Математичні моделі, що становлять абстрактну частину спектра (рис. 7.2), з метою зручності їх використання в різних галузях, у тому числі і в логістиці, класифікують за шістьма найбільш представницькими ознаками:

спосіб отримання моделі;

спосіб опису або представлення об'єкта або його властивостей;

спосіб формалізації об'єкта або його властивостей;

Приналежності до ієрархічного рівня;

Ступені масштабності опису об'єкта або його властивостей;

Ступені складності опису об'єкта або його властивостей.

заспособу отримання моделі діляться на теоретичні , нейронні (персептрони) та емпіричні .

Теоретичні моделівиводяться математично з урахуванням знання первинних законів класичної механіки, електродинаміки, хімії тощо. Моделі, отримані з реального життя на основі статистичної обробкирезультатів спостережень, що формують групу емпіричних. Проблема побудови емпіричної моделі включає і вибір форми цієї моделі, відповідної, а також розумного ступеня її складності, сумісний із наявними експериментальними даними.

За останні роки в області моделювання економічних процесів все більшого значення набувають нейронні моделі (персептрони). Нейронна модель (персептрон) складається з бінарних нейроподібних елементів та має просту топологію.

Самий персептрон включає матриці бінарних входів (сенсорних нейронів або сітківки, куди подаються вхідні образи), набору бінарних нейроподібних елементів з фіксованими зв'язками до підмножин сітківки, бінарного нейроподібного елемента з модифікованими зв'язками в цих предикатів (елементів, вирішують).

Попередньо персептрон використовувався для вирішення задачі автоматичної класифікації, загалом полягає у розподілі простору ознак між заданою кількістю класів. У нинішніх умовах лише на рівні нейронних мереж можна вирішити проблему логістичного прогнозування, яка формалізується через завдання розпізнавання образів.

Розглянемо наступний приклад. Є дані з поточного попиту продукцію фірми протягом шести років (Ас = 6): 71, 80, 101, 84, 60, 73.

Для формалізації завдання використовуємо метод вікон. Задамо розміри вікон η = 3, т= 1 і рівень збудження Нейроподібні елементи s = 1. Далі, за допомогою методу вікон з уже фіксованими параметрами n, т, sдля нейронної мережі генерується наступна навчальна вибірка:

Як бачимо, кожен наступний вектор утворюється в результаті зсуву вікон Wта й W 0 праворуч на один елемент (s= 1). При цьому передбачається наявність прихованих залежностей у часовій послідовності як безлічі спостережень.

Нейронна мережа, навчаючись на цих спостереженнях і відповідно налаштовуючи свої коефіцієнти, намагається отримати ці закономірності і сформувати в результаті очікувану функцію прогнозу, тобто "побудувати" Модель . Прогнозування здійснюється за тим самим принципом, що й формування навчальної вибірки.

За способом опису об'єкта моделі діляться так:

1) алгебраїчні;

2) регресійно-кореляційні;

3) імовірнісно-статистичні, що поєднують у собі моделі теорії черг, моделі запасів та статистичні моделі;

4) математичного програмування – лінійного програмування, мережеві (потокові).

Щодо першої групи моделей - алгебраїчних , Необхідно відразу обмовитися, що вони по суті для логіста носять допоміжний характер для прийняття правильного рішення. Алгебраїчні моделі використовуються зазвичай при вирішенні таких завдань, як аналіз "критичної точки" та аналіз "витрати - прибуток".

Регресійно-кореляційні моделі , що представляють другу групу, є узагальненням екстраполяційних та статистичних моделей та використовуються для опису специфіки об'єкта або його властивостей.

Третю групу складають імовірнісно-статистичні моделі , засновані на фенологічних явищах та гіпотезах. Ці моделі можуть бути детермінованими або стохастичними. Так, наприклад, залежність В = φ (Χ), яка встановлена ​​за результатами спостережень випадкових величин Xі Вметодом найменших квадратів, є детермінованою модель. Якщо ж врахувати випадкові відхилення експериментальних точок від кривої, що спостерігаються в результаті дослідів У = φ(Х)і записати залежність від X у вигляді В = φ (Χ)+ Ζ (де Ζ - Деяка випадкова величина), то отримаємо стохастичної моделі в її ідеальному вираженні.

При цьому величини Xі Вможуть бути як скалярними, і векторними. Функція φ (Χ) може бути як лінійною комбінацією цих функцій, і даної нелінійної функцією, параметри якої визначаються методом найменших квадратів.

Моделі лінійного програмування дедалі ширше використовуються на вирішення завдань логістичної спрямованості.

Хто знайомий з математичним програмуванням, той знає, що її вирішити у загальному вигляді практично неможливо. Проте найбільш розробленими у математичному програмуванні є завдання лінійного програмування.

У задачах лінійного програмування цільова функція лінійна, а умови-обмеження включають лінійні рівності та лінійні нерівності; Змінні можуть бути підпорядковані або не підпорядковані вимогам невпинності.

Для демонстрації простоти рішень логістичних задач за допомогою лінійного програмування звернемося до двох відомих задач:

Перша - про бабусю, що збирається на ринок, щоб продати живність, яка виросла у неї на подвір'ї за рік;

Друга – про харчування.

Задача перша (про бабку)

Суть даної задачі зводиться до отримання відповіді на просте питання: "Скільки треба взяти бабки для продажу на ринку живих гусей, качок і курей, щоб вона отримала найбільшу виручку за умови, що вона може доставити на ринок живності масою не більше Ркг?". При цьому відомі:

Маса курки (т,), качки ( т 2 ) та гусака (т3)

Вартість курки (с7), качки (с2) та гусака (с3).

Розглянемо алгоритм розв'язання задачі.

1. Для вирішення задачі позначимо кількість, відповідно, кур - х 1 качок - х 2, гусей - х 3, взяті бабкою для продажу на ринок.

2. Складемо цільову функцію цього завдання:

3. Опишемо обмеження на розв'язання задачі.

Маса товару, бабка може доставити одночасно на ринок, не повинна перевищити Ркілограм:

Значення , і мають бути позитивними цілими числами (), тобто:

Виконавши три описані кроки, отримуємо завдання лінійного програмування. Підставляючи вихідні значення х, т, сі Р,знаходимо у відповідь поставлене питання.

Завдання друге (про харчування)

Кафе "Бістро" щодня у магазині закуповує продукти харчування для приготування певних страв своїх відвідувачів. У раціон входять три різні поживні речовини ( b) і потрібно їх, відповідно, не менше b 1, b 2, b 3 одиниці. У магазині продається п'ять видів різних продуктів. х 1 - х 5 за ціною, відповідно, С-І - з 5.

Кожна одиниця продукту i-говиду ( х i) містить аіj одиниць j-йпоживної речовини, тобто, наприклад, а 2 зпоказує, що в одиниці другого продукту третьої поживної речовини буде а 23 одиниць.

Оскільки кафе працює серед конкурентів, необхідно правильно визначити кількість продуктів кожного виду х 1 - x 5, які варто закупити. При цьому треба виконати такі умови:

1) щоб вартість продуктів була мінімальною;

2) щоб у раціоні страв у потрібній кількості містилися всі необхідні поживні речовини.

Математична постановка розв'язання задачі буде такою:

1. Цільова функція цієї задачі - мінімізувати вартість продуктів х 1 - х 5. Математично це буде виглядати так:

2. Умови обмеження розв'язання задачі:

а) кількість першої поживної речовини повинна бути не меншою b 1 ,:

б) кількість другої поживної речовини повинна бути не меншою b 2 :

в) кількість третьої поживної речовини повинна бути не меншою b 3:

При цьому слід на увазі, що кількість продуктів не може мати негативне число, тобто:

Для правильного розуміння вирішення наведеного завдання розглянемо наступний приклад.

Нехай у цій задачі будемо мати такі вихідні дані:

Цільова функція матиме такий вигляд:

Визначати мінімальне значення функції треба за умови виконання наступних обмежень:

Маючи на увазі, що кількість продуктів не може бути негативним числом, приймаємо, що

У результаті розв'язання задачі за представленими вихідними даними маємо таку відповідь: і . При цих значеннях цільова функція матиме таке значення:

Мережеві (потокові) моделі.

Важливим класом задач математичного програмування є звані мережні (потокові) завдання, термінах яких можуть бути сформульовані завдання лінійного програмування.

Розглянемо як приклад так звану транспортну задачу (рис. 7.3), що є одним із перших потокових завдань, яке було вирішено у 1941 р.. Ф.Л. Хітчкок.

Нехай є два заводи (1 та 2) та три склади (А, Б, В). Заводи виробляють, відповідно, s1 та s2 одиниць продукції. Склади мають можливість прийняти на зберігання d1, d2 та d3 одиниць продукції, тобто:

Завдання у тому, щоб мінімізувати витрати на перевезення продукції від заводів-виробників на склади. Задамо наступні вихідні умови. Припустимо, що Х ij - обсяг продукції, який необхідно перевезти з i-гозаводу на j-йсклад; с - - вартість перевезення одиниці продукції з i-гозаводу на j-йсклад. Тоді цільова функція завдання - вартість перевезення, матиме такий вигляд:

Рис. 7.3.

Умова того, що вся продукція транспортуватиметься з кожного заводу:

Дані рівності можна записати у короткій формі, а саме:

Умова заповнення складів має такий вигляд: причому

Ця модель може бути описана за допомогою мережі, якщо припустити, що вузлами мережі є заводи та склади, а дугами – дороги для перевезення вантажу (рис. 7.3). Сформульована транспортна задача є окремим випадком завдання пошуку потоку мінімальної вартості в межах мережі.

Мережеві завдання застосовують при проектуванні та вдосконаленні великих та складних систем, а також за умови пошуку шляхів їх найбільш раціонального використання. Насамперед це пов'язано з тим, що за допомогою мереж можна досить просто побудувати модель системи. Останнє базується на ідеї критичного шляху (метод СРМ) та оцінки та засоби спостереження (наприклад, система PERT-Program Evalution Research Task).

Крім того, мережі дозволяють здійснити:

Формалізацію моделі складної системи як сукупності простих систем (у цьому випадку логістичної системи як сукупності її підсистем та ланок - закупівлі, складів, транспортування, запасів, виробництва, розподілу та збуту);

Складання формальних процедур визначення якісних характеристик системи;

визначення механізму взаємодії компонентів керуючої системи з метою опису останньої в термінах її основних характеристик;

визначення даних, необхідних для дослідження логістичної системи та її основних підсистем;

Початкове дослідження системи керування, складання попереднього розкладу роботи її компонентів.

Основна перевага мережного підходу полягає в тому, що він може бути успішно застосований до вирішення практично будь-яких завдань, коли можна точно побудувати мережеву модель.

Узагальнена характеристика математичних моделей, що класифікуються за способом опису об'єкта, наведено у табл. 7.3. У таблиці вказані найбільш відповідні області застосування даних моделей з попередньо позначеною точністю оцінок, що отримуються. Дана інформаціякорисна логістам на етапі побудови моделей або вибору останніх для вирішення проблеми, що виникла.

За характером властивостей об'єкта, що відображаються моделі класифікуються на структурні та функціональні, які в сукупності відображають взаємозв'язок та взаємний вплив окремих елементів на процеси, що протікають в об'єкті при його функціонуванні чи виготовленні.

Структурні моделі призначені для відображення структурних властивостей об'єкта складу, взаємозв'язку та взаємного розташування, а також форми компонентів.

Функціональні моделі призначені переважно для відображення процесів, що протікають в об'єкті при його функціонуванні або виготовленні, і, як правило, містять алгоритми, що зв'язують фазові змінні, внутрішні, зовнішні або вихідні параметри.

