Arifmetik amallar qonunlariga misollar. Haqiqiy sonlar ustidagi arifmetik amallar qonunlari. Mavzu: Arifmetik amallar qonunlari

17.09.2021Sarlavha: Binolar

Mavzu № 1.

Haqiqiy sonlar. Raqamli ifodalarni konvertatsiya qilish

I. Nazariy material

Asosiy tushunchalar

· Butun sonlar

· Raqamning o'nlik belgisi

· Qarama-qarshi raqamlar

· Butun sonlar

· Oddiy kasr

Ratsional sonlar

· Cheksiz kasr

· Sonning davri, davriy kasr

· Irratsional sonlar

· Haqiqiy raqamlar

Arifmetik amallar

Raqamli ifoda

· Ifodaning qiymati

· O'nli kasrni oddiy kasrga o'tkazish

Kasrni kasrga aylantirish

Davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish

· Arifmetik amallar qonunlari

· Bo'linuvchanlik belgilari

Ob'ektlarni sanashda yoki shunga o'xshash ob'ektlar orasidagi seriya raqamini ko'rsatish uchun ishlatiladigan raqamlar deyiladi tabiiy. Har qanday natural son oʻnlik yordamida yozilishi mumkin raqamlar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Raqamlarning bunday belgilanishi deyiladi kasr

Masalan: 24; 3711; 40125.

Natural sonlar to'plami odatda belgilanadi N.

Bir-biridan faqat belgisi bilan farq qiladigan ikkita raqam chaqiriladi qarama-qarshi raqamlar.

Masalan, 7 va – 7 raqamlari.

Natural sonlar, ularning qarama-qarshi tomonlari va nol soni toʻplamni tashkil qiladi butun Z.

Masalan: – 37; 0; 2541.

Shakl raqami, qaerda m - butun son, n - oddiy deb ataladigan natural son kasr. E'tibor bering, har qanday natural sonni maxraji 1 bo'lgan kasr sifatida ko'rsatish mumkin.

Masalan: , .

Butun sonlar va kasrlar (musbat va manfiy) to'plamlarining birlashishi to'plamni tashkil qiladi. oqilona raqamlar. Odatda belgilanadi Q.

Masalan: ; – 17,55; .

Berilgan o'nli kasr berilsin. Agar siz o'ng tomonga biron-bir sonni qo'shsangiz, uning qiymati o'zgarmaydi.

Masalan: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Bunday kasr cheksiz kasr deyiladi.

Har qanday oddiy kasr cheksiz o'nli kasr sifatida ifodalanishi mumkin.

Sondagi kasrdan keyin ketma-ket takrorlanadigan raqamlar guruhi deyiladi davr, va yozuvida shunday davrga ega bo'lgan cheksiz o'nli kasr deyiladi davriy. Qisqartirish uchun nuqtani qavs ichiga bir marta yozish odat tusiga kiradi.

Masalan: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

Cheksiz o'nlik davriy bo'lmagan kasrlar deyiladi mantiqsiz raqamlar.

Ratsional va irratsional sonlar to'plamining birlashuvi to'plamni tashkil qiladi yaroqli raqamlar. Odatda belgilanadi R.

Masalan: ; 0,(23); 41,3574…

Raqam mantiqsizdir.

Barcha raqamlar uchun uchta qadamning harakatlari aniqlanadi:

· I bosqich amallari: qo‘shish va ayirish;

· II bosqich harakatlar: ko'paytirish va bo'lish;

· III bosqich harakatlar: ko'rsatkich va ildiz chiqarish.

Raqamlar, arifmetik belgilar va qavslardan tashkil topgan ifoda deyiladi raqamli.

Masalan: ; .

Harakatlarni bajarish natijasida olingan raqam chaqiriladi ifoda qiymati.

Raqamli ifoda ma'noga ega emas, agar u nolga bo'linishni o'z ichiga olgan bo'lsa.

Ifodaning qiymatini topishda III bosqich, II bosqich va I bosqich harakati oxiridagi harakatlar ketma-ket bajariladi. Bunday holda, sonli ifodada qavslarning joylashishini hisobga olish kerak.

Raqamli ifodani o‘zgartirish unga kiritilgan sonlar ustida tegishli qoidalar (maxrajlari turlicha bo‘lgan oddiy kasrlarni qo‘shish, o‘nli kasrlarni ko‘paytirish va boshqalar qoidasi) yordamida ketma-ket arifmetik amallarni bajarishdan iborat. Darsliklarda sonli ifodalarni o'zgartirish bo'yicha topshiriqlar quyidagi formulalarda topilgan: "Raqamli ifodaning qiymatini toping", "Raqamli ifodani soddalashtiring", "Hisoblash" va hokazo.

Ba'zi sonli ifodalarning qiymatlarini topishda siz kasrlar bilan amallarni bajarishingiz kerak har xil turlari: oddiy, o'nlik, davriy. Bunday holda, oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish yoki teskari harakatni bajarish kerak bo'lishi mumkin - davriy kasrni oddiy bilan almashtiring.

Konvertatsiya qilish uchun o'nlikdan oddiy kasrga, kasrning numeratoriga kasrdan keyingi sonni, maxrajida esa nolga bittadan yozish kifoya va kasrning o'ng tomonidagi raqamlar qancha bo'lsa, shuncha nol bo'lishi kerak.

