Nuqtaviy zaryadlar maydonlarining superpozitsiyasi printsipi. Elektr maydonlarini hisoblash usullari. Superpozitsiya printsipi. Vakuumdagi dalalar

>>Fizika: kuchlanish elektr maydoni. Maydon superpozitsiyasi printsipi

Elektr maydoni mavjudligini isbotlashning o'zi etarli emas. Maydonning miqdoriy tavsifini kiritish kerak. Shundan so'ng, elektr maydonlarini bir-biri bilan taqqoslash va ularning xususiyatlarini o'rganishni davom ettirish mumkin.
Elektr maydoni zaryadga ta'sir qiluvchi kuchlar tomonidan aniqlanadi. Agar biz maydonning istalgan nuqtasida har qanday zaryadga ta'sir qiluvchi kuchni bilsak, maydon haqida bizga kerak bo'lgan hamma narsani bilamiz, deb bahslashish mumkin.
Shuning uchun, bilim bizga ushbu kuchni aniqlash imkonini beradigan sohaning xarakteristikasi bilan tanishish kerak.
Agar siz kichik zaryadlangan jismlarni maydonning bir xil nuqtasiga navbatma-navbat qo'ysangiz va kuchlarni o'lchasangiz, maydondan zaryadga ta'sir qiluvchi kuch ushbu zaryadga to'g'ridan-to'g'ri proportsional ekanligini topasiz. Haqiqatan ham, maydon nuqta zaryadi bilan yaratilsin q 1. Kulon qonuniga ko'ra (14.2) ayblov bo'yicha q 2 zaryadga mutanosib kuch mavjud q 2. Shuning uchun maydonning ma'lum bir nuqtasiga joylashtirilgan zaryadga ta'sir qiluvchi kuchning ushbu zaryadga maydonning har bir nuqtasi uchun nisbati zaryadga bog'liq emas va uni maydonning xarakteristikasi deb hisoblash mumkin. Bu xususiyat elektr maydon kuchi deb ataladi. Kuch kabi, maydon kuchi ham vektor miqdori; harfi bilan belgilanadi. Maydonga qo'yilgan zaryad bilan belgilansa q o'rniga q 2, u holda kuchlanish teng bo'ladi:

agar fazoning ma'lum bir nuqtasida har xil zaryadlangan zarralar kuchli tomonlari bo'lgan elektr maydonlarini hosil qilsa va hokazo, keyin bu nuqtada hosil bo'lgan maydon kuchi ushbu maydonlarning kuchli tomonlari yig'indisiga teng bo'ladi:

Bundan tashqari, alohida zaryad tomonidan yaratilgan maydon kuchi xuddi maydonni yaratadigan boshqa zaryadlar bo'lmaganidek aniqlanadi.
Superpozitsiya printsipi tufayli har qanday nuqtada zaryadlangan zarralar tizimining maydon kuchini topish uchun nuqtaviy zaryadning maydon kuchining (14.9) ifodasini bilish kifoya. 14.8-rasmda nuqtadagi maydon kuchi qanday aniqlanadi A, ikkita nuqta zaryadlari tomonidan yaratilgan q 1 Va q 2 , q 1 >q 2

???
1. Elektr maydon kuchi nima deb ataladi?
2. Nuqtaviy zaryadning maydon kuchi nimaga teng?
3. Zaryad maydonining kuchi q 0 bo'lsa qanday yo'naltiriladi q 0>0 ? Agar q 0<0 ?
4. Maydon superpozitsiyasi printsipi qanday tuzilgan?

G.Ya.Myakishev, B.B.Buxovtsev, N.N.Sotskiy, Fizika 10-sinf.

Agar sizda ushbu dars uchun tuzatishlar yoki takliflaringiz bo'lsa,

Bu bir qator hollarda qo'llaniladigan qoidadir. Bu fizika fan sifatida qurilgan umumiy fizik qonunlardan biridir. Bu uni turli vaziyatlarda ishlatadigan olimlar uchun ajoyib qiladi.

Agar biz superpozitsiya tamoyilini eng umumiy ma'noda ko'rib chiqsak, unda unga ko'ra, zarrachaga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning ta'siri yig'indisi ularning har birining individual qiymatlarining yig'indisi bo'ladi.

