". E gjithë kjo çon në faktin se derivatet e pjesshëm të së njëjtës shprehje, por për variabla të ndryshëm, mund të duken krejtësisht të ndryshëm. Për shembull, le të shohim shprehjet e mëposhtme: \ [((\ majtas (x + \ ln y \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = 1 + 0 = 1 \] \ [((\ majtas (x + \ ln y \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (y) = 0 + \ frac (1) (y) = \ frac (1) (y) \] Së pari, le të shkruajmë formulën e mëposhtme: \ [((\ majtas (((e) ^ (x)) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = ((e) ^ (x)) \] Duke ditur këtë fakt, si dhe derivatin e një funksioni kompleks, le të përpiqemi të llogarisim. Tani do ta zgjidh në dy mënyra të ndryshme. E para dhe më e dukshme është derivati i veprës: \ [(((z) ") _ (x)) = ((\ majtas (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ djathtas) ) ^ (\ prime)) _ (x) = ((\ majtas (((e) ^ (x)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((\ majtas (((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ djathtas)) ^ (\ krye) ) _ (x) = \] \ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y)) \ cdot ((\ majtas (\ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = \] Le të zgjidhim veçmas shprehjen e mëposhtme: \ [((\ majtas (\ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (((((x) ")) _ (x)) \ cdot yx . ((((y) ")) _ (x))) (((y) ^ (2))) = \ frac (1 \ cdot yx \ cdot 0) (((y) ^ (2))) = \ frac (y) (((y) ^ (2))) = \ frac (1) (y) \] Duke u kthyer në dizajnin tonë origjinal dhe duke vazhduar me zgjidhjen: \ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot \ frac (1) (y) = ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ majtas (1 + \ frak (1) (y) \ djathtas) \] Gjithçka, $ x $ është llogaritur. Sidoqoftë, siç premtova, tani do të përpiqemi të llogarisim të njëjtin derivat të pjesshëm në një mënyrë tjetër. Për ta bërë këtë, vini re sa vijon: \ [((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) = ((e) ^ (x + \ frac (x) (y))) \] Në këtë, ne e shkruajmë kështu: \ [((\ majtas (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = ( (\ majtas (((e) ^ (x + \ frac (x) (y))) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = ((e) ^ (x + \ frac (x) (y ))) \ cdot ((\ majtas (x + \ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = ((e) ^ (x + \ frac (x) (y)) ) \ cdot \ majtas (1+ \ frac (1) (y) \ djathtas) \] Si rezultat, morëm saktësisht të njëjtën përgjigje, por sasia e llogaritjes doli të ishte më e vogël. Për ta bërë këtë, mjaftoi të vërehej se treguesit mund të shtohen gjatë prodhimit. Tani le të numërojmë me $ y $: \ [(((z) ") _ (y)) = ((\ majtas (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ djathtas) ) ^ (\ prime)) _ (y) = ((\ majtas (((e) ^ (x)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (y) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((\ majtas (((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ djathtas)) ^ (\ krye) ) _ (y) = \] \ [= 0 \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot ((\ majtas (\ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (y) = \] Le të zgjidhim një shprehje veç e veç: \ [((\ majtas (\ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (y) = \ frac (((((x) ")) _ (y)) \ cdot yx \ cdot ((((y) ")) _ (y))) (((y) ^ (2))) = \ frac (0-x \ cdot 1) (((y) ^ (2))) = - \ frac (1) (((y) ^ (2))) = - \ frac (x) (((y) ^ (2))) \] Le të