ōn = y 2

Bu ifodaga (10.9) dan y ni almashtirsak, shuni topamiz

ōn = ō2 R

(9.8) ga muvofiq tangensial tezlanish moduli ga teng

(10.9) tenglama orqali biz quyidagilarni olamiz:

ōt = b R

(10.10) d dt y. Foyda olish

R b,

Shunday qilib, normal va tangensial tezlanish R bilan chiziqli ravishda ortadi - nuqtaning aylanish o'qidan masofa.

§o'n bir. v va ō vektorlari orasidagi munosabat

Ilgari ko'rib chiqilgan vektorlarni qo'shish va ayirish, shuningdek vektorni skalerga ko'paytirish (2-bandga qarang) bilan bir qatorda vektorlarni ko'paytirish amallari ham mavjud. Ikki vektorni bir-biriga ikki yo'l bilan ko'paytirish mumkin: birinchi usul natijasida qandaydir yangi vektor, ikkinchisi skalyar qiymatga olib keladi. E'tibor bering, vektorni vektorga bo'lish operatsiyasi mavjud emas.

Endi vektorlarning sektor mahsulotini ko'rib chiqamiz. Vektorlarning skalyar ko‘paytmasini keyinroq kerak bo‘lganda kiritamiz.

Ikki A va B vektorlarning vektor mahsuloti quyidagi xususiyatlarga ega C vektoridir:

1) S vektorning moduli vektorlar modullarining ular orasidagi a burchak sinusiga ko‘paytmasiga teng (35-rasm):

2) C vektori A va B vektorlari yotadigan tekislikka perpendikulyar bo'lib, uning yo'nalishi o'ng vint qoidasiga ko'ra A va B yo'nalishlari bilan bog'langan: agar siz C vektoriga qarasangiz, u holda aylanish Birinchi omildan ikkinchisiga qadar eng qisqa yo'l bo'ylab soat yo'nalishi bo'yicha qilingan o'q.

Ramziy maʼnoda oʻzaro koʻpaytma ikki shaklda yozilishi mumkin: | AB | yoki A × B.

Biz ushbu usullarning birinchisidan foydalanamiz, ba'zan esa formulalarni o'qishni osonlashtirish uchun omillar orasiga vergul qo'yamiz. Ikkala qiya xochni ham ishlatmang kvadrat qavslar: [A × V], Bunday turdagi yozuvga ruxsat berilmaydi: [AB] = ABsina. Chap tomonda vektor, o'ngda - bu vektorning moduli, ya'ni skaler. Quyidagi tenglik amal qiladi:

Vektor mahsulotining yo'nalishi birinchi omildan ikkinchisiga aylanish yo'nalishi bilan aniqlanganligi sababli, ikkita vektorni vektorni ko'paytirish natijasi omillarning tartibiga bog'liq. Faktorlar tartibini o'zgartirish natijasida hosil bo'lgan vektor yo'nalishi teskari tomonga o'zgarishiga olib keladi (35-rasm).

= −

B × A = - (A × B).

Shunday qilib, o'zaro mahsulot kommutativ emas. Vektor mahsulotining distributiv ekanligini isbotlash mumkin, ya'ni

Ikki qutbli yoki ikkita eksenel vektorning vektor mahsuloti eksenel vektordir. Eksenel vektorning qutbga (yoki aksincha) vektor mahsuloti qutbli vektor bo'ladi. Eksenel vektorlarning yo'nalishini teskari tomonga belgilovchi shartni o'zgartirish bu holda vektor mahsuloti oldidagi belgining o'zgarishiga va bir vaqtning o'zida omillardan birining oldidagi belgining o'zgarishiga olib keladi. natijada vektor mahsulot bilan ifodalangan qiymat o'zgarishsiz qoladi.

Vektor mahsulot moduliga oddiy geometrik talqin berilishi mumkin: ABsina ifodasi son jihatdan A va B vektorlari ustiga qurilgan parallelogramm maydoniga teng (36-rasm; vektor C = [AB] bu holda perpendikulyar yo'naltirilgan. chizma tekisligi, chizma bo'yicha).

A va B vektorlari o'zaro perpendikulyar bo'lsin (37-rasm).

1) va bilan shakllanadi

Ushbu vektorlarning ikki tomonlama ko'paytmasini hosil qilamiz:

D = A, [BA],

ya'ni B vektorini A ga ko'paytiramiz, so'ngra A vektorini birinchi ko'paytirish natijasida olingan vektorga ko'paytiramiz. [VA] vektorining moduli BA ga teng (sin a = sin p 2).

A va B vektorlari p / 2 ga teng burchaklardir. Binobarin, D vektorining moduli | A | * || = A * BA = A2 B ga teng. D vektorining yo'nalishini rasmda ko'rish oson. 37, B vektorining yo'nalishiga to'g'ri keladi. Bu bizga quyidagi tenglikni yozishga asos beradi:

Keyinchalik (11.3) formuladan bir necha marta foydalanamiz. Biz A va B vektorlari o'zaro perpendikulyar bo'lgandagina haqiqiy ekanligini ta'kidlaymiz.

(10.9) tenglama v va ō vektorlarining modullari orasidagi bog'lanishni o'rnatadi. Oʻzaro koʻpaytma yordamida vektorlarning oʻzlari orasidagi munosabatni beruvchi ifodani yozish mumkin. Tananing z o'qi atrofida burchak tezligi ō bilan aylansin (38-rasm). Jle biz tezligi v topmoqchi bo'lgan nuqtaning radius vektori bo'yicha vektor mahsuloti ō vektor v vektor bilan yo'nalishi bo'yicha to'g'ri keladigan va moduli ōr sina = ōR ga teng ekanligini ko'rish oson, ya'ni. v [qarang formula (10.9)]. Shunday qilib, vektor mahsuloti [ōR] yo'nalishi bo'yicha ham, mutlaq qiymati bo'yicha ham v vektorga teng.

Ushbu maqolada biz ko'plab geometriya muammolarini oddiy arifmetikaga qisqartirish imkonini beradigan bitta "sehrli tayoqcha" ni muhokama qilishni boshlaymiz. Ushbu "tayoq" hayotingizni ancha osonlashtirishi mumkin, ayniqsa fazoviy figuralar, bo'limlar va boshqalarni qurishda o'zingizni ishonchsiz his qilganingizda. Bularning barchasi ma'lum bir tasavvur va amaliy ko'nikmalarni talab qiladi. Biz bu erda ko'rib chiqa boshlaydigan usul sizga har qanday geometrik konstruktsiyalar va mulohazalardan deyarli butunlay mavhum bo'lishga imkon beradi. Usul deyiladi "Koordinata usuli"... Ushbu maqolada biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Koordinata tekisligi
2. Tekislikdagi nuqtalar va vektorlar
3. Ikki nuqtadan vektorni qurish
4. Vektor uzunligi (ikki nuqta orasidagi masofa)
5. O'rta nuqta koordinatalari
6. Vektorlarning nuqta mahsuloti
7. Ikki vektor orasidagi burchak

O'ylaymanki, siz koordinata usuli nima uchun bunday deb nomlanganini allaqachon taxmin qildingizmi? To'g'ri, u geometrik jismlar bilan emas, balki ularning raqamli xususiyatlari (koordinatalari) bilan ishlagani uchun bunday nomni oldi. Va geometriyadan algebraga o'tishga imkon beradigan transformatsiyaning o'zi koordinatalar tizimini joriy etishdan iborat. Agar dastlabki rasm tekis bo'lsa, u holda koordinatalar ikki o'lchovli, agar rasm uch o'lchovli bo'lsa, u holda koordinatalar uch o'lchovli bo'ladi. Ushbu maqolada biz faqat ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqamiz. Maqolaning asosiy maqsadi koordinata usulining ba'zi bir asosiy usullaridan qanday foydalanishni o'rgatishdir (ular ba'zan imtihonning B qismida planimetriya bo'yicha muammolarni hal qilishda foydali bo'lib chiqadi). Ushbu mavzu bo'yicha keyingi ikkita bo'lim C2 (stereometriya muammosi) muammolarini hal qilish usullarini muhokama qilishga bag'ishlangan.

Koordinata usulini muhokama qilishni qaerdan boshlash mantiqan to'g'ri keladi? Ehtimol, koordinatalar tizimi tushunchasidan. U bilan birinchi marta uchrashganingizni eslang. Menimcha, 7-sinfda siz borliq haqida bilganingizda chiziqli funksiya, Misol uchun. Eslatib o'taman, siz uni nuqta-nuqta qurgansiz. Esingizdami? Siz ixtiyoriy raqamni tanladingiz, uni formulaga almashtirdingiz va shu tarzda hisoblab chiqdingiz. Masalan, agar, keyin, agar, keyin va hokazo. Oxirida nima oldingiz? Va siz koordinatali ballarni oldingiz: va. Keyin siz "xoch" (koordinatalar tizimi) chizdingiz, undagi masshtabni tanladingiz (birlik segmenti sifatida qancha katakchaga ega bo'lasiz) va unda siz olgan nuqtalarni belgilab qo'ydingiz, keyin ularni to'g'ri chiziq bilan bog'ladingiz, natijada chiziq. funksiyaning grafigi.

Bu erda sizga batafsilroq tushuntirilishi kerak bo'lgan bir nechta fikrlar mavjud:

1. Siz qulaylik uchun bitta segmentni tanlaysiz, shunda hamma narsa rasmga chiroyli va ixcham mos keladi.

2. O'q chapdan o'ngga, o'q esa pastdan yuqoriga o'tadi deb taxmin qilinadi.

3. Ular to’g’ri burchak ostida kesishadi va ularning kesishish nuqtasi koordinata deyiladi. Bu harf bilan ko'rsatilgan.

4. Nuqta koordinatalarini yozishda, masalan, qavs ichida chap tomonda nuqtaning o‘q bo‘ylab, o‘ng tomonida esa o‘q bo‘ylab koordinatalari yoziladi. Xususan, bu shunchaki nuqtada shuni anglatadi

5. Har qanday nuqtani yoqish uchun koordinata o'qi, uning koordinatalarini ko'rsatishingiz kerak (2 ta raqam)

6. Eksaning istalgan nuqtasi uchun,

7. O'qning istalgan nuqtasi uchun,

8. O'q abscissa o'qi deb ataladi.

9. O'q y o'qi deb ataladi.

Endi siz bilan keyingi qadamni qo'yaylik: ikkita nuqtani belgilang. Keling, bu ikki nuqtani segment bilan bog'laymiz. Va biz o'qni nuqtadan nuqtaga segmentni chizayotgandek qo'yamiz: ya'ni biz segmentimizni yo'naltiramiz!

Yodingizda bo'lsin, yo'nalish chizig'i yana nima deb ataladi? To'g'ri, bu vektor deyiladi!

Shunday qilib, agar biz nuqtani nuqta bilan bog'lasak, bundan tashqari, boshi A nuqtasi bo'ladi va oxiri B nuqtasi bo'ladi, keyin vektorni olamiz. Siz ham bu shakllanishni 8-sinfda qilgansiz, esingizdami?

Ma'lum bo'lishicha, vektorlar ham nuqtalar kabi ikkita raqam bilan belgilanishi mumkin: bu raqamlar vektorning koordinatalari deb ataladi. Savol tug'iladi: vektorning koordinatalarini topish uchun uning boshi va oxiri koordinatalarini bilish kifoya deb o'ylaysizmi? Ma'lum bo'lishicha, ha! Va bu juda oddiy tarzda amalga oshiriladi:

Shunday qilib, vektordagi nuqta boshi va a oxiri bo'lgani uchun vektor quyidagi koordinatalarga ega:

Masalan, agar, u holda vektorning koordinatalari

Endi teskarisini qilamiz, vektorning koordinatalarini topamiz. Buning uchun nimani o'zgartirishimiz kerak? Ha, siz boshi va oxirini almashtirishingiz kerak: endi vektorning boshlanishi nuqtada, oxiri esa nuqtada bo'ladi. Keyin:

Diqqat bilan qarang, vektorlar qanday va? Ularning yagona farqi koordinatalardagi belgilardir. Ular qarama-qarshi. Bu faktni shunday yozish odat tusiga kirgan:

Ba'zan vektorning qaysi nuqtasi boshi va qaysi oxiri ekanligi aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, vektorlar ikkita bosh harf bilan emas, balki bitta kichik harf bilan belgilanadi, masalan: va hokazo.

Endi bir oz amaliyot O'zingiz va quyidagi vektorlarning koordinatalarini toping:

Imtihon:

Endi muammoni biroz qiyinroq hal qiling:

Nuqtada na-cha-lom bilan vektor ko-or-di-na-tyga ega. Nay-di-o'sha abs-cis-su nuqtalari.

Hammasi juda prozaik: nuqta koordinatalari bo'lsin. Keyin

Men vektorning koordinatalari nima ekanligini aniqlash orqali tizimni tuzdim. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi. Bizni abscissa qiziqtiradi. Keyin

Javob:

Vektorlar bilan yana nima qila olasiz? Ha, deyarli hamma narsa oddiy raqamlar bilan bir xil (bundan tashqari, siz bo'lolmaysiz, lekin siz ikki yo'l bilan ko'paytirishingiz mumkin, ulardan birini birozdan keyin muhokama qilamiz)

1. Vektorlarni bir-biriga qo'shish mumkin
2. Vektorlarni bir-biridan ayirish mumkin
3. Vektorlarni ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish (yoki bo'lish) mumkin
4. Vektorlarni bir-biriga ko'paytirish mumkin

Bu operatsiyalarning barchasi juda aniq geometrik tasvirga ega. Masalan, qo'shish va ayirish uchun uchburchak (yoki parallelogramm) qoidasi:

Vektor raqamga ko'paytirilganda yoki bo'linganda kengayadi yoki qisqaradi yoki yo'nalishini o'zgartiradi:

Biroq, bu erda biz koordinatalar bilan nima sodir bo'layotgani haqidagi savolga qiziqamiz.