Bu tamoyil turli chiziqli tizimlar uchun amal qiladi, ya'ni. xatti-harakatlari chiziqli munosabatlar bilan tavsiflanishi mumkin bo'lgan tizimlar. Chiziqli to'lqin ma'lum bir muhitda tarqaladigan oddiy holat misol bo'ladi, bu holda uning xususiyatlari to'lqinning o'zidan kelib chiqadigan buzilishlar ta'sirida ham saqlanib qoladi. Bu xususiyatlar uyg'un komponentlarning har birining ta'sirining o'ziga xos yig'indisi sifatida aniqlanadi.

Qo'llash sohalari

Yuqorida aytib o'tilganidek, superpozitsiya printsipi juda keng qo'llanilishiga ega. Uning ta'sirini elektrodinamikada eng aniq ko'rish mumkin. Ammo shuni yodda tutish kerakki, superpozitsiya printsipini ko'rib chiqishda fizika uni o'ziga xos postulat deb hisoblamaydi, balki elektrodinamika nazariyasining natijasidir.

Masalan, elektrostatikada ushbu printsip ma'lum bir nuqtada zaryadlar tizimini o'rganishda ishlaydi, bu har bir zaryadning maydon kuchlarining yig'indisi bo'ladigan kuchlanish hosil qiladi. Ushbu xulosa amalda qo'llaniladi, chunki u elektrostatik o'zaro ta'sirning potentsial energiyasini hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. Bunday holda, har bir alohida zaryadning potentsial energiyasini hisoblash kerak bo'ladi.

Buni vakuumda chiziqli bo'lgan Maksvell tenglamasi tasdiqlaydi. Bu shuningdek, yorug'likning tarqalmasligini, balki chiziqli tarqalishini anglatadi, shuning uchun alohida nurlar bir-biri bilan o'zaro ta'sir qilmaydi. Fizikada bu hodisa ko'pincha optikada superpozitsiya printsipi deb ataladi.

Shuni ham ta'kidlash joizki, klassik fizikada superpozitsiya printsipi alohida harakatlanuvchi chiziqli tizimlar tenglamalarining chiziqliligidan kelib chiqadi va shuning uchun taxminiydir. U chuqur dinamik tamoyillarga asoslanadi, lekin uning yaqinligi uni na universal, na fundamental qiladi.

Xususan, kuchli boshqa tenglamalar bilan tavsiflanadi, chiziqli bo'lmagan va shuning uchun printsipni bu holatlarda qo'llash mumkin emas. Makroskopik ham bu printsipga bo'ysunmaydi, chunki u tashqi maydonlarning ta'siriga bog'liq.

Biroq, kuchlarning superpozitsiyasi printsipi kvant fizikasida asosiy hisoblanadi. Agar boshqa bo'limlarda u ba'zi xatolar bilan ishlatilsa, u holda kvant darajasida u juda aniq ishlaydi. Har qanday kvant mexanik tizim chiziqli fazoning vektorlaridan va vektorlaridan tasvirlangan va agar u chiziqli funktsiyalarga bo'ysunsa, uning holati superpozitsiya printsipi bilan belgilanadi, ya'ni. har bir holat va to'lqin funksiyasining superpozitsiyasidan iborat.

Qo'llash chegaralari juda shartli. Klassik elektrodinamikaning tenglamalari chiziqli, ammo bu asosiy qoida emas. Fizikaning aksariyat fundamental nazariyalari chiziqli boʻlmagan tenglamalarga asoslanadi. Bu shuni anglatadiki, ularda superpozitsiya printsipi bajarilmaydi, bunga umumiy nisbiylik nazariyasi, kvant xromodinamikasi va Yang-Mills nazariyasi kiradi.

Chiziqlilik tamoyillari faqat qisman qo'llanilishi mumkin bo'lgan ba'zi tizimlarda superpozitsiya printsipi ham shartli ravishda qo'llanilishi mumkin, masalan, zaif tortishish o'zaro ta'sirlari. Bundan tashqari, atomlar va molekulalarning o'zaro ta'sirini ko'rib chiqayotganda, superpozitsiya printsipi ham saqlanib qolmaydi, bu materiallarning fizik va kimyoviy xususiyatlarining xilma-xilligini tushuntiradi.