vazhdojmë me dizajnin tonë origjinal: \ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot \ majtas (- \ frac (x) (((y) ^ (2) )) \ djathtas) = - \ frac (x) (((y) ^ (2))) \ cdot ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y) )) \] Sigurisht, i njëjti derivat mund të llogaritet në mënyrën e dytë, përgjigja do të ishte e njëjtë. Le të numërojmë me $ x $: \ [(((z) ") _ (x)) = ((\ majtas (x \ djathtas)) _ (x)) \ cdot \ ln \ majtas (((x) ^ (2)) + y \ djathtas ) + x \ cdot ((\ majtas (\ ln \ majtas (((x) ^ (2)) + y \ djathtas) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = \] Le të numërojmë një shprehje veç e veç: \ [((\ majtas (\ ln \ majtas (((x) ^ (2)) + y \ djathtas) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (1) (((x ) ^ (2)) + y) \ cdot ((\ majtas (((x) ^ (2)) + y \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (2x) ((( x) ^ (2)) + y) \] Le të vazhdojmë të zgjidhim ndërtimin origjinal: $$ Këtu është përgjigja. Mbetet për analogji për të gjetur me $ y $: \ [(((z) ") _ (y)) = ((\ majtas (x \ djathtas)) ^ (\ kryetar)) _ (y). \ ln \ majtas (((x) ^ (2)) + y \ djathtas) + x \ cdot ((\ majtas (\ ln \ majtas (((x) ^ (2)) + y \ djathtas) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (y) = \] Le të llogarisim një shprehje veç e veç si gjithmonë: \ [((\ majtas (((x) ^ (2)) + y \ djathtas)) ^ (\ primare)) _ (y) = ((\ majtas (((x) ^ (2)) \ djathtas) ) ^ (\ i thjeshtë)) _ (y) + (((y) ") _ (y)) = 0 + 1 = 1 \] Ne vazhdojmë të zgjidhim strukturën bazë: Gjithçka është e numëruar. Siç mund ta shihni, në varësi të cilës variabël merret për diferencim, përgjigjet janë krejtësisht të ndryshme. Këtu është një shembull kryesor se si derivati i të njëjtit funksion mund të llogaritet në dy mënyra të ndryshme. Shikoni këtu: \ [(((z) ") _ (x)) = \ majtas (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ djathtas) = ( (\ majtas (((e) ^ (x)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((\ majtas (((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = \] \ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot \ frac (1) (y) = ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (^ (\ frac (x) (y))) \ majtas (1+ \ frac (1) (y) \ djathtas) \] \ [(((z) ") _ (x)) = ((\ majtas (((e) ^ (x)). ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = ((\ majtas (((e) ^ (x + \ frac (x) (y))) \ djathtas)) ^ (\ kryetar)) _ (x) = ( ( e) ^ (x + \ frac (x) (y))). ((\ majtas (x + \ frac (x) (y) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = \] \ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (^ (\ frac (x) (y))) \ majtas (1+ \ frac (1) (y) \ djathtas) \ ] Kur zgjidhni shtigje të ndryshme, sasia e llogaritjes mund të jetë e ndryshme, por përgjigja, nëse gjithçka është bërë si duhet, do të dalë e njëjtë. Kjo vlen si për derivatet klasike ashtu edhe për ato të pjesshme. Në të njëjtën kohë, ju kujtoj edhe një herë: varësisht se me cilën ndryshore merret derivati, d.m.th. diferencimi, përgjigja mund të jetë krejtësisht e ndryshme. Hidhi nje sy: \ [((\ majtas (\ ln \ majtas (((x) ^ (2)) + y \ djathtas) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (1) (((x ) ^ (2)) + y) \ cdot ((\ majtas (((x) ^ (2)) + y \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (1) ((( x) ^ (2)) + y) \ cdot 2x \] \ [((\ majtas (\ ln \ majtas (((x) ^ (2)) + y \ djathtas) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (y) = \ frac (1) (((x ) ^ (2)) + y) \ cdot ((\ majtas (((x) ^ (2)) + y \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (y) = \ frac (1) ((( x) ^ (2)) + y) \ cdot 1 \] Si përfundim, për të konsoliduar të gjithë këtë material, le të përpiqemi të numërojmë dy shembuj të tjerë. Le të shkruajmë këto formula: \ [((\ majtas (((a) ^ (x)) \ djathtas)) ^ (\ prim)) = ((a) ^ (x)) \ cdot \ ln a \] \ [((\ majtas (((e) ^ (x)) \ djathtas)) ^ (\ prim)) = ((e) ^ (x)) \] Le të zgjidhim tani shprehjen tonë: \ [(((z) ") _ (x)) = ((\ majtas (((3) ^ (x \ sin y)) \ djathtas)) ^ (\ kryesor)) _ (x) = ((3 ) ^ (x. \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot ((\ majtas (x \ cdot \ sin y \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = \] Le të llogarisim veçmas ndërtimin e mëposhtëm: \ [((\ majtas (x \ cdot \ sin y \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = (((x) ") _ (x)) \ cdot \ sin y + x ((\ majtas (\ sin y \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (x) = 1 \ cdot \ sin y + x \ cdot 0 = \ sin y \] Ne vazhdojmë të zgjidhim shprehjen origjinale: \ [= ((3) ^ (x \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot \ sin y \] Kjo është përgjigja përfundimtare për ndryshoren private $ x $. Tani le të numërojmë me $ y $: \ [(((z) ") _ (y)) = ((\ majtas (((3) ^ (x \ sin y)) \ djathtas)) ^ (\ kryesor)) _ (y) = ((3 ) ^ (x \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot ((\ majtas (x \ sin y \ djathtas)) ^ (\ krye)) _ (y) = \] Le të zgjidhim një shprehje veç e veç: \ [((\ majtas (x \ cdot \ sin y \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (y) = (((x) ") _ (y)) \ cdot \ sin y + x ((\ majtas (\ sin y \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (y) = 0 \ cdot \ sin y + x \ cdot \ cos y = x \ cdot \ cos y \] Ne e zgjidhim dizajnin tonë deri në fund: \ [= ((3) ^ (x \ cdot \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot x \ cos y \] Në pamje të parë, ky shembull mund të duket mjaft i ndërlikuar, sepse ka tre variabla. Në fakt, kjo është një nga detyrat më të lehta në video-tutorialin e sotëm. Gjeni $ x $: \ [(((t) ") _ (x)) = ((\ majtas (x ((e) ^ (y)) + y ((e) ^ (z)) \ djathtas)) ^ (\ prim) ) _ (x) = ((\ majtas (x \ cdot ((e) ^ (y)) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) + ((\ majtas (y \ cdot ((e) ^ (z)) \ djathtas)) ^ (\ kryesor)) _ (x) = \] \ [= ((\ majtas (x \ djathtas)) ^ (\ primare)) _ (x) \ cdot ((e) ^ (y)) + x \ cdot ((\ majtas ((e) ^ (y )) \ djathtas)) ^ (\ prim)) _ (x) = 1 \ cdot ((e) ^ (y)) + x \ cdot o = ((e) ^ (y)) \] Tani le të merremi me $ y $: \ [(((t) ") _ (y)) = ((\ majtas (x \ cdot ((e) ^ (y)) + y \ cdot ((e) ^ (z)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (y) = ((\ majtas (x \ cdot ((e) ^ (y)) \ djathtas)) ^ (\ kryetar)) _ (y) + ((\ majtas (y \ cdot ((e) ^ (z)) \ djathtas)) ^ (\ kryesor)) _ (y) = \] \ [= x \ cdot ((\ majtas (((e) ^ (y)) \ djathtas)) ^ (\ kryetar)) _ (y) + ((e) ^ (z)) \ cdot ((\ majtas (y \ djathtas)) ^ (\ i thjeshtë)) _ (y) = x \ cdot ((e) ^ (y)) + ((e) ^ (z)) \] Ne gjetëm përgjigjen. Tani mbetet për të gjetur me $ z $: \ [(((t) ") _ (z)) = ((\ majtas (x \ cdot ((e) ^ (y)) + ((y) ^ (z)) \ djathtas)) ^ (\ kryesore )) _ (z) = ((\ majtas (x \ cdot ((e) ^ (y)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (z) + ((\ majtas (y \ cdot ((e ) ^ (z)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) _ (z) = 0 + y \ cdot ((\ majtas (((e) ^ (z)) \ djathtas)) ^ (\ kryetar)) _ (z) = y \ cdot ((e) ^ (z)) \] Kemi llogaritur derivatin e tretë, i cili plotëson zgjidhjen e problemit të dytë. Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar në këta dy shembuj. E vetmja gjë për të cilën ishim të bindur ishte se derivati i një funksioni kompleks përdoret shpesh dhe, në varësi të derivatit të pjesshëm që numërojmë, marrim përgjigje të ndryshme. Në detyrën e fundit, na u kërkua të merreshim me një funksion prej tre variablash njëherësh. Nuk ka asgjë të keqe me këtë, por në fund u siguruam që të gjithë të ndryshojnë dukshëm nga njëri-tjetri. Përfundimet përfundimtare nga video tutoriali i sotëm janë si më poshtë: Sigurisht, vetëm shikimi i këtij mësimi video nuk është i mjaftueshëm për të kuptuar plotësisht këtë temë, kështu që tani në faqen time të internetit për këtë video të veçantë ka një grup detyrash kushtuar temës së sotme - futuni, shkarkoni, zgjidhni këto probleme dhe kontrolloni me përgjigje. Dhe pas kësaj, nuk do të keni asnjë problem me derivatet e pjesshme as në provime, as në punë të pavarur. Sigurisht, ky është larg nga mësimi i fundit në matematikën e lartë, kështu që vizitoni faqen tonë të internetit, shtoni VKontakte, abonohuni në YouTube, pëlqeni dhe qëndroni me ne!
- quhet rritje e plotë
, ku paraqitet në formën (1)
().
ndërsa rritja e funksionit duhet të merret parasysh vetëm për ato për të cilat + i përket domenit të funksionit f (x).... Pastaj
; ... Për një shembull të thjeshtë si ky, të dy rregullat mund të zbatohen në një hap. Kushtojini vëmendje termit të parë: që nga konsiderohet konstante dhe çdo konstante mund të zhvendoset jashtë shenjës së derivatit, pastaj nxjerrim kllapat. Kjo do të thotë, në këtë situatë, asgjë nuk është më e mirë se numri i zakonshëm. Tani le të shohim termin e tretë: këtu, përkundrazi, nuk ka asgjë për të duruar. Meqenëse është një konstante, është gjithashtu një konstante, dhe në këtë kuptim nuk është më i mirë se termi i fundit - "shtatë".
Në fund të fundit, një funksion prej tre variablash nënkupton faktin se të gjitha gjërat ndodhin në një hapësirë katër-dimensionale (në të vërtetë, ka katër ndryshore). Grafiku i një funksioni të tre variablave është i ashtuquajturi hipersiperfaqe... Është e pamundur të imagjinohet, pasi jetojmë në hapësirë tre-dimensionale (gjatësi / gjerësi / lartësi). Që të mos mërziteni me mua, ju propozoj një kuiz. Unë do të bëj disa pyetje dhe ata që dëshirojnë mund të përpiqen t'u përgjigjen atyre:
Po / Jo (shkenca është e ndaluar) / Shkenca nuk është e ndaluar / Nuk e di
ose - derivat i pjesshëm në lidhje me "y";
ose - derivati i pjesshëm në lidhje me "z".
ose mund ta shkruani edhe keshtu:
- duhet të gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë;
- duhet të llogaritni vlerat e derivateve të pjesshme të rendit të parë në një pikë.
Çfarë është një "derivat i pjesshëm"?
Probleme me radikalët dhe polinomet
Problemi numër 1
Problemi numër 2
Nuancat e zgjidhjes
Probleme me funksione trigonometrike dhe logaritme
Problemi numër 1
Problemi numër 2
Nuancat e zgjidhjes
Probleme me funksione eksponenciale dhe logaritme
Problemi numër 1
Problemi numër 2
Nuancat e zgjidhjes
Probleme me funksionin dhe funksionin trigonometrik me tre ndryshore
Problemi numër 1
Problemi numër 2
Nuancat e zgjidhjes
Pikat kryesore