Masalan: ; .

Konvertatsiya qilish uchun kasrdan kasrga, siz o'nlik kasrni butun songa bo'lish qoidasiga ko'ra, uning hisobini maxrajga bo'lishingiz kerak.

Masalan: ;

;

Konvertatsiya qilish uchun davriy kasrdan oddiy kasrga, zarur:

1) ikkinchi davrgacha bo'lgan sondan birinchi davrgacha bo'lgan sonni ayirish;

2) bu farqni sanoq sifatida yozing;

3) maxrajdagi 9 raqamini davr ichida qancha son bo‘lsa, shuncha marta yozing;

4) maxrajga o'nli kasr va birinchi nuqta o'rtasida qancha raqam bo'lsa, shuncha nol qo'shing.

Masalan: ; .

Haqiqiy sonlar ustidagi arifmetik amallar qonunlari

1. Sayohat(kommutativ) qo'shish qonuni: shartlarni qayta tartibga solish yig'indining qiymatini o'zgartirmaydi:

2. Sayohat(kommutativ) ko'paytirish qonuni: omillarni qayta joylashtirish mahsulot qiymatini o'zgartirmaydi:

3. Konyunktiv(assotsiativ) qo'shish qonuni: har qanday atamalar guruhi ularning yig'indisi bilan almashtirilsa, yig'indining qiymati o'zgarmaydi:

4. Konyunktiv(assotsiativ) ko'paytirish qonuni: agar biron bir omillar guruhi ularning mahsuloti bilan almashtirilsa, mahsulot qiymati o'zgarmaydi:

5. Tarqatish Qoʻshishga nisbatan koʻpaytirishning (tarqatuvchi) qonuni: yigʻindini songa koʻpaytirish uchun har bir qoʻshilganni shu songa koʻpaytirish va hosil boʻlgan mahsulotlarni qoʻshish kifoya:

6 – 10 xossalar 0 va 1 yutilish qonunlari deyiladi.

Bo'linish belgilari

Ayrim hollarda bir sonning boshqasiga boʻlinish yoki boʻlinishini aniqlashga imkon beruvchi xossalar deyiladi. bo'linish belgilari.

2 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish. Raqam 2 ga bo'linadi, agar raqam bilan tugasagina hatto raqam. Ya'ni 0, 2, 4, 6, 8 da.

Masalan: 12834; –2538; 39,42.

3 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish. Raqamlar yig‘indisi 3 ga bo‘linsagina raqam 3 ga bo‘linadi.

Masalan: 2742; –17940.

4 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish. Kamida uchta raqamli raqamni o'z ichiga olgan raqam, agar berilgan sonning oxirgi ikki raqamidan hosil bo'lgan ikki xonali son 4 ga bo'linsa, 4 ga bo'linadi.

Masalan: 15436; –372516.

5 ga bo'linish testi. Raqam 5 ga bo'linadi, agar uning oxirgi raqami 0 yoki 5 bo'lsa.

Masalan: 754570; –4125.

9 ga bo'linish testi. Raqamlar yig‘indisi 9 ga bo‘linsagina raqam 9 ga bo‘linadi.

Masalan: 846; –76455.

2010 yil 18-19 oktyabr

Mavzu: “Arifmetik amallar qonunlari”

Maqsad: talabalarni arifmetik amallar qonunlari bilan tanishtirish.

Dars maqsadlari:

qo‘shish va ko‘paytirishning kommutativ va assotsiativ qonuniyatlarini ochib berishda aniq misollardan foydalanish, ifodalarni soddalashtirishda ularni qo‘llashga o‘rgatish;

ifodalarni soddalashtirish qobiliyatini rivojlantirish;

bolalarda mantiqiy fikrlash va nutqni rivojlantirish bo'yicha ishlar;

mustaqillik, qiziquvchanlik, fanga qiziqishni tarbiyalash.

UUD: ramziy belgilar bilan harakat qilish qobiliyati,

ob'ektlarni taqqoslash, taqqoslash, baholash va tasniflash uchun asoslar, mezonlarni tanlash qobiliyati.

Uskunalar: darslik, KT, taqdimot

Guruch. 30-rasm. 31

30-rasmdan foydalanib, tenglama nima uchun to'g'ri ekanligini tushuntiring

a + b = b + a.

Bu tenglik siz bilgan qo'shimchaning xususiyatini ifodalaydi. Qaysi birini eslab qolishga harakat qiling.

O'zingizni sinab ko'ring:

Shartlar joylarini o'zgartirish yig'indini o'zgartirmaydi

Bu mulk qo'shishning kommutativ qonuni.

31-rasmga muvofiq qanday tenglikni yozish mumkin? Bu tenglik qo‘shishning qanday xossasini ifodalaydi?

O'zingizni sinab ko'ring.

31-rasmdan kelib chiqadiki (a + b) + c = a + (b + c): Ikki hadning yig'indisiga uchinchi hadni qo'shsangiz, ikkinchi va uchinchi hadlarning yig'indisini birinchi hadga qo'shganda bir xil sonni olasiz.

(a + b) + c o'rniga xuddi | kabi a + (b + c) o'rniga oddiygina a + b + c yozishingiz mumkin.