Bu erda = - sirtga normal (sirtga normalning birlik vektori) yo'nalishi bo'yicha mos keladigan va kattaligi bo'yicha maydonga teng bo'lgan vektor. Integral vektorlarning skalyar ko'paytmasi bo'lganligi sababli, oqim vektor yo'nalishini tanlashga qarab ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. Geometrik jihatdan oqim ma'lum bir hududga kiradigan elektr uzatish liniyalari soniga mutanosibdir (2.3.1-rasmga qarang).

Gauss teoremasi.

Elektr maydonining kuchlanish vektorining ixtiyoriy orqali oqimi

yopiq sirt o'ralgan zaryadlarning algebraik yig'indisiga teng

ga bo'lingan bu sirt ichida(SI tizimida)

Yopiq sirt bo'lsa, vektor sirtdan tashqariga qarab tanlanadi.

Shunday qilib, agar kuch chiziqlari sirtni tark etsa, oqim ijobiy bo'ladi va agar ular kirsa, u holda salbiy bo'ladi.

Gauss teoremasi yordamida elektr maydonlarini hisoblash.

Bir qator hollarda elektr maydon kuchi Gauss teoremasi yordamida hisoblanadi

Bu juda oddiy. Biroq, u superpozitsiya printsipiga asoslanadi.

Nuqtaviy zaryadning maydoni markaziy nosimmetrik bo'lganligi sababli, maydon

zaryadlarning markaziy simmetrik tizimi ham markaziy simmetrik bo'ladi. Eng oddiy misol - bir xil zaryadlangan to'pning maydoni. Agar zaryad taqsimoti eksenel simmetriyaga ega bo'lsa, maydon tuzilishi ham eksenel simmetriyada farqlanadi. Misol tariqasida cheksiz bir xil zaryadlangan ip yoki silindr bo'lishi mumkin. Agar zaryad cheksiz tekislikda bir xilda taqsimlangan bo'lsa, u holda maydon chiziqlari zaryadning simmetriyasiga nisbatan simmetrik joylashadi. Shunday qilib, bu hisoblash usuli maydonlarni yaratadigan zaryad taqsimotining yuqori darajadagi simmetriyasida qo'llaniladi. Quyida biz bunday maydonlarni hisoblash misollarini keltiramiz.

Bir xil zaryadlangan sharning elektr maydoni.

Radiusli to'p hajm zichligi bilan bir xilda zaryadlangan. Keling, maydonni hisoblaylik to'p ichida.

Zaryadlash tizimi markaziy nosimmetrikdir. IN

integratsiya yuzasi sifatida biz tanlaymiz

radiusli shar r(r<R), markazi to'g'ri keladigan

zaryadning simmetriya markazi bilan (2.3.2-rasmga qarang). Keling, bu sirt orqali vektor oqimini hisoblaymiz.

Vektor radius bo'ylab yo'naltirilgan. Maydondan beri

u holda markaziy simmetriyaga ega

ma'nosi E barcha nuqtalarda bir xil bo'ladi

tanlangan sirt. Keyin

Endi tanlangan sirt ichidagi zaryadni topamiz

E'tibor bering, agar zaryad to'pning butun hajmiga emas, balki faqat uning yuzasiga taqsimlangan bo'lsa (zaryadlangan zaryad beriladi) shar), keyin ichki maydon kuchi bo'ladi nolga teng.

Keling, maydonni hisoblaylik to'pdan tashqarida rasmga qarang. 2.3.3.

Endi integratsiya yuzasi to'pning butun zaryadini to'liq qoplaydi. Gauss teoremasi shaklda yoziladi

Maydonning markaziy nosimmetrik ekanligini hisobga olamiz

Nihoyat, zaryadlangan to'pdan tashqaridagi maydon kuchi uchun biz olamiz

Shunday qilib, bir xil zaryadlangan to'pning tashqarisidagi maydon to'pning markazida joylashgan nuqta zaryadiga o'xshash shaklga ega bo'ladi. Biz bir xil zaryadlangan shar uchun ham xuddi shunday natijaga erishamiz.

