Raqamlar to'plami nima deyiladi? Raqamlar tizimi - bu raqamlar to'plami va raqamlarni belgilash qoidalari. Axborot tizimlari mavjud

Sanoq sistemalari haqida asosiy tushunchalar

Raqamlar tizimi - bu raqamli belgilar to'plamidan foydalangan holda raqamlarni yozish qoidalari va usullari to'plami. Raqamni tizimga yozish uchun zarur bo'lgan raqamlar soni sanoq tizimining asosi deyiladi. Tizimning asosi pastki qatordagi sonning o'ng tomoniga yoziladi: ; ; va hokazo.

Sanoq tizimlarining ikki turi mavjud:

pozitsion, raqamning har bir raqamining qiymati uning raqam yozuvidagi o'rni bilan aniqlanganda;

nopozitsion, agar raqamdagi raqamning qiymati uning raqam yozuvidagi o'rniga bog'liq bo'lmasa.

Pozitsiyali bo'lmagan sanoq sistemasiga rim tizimi misol bo'la oladi: IX, IV, XV raqamlar va boshqalar. Pozitsion sanoq sistemasiga har kuni qo‘llaniladigan o‘nlik sanoq sistemasi misol bo‘la oladi.

Pozitsion sistemadagi har qanday butun son polinom shaklida yozilishi mumkin:

bu erda S - sanoq tizimining asosi;

Berilgan sanoq sistemasida yozilgan sonning raqamlari;

n - raqamning raqamlari soni.

Misol. Raqam polinom shaklida quyidagicha yoziladi:

Sanoq sistemalarining turlari

Rim sanoq sistemasi nopozitsion sistemadir. Raqamlarni yozish uchun lotin alifbosi harflaridan foydalanadi. Bunda I harfi doim bir, V harfi besh, X oʻn, L — ellik, C yuz, D — besh yuz, M — ming va hokazo. Masalan, 264 raqami CCLXIV sifatida yozilgan. Rim sanoq sistemasida raqamlarni yozishda raqamning qiymati unga kiritilgan raqamlarning algebraik yig‘indisidir. Bunday holda, raqam yozuvidagi raqamlar, qoida tariqasida, o'z qiymatlarining kamayish tartibida keladi va bir-birining yonida uchtadan ortiq yozishga yo'l qo'yilmaydi. bir xil raqamlar. Kattaroq qiymatga ega bo'lgan raqamdan keyin kichikroq qiymatga ega raqam qo'shilsa, uning butun son qiymatiga qo'shgan hissasi manfiy bo'ladi. Ko'rsatuvchi odatiy misollar umumiy qoidalar Rim raqamlar tizimidagi raqamlarning yozuvlari jadvalda keltirilgan.

Jadval 2. Rim raqamlar tizimida raqamlarni yozish

Rim tizimining kamchiligi raqamlarni yozish uchun rasmiy qoidalarning yo'qligi va shunga mos ravishda ko'p xonali sonlar bilan arifmetik operatsiyalardir. O'zining noqulayligi va katta murakkabligi tufayli Rim sanoq tizimi hozirda haqiqatan ham qulay bo'lgan joylarda qo'llaniladi: adabiyotda (boblarni raqamlash), hujjatlarni loyihalashda (pasport seriyasi, qimmatli qog'ozlar va boshqalar), soat siferblatida dekorativ maqsadlarda. va boshqa bir qator hollarda.

O'nlik sanoq tizimi hozirda eng mashhur va qo'llaniladigan tizimdir. O'nlik sanoq sistemasining ixtiro qilinishi inson tafakkurining asosiy yutuqlaridan biridir. Busiz zamonaviy texnologiyalar deyarli mavjud bo'lmaydi, kamroq paydo bo'ladi. O'nlik sanoq sistemasining umumiy qabul qilinishi sababi umuman matematik emas. Odamlar o'nlik sanoq tizimida hisoblashga o'rganib qolgan, chunki ularning qo'llarida 10 ta barmoq bor.

O'nlik raqamlarning qadimgi tasviri (1-rasm) tasodifiy emas: har bir raqam undagi burchaklar soni bo'yicha raqamni ifodalaydi. Masalan, 0 - burchaksiz, 1 - bitta burchak, 2 - ikkita burchak va boshqalar. O'nlik sonlarning yozilishi sezilarli o'zgarishlarga duch keldi. Biz foydalanadigan shakl 16-asrda yaratilgan.