Таблиця 7.3

Характерні риси математичних моделей

За способом формалізації об'єкта при складності наявних ситуацій виникає необхідність у спрощеному їх описі за допомогою аналітичних та алгоритмічних моделей, належним чином

"Абстрагують" обрані "істотні" властивості об'єктів та ситуацій. Комп'ютерна імітація реальних об'єктів - це цінний інструмент аналізу складних систем сервісу, політики обслуговування та інвестиційного вибору.

Розподіл об'єктів на ієрархічні рівні призводить до певних рівнів моделювання, ієрархія яких визначається як складністю об'єктів, і можливістю засобів управління. Тому, згідно належності до ієрархічного рівня,математичні моделі діляться на мікро-, макро- та метамоделі. Відмінність даних моделей у тому, що у вищому рівні ієрархії компоненти моделі набувають вигляду досить складних сукупностей елементів попереднього рівня. Цими ж якостями визначається і поділ моделей за ступеня масштабності та складності опису об'єкта.

Наведена класифікація моделей покликана допомогти логістам у більш оперативному та правильному прийнятті рішень з метою здійснення місії організації.

Уяви собі літак: крила, фюзеляж, хвостове оперення, все це разом - справжній величезний, неосяжний, цілий літак. А можна зробити модель літака, маленьку, але все як дійсно, ті ж крила і так далі, але компактний. Також і математична модель. Є текстове завдання, громіздке, на неї можна так подивитися, прочитати, але не зовсім зрозуміти, і вже тим більше не зрозуміло, як вирішувати її. А що, якщо зробити з великого словесного завдання її маленьку модель, математичну модель? Що означає математичну? Отже, використовуючи правила та закони математичного запису, переробити текст на логічно вірне уявлення за допомогою цифр та арифметичних знаків. Отже, Математична модель – це уявлення реальної ситуації за допомогою математичної мови.

Почнемо з простого: Число більше за число на. Нам треба записати це, не використовуючи слів, а лише мову математики. Якщо більше на, то виходить, що якщо ми з віднімемо, то залишиться та сама різниця цих чисел рівна. Тобто. або. Суть зрозумів?

Тепер складніше, зараз буде текст, який ти маєш спробувати уявити у вигляді математичної моделі, доки не читай, як це зроблю я, спробуй сам! Є чотири числа: , і. Твір і більше твору та вдвічі.

Що вийшло?

У вигляді математичної моделі виглядатиме так:

Тобто. твір відноситься до як два до одного, але це ще можна впросити:

Ну гаразд, на простих прикладах ти зрозумів суть, я так гадаю. Переходимо до повноцінних завдань, у яких ці математичні моделі ще вирішувати треба! Ось завдання.

Математична модель на практиці

Завдання 1

Після дощу рівень води в колодязі може збільшитися. Хлопчик вимірює час падіння невеликих камінчиків у колодязь і розраховує відстань до води за формулою, де відстань у метрах, час падіння в секундах. До дощу час падіння камінчиків становив с. На скільки повинен піднятися рівень води після дощу, щоб час, що вимірюється, змінився на с? Відповідь висловіть у метрах.

О жах! Які формули, що за колодязь, що відбувається, що робити? Я прочитав твої думки? Розслабся, в завданнях цього типу умови бувають і страшніші, головне пам'ятати, що тебе в цьому завданні цікавлять формули та відносини між змінними, а що все це означає здебільшого не дуже важливо. Що тут бачиш корисного? Я особисто бачу. Принцип вирішення цих завдань наступний: береш усі відомі величини та підставляєш.А, замислюватися іноді треба!

Наслідуючи мою першу пораду, і, підставивши всі відомі в рівняння, отримаємо:

Це я підставив час секунди і знайшов висоту, яку пролітав камінь до дощу. А тепер треба порахувати після дощу та знайти різницю!

Тепер прислухайся до другої поради і задумайся, у питанні уточнюється, «на скільки має піднятися рівень води після дощу, щоб час, що вимірюється, змінився на с». Відразу треба прикинути, тааак, після дощу рівень води підвищується, значить, час падіння каменю до рівня води менший і тут хитромудра фраза «щоб вимірюваний час змінилося» набуває конкретного сенсу: час падіння не збільшується, а скорочується на вказані секунди. Це означає, що у випадку кидка після дощу, нам просто потрібно з початкового часу відняти з, і отримаємо рівняння висоти, яку камінь пролетить після дощу:

Ну і нарешті, щоб знайти, на скільки повинен піднятися рівень води після дощу, щоб час, що вимірюється, змінилося на с., потрібно просто відняти з першої висоти падіння другу!

Отримаємо відповідь: на метри.

Як бачиш, нічого складного немає, головне, особливо не морочися, звідки таке незрозуміле і часом складне рівняння в умовах взялося і що все в ньому означає, повір на слово, більшість цих рівнянь взяті з фізики, а там нетрі дужче, ніж в алгебрі. Мені іноді здається, що ці завдання придумані, щоб залякати учня на ЄДІ великою кількістю складних формул і термінів, а здебільшого не вимагають майже жодних знань. Просто уважно читай умову та підставляй відомі величини у формулу!

Ось ще завдання, вже не з фізики, а зі світу економічної теорії, хоча знань наук, крім математики, тут знову не потрібно.

Завдання 2

Залежність обсягу попиту (одиниць на місяць) на продукцію підприємства-монополіста від ціни (тис. руб.) задається формулою

Виручка підприємства протягом місяця (в тис. крб.) обчислюється за такою формулою. Визначте найбільшу ціну, коли він місячна виручка складе щонайменше тис. крб. Відповідь наведіть у тис. руб.

Вгадай, що я зараз зроблю? Ага, почну підставляти те, що нам відомо, але, знову ж таки, трохи подумати все ж таки доведеться. Ходімо з кінця, нам треба знайти при якому. Так, є, рівно якомусь, знаходимо, чому ще одно це, а воно, так і запишемо. Як ти бачиш, я особливо не морочуся про сенс всіх цих величин, просто дивлюся з умов, що чому таке, так тобі чинити і потрібно. Повернемося до завдання, у тебе вже є, але як ти пам'ятаєш з одного рівняння з двома змінними жодну з них не знайти, що робити? Ага, у нас ще за умови залишилася невикористана частинка. Ось, вже два рівняння та дві змінні, значить, тепер обидві змінні можна знайти – чудово!

Таку систему вирішити зможеш?

Вирішуємо підстановкою, у нас вже виражена, отже, підставимо її на перше рівняння і спростимо.

Виходить таке квадратне рівняння: , вирішуємо, коріння ось такі, . У завданні потрібно знайти найбільшу ціну, за якої будуть дотримуватися всі умови, які ми врахували, коли систему становили. О, виявляється, це було ціною. Прикольно, виходить, ми знайшли ціни: і. Найбільшу ціну, кажете? Окей, найбільша з них, очевидно, у відповідь і пишемо. Ну, як, складно? Думаю, ні, і вникати не треба особливо!

А ось тобі і жахлива фізика, а точніше ще одне завдання:

Завдання 3

Для визначення ефективної температури зірок використовують закон Стефана-Больцмана, згідно з яким, де потужність випромінювання зірки, постійна, площа поверхні зірки, а температура. Відомо, площа поверхні деякої зірки дорівнює, а потужність її випромінювання дорівнює Вт. Знайдіть температуру цієї зірки у градусах Кельвіна.

Звідки й зрозуміло? Так, за умови написано, що чому рівне. Раніше я рекомендував усі невідомі відразу підставляти, але тут краще спершу висловити невідоме шукане. Дивись як все просто: є формула і в ній відомі, і (це грецька літера "сигма". Взагалі, фізики люблять грецькі літери, звикай). А невідома температура. Давай висловимо її як формули. Як це робити, сподіваюся, знаєш? Такі завдання на ДПА у 9 класі зазвичай дають:

Тепер залишилося підставити числа замість літер у правій частині та спростити:

Ось і відповідь: градусів Кельвіна! А яке страшне було завдання, га!

Продовжуємо мучити завдання з фізики.

Завдання 4

Висота над землею підкинутого вгору м'яча змінюється за законом, де - висота в метрах, - час у секундах, що минув з моменту кидка. Скільки секунд м'яч перебуватиме на висоті не менше трьох метрів?

То були всі рівняння, а тут треба визначити, скільки м'яч знаходився на висоті не менше трьох метрів, це означає на висоті. Що ми складатимемо? Нерівність саме! У нас є функція, яка описує як летить м'яч, де - це саме та сама висота в метрах, нам потрібна висота. Значить

А тепер просто вирішуєш нерівність, головне, не забудь поміняти знак нерівності з більш або на менше, або одно, коли будеш множити на обидві частини нерівності, щоб перед мінусом позбутися.

Ось таке коріння, будуємо інтервали для нерівності:

Нас цікавить проміжок, де знак мінус, оскільки нерівність набуває там негативних значень, це від обидва включно. А тепер включаємо мозок і ретельно думаємо: для нерівності ми застосовували рівняння, що описує політ м'яча, він так чи інакше летить параболою, тобто. він злітає, досягає піку і падає, як зрозуміти, скільки часу він перебуватиме на висоті не менше метрів? Ми знайшли дві переломні точки, тобто. момент, що він злітає вище метрів і момент, що він, падаючи, сягає цієї ж позначки, ці дві точки виражені ми як час, тобто. ми знаємо на якій секунді польоту він увійшов у цікаву для нас зону (вище метрів) і в яку вийшов з неї (впав нижче позначки в метри). Скільки секунд він перебував у цій зоні? Логічно, що ми беремо час виходу із зони та віднімаємо з нього час входження до цієї зони. Відповідно: - стільки він був у зоні вище метрів, це і є відповідь.

Так вже тобі пощастило, що найбільше прикладів з цієї теми можна взяти з розряду завдань з фізики, так що лови ще одне, вона заключна, так що піднапруж, залишилося зовсім трохи!

Завдання 5

Для нагрівального елемента деякого приладу експериментально було отримано залежність температури від часу роботи:

Де - час у хвилинах. Відомо, що при температурі нагрівального елемента прилад може зіпсуватися, тому його потрібно відключити. Знайдіть, через який час після початку роботи потрібно відключити прилад. Відповідь висловіть у хвилинах.

Діємо за налагодженою схемою, все, що дано, спершу виписуємо:

Тепер беремо формулу і прирівнюємо її до значення температури, до якої максимально можна нагріти прилад, поки він не згорить, тобто:

Тепер підставляємо замість букв числа там, де вони відомі:

Як бачиш, температура під час роботи приладу описується квадратним рівнянням, отже, розподіляється по параболі, тобто. прилад нагрівається до якоїсь температури, а потім остигає. Ми отримали відповіді і, отже, при і при хвилинах нагрівання температура дорівнює критичній, але між і хвилинами - вона ще вище за граничну!

Отже, відключити прилад потрібно за хвилини.

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Найчастіше математичні моделі використовуються у фізиці: адже тобі напевно доводилося запам'ятовувати десятки фізичних формул. А формула – це і є математичне уявлення ситуації.

У ОДЕ та ЄДІ є завдання саме на цю тему. У ЄДІ (профільному) це завдання номер 11 (колишня B12). В ОДЕ – завдання номер 20.

Схема рішення очевидна:

1) З тексту умови необхідно «виокремити» корисну інформацію - те, що завдання фізики ми пишемо під словом «Дано». Цією корисною інформацією є:

• Формула
• Відомі фізичні величини.