Bu mulk qo'shishning kombinatsiya qonuni.

Matematikada arifmetik amallar qonunlari | kabi yoziladi og'zaki shaklda va harflar yordamida tenglik shaklida:

Qo‘shish qonunlari yordamida quyidagi hisoblarni qanday soddalashtirish mumkinligini tushuntiring va ularni bajaring:

212. a) 48 + 56 + 52; e) 25 + 65 + 75;

b) 34 + 17 + 83; f) 35 + 17 + 65 + 33;

c) 56 + 24 + 38 + 62; g) 27 + 123 + 16 + 234;

d) 88 + 19 + 21 + 12; h) 156 + 79 + 21 + 44.

213. 32-rasmdan foydalanib, tenglama nima uchun to'g'ri ekanligini tushuntiring ab = b A.

Bu tenglikni qaysi qonun ko'rsatayotganini taxmin qila olasizmi? Buning uchun aytish mumkinmi

Ko'paytirish uchun qo'shish qonunlari bilan bir xil qonunlar amal qiladimi? Ularni shakllantirishga harakat qiling

va keyin o'zingizni sinab ko'ring:

Ko'paytirish qonunlaridan foydalanib, quyidagi ifodalarning qiymatlarini og'zaki hisoblang:

214. a) 76 · 5 · 2; c) 69 · 125 · 8; e) 8 941 125; B C

b) 465 · 25 · 4; d) 4 213 5 5; e) 2 5 126 4 25.

215. To'rtburchakning maydonini toping A B C D(33-rasm) ikki usulda.

216. 34-rasmdan foydalanib, tenglik nima uchun to'g'ri ekanligini tushuntiring: a(b + c) = ab + ac.

Guruch. 34 Arifmetik amallarning qanday xossasini ifodalaydi?

O'zingizni sinab ko'ring. Ushbu tenglik quyidagi xususiyatni ko'rsatadi: Raqamni yig'indiga ko'paytirishda siz bu raqamni har bir muddatga ko'paytirishingiz va natijada olingan natijalarni qo'shishingiz mumkin.

Ushbu xususiyatni boshqa yo'l bilan shakllantirish mumkin: bir xil omilni o'z ichiga olgan ikki yoki undan ortiq mahsulot yig'indisi ushbu omilning mahsuloti va qolgan omillar yig'indisi bilan almashtirilishi mumkin.

Bu xususiyat arifmetik amallarning yana bir qonunidir - tarqatuvchi. Ko'rib turganingizdek, ushbu qonunni og'zaki shakllantirish juda og'ir va matematik til uni ixcham va tushunarli qiladigan vositadir:

217 - 220-sonli topshiriqlarda hisob-kitoblarni og'zaki bajarish haqida o'ylab ko'ring va ularni bajaring.

217. a) 15 13; b) 26 22; c) 34 12; d) 27 21.

218. a) 44 52; b) 16 42; c) 35 33; d) 36 26.

219. a) 43 16 + 43 84; e) 62 · 16 + 38 · 16;

b) 85 47 + 53 85; e) 85 · 44 + 44 · 15;

c) 54 60 + 460 6. g) 240 710 + 7100 76;

d) 23 320 + 230 68; h) 38 5800 + 380 520.

220. a) 4 63 + 4 79 + 142 6; c) 17 27 + 23 17 + 50 19;

b) 7 125 + 3 62 + 63 3; d) 38 46 + 62 46 + 100 54.

221. Tenglikni isbotlash uchun daftaringizga rasm chizing A ( b - c) = a b - eys

222. Taqsimlanish qonunidan foydalanib og'zaki hisoblang: a) 6 · 28; b) 18 21; c) 17 63; d) 19 98.

223. Og'zaki hisoblang: a) 34 84 – 24 84; c) 51·78 – 51·58;

b) 45 · 40 – 40 · 25; d) 63 7 – 7 33

224 Hisoblang: a) 560 · 188 – 880 · 56; c) 490 730 – 73 900;

b) 84 670 – 640 67; d) 36 3400 – 360 140.

Sizga ma'lum bo'lgan usullardan foydalangan holda og'zaki hisoblang:

225. a) 13 · 5 + 71 · 5; c) 87 · 5 – 23 · 5; e) 43 · 25 + 25 · 17;

b) 58 · 5 – 36 · 5; d) 48 · 5 + 54 · 5; e) 25 67 – 39 25.

226. Hisob-kitoblarni amalga oshirmasdan, iboralarning ma'nolarini solishtiring:

a) 258 · (764 + 548) va 258 · 764 + 258 · 545; c) 532 · (618 – 436) va 532 · 618 –532 · 436;

b) 751· (339 + 564) va 751·340 + 751·564; d) 496 · (862 – 715) va 496 · 860 – 496 · 715.

227. Jadvalni to'ldiring:

Ikkinchi qatorni to'ldirish uchun hisob-kitob qilish kerakmi?

228. Agar omillar quyidagi tarzda o'zgartirilsa, bu mahsulot qanday o'zgaradi:

229. Koordinata nurida qaysi natural sonlar joylashganligini yozing:

a) 7 raqamining chap tomonida; v) 2895 va 2901 raqamlari orasida;

b) 128 va 132 raqamlari orasida; d) 487 raqamining o'ng tomoniga, lekin 493 raqamining chap tomoniga.