Oʻnlik sistema birinchi marta Hindistonda milodiy VI asrda paydo boʻlgan. Hind raqamlashda bo'sh joyni ko'rsatish uchun to'qqizta raqamli belgi va noldan foydalanilgan. Bizgacha etib kelgan dastlabki hind qo'lyozmalarida raqamlar teskari tartibda yozilgan - eng muhim raqam o'ng tomonda joylashgan. Ammo tez orada bunday raqamni chap tomonga joylashtirish qoidaga aylandi. Pozitsion belgilar tizimi uchun kiritilgan nol belgisiga alohida ahamiyat berildi. Hind raqamlari, shu jumladan nol, bugungi kungacha saqlanib qolgan. Yevropada 13-asr boshlarida oʻnlik arifmetikaning hind usullari keng tarqaldi. italyan matematigi Pizalik Leonardoning (Fibonachchi) ishi tufayli. Ovrupoliklar hind sanoq sistemasini arablardan olib, uni arabcha deb atashgan. Ushbu tarixiy noto'g'ri nom bugungi kungacha davom etmoqda.

O'nlik sanoq tizimi o'nta raqamdan - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 va 9-dan, shuningdek, raqamning belgisini ko'rsatish uchun "+" va "-" belgilaridan foydalanadi. butun va o'nli sonlarni ajratish uchun vergul yoki nuqta.

Kompyuterlar ikkilik sanoq sistemasidan foydalanadi, uning asosi 2 raqamidir. Bu tizimda raqamlarni yozish uchun faqat ikkita raqamdan foydalaniladi - 0 va 1. Ommabop noto‘g‘ri tushunchaga qaramasdan, ikkilik sanoq sistemasini kompyuter konstruktorlari tomonidan ixtiro qilinmagan, balki matematiklar va faylasuflar kompyuterlar paydo bo'lishidan ancha oldin, 17-19-asrlarda. Ikkilik sanoq sistemasi haqidagi birinchi munozara ispan ruhoniysi Xuan Karamuel Lobkovits (1670) tomonidan e'lon qilingan. Ushbu tizimga umumiy e'tiborni nemis matematigi Gotfrid Vilgelm Leybnitsning 1703 yilda chop etilgan maqolasi jalb qildi. Unda qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lishning ikkilik amallari tushuntirilgan. Leybnits bu tizimdan amaliy hisob-kitoblar uchun foydalanishni tavsiya etmadi, balki uning nazariy tadqiqotlar uchun ahamiyatini ta'kidladi. Vaqt o'tishi bilan ikkilik sanoq tizimi yaxshi ma'lum bo'ladi va rivojlanadi.

Kompyuter texnikasida foydalanish uchun binar tizimni tanlash elektron elementlar - kompyuter chiplarini tashkil etuvchi triggerlar faqat ikkita ish holatida bo'lishi mumkinligi bilan izohlanadi.

Ikkilik kodlash tizimidan foydalanib, siz har qanday ma'lumot va bilimlarni olishingiz mumkin. Morze kodidan foydalangan holda ma'lumotni kodlash va uzatish tamoyilini eslasak, buni tushunish oson. Telegraf operatori ushbu alifboning faqat ikkita belgisidan - nuqta va tirelardan foydalangan holda deyarli har qanday matnni uzatishi mumkin.

Ikkilik tizim kompyuter uchun qulay, lekin odam uchun noqulay: raqamlar uzun va yozish va eslash qiyin. Albatta, siz raqamni o'nlik tizimga o'tkazishingiz va uni ushbu shaklda yozishingiz mumkin, keyin uni qayta o'zgartirishingiz kerak bo'lganda, lekin bu tarjimalarning barchasi mehnatni talab qiladi. Shuning uchun ikkilik bilan bog'liq sanoq tizimlari - sakkizlik va o'n oltilik tizimlardan foydalaniladi. Ushbu tizimlarda raqamlarni yozish uchun mos ravishda 8 va 16 ta raqam kerak bo'ladi. O'n oltilik tizimda birinchi 10 ta raqam keng tarqalgan, keyin esa katta lotin harflari ishlatiladi. A o'nlik kasr soni 10 ga, o'nlik kasr soni 11 ga mos keladi va hokazo.Bu tizimlardan foydalanish bu tizimlarning istalgan birida sonni uning ikkilik yozuvidan yozishga o'tish juda oddiy ekanligi bilan izohlanadi. Quyida turli tizimlarda yozilgan raqamlar o'rtasidagi yozishmalar jadvali keltirilgan.

Jadval 3. Yozilgan raqamlarning mos kelishi turli tizimlar o'lik hisob

Raqamlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o'tkazish qoidalari

Sonlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o‘tkazish mashina arifmetikasining muhim qismidir. Keling, tarjimaning asosiy qoidalarini ko'rib chiqaylik.

1. Ikkilik sonni o‘nli kasrga o‘tkazish uchun uni sonning raqamlari ko‘paytmalaridan va mos keladigan 2 ning darajasidan tashkil topgan ko‘phad ko‘rinishida yozish va uni quyidagi qoida bo‘yicha hisoblash kerak. o'nlik arifmetika:

Tarjima qilishda ikkita kuchlar jadvalidan foydalanish qulay:

Jadval 4. 2-raqamning vakolatlari

Misol. Sonni o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazing.