Тобто кожній літері з формули потрібно поставити у відповідність певне число.

2) Береш усі відомі величини та підставляєш у формулу. Невідома величина і залишається у вигляді букви. Тепер потрібно лише вирішити рівняння (зазвичай, досить просте), і відповідь готова.

Поняття моделі та моделювання.

Модель у сенсі- це будь-який образ, аналог уявний або встановлений зображення, опис, схема, креслення, карта тощо будь-якого обсягу, процесу або явища, що використовується як його замінник або представник. Сам об'єкт, процес чи явище називається оригіналом цієї моделі.

Моделювання - це дослідження якогось об'єкта або системи об'єктів шляхом побудови та вивчення їх моделей. Це використання моделей для визначення або уточнення характеристик та раціоналізації способів побудови об'єктів, що знову конструюються.

На ідеї моделювання базується будь-який метод наукового дослідження, при цьому в теоретичних методах використовуються різноманітні знакові, абстрактні моделі, в експериментальних - предметні моделі.

При дослідженні складне реальне явище замінюється деякою спрощеною копією або схемою, іноді така копія служить тільки для того, щоб запам'ятати і при наступній зустрічі дізнатися про потрібне явище. Іноді побудована схема відображає якісь істотні риси, дозволяє розібратися в механізмі явища, дає можливість передбачити його зміну. Одному й тому явищу можуть відповідати різні моделі.

Завдання дослідника - передбачати характер явища та перебіг процесу.

Іноді буває, що об'єкт доступний, але експерименти з ним дорогі або призвести до серйозних екологічних наслідків. Знання про такі процеси отримують за допомогою моделей.

Важливий момент - сам характер науки передбачає вивчення одного конкретного явища, а широкого класу родинних явищ. Передбачає необхідність формулювання якихось загальних категоричних тверджень, які називаються законами. Природно, що за такого формулювання багатьма подробицями нехтують. Щоб чіткіше виявити закономірність свідомо йдуть на огрублення, ідеалізацію, схематичність, тобто вивчають не саме явище, а більш менш точну її копію або модель. Усі закони- це закони про моделі, тому немає нічого дивного у цьому, що з часом деякі наукові теорії визнаються непридатними. Це не призводить до краху науки, оскільки одна модель замінилася на іншу більш сучасною.

Особливу роль науці грають математичні моделі, будівельний матеріал та інструменти цих моделей - математичні поняття. Вони накопичувалися і вдосконалювалися протягом тисячоліть. Сучасна математика дає виключно потужні та універсальні засоби дослідження. Практично кожне поняття з математики, кожен математичний об'єкт, починаючи з поняття числа, є математичної моделлю. При побудові математичної моделі, об'єкта, що вивчається, або явища виділяють ті його особливості, риси і деталі, які з одного боку містять більш-менш повну інформацію про об'єкт, а з іншого допускають математичну формалізацію. Математична формалізація означає, що особливостям і деталям об'єкта можна поставити у відповідність відповідні адекватні математичні поняття: числа, функції, матриці тощо. Тоді зв'язки та відносини, виявлені і передбачувані в об'єкті, що вивчається між окремими його деталями і складовими частинами можна записати за допомогою математичних відносин: рівностей, нерівностей, рівнянь. В результаті виходить математичний опис досліджуваного процесу чи явище, тобто його математична модель.

Вивчення математичної моделі завжди пов'язане з деякими правилами дії над об'єктами, що вивчаються. Ці правила відображають зв'язки між причинами та наслідками.

Побудова математичної моделі – це центральний етап дослідження чи проектування будь-якої системи. Від якості моделі залежить весь аналіз об'єкта. Побудова моделі – це процедура не формальна. Сильно залежить від дослідника, його досвіду та смаку, завжди спирається на певний досвідчений матеріал. Модель має бути досить точною, адекватною і має бути зручною для використання.

Математичне моделювання.

Класифікація математичних моделей.

Математичні моделі можуть бутидетерменованими і стохастичними .

Детерменовані моделей і- це моделі, у яких встановлено взаємно-однозначне відповідність між змінними описують об'єкт чи явища.

Такий підхід ґрунтується на знанні механізму функціонування об'єктів. Об'єкт, що часто моделюється, складний і розшифровка його механізму може виявитися дуже трудомісткою і довгою в часі. У цьому випадку надходять таким чином: на оригіналі проводять експерименти, обробляють отримані результати і, не вникаючи в механізм і теорію об'єкта, що моделюється, за допомогою методів математичної статистики і теорії ймовірності, встановлюють зв'язки між змінними, що описують об'єкт. У цьому випадку отримуютьстахостичну Модель . В стахостичної моделі зв'язок між змінними має випадковий характер, іноді це буває принципово. Вплив величезної кількості факторів, їх поєднання призводить до випадкового набору змінних, що описують об'єкт або явище. За характером режимів модель буваєстатистичними і динамічними.

СтатистичнаМодельвключає опис зв'язків між основними змінними об'єкта, що моделюється, в встановленому режимі без урахування зміни параметрів у часі.

В динамічноїмоделіописуються зв'язки між основними змінними об'єкта, що моделюється при переході від одного режиму до іншого.

Моделі бувають дискретнимиі безперервними, а також змішаного типу. В безперервних змінні набувають значення з деякого проміжку,дискретнихзмінні набувають ізольованих значень.

Лінійні моделі- всі функції та відносини, що описують модель лінійно залежать від змінних тане лінійнів іншому випадку.

Математичне моделювання.

Вимоги , що пред'являються до моделей.

1. Універсальність- характеризує повноту відображення моделлю досліджуваних властивостей реального об'єкта.

1. Адекватність - здатність відбивати необхідні властивості об'єкта з похибкою не вище заданої.
2. Точність - оцінюється ступенем збігу значень параметрів реального об'єкта і значення цих параметрів отриманих з допомогою моделей.
3. Економічність - визначається витратами ресурсів ЕОМ пам'яті та часу на її реалізацію та експлуатацію.

Математичне моделювання.

Основні етапи моделювання.

1. Постановка задачі.

Визначення мети аналізу та шляхи її досягнення та вироблення загального підходу до досліджуваної проблеми. На цьому етапі потрібне глибоке розуміння суті поставленого завдання. Іноді правильно поставити завдання не менш складно, ніж його вирішити. Постановка – процес не формальний, загальних правил немає.

2. Вивчення теоретичних основ та збір інформації про об'єкт оригіналу.

На цьому етапі підбирається або розробляється відповідна теорія. Якщо її немає, встановлюються причинно-наслідкові зв'язки між змінними, що описують об'єкт. Визначаються вхідні та вихідні дані, приймаються спрощувальні припущення.

3. Формалізація.

Полягає у виборі системи умовних позначень і з допомогою записувати відносини між складовими об'єкта як математичних выражений. Встановлюється клас завдань, яких може бути віднесена отримана математична модель об'єкта. Значення деяких параметрів на цьому етапі можуть бути не конкретизовані.

4. Вибір способу решения.

У цьому етапі встановлюються остаточні параметри моделей з урахуванням умови функціонування об'єкта. Для отриманої математичної задачі вибирається будь-який метод розв'язання або розробляється спеціальний метод. При виборі методу враховуються знання користувача, його переваги, і навіть переваги розробника.

5. Реалізація моделі.

Розробивши алгоритм, пишеться програма, яка налагоджується, тестується і виходить вирішення потрібної задачі.

6. Аналіз отриманої інформації.

Зіставляється отримане та передбачуване рішення, проводиться контроль похибки моделювання.

7. Перевірка адекватності реальному об'єкту.

Результати, отримані за моделлю зіставляютьсяабо з наявною об'єктом інформацією або проводиться експеримент та його результати зіставляються з розрахунковими.

Процес моделювання є ітеративним. У разі незадовільних результатів етапів 6. або 7. здійснюється повернення до одного з ранніх етапів, що могло призвести до розробки невдалої моделі. Цей етап і всі наступні уточнюються і таке уточнення моделі відбувається доти, доки не будуть отримані прийнятні результати.

Математична модель - це наближений опис будь-якого класу явищ чи об'єктів реального світу мовою математики. Основна мета моделювання – досліджувати ці об'єкти та передбачити результати майбутніх спостережень. Однак моделювання - це ще й метод пізнання навколишнього світу, що дає змогу керувати ним.

Математичне моделювання та пов'язаний з ним комп'ютерний експеримент незамінні у тих випадках, коли натурний експеримент неможливий або утруднений з тих чи інших причин. Наприклад, не можна поставити натурний експеримент в історії, щоб перевірити, «що було б, якби...» Неможливо перевірити правильність тієї чи іншої космологічної теорії. В принципі можливо, але навряд чи розумно, поставити експеримент із поширення будь-якої хвороби, наприклад чуми, або здійснити ядерний вибух, щоб вивчити його наслідки. Проте все це цілком можна зробити на комп'ютері, побудувавши попередньо математичні моделі явищ, що вивчаються.

1.1.2 2. Основні етапи математичного моделювання

1) Побудова моделі. На цьому етапі визначається певний «нематематичний» об'єкт - явище природи, конструкція, економічний план, виробничий процес і т. д. При цьому, як правило, чітке опис ситуації утруднено.Спочатку виявляються основні особливості явища та зв'язку між ними на якісному рівні. Потім знайдені якісні залежності формулюються мовою математики, тобто будується математична модель. Це найважча стадія моделювання.

2) Розв'язання математичного завдання, до якого наводить модель. На цьому етапі велика увага приділяється розробці алгоритмів та чисельних методів вирішення задачі на ЕОМ, за допомогою яких результат може бути знайдений з необхідною точністю та за допустимий час.

3) Інтерпретація отриманих наслідків із математичної моделі.Наслідки, виведені з моделі мовою математики, інтерпретуються мовою, прийнятому у цій галузі.

4) Перевірка адекватності моделі.На цьому етапі з'ясовується, чи узгоджуються результати експерименту з теоретичними наслідками моделі в межах певної точності.

5) Модифікація моделі.На цьому етапі відбувається або ускладнення моделі, щоб вона була адекватнішою дійсності, або її спрощення заради досягнення практично прийнятного рішення.

1.1.3 3. Класифікація моделей

Класифікувати моделі можна за різними критеріями. Наприклад, характером вирішуваних проблем моделі можуть бути розділені на функціональні та структурні. У першому випадку всі величини, що характеризують явище чи об'єкт, виражаються кількісно. У цьому одні їх розглядаються як незалежні змінні, інші - як функції від цих величин. Математична модель зазвичай є системою рівнянь різного типу (диференціальних, алгебраїчних тощо. буд.), встановлюють кількісні залежності між аналізованими величинами. У другому випадку модель характеризує структуру складного об'єкта, що складається з окремих частин, між якими існують певні зв'язки. Як правило, ці зв'язки не піддаються кількісному виміру. Для побудови таких моделей зручно використати теорію графів. Граф - це математичний об'єкт, що є деякою кількістю точок (вершин) на площині або у просторі, деякі з яких з'єднані лініями (ребрами).

За характером вихідних даних та результатів передбачення моделі можуть бути поділені на детерміністичні та імовірнісно-статистичні. Моделі першого типу дають певні однозначні передбачення. Моделі другого типу засновані на статистичній інформації, а передбачення, отримані за їх допомогою, мають імовірнісний характер.

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ І ЗАГАЛЬНА КОМП'ЮТЕРИЗАЦІЯ АБО ІМІТАЦІЙНІ МОДЕЛІ

Зараз, коли в країні відбувається чи не загальна комп'ютеризація, від фахівців різних професій доводиться чути висловлювання: "От впровадимо у себе ЕОМ, тоді всі завдання відразу ж будуть вирішені". Ця думка зовсім не вірна, самі по собі ЕОМ без математичних моделей тих чи інших процесів нічого зробити не зможуть і про загальну комп'ютеризацію можна лише мріяти.

