Amaliy ish: Funksiyalar grafiklarini o`zgartirish. Amaliy ish: Funktsiyalar grafiklarini o'zgartirish Hosilaning fizik ma'nosi

$y = f(x)$ funktsiyaning berilgan nuqtadagi hosilasi $x_0$ funktsiya o'sishining uning argumentining mos keladigan o'sishiga nisbati chegarasi, agar u nolga moyil bo'lsa:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Differentsiatsiya - hosilani topish operatsiyasi.

Ayrim elementar funksiyalarning hosilalari jadvali

Farqlashning asosiy qoidalari

1. Yig‘indining hosilasi (farq) hosilalari yig‘indisiga (farqiga) teng.

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ funksiyaning hosilasini toping.

Yig'indining hosilasi (farq) hosilalarning yig'indisiga (farqiga) teng.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Mahsulotning hosilasi

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

$f(x)=4x cosx$ hosilasini toping

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Bo‘lakning hosilasi

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ hosilasini toping

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Hosil murakkab funktsiya tashqi funktsiyaning hosilasi va ichki funktsiya hosilasining ko'paytmasiga teng

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Hosilning fizik ma'nosi

Agar moddiy nuqta to'g'ri chiziqli harakat qilsa va uning koordinatasi $x(t)$ qonuniga ko'ra vaqtga qarab o'zgarsa, u holda bu nuqtaning oniy tezligi funksiya hosilasiga teng bo'ladi.

Nuqta $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$ qonuniga muvofiq koordinata chizig‘i bo‘ylab harakatlanadi, bu yerda $x(t)$ $t$ vaqtdagi koordinatadir. Vaqtning qaysi nuqtasida nuqta tezligi $12$ ga teng bo'ladi?

1. Tezlik $x(t)$ hosilasidir, shuning uchun berilgan funksiyaning hosilasini topamiz.

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. $t$ vaqtning qaysi nuqtasida tezlik $12$ ga teng bo'lganini topish uchun tenglama tuzamiz va yechamiz:

Hosilning geometrik ma'nosi

Eslatib o'tamiz, to'g'ri chiziq tenglamasi emas o'qlarga parallel koordinatalar, $y = kx + b$ ko'rinishida yozilishi mumkin, bu erda $k$ - chiziqning qiyaligi. $k$ koeffitsienti to'g'ri chiziq bilan $Ox$ o'qining musbat yo'nalishi orasidagi qiyalik burchagi tangensiga teng.

$f(x)$ funksiyaning $x_0$ nuqtadagi hosilasi ushbu nuqtadagi grafaga teginishning $k$ qiyaligiga teng:

Shunday qilib, biz umumiy tenglikni yaratishimiz mumkin:

$f"(x_0) = k = tana$

Rasmda $f(x)$ funksiyasiga teginish ortib boradi, shuning uchun $k > 0$ koeffitsienti. $k > 0$ boʻlgani uchun $f"(x_0) = tana > 0$. Tangens va $Ox$ musbat yoʻnalishi orasidagi $a$ burchak oʻtkirdir.

Rasmda $f(x)$ funksiyasiga teginish kamayadi, shuning uchun $k koeffitsienti< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Rasmda $f(x)$ funksiyasining tangensi $Ox$ o'qiga parallel, shuning uchun koeffitsient $k = 0$, demak, $f"(x_0) = tan a = 0$. $x_0$ nuqtasi, bunda $f "(x_0) = 0$, chaqiriladi ekstremum.

Rasmda $y=f(x)$ funksiyaning grafigi va $x_0$ abscissasi bilan nuqtada chizilgan ushbu grafikga teginish ko'rsatilgan. $f(x)$ funksiyasi hosilasining $x_0$ nuqtasidagi qiymatini toping.

Grafikning tangensi ortadi, shuning uchun $f"(x_0) = tan a > 0$

$f"(x_0)$ ni topish uchun $Ox$ o'qining tangensi va musbat yo'nalishi orasidagi qiyalik burchagi tangensini topamiz. Buning uchun $ABC$ uchburchakka teginish quramiz.

$BAC$ burchak tangensini topamiz. (To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Javob: $0,25$

Losmalar ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyalar oraliqlarini topish uchun ham ishlatiladi:

Agar intervalda $f"(x) > 0$ bo'lsa, u holda $f(x)$ funksiyasi bu oraliqda ortib bormoqda.

Agar $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Rasmda $y = f(x)$ funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. $x_1,x_2,x_3...x_7$ nuqtalar orasidan funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lgan nuqtalarni toping.

Bunga javoban ushbu nuqtalar sonini yozing.

y=3x+2 to'g'ri chiziq y=-12x^2+bx-10 funksiya grafigiga teginish. Tangens nuqtaning abssissasi noldan kichik ekanligini hisobga olib, b ni toping.

Yechim

y=-12x^2+bx-10 funksiya grafigidagi nuqtaning abssissasi x_0 bo'lsin, u orqali bu grafikning tangensi o'tadi.

X_0 nuqtadagi hosilaning qiymati tangens qiyaligiga teng, ya'ni y"(x_0)=-24x_0+b=3. Boshqa tomondan, teginish nuqtasi bir vaqtning o'zida ikkala grafigiga ham tegishli. funksiya va tangens, ya'ni -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 tenglamalar sistemasini olamiz \begin(holatlar) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end (holatlar)

Ushbu tizimni yechishda biz x_0^2=1 ni olamiz, ya'ni x_0=-1 yoki x_0=1. Abscissa shartiga ko'ra, teginish nuqtalari noldan kichik, shuning uchun x_0=-1, keyin b=3+24x_0=-21.

Javob

Vaziyat

Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan (u uchta to‘g‘ri segmentdan tashkil topgan siniq chiziq). Rasmdan foydalanib, F(9)-F(5) hisoblang, bunda F(x) f(x) funksiyaning antiderivativlaridan biridir.

Yechim

Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra, F(9)-F(5) farqi, bunda F(x) f(x) funksiyaning antiderivativlaridan biri bo'lib, cheklangan egri chiziqli trapetsiya maydoniga teng. y=f(x) funksiya grafigi bo‘yicha y=0 , x=9 va x=5 to‘g‘ri chiziqlar. Grafikdan biz ko'rsatilgan egri trapezoidning asoslari 4 va 3 ga teng va balandligi 3 ga teng trapetsiya ekanligini aniqlaymiz.

Uning maydoni teng \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Javob

Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.

Vaziyat

Rasmda (-4; 10) oraliqda aniqlangan y=f"(x) - f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning kamayuvchi oraliqlarini toping. Javobingizda, ularning eng kattasining uzunligini ko'rsating.

Yechim

Ma'lumki, f(x) funksiya har bir nuqtasida f"(x) hosilasi noldan kichik bo'lgan oraliqlarda kamayadi. Ulardan eng kattasining uzunligini topish zarurligini hisobga olsak, shunday uchta interval mavjud. figuradan tabiiy ravishda farqlanadi: (-4; -2) ; (0; 3);

Ulardan eng kattasining uzunligi - (5; 9) 4 ga teng.

Javob

Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.

Vaziyat

Rasmda (-8; 7) oraliqda aniqlangan y=f"(x) - f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning ga tegishli maksimal nuqtalari sonini toping. interval [-6];

Yechim

Grafik f(x) funksiyaning f"(x) hosilasi [ oraliqdan to'liq bir nuqtada (-5 va -4 oralig'ida) ishorani plyusdan minusga (bunday nuqtalarda maksimal bo'ladi) o'zgartirishini ko'rsatadi. -6; -2 ] Demak, [-6] oraliqda aynan bitta maksimal nuqta bor.

Javob

Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.

Vaziyat

Rasmda (-2; 8) oraliqda aniqlangan y=f(x) funksiyaning grafigi keltirilgan. f(x) funksiyaning hosilasi 0 ga teng nuqtalar sonini aniqlang.

Yechim

Nuqtadagi hosilaning nolga tengligi bu nuqtada chizilgan funksiya grafigiga teginish Ox o'qiga parallel ekanligini bildiradi. Shuning uchun funksiya grafigiga tegish Ox o'qiga parallel bo'lgan nuqtalarni topamiz. Ushbu jadvalda bunday nuqtalar ekstremal nuqtalardir (maksimal yoki minimal ball). Ko'rib turganingizdek, 5 ta ekstremal nuqta mavjud.

Javob

Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.

Vaziyat

y=-3x+4 to'g'ri chiziq y=-x^2+5x-7 funksiya grafigiga teginishga parallel. Tangens nuqtaning abtsissasini toping.

Yechim

y=-x^2+5x-7 funksiya grafigiga ixtiyoriy x_0 nuqtadagi to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsienti y"(x_0) ga teng. Lekin y"=-2x+5, ya'ni y" (x_0)=-2x_0+5 shartda ko'rsatilgan burchak koeffitsienti -3 ga teng Parallel chiziqlar bir xil burchak koeffitsientlariga ega bo'ladi, shuning uchun biz = -2x_0 +5=-3.

Biz olamiz: x_0 = 4.

Javob

Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.

Vaziyat

Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan va abtsissada -6, -1, 1, 4 nuqtalar belgilangan. Ushbu nuqtalarning qaysi birida hosila eng kichikdir? Iltimos, javobingizda ushbu nuqtani ko'rsating.

Sergey Nikiforov

Agar funktsiyaning hosilasi oraliqda doimiy ishorali bo'lsa va funksiyaning o'zi uning chegaralarida uzluksiz bo'lsa, u holda chegara nuqtalari ortib boruvchi va kamayuvchi oraliqlarga qo'shiladi, bu esa o'sish va kamayuvchi funktsiyalarning ta'rifiga to'liq mos keladi.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Salom. Qanday qilib (qaysi asosda) hosila nolga teng bo'lgan nuqtada funktsiya kuchayadi deb aytish mumkin. Sabablarini keltiring. Aks holda, bu kimningdir injiqligi. Qaysi teorema bilan? Va shuningdek, dalil. Rahmat.

Qo'llab-quvvatlash xizmati

Bir nuqtadagi hosilaning qiymati oraliq bo'yicha funktsiyaning ortishi bilan bevosita bog'liq emas. Masalan, funktsiyalarni ko'rib chiqing - ularning barchasi intervalgacha ortib bormoqda

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Agar funktsiya (a;b) oralig'ida ortib borayotgan bo'lsa va a va b nuqtalarda aniqlangan va uzluksiz bo'lsa, u oraliqda ortib bormoqda. Bular. x=2 nuqta bu intervalga kiritilgan.

Garchi, qoida tariqasida, o'sish va pasayish segmentda emas, balki intervalda ko'rib chiqiladi.

Lekin x=2 nuqtaning o'zida funktsiya mahalliy minimumga ega. Va bolalarga o'sish (kamayish) nuqtalarini qidirganda, biz mahalliy ekstremum nuqtalarini hisoblamaymiz, balki o'sish (kamayish) oraliqlariga kirishimizni qanday tushuntirish kerak.

Yagona davlat imtihonining birinchi qismi " o'rta guruh bolalar bog'chasi", keyin, ehtimol, bunday nuances juda ko'p.

Alohida, barcha xodimlarga "Yagona davlat imtihonini yechish" uchun katta rahmat - bu ajoyib qo'llanma.

Sergey Nikiforov

Agar biz o'sish/kamayuvchi funksiya ta'rifidan boshlasak, oddiy tushuntirishni olish mumkin. Sizga shuni eslatib o'tamanki, bu shunday eshitiladi: agar funktsiyaning kattaroq argumenti funktsiyaning kattaroq/kichik qiymatiga to'g'ri kelsa, funktsiya intervalda ortish/kamayish deyiladi. Ushbu ta'rifda hosila tushunchasidan hech qanday tarzda foydalanilmaydi, shuning uchun hosila yo'qolgan nuqtalar haqida savollar tug'ilishi mumkin emas.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Hayrli kun. Bu erda sharhlarda men chegaralarni kiritish kerak degan e'tiqodlarni ko'raman. Aytaylik, men bunga qo'shilaman. Iltimos, 7089-muammoning yechimiga qarang. U yerda ortib borayotgan intervallarni belgilashda chegaralar kiritilmaydi. Va bu javobga ta'sir qiladi. Bular. 6429 va 7089-sonli vazifalarning yechimlari bir-biriga zid. Iltimos, ushbu holatga oydinlik kiriting.

Aleksandr Ivanov

6429 va 7089-topshiriqlar butunlay boshqacha savollarga ega.

Ulardan biri ortib borayotgan intervallar haqida, ikkinchisi esa ijobiy hosilali intervallar haqida.

Hech qanday qarama-qarshilik yo'q.

Ekstrema ortish va kamayish oraliqlariga kiradi, lekin hosila nolga teng bo'lgan nuqtalar hosila ijobiy bo'lgan intervallarga kiritilmaydi.

A Z 28.01.2019 19:09

Hamkasblar, bir nuqtada oshirish tushunchasi bor

(masalan, Fichtenholtzga qarang)

va x = 2 da o'sish haqidagi tushunchangiz klassik ta'rifga ziddir.

O'sish va kamayish - bu jarayon va men ushbu tamoyilga amal qilishni xohlayman.

X=2 nuqtasini o'z ichiga olgan har qanday oraliqda funktsiya o'smaydi. Shuning uchun berilgan x=2 nuqtani kiritish maxsus jarayondir.

Odatda, chalkashmaslik uchun intervallarning uchlarini kiritish alohida muhokama qilinadi.

Aleksandr Ivanov

Agar bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kattaroq qiymatiga mos kelsa, y=f(x) funksiya ma’lum oraliqda ortib borayotgan deyiladi.

x=2 nuqtada funktsiya differentsiallanadi va (2; 6) oraliqda hosila musbat, ya'ni intervalda )