2. Sakkizlik sonni oʻnlik kasrga aylantirish uchun uni son raqamlari koʻpaytmalaridan va 8 sonining mos kuchidan tashkil topgan koʻphad sifatida yozib, oʻnlik kasr qoidalariga muvofiq hisoblash kerak. arifmetik:

Tarjima qilishda sakkizta kuchlar jadvalidan foydalanish qulay:

Jadval 5. 8 sonining vakolatlari

Odamlar hisoblashni uzoq vaqt oldin, tosh asrida o'rganishgan. Dastlab, odamlar oldida bitta yoki undan ko'p narsa borligini farqlashdi, bir muncha vaqt o'tgach, ikkita ob'ektni bildiruvchi so'z paydo bo'ldi. Polineziya va Avstraliyaning ba'zi qabilalari yaqin vaqtgacha faqat ikkita raqamga ega edi: "bir, ikkita" va boshqa barcha raqamlar bu ikki raqamning kombinatsiyasi sifatida nomlangan. Masalan, to'rtta raqam: ikki, ikki, uch: bir, ikki, olti: ikki, ikki, ikki. Arxeologlar tomonidan ibtidoiy odamlar yashagan joylarda topilgan topilmalar shuni ko'rsatadiki, dastlab ob'ektlar soni teng miqdordagi ba'zi belgilar: chiziqlar, chiziqlar, nuqtalar bilan ko'rsatilgan. Raqamlarni yozishning bu tizimi UNIT (UNARY) deb ataladi, chunki. Undagi har qanday raqam bir xil belgini takrorlash orqali hosil bo'ladi.

Barmoqlar birinchi hisoblash qurilmasi, chunki barmoqlarda ob'ektlar yoki yillar soni ko'rsatilishi mumkin. Shunday qilib, birlik sanoq tizimining aks-sadolari bugungi kunda ham topilgan. Masalan, harbiy maktab kursanti qaysi kursda tahsil olayotganini bilish uchun uning yengiga tikilgan chiziqlar sonini hisoblash kerak. Bolalar ham barmoqlarida yoshini ko'rsatib, ushbu tizimdan foydalanadilar. Yagona tizim eng ko'p emas qulay usul raqamlarni yozib olish. Katta miqdorlarni shu tarzda yozib olish zerikarli va yozuvlarning o'zi juda uzun. Vaqt o'tishi bilan, boshqa, ko'proq iqtisodiy tizimlar Hisoblash.

Miloddan avvalgi uchinchi ming yillikda qadimgi papirus va chizmalarda bizga etib kelgan eng qadimgi raqamlardan biri Misrda paydo bo'lgan - MISR. Raqamlarni yozish uchun misrliklar maxsus belgilar - IEROGLİFLARdan foydalanganlar. Ierogliflar ham yozish uchun, ham asosiy belgilarni ko'rsatish uchun ishlatilgan murakkab ko'rinish, va vaqt o'tishi bilan ular oddiyroq narsani topdilar..

Boshqa barcha raqamlar ma'lum ierogliflarni qo'shish orqali tuzilgan va umumiy raqam barcha piktogrammalarning qiymatlari yig'indisi bilan aniqlangan. Misrliklar bir-biriga son qoʻshish, yaʼni QOʻSHIMCHI (ieroglifning mavjud ieroglif raqamiga ikkinchi aʼzo qoʻshish orqali) mashq qilganlar. Bundan tashqari, raqamning o'lchami uni tashkil etuvchi belgilar papirusda, ya'ni NONPOSISIONAL SONLAR TIZIMIDA joylashish tartibiga bog'liq emas edi. (Ular yozganlari va o'qiganlaridek, ketma-ket). Belgilar yozilishi mumkin: yuqoridan pastgacha, o'ngdan chapga yoki aralashtiriladi. Agar raqam kamaygan bo'lsa, tezda hisoblashda tegishli belgi chizilgan yoki o'chirilgan. Masalan, X L D M ni ifodalaydi: Ikki ming, Ikki yuz, besh o'nlik va uch birlik.