Olingan natijani (2.3.2) va (2.3.3) 2.3.4-rasmdagi grafik yordamida tahlil qilishingiz mumkin.

Cheksiz bir xil zaryadlangan silindrning elektr maydoni.

Cheksiz uzun tsilindr hajmi zichligi bilan bir xilda zaryadlansin.

Tsilindrning radiusi . Maydonni topamiz silindr ichida, funksiya sifatida

o'qdan masofa. Zaryadlar tizimi eksenel simmetriyaga ega bo'lgani uchun,

Keling, integratsiya yuzasi sifatida kichikroq silindrni ham aqliy ravishda tanlaylik

radius va ixtiyoriy balandlik, uning o'qi muammoning simmetriya o'qiga to'g'ri keladi (2.3.5-rasm). Keling, bu silindrning sirtidan o'tadigan oqimni hisoblab chiqamiz, uni lateral sirt ustida integralga ajratamiz.

va asoslar bo'yicha

Simmetriya sabablari uchun

radial yo'naltirilganligi kelib chiqadi. Keyin, maydon chiziqlari tanlangan tsilindrning biron bir asosiga kirmaganligi sababli, bu sirtlar orqali oqim nolga teng. Tsilindrning lateral yuzasi bo'ylab vektor oqimi quyidagicha yoziladi:

Ikkala ifodani Gauss teoremasining (2.3.1) asl formulasiga almashtiramiz.

Oddiy o'zgarishlardan so'ng biz silindr ichidagi elektr maydon kuchining ifodasini olamiz

Bu holatda ham, agar zaryad faqat silindr yuzasiga taqsimlangan bo'lsa, u holda uning ichidagi maydon kuchi nolga teng.

Endi maydonni topamiz tashqarida zaryadlangan silindr

Biz vektorning oqimini, radiusli silindrni va o'zboshimchalik balandligini hisoblab chiqadigan sirtni aqliy ravishda tanlaymiz (2.3.6-rasmga qarang).

Oqim ichki maydon bilan bir xil tarzda qayd etiladi. Va aqliy tsilindr ichidagi zaryad quyidagilarga teng bo'ladi:

Oddiy transformatsiyalardan so'ng biz elektr kuchlanishining ifodasini olamiz

zaryadlangan silindr tashqarisidagi maydonlar:

Agar bu masalada chiziqli zaryad zichligini kiritadigan bo'lsak, ya'ni. silindr uzunligi birligiga to'g'ri keladi, keyin (2.3.5) ifoda shaklga aylanadi

Bu superpozitsiya printsipi yordamida olingan natijaga mos keladi (2.2.14).

Ko'rib turganimizdek, (2.3.4) va (2.3.5) ifodalardagi bog'liqliklar har xil. Keling, grafik tuzamiz.

Cheksiz bir xil zaryadlangan tekislikning maydoni .

Cheksiz tekislik sirt zichligi bilan bir xilda zaryadlangan. Elektr maydon chiziqlari bu tekislikka nisbatan simmetrikdir va shuning uchun vektor zaryadlangan tekislikka perpendikulyar. Keling, integratsiya qilish uchun ixtiyoriy o'lchamdagi silindrni aqliy ravishda tanlaymiz va uni 2.3.8-rasmda ko'rsatilgandek tartibga solamiz. Gauss teoremasini yozamiz:) tanishtirish qulay bo'lishi mumkin skalyar xususiyatlari maydon o'zgarishlari divergensiya deb ataladi. Ushbu xarakteristikani aniqlash uchun biz ma'lum bir nuqta yaqinidagi maydonda kichik hajmni tanlaymiz R va bu hajmni chegaralovchi sirt orqali vektor oqimini toping. Keyin olingan qiymatni hajmga bo'lamiz va hajm ma'lum bir nuqtaga qisqartirilganda hosil bo'lgan nisbatning chegarasini olamiz. R. Olingan qiymat chaqiriladi vektor divergentsiyasi

. (2.3.7)

Bu aytilganlardan kelib chiqadi. (2.3.8)

Bu nisbat deyiladi Gauss-Ostrogradskiy teoremasi, u har qanday vektor maydoni uchun amal qiladi.