На підтвердження вищесказаного спробуємо обґрунтувати необхідність моделювання, у тому числі математичного, розкриємо його переваги у пізнанні та перетворенні людиною зовнішнього світу, виявимо існуючі недоліки та підемо… до імітаційного моделювання, тобто. моделювання з використанням ЕОМ. Але все поряд.

Насамперед, відповімо на запитання: що таке модель?

Модель – це матеріальний чи подумки представлений об'єкт, який у процесі пізнання (вивчення) замінює оригінал, зберігаючи деякі важливі для цього дослідження типові властивості.

Добре побудована модель доступніша для дослідження – ніж реальний об'єкт. Наприклад, неприпустимі експерименти з економікою країни з пізнавальною метою, тут без моделі не обійтися.

Резюмуючи сказане, можна відповісти на запитання: для чого потрібні моделі? Для того щоб

• зрозуміти, як влаштований об'єкт (його структура, властивості, закони розвитку, взаємодії з навколишнім світом).
• навчитися управляти об'єктом (процесом) та визначати найкращі стратегії
• прогнозувати наслідки на об'єкт.

Що позитивного у будь-якій моделі? Вона дозволяє отримати нові знання про об'єкт, але, на жаль, тією чи іншою мірою не сповнена.

Модельсформульована мовою математики з допомогою математичних методів називається математичної моделлю.

Вихідним пунктом її побудови є деяке завдання, наприклад економічна. Широко поширені як дескриптивні, так і оптимізаційні математичні, що характеризують різні економічні процесита явища, наприклад:

• розподіл ресурсів
• раціональний розкрій
• транспортні перевезення
• укрупнення підприємств
• мережеве планування.

Як відбувається побудова математичної моделі?

• По-перше, формулюється мета та предмет дослідження.
• Во–вторых , виділяються найважливіші показники, відповідні цієї мети.
• По-третє, словесно описуються взаємозв'язки між елементами моделі.
• Далі взаємозв'язок формується.
• І проводиться розрахунок з математичної моделі та аналіз отриманого рішення.

Використовуючи цей алгоритм можна вирішити будь-яку оптимізаційну задачу, зокрема і багатокритеріальну, тобто. ту в якій переслідується не одна, а кілька цілей, зокрема суперечливих.

Наведемо приклад. Теорія масового обслуговування – проблема утворення черг. Потрібно врівноважити два фактори – витрати на утримання обслуговуючих пристроїв та витрати на перебування у черзі. Побудувавши формальний опис моделі проводять розрахунки, використовуючи аналітичні та обчислювальні методи. Якщо модель хороша, то відповіді знайдені з її допомогою адекватні моделі, що моделює, якщо погана, то підлягає поліпшенню і заміні. Критерієм адекватності є практика.

Оптимізаційні моделі, у тому числі багатокритеріальні, мають спільну властивість - з вестна мета (або кілька цілей) для досягнення якої часто доводиться мати справу зі складними системами, де йдеться не так про вирішення оптимізаційних завдань, скільки про дослідження та прогнозування станів залежно від стратегій управління, що обираються. І тут ми стикаємося із труднощами реалізації колишнього плану. Вони перебувають у наступному:

• складна система містить багато зв'язків між елементами
• реальна система піддається впливу випадкових факторів, облік їх аналітичним шляхом неможливий
• Можливість зіставлення оригіналу з моделлю існує лише на початку та після застосування математичного апарату, т.к. проміжні результати можуть мати аналогів у реальної системі.

У зв'язку з переліченими труднощами, що виникають щодо складних систем, практика зажадала більш гнучкий метод, і він виник – імітаційне моделювання " Simujation modeling " .

Зазвичай під імітаційною моделлю розуміється комплекс програм для ЕОМ, що описує функціонування окремих блоків систем та правил взаємодії між ними. Використання випадкових величин робить необхідним багаторазове проведення експериментів з імітаційною системою (на ЕОМ) та наступний статистичний аналіз отриманих результатів. Досить поширеним прикладом використання імітаційних моделей є вирішення задачі масового обслуговування методом МОНТЕ-КАРЛО.

Таким чином, робота з імітаційною системою є експериментом, що здійснюється на ЕОМ. У чому полягають переваги?

-Велика близькість до реальної системи, ніж у математичних моделей;

-Блоковий принцип дає можливість верифікувати кожен блок до його включення до загальної системи;

-Використання залежностей складнішого характеру, не описуваних простими математичними співвідношеннями.

Перелічені переваги визначають недоліки

-Побудувати імітаційну модель довше, важче і дорожче;

-Для роботи з імітаційною системою необхідна наявність відповідної за класом ЕОМ;

-взаємодія користувача та імітаційної моделі (інтерфейс) має бути не надто складним, зручним та добре відомим;

-Побудова імітаційної моделі вимагає більш глибокого вивчення реального процесу, ніж математичне моделювання.

Постає питання: чи може імітаційне моделювання замінити методи оптимізації? Ні, але зручно доповнює їх. Імітаційна модель – це програма, що реалізує певний алгоритм, для оптимізації управління яким вирішується оптимізаційна задача.

Отже, ні ЕОМ, ні математична модель, ні алгоритм на її дослідження порізно що неспроможні вирішити досить складне завдання. Але разом вони представляють ту силу, яка дозволяє пізнавати навколишній світ, керувати ним на користь людини.

1.2 Класифікація моделей

Розглянемо поняття: «Моделі. Класифікація моделей» з наукового погляду.

Класифікація

Нині існує розподіл їх у окремі групи. Залежно від цільового призначення мається на увазі така класифікація економіко-математичних моделей:

• теоретико-аналітичні види, пов'язані з дослідженнями загальних характеристик та закономірностей;
• прикладні моделі, створені задля вирішення певних економічних завдань. До них відносять моделі прогнозування, економічного аналізу, управління.

Класифікація економіко-математичних моделей пов'язана і зі сферою їхнього практичного застосування.

Залежно від змістовної проблематики такі моделі поділяють на групи:

• виробничі моделі загалом;
• окремі варіанти для регіонів, підсистем, галузей;
• комплекси моделей споживання, виробництва, розподілу та формування трудових ресурсів, доходів, фінансових зв'язків.

Класифікація моделей даних груп передбачає виділення структурних підсистем.

Під час проведення досліджень господарському рівні структурних моделей пояснюється взаємозв'язком окремих підсистем. Як поширені варіанти можна виділити моделі міжгалузевих систем.

Функціональні варіанти застосовуються для економічного регулювання товарно-грошових відносин. Можна той самий об'єкт у вигляді функціональної, структурної форм одночасно.

Застосування у дослідженнях на господарському рівні структурних моделей обґрунтовано взаємозв'язком підсистем. Типовими у разі є моделі міжгалузевих зв'язків.

Функціональні моделі широко використовуються у сфері економічного регулювання. Типовими у разі є моделі поведінки споживачів за умов товарно-грошових відносин.

Відмінності між моделями

Проаналізуємо різні моделі. Класифікація моделей, що використовуються нині в економіці, передбачає виділення нормативних та дескриптивних варіантів. Використовуючи дескриптивні моделі, можна пояснити аналізовані факти, прогнозувати можливість існування певних фактів.

Ціль дескриптивного походу

Вона передбачає емпіричне виявлення різних залежностей у сучасній економіці. Наприклад, встановлюються статистичні закономірності різних соціальних груп, вивчаються можливі шляхи розвитку певних процесів за постійних умов або без зовнішніх впливів. На основі результатів, отриманих під час соціологічного опитування, можна побудувати модель попиту.

Нормативні моделі

З їхньою допомогою можна припустити цілеспрямовану діяльність. Як приклад, можна представити модель оптимального планування.

Може бути і нормативним, і дескриптивним. Якщо модель застосовується при проведенні аналізу пропорцій періоду, що минув, вона дескриптивна. При розрахунку з її допомогою раціональних шляхів розвитку економіки вона є нормативною.

Ознаки моделей

Класифікація моделей передбачає врахування окремих функцій, які допомагають уточнювати спірні моменти. Максимальне поширення дескриптивний підхід знайшов у імітаційному моделюванні.

Залежно від характеру виявлення причинно-наслідкових зв'язків існує класифікація моделей на варіанти, що включають окремі елементи невизначеності та випадковості, а також жорстко детерміністські моделі. Важливо відрізняти невизначеність, що базується на теорії ймовірності, та невизначеність, що виходить за межі дії закону.

Розподіл моделей за способами відображення тимчасового фактора

Передбачається класифікація моделей за цим фактором на динамічні та статичні види. Статичні моделі передбачають розгляд всіх закономірностей у певний проміжок часу. Динамічні варіанти характеризуються змінами часу. Залежно від тривалості застосування допускається класифікація моделей на такі варіанти:

• короткострокові, тривалість яких не перевищує року;
• середньострокові, розраховані терміном від року до п'яти;
• довгострокові, розраховані терміном понад п'ять років.

Залежно від специфіки проекту допускається внесення змін у процесі використання моделі.

За формою математичних залежностей

Підставою класифікації моделей є форма математичних залежностей, обрана до роботи. Здебільшого користуються щодо обчислень і аналізу класом лінійних моделей. Розглянемо економічні види моделей. Класифікація моделей такого виду допомагає вивчати зміну споживання та попиту населення у разі зростання їх матеріальних доходів. Крім того, за допомогою аналізується зміни потреби населення у разі збільшення виробництва, оцінюється ефективність застосування ресурсів у конкретній ситуації.

Залежно від співвідношення ендогенних та екзогенних змінних, що включаються до моделі, застосовується класифікація моделей даних видів на закриті та відкриті системи.

Будь-яка модель повинна включати щонайменше одну ендогенну змінну, у зв'язку з чим повністю відкриті системи знайти дуже проблематично. Моделі, які не включають екзогенних змінних (закриті варіанти), також практично не поширені. Для того щоб створити подібний варіант, доведеться абстрагуватися від середовища, допустити серйозні огрублення реальної економічної системи, що має зовнішні зв'язки.

У міру збільшення досягнень математичних та економічних досліджень класифікація моделей, систем істотно ускладнюється. Нині використовуються змішані типи, і навіть складні модельні конструкції. Єдина класифікація інформаційних моделейна даний момент не встановлено. При цьому можна відзначити близько десяти параметрів, якими відбувається вибудовування типів моделей.

Типи моделей

Монографічна чи словесна модель передбачає опис процесу чи явища. Часто йдеться про правила, закон, теорему або сукупність кількох параметрів.

Графічна модель оформляється як креслення, географічної карти, рисунка. Наприклад, взаємозв'язок між споживчим попитом та вартістю продукції можна уявити за допомогою координатних осей. Графік демонструє залежність між двома величинами.

Речові чи фізичні моделі виробляють для об'єктів, які у дійсності немає.

Ступінь агрегування об'єктів

Існує класифікація інформаційних моделей за цією ознакою на:

• локальні, за допомогою яких здійснюється аналіз та прогноз певних показників розвитку галузі;
• мікроекономічні, призначені для серйозного аналізу структури виробництва;
• макроекономічні, що базуються на вивченні господарства.

Існує і окрема класифікація моделей управління для макроекономічних видів. Вони поділяються на одно-, дво-, багатосекторні варіанти.

Залежно від мети створення та використання розрізняють такі варіанти:

• детерміновані, які мають однозначно зрозумілі результати;
• стохастичні, які передбачають імовірнісні підсумки.