Misrliklar orasida 2 raqami va uning vakolatlari alohida rol o'ynagan. Ular sonlarni ketma-ket ikkiga ko'paytirish va qo'shish yo'li bilan ko'paytirish va bo'linishni amalga oshirdilar. Bunday hisob-kitoblar juda og'ir ko'rinardi. Misol uchun, 15 ni 24 ga ko'paytirish uchun quyidagi jadval tuzildi: Bu erda birni ikki barobarga oshirish natijalari chap ustunga, 24 raqami esa o'ng ustunga yoziladi chap ustundagi raqamlardan ko'paytiruvchi (1 * 2) 48 4(2*2) 96 8(4*2) (8*2) =15 dan keyin o'ng ustundagi raqamlar =360 ga qo'shildi

Bo'lish paytida misrliklar o'ng ustundagi bo'luvchini bir necha marta ikki baravar ko'paytirdilar va shunga mos ravishda chap ustundagi 1 ni, o'ng ustundagi raqamlar dividenddan ko'p bo'lmaguncha. Keyinchalik, ular o'ng ustundagi raqamlardan dividend yaratishga harakat qilishdi va agar bu muvaffaqiyatli bo'lsa, chap ustundagi mos keladigan raqamlar yig'indisi kerakli ko'rsatkichni berdi. Agar dividend bo'luvchiga teng bo'linmasa, u holda qism va qoldiq olinadi. Masalan, 541 ni 12 ga bo'lish uchun siz jadval yaratishingiz kerak edi:

Raqamlar ro'yxatida qaysi o'rinni egallashiga qarab raqamlarga turli qiymatlar berish g'oyasi birinchi marta miloddan avvalgi III ming yillikda QADIMGI BABILONDA paydo bo'lgan. QADIMGI BABILONning ko'plab loy lavhalari bugungi kungacha saqlanib qolgan, ular ustida eng qiyin vazifalar, masalan, ildizlarni hisoblash, piramida hajmini topish va hokazo. Raqamlarni yozish uchun bobilliklar faqat ikkita belgidan foydalanganlar: vertikal xanjar (birlik) va gorizontal xanjar (o'nlab). 1 dan 59 gacha bo'lgan barcha raqamlar odatdagi ieroglif tizimidagi kabi ushbu belgilar yordamida yozilgan. Misol:

Alifbo tartibida raqamlash janubiy va sharqiy slavyan xalqlari tomonidan ham qo'llanilgan. Ba'zi slavyan xalqlari orasida harflarning raqamli qiymatlari tartibda o'rnatildi Slavyan alifbosi, boshqalar (shu jumladan ruslar) uchun raqamlarning rolini slavyan alifbosining barcha harflari emas, balki faqat yunon alifbosida mavjud bo'lganlar o'ynagan. Raqamni ko'rsatadigan harf ustiga maxsus "TITLO" belgisi qo'yilgan. Shu bilan birga, harflarning raqamli qiymatlari yunon alifbosidagi harflar bilan bir xil tartibda ortdi. (Slavyan alifbosi harflarining tartibi biroz boshqacha edi) Janubiy va sharqiy slavyan xalqlari ham alifbo tartibida raqamlashdan foydalanganlar. Ba'zi slavyan xalqlari orasida harflarning raqamli qiymatlari slavyan alifbosi tartibida o'rnatildi, boshqalarda (shu jumladan ruslar) raqamlar rolini slavyan alifbosining barcha harflari emas, balki faqat o'shalar o'ynagan. yunon alifbosida mavjud bo'lgan. Raqamni ko'rsatadigan harfning ustiga maxsus "TITLO" belgisi qo'yilgan. Shu bilan birga, harflarning raqamli qiymatlari yunon alifbosidagi harflar bilan bir xil tartibda ortdi. (Slavyan alifbosi harflarining tartibi biroz boshqacha edi) Rossiyada slavyan raqamlash XVII asr oxirigacha saqlanib qolgan. Buyuk Pyotr davrida ARAB NUMERASI deb ataladigan narsa ustunlik qilgan va faqat liturgik kitoblarda saqlanib qolgan, Rossiyada slavyan raqamlari XVII asrning oxirigacha saqlanib qolgan. Buyuk Pyotr davrida ARAB NUMERATION deb ataladigan narsa ustunlik qilgan va faqat liturgik kitoblarda saqlanib qolgan.

Ba'zi harflar raqam sifatida ishlatiladi. I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Raqamning ma'nosi uning raqamdagi o'rniga bog'liq emas. masalan, XXX sonida X raqami uch marta paydo bo'ladi va har bir holatda u bir xil qiymat 10 ni bildiradi va XXX yig'indisi 30 ga teng. Rim raqamlar tizimidagi raqamning qiymati yig'indisi yoki yig'indisi sifatida aniqlanadi. raqamlar farqi. Agar kichikroq raqam kattasining chap tomonida bo'lsa, u o'ngda bo'lsa, u ayiriladi; Masalan: 1998=MCMXCVIII=1000+()+()

..

Ieroglif va alifbo sanoq sistemalarining bir muhim kamchiligi bor - ularda arifmetik amallarni bajarish juda qiyin bo'lgan pozitsion sanoq sistemasida raqamning miqdoriy qiymati uning sondagi o'rniga bog'liq. Raqamning o'rni raqam deb ataladi. Raqamning raqami o'ngdan chapga ortadi. Hozirgi kunda eng keng tarqalganlari o'nlik, ikkilik, sakkizlik va o'n oltilik pozitsion sanoq sistemalaridir. Pozitsion sanoq sistemasida tizimning asosi u ishlatadigan raqamlar soniga teng bo'lib, qo'shni raqamlarning raqamlari qiymatlari necha marta farq qilishini aniqlaydi. Har qanday pozitsion sanoq tizimining asosiy afzalliklari arifmetik amallarni bajarish qulayligi va har qanday raqamlarni yozish uchun zarur bo'lgan belgilar sonining cheklanganligidir.

Frantsuz matematigi Pyer Simon Laplas (Pyer Simon Laplas) pozitsion sanoq sistemasining “OCHILIShini” shu so‘zlar bilan baholagan: “Barcha raqamlarni bir necha belgilar bilan ifodalash, ularga shakl va ma’no berish g‘oyasi. Bu joy shunchalik soddaki, aynan shu soddaligi tufayli uning naqadar hayratlanarli ekanligini baholash qiyin..."

Uning oʻtmishda keng qoʻllanilganligini koʻplab tillardagi raqamlar nomlari, shuningdek, vaqtni, pulni hisoblash usullari, bir qator mamlakatlarda saqlanib qolgan ayrim oʻlchov birliklari oʻrtasidagi munosabat aniq koʻrsatib turibdi. Bir yil 12 oydan, yarim kun esa 12 soatdan iborat. Rus tilida hisoblash ko'pincha o'nlab, bir oz kamroq yalpi (144 = 12 2) bilan amalga oshiriladi, lekin eski kunlarda 1728 = 12 3 so'zi ham ishlatilgan. Ingliz tili Maxsus (umumiy qoida bo'yicha shakllanmagan) o'n bir (11) va o'n ikki (12) so'zlari mavjud. Ingliz funti 12 shillingga bo'lingan.

595 yilda (allaqachon miloddan avvalgi) bugungi kunda hammamizga tanish bo'lgan o'nlik sanoq tizimi birinchi marta Hindistonda paydo bo'lgan. (Hindlarga rahmat, usiz bugun biz nima qilardik?) Mashhur fors matematigi Al-Xorazmiy o‘quv qo‘llanmasini nashr ettirib, unda hindlarning o‘nlik sanoq sistemasi asoslarini bayon qilgan. Lotin tiliga tarjima qilingandan va Leonardo Pisano (Fibonachchi) kitobi nashr etilgandan so'ng, bu tizim evropaliklar uchun mavjud bo'ldi.

Hozirgi vaqtda bu kompyuter fanlari, kompyuter texnologiyalari va tegishli sohalarda eng ko'p qo'llaniladigan sanoq tizimidir. Butun va kasr qismlarini ajratish uchun ikkita raqam - 0 va 1, shuningdek, "+" va "-" belgilaridan sonning belgisini va vergul (nuqta) dan foydalanadi.

Raqam - biror narsaning miqdoriy xarakteristikasi. Avvaliga raqamlar tire bilan ko'rsatilgan. Ammo bu noqulay: chiziqsiz qog'ozga ikki yuz ellik besh qatorni aniq yozishga harakat qiling. Bo'ldi shu! Yaxshiyamki, Hindiston atigi o'nta raqamdan foydalangan holda istalgan natural sonni yozish imkonini beruvchi o'nlik sanoq sistemasini o'ylab topdi!

Raqam nimadan iborat?

255 (ikki yuz ellik besh) raqamini yozish uchun sizga faqat ikkita raqam kerak: "2" va "5". "5" raqami ikki marta ishlatiladi. Raqamdagi birinchi o'ng raqam birliklar sonini (besh qator), ikkinchisi - o'nlar sonini (besh karra o'n qator), uchinchisi - yuzlar sonini (ikki marta yuz qator), to'rtinchisi - minglar soni va boshqalar.

255 (ikki yuz ellik besh)

Raqamlar shunchaki raqamlardan iborat emas. Shuningdek, masalan, kasr qismini ajratish uchun minus yoki vergul belgilaridan foydalaniladi.

Butun va o'nli kasrlarni o'qish va talaffuz qilish

Yigirmadan keyin raqamlar qo'shma nomga ega.

Raqam mos keladigan sinf bilan uchta raqamda talaffuz qilinadi. Juda katta raqamlarni aytish mumkin.

256 (ikki yuz ellik olti) 256 000 (ikki yuz ellik olti) ming) 256 256 (Ikki yuz ellik olti ming ikki yuz ellik olti) 2 256 256 (Ikki million ikki yuz ellik olti ming ikki yuz ellik olti)

O‘nli kasrlarda talaffuz qilinadi

1. sondan kasrgacha
2. "butun" yoki "butun" so'zi ("butun birlik" degan ma'noni anglatadi),
3. kasrdan keyingi raqam,
4. eng o'ngdagi raqamning raqami ("birning bir qismi" degan ma'noni anglatadi).

Cheksiz davriy o'nli kasrlarda u talaffuz qilinadi

1. sondan kasrgacha
2. "butun" yoki "butun" so'zi,
3. nuqtadan oldingi kasrdan keyingi raqam,
4. davrdan oldingi eng o'ng raqamning raqami,
5. "va" so'zi
6. davr raqami,
7. "davrda" so'zi

Rim raqamlarida raqamlarning klassik yozilishi

Arab raqamlaridan oldin rim raqamlari ishlatilgan. Satrlarni yozishda hisobni yo'qotmaslik uchun birinchi navbatda har beshinchi, so'ngra har o'ninchi qator ajratilgan. Vaqt o'tishi bilan "| | | | V | | | | X | | | | V | | | | X | | | | V |» “XXVI” ga kamaydi.

Yuqori qiymatga ega bo'lgan rim raqamlari pastroq qiymatga ega bo'lganlarning chap tomonida raqamlangan. Ularning qiymatlari qo'shiladi (VI = 5 + 1 = 6). "V", "L", "D" raqamlari takrorlanmaydi.

Istisnolar: 19-asrdan boshlab "IV", "IX", "XL", "XC", "CD", "CM" kombinatsiyalari. Bitta raqam to'rt marta takrorlanmasligi uchun (noto'g'ri: "IIII"), ularda kattaroq qiymatga ega bo'lgan raqam kichikroq raqamning o'ng tomonida va kattaroq qiymat kichikroq ayiriladi (IV = 5 - 1 = 4).

Raqamlar nima (maktab o'quv dasturi)

Raqamlar tizimi (SS) - bu raqamlarni bir ma'noda ifodalash uchun ishlatiladigan raqamli belgilar va ularni yozib olish qoidalari. Pozitsion va nopozitsion sanoq sistemalari mavjud.

Pozitsiyali bo'lmagan sanoq sistemalarida har bir raqamning ma'nosi uning sondagi o'rniga bog'liq emas. Hozirgi vaqtda nopozitsion sanoq sistemalari kamdan-kam qo'llaniladi va asosan raqamlashda qo'llaniladi.

Nopozitsion sanoq sistemasi Rim tizimidir. Quyidagi raqamlar ishlatiladi:

o'nlik sonlar: 1 5 10 50 100 500 1000 va boshqalar;

Rim raqamlari: I V X L C D M va boshqalar.

Rim sanoq sistemasida o'nlik 32 soni quyidagicha ifodalanadi:

XXXII = X+X+X+I+I=32,

ya'ni yonma-yon turgan bir nechta bir xil sonlar umumlashtiriladi. Agar bir-birining yonida ikki xil raqam bo'lsa, ular, masalan, qo'shilishi yoki ayirilishi mumkin

XXVI = X + X + V + I = 26 va IX = X - I = 9.

Arifmetik amallar pozitsiyali bo'lmagan tizimlarda raqamlar bilan ishlash qiyin.

Kompyuterlarda asosan pozitsion sanoq tizimlari qo'llaniladi, bunda har bir raqamning qiymati uning sondagi o'rniga qat'iy bog'liqdir.

Sanoq tizimining asosi ma'lum pozitsion sanoq sistemasida qo'llaniladigan turli xil raqamlar sonidir. Har bir inson bolaligidanoq o'n raqamdan foydalanadigan o'nlik sanoq tizimini biladi.

O'nlik sanoq sistemasi yagona pozitsion tizim emas. Har qanday butun sonli pozitsion sanoq sistemalari mumkin. Sanoq sistemalariga misollar jadvalda keltirilgan.

Kompyuter texnologiyasini o'rganishda ikkilik, sakkizlik va o'n oltilik sanoq tizimlari alohida qiziqish uyg'otadi (4.1-jadval).

4.1-jadval

Umuman olganda, qandaydir asosga asoslangan pozitsion sanoq sistemasida son

X=a n– 1 a n- 2 ... a 1 a 0 a - 1 a - 2 …a–m

X=a n– 1 b n –1 +a n- 2 b n –2 +…+a 1 b 1 +a 0 b 0 +a –1 b –1 … +a –m b –m .

Raqam yozish b-ariy sanoq sistemasi deyiladi b-raqamning kodi. 19.375 kabi oʻnlik son uchun ikkilik, sakkizlik va oʻn oltilik kodlar quyidagicha:

19,375 (10) =10011,011 (2) =23,3 (8) =13,6 (16) .

Raqamga hamroh bo'lgan o'nlik ko'rsatkich sanoq tizimining asosini bildiradi. Sanoq tizimining asosi kontekstdan ma'lum bo'lsa, indeks o'tkazib yuboriladi.

Polinomlar ko'rinishida allaqachon ko'rib chiqilgan o'nlik soni 19.375 quyidagicha yozilishi mumkin:

19,375 (10) =10011,011 (2) =1×2 4 +0×2 3 +0×2 2 +1×2 1 +1×2 0 +0×2 –1 +1×2 –2 +1 ×2 –3 =

16+0+0+2+1+0+1/4+1/8.

19,375 (10) =23,3 (8) =2×8 1 +3×8 0 +3×8 –1 =16+3+3/8.

19,375 (10) =13,6 (16) =1×16 1 +3×16 0 +6×16 –1 =16+3+6/16.

4.2-jadval – Turli pozitsion sanoq sistemalarida raqamlar kodlari

O‘nlik bo‘lmagan sanoq sistemalarida yozilgan sonlar o‘nlik sanoq sistemasidagidan boshqacha talaffuz qilinishi kerak. Masalan, 23.3 sakkizlik raqamini quyidagicha o'qish tavsiya etiladi: "ikki-uch-vergul-uch", o'nlik kasrning odatiy o'qilishidan farqli o'laroq, 23,3, ya'ni yigirma uch butun va o'ndan uch."

Kompyuterlar uchun eng yaxshi sanoq tizimi texnik amalga oshirishning soddaligi, raqamlarni kodlashning eng yuqori shovqin immuniteti, minimal uskunalar narxi, arifmetik operatsiyalarning soddaligi, eng yuqori tezlik va rasmiy raqamdan foydalanish imkoniyati tufayli ikkilik bo'lib chiqdi. hisoblash qurilmalarini sintez qilish va tahlil qilish uchun matematik apparatlar. O'nlik sanoq sistemasi foydalanish qulayligi bo'yicha odamlar uchun qulayroq, lekin boshqa talablar bo'yicha ikkilik sistemadan ancha past. Misol uchun, 5839 raqamini o'nlik kasr tizimida yodlash uchun asbob-uskunalar narxini hisoblaymiz. Bizga har biriga o'nta barqaror holatdan to'rtta kasr kerak, jami 40 ta barqaror holat. 1 0110 1100 1111 sifatida ifodalangan bir xil 5839 soni uchun ikkilik sanoq sistemasida har birida ikkita barqaror holat uchun 13 ta raqam bo'lishi kifoya - jami 26 ta barqaror holat, bu taxminan 1,5 marta kam.

Kompyuter texnikasidagi sakkizlik va o‘n oltilik sanoq sistemalari yordamchi ma’noga ega. Bu tizimlarda raqamlarni yozish ikkilik sistemaga qaraganda ixchamroq va odamlar uchun qulayroqdir.

Birinchi va ikkinchi avlod mashinalarida sakkizlik tizim eng keng tarqalgan. Bunga hech qanday yangi belgilarga murojaat qilmasdan o'nlik raqamlardan foydalanish mumkinligi yordam berdi, bu o'n oltilik tizimdan foydalanganda amalga oshirilmaydi.

Uchinchi va keyingi avlod mashinalarida sakkizlik o'rniga o'n oltilik tizim qo'llanila boshlandi, chunki bu raqamli va buyruq ma'lumotlarining formatlarini birlashtiradi va qisqaroq yozuvlarni beradi.

Uchinchi va keyingi avlod kompyuterlarida axborotning asosiy birligi sifatida bayt olinadi. Bir bayt 8 bitga teng, ya'ni sakkiz ikkilik raqamda tasvirlangan. O'n oltilik tizimda bir baytda mavjud bo'lgan ma'lumotni yozib olish uchun 2 ta belgi kerak bo'ladi, sakkizlik tizimda esa 3 ta, sakkizlik sonning eng muhim biti kam ishlatiladi.

Filologiya fanlari doktori Natalya Chernikova

Raqam tushunchasi qadimgi davrlarda, inson ob'ektlarni hisoblashni o'rganganida paydo bo'lgan: ikkita daraxt, etti buqa, beshta baliq. Avvaliga ular barmoqlari bilan sanashdi. So'zlashuv nutqida biz hali ham ba'zan eshitamiz: "Menga beshta bering!", ya'ni menga qo'lingni bering. Va ular aytishdan oldin: "Menga qo'l bering!" Paster- bu qo'l va qo'lda beshta barmoq bor. Bir paytlar beshta so'zi o'ziga xos ma'noga ega edi - metakarpusning besh barmog'i, ya'ni qo'l.

Keyinchalik, barmoqlar o'rniga, ular hisoblash uchun tayoqchalardagi tirqishlardan foydalanishni boshladilar. Va yozuv paydo bo'lganda, harflar raqamlarni ifodalash uchun ishlatila boshlandi. Masalan, slavyanlar orasida A harfi "bir" raqamini (B raqamli qiymatga ega emas), B - ikki, G - uch, D - to'rt, E - besh degan ma'noni anglatadi.