230. To'g'ri tenglikni olish uchun harakat belgilarini kiriting: a) 40 + 15? 17 = 72; c) 40? 15 ? 17 = 8;

b) 40? 15 ? 17 = 42; d) 120? 60? 60 = 0.

231 . Bir qutida paypoqlar ko'k, ikkinchisida - oq. Oq paypoqdan 20 juft ko‘k paypoq ko‘p, jami ikkita qutida 84 lari paypoq bor. Har bir rangdagi nechta juft paypoq bor?

232 . Do'konda uchta turdagi don bor: grechka, inju arpa va guruch, jami 580 kg. Agar 44 kg grechka, 18 kg marvarid va 29 kg guruch sotilgan bo'lsa, unda barcha turdagi donlarning massasi bir xil bo'ladi. Do'konda har bir turdagi donning necha kilogrammi bor.

Maqsad: formulalar yordamida hisob-kitoblarni bajarish ko'nikmalarini rivojlantirishni tekshirish; bolalarni arifmetik amallarning kommutativ, assotsiativ va distributiv qonunlari bilan tanishtirish.

qo‘shish va ko‘paytirish qonunlarining alifbo tartibida belgilanishini kiritish; hisob-kitoblarni va harfli ifodalarni soddalashtirish uchun arifmetik amallar qonunlarini qo‘llashni o‘rgatish;
mantiqiy fikrlash, aqliy mehnat ko‘nikmalarini, kuchli irodali odatlarni, matematik nutqni, xotirani, diqqatni, matematikaga qiziqishni, amaliylikni rivojlantirish;
bir-biriga hurmat, do'stlik va ishonch tuyg'ularini tarbiyalash.

Dars turi: birlashtirilgan.

ilgari olingan bilimlarni tekshirish;
talabalarni yangi materialni o'rganishga tayyorlash
yangi material taqdimoti;
talabalarning yangi materialni idrok etishi va xabardorligi;
o'rganilayotgan materialni birlamchi mustahkamlash;
darsni yakunlash va uy vazifasini belgilash.

Uskunalar: kompyuter, proyektor, taqdimot.

Reja:

1. Tashkiliy moment.
2. Oldin o'rganilgan materialni tekshirish.
3. Yangi materialni o'rganish.
4. Bilimlarni egallashning birlamchi testi (darslik bilan ishlash).
5. Bilimlarni nazorat qilish va o'z-o'zini tekshirish (mustaqil ish).
6. Darsni yakunlash.
7. Reflektsiya.

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment

O'qituvchi: Xayrli kun, bolalar! Biz darsimizni xayrlashuv she'ri bilan boshlaymiz. Ekranga e'tibor bering. (1 slayd). 2-ilova .

Matematika, do'stlar,
Bu mutlaqo hammaga kerak.
Sinfda tirishqoqlik bilan ishlang
Va muvaffaqiyat sizni kutmoqda!

2. Materialni takrorlash

Keling, biz ko'rib chiqqan materialni ko'rib chiqaylik. Men talabani ekranga taklif qilaman. Vazifa: ko'rsatgich yordamida yozilgan formulani uning nomi bilan bog'lang va ushbu formula yordamida yana nimani topish mumkin degan savolga javob bering. (2 slayd).

Daftarlaringizni oching, raqamga imzo cheking, ajoyib ish. Ekranga e'tibor bering. (3 slayd).

Keyingi slaydda og'zaki ishlaymiz. (5 slayd).

12 + 5 + 8 25 10 250 – 50
200 – 170 30 + 15 45: 3
15 + 30 45 – 17 28 25 4

Vazifa: iboralarning ma'nosini toping. (Bir talaba ekranda ishlaydi.)

– Misollarni echishda qanday qiziqarli narsalarni sezdingiz? Qaysi misollarga alohida e'tibor berishga arziydi? (Bolalarning javoblari.)

Muammoli vaziyat

– Boshlang’ich sinfdan qo’shish va ko’paytirishning qanday xossalarini bilasiz? Ularni alifbo iboralari yordamida yoza olasizmi? (Bolalarning javoblari).

3. Yangi materialni o'rganish

- Shunday qilib, bugungi darsning mavzusi "Arifmetik amallar qonunlari" (6 slayd).
– Dars mavzusini daftaringizga yozing.
- Sinfda qanday yangi narsalarni o'rganishimiz kerak? (Darsning maqsadlari bolalar bilan birgalikda tuziladi.)
- Ekranga qaraymiz. (7 slayd).

Harf shaklida yozilgan qo'shish qonunlarini va misollarni ko'rasiz. (Misollar tahlili).

- Keyingi slayd (8 slayd).

Keling, ko'paytirish qonunlarini ko'rib chiqaylik.

- Endi juda muhim taqsimot qonuni bilan tanishamiz (9 slayd).

- Xulosa qiling. (10 slayd).

– Nima uchun arifmetik amallar qonunlarini bilish kerak? Ular keyingi tadqiqotlarda, qaysi fanlarni o'rganishda foydali bo'ladimi? (Bolalarning javoblari.)

- Qonunlarni daftaringizga yozing.

4. Materialni mahkamlash

– Darslikni oching va 212-sonni (a, b, d) og‘zaki toping.

Doskada va daftarlarda yozma ravishda 212-son (c, d, g, h). (imtihon).

– Biz 214-son ustida og'zaki ishlayapmiz.

– Biz 215-sonli topshiriqni bajaramiz. Bu raqamni qanday qonun bilan hal qilish mumkin? (Bolalarning javoblari).

5. Mustaqil ish

– Javobni kartaga yozing va natijalaringizni stolingizdagi qo‘shningiz bilan solishtiring. Endi e'tiboringizni ekranga qarating. (11 slayd).(Mustaqil ishni tekshirish).

6. Darsning xulosasi

- Ekranga e'tibor. (12 slayd). Gapni tugating.

Dars baholari.

7. Uyga vazifa

§13, № 227, 229.

8. Reflektsiya

Manfiy bo'lmagan butun sonlarni qo'shishga yondashuv bizga qo'shishning mashhur qonunlarini asoslash imkonini beradi: kommutativ va kombinatsiya.

Avval kommutativ qonunni isbotlaymiz, ya'ni har qanday manfiy bo'lmagan a va b butun sonlar uchun a + b = b + a tengligi amal qilishini isbotlaymiz.

A to‘plamdagi elementlar soni a, B to‘plamdagi elementlar soni b va A B=0 bo‘lsin. Keyin manfiy bo'lmagan butun sonlar yig'indisining ta'rifi bo'yicha a + b - A va B to'plamlar birlashmasi elementlari soni: a + b = n (A//B). Lekin A B to'plam to'plamlar birlashuvining kommutativ xususiyatiga ko'ra B A to'plamga teng va, Demak, n(AU B) = n(B U A). n(BiA) = b + a yig'indisining ta'rifiga ko'ra, har qanday manfiy bo'lmagan a va b butun sonlar uchun a+b=b+a.

Endi kombinatsiya qonunini isbotlaymiz, ya'ni har qanday manfiy bo'lmagan a, b, c butun sonlar uchun (a + b) + c = a + (b + c) tengligi bajarilishini isbotlaymiz.

a = n(A), b = n(B), c = n(C) va AUV = 0, VUS = 0 bo'lsin, u holda ikkita son yig'indisining ta'rifi bilan (a+ b)+ yozishimiz mumkin. c = n(A/ /)B) + p(C) = p((AUBUC).

To'plamlar birlashmasi kombinatsiya qonuniga bo'ysunganligi uchun n((AUB)U C) = n(A U(BUC)) bo'ladi. Bu erdan, ikkita sonning yig'indisining ta'rifiga ko'ra, bizda n (A J(BUC)) = n (A) + n (BU C) = a + (b + c) mavjud. Demak, (a+ b)+ c -- a+(b + c) har qanday manfiy bo'lmagan a, b va c butun sonlar uchun.

Qo‘shishning assotsiativ qonunining maqsadi nima? U uchta atamaning yig'indisini qanday topish mumkinligini tushuntiradi: buning uchun birinchi hadni ikkinchi bilan qo'shing va natijada paydo bo'lgan songa uchinchi hadni qo'shing yoki ikkinchi va uchinchining yig'indisiga birinchi hadni qo'shing. E'tibor bering, kombinatsiya qonuni atamalarni qayta tartibga solishni nazarda tutmaydi.

Qo‘shishning ham kommutativ, ham assotsiativ qonunlari istalgan sonli atamalarga umumlashtirilishi mumkin. Bunday holda, kommutativ qonun yig'indining atamalarning hech qanday qayta joylashuvi bilan o'zgarmasligini, assotsiativ qonun esa atamalarning hech qanday guruhlanishi bilan (ularning tartibini o'zgartirmagan holda) yig'indining o'zgarmasligini bildiradi.

Qo'shishning kommutativ va assotsiativ qonunlaridan kelib chiqadiki, agar bir nechta hadlar yig'indisi, agar ular biron-bir tarzda qayta tartiblangan bo'lsa va ularning biron bir guruhi qavs ichiga olingan bo'lsa, o'zgarmaydi.

109 + 36+ 191 +64 + 27 ifodaning qiymatini qo'shish qonunlaridan foydalanib hisoblaymiz.

Kommutativ qonunga asoslanib, biz 36 va 191 atamalarni o'zgartiramiz. Keyin 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27.

Keling, birikma qonunidan foydalanamiz, atamalarni guruhlaymiz va keyin qavs ichidagi yig'indilarni topamiz: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.

300 va 100 sonlarining yig‘indisini qavs ichiga olib, birikma qonunini yana qo‘llaymiz: 300+ 100 + 27 = (300+ 100) + 27.

Keling, hisob-kitoblarni bajaramiz: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.

Boshlang'ich sinf o'quvchilari birinchi o'nta sonni o'rganishda qo'shishning almashinish xususiyati bilan tanishadilar. U birinchi navbatda bir xonali qo'shimchalar jadvalini tuzishda, so'ngra turli xil hisoblarni ratsionalizatsiya qilish uchun ishlatiladi.

Qo'shishning kombinatsiya qonuni matematikaning boshlang'ich kursida aniq o'rganilmaydi, lekin doimiy ravishda qo'llaniladi. Shunday qilib, sonni qismlarga bo'lib qo'shish texnikasi uchun asos bo'ladi: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. Bundan tashqari, sonni yig‘indiga, yig‘indini songa, yig‘indini yig‘indiga qo‘shish zarur bo‘lgan hollarda assotsiativ qonun kommutativ qonun bilan birgalikda qo‘llaniladi. Masalan, 4 raqamiga 2+1 yig'indisini qo'shish quyidagi yo'llar bilan taklif qilinadi:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

Keling, ushbu usullarni tahlil qilaylik. 1-holatda hisob-kitoblar belgilangan tartibga muvofiq amalga oshiriladi. 2-holatda qo'shishning assotsiativ xususiyati qo'llaniladi. Keyingi holatda hisob-kitoblar qo'shishning kommutativ va assotsiativ qonunlariga asoslanadi va oraliq o'zgarishlar kiritilmaydi. Ular shunday. Birinchidan, kommutativ qonunga asoslanib, biz 1 va 2 shartlarni almashtirdik: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Keyin birikma qonunidan foydalandik: 4 + (1 +2) = (4+ 1) + 2. Va nihoyat, (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7 operatsiyalar tartibiga ko'ra hisob-kitoblarni amalga oshirdik.

Yig‘indidan sonni va sondan yig‘indini ayirish qoidalari

Yig'indidan sonni va sondan yig'indini ayirishning ma'lum qoidalarini asoslab beraylik.

Yig'indidan sonni ayirish qoidasi. Raqamni yig'indidan ayirish uchun yig'indining shartlaridan biridan bu raqamni ayirish va natijada boshqa bir hadni qo'shish kifoya.

Ushbu qoidani belgilar yordamida yozamiz: Agar a, b, c manfiy bo'lmagan butun sonlar bo'lsa, u holda:

a) a>c uchun bizda (a+b) -- c = (a -- c)+b;

b) b>c uchun bizda (a+b) -- c==a + (b -- c);

c) a>c va b>c uchun ushbu formulalardan istalgan birini ishlatishingiz mumkin.

a >c bo'lsin, u holda a -c farqi mavjud bo'ladi. Uni p bilan belgilaymiz: a - c = p. Demak, a = p+c. (a+b) -- c ifodasiga a o‘rniga p+-c yig‘indisini qo‘ying va uni o‘zgartiring: (a + 6) --c = (p + c+b) -- c = p+b+-c - - c = p+b

Ammo p harfi a - c farqini bildiradi, ya'ni bizda (a + b) - - c = (a - c) + b bor, buni isbotlash kerak.

Xuddi shu mulohaza boshqa holatlar uchun ham amalga oshiriladi. Keling, Eyler doiralari yordamida ushbu qoidani ("a" holatini) ko'rsatamiz. n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c va AUB = 0, CUA bo‘lgan uchta chekli A, B va C to‘plamlarni olaylik. U holda (a+b) - c to'plam elementlari soni (AUB)C, (a - c) + b soni esa (AC)UB to'plam elementlari soni. Eyler doiralarida (AUB)C to'plam rasmda ko'rsatilgan soyali maydon bilan ifodalanadi.

(AC)UB to'plami aynan bir xil maydon bilan ifodalanishini tekshirish oson. Shunday qilib, ma'lumotlar uchun (AUB)C = (AC)UB

A, B va C to'plamlari. Demak, n((AUB)C) = n((AC)UB)u (a + b) - c - (a - c) + b.

“b” holini ham xuddi shunday tasvirlash mumkin.

Sondan yig‘indini ayirish qoidasi. Sondan sonlar yig‘indisini ayirish uchun bu sondan har bir hadni birma-bir ayirish kifoya, ya’ni a, b, c manfiy bo‘lmagan butun sonlar bo‘lsa, a>b+c uchun bizda a--( b+c ) = (a - b) - c.

Ushbu qoidaning mantiqiy asosi va uning to'plam-nazariy illyustratsiyasi sonni yig'indidan ayirish qoidasi bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi.

Ushbu qoidalar maqolada muhokama qilinadi boshlang'ich maktab aniq misollar yordamida asoslash uchun vizual tasvirlardan foydalaniladi. Ushbu qoidalar hisob-kitoblarni oqilona bajarishga imkon beradi. Masalan, sondan yig'indini ayirish qoidasi sonni qismlarga ajratish texnikasiga asoslanadi:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

Yuqoridagi qoidalarning ma’nosi arifmetik masalalarni turli usullar bilan yechishda yaxshi ochib beriladi. Masalan, muammo “Ertalab 20 ta kichik va 8 ta katta baliqchi qayiqlari dengizga chiqdi. 6 ta qayiq qaytib keldi. Hali baliqchilar bilan qancha qayiq qaytishi kerak? uchta usulda hal qilish mumkin:

/ yo'l. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22

// yo'l. 1. 20 -- 6=14 2. 14 + 8 = 22

III usul. 1. 8 -- 6 = 2 2. 20 + 2 = 22

Ko'paytirish qonunlari

To'plamlarning dekart ko'paytmasi orqali ko'paytmaning ta'rifiga asoslanib, ko'paytirish qonunlarini isbotlaymiz.

1. Kommutativ qonun: har qanday manfiy bo'lmagan a va b butun sonlar uchun a*b = b*a tengligi to'g'ri bo'ladi.

a = n (A), b = n (B) bo'lsin. Keyin, mahsulotning ta'rifi bo'yicha, a * b = n (A * B). Lekin A*B va B*A toʻplamlari teng darajada kuchli: AXB toʻplamidagi har bir juftlik (a, b) BxA toʻplamidagi bitta juftlik (b, a) bilan bogʻlanishi mumkin va aksincha. Bu n(AXB) = n(BxA) va shuning uchun a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-a ni bildiradi.

2. Kombinatsiya qonuni: har qanday manfiy bo'lmagan a, b, c butun sonlar uchun (a* b) *c = a* (b*c) tengligi to'g'ri bo'ladi.

a = n (A), b = n (B), c = n (C) bo'lsin. U holda (a-b)-c = n((AXB)XQ, a-(b -c) = n (AX(BXQ) hosilasining ta’rifi bo‘yicha (AxB)XC va A X (BX Q) to‘plamlar farqlanadi: birinchisi ((a, b), c) ko'rinishdagi juftlardan, ikkinchisi esa (a, (b, c)) ko'rinishdagi juftlardan iborat bo'lib, bu erda aЈA, bЈB, cЈC Lekin (AXB)XC to'plamlari va AX(BXC) tengdir, chunki bir to'plamning boshqasiga birma-bir xaritalashi mavjud Shuning uchun n((AXB) *C) = n(A*(B*C)) va shuning uchun (. a*b) *c = a* (b*c).

3. Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimot qonuni: har qanday manfiy bo'lmagan a, b, c butun sonlar uchun (a + b) x c = ac+ be tengligi to'g'ri bo'ladi.

a - n (A), b = n (B), c = n (C) va AUB = 0 bo'lsin. Keyin mahsulotning ta'rifi bo'yicha bizda (a + b) x c = n ((AUB) * C. Tenglik asosida (*) n ((A UV) * C) = n((A * C)U(B* C)), so‘ngra yig‘indi va mahsulotning ta’rifi bilan n ((A) ni olamiz. * C)U(B* C) ) -- = n(A*C) + n(B*C) = ac + bc.

4. Ayirishga nisbatan ko‘paytirishning taqsimot qonuni: har qanday manfiy bo‘lmagan a, b va c va a^b butun sonlar uchun (a - b)c = = ac - bc tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.

Bu qonun (AB) *C = (A *C)(B*C) tengligidan kelib chiqqan va avvalgisiga o'xshash tarzda isbotlangan.

Ko'paytirishning kommutativ va assotsiativ qonunlari har qanday sonli omillarga kengaytirilishi mumkin. Qo'shimchada bo'lgani kabi, bu qonunlar ham ko'pincha birgalikda qo'llaniladi, ya'ni agar ular biron bir tarzda qayta tartibga solinsa va ularning biron bir guruhi qavs ichiga olingan bo'lsa, bir nechta omillarning mahsuloti o'zgarmaydi.

Taqsimot qonunlari ko'paytirish va qo'shish va ayirish o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadi. Ushbu qonunlarga asoslanib, (a + b) c va (a - b) c kabi iboralarda qavslar ochiladi, shuningdek, agar ifoda ac - be yoki shaklida bo'lsa, omil qavsdan chiqariladi.

Matematikaning boshlang'ich kursida ko'paytirishning kommutativ xususiyati o'rganiladi: "Ko'paytma omillarni qayta tartibga solish orqali o'zgarmaydi" - va bir xonali sonlar uchun ko'paytirish jadvalini tuzishda keng qo'llaniladi; Kommutativ qonun boshlang'ich maktabda aniq ko'rib chiqilmaydi, lekin sonni ko'paytmaga ko'paytirishda kommutativ qonun bilan birga qo'llaniladi. Bu quyidagicha sodir bo'ladi: talabalarga 3* (5*2) ifoda qiymatini topishning turli usullarini ko'rib chiqish va natijalarni solishtirish so'raladi.

Holatlar keltirilgan:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

Ulardan birinchisi harakatlar tartibi qoidasiga, ikkinchisi ko‘paytirishning assotsiativ qonuniga, uchinchisi ko‘paytirishning kommutativ va assotsiativ qonunlariga asoslanadi.

Ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan taqsimot qonuni maktabda aniq misollar yordamida muhokama qilinadi va sonni yig‘indiga, yig‘indini songa ko‘paytirish qoidalari deb ataladi. Ushbu ikki qoidani ko'rib chiqish uslubiy mulohazalar bilan belgilanadi.

Yig'indini songa, sonni esa mahsulotga bo'lish qoidalari

Natural sonlarni bo'lishning ba'zi xossalari bilan tanishamiz. Ushbu qoidalarni tanlash boshlang'ich matematika kursining mazmuni bilan belgilanadi.

Yig'indini songa bo'lish qoidasi. Agar a va b sonlar c soniga bo'linadigan bo'lsa, ularning a + b yig'indisi c ga bo'linadi; a + b yig'indisini c soniga bo'lish natijasida olingan bo'linma a ni c va b ni c ga bo'lish natijasida olingan ko'rsatkichlar yig'indisiga teng, ya'ni.

(a + b): c = a: c + b: c.

Isbot. a c ga bo'linishi uchun m = a:c natural son mavjud bo'lib, a = c-m bo'ladi. Xuddi shunday, b = c-n bo'ladigan n - b:c natural soni mavjud. Keyin a+b = c-m + c-/2 = c-(m + n). Bundan kelib chiqadiki, a + b c ga bo'linadi va a + b ni c soniga bo'lish natijasida olingan qism m + n ga teng, ya'ni a: c + b: c.