У сучасній економіці виділяють балансові моделі, у яких відбивається вимога відповідності бази ресурсів та його застосування. Для їх запису використовують форму квадратних шахових матриць.

Є економетричні види, для оцінювання яких застосовуються методи математичної статистики. На подібних моделях виражають розвиток основних показників створюваної економічної системи у вигляді тривалої тенденції (тренду). Вони потрібні в аналізі та прогнозуванні певних економічних ситуацій, пов'язаних з реальною статистичною інформацією.

Оптимізаційні моделі дають можливість з безлічі альтернативних (можливих) варіантів вибрати оптимальний варіант виробництва, споживання чи розподілу ресурсів. Застосування обмежених ресурсів у такій ситуації буде найефективнішим засобом отримання поставленої мети.

Припускають участь у проекті як експерта, а й спеціалізованого програмного забезпечення, ЕОМ. Створювана у результаті експертна база даних призначається на вирішення шляхом імітації діяльності однієї чи кількох завдань.

Мережеві моделі є комплексом операцій і подій, взаємопов'язаних у часі. Найчастіше така модель призначається для здійснення робіт у такій послідовності, щоб досягти мінімальних термінів виконання проекту.

Залежно від обраного типу математичного апарату виділяють моделі:

• матричні;
• кореляційно-регресивні;
• мережеві;
• управління запасами;
• масового обслуговування.

Етапи економіко-математичного моделювання

Цей процес є цілеспрямованим, він підпорядковується певної логічної програми дій. Серед основних етапів створення такої моделі виділяють:

• постановку економічної проблеми та проведення її якісного аналізу;
• розробку математичної моделі;
• підготовку вихідної інформації;
• чисельне рішення;
• проведення аналізу одержаних результатів, їх використання.

При постановці економічної проблеми, необхідно чітко сформулювати суть проблеми, відзначити важливі риси і параметри об'єкта, що моделюється, проаналізувати взаємозв'язок окремих елементів, щоб пояснити розвиток і поведінку аналізованого об'єкта.

Під час створення математичної моделі виявляється залежність між рівняннями, нерівностями, функціями. Насамперед визначають тип моделі, аналізують можливість застосування її у конкретній задачі, формується конкретний перелік параметрів та змінних. При розгляді складних об'єктів вибудовують різноманітні моделі, щоб кожна характеризувала окремі сторони об'єкта.

Висновок

Нині немає окреме поняття моделі. Класифікація моделей є умовною, але це не знижує їхньої актуальності.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму, розташовану нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

АННОТАЦІЯ

У цій роботі будуть розглянуті види математичних моделей, їх класифікація, основні типи математичних моделей, їх схеми. Буде наведено приклади побудови математичних моделей на кількох прикладах. Ця робота допоможе студентам розібратися у всьому різноманітті видів та типів математичних моделей, зрозуміти за яким принципом можна класифікувати математичні моделі, від чого залежить вибір тієї чи іншої математичної моделі. Тут ми дізнаємось які бувають схеми математичних моделей та які їх особливості.

ABSTRACT

У даному терм-файлі будуть розглядатися типи математичних моделей, їх категорії. The Main types of mathematical models, їх schemes. Буде cit an instance збудуванням з математичних моделей на several examples.

Вступ

1. Моделювання

1.1 Цілі та завдання моделювання

1.2 Вимоги до моделі

2. Класифікація моделей

3. Математичне моделювання

3.1 Безперервно детерміновані моделі (Д – схеми)

3.2 Дискретно-детерміновані моделі (F-схеми)

3.3. Методи теорії масового обслуговування

4. Вибір математичної моделі

4.1 Зіставлення методів побудови математичних моделей

4.2 Достовірність та простота моделі

4.3 Перевірка адекватності та ідентифікація моделі

4.4 Вибір математичної моделі

5. Приклади складання математичних моделей

Висновок

Список джерел інформації

ВСТУП

На етапі економічного і розвитку республіки пред'являються високі вимоги до рівня економічної роботи всіх рівнях. Сьогодні особливо необхідні якісні зрушення економіки, істотне підвищення ефективності роботи всіх ланок господарської системи: підприємств, об'єднань, галузей. Особливу важливість, в умовах розширення прав підприємств, в галузі виробничо-господарської діяльності, їх самостійності у прийнятті управлінських рішень, набуває глибокого знання спеціалістами новітніх досягнень економічної науки, методів математичного моделювання та прогнозування економічних процесів на основі інформаційних технологій оптимальних рішень. Ці обставини висувають підвищені вимоги до якості підготовки фахівців, які мають володіти новітніми досягненнями наук і вміти, використовуючи їх багатий арсенал методів, знаходити найефективніші управлінські рішення, а це, своєю чергою, визначає роль місце математичних методів оптимізації у процесі. моделювання обслуговування детермінований

Методи математичного моделювання, будучи потужним інструментом досліджень економічних процесів, грає дуже важливу роль в аналізі та синтезі економічного розвитку, визначення забезпечує багаторівневу оптимізацію, що схоплює взаємозв'язки галузей, регіонів та підприємств.

У науці, техніці та економіці використовуються моделі, які загальноприйнятим, формальним способом описують характерні особливості систем та дозволяють здійснювати досить надійне прогнозування їхньої поведінки. Найпростішими моделями можуть виступати таблиці або графіки, що пов'язують величини на систему з величинами, що відбивають її реакцію на ці впливу. Вищий рівень моделей - рівняння, що відбивають подібну зв'язок (алгебраїчні, диференціальні, інтегральні та інших.). властивості складної системи відбивають сукупністю різних рівнянь. Такі моделі називають математичними та описують класи систем. Незалежно від способу створення математичної моделі, вона завжди приблизно відображає досліджувану систему. Це пов'язано з неповнотою наших знань про природу процесів, що протікають у системі, з неможливістю врахувати всі процеси та їх особливості (надмірно громіздка математична модель), з неточним уявленням даних про систему та її елементи. Маючи математичну модель системи, можна проводити прогнозування її поведінки у різних ситуаціях (проводити математичне моделювання системи).

1. МОДЕЛЮВАННЯ

Моделювання -це вивчення об'єкта шляхом побудови та дослідження його моделі, що здійснюється з певною метою і полягає в заміні експерименту з оригіналом експериментом на моделі. Модель повинна будуватися так, щоб вона найбільш повно відтворювала ті якості об'єкта, які необхідно вивчити відповідно до поставленої мети. У всіх відношеннях модель повинна бути простішою за об'єкт і зручніше його для вивчення. Таким чином, для того самого об'єкта можуть існувати різні моделі, класи моделей, що відповідають різним цілям його вивчення. Необхідною умовою моделювання є подібність об'єкта та його моделі. Тобто. моделювання - це заміщення одного об'єкта (оригіналу) іншим (моделлю) та фіксація та вивчення властивостей моделі. Заміщення проводиться з метою спрощення, здешевлення, прискорення вивчення властивостей оригіналу

У випадку об'єктом-оригіналом може бути природна чи штучна, реальна чи уявна система. Вона має безліч параметрів та характеризується певними властивостями. Кількісним мірою властивостей системи служить безліч характеристик, система виявляє свої властивості під впливом зовнішніх впливів. Від спеціаліста, що займається побудовою моделей, потрібні такі основні якості:

o чітке уявлення про сутність фізико-хімічних явищ, які у об'єкті;

уміння математично описувати протікають процеси і застосовувати методи моделювання;

o бути в змозі забезпечити отримання моделі змістовних результатів.

1.1 Цілі та завдання моделювання

Основні цілі та завдання моделювання зводяться до наступного:

1. Оптимальне проектування нових та інтенсифікація діючих технологічних процесів.

2. Контроль за ходом процесу, отримання необхідної інформації про нього та оброблення отриманої інформації з метою управління ходом технологічного процесу.

3. Рішення задач дослідження об'єктів, де неможливо проводити активні експерименти - режими роботи реакторів, траєкторії космічних об'єктів тощо.

4. Максимальне прискорення перенесення результатів лабораторних досліджень у промислові масштаби.

1.2 Вимоги до моделі

1. Витрати на створення моделі повинні бути значно менше витрат на створення оригіналу.

2. Повинні бути чітко визначені правила інтерпретації результатів обчислювального експерименту.

3. Основна вимога - модель повинна бути суттєвою. Ця вимога полягає в тому, що модель повинна відображати необхідні, суттєві для вирішення конкретної задачі властивості об'єкта. Для одного і того ж об'єкта складно створити узагальнену модель, що відображає всі його властивості. Тому важливо забезпечити суттєвість моделі.

Моделювання доцільно, коли модель відсутні ті ознаки оригіналу, які перешкоджають його дослідженню.

Теорія моделювання - взаємопов'язана сукупність положень, визначень, методів та засобів створення моделей. Самі моделі предмет теорії моделювання.

Теорія моделювання є основною складовою загальної теорії систем - системології, де як головний принцип постулюються здійсненні моделі: система представима кінцевим безліччю моделей, кожна з яких відображає певну межу її сутності.

2 . КЛАСИФІКАЦІЯ МОДЕЛЕЙ

Класифікацію моделей можна проводити за різними типами ознак:

- за способом пізнання: науково-технічні, художні, життєві;

- за природою моделей: предметні (фізичні/матеріальні), знакові (мисленні).

Рис.1 Класифікація моделей за природою

- По відношенню до часу розрізняють статичні та динамічні моделі;

- за характером залежності вихідних параметрів від вхідних моделей поділяються на детерміновані та стохастичні.

Матеріальні моделі - зменшене (збільшене) відображення оригіналу зі збереженням фізичної сутності (реактор - пробірка). Думкова модель - відображення оригіналу, що відображає суттєві риси і що виникає у свідомості людини в процесі пізнання. Образні моделі носять описовий характер. Знакові моделі - є математичними описами процесів, явищ, об'єктів і зазвичай називаються математичними моделями. Знакові моделі можуть також включати схеми і креслення.

Віди моделей по відношенню до часута за характером вихідних параметрів

Рис.2.

Фізичні моделі. В основу класифікації покладено ступінь абстрагування моделі від оригіналу. Попередньо всі моделі можна поділити на 2 групи - фізичні та абстрактні (математичні).

Фізичною моделлю зазвичай називають систему, еквівалентну або подібну до оригіналу, але можливо має іншу фізичну природу. Види фізичних моделей:

натуральні;

квазінатуральні;

масштабні;

аналогові.

Натуральні моделі – це реальні досліджувані системи (макети, дослідні зразки). Мають повну адекватність (відповідності) із системою оригіналом, але дороги.

Квазінатуральні моделі - сукупність натуральних та математичних моделей. Цей вид використовується тоді, коли модель частини системи не може бути математичною через складність її опису (модель людини оператора) або коли частина системи повинна бути досліджена у взаємодії з іншими частинами, але їх ще не існує або їхнє включення дуже дорого (обчислювальні полігони , автоматизовані системи керування).

Масштабна модель - це система тієї ж фізичної природи, що й оригінал, але відрізняється від нього масштабами. Методологічною основою масштабного моделювання є теорія подібності. При проектуванні обчислювальних систем масштабні моделі можуть бути використані для аналізу варіантів компоновочних рішень.

Аналоговими моделями називають системи, що мають фізичну природу, що відрізняється від оригіналу, але подібні до оригіналу процеси функціонування. Для створення аналогової моделі потрібна наявність математичного опису системи, що вивчається. Як аналогові моделі використовуються механічні, гідравлічні, пневматичні та електричні системи. Аналогове моделювання використовує при дослідженні засобу обчислювальної техніки на рівні логічних елементів та електричних ланцюгів, а також на системному рівні, коли функціонування системи описується, наприклад, диференціальними або рівняннями алгебри.