Asta-sekin, odamlar hisoblanishi mumkin bo'lgan narsalar va shaxslardan qat'i nazar, raqamlarni bilishni boshladilar: oddiygina "ikki" raqami yoki "etti" soni. Shu munosabat bilan, slavyanlar so'z bor edi raqam. Rus tilida "hisob, kattalik, miqdor" ma'nosida XI asrdan boshlab qo'llanila boshlandi. Ota-bobolarimiz bu so'zni ishlatgan raqam va sana, yilni ko'rsatish uchun. 13-asrdan boshlab u oʻlpon, soliq maʼnolarini ham anglata boshladi.

Qadimgi kunlarda, kitobda rus tilida, so'z bilan birga raqam aylanma ot raqam, shuningdek, sifatdosh toza. 16-asrda fe'l paydo bo'ldi hisoblash- "hisoblash".

15-asrning ikkinchi yarmida Yevropa mamlakatlarida raqamlarni bildiruvchi maxsus belgilar keng tarqaldi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Ular hindular tomonidan ixtiro qilingan va ular Evropa arablar tufayli, shuning uchun nom oldi Arab raqamlari.

Mamlakatimizda arab raqamlari Buyuk Pyotr davrida paydo bo'lgan. Shu bilan birga, bu so'z rus tiliga kirdi raqam. Asli arabcha, u bizga Yevropa tillaridan ham kelgan. Arablar bu so'zning asl ma'nosiga ega raqam- bu nol, bo'sh joy. Bu ma'noda ot raqam ko'plab Evropa tillariga, shu jumladan rus tiliga kirdi. 18-asrning oʻrtalaridan boshlab soʻz raqam yangi ma'no - son belgisiga ega bo'ldi.

Rus tilidagi raqamlar to'plami chaqirildi raqam(eski imloda tsyfir). Hisoblashni o'rganayotgan bolalar: Men raqamlarni o'rganyapman, Men raqamlarni yozyapman. (O'qituvchining ismini eslang Tsifirkin Beparvo Mitrofanushkani o'rgatgan Denis Ivanovich Fonvizinning "Kichik" komediyasidan raqamlar, ya'ni arifmetika.) I Pyotr davrida Rossiya ochildi raqamli maktablar- o'g'il bolalar uchun boshlang'ich davlat umumiy ta'lim muassasalari. Boshqa fanlardan tashqari, bolalar ham o'qitilgan raqamli fan- arifmetika, matematika.

Shunday qilib, so'zlar raqam Va raqam ma’nosi va kelib chiqishi bilan farqlanadi. Raqam- miqdorni ifodalovchi hisoblash birligi ( bir uy, ikkita uy, uchta uy va hokazo.). Raqam- raqamning qiymatini bildiruvchi belgi (belgi). Raqamlarni yozib olish uchun arab raqamlari - 1, 2, 3... 9, 0, ba'zi hollarda esa rim raqamlari - I, II, III, IV, V va hokazolardan foydalanamiz.

Bu kunlar so'zlari raqam Va raqam boshqa maʼnolarda ham qoʻllanadi. Misol uchun, biz "Bugun qaysi sana?" Deganimizda, biz oyning kunini nazarda tutamiz. Kombinatsiyalar" shu jumladan», « raqamdan kimdir", " orasida kimdir" kompozitsiyani, odamlar yoki narsalar to'plamini bildiradi. Va agar biz biror narsani isbotlasak qo'lda raqamlar bilan, keyin biz raqamli ko'rsatkichlardan foydalanishimiz kerak. Bir so'z bilan aytganda raqam pul summasi ham deyiladi ( daromad ko'rsatkichi, to'lov ko'rsatkichi).

So'zlashuv nutqida so'zlar raqam Va raqam ko'pincha bir-birini almashtiradi. Masalan, sonni faqat miqdor emas, balki uni ifodalovchi belgi ham deymiz. Raqamli jihatdan juda katta miqdorlar haqida gapiriladi astronomik raqamlar yoki astronomik raqamlar.

So'z miqdori 11-asrda rus tilida paydo bo'lgan. U qadimgi cherkov slavyan tilidan kelib chiqqan va so'zdan tuzilgan kolik- "Necha dona". Ism miqdori sanash va o‘lchash mumkin bo‘lgan hamma narsaga nisbatan qo‘llaniladi. Bu odamlar yoki narsalar bo'lishi mumkin ( mehmonlar soni, kitoblar soni), shuningdek, biz hisoblamaydigan, lekin o'lchaydigan moddaning miqdori ( suv miqdori, qum miqdori).