Tasdiqlangan qoida to'plam-nazariy nuqtai nazardan talqin qilinishi mumkin.

a = n (A), b = n (B) va AGV = 0 bo'lsin. Agar A va B to'plamlarning har birini teng kichik to'plamlarga bo'lish mumkin bo'lsa, u holda bu to'plamlarning birlashishi bir xil bo'linishga imkon beradi.

Bundan tashqari, agar A to'plam bo'limining har bir kichik to'plamida a:c elementlari bo'lsa va B to'plamning har bir kichik to'plamida b:c elementlari bo'lsa, A[)B to'plamining har bir kichik to'plami a:c+b:c elementlarini o'z ichiga oladi. Bu degani (a + b): c = a: c + b: c.

Raqamni mahsulotga bo'lish qoidasi. Agar a natural soni b va c natural sonlarga bo'linadigan bo'lsa, a sonini b va c sonlarining ko'paytmasiga bo'lish uchun a sonini b (c) ga bo'lish va hosil bo'lgan qismni c (b) ga bo'lish kifoya. : a: (b * c) --(a: b): c = (a: c): b Isbot. (a:b):c = x qo'yaylik. Keyin, a:b = c-x bo'linmasining ta'rifiga ko'ra, shunga o'xshash a - b-(cx). Ko'paytirishning assotsiativ qonuniga asoslanib a = (bc)-x. Olingan tenglik a:(bc) = x ekanligini bildiradi. Shunday qilib a:(bc) = (a:b):c.

Raqamni ikki sonning qismiga ko'paytirish qoidasi. Raqamni ikki raqamning ulushiga ko'paytirish uchun bu raqamni dividendga ko'paytirish va natijada olingan mahsulotni bo'linuvchiga bo'lish kifoya, ya'ni.

a-(b:c) = (a-b):c.

Tuzilgan qoidalarni qo'llash hisob-kitoblarni soddalashtirishga imkon beradi.

Masalan, (720+ 600): 24 ifodaning qiymatini topish uchun 720 va 600 atamalarini 24 ga bo‘lish va hosil bo‘lgan ko‘rsatkichlarni qo‘shish kifoya:

(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55. 1440:(12* 15) ifodaning qiymatini avval 1440 ni 12 ga bo‘lish, keyin esa hosil bo‘lgan qismni bo‘lish yo‘li bilan topish mumkin. 15 tomonidan:

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

Ushbu qoidalar dastlabki matematika kursida aniq misollar yordamida muhokama qilinadi. 6 + 4 yig'indisini 2 raqamiga bo'lish qoidasi bilan birinchi marta tanishganingizda, tasviriy material ishlatiladi. Kelajakda bu qoida hisob-kitoblarni ratsionalizatsiya qilish uchun ishlatiladi. Raqamni mahsulotga bo'lish qoidasi nol bilan tugaydigan sonlarni bo'lishda keng qo'llaniladi.

Kelajakda raqamlar yoki harflar bilan ifodalangan raqamlar ustidagi harakatlarni o'rganganimizda (bu muhim emas), biz arifmetikada o'rganilgan harakatlar qonunlariga tayanishimiz kerak bo'ladi. Ushbu qonunlarning ahamiyati tufayli ular harakatning asosiy qonunlari deb ataladi.

Keling, ularga eslatib o'tamiz.

1. Qo‘shishning kommutativ qonuni.

Shartlar tartibi o'zgartirilsa, summa o'zgarmaydi.

Ushbu qonun allaqachon 1-§da tenglik shaklida yozilgan:

bu yerda a va har qanday sonlar.

Arifmetikadan bilamizki, kommutativ qonun istalgan sonlar yig’indisi uchun to’g’ri bo’ladi.

2. Qo‘shishning birikma qonuni.

Bir nechta hadlar yig'indisi, agar qo'shni atamalar guruhi ularning yig'indisiga almashtirilsa, o'zgarmaydi.

Uch shartning yig'indisi uchun bizda:

Masalan, miqdorni ikki yo'l bilan hisoblash mumkin:

Kombinatsiya qonuni har qanday atama uchun amal qiladi.

Shunday qilib, to'rtta shartlar yig'indisida qo'shni atamalar xohlagancha guruhlarga birlashtirilishi va bu atamalar yig'indisi bilan almashtirilishi mumkin:

Misol uchun, qo'shni atamalarni qanday guruhlashimizdan qat'i nazar, biz bir xil 16 raqamini olamiz:

Kommutativ va assotsiativ qonunlar ko'pincha aqliy hisob-kitoblarda qo'llaniladi, raqamlarni ongga qo'shish osonroq bo'lishi uchun tartibga soladi.

Keling, oxirgi ikki shartni almashtiramiz va olamiz:

Bu tartibda raqamlarni qo'shish ancha oson bo'lib chiqdi.

Odatda, atamalar yangi tartibda qayta yozilmaydi, lekin ular ongda harakat qiladi: 67 va I ni aqliy ravishda qayta tartibga solib, darhol 89 va 11 ni qo'shib, keyin 67 ni qo'shib qo'yadi.