Keyin (2.3.1) va (2.3.8) dan, hajmida mavjud bo'lgan zaryadni hisobga olgan holda V, olamiz deb yozishimiz mumkin

yoki tenglamaning ikkala tomonida integral bir xil hajmda olinganligi sababli,

Bu tenglama matematik tarzda ifodalanadi Differensial shakldagi elektr maydoni uchun Gauss teoremasi.

Divergentsiya operatsiyasining ma'nosi shundaki, u dala manbalarining (maydon chiziqlari manbalari) mavjudligini belgilaydi. Divergentsiya nolga teng bo'lmagan nuqtalar maydon chiziqlarining manbalari hisoblanadi. Shunday qilib, elektrostatik maydon chiziqlari zaryadlardan boshlanadi va tugaydi.

Maydonlar. Dipol maydoni

Q 1, Q 2,..., Q n statsionar zaryadlar sistemasi tomonidan yaratilgan elektrostatik maydonning har bir nuqtasida E intensivlik vektorining kattaligi va yo'nalishini aniqlash usulini ko'rib chiqaylik.

Tajriba shuni ko'rsatadiki, mexanikada ko'rib chiqilgan kuch ta'sirining mustaqilligi printsipi Kulon kuchlariga taalluqlidir (6-bandga qarang), ya'ni Q 0 sinov zaryadiga maydondan ta'sir etuvchi F kuchi F i kuchlarning vektor yig'indisiga teng. unga har bir zaryadning Q tomonlari bilan qo'llaniladi ;.

(79.1) ga ko'ra F = Q 0 E va F 1 = Q 0 E 1, bu erda E - hosil bo'lgan maydonning kuchi va E 1 - Q 1 zaryadi tomonidan yaratilgan maydonning kuchi. . Oxirgi iboralarni (80.1) ga almashtirib, olamiz

(80.2)

Formula (80.2) elektrostatik maydonlarning superpozitsiyasi (o'rnatish) tamoyilini ifodalaydi, unga ko'ra zaryadlar tizimi tomonidan yaratilgan hosil bo'lgan maydonning E kuchi tengdir. geometrik yig'indisi har bir zaryad tomonidan ma'lum bir nuqtada yaratilgan maydon kuchlari.

Superpozitsiya printsipi elektr dipolning elektrostatik maydonini hisoblash uchun qo'llaniladi. Elektr dipol - ikkita teng kattalikdagi qarama-qarshi nuqta zaryadlari (+Q, - Q), masofa l ular orasida maydonning ko'rib chiqilgan nuqtalariga nisbatan sezilarli darajada kamroq masofa mavjud. Dipol o'qi bo'ylab (har ikkala zaryaddan o'tuvchi to'g'ri chiziq) manfiy zaryaddan musbat zaryadga yo'naltirilgan va ular orasidagi masofaga teng vektor dipol qo'li l deb ataladi. Vektor

(80.3)

dipol qo'li bilan yo'nalishi bo'yicha mos keladigan va 1-qo'lning zaryadining |Q| ko'paytmasiga teng bo'lsa, dipol yoki dipol momentning elektr momenti deyiladi (122-rasm).

Bu erda E + va E_ mos ravishda musbat va manfiy zaryadlar tomonidan yaratilgan maydon kuchlari. Ushbu formuladan foydalanib, biz dipol o'qining kengaytmasi bo'ylab ixtiyoriy nuqtada va uning o'qining o'rtasiga perpendikulyar bo'lgan maydon kuchini hisoblaymiz.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, nuqtadagi dipol maydon kuchi A dipol o'qi bo'ylab yo'naltirilgan va kattaligi teng

Nuqtadan masofani belgilash A r orqali dipol o'qining o'rtasiga, vakuum uchun formula (79.2) asosida yozishimiz mumkin.