1. Ikki vektorni qo‘shishda (ayirishda) ularning koordinatalarini element bo‘yicha qo‘shamiz (ayitamiz). Ya'ni:

2. Vektorni songa ko‘paytirishda (bo‘lishda) uning barcha koordinatalari shu songa ko‘paytiriladi (bo‘linadi):

Masalan:

· Ko-or-di-nat vek-to-raning Nay-di-te summasi.

Avval vektorlarning har birining koordinatalarini topamiz. Ularning kelib chiqishi bir xil - kelib chiqish nuqtasi. Ularning oxiri boshqacha. Keyin, . Endi vektorning koordinatalarini hisoblaymiz U holda hosil bo'lgan vektor koordinatalarining yig'indisi bo'ladi.

Javob:

Endi quyidagi muammoni o'zingiz hal qiling:

Vektor koordinatalarining yig‘indisini toping

Biz tekshiramiz:

Endi quyidagi masalani ko'rib chiqamiz: bizda koordinatalar tekisligida ikkita nuqta bor. Ularning orasidagi masofani qanday topish mumkin? Birinchi nuqta bo'lsin, ikkinchisi. Ularning orasidagi masofani orqali belgilaymiz. Aniqlik uchun quyidagi rasmni tuzamiz:

Men nima qildim? Men birinchi bo'lib ulandim nuqtalar va, va ham bir nuqtadan o'qqa parallel chiziq chizdim va bir nuqtadan o'qga parallel chiziq chizdim. Ular bir nuqtada kesishib, ajoyib figurani hosil qildilarmi? Bu nima uchun diqqatga sazovor? Ha, siz va men to'g'ri burchakli uchburchak haqida deyarli hamma narsani bilamiz. Xo'sh, Pifagor teoremasi - aniq. Izlangan segment bu uchburchakning gipotenuzasi, segmentlari esa oyoqlaridir. Nuqtaning koordinatalari qanday? Ha, ularni rasmdan topish oson: Segmentlar o'qlarga parallel bo'lgani uchun va shunga mos ravishda ularning uzunliklarini topish oson: agar siz segmentlarning uzunligini mos ravishda bilan belgilasangiz, u holda

Endi Pifagor teoremasidan foydalanamiz. Biz oyoqlarning uzunligini bilamiz, biz gipotenuzani topamiz:

Shunday qilib, ikki nuqta orasidagi masofa koordinatalardan farqlar kvadratlari yig'indisining ildizidir. Yoki - ikki nuqta orasidagi masofa ularni bog'laydigan chiziq uzunligi. Nuqtalar orasidagi masofa yo'nalishga bog'liq emasligini ko'rish oson. Keyin:

Bundan biz uchta xulosa chiqaramiz:

Keling, ikkita nuqta orasidagi masofani hisoblashda bir oz mashq qilaylik:

Masalan, agar, u holda va orasidagi masofa teng

Yoki boshqacha yo'l tutaylik: vektorning koordinatalarini toping

Va vektor uzunligini toping:

Ko'rib turganingizdek, xuddi shunday!

Endi o'zingiz mashq qiling:

Vazifa: belgilangan nuqtalar orasidagi masofani toping:

Biz tekshiramiz:

Xuddi shu formula uchun yana bir nechta muammo bor, garchi ular bir oz boshqacha eshitilsa:

1. Asr-to-ra uzunligining Nay-di-te kvadrat-rat.

2. Asr-to-ra uzunligining Nay-di-te kvadrat-rat

Menimcha, siz ular bilan osonlik bilan ish qildingizmi? Biz tekshiramiz:

1. Va bu diqqat uchun) Biz vektorlarning koordinatalarini allaqachon topdik va avvalroq:. Keyin vektor koordinatalariga ega bo'ladi. Uning uzunligi kvadrati quyidagicha bo'ladi:

2. Vektorning koordinatalarini toping

Keyin uning uzunligi kvadrati bo'ladi

Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Oddiy arifmetika, boshqa hech narsa emas.

Quyidagi vazifalarni aniq tasniflash mumkin emas, ular umumiy bilim va oddiy rasmlarni chizish qobiliyatiga ega.

1. Burchakning Nay-di-te sinusi on-off-kesim, ko-uni-nya-yu-shch-chi nuqta, abscissa o'qi bilan.

va

Bu yerda nima qilmoqchimiz? O'q va orasidagi burchakning sinusini topishingiz kerak. Va sinusni qanday qidirishni qaerdan bilamiz? To'g'ri, to'g'ri burchakli uchburchakda. Xo'sh, nima qilishimiz kerak? Bu uchburchakni yarating!

Nuqtaning koordinatalari va bo'lgani uchun, segment teng va segment. Biz burchakning sinusini topishimiz kerak. Shuni eslatib o'tamanki, sinus - bu qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati

Bizga nima qilish kerak? Gipotenuzani toping. Siz buni ikki yo'l bilan qilishingiz mumkin: Pifagor teoremasi bo'yicha (oyoqlari ma'lum!) Yoki ikki nuqta orasidagi masofa formulasi bilan (aslida, birinchi yo'l bilan bir xil!). Men ikkinchi yo'lga boraman:

Javob:

Keyingi vazifa sizga yanada osonroq ko'rinadi. U - nuqta koordinatalari bo'yicha.

Maqsad 2. Per-pen-di-ku-lar nuqtadan abs-ciss o'qiga tushiriladi. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

Keling, rasm chizamiz:

Perpendikulyarning asosi - bu abscissa o'qini (o'qi) kesib o'tadigan nuqta, men uchun bu nuqta. Rasmda uning koordinatalari borligini ko'rsatadi:. Bizni abscissa - ya'ni "x" komponenti qiziqtiradi. Bu teng.

Javob: .

Maqsad 3. Oldingi masala shartlariga ko'ra, nuqtadan koordinata o'qlarigacha bo'lgan masofalar yig'indisini toping.

Agar nuqtadan o'qlargacha bo'lgan masofa qancha ekanligini bilsangiz, vazifa odatda elementardir. Sen bilasan? Umid qilamanki, lekin hali ham eslataman:

Xo'sh, mening rasmimda, biroz balandroqda, men allaqachon bitta perpendikulyar chizganman? U qaysi o'qga to'g'ri keladi? O'qga. Va keyin uning uzunligi nimaga teng? Bu teng. Endi o'qga perpendikulyarni o'zingiz chizing va uning uzunligini toping. Bu teng bo'ladi, to'g'rimi? Keyin ularning yig'indisi teng bo'ladi.

Javob: .

Vazifa 4. 2-masala shartlarida nuqtaning abtsissa o'qiga nisbatan simmetrik nuqta ordinatasini toping.

O'ylaymanki, siz simmetriya nima ekanligini intuitiv ravishda tushunasizmi? Ko'pgina ob'ektlar unga ega: ko'plab binolar, stollar, samolyotlar, ko'plab geometrik shakllar: to'p, silindr, kvadrat, romb va boshqalar.. Taxminan, simmetriyani quyidagicha tushunish mumkin: raqam ikki (yoki undan ko'p) bir xil yarmidan iborat. Ushbu simmetriya eksenel deb ataladi. Xo'sh, eksa nima? Aynan shu chiziq bo'ylab, nisbatan aytganda, figurani bir xil yarmiga "kesish" mumkin (bu rasmda simmetriya o'qi to'g'ri chiziqdir):

Endi muammomizga qaytaylik. Biz o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtani qidirayotganimizni bilamiz. Keyin bu o'q simmetriya o'qi hisoblanadi. Bu shuni anglatadiki, biz nuqtani belgilashimiz kerak, shunda o'q segmentni ikkita teng qismga kesib tashlaydi. Bunday nuqtani o'zingiz belgilashga harakat qiling. Endi mening yechimim bilan solishtiring:

Siz ham shunday qildingizmi? Yaxshi! Topilgan nuqtada biz ordinataga qiziqamiz. U teng

Javob:

Endi ayting-chi, soniyalar haqida o'ylab ko'ring, A nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning ordinataga nisbatan abtsissasi qanday bo'ladi? Sizning javobingiz nima? To'g'ri javob: .

Umuman olganda, qoida quyidagicha yozilishi mumkin:

Abtsissa o'qiga nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalariga ega:

Ordinata o'qi atrofidagi nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalarga ega:

Xo'sh, endi bu butunlay qo'rqinchli vazifa: nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning koordinatalarini toping. Siz avval o'zingiz o'ylab ko'ring, keyin mening chizgan rasmimga qarang!

Javob:

Hozir parallelogramm muammosi:

5-masala: Nuqtalar ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Nay-di-te yoki-di-na-tu nuqtalari.

Siz bu muammoni ikki yo'l bilan hal qilishingiz mumkin: mantiq va koordinatalar usuli. Men birinchi navbatda koordinata usulini qo'llayman, keyin esa qanday qilib boshqacha qaror qabul qilishingiz mumkinligini aytaman.

Nuqtaning abssissasi ga teng ekanligi aniq. (u nuqtadan abtsissa o'qiga chizilgan perpendikulyarda yotadi). Biz ordinatani topishimiz kerak. Keling, bizning raqamimiz parallelogramm ekanligidan foydalanaylik, bu shuni anglatadiki. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi yordamida segment uzunligini toping:

Nuqtani eksa bilan bog'laydigan perpendikulyarni tushiramiz. Kesishish nuqtasi harf bilan belgilanadi.

Segment uzunligi. (Biz ushbu nuqtani muhokama qilgan muammoning o'zini toping), keyin Pifagor teoremasi bo'yicha segment uzunligini topamiz:

Chiziq uzunligi uning ordinatasi bilan aynan bir xil.

Javob: .

Boshqa yechim (men uni tasvirlaydigan rasmni beraman)

Yechim jarayoni:

1. Xulq-atvor

2. Nuqta va uzunlikning koordinatalarini toping

3. Buni isbotlang.

Yana bir bor segment uzunligi muammosi:

Nuqtalar paydo bo'ladi-la-are-sya ver-shi-na-mi tre-ko'mir-ni-ka. Nay-di-te - uning o'rta chizig'ining uzunligi, paral-lel-noy.

Uchburchakning o'rta chizig'i nima ekanligini eslaysizmi? Keyin bu vazifa siz uchun oddiy. Esingizda bo'lmasa, men sizga eslataman: uchburchakning o'rta chizig'i qarama-qarshi tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan chiziqdir. U asosga parallel va uning yarmiga teng.

Baza chiziq segmentidir. Biz uning uzunligini avvalroq izlashimiz kerak edi, u teng. Keyin o'rta chiziqning uzunligi yarmi va tengdir.

Javob: .

Sharh: bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, biz biroz keyinroq murojaat qilamiz.

Ayni paytda siz uchun bir nechta topshiriqlar bor, ularni mashq qiling, ular juda oddiy, ammo ular koordinatalar usuli yordamida "qo'lingizni olishga" yordam beradi!

1. Nuqtalar ver-shi-na-mi tra-petsii. Nay-di-te - uning o'rta chizig'ining uzunligi.

2. Nuqtalar va are-la-is-sya ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Nay-di-te yoki-di-na-tu nuqtalari.

3. Nay-di-te uzunligidan kesilgan, ko-uni-nya-yu-shch-go nuqtasi va

4. Ko-or-di-nat-noy tekisligidagi go'zal fi-gu-ryning Nay-di-te maydoni.

5. Markazi na-cha-le ko-or-di-natda boʻlgan aylana nuqtadan oʻtadi. Nay-di-te uni ra-di-us.

6. Nai-di-te ra-di-us aylanasi, tasvirlangan-san-noy atrofida to‘g‘ri ko‘mir-ni-ka, ko-to-ro-go cho‘qqilari ko-op-di-naga ega. -Siz veterinarsiz-lekin

Yechimlar:

1. Ma'lumki, trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslarining yarim yig'indisiga teng. Baza teng, asos esa teng. Keyin

Javob:

2. Bu masalani hal qilishning eng oson yo'li - buni payqash (paralelogramma qoidasi). Vektorlarning koordinatalarini hisoblang va qiyin emas:. Vektorlar qo'shilganda, koordinatalar qo'shiladi. Keyin koordinatalar mavjud. Nuqta ham bir xil koordinatalarga ega, chunki vektorning kelib chiqishi koordinatali nuqtadir. Biz ordinataga qiziqamiz. Bu teng.

Javob:

3. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi bo'yicha darhol harakat qilamiz:

Javob:

4. Rasmga qarang va ayting-chi, qaysi ikki shakl o'rtasida soyali maydon "sendvichlangan"? U ikkita kvadrat orasiga o'ralgan. Keyin kerakli raqamning maydoni katta kvadratning maydonidan kichik kvadratning maydoniga teng bo'ladi. Kichik kvadratning yon tomoni nuqtalarni bog'laydigan chiziq bo'lagi bo'lib, uning uzunligi

Keyin kichik kvadratning maydoni

Biz katta kvadrat bilan ham xuddi shunday qilamiz: uning tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment va uning uzunligi

Keyin katta kvadratning maydoni

Biz kerakli raqamning maydonini quyidagi formula bo'yicha topamiz:

Javob:

5. Agar aylana markazi sifatida koordinatalarning kelib chiqishiga ega bo'lsa va nuqtadan o'tadigan bo'lsa, u holda uning radiusi segment uzunligiga to'liq teng bo'ladi (rasmni chizing va nima uchun bu aniq ekanligini tushunasiz). Keling, ushbu segmentning uzunligini topamiz:

Javob:

6. Ma’lumki, to‘rtburchak atrofida aylana radiusi uning diagonalining yarmiga teng. Keling, ikkita diagonaldan birining uzunligini topaylik (oxir-oqibat, to'rtburchakda ular teng!)

Javob:

Xo'sh, siz hamma narsani hal qildingizmi? Buni aniqlash juda qiyin bo'lmadi, shunday emasmi? Bu erda qoida bitta - vizual rasmni yaratish va undan barcha ma'lumotlarni "o'qish".

Bizda juda oz qoldi. Men muhokama qilmoqchi bo'lgan yana ikkita fikr bor.

Keling, ushbu oddiy muammoni hal qilishga harakat qilaylik. Ikki ball bo'lsin va berilsin. Segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini toping. Ushbu muammoning yechimi quyidagicha: nuqta kerakli o'rta nuqta bo'lsin, keyin uning koordinatalari mavjud:

Ya'ni: segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari = segment uchlarining tegishli koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Bu qoida juda oddiy va odatda talabalar uchun qiyinchilik tug'dirmaydi. Keling, qanday vazifalar va qanday ishlatilishini ko'rib chiqaylik:

1. Nay-di-te or-di-na-tu-re-di-us dan-kesilgan, ko-uni-nya-yu-shch-go nuqtasi va

2. Nuqtalar paydo bo'ladi-la-are-sya ver-shi-na-mi-you-rekh-ko'mir-no-ka. Nay-di-te or-di-na-tu nuqtalari pe-re-se-ch-niya uning dia-go-na-lei.

3. Nay-di-o'sha abs-cis-su aylana markazi-tra, tasvirlangan-san-noy yaqinida ko'mir-no-ka, ko-to-ro-go cho'qqilari ko-op-di- bor. na-siz ham veterinarsiz-lekin.

Yechimlar:

1. Birinchi muammo shunchaki klassika. Biz segmentning o'rtasini aniqlash uchun darhol harakat qilamiz. Uning koordinatalari bor. Ordinat - bu.

Javob:

2. Berilgan to‘rtburchak parallelogramm (hatto romb ham!) ekanligini ko‘rish oson. Buni tomonlarning uzunligini hisoblash va ularni bir-biri bilan solishtirish orqali o'zingiz isbotlashingiz mumkin. Parallelogramma haqida nima bilaman? Uning diagonallari kesishish nuqtasi bilan yarmiga qisqartiriladi! Aha! Shunday qilib, diagonallarning kesishish nuqtasi nima? Bu har qanday diagonalning o'rtasi! Men, xususan, diagonalni tanlayman. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi Nuqtaning ordinatasi ga teng.

Javob:

3.To‘rtburchak atrofida aylana markazi nima bilan chegaralangan? Uning diagonallarining kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz? Ular teng va kesishish yarmiga qisqartiriladi. Vazifa avvalgisiga qisqartirildi. Masalan, diagonalni oling. Agar chegaralangan doiraning markazi bo'lsa, unda o'rtasi. Koordinatalar qidirilmoqda: Abscissa teng.

Javob:

Endi o'zingiz biroz mashq qiling, men har bir masalaga javob beraman, shunda siz o'zingizni sinab ko'rishingiz mumkin.

1. Doiraning Nai-di-te ra-di-us, uchburchak atrofida tasvirlangan-san-noy, ko-to-ro-go cho'qqilari ko-or-di -yo'q misterlarga ega.

2. Nay-di-te or-di-na-tu aylana markazi-tra, uchburchak-nik atrofida tasvir-san-noy, ko-to-ro-go uchlari koordinatalarga ega.

3. Qanday-ra-di-u-sa nuqtada abs-sissa o'qiga tegib turadigan markazi bo'lgan doira bo'lishi kerak?

4. Nay-di-te or-di-na-tu o'qni qayta ekish va kesish nuqtalari, ko-uni-nya-yu-shch-go nuqtasi va

Javoblar:

Muvaffaqiyatga erishdingizmi? Men bunga haqiqatan ham umid qilaman! Endi - oxirgi bosish. Hozir ayniqsa ehtiyot bo'ling. Men hozir tushuntirib beradigan material faqat B qismidan koordinatalar usuli bo'yicha oddiy masalalar bilan bevosita bog'liq bo'lib qolmay, balki C2 masalasining hamma joyida uchraydi.

Qaysi va'dalarimni hali bajarmadim? Esingizdami, vektorlar ustida qanday operatsiyalarni kiritishga va'da bergan edim va oxirida qaysi amallarni kiritdim? Hech narsani unutmaganimga ishonchim komilmi? Unutdim! Vektorlarni ko'paytirish nimani anglatishini tushuntirishni unutdim.

Vektorni vektorga ko'paytirishning ikki yo'li mavjud. Tanlangan usulga qarab, biz boshqa tabiatdagi ob'ektlarni olamiz:

Vektor mahsuloti juda qiyin. Buni qanday qilish kerak va u nima uchun, biz siz bilan keyingi maqolada muhokama qilamiz. Va bunda biz nuqta mahsulotiga e'tibor qaratamiz.

Buni hisoblashning ikkita usuli mavjud:

Siz taxmin qilganingizdek, natija bir xil bo'lishi kerak! Shunday qilib, birinchi yo'lni ko'rib chiqaylik:

Koordinatalar bo'yicha nuqta mahsuloti

Toping: - umumiy nuqta hosilasi belgisi

Hisoblash formulasi quyidagicha:

Ya'ni, nuqta mahsuloti = vektorlar koordinatalari ko'paytmalarining yig'indisi!

Misol:

Nai di te

Yechim:

Har bir vektorning koordinatalarini topamiz:

Nuqta mahsulotini formula bo'yicha hisoblaymiz:

Javob:

Qarang, hech qanday murakkab narsa yo'q!

Xo'sh, endi o'zingiz sinab ko'ring:

Nay-di-te scalar-noe pro-iz-ve-de-de-vek-to-moat va

Siz boshqardingizmi? Ehtimol, siz kichik ovni payqadingizmi? Keling, tekshiramiz:

Vektorlarning koordinatalari avvalgi vazifadagi kabi! Javob: .

Koordinataga qo'shimcha ravishda nuqta mahsulotini hisoblashning yana bir usuli mavjud, ya'ni vektorlarning uzunligi va ular orasidagi burchakning kosinuslari orqali:

Vektorlar orasidagi burchakni ko'rsatadi va.

Ya'ni, nuqta mahsuloti vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchakning kosinuslari ko'paytmasiga teng.

Nima uchun bizga bu ikkinchi formula kerak, agar bizda birinchi bo'lsa, u ancha sodda bo'lsa, hech bo'lmaganda unda kosinuslar yo'q. Va bu birinchi va ikkinchi formulalardan vektorlar orasidagi burchakni qanday topish mumkinligini chiqarishimiz uchun kerak!

Let Keyin vektor uzunligi formulasini eslaylik!

Agar men ushbu ma'lumotni nuqta mahsulot formulasiga almashtirsam, men quyidagilarni olaman:

Ammo boshqa yo'l bilan:

Xo'sh, siz va men nima oldik? Endi bizda ikkita vektor orasidagi burchakni hisoblash uchun formula mavjud! Ba'zan qisqalik uchun shunday yoziladi:

Ya'ni vektorlar orasidagi burchakni hisoblash algoritmi quyidagicha:

1. Nuqta mahsulotini koordinatalar bo‘yicha hisoblang
2. Vektorlarning uzunliklarini toping va ularni ko'paytiring
3. 1-bandning natijasini 2-bandning natijasiga bo'ling

Keling, misollar bilan mashq qilaylik:

1. Nay-di-te - asr-to-ra-mi va orasidagi burchak. Javobni gra-du-sakhda bering.

2. Oldingi masala shartlarida vektorlar orasidagi kosinusni toping

Keling, shunday qilaylik: birinchi muammoni hal qilishga yordam beraman, ikkinchisini esa o'zingiz qilishga harakat qiling! Men roziman? Keyin boshlaylik!

1. Bu vektorlar bizning eski tanishlarimiz. Biz allaqachon ularning nuqta mahsulotini hisoblab chiqdik va u teng edi. Ularning koordinatalari:,. Keyin ularning uzunligini topamiz:

Keyin vektorlar orasidagi kosinusni qidiramiz:

Burchakning kosinusu nimaga teng? Bu burchak.

Javob:

Endi ikkinchi masalani o'zingiz hal qiling, keyin solishtiramiz! Men sizga faqat qisqacha yechim beraman:

2. koordinatalari bor, koordinatalari bor.

vektorlar orasidagi burchak va, keyin bo'lsin

Javob:

Shuni ta'kidlash kerakki, imtihon ishining B qismida bevosita vektorlar va koordinatalar usuli bilan bog'liq muammolar juda kam uchraydi. Biroq, C2 muammolarining katta qismi koordinata tizimini joriy qilish orqali osonlikcha hal qilinishi mumkin. Shunday qilib, siz ushbu maqolani asos sifatida ko'rib chiqishingiz mumkin, uning asosida biz murakkab muammolarni hal qilishimiz kerak bo'lgan juda ayyor konstruktsiyalarni qilamiz.

KOORDINATLAR VA VEKTORLAR. O'RTA ROVEN

Siz va men koordinatalar usulini o'rganishda davom etamiz. Oxirgi qismda biz sizga imkon beradigan bir qator muhim formulalarni oldik:

1. Vektor koordinatalarini toping
2. Vektor uzunligini toping (muqobil ravishda: ikki nuqta orasidagi masofa)
3. Vektorlarni qo'shish, ayirish. Ularni haqiqiy songa ko'paytiring
4. Chiziq segmentining o'rta nuqtasini toping
5. Vektorlarning nuqta mahsulotini hisoblang
6. Vektorlar orasidagi burchakni toping

Albatta, butun koordinata usuli bu 6 nuqtaga to'g'ri kelmaydi. U analitik geometriya kabi fanning markazida joylashgan bo'lib, u bilan siz universitetda tanishishingiz kerak. Men faqat bitta davlatda muammolarni hal qilish imkonini beradigan poydevor qurmoqchiman. imtihon. Biz B qismidagi vazifalarni aniqladik. Endi sifat jihatidan yangi bosqichga o'tish vaqti keldi! Ushbu maqola C2 muammolarini hal qilish usuliga bag'ishlangan bo'lib, unda koordinatalar usuliga o'tish maqsadga muvofiqdir. Bu ratsionallik muammoda nimani topish kerakligi va qanday raqam berilganligi bilan belgilanadi. Shunday qilib, agar savollar bo'lsa, men koordinata usulidan foydalanaman:

1. Ikki tekislik orasidagi burchakni toping
2. Chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping
3. Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchakni toping
4. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
5. Nuqtadan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani toping
6. To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
7. Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi masofani toping

Agar muammo bayonida keltirilgan raqam inqilob tanasi bo'lsa (to'p, silindr, konus ...)

Koordinatalar usuli uchun mos shakllar:

1. To'rtburchaklar parallelepiped
2. Piramida (uchburchak, to'rtburchak, olti burchakli)

Bundan tashqari, mening tajribamda uchun koordinata usulini qo'llash noo'rin:

1. Kesma maydonlarni topish
2. Jismlarning hajmini hisoblash

Biroq, darhol shuni ta'kidlash kerakki, koordinatalar usuli uchun "noqulay" uchta holat amalda juda kam uchraydi. Ko'pgina vazifalarda u sizning qutqaruvchingizga aylanishi mumkin, ayniqsa siz uch o'lchamli konstruktsiyalarda (ba'zan juda murakkab) juda kuchli bo'lmasangiz.

Men yuqorida sanab o'tgan barcha raqamlar qanday? Ular endi tekis emas, masalan, kvadrat, uchburchak, doira kabi, lekin uch o'lchamli! Shunga ko'ra, biz ikki o'lchovli emas, balki uch o'lchovli koordinatalar tizimini hisobga olishimiz kerak. Uni qurish oson: abscissa va ordinata o'qlariga qo'shimcha ravishda biz yana bitta o'qni, amaliy o'qni kiritamiz. Rasmda ularning nisbiy holati sxematik ko'rsatilgan:

Ularning barchasi o'zaro perpendikulyar, bir nuqtada kesishadi, biz uni kelib chiqishi deb ataymiz. Abscissa o'qi, avvalgidek, ordinata o'qi - va kiritilgan amaliy o'q - deb belgilanadi.

Agar ilgari tekislikdagi har bir nuqta ikkita raqam - abscissa va ordinata bilan tavsiflangan bo'lsa, fazodagi har bir nuqta allaqachon uchta raqam bilan tasvirlangan - abscissa, ordinata, applikatsiya. Masalan:

Shunga ko'ra, nuqtaning abssissasi teng, ordinatasi va qo'shimchasi.

Ba'zan nuqtaning abscissasi nuqtaning abscissa o'qiga proyeksiyasi, ordinata - nuqtaning ordinat o'qiga proyeksiyasi, applikatsiya esa nuqtaning qo'llaniladigan o'qga proyeksiyasi deb ham ataladi. Shunga ko'ra, agar nuqta ko'rsatilgan bo'lsa, u holda koordinatali nuqta:

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

Tabiiy savol tug'iladi: ikki o'lchovli holat uchun olingan barcha formulalar kosmosda amal qiladimi? Javob ha, ular adolatli va bir xil ko'rinishga ega. Kichik tafsilot uchun. O'ylaymanki, siz qaysi biri uchun allaqachon taxmin qilgansiz. Qo'llash o'qi uchun javob beradigan barcha formulalarga yana bitta atama qo'shishimiz kerak. Aynan.

1. Ikki nuqta berilgan bo'lsa:, u holda:

• Vektor koordinatalari:
• Ikki nuqta orasidagi masofa (yoki vektor uzunligi)
• Segmentning o'rtasida koordinatalar mavjud

2. Agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va, keyin:

• Ularning nuqta mahsuloti:
• Vektorlar orasidagi burchakning kosinusu:

Biroq, makon unchalik oddiy emas. Siz tasavvur qilganingizdek, yana bitta koordinataning qo'shilishi ushbu bo'shliqda "yashovchi" raqamlar spektrida sezilarli xilma-xillikni keltirib chiqaradi. Va keyingi rivoyat uchun men to'g'ri chiziqning ba'zi, taxminan aytganda, "umumlashtirish" bilan tanishtirishim kerak. Bu "umumlashtirish" samolyotdir. Samolyot haqida nimalarni bilasiz? Savolga javob berishga harakat qiling, samolyot nima? Buni aytish juda qiyin. Biroq, hammamiz uning qanday ko'rinishi haqida intuitiv tasavvurga egamiz:

Taxminan aytganda, bu kosmosga tiqilgan o'ziga xos cheksiz "barg". "Cheksizlik" tekislikning barcha yo'nalishlarda cho'zilishi, ya'ni uning maydoni cheksizlikka teng ekanligini tushunish kerak. Biroq, bu "barmoqlarda" tushuntirish samolyotning tuzilishi haqida zarracha fikr ham bermaydi. Va biz bunga qiziqamiz.

Keling, geometriyaning asosiy aksiomalaridan birini eslaylik:

• to'g'ri chiziq tekislikning ikki xil nuqtasidan o'tadi, bundan tashqari, faqat bitta:

Yoki kosmosdagi hamkasbi:

Albatta, siz ikkita berilgan nuqtadan to'g'ri chiziq tenglamasini qanday chiqarishni eslaysiz, bu unchalik qiyin emas: agar birinchi nuqta koordinatalarga ega bo'lsa: ikkinchisi esa, to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

Siz buni 7-sinfda boshdan kechirdingiz. Fazoda to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: koordinatalari bo'lgan ikkita nuqtaga ega bo'lsin: u holda ular orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi:

Masalan, to'g'ri chiziq nuqtalardan o'tadi:

Buni qanday tushunish kerak? Buni quyidagicha tushunish kerak: nuqta to'g'ri chiziq ustida joylashgan bo'lsa, uning koordinatalari quyidagi tizimni qanoatlantirsa:

Chiziq tenglamasi bizni unchalik qiziqtirmaydi, lekin biz chiziqning yo'naltiruvchi vektorining juda muhim tushunchasiga e'tibor qaratishimiz kerak. - berilgan chiziqda yoki unga parallel yotgan har qanday nolga teng bo'lmagan vektor.

Masalan, ikkala vektor to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorlaridir. To'g'ri chiziqda yotgan nuqta va uning yo'nalishi vektori bo'lsin. Keyin to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:

Yana bir bor to'g'ri chiziq tenglamasi meni unchalik qiziqtirmaydi, lekin yo'nalish vektori nima ekanligini eslab qolishingiz kerak! Yana bir marta: bu to'g'ri chiziqda yoki unga parallel yotgan HAR QANDAY nolga teng vektor.

Olib tashlash berilgan uchta nuqtadagi tekislikning tenglamasi endi unchalik ahamiyatsiz emas va odatda bu masala o'rta maktab kursida ko'rib chiqilmaydi. Lekin behuda! Murakkab masalalarni hal qilishda koordinata usulidan foydalanganda bu usul juda muhimdir. Ammo, menimcha, siz yangi narsalarni o'rganishni xohlaysizmi? Bundan tashqari, siz odatda analitik geometriya kursida o'rganiladigan metodologiyani qanday bilishni allaqachon bilsangiz, universitetdagi o'qituvchingizni hayratda qoldirishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Tekislik tenglamasi tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasidan unchalik farq qilmaydi, ya'ni u quyidagi ko'rinishga ega:

ba'zi raqamlar (barchasi nolga teng emas), lekin o'zgaruvchilar, masalan: va hokazo. Ko'rib turganingizdek, tekislik tenglamasi to'g'ri chiziq tenglamasidan (chiziqli funktsiya) unchalik farq qilmaydi. Biroq, siz va men nima deganimizni eslaysizmi? Agar bizda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bo'lsa, unda tekislik tenglamasini ulardan yagona tarzda qayta qurish mumkinligini aytdik. Lekin qanday? Men sizga tushuntirishga harakat qilaman.

Chunki tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Va nuqtalar ushbu tekislikka tegishli, keyin har bir nuqtaning koordinatalarini tekislik tenglamasiga almashtirganda, biz to'g'ri identifikatsiyani olishimiz kerak:

Shunday qilib, noma'lumlar bilan ham uchta tenglamani yechish kerak bo'ladi! Dilemma! Biroq, siz har doim shunday deb taxmin qilishingiz mumkin (buning uchun siz bo'linishingiz kerak). Shunday qilib, biz uchta noma'lumli uchta tenglamani olamiz:

Biroq, biz bunday tizimni hal qilmaymiz, lekin undan kelib chiqadigan sirli iborani yozamiz:

Berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi

\ [\ chap | (\ start (massiv) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0)) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ end (massiv)) \ o'ng | = 0 \]

STOP! Bu nima? Juda noodatiy modul! Biroq, sizning oldingizda ko'rayotgan ob'ektning modulga hech qanday aloqasi yo'q. Bu obyekt uchinchi tartibli determinant deb ataladi. Bundan buyon, siz tekislikdagi koordinatalar usuli bilan shug'ullanganingizda, xuddi shu determinantlarga tez-tez duch kelasiz. Uchinchi tartibli aniqlovchi nima? Ajabo, bu shunchaki raqam. Determinant bilan qaysi aniq raqamni solishtirishni tushunish qoladi.

Avval uchinchi tartibli determinantni umumiyroq shaklda yozamiz:

Ba'zi raqamlar qayerda. Bundan tashqari, birinchi indeks deganda biz satr raqamini va indeks bilan - ustun raqamini tushunamiz. Masalan, bu berilgan raqam ikkinchi qator va uchinchi ustunning kesishgan joyida ekanligini bildiradi. Keling, keyingi savolni beraylik: bunday determinantni qanday aniq hisoblaymiz? Ya'ni, biz unga qanday aniq raqamni moslashtiramiz? Uchinchi tartibning determinanti uchun uchburchakning evristik (vizual) qoidasi mavjud, u quyidagicha ko'rinadi:

1. Asosiy diagonal elementlarining mahsuloti (yuqori chap burchakdan pastki o'ngga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning asosiy diagonal mahsulotiga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning asosiy diagonal mahsulotiga "perpendikulyar". diagonal
2. Ikkilamchi diagonal elementlarining ko'paytmasi (yuqori o'ng burchakdan pastki chapga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ikkinchi darajali diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi darajali diagonal ko'paytmasi. diagonal
3. Keyin determinant va qadamda olingan qiymatlar orasidagi farqga teng bo'ladi

Agar bularning barchasini raqamlar bilan yozsak, quyidagi ifodani olamiz:

Shunga qaramay, ushbu shaklda hisoblash usulini yodlab olishning hojati yo'q, shunchaki uchburchaklarni va nimaga nima qo'shilishi va nimadan nima ayirilishi haqidagi g'oyani saqlash kifoya).

Keling, uchburchak usulini misol bilan ko'rsatamiz:

1. Aniqlovchini hisoblang:

Keling, nimani qo'shishimiz va nimani ayirishimizni aniqlaymiz:

"Plyus" bilan kelgan shartlar:

Bu asosiy diagonal: elementlarning mahsuloti

Birinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Ikkinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Uchta raqam qo'shing:

"minus" bilan kelgan atamalar

Bu yon diagonal: elementlarning mahsuloti

Birinchi uchburchak, "yon diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Ikkinchi uchburchak, "yon diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Uchta raqam qo'shing:

Bajarilishi kerak bo'lgan narsa ortiqcha shartlar yig'indisidan minus shartlar yig'indisini ayirishdir:

Shunday qilib,

Ko'rib turganingizdek, uchinchi darajali determinantlarni hisoblashda murakkab va g'ayritabiiy narsa yo'q. Faqat uchburchaklar haqida eslash va arifmetik xatolarga yo'l qo'ymaslik muhimdir. Endi uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling:

Biz tekshiramiz:

1. Asosiy diagonalga perpendikulyar bo'lgan birinchi uchburchak:
2. Asosiy diagonalga perpendikulyar ikkinchi uchburchak:
3. Plyus bilan shartlar yig'indisi:
4. Yon diagonalga perpendikulyar birinchi uchburchak:
5. Ikkilamchi diagonalga perpendikulyar ikkinchi uchburchak:
6. Minus bilan shartlar yig'indisi:
7. Plyusli shartlar yig'indisi minusli shartlar yig'indisi:

Mana siz uchun yana bir nechta aniqlovchilar, ularning qiymatlarini o'zingiz hisoblang va ularni javoblar bilan solishtiring:

Javoblar:

Xo'sh, hammasi mos keldimi? Ajoyib, keyin davom eta olasiz! Agar qiyinchiliklar mavjud bo'lsa, mening maslahatim shunday: Internetda determinantni onlayn hisoblash uchun bir qator dasturlar mavjud. Sizga kerak bo'lgan narsa - o'zingizning determinantingizni o'ylab toping, uni o'zingiz hisoblang va keyin uni dastur hisoblagan narsa bilan solishtiring. Va shunga o'xshash natijalar mos kelguncha davom eting. Ishonchim komilki, bu daqiqa uzoq kutilmaydi!

Keling, uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi haqida gapirganimda yozgan determinantga qaytaylik:

Sizga kerak bo'lgan yagona narsa uning qiymatini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash (uchburchaklar usuli yordamida) va natijani nolga qo'yishdir. Tabiiyki, ular o'zgaruvchilar bo'lgani uchun siz ularga bog'liq bo'lgan ba'zi ifodalarni olasiz. Aynan shu ifoda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi bo'ladi!

Buni oddiy misol bilan tushuntiramiz:

1. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini tuzing

Keling, ushbu uchta nuqta uchun determinantni tuzamiz:

Keling, soddalashtiramiz:

Endi biz uni to'g'ridan-to'g'ri uchburchaklar qoidasi bilan hisoblaymiz:

\ [(\ chap | (\ start (massiv)) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (massiv)) \ o'ng | = \ chap ((x + 3) \ o'ng) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ chap ((z + 1) \ o'ng) + \ chap ((y - 2) \ o'ng) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

Shunday qilib, nuqtalardan o'tadigan tekislikning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Endi bitta muammoni o'zingiz hal qilishga harakat qiling, keyin biz buni muhokama qilamiz:

2. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping

Xo'sh, endi yechimni muhokama qilaylik:

Determinantni tuzamiz:

Va biz uning qiymatini hisoblaymiz:

Keyin tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Yoki kamaytirib, biz quyidagilarni olamiz:

Endi o'z-o'zini nazorat qilish uchun ikkita vazifa:

1. Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzing:

Javoblar:

Hammasi mos keldimi? Yana, agar ma'lum qiyinchiliklar mavjud bo'lsa, mening maslahatim shunday: siz boshingizdan uchta nuqtani olasiz (ular bir xil to'g'ri chiziqda yotmaslik ehtimoli yuqori), siz ular bo'ylab samolyot qurasiz. Va keyin siz o'zingizni onlayn tekshirasiz. Masalan, saytda:

Biroq, determinantlar yordamida biz nafaqat tekislikning tenglamasini tuzamiz. Esingizda bo'lsin, men sizga faqat vektorlar uchun aniqlangan nuqta mahsuloti emasligini aytgandim. Shuningdek, vektor mahsuloti, shuningdek aralash mahsulot mavjud. Va agar ikkita vektorning nuqta mahsuloti son bo'lsa, u holda ikkita vektorning vektor mahsuloti vektor bo'ladi va bu vektor berilganlarga perpendikulyar bo'ladi:

Bundan tashqari, uning moduli vektorlar ustida qurilgan parallelogramm maydoniga teng bo'ladi. Nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun bizga bu vektor kerak bo'ladi. Vektorlarning o'zaro mahsulotini qanday hisoblashimiz mumkin va agar ularning koordinatalari berilgan bo'lsa? Uchinchi tartib determinanti yana yordamimizga keladi. Biroq, vektor mahsulotini hisoblash algoritmiga o'tishdan oldin, men kichik lirik digressiya qilishim kerak.

Ushbu chekinish bazis vektorlariga tegishli.

Ular sxematik tarzda rasmda ko'rsatilgan:

Nima uchun ular asosiy deb ataladi deb o'ylaysiz? Gap shundaki :

Yoki rasmda:

Ushbu formulaning to'g'riligi aniq, chunki:

Vektor mahsuloti

Endi men o'zaro faoliyat mahsulotini kiritishni boshlashim mumkin:

Ikki vektorning vektor mahsuloti vektor bo'lib, quyidagi qoida bo'yicha hisoblanadi:

Keling, o'zaro mahsulotni hisoblashning ba'zi misollarini keltiramiz:

1-misol: Vektorlarning o‘zaro ko‘paytmasini toping:

Yechish: Determinant tuzaman:

Va men buni hisoblayman:

Endi, asosiy vektorlar nuqtai nazaridan, men vektorning odatiy yozuviga qaytaman:

Shunday qilib:

Endi sinab ko'ring.

Tayyormisiz? Biz tekshiramiz:

Va an'anaviy ravishda ikkita nazorat qilish uchun vazifalar:

1. Quyidagi vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasini toping:
2. Quyidagi vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasini toping:

Javoblar:

Uch vektorning aralash mahsuloti

Menga kerak bo'lgan oxirgi qurilish uchta vektorning aralash mahsulotidir. Bu, xuddi skalar kabi, raqam. Uni hisoblashning ikki yo'li mavjud. - aniqlovchi orqali, - aralash hosila orqali.

Ya'ni, uchta vektorga ega bo'lamiz:

Shu bilan belgilangan uchta vektorning aralash mahsulotini quyidagicha hisoblash mumkin:

1. - ya'ni aralash mahsulot vektorning boshqa ikkita vektorning o'zaro ko'paytmasining nuqta mahsulotidir.

Masalan, uchta vektorning aralash mahsuloti:

Uni o'zaro mahsulot orqali o'zingiz hisoblashga harakat qiling va natijalar mos kelishiga ishonch hosil qiling!

Va yana - mustaqil yechim uchun ikkita misol:

Javoblar:

Koordinata tizimini tanlash

Xo'sh, endi biz geometriyadagi murakkab stereometrik muammolarni hal qilish uchun barcha kerakli bilimlarga egamiz. Biroq, to'g'ridan-to'g'ri misollar va ularni hal qilish algoritmlariga o'tishdan oldin, men yana bir savolga to'xtalib o'tish foydali bo'ladi, deb o'ylayman: qanday qilib aniq. ma'lum bir raqam uchun koordinatalar tizimini tanlang. Axir, koordinatalar tizimining nisbiy o'rnini va kosmosdagi raqamni tanlash, oxir-oqibat hisob-kitoblar qanchalik og'ir bo'lishini aniqlaydi.

Eslatib o'tamiz, ushbu bo'limda biz quyidagi shakllarni ko'rib chiqamiz:

1. To'rtburchaklar parallelepiped
2. To'g'ri prizma (uchburchak, olti burchakli ...)
3. Piramida (uchburchak, to'rtburchak)
4. Tetraedr (uchburchak piramida bilan bir xil)

To'rtburchaklar quti yoki kub uchun men sizga quyidagi qurilishni tavsiya qilaman:

Ya'ni, men raqamni "burchakda" joylashtiraman. Kub va parallelepiped juda chiroyli shakllardir. Ular uchun siz har doim uning cho'qqilarining koordinatalarini osongina topishingiz mumkin. Masalan, agar (rasmda ko'rsatilganidek)

u holda cho'qqilarning koordinatalari quyidagicha bo'ladi:

Albatta, buni eslab qolishning hojati yo'q, lekin kub yoki to'rtburchak parallelepipedni qanday joylashtirishni eslab qolish maqsadga muvofiqdir.

To'g'ri prizma

Prizma ko'proq zararli raqamdir. U kosmosda turli yo'llar bilan joylashtirilishi mumkin. Biroq, men uchun quyidagi variant eng maqbul ko'rinadi:

Uchburchak prizma:

Ya'ni, biz uchburchakning bir tomonini to'liq o'qga qo'yamiz va cho'qqilardan biri koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi.

Olti burchakli prizma:

Ya'ni, cho'qqilardan biri koordinataga to'g'ri keladi va tomonlardan biri o'qda yotadi.

To'rtburchak va olti burchakli piramida:

Kubga o'xshash vaziyat: asosning ikki tomonini koordinata o'qlari bilan tekislang, cho'qqilardan birini boshlang'ich bilan tekislang. Faqatgina kichik qiyinchilik nuqta koordinatalarini hisoblash bo'ladi.

Olti burchakli piramida uchun - olti burchakli prizma bilan bir xil. Asosiy vazifa, yana, tepaning koordinatalarini topishda bo'ladi.

Tetraedr (uchburchak piramida)

Vaziyat men uchburchak prizma uchun bergan holatga juda o'xshaydi: bir cho'qqi koordinata o'qiga to'g'ri keladi, bir tomoni koordinata o'qida yotadi.

Endi siz va men muammolarni hal qilishga yaqinmiz. Maqolaning boshida aytganlarimdan siz quyidagi xulosaga kelishingiz mumkin: ko'pchilik C2 muammolari 2 toifaga bo'linadi: burchak muammolari va masofa muammolari. Birinchidan, burchakni topish masalasini ko'rib chiqamiz. Ular, o'z navbatida, quyidagi toifalarga bo'linadi (qiyinchilik ortishi bilan):

Burchaklarni topish

1. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish
2. Ikki tekislik orasidagi burchakni topish

Keling, ushbu vazifalarni ketma-ket ko'rib chiqaylik: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topishdan boshlang. Xo'sh, esingizdami, siz va men shunga o'xshash misollarni ilgari hal qilmaganmidik? Esingizda bo'lsa, bizda allaqachon shunga o'xshash narsa bor edi ... Biz ikkita vektor orasidagi burchakni qidirdik. Sizga eslatib o'taman, agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va ular orasidagi burchak nisbatdan topiladi:

Endi bizda maqsad bor - ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish. Keling, "tekis rasm" ga murojaat qilaylik:

Ikki to‘g‘ri chiziq kesishganda nechta burchak oldik? Ko'p narsalar kabi. To'g'ri, ulardan faqat ikkitasi teng emas, boshqalari esa ularga vertikal (va shuning uchun ular bilan mos keladi). Xo'sh, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qaysi burchakni hisobga olishimiz kerak: yoki? Bu erda qoida: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak har doim gradusdan oshmaydi... Ya'ni, ikkita burchakdan biz har doim eng kichik daraja o'lchovi bilan burchakni tanlaymiz. Ya'ni, bu rasmda ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak teng. Har safar ikkita burchakning eng kichigini topish bilan ovora bo'lmaslik uchun ayyor matematiklar moduldan foydalanishni taklif qilishdi. Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Diqqatli o'quvchi sifatida sizda savol tug'ilishi kerak: burchakning kosinusini hisoblashimiz kerak bo'lgan bu raqamlarni qaerdan olamiz? Javob: biz ularni to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlaridan olamiz! Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish algoritmi quyidagicha:

1. 1-formulani qo'llaymiz.

Yoki batafsilroq:

1. Birinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
2. Biz ikkinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
3. Ularning nuqta mahsulotining modulini hisoblang
4. Biz birinchi vektorning uzunligini qidiramiz
5. Biz ikkinchi vektorning uzunligini qidiramiz
6. 4-banddan olingan natijalarni 5-banddan olingan natijalarga ko'paytirish
7. 3-bandning natijasini 6-bandning natijasiga bo'linib, biz chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini olamiz.
8. Agar bu natija burchakni aniq hisoblash imkonini bersa, uni qidirib toping
9. Aks holda, biz teskari kosinus orqali yozamiz

Xo'sh, endi muammolarga o'tish vaqti keldi: men birinchi ikkitasining echimini batafsil ko'rsataman, boshqasiga qisqacha yechimni taqdim etaman va oxirgi ikkita muammoga faqat javob beraman, ular uchun barcha hisob-kitoblarni o'zingiz bajarishingiz kerak.

Vazifalar:

1. To'g'ri tet-ra-ed-re, nay-di-o'sha burchakda siz-shunday-bu tet-ra-ed-ra va med-di-a-noy bo-kovy yuzi.

2. O'ng qo'l oltita-ko'mir-noy pi-ra-mi-de, os-no-va-nia tomonlari teng, qovurg'alar teng, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va.

3. To'g'ri to'rt-you-rekh-ko'mir pi-ra-mi-dy barcha qirralarning uzunligi bir-biriga teng. Nay-di-o'sha burchak to'g'ri chiziqlar orasidagi va agar dan-kesim siz-co-bu berilgan pi-ra-mi-dy, nuqta se-re-di-na uning bo-ko- ikkinchi qovurg'a hisoblanadi

4. Kub chetida-me-che-na nuqtadan shunday qilib, Nay-di-te to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak bo'lsin.

5. Nuqta - kubning chetlarida se-re-di-to'g'ri chiziqlar orasidagi Nay-di-te burchak va.

Vazifalarni shunday tartibda tartiblaganim bejiz emas. Koordinatalar usulida harakat qilishni boshlashga hali vaqtingiz bo'lmagan bo'lsa-da, men o'zim eng "muammoli" raqamlarni tahlil qilaman va sizni eng oddiy kub bilan shug'ullanish uchun qoldiraman! Asta-sekin siz barcha raqamlar bilan ishlashni o'rganishingiz kerak bo'ladi; Men mavzudan mavzuga vazifalarning murakkabligini oshiraman.

Keling, muammolarni hal qilishni boshlaylik:

1. Tetraedrni chizing, uni ilgari taklif qilganimdek koordinatalar tizimiga joylashtiring. Tetraedr muntazam bo'lgani uchun uning barcha yuzlari (shu jumladan asosi) muntazam uchburchaklardir. Bizga tomonning uzunligi berilmaganligi sababli, men uni teng qabul qila olaman. O'ylaymanki, burchak bizning tetraedrimizning qanchalik "cho'zilganiga" bog'liq emasligini tushunasizmi? Tetraedrda balandlik va medianani ham chizaman. Yo'lda men uning asosini chizaman (bu biz uchun ham foydali bo'ladi).

va orasidagi burchakni topishim kerak. Biz nimani bilamiz? Biz faqat nuqtaning koordinatasini bilamiz. Bu shuni anglatadiki, biz nuqtalarning koordinatalarini ham topishimiz kerak. Endi biz o'ylaymiz: nuqta - bu uchburchak balandliklarining (yoki bissektrisalari yoki medianalarining) kesishish nuqtasi. Nuqta - bu ko'tarilgan nuqta. Nuqta segmentning o'rtasidir. Keyin nihoyat topishimiz kerak: nuqtalar koordinatalari:.

Eng oddiyidan boshlaylik: nuqta koordinatalari. Rasmga qarang: nuqtaning ilovasi nolga teng ekanligi aniq (nuqta tekislikda yotadi). Uning ordinatasi (chunki - mediana). Uning abtsissasini topish qiyinroq. Biroq, bu Pifagor teoremasi asosida osonlik bilan amalga oshiriladi: uchburchakni ko'rib chiqing. Uning gipotenuzasi teng va oyoqlaridan biri teng bo'lsa:

Nihoyat, bizda:.

Endi nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning qo'llanilishi yana nolga teng va uning ordinatasi nuqta bilan bir xil, ya'ni. Keling, uning absissasini topamiz. Agar buni eslasangiz, bu juda ahamiyatsiz tarzda amalga oshiriladi teng yonli uchburchakning balandliklari kesishish nuqtasiga mutanosib ravishda bo'linadi yuqoridan hisoblash. Chunki:, u holda segment uzunligiga teng nuqtaning kerakli abssissasi: ga teng. Shunday qilib, nuqtaning koordinatalari teng:

Nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning abssissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Va ariza segmentning uzunligiga teng. - bu uchburchakning oyoqlaridan biri. Uchburchakning gipotenuzasi segment - oyoqdir. Men qalin harf bilan ta'kidlagan fikrlarimdan izlanadi:

Nuqta chiziq segmentining o'rta nuqtasidir. Keyin segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari formulasini eslab qolishimiz kerak:

Mana, endi biz yo'nalish vektorlarining koordinatalarini qidirishimiz mumkin:

Xo'sh, hamma narsa tayyor: biz barcha ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib,

Javob:

Bunday "qo'rqinchli" javoblar sizni qo'rqitmasligi kerak: C2 muammolari uchun bu odatiy amaliyotdir. Men bu qismdagi "yaxshi" javobga hayron bo'lardim. Bundan tashqari, siz sezganingizdek, men amalda Pifagor teoremasi va teng qirrali uchburchakning balandliklar xususiyatidan boshqa hech narsaga murojaat qilmadim. Ya'ni, stereometrik muammoni hal qilish uchun men eng minimal stereometriyadan foydalandim. Bu boradagi daromad ancha mashaqqatli hisob-kitoblar bilan qisman "o'chirilgan". Ammo ular juda algoritmik!

2. Muntazam olti burchakli piramidani koordinatalar sistemasi bilan bir qatorda uning asosini ham chizamiz:

Biz va chiziqlar orasidagi burchakni topishimiz kerak. Shunday qilib, bizning vazifamiz nuqtalarning koordinatalarini topishga qisqartiriladi:. Kichik rasmdan oxirgi uchtasining koordinatalarini topamiz va nuqta koordinatasi orqali tepaning koordinatasini topamiz. Ommaviy ish, lekin siz boshlashingiz kerak!

a) Koordinata: uning ilovasi va ordinatasi nolga teng ekanligi aniq. Keling, abtsissani topamiz. Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Afsuski, unda biz faqat teng bo'lgan gipotenuzani bilamiz. Biz oyoqni topishga harakat qilamiz (chunki oyoqning ikki barobar uzunligi bizga nuqtaning abscissasini berishi aniq). Uni qanday topishimiz mumkin? Keling, piramidaning tagida qanday shakl borligini eslaylik? Bu oddiy olti burchakli. Bu nima degani? Bu barcha tomonlar va barcha burchaklar teng ekanligini anglatadi. Men shunday burchakni topishim kerak. Har qanday fikr bormi? Ko'p fikrlar bor, lekin formula bor:

Muntazam n-burchak burchaklarining yig'indisi .

Shunday qilib, muntazam olti burchakli burchaklar yig'indisi darajaga teng. Keyin burchaklarning har biri teng bo'ladi:

Biz yana rasmga qaraymiz. Segment burchakning bissektrisasi ekanligi aniq. Keyin burchak gradusga teng bo'ladi. Keyin:

Keyin qayerda.

Shunday qilib, u koordinatalarga ega

b) Endi nuqtaning koordinatasini bemalol topamiz:.

v) nuqtaning koordinatalarini toping. Uning abscissasi segment uzunligiga to'g'ri kelganligi sababli, u ga teng. Ordinatni topish ham unchalik qiyin emas: agar nuqtalarni bir-biriga bog'lab, to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasini belgilasak, deylik. (O'z qo'llaringiz bilan oson qurilish). Shunday qilib, B nuqtaning ordinatasi segmentlar uzunliklarining yig'indisiga teng. Keling, yana uchburchakka qaraylik. Keyin

O'shandan beri nuqta koordinatalariga ega

d) Endi nuqtaning koordinatalarini topamiz. To'g'ri to'rtburchakni ko'rib chiqing va nuqtaning koordinatalari quyidagicha ekanligini isbotlang:

e) Tepaning koordinatalarini topish qoladi. Ko'rinib turibdiki, uning abssissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Keling, aplikatorni topamiz. O'shandan beri. To'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Muammoning bayonotiga ko'ra, yon chekka. Bu mening uchburchakning gipotenuzasi. Keyin piramidaning balandligi oyoqdir.

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Mayli, menda meni qiziqtirgan barcha nuqtalarning koordinatalari bor. To'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarining koordinatalarini qidiring:

Biz ushbu vektorlar orasidagi burchakni qidiramiz:

Javob:

Shunga qaramay, bu masalani hal qilishda men oddiy n-burchakning burchaklari yig'indisi formulasidan, shuningdek, to'g'ri burchakli uchburchakning kosinus va sinusini aniqlashdan tashqari, hech qanday murakkab hiyla ishlatmadim.

3. Bizga yana piramidadagi qovurg'alarning uzunligi berilmaganligi sababli, men ularni birga teng deb hisoblayman. Shunday qilib, faqat yon tomonlari emas, HAMMA qirralari bir-biriga teng bo'lganligi sababli, piramida va men poydevorida kvadrat yotadi va lateral qirralar muntazam uchburchaklardir. Keling, masalaning matnida keltirilgan barcha ma'lumotlarni belgilab, shunday piramidani, shuningdek uning asosini tekislikda chizamiz:

Biz va orasidagi burchakni qidiramiz. Men nuqtalar koordinatalarini qidirganimda juda qisqa hisob-kitoblarni amalga oshiraman. Siz ularni "deshifrlashingiz" kerak bo'ladi:

b) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari:

c) uchburchakda Pifagor teoremasi bo'yicha segment uzunligini topaman. Men uni Pifagor teoremasi bo'yicha uchburchakda topaman.

Koordinatalar:

d) segmentning o'rta nuqtasi. Uning koordinatalari teng

e) Vektor koordinatalari

f) Vektor koordinatalari

g) burchakni izlash:

Kub eng oddiy figuradir. Ishonchim komilki, siz buni o'zingiz aniqlay olasiz. 4 va 5-masalalarning javoblari quyidagicha:

To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish

Xo'sh, oddiy vazifalar uchun vaqt tugadi! Endi misollar yanada murakkabroq bo'ladi. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:

1. Uch nuqtadan tekislikning tenglamasini tuzamiz
   ,
   uchinchi tartibli determinant yordamida.
2. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini ikkita nuqta bilan qidiramiz:
3. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni hisoblash uchun formuladan foydalanamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu formula biz ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchaklarni topishda foydalangan formulaga juda o'xshaydi. O'ng tomonning tuzilishi xuddi shunday va chap tomonda biz avvalgidek kosinusni emas, balki sinusni qidiramiz. Xo'sh, bitta jirkanch harakat qo'shildi - samolyot tenglamasini qidirish.

Kechiktirmaylik misollar yechimi:

1. Asosiy-lekin-va-no-em to'g'ridan-to'g'ri-biz-la-teng, lekin kambag'al kiygan uchburchak laqabi Siz-shunday sovrinlar-biz tengmiz. To'g'ri va tekis orasidagi burchak

2. G'arbiy Nay-di-te burchakdan to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi to'rtburchak pa-ra-le-le-pi-pe-de.

3. To'g'ri oltita ko'mir prizmasida barcha qirralar teng. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak.

4. Os-no-va-ne-u bilan o'ng qo'lli uchburchak pi-ra-mi-de ma'lum qovurg'alar Nay-di-te burchak, ob-ra-zo-van - bu os-noning tekisligi. -va-nia va to'g'ri, qovurg'alarning se-re-di-us orqali pro-ho-dya-shi va

5. Cho'qqisi bo'lgan to'g'ri to'rt burchakli piramidaning barcha qovurg'alarining uzunligi bir-biriga teng. Nay-di-te - to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak, agar nuqta se-re-di-na bo-ko-th qovurg'a pi-ra-mi-dy bo'lsa.

Yana birinchi ikkita muammoni batafsil hal qilaman, uchinchisini - qisqacha va oxirgi ikkitasini o'zingiz hal qilishingiz uchun qoldiraman. Bundan tashqari, siz allaqachon uchburchak va to'rtburchak piramidalar bilan shug'ullangansiz, lekin hali prizmalar bilan emas.

Yechimlar:

1. Prizmani, shuningdek, uning asosini tasvirlaylik. Keling, uni koordinatalar tizimi bilan birlashtiramiz va muammo bayonotida berilgan barcha ma'lumotlarni belgilaymiz:

Men mutanosibliklarga rioya qilmaslik uchun uzr so'rayman, lekin muammoni hal qilish uchun bu, aslida, unchalik muhim emas. Samolyot mening prizmaning "orqa devori" dir. Bunday tekislikning tenglamasi quyidagi shaklga ega ekanligini taxmin qilish juda oson:

Biroq, bu to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilishi mumkin:

Keling, ushbu tekislikdagi ixtiyoriy uchta nuqtani tanlaymiz: masalan,.

Tekislik tenglamasini tuzamiz:

Siz uchun mashq: bu determinantni o'zingiz hisoblang. Siz buni qildingizmi? Keyin tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Yoki oddiygina

Shunday qilib,

Misolni hal qilish uchun men to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini topishim kerak. Nuqta koordinata boshiga to'g'ri kelganligi sababli vektorning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan oddiygina mos tushadi.Buning uchun avvalo nuqtaning koordinatalarini topamiz.

Buning uchun uchburchakni ko'rib chiqing. Cho'qqidan balandlikni (u mediana va bissektrisa) chizamiz. Chunki, u holda nuqtaning ordinatasi teng bo'ladi. Ushbu nuqtaning abssissasini topish uchun biz segmentning uzunligini hisoblashimiz kerak. Pifagor teoremasi bo'yicha bizda:

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Nuqta nuqta bilan "ko'tariladi":

Keyin vektorning koordinatalari:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bunday muammolarni hal qilishda tubdan qiyin narsa yo'q. Aslida, jarayon prizma kabi shaklning "to'g'riligini" yanada soddalashtiradi. Endi keyingi misolga o'tamiz:

2. Parallelepipedni chizing, unga tekislik va to'g'ri chiziq chizing, shuningdek, uning pastki asosini alohida chizing:

Birinchidan, biz tekislikning tenglamasini topamiz: unda yotgan uchta nuqtaning koordinatalari:

(birinchi ikkita koordinata aniq tarzda olingan va siz nuqtadan rasmdan oxirgi koordinatani osongina topishingiz mumkin). Keyin tekislik tenglamasini tuzamiz:

Biz hisoblaymiz:

Biz yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz: Uning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan mos kelishi aniq, shunday emasmi? Koordinatalarni qanday topish mumkin? Bu ilovaning o'qi bo'ylab bittaga ko'tarilgan nuqtaning koordinatalari! ... Keyin biz kerakli burchakni qidiramiz:

Javob:

3. Muntazam olti burchakli piramida chizing, so‘ngra unga tekislik va to‘g‘ri chiziq chizing.

Bu erda hatto tekislikni chizish ham muammoli, bu muammoni hal qilish haqida gapirmasa ham bo'ladi, lekin koordinata usuli ahamiyat bermaydi! Uning asosiy afzalligi uning ko'p qirraliligidadir!

Samolyot uchta nuqtadan o'tadi:. Biz ularning koordinatalarini qidiramiz:

biri). Oxirgi ikki nuqtaning koordinatalarini o'zingiz chizing. Olti burchakli piramida bilan muammoni hal qilish buning uchun foydali bo'ladi!

2) Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Biz vektorning koordinatalarini qidiramiz:. (uchburchak piramida muammosiga yana qarang!)

3) Burchakni izlash:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bu vazifalarda g'ayritabiiy qiyin narsa yo'q. Siz faqat ildizlar bilan juda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Oxirgi ikkita muammo uchun men faqat javob beraman:

Ko'rib turganingizdek, muammolarni echish texnikasi hamma joyda bir xil: asosiy vazifa cho'qqilarning koordinatalarini topish va ularni ba'zi formulalarda almashtirishdir. Burchaklarni hisoblash uchun muammolarning yana bir sinfini ko'rib chiqish biz uchun qoladi, xususan:

Ikki tekislik orasidagi burchaklarni hisoblash

Yechim algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Uch nuqtaga kelib, biz birinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
2. Qolgan uchta nuqta uchun biz ikkinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
3. Biz formulani qo'llaymiz:

Ko'rib turganingizdek, formula oldingi ikkitasiga juda o'xshaydi, ular yordamida biz to'g'ri chiziqlar orasidagi va to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchaklarni qidirdik. Shuning uchun buni eslab qolish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Keling, to'g'ridan-to'g'ri vazifalar tahliliga o'tamiz:

1. O‘ng qo‘l uchburchak prizmaning os-no-va-niyasining yuz-ro-nasi teng, katta yuzining dia-go-nali esa teng. Nay-di-bu tekislik va prizma tekisligi orasidagi burchak.

2. To'g'ri to'rt-you-rekh-ko'mir-noy pi-ra-mi-de, barcha qirralari teng, tekislik va tekislik orasidagi burchak sinusini to-stu, pro-ho- toping. nuqta per-pen-di-ku-lar-lekin to'g'ri orqali dya-shchey.

3. To'g'ri to'rt-you-rekh-ko'mir prizmasida os-no-va-niyaning tomonlari teng, tomonlari esa teng. Chetda shunday bir nuqta bor. Tekislik-sti-mi va orasidagi burchakni toping

4. O'ng to'rt burchakli prizmada os-no-va-niyaning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. Chetda dan-me-che-nuqta shunday Nay-di-te tekislik-to-st-mi va orasidagi burchak hisoblanadi.

5. Kubda nay-di-te ko-si-nus tekislik orasidagi burchakning-ko-sti-mi va.

Muammoni hal qilish usullari:

1. Muntazam (poyasida - teng qirrali uchburchak) uchburchak prizma chizaman va unga masala bayonida ko‘rinadigan tekisliklarni belgilayman:

Biz ikkita tekislikning tenglamalarini topishimiz kerak: Baza tenglamasi ahamiyatsiz: siz uchta nuqta bilan mos keladigan determinantni tuzishingiz mumkin, lekin men tenglamani darhol tuzaman:

Endi biz tenglamani topamiz Nuqta koordinatalariga ega Nuqta - Uchburchakning medianasi va balandligi bo'lgani uchun Pifagor teoremasi bo'yicha uni uchburchakda topish oson. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi: nuqtaning ilovasini toping Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing.

Keyin quyidagi koordinatalarni olamiz: Tekislik tenglamasini tuzing.

Biz tekisliklar orasidagi burchakni hisoblaymiz:

Javob:

2. Chizma yasash:

Eng qiyin narsa, perpendikulyar nuqtadan o'tadigan bu sirli tekislik nima ekanligini tushunishdir. Xo'sh, asosiysi bu nima? Asosiysi, diqqat! Darhaqiqat, chiziq perpendikulyar. To'g'ri chiziq ham perpendikulyar. Keyin bu ikki to'g'ri chiziqdan o'tuvchi tekislik to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'ladi va, aytmoqchi, nuqtadan o'tadi. Bu tekislik ham piramidaning tepasidan o'tadi. Keyin kerakli samolyot - Va samolyot allaqachon bizga berilgan. Biz nuqtalarning koordinatalarini qidiramiz.

Nuqta orqali nuqtaning koordinatasini toping. Kichik raqamdan nuqtaning koordinatalari quyidagicha bo'lishini osonlik bilan xulosa qilish mumkin: Piramida tepasining koordinatalarini topish uchun endi nima topish kerak? Bundan tashqari, uning balandligini hisoblashingiz kerak. Bu xuddi shu Pifagor teoremasi yordamida amalga oshiriladi: birinchi navbatda, buni isbotlang (poydevorda kvadrat hosil qiluvchi kichik uchburchaklardan). Chunki shartga ko'ra bizda:

Endi hamma narsa tayyor: tepaning koordinatalari:

Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Siz allaqachon determinantlarni hisoblashda maxsussiz. Siz osongina olishingiz mumkin:

Yoki bo'lmasa (agar ikkala qismni ikkitaning ildiziga ko'paytirsak)

Endi tekislikning tenglamasini topamiz:

(Samolyot tenglamasini qanday olishimizni unutmagansiz, to'g'rimi? Agar bu minus qayerdan kelganini tushunmasangiz, unda tekislik tenglamasining ta'rifiga qayting! Shunchaki, bundan oldin shunday bo'lib chiqdi. koordinatalarning kelib chiqishi mening samolyotimga tegishli edi!)

Determinantni hisoblaymiz:

(Teklik tenglamasi nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasiga toʻgʻri kelishini koʻrishingiz mumkin va! Nega oʻylab koʻring!).

Endi burchakni hisoblaymiz:

Biz sinusni topishimiz kerak:

Javob:

3. Qiyin savol: to'rtburchak prizma nima deb o'ylaysiz? Bu shunchaki parallelepiped, siz yaxshi bilasiz! Darhol rasm chizing! Bazani alohida tasvirlamaslik ham mumkin, bu erda undan kam foyda bor:

Samolyot, yuqorida aytib o'tganimizdek, tenglama shaklida yozilgan:

Endi biz samolyotni yaratamiz

Biz darhol tekislik tenglamasini tuzamiz:

Burchak qidirmoqda:

Endi oxirgi ikkita muammoga javoblar:

Xo'sh, dam olish vaqti keldi, chunki siz va men ajoyibmiz va ajoyib ish qildik!

Koordinatalar va vektorlar. Yuqori daraja

Ushbu maqolada biz siz bilan koordinata usuli yordamida hal qilinishi mumkin bo'lgan yana bir toifadagi masalalarni muhokama qilamiz: masofaviy masalalar. Ya'ni, siz va men quyidagi holatlarni ko'rib chiqamiz:

1. Kesishgan chiziqlar orasidagi masofani hisoblash.

Men bu vazifalarni ularning murakkabligi ortib borayotgani uchun buyurtma qildim. Buni topish eng oson bo'lib chiqdi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa, va eng qiyin narsa topishdir kesishgan chiziqlar orasidagi masofa... Garchi, albatta, imkonsiz narsa yo'q! Keling, kechiktirmaylik va darhol birinchi sinf muammolarini ko'rib chiqishga o'tamiz:

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Bu muammoni hal qilish uchun bizga nima kerak?

1. Nuqta koordinatalari

Shunday qilib, barcha kerakli ma'lumotlarni olishimiz bilan biz formulani qo'llaymiz:

Oxirgi qismda muhokama qilgan oldingi muammolardan samolyot tenglamasini qanday qurishimizni allaqachon bilishingiz kerak. Keling, darhol vazifalarga o'tamiz. Sxema quyidagicha: 1, 2, men sizga hal qilishda yordam beraman va ba'zi tafsilotlarda 3, 4 - faqat javob, siz o'zingiz qaror qabul qilasiz va solishtirasiz. Boshlaymiz!

Vazifalar:

1. Kub berilgan. Kubning chetining uzunligi. Nay-di-te masofa-i-ni dan se-re-di-us dan-kesilgan tekis-to-sti

2. Berilgan o'ng-vil-naya to'rt-you-rekh-ko'mir-naya pi-ra-mi-da Bo-kovoe chekka tomoni-ro-na os-no-va-nia teng. Nay-di-te masofa-i-nie nuqtadan samolyotga-to-sti qaerda - se-re-di-na qovurg'a.

3. Os-but-va-ni bilan o'ng qo'lli uchburchak pi-ra-mi-de, bo-kov qirrasi teng, yon-ro-na esa-no-va- teng. Nay-di-te masofa-i-nye tepadan samolyotgacha.

4. Muntazam oltita ko'mir prizmasida barcha qirralar teng. Nay-di-te masofa-i-nye nuqtadan tekislikka.

Yechimlar:

1. Birlik qirralari bilan kub chizing, segment va tekislik quring, segmentning o'rtasini harf bilan belgilang.

.

Birinchidan, oson narsadan boshlaylik: nuqta koordinatalarini toping. O'shandan beri (segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini eslang!)

Endi biz uch nuqta bilan tekislik tenglamasini tuzamiz

\ [\ chap | (\ start (massiv) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ end (massiv)) \ o'ng | = 0 \]

Endi men masofani qidirishni boshlashim mumkin:

2. Chizma bilan yana boshlang, unda biz barcha ma'lumotlarni belgilaymiz!

Piramida uchun uning asosini alohida chizish foydali bo'ladi.

Hatto panjasi bilan tovuqdek chizishim ham bu muammoni osonlikcha hal qilishimizga to'sqinlik qilmaydi!

Endi nuqtaning koordinatalarini topish oson

Nuqtaning koordinatalari beri, keyin

2. a nuqtaning koordinatalari segmentning o'rta nuqtasi bo'lgani uchun, u holda

Shuningdek, tekislikdagi yana ikkita nuqtaning koordinatalarini muammosiz topishimiz mumkin.Teklik tenglamasini tuzamiz va uni soddalashtiramiz:

\ [\ chap | (\ chap | (\ start (massiv) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \ \ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ end (massiv)) \ o'ng |) \ o'ng | = 0 \]

Nuqta koordinatalariga ega bo'lganligi sababli, biz masofani hisoblaymiz:

Javob (juda kamdan-kam!):

Xo'sh, tushundingizmi? Menimcha, bu erda hamma narsa oldingi qismda siz bilan ko'rib chiqqan misollardagi kabi texnikdir. Shuning uchun ishonchim komilki, agar siz ushbu materialni o'zlashtirgan bo'lsangiz, qolgan ikkita muammoni hal qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Men faqat javoblarni beraman:

To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Aslida, bu erda hech qanday yangilik yo'q. Chiziq va tekislikni bir-biriga nisbatan qanday joylashtirish mumkin? Ularda barcha imkoniyatlar mavjud: kesishadi yoki tekislikka parallel bo'lgan to'g'ri chiziq. Sizningcha, to'g'ri chiziqdan bu to'g'ri chiziq kesishadigan tekislikgacha bo'lgan masofa qancha? Menimcha, bu erda bunday masofa nolga teng ekanligi aniq ko'rinadi. Qiziqarsiz holat.

Ikkinchi holat qiyinroq: bu erda masofa allaqachon nolga teng. Biroq, chiziq tekislikka parallel bo'lganligi sababli, chiziqning har bir nuqtasi ushbu tekislikdan teng masofada joylashgan:

Shunday qilib:

Va bu mening vazifam avvalgisiga qisqartirilganligini anglatadi: biz to'g'ri chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz, biz tekislik tenglamasini qidiramiz, biz nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz. Aslida, imtihonda bunday vazifalar juda kam uchraydi. Men faqat bitta muammoni topishga muvaffaq bo'ldim va undagi ma'lumotlar shunday ediki, koordinata usuli unga unchalik mos kelmadi!

Endi muammolarning boshqa, ancha muhim sinfiga o‘tamiz:

Nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash

Bizga nima kerak?

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalari:

2. To'g'ri chiziqda yotgan har qanday nuqtaning koordinatalari

3. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari

Biz qanday formuladan foydalanamiz?

Berilgan kasrning maxraji siz uchun nimani anglatadi va shuning uchun aniq bo'lishi kerak: bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining uzunligi. Bu erda juda qiyin hisob bor! Ifoda vektorlarning vektor mahsulotining moduli (uzunligi) degan ma'noni anglatadi va o'zaro mahsulotni qanday hisoblash mumkin, biz ishning oldingi qismida o'rganib chiqdik. Bilimlaringizni yangilang, ular hozir biz uchun juda foydali bo'ladi!

Shunday qilib, muammolarni hal qilish algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

2. Biz masofani izlayotgan to‘g‘ri chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

3. Vektorni qurish

4. To‘g‘ri chiziqning yo‘nalish vektorini tuzing

5. Ko‘paytmani hisoblang

6. Olingan vektor uzunligini qidiramiz:

7. Masofani hisoblang:

Bizda juda ko'p ish bor va misollar juda murakkab bo'ladi! Shunday qilib, endi barcha e'tiboringizni qarating!

1. Dana - tepaga ega o'ng-vil-naya uchburchak pi-ra-mi-da. Bir yuz-ro-na os-no-va-nia pi-ra-mi-dy teng, siz-demak-bu teng. Nay-di-o'sha masofa bo-ko-th chetining se-re-di-ny to'g'ri chiziqqa qadar, bu erda nuqtalar va qovurg'alarning se-re-di-ny va so-from- vet. -lekin.

2. Qovurg'a uzunligi va to'rtburchak pa-ral-le-le-pi-pe-da mos ravishda teng va Nay-di-o'sha masofa yuqoridan to'g'rigacha.

3. To'g'ri oltita ko'mir prizmasida to'daning barcha qirralari nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping.

Yechimlar:

1. Biz barcha ma'lumotlarni belgilab beruvchi chiroyli chizma yaratamiz:

Siz bilan juda ko'p ishimiz bor! Birinchidan, men nimani qidirayotganimizni va qanday tartibda so'z bilan tasvirlab bermoqchiman:

1. Nuqtalarning koordinatalari va

2. Nuqta koordinatalari

3. Nuqtalarning koordinatalari va

4. Vektorlarning koordinatalari va

5. Ularning ko‘paytmasi

6. Vektorning uzunligi

7. Vektor mahsulotining uzunligi

8. dan gacha bo'lgan masofa

Xo'sh, bizda juda ko'p ish bor! Yeng shimarib, pastga tushamiz!

1. Piramida balandligining koordinatalarini topish uchun nuqta koordinatalarini bilishimiz kerak.Uning ilovasi nolga, ordinatasi esa Abscissaga teng, u kesim uzunligiga teng.Chunki. teng tomonli uchburchakning balandligi bo'lib, u yuqoridan sanab, nisbatan bo'linadi, bundan buyon. Nihoyat, biz koordinatalarni oldik:

Nuqta koordinatalari

2. - segmentning o'rtasi

3. - segmentning o'rtasi

Segmentning o'rta nuqtasi

4. Koordinatalar

Vektor koordinatalari

5. O'zaro ko'paytmani hisoblaymiz:

6. Vektorning uzunligi: eng oson yo'li - segment uchburchakning o'rta chizig'i ekanligini almashtirish, ya'ni u asosning yarmiga teng. Shunday qilib.

7. Vektor mahsulotining uzunligini ko'rib chiqamiz:

8. Nihoyat, biz masofani topamiz:

Voy, shunday! Rostini aytsam, an'anaviy usullardan foydalangan holda (konstruktsiyalar orqali) bu muammoni hal qilish ancha tezroq bo'ladi. Lekin bu erda men hamma narsani tayyor algoritmga qisqartirdim! Menimcha, yechim algoritmi siz uchun tushunarlimi? Shuning uchun qolgan ikkita muammoni o'zingiz hal qilishingizni so'rayman. Keling, javoblarni solishtiramiz?

Yana takror aytaman: bu muammolarni koordinata usuliga murojaat qilmasdan, konstruksiyalar orqali hal qilish osonroq (tezroq). Men bu yechimni faqat sizga "hech narsani tugatmaslik" imkonini beruvchi universal usulni ko'rsatish uchun ko'rsatdim.

Va nihoyat, muammolarning oxirgi sinfini ko'rib chiqing:

Kesishgan chiziqlar orasidagi masofani hisoblash

Bu erda muammoni hal qilish algoritmi avvalgisiga o'xshash bo'ladi. Bizda nima bor:

3. Birinchi va ikkinchi to‘g‘ri chiziqlarning har qanday vektor tutashuv nuqtalari:

To'g'ri chiziqlar orasidagi masofani qanday topamiz?

Formula quyidagicha:

Numerator aralash mahsulotning modulidir (biz uni avvalgi qismda kiritgan edik) va maxraj oldingi formulada bo'lgani kabi (to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarining vektor mahsulotining moduli, ular orasidagi masofa). biz qidiramiz).

Men buni sizga eslataman

keyin masofa uchun formulani quyidagicha qayta yozish mumkin:

Aniqlovchiga bo'lingan aniqlovchining bir turi! Rostini aytsam, bu yerda hazilga vaqtim yo'q! Bu formula, aslida, juda og'ir va juda murakkab hisob-kitoblarga olib keladi. Agar men sizning o'rningizda bo'lganimda, men buni faqat oxirgi chora sifatida ishlatardim!

Keling, yuqoridagi usul yordamida bir nechta muammolarni hal qilishga harakat qilaylik:

1. To'g'ri uchburchak prizmada barcha qirralar teng, to'g'ri chiziqlar orasidagi masofani toping va.

2. O'ng qo'l uchburchak prizma berilgan bo'lsa, to'daning os-no-va-tionning barcha qirralari teng qovurg'a va se-re-di-quduq qovurg'alari yav-la-et-sya kvadrat-ra-tom. Nay-di-te masofa-i-nie o'rtasida to'g'ri-we-mi va

Birinchisini men hal qilaman, shunga asoslanib, ikkinchisini siz hal qilasiz!

1. Prizma chizing va to'g'ri chiziqlarni belgilang va

C nuqtasi koordinatalari: keyin

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Vektor koordinatalari

\ [\ chap ((B, \ o'ng tomonda (A (A_1)) \ o'ng tomonda (B (C_1))) \ o'ngda) = \ chap | (\ start (massiv) (* (20) (l)) (\ start (massiv) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ end (massiv)) \\ (\ start (massiv) ( * (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (massiv)) \\ (\ start (massiv) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (massiv)) \ end (massiv)) \ o'ng | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

Biz vektorlar orasidagi ko'paytmani ko'rib chiqamiz

\ [\ overrightarrow (A (A_1)) \ cdot \ overrightarrow (B (C_1)) = \ chap | \ start (massiv) (l) \ start (massiv) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (massiv) \\\ begin (massiv) ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (massiv) \\\ start (massiv) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (massiv) \ end (massiv) \ o'ng | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

Endi biz uning uzunligini hisoblaymiz:

Javob:

Endi ikkinchi vazifani diqqat bilan bajarishga harakat qiling. Bunga javob quyidagicha bo'ladi:.

Koordinatalar va vektorlar. Qisqacha tavsif va asosiy formulalar

Vektor yo'naltirilgan chiziq segmentidir. - vektorning boshi, - vektorning oxiri.
Vektor yoki bilan belgilanadi.

Mutlaq qiymat vektor - vektorni ifodalovchi segment uzunligi. Sifatida ko'rsatilgan.

Vektor koordinatalari:

,
vektorning uchlari qayerda joylashgan \ displaystyle a.

Vektorlar yig'indisi:.

Vektorlar mahsuloti:

Vektorlarning nuqta mahsuloti:

Vektorlarning skalyar ko'paytmasi ularning ko'paytmasiga teng mutlaq qiymatlar ular orasidagi burchakning kosinusiga ko'ra:

YouClever talabasi bo'ling,

OGE yoki matematikadan foydalanishga tayyorlaning,

Shuningdek, YouClever o'quv qo'llanmasiga cheksiz kirish huquqiga ega bo'ling ...

Supero'tkazuvchilarning bir nuqtasida j (oqim zichligi vektori) va E (maydon kuchi) vektorlari orasidagi bog'lanishni topamiz. Izotrop o'tkazgichda har bir nuqtada oqim tashuvchilari E vektori yo'nalishi bo'yicha harakat qilganligi sababli, j va E yo'nalishlari mos keladi. Supero'tkazuvchilarning uchlariga qo'llaniladigan kuchlanish Edl va uning qarshiligi. Oqim I - S dan o'tadigan umumiy oqim - o'tkazgichning tasavvurlar maydoni. U holda joriy dI elementar maydon dS orqali o'tadigan oqimdir. Ushbu ifodalarni formulaga almashtirish. Keling, yozamiz. ...

O'lchamlari: 720 x 540 piksel, format: jpg. Fizika darsida foydalanish uchun bepul slaydni yuklab olish uchun rasmni o'ng tugmasini bosing va "Rasmni boshqa saqlash ..." tugmasini bosing. Siz butun Resistance.ppt taqdimotini 66 KB zip arxivga yuklab olishingiz mumkin.

Qarshilik

"Ilmiy fizika" - Fizika fan sifatida. Fizika eramizdan avvalgi V asrda qadimgi yunonlar davriga borib taqaladi. Ovoz hodisalari. Modda. Masala. Elektr hodisalari. Jismoniy hodisalar. Falsafa. Elektr hodisalari - elektr zaryadlarining o'zaro ta'siri, chaqmoqning miltillashi. Suv molekulasi. Fizikaning aloqalari shunchalik xilma-xilki, ba'zida odamlar ularni ko'rmaydilar.

"Abram Fedorovich Ioffe" - Ioffe yarim o'tkazgichlar fizikasi bo'yicha seminarda. Fizika va texnologiya instituti... Fizika va texnologiya instituti. Politexnika instituti. Shokli va Joffe. Myunxen universiteti binosi. Ioffe FTI siklotronini qurishda. Ioffening so'nggi fotosuratlaridan biri. Kembrijdagi Kapitsa. Kapitsa fotosurati. A. Ioffe va uning hamyurti S. Timoshenko Sankt-Peterburg institutlari talabalari.

"Elektr energiyasi tarixi" - XXI asr - elektr energiyasi nihoyat hayotning ajralmas qismiga aylandi. 19-asr - Faraday elektromagnit induksiya va elektroliz qonunlarini kashf etdi. Ma'lumki, agar ba'zi moddalar junga ishqalansa, ular engil narsalarni o'ziga tortadi. 19-asr - Maksvell o'z tenglamalarini tuzdi. Elektr tokini o'rganish bo'yicha Joul, Lenz, Ohm ishlari.

"Magnit induksiya" - Amper kuchi. Magnit maydonning asosiy xossalari. O'tkazgichlarning oqim bilan o'zaro ta'siri magnit deb ataladi. Amper kuchining yo'nalishini chap qo'l qoidasi yordamida aniqlash mumkin. Magnit maydon elektr toki (harakatlanuvchi zaryadlar) tomonidan hosil bo'ladi. Magnit maydon haqiqatan ham bizdan, u haqidagi bilimimizdan mustaqil ravishda mavjud.

"zarrachalarning tarqalishi" - Tarqalishdagi kontrast rentgen nurlari... Navigator mushuki. Giratsiya radiusi va tarjima ishqalanish doimiysi. Bir jinsli sharsimon zarrachaning aylanish radiusi uning radiusi r0 bilan bog'liq. Giratsiya radiusi va ichki yopishqoqlik. H2O / D2O aralashmalari usuli bilan kontrastning o'zgarishi. Erituvchining tarqalish zichligi.

Mayli V – n- o'lchovli vektor fazosi, unda ikkita asos berilgan: e 1 , e 2 , …, e n- eski asos, e" 1 , e" 2 , …, e"n- yangi asos. Ixtiyoriy vektor a ularning har birida koordinatalar mavjud:

a= a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n;

a= a "1 e"1 + a" 2 e"2 +… + a" n e"n.

Vektorning koordinatalari ustunlari orasidagi bog'lanishni o'rnatish uchun a eski va yangi bazalarda yangi asos vektorlarini eski bazis vektorlari nuqtai nazaridan kengaytirish kerak:

e"1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + ... + a n 1 e n,

e"2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + ... + a n 2 e n,

………………………………..

e"n= a 1 n e 1 + a 2 n e 2 + ... + a nn e n.

Ta'rif 8.14. Eski bazadan yangi bazaga o'tish matritsasi eski bazisga nisbatan yangi bazis vektorlarining koordinatalaridan tashkil topgan matritsa deyiladi, ustunlarga yozilgan, ya'ni.

Matritsa ustunlari T- bu asosiy va shuning uchun chiziqli mustaqil vektorlarning koordinatalari, shuning uchun bu ustunlar chiziqli mustaqildir. Chiziqli mustaqil ustunlarga ega matritsa degenerativ emas, uning determinanti nolga teng emas va matritsa uchun T teskari matritsa mavjud T –1 .

Vektorning koordinatalari ustunlarini belgilaylik a eski va yangi bazalarda, mos ravishda, [ kabi a] va [ a] ". O'tish matritsasi yordamida [ o'rtasida bog'lanish o'rnatiladi. a] va [ a]".

8.10 teorema. Vektor koordinata ustuni a eski asosda vektorning koordinatalari ustuni bo'yicha o'tish matritsasining mahsulotiga teng a yangi asosda, ya'ni [ a] = T[a]".

Natija... Vektor koordinata ustuni a yangi asosda vektor koordinatalari ustuni bo'yicha matritsaning o'tish matritsasiga teskari ko'paytmasiga teng. a eski asosda, ya'ni [ a]" = T –1 [a].

8.8-misol. Bazisdan o'tish matritsasini yarating e 1 , e 2, asosga e" 1 , e"2, qayerda e" 1 = 3e 1 + e 2 , e" 2 = 5e 1 + 2e 2 va vektorning koordinatalarini toping a = 2e" 1 – 4e"Eski asosda 2.

Yechim... Eski bazisga nisbatan yangi bazis vektorlarining koordinatalari (3, 1) va (5, 2) qatorlar, keyin matritsadir. T shaklni oladi. Chunki [ a] "=, keyin [ a] = × = .

8.9-misol. Ikkita asos berilgan e 1 , e 2 - eski asos, e" 1 , e"2 - yangi asos va e" 1 = 3e 1 + e 2 , e" 2 = 5e 1 + 2e 2. Vektor koordinatalarini toping a = 2e 1 – e 2 yangi asosda.

Yechim. 1 yo'l... Shart bo'yicha vektorning koordinatalari berilgan a eski asosda: [ a] =. Eski bazisdan o'tish matritsasini toping e 1 , e 2 yangi asosga e" 1 , e 2. Matritsani oling T= Buning uchun topamiz teskari matritsa T–1 =. Keyin, 8.10 teoremasining natijasiga ko'ra, bizda [ a]" = T –1 [a] = × = .

2-usul. Chunki e" 1 , e"2 - asos, keyin vektor a bazis vektorlarida quyidagicha parchalanadi a = k 1 e" 1 – k 2 e 2. Raqamlarni toping k 1 va k 2 - bu vektorning koordinatalari a yangi asosda.

a = k 1 e" 1 – k 2 e" 2 = k 1 (3e 1 + e 2) – k 2 (5e 1 + 2e 2) =

= e 1 (3k 1 + 5k 2) + e 2 (k 1 + 2k 2) = 2e 1 – e 2 .

Berilgan asosda bir xil vektorning koordinatalari yagona aniqlanganligi sababli, bizda tizim mavjud: Ushbu tizimni hal qilib, biz olamiz k 1 = 9 va k 2 = -5, shuning uchun. [ a]" = .

Ilgari ko'rib chiqilgan vektorlarni qo'shish va ayirish, shuningdek vektorni skalerga ko'paytirish (2-bandga qarang) bilan bir qatorda vektorlarni ko'paytirish amallari ham mavjud. Ikki vektorni bir-biriga ikki yo'l bilan ko'paytirish mumkin: birinchi usul natijasida qandaydir yangi vektor, ikkinchisi skalyar qiymatga olib keladi. E'tibor bering, vektorni vektorga bo'lish operatsiyasi mavjud emas.

Endi vektorlarning sektor mahsulotini ko'rib chiqamiz. Vektorlarning skalyar ko‘paytmasini keyinroq kerak bo‘lganda kiritamiz.

Ikki A va B vektorlarning vektor mahsuloti quyidagi xususiyatlarga ega C vektoridir:

1) S vektorning moduli vektorlar modullarining ular orasidagi a burchak sinusiga ko‘paytmasiga teng (35-rasm):

2) C vektori A va B vektorlari yotadigan tekislikka perpendikulyar bo'lib, uning yo'nalishi o'ng vint qoidasiga ko'ra A va B yo'nalishlari bilan bog'langan: agar siz C vektoriga qarasangiz, u holda aylanish Birinchi omildan ikkinchisiga qadar eng qisqa yo'l bo'ylab soat yo'nalishi bo'yicha qilingan o'q.

Ramziy o'zaro mahsulot ikki shaklda yozilishi mumkin:

|AB | yoki .

Biz ushbu usullarning birinchisidan foydalanamiz, ba'zan esa formulalarni o'qishni osonlashtirish uchun omillar orasiga vergul qo'yamiz. Qiyma xoch va kvadrat qavslar bir vaqtning o'zida ishlatilmasligi kerak: [A V] Bunday turdagi yozuvga ruxsat berilmaydi: [AB] = ABsi na. Chap tomonda vektor, o'ngda - bu vektorning moduli, ya'ni skaler. Quyidagi tenglik amal qiladi:

Vektor mahsulotining yo'nalishi birinchi omildan ikkinchisiga aylanish yo'nalishi bilan aniqlanganligi sababli, ikkita vektorni vektorni ko'paytirish natijasi omillarning tartibiga bog'liq. Faktorlar tartibini o'zgartirish natijasida hosil bo'lgan vektor yo'nalishi teskari tomonga o'zgarishiga olib keladi (35-rasm).

Shunday qilib, o'zaro mahsulot kommutativ emas.

Vektor mahsulotining distributiv ekanligini isbotlash mumkin, ya'ni

Ikki qutbli yoki ikkita eksenel vektorning vektor mahsuloti eksenel vektordir. Eksenel vektorning qutbga (yoki aksincha) vektor mahsuloti qutbli vektor bo'ladi. Eksenel vektorlarning yo'nalishini teskari tomonga belgilovchi shartni o'zgartirish bu holda vektor mahsuloti oldidagi belgining o'zgarishiga va bir vaqtning o'zida omillardan birining oldidagi belgining o'zgarishiga olib keladi. natijada vektor mahsulot bilan ifodalangan qiymat o'zgarishsiz qoladi.

Vektor mahsulot moduliga oddiy geometrik talqin berilishi mumkin: ABsi na ifodasi son jihatdan A va B vektorlari ustiga qurilgan parallelogrammning maydoniga teng (36-rasm; vektor C = [AB] bu holda perpendikulyar yo'naltirilgan. chizma tekisligiga, chizma bo'yicha).

A va B vektorlari o'zaro perpendikulyar bo'lsin (37-rasm).

Ushbu vektorlarning ikki tomonlama ko'paytmasini hosil qilamiz:

ya'ni B vektorini A ga ko'paytiramiz, so'ngra A vektorini birinchi ko'paytirish natijasida olingan vektorga ko'paytiramiz. Vektor [VA] ga teng modulga ega , va A va B vektorlari bilan p / 2 ga teng burchaklarni hosil qiladi. Demak, D vektorning moduli | A | * || = A * BA = A 2 B ga teng. D vektorining yo'nalishini rasmda ko'rish oson. 37, B vektorining yo'nalishiga to'g'ri keladi. Bu bizga quyidagi tenglikni yozishga asos beradi:

Keyinchalik (11.3) formuladan bir necha marta foydalanamiz. Biz A va B vektorlari o'zaro perpendikulyar bo'lgandagina haqiqiy ekanligini ta'kidlaymiz.

(10.9) tenglama v va ō vektorlarining modullari orasidagi bog'lanishni o'rnatadi. Oʻzaro koʻpaytma yordamida vektorlarning oʻzlari orasidagi munosabatni beruvchi ifodani yozish mumkin. Tananing z o'qi atrofida burchak tezligi ō bilan aylansin (38-rasm). Tezligi v topmoqchi bo‘lgan nuqtaning radius vektori bo‘yicha vektor ko‘paytmasi v vektor bilan yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri keladigan va ōr sina = ōR ga teng modulga ega vektor ekanligini ko‘rish oson, ya’ni. v [qarang formula (10.9)]. Shunday qilib, ikkala yo'nalish va moduldagi vektor mahsuloti [ōR] v vektorga teng:

Formula (11.4) boshqa shaklda berilishi mumkin. Buning uchun r radius vektorini ikkita komponentning yig'indisi sifatida ifodalaymiz - z o'qiga parallel vektor r z va z o'qiga perpendikulyar vektor: r = r z + R (38-rasmga qarang). Ushbu ifodani (11.4) formulaga almashtirish va vektor mahsulotining taqsimlanishidan foydalanish [qarang. (11.2)], biz quyidagilarni olamiz:

ō va r z vektorlari kollineardir. Shuning uchun ularning ko'paytmasi nolga teng (sina = 0). Demak, buni yozish mumkin

Bundan tashqari, ko'rib chiqilayotganda aylanish harakati, aylanish o'qiga perpendikulyar o'qdan olingan nuqtadan chizilgan r radius vektorining komponentini har doim R bilan belgilaymiz. Ushbu vektorning moduli nuqtaning o'qdan R masofasini beradi.