Математичні моделі є формалізоване уявлення системи за допомогою абстрактної мови, за допомогою математичних співвідношень, що відображають процес функціонування системи. Для складання математичних моделей можна використовувати будь-які математичні засоби - алгебраїчне, диференціальне, інтегральне числення, теорію множин, теорію алгоритмів і т.д. По суті, вся математика створена для складання та дослідження моделей об'єктів та процесів.

До засобів абстрактного опису систем належать також мови хімічних формул, схем, креслень, карт, діаграм тощо. Вибір виду моделі визначається особливостями досліджуваної системи та цілями моделювання, т.к. Вивчення моделі дозволяє отримати відповіді на певну групу питань. Для отримання іншої інформації може знадобитися модель іншого виду. Математичне моделі можна класифікувати на детерміновані та імовірнісні, аналітичні, чисельні та імітаційні.

Аналітичною моделлю називається такий формалізований опис системи, що дозволяє отримати рішення рівняння у явному вигляді, використовуючи відомий математичний апарат.

Чисельна модель характеризується залежністю (1.2) такого виду, який допускає лише приватні рішення для конкретних початкових умов та кількісних параметрів моделей.

Імітаційна модель - це сукупність опису системи та зовнішніх впливів, алгоритмів функціонування системи або правил зміни стану системи під впливом зовнішніх та внутрішніх збурень. Ці алгоритми та правила не дають можливості використання наявних математичних методів аналітичного та чисельного рішення, але дозволяють імітувати процес функціонування системи та проводити обчислення цікавих характеристик. Імітаційні моделі можуть бути створені для значно ширшого класу об'єктів та процесів, ніж аналітичні та чисельні. Оскільки для реалізації імітаційних моделей служать ПС, засобами формалізованого опису ІМ служать універсальні та спеціальні алгоритмічні мови. ІМ найбільше підходять для дослідження ВС на системному рівні.

3 . МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

Це найважливіший метод сучасного наукового дослідження, основний апарат системного аналізу. Математичне моделювання - це вивчення поведінки об'єкта в тих або інших умовах шляхом вирішення рівнянь його математичної моделі. У хімічній технології математичне моделювання застосовують практично на всіх рівнях дослідження, розробки та впровадження. Цей метод базується на математичному подобі. У математично подібних об'єктів процеси володіють різною фізичною природою, але описуються ідентичними рівняннями.

На перших порах свого розвитку математичне моделювання називалося аналоговим. Більше того, використання методу аналогії призвело до появи аналогових обчислювальних машин - AВМ. Це електронні пристрої, що складаються з інтеграторів, диференціюючих пристроїв, суматорів та підсилювачів. На AВМ моделюються фізичні явища, які аналогічні ефектам електричної природи. У порівнянні з фізичним математичне моделювання - більш универсальний метод.

Математичне моделювання:

- дозволяє здійснити за допомогою одного пристрою (ЕОМ) рішення цілого класу завдань, що мають однакове математичне опис;

- Забезпечує простоту переходу від однієї задачі до іншої, дозволяє вводити змінні параметри, обурення і різні початкові умови;

- дає можливість проводити моделювання за частинами ("елементарним процесам"), що особливо істотно при дослідженні складних об'єктів хімічної технології;

- економічніше методу фізичного моделювання як за витратами, так і за вартістю.

Вихідною інформацією при побудові математичної моделі процесів функціонування систем є дані про призначення та умови роботи досліджуваної (проектованої) системи S. Ця інформація визначає основну мету моделювання, вимоги до математичної моделі, рівень абстрагування, вибір математичної схеми моделювання.

Концепція математична схемадозволяє розглядати математику не як спосіб розрахунку, бо як спосіб мислення, засоби формулювання понять, що є найважливішим під час переходу від словесного описи до формалізованому уявленню процесу її функціонування як деякої математичної моделі.

При користуванні математичною схемою в першу чергу дослідника системи повинен цікавити питання адекватності відображення у вигляді конкретних схем реальних процесів в досліджуваній системі, а не можливість отримання відповіді (результату рішення) на конкретне питання дослідження.

Математичну схему можна визначити як ланка під час переходу від змістовного до формалізованого опису процесу функціонування системи з урахуванням впливу довкілля. Тобто. має місце ланцюжок: описова модель - математична схема - імітаційна модель.

В якості детермінованих моделей, коли при дослідженні випадковий факт не враховується, для представлення систем, що функціонують у безперервному часі, використовуються диференціальні, інтегральні та ін рівняння, а для представлення систем, що функціонують у дискретному часі - кінцеві автомати і звичайно різницеві схеми.

На початку стохастичних моделей (з урахуванням випадкового чинника) уявлення систем з дискретним часом застосовуються вероятностные автомати, а представлення систем з безперервним часом - системи масового обслуговування (СМО). Велике практичне значення щодо складних індивідуальних управлінських систем, яких ставляться автоматизовані системи управління, мають звані агрегативні моделі.

Aгрегативні моделі (системи) дозволяють описати широке коло об'єктів дослідження з відображенням системного характеру цих об'єктів. Саме за агрегативному описі складний об'єкт розчленовується на кінцеве число частин (підсистем), зберігаючи у своїй зв'язку, забезпечуючи взаємодія елементів.

3 .1 Безперервно детерміновані м про поділи (Д - схеми)

Розглянемо особливості безперервно детермінованого підходу на прикладі, використовуючи як математичну модель диференціальні рівняння.

Диференціальними рівняннями називаються такі рівняння, у яких невідомими будуть функції однієї змінної чи кількох змінних, причому у рівняння входять як їх функції але їх похідні різних порядків.

Якщо невідомі - функції багатьох змінних, то рівняння називаються - рівняння у приватних похідних. Якщо невідомі функції однієї незалежної змінної, мають місце прості диференціальні рівняння.

Математичне співвідношення для детермінованих систем у загальному вигляді:

Наприклад, процес малих коливань маятника описаний звичайними диференціальним рівнянням де m 1 l 1 - маса, довжина підвіски маятника, - кут відхилення маятника від положення рівноваги. З цього рівняння можна знайти оцінки характеристик, що цікавлять, наприклад період коливань

Диференціальні рівняння, Д – схеми є математичним апаратом теорії систем автоматичного регулювання, управління.

При проектуванні та експлуатації систем автоматичного регулювання (САУ) необхідно вибрати такі параметри системи, які забезпечували б необхідну точність управління.

Слід зазначити, що часто використовуються в САУ системи диференціальних рівнянь визначаються шляхом лінеаризації управління об'єкта (системи), більш складного виду, що має нелінійності:

3 .2 Дискретно-детерміновані моделі ( F -схеми)

Дискретно – детерміновані моделі (ДДМ) є предметом розгляду теорії автоматів (ТА). ТА - розділ теоретичної кібернетики, що вивчає пристрої, що переробляють дискретну інформацію та змінюють свої внутрішні стани лише в допустимі моменти часу.

Кінцевий автомат має безліч внутрішніх станів та вхідних сигналів, що є кінцевими множинами. Автомат задається F-схемою:

F= ,

де z,x,y - відповідно кінцеві множини вхідних, вихідних сигналів (алфавітів) і кінцева множина внутрішніх станів (алфавіту). z 0 Z – початковий стан; (z, x) – функція переходів; (z, x) – функція виходу. Автомат функціонує дискретному автоматному часі, моментами якого є такти, тобто. що примикають один до одного рівні інтервали часу, кожному з яких відповідають постійні значення вхідного, вихідного сигналу та внутрішнього стану. Абстрактний автомат має один вхідний та один вихідний канали.

У момент t, будучи в стані z(t), автомат здатний сприйняти сигнал x(t) і видати сигнал y(t)=, переходячи у стан z(t+1)=, z(t)Z; y(t)Y; x(t)X. Абстрактний КА у початковому стані z 0 приймаючи сигнали x(0), x(1), x(2) … видає сигнали y(0), y(1), y(2)… (вихідне слово).

Існують F-автомат 1-го роду (Миля), що функціонує за схемою:

z(t+1)= , t=0,1,2…(1)

y(t)=, t=0,1,2…(2)

автомат 2-го роду:

z(t+1)= , t=0,1,2…(3)

y(t)=, t=1,2,3…(4)

Автомат 2-го роду, для якого y(t)=, t=0,1,2,…(5)

тобто. функція виходів залежить від вхідний змінної x(t), називається автоматом Мура.

Т.ч. рівняння 1-5 повністю задають F- автомат, є окремим випадком рівняння

(6)

де - Вектор стану, - Вектор незалежних вхідних змінних, - Вектор впливів зовнішнього середовища, - Вектор власних внутрішніх параметрів системи, - Вектор початкового стану, t - час; та рівняння,(7)

коли система S - деномінована і її вхід надходить дискретний сигнал x.

За кількістю станів кінцеві автомати бувають з пам'яттю і пам'яті. Автомати з пам'яттю мають більше одного стану, а автомати без пам'яті (комбінаційні або логічні схеми) мають лише один стан. У цьому згідно (2), робота комбінаційної схеми у тому, що вона ставить у відповідність кожному вхідному сигналу x(t) певний вихідний сигнал y(t), тобто. реалізує логічну функцію виду:

y(t)=, t=0,1,2,…

Ця функція називається булевою, якщо алфавіти X та Y, яким належать значення сигналів x та y складаються з 2-х літер.

За характером відліку часу (дискретного) F-автоми діляться на синхронні та асинхронні. У синхронних автоматах моменти часу, в які автомат "зчитує" вхідні сигнали, визначаються синхронізуючими примусово сигналами. Реакція автомата на кожне значення вхідного сигналу закінчується один такт синхронізації. Асинхронний F-автомат зчитує вхідний сигнал безперервно і тому, реагуючи на досить довгий водний сигнал постійної величини x, він може, як це слідує з 1-5, кілька разів змінити свій стан, видаючи відповідне число вихідних сигналів, поки не перейде у стійке.

Для завдання F-автомата необхідно описати всі елементи множини F= , тобто. вхідний, внутрішній та вихідний алфавіти, а також функції переходів та виходів. Для завдання роботи F-автоматів найчастіше використовуються табличний, графічний та матричний спосіб.

У табличному способі завдання використовується таблиці переходів та виходів, рядки яких відповідають вхідним сигналам автомата, а стовпці – його станам. У цьому зазвичай перший стовпець зліва відповідає початковому стану z 0 . На перетині i-го рядка і j-ого стовпця таблиці переходів міститься відповідне значення (z k ,x i) функції переходів, а таблиці виходів - (z k , x i) функції виходів. Для F-автомата Мура обидві таблиці можна поєднати, отримавши т.зв. зазначену таблицю переходів, у якій над кожним станом z k автомата, що позначає стовпець таблиці, стоїть відповідний цього стану, згідно (5) вихідний сигнал (z i).

Опис роботи F-автомата Милі таблицями переходів і виходів ілюструється таблицею 3.1., а опис F-автомата Мура - таблицею переходів 3.2.

Таблиця 3.1.Опис роботи автомату Милі

Таблиця 3.2.Опис роботи автомата Мура

Приклади табличного способу завдання F-автомата Милі F1 з трьома станами, двома вхідними та двома вихідними сигналами наведені в таблиці 3.3, а для F-автомата Мура F2 - у таблиці 3.4.

Таблиця 3.3.Спосіб завдання автомата Милі з трьома станами

Таблиця 3.4.Спосіб завдання автомата Мура з трьома станами

За іншого способу завдання кінцевого автомата використовується поняття направленого графа. Граф автомата є набір вершин, відповідних різним станам автомата і що з'єднують вершин дуг графа, відповідних тим чи іншим переходам автомата. Якщо вхідний сигнал x k викликає перехід зі стану z i стан z j , то на графі автомата дуга, що з'єднує вершину z i з вершиною z j позначається x k . Щоб задати функцію переходів, дуги графа необхідно відзначити відповідними вихідними сигналами. Для автоматів Мілі ця розмітка проводитися так: якщо вхідний сигнал x k діє стан z i , то згідно сказаного виходить дуга, що виходить з z i і позначена x k ; цю дугу додатково відзначають вихідним сигналом y = (z i x k). Для автомата Мура аналогічна розмітка графа така: якщо вхідний сигнал x k , діючи деякий стан автомата, викликає перехід у стан z j , то дугу, спрямовану z j і позначену x k , додатково відзначають вихідним сигналом y = (z j , x k). На рис. 3 наведені задані раніше таблицями F автомати Милі F1 і Мура F2 відповідно.

Рис.3 . Графи автоматів Мілі (а) та Мура (б)

При вирішенні задач моделювання часто зручнішою формою є матричне завдання кінцевого автомата. При цьому матриця з'єднань автомата є квадратною матрицею С=|| c ij ||, рядки якої відповідають вихідним станам, а стовпці – станам переходу. Елемент c ij =x k /y S у разі автомата Милі відповідає вхідному сигналу x k , що викликає перехід зі стану z i стан z j і вихідному сигналу y S , що видається при цьому переході. Для автомата Милі F1, розглянутого вище, матриця з'єднань має вигляд:

Якщо перехід зі стану z i стан z j відбувається під дією декількох сигналів, елемент матриці c ij являє собою безліч пар "вхід/вихід" для цього переходу, з'єднаних знаком диз'юнкції.

Для F-автомата Мура елемент c ij дорівнює безлічі вхідних сигналів на переході (z i z j), а вихід описується вектором виходів:

i-а компонента якого вихідний сигнал, що відзначає стан z i

приклад. Для розглянутого раніше автомата Мура F2 запишемо матрицю станів та вектор виходів:

;

Для детермінованих автоматів переходи є однозначними. Стосовно графічного способу завдання F-автомата це означає, що у графі F-автомата з будь-якої вершини не можуть виходити 2 і більше ребра, позначені одним і тим самим вхідним сигналом. Аналогічно цьому в матриці з'єднань автомата З у кожному рядку будь-який вхідний сигнал не повинен зустрічатися більше одного разу.

Розглянемо вид таблиці переходів та графа асинхронного кінцевого автомата. Для F-автомата стан z k називається стійким , якщо для будь-якого входу x i X, для якого (z k x i) = z k має місце (z k x i) = y k . Т.ч. F-автомат називається асинхронним, якщо кожне його стан z k Z стійке.

Насправді автомати є асинхронними, а стійкість їх станів забезпечується тим чи іншим способом, наприклад, введенням сигналів синхронізації. На рівні абстрактної теорії зручно часто оперувати із синхронними кінцевими автоматами.

приклад. Розглянемо асинхронний F-автомат Мура, описаний у табл. 3.5 і наведено на рис. 4.

Таблиця 3.5.Асинхронний автомат Мура

Рис.4 . Граф асинхронного автомата Мура

Якщо таблиці переходів асинхронного автомата деякий стан z k стоїть на перетині рядка x S і стовпця z S (Sk), це стан z k обов'язково має зустрітися у цьому рядку в стовпці z k .

За допомогою F-схем описуються вузли та елементи електронних обчислювальних систем, пристрої контролю, регулювання та управління, системи тимчасової та просторової комутації у техніці обміну інформацією. Широта застосування F-схем означає їх універсальність. Цей підхід непридатний для опису процесів прийняття рішень, процесів динамічних системах з наявністю перехідних процесів і стохастичних елементів.

3.3 Безперервно-стохастичні моделі (Q – схеми)

До них відносяться системи масового обслуговування (англ. queuing system), які називають Q-схемами.

Предмет теорії масового обслуговування - системи масового обслуговування (СМО) та мережі масового обслуговування. Під СМО розуміють динамічну систему, призначену ефективного обслуговування випадкового потоку заявок при обмежених ресурсах системи. Узагальнена структура СМО наведено малюнку 5.

Рис.5 . Схема СМО

Однорідні заявки, що надходять на вхід СМО, залежно від породжувальної причини діляться на типи, інтенсивність потоку заявок типу i (i=1…M) позначено i . Сукупність заявок всіх типів – вхідний потік СМО.

Обслуговування заявок виконується mканалами. Розрізняють універсальні та спеціалізовані канали обслуговування. Для універсального каналу типу j вважається відомими функції розподілу Fjі () тривалості обслуговування заявок довільного типу. Для спеціалізованих каналів функції розподілу тривалості обслуговування каналів заявок деяких типів є невизначеними, призначення цих заявок на цей канал.

Як процес обслуговування можуть бути представлені різні за своєю фізичною природою процеси функціонування економічних, виробничих, технічних та інших систем, наприклад, потоки поставок продукції деякому підприємству, потоки деталей та комплектуючих виробів на конвеєрі цеху, заявки на обробку інформації електронних обчислювальних систем від віддалених терміналів тощо. При цьому характерною для роботи таких об'єктів є випадкова поведінка заявок (вимог) на обслуговування та завершення обслуговування у випадкові моменти часу.

Q - схеми можна досліджувати аналітично та імітаційними моделями. Останнє забезпечує більшу універсальність.

Розглянемо поняття масового обслуговування.

У будь-якому елементарному акті обслуговування можна виділити дві основні складові: очікування обслуговування заявкою та обслуговування заявки. Це можна відобразити у вигляді деякого i-ого приладу обслуговування П i , що складається з накопичувача заявок, в якому може знаходитися одночасно li =0…L i H заявок, де L i H - ємність i-ого накопичувача, каналу обслуговування заявок, ki .

Рис.6 . Схема приладу СМО

На кожен елемент приладу обслуговування П i надходять потоки подій: накопичувач H i потік заявок w i на канал k i - потік обслуговування u i .

Потоком подій (ПС) називається послідовність подій, що відбуваються одна за одною у якісь випадкові моменти часу. Розрізняють потоки однорідних та неоднорідних подій. Однорідний ПС (ОПС) характеризується лише моментами надходження цих подій (викликають моментами) і задається послідовністю (t n )=(0t 1 t 2 …t n …), де t n - момент надходження n-ого події - неотрицательное речове число. ОПС може бути також заданий у вигляді послідовності проміжків часу між n-им і n-1-им подіями (n).

Неоднорідним ПС називається послідовність (t n , f n ), де t n - викликають моменти; f n – набір ознак події. Наприклад, може бути задана належність того чи іншого джерела заявок, наявність пріоритету, можливість обслуговування тим чи іншим типом каналу і т.п.

Розглянемо ОПС, для якого i (n) - випадкові величининезалежні між собою. Тоді ПС називається потоком з обмеженою післядією.

ПС називається ординарним, якщо ймовірність того, що на малий інтервал часу t, що примикає до моменту часу t, потрапляє більше однієї події Р 1 (t, t) зневажливо мала.

Якщо будь-якого інтервалу t подія P 0 (t, t) + P 1 (t, t) + Р 1 (t, t) = 1, P 1 (t, t) - ймовірність попадання на інтервал t рівно однієї події. Як сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу та несумісних, то для ординарного потоку подій P 0 (t, t) + P 1 (t, t) 1, Р 1 (t, t) = (t), де (t)- величина, порядок трішки який вище, ніж t, тобто. lim((t))=0 при t0.

Стаціонарним ПС називається потік, котрій ймовірність появи тієї чи іншої числа подій на інтервалі часу залежить від довжини цієї ділянки і залежить від цього, де на осі часу 0 - t взятий цю ділянку. Для ОПС справедливо 0 * P 0 (t, t) + 1 * P 1 (t, t) = P 1 (t, t) - середня кількість подій на інтервалі t. Середня кількість подій, що на ділянці t в одиницю часу становить P 1 (t, t)/t. Розглянемо межу цього виразу при t0

lim P 1 (t, t)/t=(t)*(1/одн.вр.).

Якщо ця межа існує, то вона називається інтенсивністю (щільністю) ОПС. Для стандартного ПС (t) = = const.

Що стосується елементарного каналу обслуговування k i вважатимуться що потік заявок w i W, тобто. інтервали часу між моментами появи заявок на вході k i утворюють підмножину некерованих змінних, а обслуговування обслуговування u i U, тобто. інтервали часу між початком та закінченням обслуговування заявки утворюють підмножину керованих змінних.

Заявки, обслужені каналом k i заявки, що залишили прилад П i з різних причин не обслуженими, утворюють вихідний потік y i Y.

Процес функціонування приладу обслуговування П i можна як процес зміни станів його елементів у часі Z i (t). Перехід у новий стан для П i означає зміну кількості заявок, які в ньому знаходяться (в каналі k i і накопичувачі H i). Т.ч. вектор станів для П i має вигляд: , де - стани накопичувача, (=0 - накопичувач порожній, =1- в накопичувачі одна заявка ..., =- накопичувач зайнятий повністю; - стан каналу ki (=0 - канал вільний, =1 канал зайнятий).

Q-схеми реальних об'єктів утворюються композицією багатьох елементарних приладів обслуговування Пі. Якщо k i різних приладів обслуговування з'єднані паралельно, має місце багатоканальне обслуговування (багатоканальна Q-схема), а якщо прилади П i та їх паралельні композиції з'єднані послідовно, то має місце багатофазне обслуговування (багатофазна Q-схема).

Т.ч. для завдання Q-схеми необхідно оператор пари R, що відображає взаємозв'язок елементів структури.

Зв'язки в Q-схемі зображують у вигляді стрілок (ліній потоку, що відображають напрямок руху заявок). Розрізняють розімкнені і замкнені Q-схеми. У розімкнутої вихідний потік неспроможна знову надійти який-небудь елемент, тобто. Зворотній зв'язоквідсутня.

Власними (внутрішніми) параметрами Q-схеми будуть кількість фаз L Ф, кількість каналів у кожній фазі, L kj , j=1… L Ф, кількість накопичувачів кожної фази L kj , k=1… L Ф, ємність i- ного накопичувача L i H. Слід зазначити, що теоретично масового обслуговування залежно від ємності накопичувача застосовують таку термінологію:

системи із втратами (L i H =0, накопичувач відсутній);

системи з очікуванням (L і H);

системи з обмеженою ємністю накопичувача Н i (змішані).

Позначимо всю сукупність своїх властивостей Q-схеми як підмножина Н.

Для завдання Q-схеми необхідно описати алгоритми її функціонування, які визначають правила поведінки заявок у різних неоднозначних ситуаціях.

Залежно від місця виникнення таких ситуацій розрізняють алгоритми (дисципліни) очікування заявок у накопичувачі Н і обслуговування заявок каналом k i . Неоднорідність потоку заявок враховується за допомогою класу пріоритетів.

Залежно від динаміки пріоритетів Q-схеми розрізняють статичні та динамічні. Статичні пріоритети призначаються заздалегідь і залежить від станів Q-схеми, тобто. вони є фіксованими в межах рішення конкретного завданнямоделювання. Динамічні пріоритети виникають під час моделювання. Виходячи з правил вибору заявок з накопичувача Н i на обслуговування каналом k i можна виділити відносні та абсолютні пріоритети. Відносний пріоритет означає, що заявка з більш високим пріоритетом, що надійшла в накопичувач Н, очікує закінчення обслуговування заявки, що представляє, каналом k i і тільки після цього займає канал. Абсолютний пріоритет означає, що заявка з вищим пріоритетом, що надійшла в накопичувач, перериває обслуговування каналом ki заявки з нижчим пріоритетом і займає канал (при цьому витіснена з ki заявка може або залишити систему, або може бути знову записана на якесь місце у Н i).

Необхідно також знати набір правил, за якими заявки залишають Н i і k i: для Н i - або правила переповнення, або правила догляду, пов'язані із закінченням часу очікування заявки в Н i; для k i - правила вибору маршрутів чи напрямків догляду. Крім того, для заявок необхідно задати правила, за якими вони залишаються в каналі k i, тобто. правила блокування каналу. При цьому розрізняють блокування k i по виходу та входу. Такі блокування відображають наявність керуючих зв'язків у Q_схемі, що регулюють потік заявок залежно від станів Q_схеми. Набір можливих алгоритмів поведінки заявок у Q_схемі можна у вигляді деякого оператора алгоритмів поведінки заявок А .

Т.ч. Q_схема, що описує процес функціонування СМО будь-якої складності однозначно задається у вигляді набору множин: Q = .

4 . ВИБІР МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ

4 .1 Зіставленняметодів збудови математичних моделей

Вибір методу залежить від важливості та ступеня складності процесу. Для великих багатотоннажних виробництв необхідні гарні моделі, тут застосовують теоретичний метод. Цим методом користуються при створенні принципово нових технологічних процесів.

Для дрібних виробництв зі складним характером процесу використовують експериментальний метод. Насправді, зазвичай, використовується розумне поєднання всіх методів.

4 .2 Достовірність тапростотамоделі

Побудована одним з розглянутих вище методів математична модель одночасно повинна задовольняти вимогам достовірності та простоти.

Достовірна модель, що правильно описує поведінку об'єкта, може виявитися дуже складною. Складність моделі визначається, як правило, складністю об'єкта, що досліджується, і ступенем точності, що пред'являється практикою до результатів розрахунку. Необхідно, щоб ця складність не перевищувала певної межі, що визначається можливостями існуючого математичного апарату. Отже, модель має бути досить простою в математичному відношенні, щоб її можна було вирішити наявними методами та засобами.

4 . 3 Перевіркаагруденьватності таідентифікаціямоделі

Перевірка адекватності - це оцінка достовірності побудованої математичної моделі, дослідження її відповідності об'єкту, що досліджується.

Перевірка адекватності здійснюється на тестових експериментах шляхом порівняння результатів розрахунку за моделлю з результатами експерименту на досліджуваному об'єкті за однакових умов. Це дозволяє встановити межі застосування побудованої моделі.

Основним етапом у побудові адекватної моделі є ідентифікація математичного опису математичного опису об'єкта. Завданням ідентифікації є визначення виду моделі та знаходження невідомих її параметрів – окремих констант або їх комплексів, що характеризують властивості об'єкта. Ідентифікація можлива за наявності необхідної експериментальної інформації про об'єкт, що вивчається.

4.4 Вибір математичної моделі

Завдання вибору моделі виникає за наявності для одного і того ж об'єкта класу моделей. Вибір моделі є одним з найважливіших етапівмоделювання. Зрештою, перевага тієї чи іншої моделі визначає критерій практики, який розуміється в широкому розумінні. При виборі моделі слід виходити з розумного компромісу між складністю моделі, повнотою одержуваних з її допомогою характеристик об'єкта та точністю цих характеристик. Так, якщо модель недостатньо точна, то її потрібно доповнити, уточнити запровадженням нових факторів, може також виявитися, що запропонована модель занадто складна і ті ж результати можна отримати за допомогою більш простої моделі.

Іноді через обмеженість наявних коштів доводиться спрощувати математичний опис. У цьому випадку необхідна оцінка похибки, що вноситься при цьому.

При вирішенні рівнянь математичного опису з використанням електронних обчислювальних систем необхідно створення моделюючого алгоритму ("машинної" моделі). Моделюючий алгоритм є перетвореним математичним описом і є послідовністю арифметичних і логічних операцій рішення, записану у вигляді програми.

При розробці такого алгоритму, перш за все, необхідно вибрати метод розв'язання рівнянь математичного опису - аналітичний або чисельний. Слід пам'ятати необхідність перевірки точності обраного методу розрахунку.

5. ПРИКЛАДИ СКЛАДАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ

У цьому розділі розглянемо типові приклади складання математичних моделей для вирішення різних завдань, як народного господарства, так і шкільних завдань з математики.

ПРИКЛАД 1

Побудувати математичну модель формування плану виробництва.

Таблиця 5.1.Вихідні дані

Визначити обсяги виробництва продукції, що забезпечує отримання максимального прибутку.

Побудова математичної моделі

Нехай х 1 - кількість продукції виду А, а х 2 - кількість продукції В. Тоді х 1 + 4х 2 - кількість матеріалу сорту 1, необхідне виготовлення продукції, а за умовою завдання це число вбирається у 320

х 1 + 4х 2 <=320 (1)

3х 1 + 4х 2 - кількість матеріалу сорту 2, необхідне виготовлення продукції, а за умовою завдання це число не перевищує 360

3х 1 + 4х 2 <=360 (2)

х 1 + 2х 2 - кількість матеріалу сорту 2, необхідне виготовлення продукції, а за умовою завдання це число не перевищує 180

х 1 + 2х 2 <=180 (3)

крім того, оскільки х 1 і х 2 виражають обсяг своєї продукції, всі вони можуть бути негативними, тобто

х 1 > 0, х 2 > 0 (4)

F= х 1 + 2х 2 - прибуток, який має бути максимальним. Таким чином, маємо наступну математичну модель для цього завдання

F= х 1 + 2х 2 > max

ПРИКЛАД 2

Транспортне завдання. Є n міст. Виїхавши з одного з них, комівояжер повинен об'їхати все і повернутися до вихідного міста. У кожне місто можна заїжджати один раз, і, отже, маршрут комівояжер повинен утворювати замкнутий цикл без петель. Потрібно знайти найкоротший замкнутий маршрут комівояжера, якщо відома матриця відстаней між містами.

Математична модель розглянутого завдання має вигляд:

Тут змінна х ij приймає значення 1, якщо комівояжер переїжджає з міста i в місто j (i, j = 1,2, ..., n, i? j) і 0 в іншому випадку. Умова (1) є оптимізованою функцією, де з ij - відстані між містами (i,j = 1,2,…,n, i ? j), причому в загальному випадку з ij? з ij; умова (2) означає, що комівояжер виїжджає з кожного міста лише один раз; (3) - що він в'їжджає у кожне місто лише один раз; (4) забезпечує замкнутість маршруту та відсутність петель, де u i та u j - деякі речові значення (i,j = 1,2,…,n, i ? j) (5).

ПРИКЛАД 3

Деяке підприємство виробляє продукцію 5 видів, використовуючи комплектуючі деталі 7 найменувань А, З, D, Е, F, G. Запаси підприємства обмежені деякою кількістю комплектуючих деталей. Відомо, скільки потрібно комплектуючих деталей для виробництва одиниці продукції кожного виду та прибуток від виробництва одиниці продукції кожного виду. Визначити, скільки потрібно продукції кожного виду, щоб забезпечити підприємству найбільший прибуток.

Таблиця 5.2.Дані щодо виробництва продукції

F= 2х 1 + 3х 2 + х 3 + 5х 4 + 4х 5 -

прибуток, який має бути максимальною. Таким чином, маємо кількість комплектуючих для виробництва оптимальної кількості продукції:

2х 1 + 2х 2 + х 5 ? 10

кількість комплектуючих для виробництва продукції;

х 1 + 2х 2 + х 4 ? 7

кількість комплектуючих для виробництва продукції;

4х 1 + х 4 ? 12

кількість комплектуючих для виробництва продукції;

4х 4 ? 12

кількість комплектуючих D для виробництва продукції;

х 3 + 2х 4 + х 5 ? 15

кількість комплектуючих для виробництва продукції;

х 4 + 3х 5 ? 12

кількість комплектуючих F для виробництва продукції;

2х 1 + х 4 ? 8

кількість комплектуючих для виробництва продукції;

причому всі змінні Х 1, Х 2, Х 3, Х 4, Х 5 - повинні бути невід'ємні та цілі.

Таким чином, маємо наступну математичну модель випуску продукції для отримання максимального прибутку:

2х 1 + 3х 2 + х 3 + 5х 4 + 4х 5 > max

ПРИКЛАД 4

Є виробництво з виготовлення двох видів продукції А та В при обмеженому обсязі матеріалів трьох сортів, з яких виробляється продукція. Вихідні дані наведено у таблиці.

Таблиця 5.3.Вихідні дані

Подібні документи

Постановка мети моделювання. Ідентифікація реальних об'єктів. Вибір типу моделей, математичної схеми. Побудова безперервно-стахостичної моделі. Основні поняття теорії масового обслуговування. Визначення потоку подій. Постановка алгоритмів.

курсова робота , доданий 20.11.2008


Аналіз основних засобів побудови математичної моделі. Математичне моделювання соціально-економічних процесів як невід'ємна частина методів економіки, особливості. Загальна характеристика прикладів побудови лінійних математичних моделей.

курсова робота , доданий 23.06.2013


Вивчення економічних додатків математичних дисциплін на вирішення економічних завдань: використання математичних моделей економіки та менеджменті. Приклади моделей лінійного та динамічного програмування як інструменту моделювання економіки.

курсова робота , доданий 21.12.2010


Моделювання. Детермінізм. Завдання детермінованого факторного аналізу. Способи вимірювання впливу факторів детермінованому аналізі. Розрахунок детермінованих економіко-математичних моделей та методів факторного аналізу на прикладі РУП "ГЗЛіН".

курсова робота , доданий 12.05.2008


Завдання, функції та етапи побудови економіко-математичних моделей. Аналітичні, аніонні, чисельні та алгоритмічні моделі. Економічна модель спортивних споруд. Моделі часових рядів: тенденції та сезонності. Теорії масового обслуговування.

реферат, доданий 22.07.2009


Основні поняття та типи моделей, їх класифікація та цілі створення. Особливості економіко-математичних методів, що застосовуються. Загальна характеристика основних етапів економіко-математичного моделювання. Застосування стохастичних моделей економіки.

реферат, доданий 16.05.2012


Складання економіко-математичної моделі плану виробництва. Теорія масового обслуговування. Моделі керування запасами. Бездефіцитна проста модель. Статичні детерміновані моделі із дефіцитом. Кореляційно-регресійний аналіз.

контрольна робота , доданий 07.02.2013


Теоретичні засади економіко-математичних методів. Етапи прийняття рішень. Класифікація задач оптимізації. Завдання лінійного, нелінійного, опуклого, квадратичного, цілісного, параметричного, динамічного та стохастичного програмування.

курсова робота , доданий 07.05.2013


Загальні поняття теорії масового обслуговування. Особливості моделювання систем масового обслуговування. Графи станів СМО, рівняння, що їх описують. Загальна характеристика різновидів моделей. Аналіз системи масового обслуговування супермаркету.

курсова робота , доданий 17.11.2009


Характеристика основних засад створення математичних моделей гідрологічних процесів. Опис процесів дивергенції, трансформації та конвергенції. Ознайомлення із базовими компонентами гідрологічної моделі. Сутність імітаційного моделювання.