Eng kichik kvadratlar usuli bilan yechish. Eksperimental ma'lumotlarning yaqinlashishi. Eng kichik kvadrat usuli. Chiziqli model holatida OLS

Misol.

O'zgaruvchilar qiymatlari bo'yicha eksperimental ma'lumotlar X Va da jadvalda keltirilgan.

Ularning hizalanishi natijasida funktsiya olinadi

Foydalanish eng kichik kvadrat usuli, bu ma'lumotlarni chiziqli bog'liqlik bilan yaqinlashtiring y=ax+b(parametrlarni toping A Va b). Ikki qatordan qaysi biri yaxshiroq (eng kichik kvadratlar usuli ma'nosida) tajriba ma'lumotlarini tekislashini aniqlang. Chizma qiling.

Eng kichik kvadratlar usulining (LSM) mohiyati.

Vazifa ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bajariladigan chiziqli bog'liqlik koeffitsientlarini topishdir A Va b eng kichik qiymatni oladi. Ya'ni, berilgan A Va b eksperimental ma'lumotlarning topilgan to'g'ri chiziqdan kvadrat og'ishlari yig'indisi eng kichik bo'ladi. Bu eng kichik kvadratlar usulining butun nuqtasidir.

Shunday qilib, misolni yechish ikkita o'zgaruvchining funksiyasining ekstremumini topishga to'g'ri keladi.

Koeffitsientlarni topish formulalarini chiqarish.

Ikkita noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasi tuziladi va yechiladi. Funktsiyaning o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalarini topish A Va b, bu hosilalarni nolga tenglashtiramiz.

Olingan tenglamalar tizimini har qanday usul yordamida echamiz (masalan almashtirish usuli bilan yoki ) va eng kichik kvadratlar usuli (LSM) yordamida koeffitsientlarni topish formulalarini oling.

Berilgan A Va b funktsiyasi eng kichik qiymatni oladi. Bu faktning isboti keltirilgan.

Bu eng kichik kvadratlarning butun usuli. Parametrni topish formulasi a, , , va parametrlarini o'z ichiga oladi n- eksperimental ma'lumotlar miqdori. Ushbu miqdorlarning qiymatlarini alohida hisoblashni tavsiya etamiz. Koeffitsient b hisoblashdan keyin topiladi a.

Asl misolni eslash vaqti keldi.

Yechim.

Bizning misolimizda n=5. Kerakli koeffitsientlar formulalariga kiritilgan miqdorlarni hisoblash qulayligi uchun jadvalni to'ldiramiz.

Jadvalning to'rtinchi qatoridagi qiymatlar har bir raqam uchun 2-qatorning qiymatlarini 3-qatorning qiymatlariga ko'paytirish yo'li bilan olinadi. i.

Jadvalning beshinchi qatoridagi qiymatlar har bir raqam uchun 2-qatordagi qiymatlarni kvadratga aylantirish orqali olinadi. i.

Jadvalning oxirgi ustunidagi qiymatlar qatorlar bo'ylab qiymatlarning yig'indisidir.

Koeffitsientlarni topish uchun eng kichik kvadratlar usuli formulalaridan foydalanamiz A Va b. Jadvalning oxirgi ustunidagi tegishli qiymatlarni ularga almashtiramiz:

Demak, y = 0,165x+2,184- kerakli yaqinlashuvchi to'g'ri chiziq.

Chiziqlarning qaysi biri ekanligini aniqlash uchun qoladi y = 0,165x+2,184 yoki dastlabki ma'lumotlarni yaxshiroq yaqinlashtiradi, ya'ni eng kichik kvadratlar usulidan foydalangan holda baho beradi.

Eng kichik kvadratlar usulini xato baholash.

Buning uchun ushbu satrlardan dastlabki ma'lumotlarning kvadratik og'ishlari yig'indisini hisoblashingiz kerak Va , kichikroq qiymat eng kichik kvadratlar usuli ma'nosida asl ma'lumotlarni yaxshiroq yaqinlashtiradigan chiziqqa mos keladi.

dan beri, keyin to'g'ri y = 0,165x+2,184 asl ma'lumotlarga yaxshiroq yaqinlashadi.

Eng kichik kvadratlar (LS) usulining grafik tasviri.

Grafiklarda hamma narsa aniq ko'rinadi. Qizil chiziq topilgan to'g'ri chiziqdir y = 0,165x+2,184, ko'k chiziq , pushti nuqtalar asl ma'lumotlardir.

Bu nima uchun kerak, nega bu barcha taxminlar?

Shaxsan men undan ma'lumotlarni tekislash, interpolyatsiya va ekstrapolyatsiya muammolarini hal qilish uchun foydalanaman (asl misolda ulardan kuzatilgan qiymatning qiymatini topish so'ralishi mumkin) y da x=3 yoki qachon x=6 eng kichik kvadratlar usuli yordamida). Ammo bu haqda keyinroq saytning boshqa bo'limida gaplashamiz.

Isbot.

Shunday qilib, topilganda A Va b funktsiya eng kichik qiymatni oladi, bu nuqtada funktsiya uchun ikkinchi tartibli differensialning kvadrat shaklining matritsasi bo'lishi kerak. ijobiy aniqlangan edi. Keling, ko'rsataylik.

Agar ma'lum bir fizik miqdor boshqa miqdorga bog'liq bo'lsa, u holda bu bog'liqlikni y ni turli xil x qiymatlarida o'lchash orqali o'rganish mumkin. O'lchovlar natijasida bir qator qiymatlar olinadi:

x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;

y 1, y 2, ..., y i, ..., y n.

Bunday tajriba ma'lumotlari asosida y = ƒ(x) bog'liqlik grafigini qurish mumkin. Olingan egri chiziq ƒ(x) funksiyaning shakli haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. Biroq, bu funktsiyaga kiradigan doimiy koeffitsientlar noma'lum bo'lib qoladi. Ularni eng kichik kvadratlar usuli yordamida aniqlash mumkin. Tajriba nuqtalari, qoida tariqasida, egri chiziqda aniq yotmaydi. Eng kichik kvadratlar usuli eksperimental nuqtalarning egri chiziqdan og'ish kvadratlari yig'indisini talab qiladi, ya'ni. 2 eng kichik edi.

Amalda, bu usul ko'pincha (va eng oddiy) chiziqli munosabatlar holatida qo'llaniladi, ya'ni. Qachon

y = kx yoki y = a + bx.

Chiziqli bog'liqlik fizikada juda keng tarqalgan. Va munosabatlar chiziqli bo'lmagan taqdirda ham, ular odatda to'g'ri chiziqni olish uchun grafik qurishga harakat qilishadi. Misol uchun, agar shisha n ning sindirish ko'rsatkichi yorug'lik to'lqin uzunligi l bilan n = a + b/l 2 munosabati bilan bog'liq deb taxmin qilinsa, u holda n ning l -2 ga bog'liqligi grafikda chiziladi.

Qaramlikni ko'rib chiqing y = kx(bosh nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq). Nuqtalarimiz to‘g‘ri chiziqdan chetlanish kvadratlari yig‘indisidan ph qiymatini tuzamiz.

ph qiymati har doim ijobiy bo'lib, nuqtalarimiz to'g'ri chiziqqa qanchalik yaqin bo'lsa, shuncha kichikroq bo'ladi. Eng kichik kvadratlar usuli k ning qiymati ph minimumga ega bo'ladigan tarzda tanlanishi kerakligini bildiradi

yoki
(19)

Hisoblash shuni ko'rsatadiki, k ning qiymatini aniqlashda o'rtacha kvadrat xatosi tengdir.

, (20)
bu erda n - o'lchovlar soni.

Keling, ballar formulani qondirishi kerak bo'lgan biroz qiyinroq vaziyatni ko'rib chiqaylik y = a + bx(koordinata boshi orqali o'tmaydigan to'g'ri chiziq).

Vazifa mavjud x i, y i qiymatlari to'plamidan a va b ning eng yaxshi qiymatlarini topishdir.

X i, y i nuqtalarning to‘g‘ri chiziqdan kvadrat og‘ishlari yig‘indisiga teng bo‘lgan ph kvadrat shaklini yana tuzamiz.

va ph minimal bo'lgan a va b qiymatlarini toping

;

.

Bu tenglamalarning birgalikdagi yechimi beradi

(21)

a va b ni aniqlashning o'rtacha kvadratik xatolari teng

(23)

.  (24)

Ushbu usul yordamida o'lchov natijalarini qayta ishlashda barcha ma'lumotlarni (19) (24) formulalarga kiritilgan barcha miqdorlar oldindan hisoblab chiqilgan jadvalda umumlashtirish qulay. Ushbu jadvallarning shakllari quyidagi misollarda keltirilgan.

1-misol. Dinamikaning asosiy tenglamasi o'rganildi aylanish harakati e = M/J (koordinata boshi orqali o'tuvchi chiziq). M momentining turli qiymatlarida ma'lum bir jismning burchak tezlanishi e o'lchandi. Bu jismning inersiya momentini aniqlash talab qilinadi. Kuch momenti va burchak tezlanishini o'lchash natijalari ikkinchi va uchinchi ustunlarda keltirilgan. 5-jadval.

5-jadval

Formula (19) yordamida biz quyidagilarni aniqlaymiz:

.

O'rtacha kvadrat xatoni aniqlash uchun (20) formuladan foydalanamiz.

0.005775kg-1 · m -2 .

Formula (18) bo'yicha bizda mavjud

S J = (2,996 0,005775)/0,3337 = 0,05185 kg m2.

Ishonchliligini P = 0,95 o'rnatib, n = 5 uchun Student koeffitsientlari jadvalidan foydalanib, biz t = 2,78 ni topamiz va DJ = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 mutlaq xatolikni aniqlaymiz. kg m2.

Natijalarni quyidagi shaklda yozamiz:

J = (3,0 ± 0,2) kg m2;

2-misol. Eng kichik kvadratlar usuli yordamida metall qarshiligining harorat koeffitsientini hisoblaymiz. Qarshilik chiziqli ravishda haroratga bog'liq

R t = R 0 (1 + a t°) = R 0 + R 0 a t°.

Erkin atama 0 ° C haroratda R 0 qarshiligini aniqlaydi va burchak koeffitsienti mahsulotdir. harorat koeffitsienti a qarshilik R 0 ga.

O'lchovlar va hisob-kitoblar natijalari jadvalda keltirilgan ( 6-jadvalga qarang).

6-jadval

(21), (22) formulalar yordamida aniqlaymiz

R 0 = ¯ R- a R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 ohm.

Keling, a ning ta'rifida xato topaylik. dan boshlab, (18) formulaga muvofiq bizda:

.

Formulalar yordamida (23), (24) bizda mavjud

;

0.014126 ohm.

Ishonchlilikni P = 0,95 ga o'rnatib, n = 6 uchun Student koeffitsientlari jadvalidan foydalanib, biz t = 2,57 ni topamiz va mutlaq xatoni aniqlaymiz DA = 2,57 0,000132 = 0,000338 -1 daraja.

a = (23 ± 4) 10 -4 do'l P = 0,95 da -1.

3-misol. Nyuton halqalari yordamida linzalarning egrilik radiusini aniqlash talab qilinadi. Nyuton halqalarining radiuslari r m o’lchandi va bu halqalarning sonlari m aniqlandi. Nyuton halqalarining radiuslari linzaning egrilik radiusi R va halqa raqami tenglama bilan bog'liq.

r 2 m = mLR - 2d 0 R,

bu erda d 0 linza va tekislik-parallel plastinka orasidagi bo'shliqning qalinligi (yoki linzaning deformatsiyasi),

l tushayotgan yorug'likning to'lqin uzunligi.

l = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
lR = b;
-2d 0 R = a,

keyin tenglama shaklni oladi y = a + bx.

O'lchov va hisob-kitoblarning natijalari kiritiladi jadval 7.

7-jadval

U ko'plab ilovalarga ega, chunki u berilgan funktsiyani boshqa soddaroqlari tomonidan taxminiy ko'rsatishga imkon beradi. LSM kuzatishlarni qayta ishlashda juda foydali bo'lishi mumkin va u tasodifiy xatolarni o'z ichiga olgan boshqalarning o'lchovlari natijalariga asoslangan ba'zi miqdorlarni baholash uchun faol foydalaniladi. Ushbu maqolada siz Excelda eng kichik kvadratlarni hisoblashni qanday amalga oshirishni o'rganasiz.

Muayyan misol yordamida muammoning bayoni

Aytaylik, ikkita X va Y ko'rsatkichlari mavjud. Bundan tashqari, Y X ga bog'liq. OLS bizni regressiya tahlili nuqtai nazaridan qiziqtirganligi sababli (Excelda uning usullari o'rnatilgan funksiyalar yordamida amalga oshiriladi), biz darhol ko'rib chiqishga o'tishimiz kerak. muayyan muammo.

Shunday qilib, X oziq-ovqat do'konining chakana savdo maydoni bo'lsin kvadrat metr, va Y - millionlab rubllarda aniqlangan yillik aylanma.

Agar u yoki bu chakana savdo maydonchasi mavjud bo'lsa, do'kon qanday aylanma (Y) bo'lishini prognoz qilish talab qilinadi. Shubhasiz, Y = f (X) funktsiyasi ortib bormoqda, chunki gipermarket stendga qaraganda ko'proq tovarlar sotadi.

Bashorat qilish uchun ishlatiladigan dastlabki ma'lumotlarning to'g'riligi haqida bir necha so'z

Aytaylik, bizda n do'kon uchun ma'lumotlardan foydalangan holda tuzilgan jadval mavjud.

Matematik statistika ma'lumotlariga ko'ra, agar kamida 5-6 ob'ekt bo'yicha ma'lumotlar tekshirilsa, natijalar ko'proq yoki kamroq to'g'ri bo'ladi. Bundan tashqari, "anomal" natijalardan foydalanish mumkin emas. Xususan, elita kichik butik yirik savdo aylanmasidan bir necha baravar ko'p aylanmaga ega bo'lishi mumkin chakana savdo nuqtalari"Masmarket" sinfi.

Usulning mohiyati

Jadval ma'lumotlari M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n) nuqtalari ko'rinishida Dekart tekisligida tasvirlanishi mumkin. Endi masalaning yechimi M 1, M 2, .. M n nuqtalarga imkon qadar yaqin o'tuvchi grafigi y = f (x) ga yaqinlashtiruvchi funksiyani tanlashga keltiriladi.

Albatta, siz polinomdan foydalanishingiz mumkin yuqori daraja, lekin bu variantni amalga oshirish nafaqat qiyin, balki shunchaki noto'g'ri, chunki u aniqlanishi kerak bo'lgan asosiy tendentsiyani aks ettirmaydi. Eng oqilona yechim eksperimental ma’lumotlarga, aniqrog‘i, a va b koeffitsientlariga eng yaqin keladigan y = ax+b to‘g‘ri chiziqni izlashdir.

Aniqlikni baholash

Har qanday yaqinlashuv bilan uning to'g'riligini baholash alohida ahamiyatga ega. X i nuqta uchun funktsional va eksperimental qiymatlar o'rtasidagi farqni (og'ish) e i bilan belgilaymiz, ya'ni e i = y i - f (x i).

Shubhasiz, yaqinlashishning to'g'riligini baholash uchun siz og'ishlar yig'indisidan foydalanishingiz mumkin, ya'ni X ning Y ga bog'liqligini taxminiy tasvirlash uchun to'g'ri chiziqni tanlashda siz eng kichik qiymatga ega bo'lganiga ustunlik berishingiz kerak. ko'rib chiqilayotgan barcha nuqtalarda e i summasi. Biroq, hamma narsa juda oddiy emas, chunki ijobiy og'ishlar bilan bir qatorda salbiylar ham bo'ladi.

Muammoni og'ish modullari yoki ularning kvadratlari yordamida hal qilish mumkin. Oxirgi usul eng keng tarqalgan. U ko'plab sohalarda qo'llaniladi, jumladan regressiya tahlili (Excelda ikkita o'rnatilgan funksiya yordamida amalga oshiriladi) va o'zining samaradorligini uzoq vaqt davomida isbotlagan.

Eng kichik kvadrat usuli

Ma'lumki, Excelda tanlangan diapazonda joylashgan barcha qiymatlarning qiymatlarini hisoblash imkonini beruvchi o'rnatilgan AutoSum funksiyasi mavjud. Shunday qilib, (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2) ifodaning qiymatini hisoblashimizga hech narsa to'sqinlik qilmaydi.

Matematik belgilarda bu quyidagicha ko'rinadi:

Qaror dastlab to'g'ri chiziq yordamida taxminan qabul qilinganligi sababli, bizda:

Shunday qilib, X va Y miqdorlarning o'ziga xos bog'liqligini eng yaxshi tavsiflovchi to'g'ri chiziqni topish vazifasi ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining minimalini hisoblashga to'g'ri keladi:

Buning uchun siz a va b yangi o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalarni nolga tenglashtirishingiz va ikkita noma'lum shaklga ega ikkita tenglamadan iborat ibtidoiy tizimni yechishingiz kerak:

Ba'zi oddiy o'zgarishlardan so'ng, shu jumladan 2 ga bo'lish va yig'indilarni manipulyatsiya qilish natijasida biz quyidagilarni olamiz:

Uni hal qilish, masalan, Kramer usulidan foydalanib, biz a * va b * koeffitsientlari bilan statsionar nuqtani olamiz. Bu minimal, ya'ni ma'lum bir hudud uchun do'kon qanday aylanmaga ega bo'lishini taxmin qilish uchun y = a * x + b * to'g'ri chiziq mos keladi, bu ko'rib chiqilayotgan misol uchun regressiya modelidir. Albatta, u sizni topishga ruxsat bermaydi aniq natija, ammo bu ma'lum bir hududni do'kon kreditiga sotib olish o'z samarasini beradimi yoki yo'qmi, degan fikrni olishga yordam beradi.

Excelda eng kichik kvadratlarni qanday amalga oshirish mumkin

Excel eng kichik kvadratlar yordamida qiymatlarni hisoblash funktsiyasiga ega. U quyidagi shaklga ega: “TREND” (maʼlum Y qiymatlari; maʼlum X qiymatlari; yangi X qiymatlari; doimiy). Excelda OLS ni hisoblash formulasini jadvalimizga qo'llaylik.

Buning uchun Excelda eng kichik kvadratlar usuli yordamida hisoblash natijasi ko'rsatilishi kerak bo'lgan katakchaga “=” belgisini kiriting va “TREND” funksiyasini tanlang. Ochilgan oynada tegishli maydonlarni to'ldiring, ta'kidlang:

• Y uchun ma'lum qiymatlar diapazoni (bu holda, savdo aylanmasi bo'yicha ma'lumotlar);
• diapazon x 1 , …x n , ya'ni chakana savdo maydoni hajmi;
• x ning ma'lum va noma'lum qiymatlari, buning uchun siz aylanma hajmini bilib olishingiz kerak (ularning ish varag'idagi joylashuvi haqida ma'lumot olish uchun pastga qarang).

Bundan tashqari, formulada "Const" mantiqiy o'zgaruvchisi mavjud. Agar siz tegishli maydonga 1 ni kiritsangiz, bu siz b = 0 deb hisoblab, hisob-kitoblarni bajarishingiz kerakligini anglatadi.

Agar siz bir nechta x qiymatlari uchun prognozni bilishingiz kerak bo'lsa, formulani kiritgandan so'ng siz "Enter" tugmasini bosmasligingiz kerak, lekin klaviaturada "Shift" + "Control" + "Enter" kombinatsiyasini kiritishingiz kerak.

Ba'zi xususiyatlar

Regressiya tahlili hatto qo'g'irchoqlar uchun ham mavjud. Noma'lum o'zgaruvchilar massivi qiymatini bashorat qilish uchun Excel formulasi - TREND - hatto eng kichik kvadratlar haqida hech qachon eshitmaganlar ham foydalanishi mumkin. Uning ishining ba'zi xususiyatlarini bilish kifoya. Ayniqsa:

• Agar siz y o'zgaruvchisining ma'lum qiymatlari oralig'ini bitta satr yoki ustunga joylashtirsangiz, u holda ma'lum x qiymatlari bo'lgan har bir satr (ustun) dastur tomonidan alohida o'zgaruvchi sifatida qabul qilinadi.
• Agar TREND oynasi ma'lum bo'lgan x ga ega diapazonni ko'rsatmasa, u holda funksiyadan foydalanilgan bo'lsa Excel dasturi uni butun sonlardan tashkil topgan massiv sifatida ko'rib chiqadi, ularning soni y o'zgaruvchining berilgan qiymatlari bilan diapazonga mos keladi.
• “Prognoz qilingan” qiymatlar massivini chiqarish uchun trendni hisoblash ifodasi massiv formulasi sifatida kiritilishi kerak.
• Agar x ning yangi qiymatlari belgilanmagan bo'lsa, TREND funktsiyasi ularni ma'lum bo'lganlarga teng deb hisoblaydi. Agar ular ko'rsatilmagan bo'lsa, u holda argument sifatida 1-massiv olinadi; 2; 3; 4;…, bu allaqachon belgilangan y parametrlari bilan diapazonga mos keladi.
• Yangi x qiymatlarini o'z ichiga olgan diapazon berilgan y qiymatlarini o'z ichiga olgan diapazon bilan bir xil yoki bir nechta satr yoki ustunlarga ega bo'lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, u mustaqil o'zgaruvchilarga mutanosib bo'lishi kerak.
• X qiymatlari ma'lum bo'lgan massiv bir nechta o'zgaruvchilarni o'z ichiga olishi mumkin. Ammo, agar biz faqat bittasi haqida gapiradigan bo'lsak, u holda berilgan x va y qiymatlari bo'lgan diapazonlar proportsional bo'lishi kerak. Bir nechta o'zgaruvchilar bo'lsa, berilgan y qiymatlari bo'lgan diapazon bitta ustun yoki bitta qatorga to'g'ri kelishi kerak.

PREDICTION funksiyasi

Bir nechta funktsiyalar yordamida amalga oshiriladi. Ulardan biri "BASHOROT" deb ataladi. U "TREND" ga o'xshaydi, ya'ni eng kichik kvadratlar usuli yordamida hisob-kitoblar natijasini beradi. Biroq, faqat bitta X uchun, Y qiymati noma'lum.

Endi siz Excel-da ma'lum bir indikatorning kelajakdagi qiymatini chiziqli tendentsiyaga ko'ra taxmin qilish imkonini beruvchi qo'g'irchoqlar uchun formulalarni bilasiz.

Eng kichik kvadratlar usuli o'zining eng keng tarqalgan va eng rivojlangan usullaridan biridir chiziqli parametrlarni baholash usullarining soddaligi va samaradorligi. Shu bilan birga, uni ishlatishda ehtiyot bo'lish kerak, chunki undan foydalangan holda qurilgan modellar o'z parametrlarining sifatiga qo'yiladigan bir qator talablarga javob bermasligi mumkin va natijada jarayonning rivojlanish naqshlarini "yaxshi" aks ettirmaydi. yetarli.

Keling, eng kichik kvadratlar usuli yordamida chiziqli ekonometrik model parametrlarini baholash tartibini batafsil ko'rib chiqaylik. Ushbu model ichida umumiy ko'rinish(1.2) tenglama bilan ifodalanishi mumkin:

y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + e t.

a 0, a 1,..., a n parametrlarini baholashda dastlabki ma'lumotlar - bu qaram o'zgaruvchining qiymatlari vektori. y= (y 1 , y 2 , ... , y T)" va mustaqil o'zgaruvchilar qiymatlari matritsasi

unda birlardan iborat birinchi ustun model koeffitsientiga mos keladi.

Eng kichik kvadratlar usuli o'z nomini uning asosida olingan parametr baholari qondirishi kerak bo'lgan asosiy printsipga asoslanib oldi: model xatosining kvadratlari yig'indisi minimal bo'lishi kerak.

Eng kichik kvadratlar usuli yordamida masalalar yechishga misollar

2.1-misol. Savdo korxonasida 12 do'kon tarmog'i mavjud bo'lib, ularning faoliyati to'g'risidagi ma'lumotlar jadvalda keltirilgan. 2.1.

Korxona rahbariyati yillik miqdor do'konning chakana savdo maydoniga qanday bog'liqligini bilishni xohlaydi.

2.1-jadval

Eng kichik kvadratlar usuli bilan yechish. Keling, th do'konning yillik aylanmasini belgilaymiz, million rubl; — doʻkonning savdo maydoni, ming m2.

2.1-rasm. 2.1-misol uchun tarqalish sxemasi

O'zgaruvchilar orasidagi funktsional bog'lanish shaklini aniqlash uchun biz tarqalish diagrammasini tuzamiz (2.1-rasm).

Tarqalish diagrammasi asosida yillik aylanma chakana savdo maydoniga ijobiy bog'liq degan xulosaga kelishimiz mumkin (ya'ni, y ortib borishi bilan ortadi). Funktsional ulanishning eng mos shakli hisoblanadi chiziqli.

Qo'shimcha hisob-kitoblar uchun ma'lumotlar jadvalda keltirilgan. 2.2. Eng kichik kvadratlar usulidan foydalanib, chiziqli bir faktorli ekonometrik modelning parametrlarini baholaymiz

2.2-jadval

Shunday qilib,

Shu sababli, chakana savdo maydonining 1 ming m2 ga ko'payishi bilan, boshqa narsalar teng bo'lsa, o'rtacha yillik aylanma 67,8871 million rublga oshadi.

2.2-misol. Kompaniya rahbariyati yillik tovar aylanmasi nafaqat do'konning savdo maydoniga (2.1-misolga qarang), balki tashrif buyuruvchilarning o'rtacha soniga ham bog'liqligini payqadi. Tegishli ma'lumotlar jadvalda keltirilgan. 2.3.

2.3-jadval

Yechim. Do'konga kuniga o'rtacha tashrif buyuruvchilar sonini, ming kishini belgilaymiz.

O'zgaruvchilar o'rtasidagi funktsional munosabatlar shaklini aniqlash uchun va biz tarqalish diagrammasini tuzamiz (2.2-rasm).

Tarqalish sxemasiga asoslanib, biz yillik aylanma kuniga o'rtacha tashrif buyuruvchilar soniga ijobiy bog'liq degan xulosaga kelishimiz mumkin (ya'ni, y ortishi bilan ortadi). Funksional qaramlik shakli chiziqli.

Guruch. 2.2. 2.2-misol uchun tarqalish sxemasi

2.4-jadval

Umuman olganda, ikki faktorli ekonometrik modelning parametrlarini aniqlash kerak

y t = a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + e t

Keyingi hisob-kitoblar uchun zarur bo'lgan ma'lumotlar jadvalda keltirilgan. 2.4.

Chiziqli ikki faktorli ekonometrik modelning parametrlarini eng kichik kvadratlar usuli yordamida baholaylik.

Shunday qilib,

=61,6583 koeffitsientini baholash shuni ko'rsatadiki, boshqa narsalar teng bo'lganda, chakana savdo maydonlarining 1 ming m 2 ga ko'payishi bilan yillik aylanma o'rtacha 61,6583 million rublga oshadi.