Dipolning ta'rifiga ko'ra, l/2 ≪ g, shuning uchun

2. Uning o'rtasidan, nuqtadan o'qlarga ko'tarilgan perpendikulyar bo'yicha maydon kuchi IN(123-rasm). Nuqta IN to'lovlardan teng masofada, shuning uchun

bu erda r" - nuqtadan masofa IN dipol qo'lning o'rtasiga. Dipol qo'li va vektorga tayanadigan teng yonli uchburchaklarning o'xshashligidan E in, olamiz

(80.5)

(80.4) qiymatini (80.S) ifodaga almashtirib, olamiz

E g vektori dipolning elektr momenti vektoriga qarama-qarshi yo'nalishga ega (p vektor manfiy zaryaddan musbat zaryadga yo'naltirilgan).

Elektrostatik uchun Gauss teoremasi

Vakuumdagi dalalar

Elektrostatik maydonlarning superpozitsiyasi printsipidan foydalangan holda elektr zaryadlari tizimining maydon kuchini hisoblashni nemis olimi K. Gauss (1777-1855) tomonidan olingan teorema yordamida sezilarli darajada soddalashtirish mumkin, bu elektr maydon kuchi vektorining oqimini aniqlaydi. o'zboshimchalik bilan yopiq sirt orqali.

Formula (79.3) ga muvofiq, intensivlik vektorining radiusi r bo'lgan sharsimon sirt orqali oqimi , nuqta zaryadini qoplagan Q , uning markazida joylashgan (124-rasm), ga teng

Bu natija har qanday shakldagi yopiq sirt uchun amal qiladi. Haqiqatan ham, agar siz sharni (124-rasm) o'zboshimchalik bilan yopiq sirt bilan o'rab qo'ysangiz, u holda sharga kirib boradigan har bir kuchlanish chizig'i ham shu sirtdan o'tadi.

Agar ixtiyoriy shakldagi yopiq sirt zaryadni o'rab olsa (125-rasm), u holda har qanday tanlangan kuchlanish chizig'i sirt bilan kesishganda, u unga kiradi yoki undan chiqadi.

Oqimni hisoblashda chorrahalarning toq soni oxir-oqibat bitta kesishmaga kamayadi, chunki oqim sirtni tark etadigan kuchlanish chiziqlari uchun ijobiy va sirtga kiradigan chiziqlar uchun salbiy hisoblanadi. Agar yopiq sirt zaryadni o'zlashtirmasa, u holda oqim nolga teng, chunki sirtga kiradigan kuchlanish chiziqlari soni undan chiqib ketadigan kuchlanish chiziqlari soniga teng.

Shunday qilib, har qanday shakldagi sirt uchun, agar u yopiq bo'lsa va Q nuqta zaryadini o'z ichiga olsa , E vektorining oqimi Q/e 0 ga teng bo'ladi , ya'ni

(81.1)

Oqimning ishorasi Q zaryadining belgisiga to'g'ri keladi .

n ta zaryadni o'rab turgan ixtiyoriy sirtning umumiy holatini ko'rib chiqamiz. Superpozitsiya printsipiga (80.2) muvofiq, barcha zaryadlar tomonidan yaratilgan maydon kuchi E har bir zaryad tomonidan alohida yaratilgan maydon kuchlari E yig'indisiga teng: . Shunung uchun

(81.1) ga ko'ra yig'indi belgisi ostidagi integrallarning har biri Q i /e 0 ga teng. . Demak,

(81.2)

Formula (81.2) vakuumdagi elektrostatik maydon uchun Gauss teoremasini ifodalaydi: elektrostatik maydon kuchi vektorining oqimi vakuumda ixtiyoriy yopiq sirt orqali bu sirt ichidagi zaryadlarning algebraik yig'indisi e 0 ga bo'lingan. Bu teorema har qanday tabiatdagi vektor maydoni uchun rus matematigi M. V. Ostrogradskiy (1801-1862), keyin esa undan mustaqil ravishda elektrostatik maydonga nisbatan K. Gauss tomonidan matematik tarzda olingan.

Umumiy holda, elektr zaryadlari ma'lum hajm zichligi p = dQ / dV bilan "yog'lanishi" mumkin. , kosmosning turli joylarida har xil. Keyin ma'lum hajm V ni qoplaydigan yopiq sirt ichida joylashgan umumiy zaryad S ,

(81.3)

(81.3) formuladan foydalanib, Gauss teoremasini (81.2) quyidagicha yozish mumkin: