تحديد تقارب المتسلسلة باستخدام اختبار دالمبيرت. المتسلسلة العددية: التعاريف، الخصائص، علامات التقارب، الأمثلة، الحلول. علامات تقارب كافية لسلسلة إيجابية

04.03.2022عنوان: أنواع

كان جان ليرون دالمبرت عالم رياضيات فرنسي مشهور في القرن الثامن عشر. بشكل عام، دالمبرت متخصص في المعادلات التفاضليةوبناءً على بحثه، عمل على المقذوفات حتى تطير قذائف مدفعية جلالته بشكل أفضل. في الوقت نفسه، لم أنس سلسلة الأرقام، فليس من قبيل الصدفة أن تتقارب صفوف قوات نابليون فيما بعد وتتباعد بشكل واضح.

قبل صياغة الإشارة نفسها، دعونا نفكر في سؤال مهم:
متى يجب استخدام اختبار تقارب دالمبيرت؟

لنبدأ بالمراجعة أولاً. دعونا نتذكر الحالات التي تحتاج فيها إلى استخدام الأكثر شيوعًا حد المقارنة. يتم تطبيق المعيار المحدد للمقارنة عندما يكون في المصطلح العام للسلسلة:
1) يحتوي المقام على كثيرة الحدود.
2) كثيرات الحدود موجودة في كل من البسط والمقام.
3) يمكن أن يكون أحد كثيري الحدود أو كليهما تحت الجذر.

المتطلبات الأساسية لتطبيق اختبار دالمبيرت هي كما يلي:

1) المصطلح الشائع للسلسلة ("حشو" السلسلة) يشمل عدداً ما بدرجة ما، مثلاً، وهكذا. علاوة على ذلك، لا يهم إطلاقا أين يقع هذا الشيء، في البسط أو في المقام - المهم أنه موجود هناك.

2) الحد المشترك للمتسلسلة يشمل المضروب. ما هو مضروب؟ لا يوجد شيء معقد، العامل هو مجرد تمثيل مكثف للمنتج:

…

…

! عند استخدام اختبار دالمبيرت، سيتعين علينا وصف المضروب بالتفصيل. كما في الفقرة السابقة، يمكن وضع المضروب في أعلى أو أسفل الكسر.

3) إذا كان في الحد العام للسلسلة "سلسلة عوامل" مثلا . هذه الحالة نادرة ولكن! عند دراسة مثل هذه السلسلة، غالبا ما يتم ارتكاب خطأ - انظر المثال 6.

إلى جانب القوى و/أو المضروب، غالبًا ما توجد كثيرات الحدود في ملء المتسلسلة؛ وهذا لا يغير الوضع - تحتاج إلى استخدام علامة دالمبيرت.

بالإضافة إلى ذلك، في الحد المشترك للمتسلسلة يمكن أن تحدث كل من الدرجة والمضروب في وقت واحد؛ قد يكون هناك مضروبان، درجتان، فمن المهم أن يكون هناك ما لا يقل عن شيءمن النقاط التي تم النظر فيها - وهذا هو بالتحديد الشرط الأساسي لاستخدام علامة دالمبيرت.

علامة دالمبرت: دعونا نفكر سلسلة أرقام إيجابية. إذا كان هناك حد لنسبة الحد اللاحق إلى الحد السابق: فإن:
أ) عندما الصف يتقارب
ب) عندما الصف يتباعد
ج) متى العلامة لا تعطي إجابة. تحتاج إلى استخدام علامة أخرى. في أغلب الأحيان، يتم الحصول على واحد في حالة محاولة تطبيق اختبار دالمبيرت حيث يكون من الضروري استخدام اختبار المقارنة المحدود.

من لا يزال لديه مشاكل مع الحدود أو سوء فهم للحدود، يرجى الرجوع إلى الموضوع حدود. أمثلة على الحلول. وبدون فهم الحد والقدرة على الكشف عن عدم اليقين، لسوء الحظ، لا يمكن للمرء أن يتقدم أكثر. والآن الأمثلة التي طال انتظارها.

مثال 1
نرى ذلك في المصطلح العام للسلسلة التي لدينا، وهذا شرط أساسي لاستخدام اختبار دالمبيرت. أولاً، الحل الكامل وتصميم العينة، التعليقات أدناه.

نستخدم علامة دالمبيرت:

يتقارب.

(1) نؤلف نسبة العضو التالي في السلسلة إلى العضو السابق: . من الشرط نرى أن الحد العام للسلسلة هو . من أجل الحصول على العضو التالي في السلسلة فمن الضروري بدلا من استبدال: .
(2) نتخلص من الكسر المكون من أربعة طوابق. إذا كان لديك بعض الخبرة في الحل، يمكنك تخطي هذه الخطوة.
(3) افتح القوسين في البسط. في المقام نخرج الأربعة من القوة.
(4) تقليل بمقدار . نحن نأخذ الثابت وراء علامة النهاية. في البسط نقدم مصطلحات مماثلة بين قوسين.
(5) يتم التخلص من عدم اليقين بالطريقة القياسية - عن طريق قسمة البسط والمقام على "en" إلى أعلى قوة.
(6) نقسم البسط حدا حدا على المقامات، ونشير إلى الحدود التي تميل إلى الصفر.
(7) نبسط الإجابة ونلاحظ أنه وفقًا لمعيار دالمبيرت، فإن المتسلسلة قيد الدراسة متقاربة.

في المثال المذكور، واجهنا في الحد العام للمتسلسلة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية. ماذا تفعل إذا كان هناك متعدد الحدود من الدرجة الثالثة أو الرابعة أو أعلى؟ والحقيقة هي أنه إذا تم إعطاء كثير الحدود بدرجة أعلى، فستنشأ صعوبات عند فتح الأقواس. في هذه الحالة، يمكنك استخدام طريقة الحل "التربو".

مثال 2 لنأخذ متسلسلة مماثلة ونفحصها من أجل التقارب
أولا الحل الكامل ثم التعليقات:

نستخدم علامة دالمبيرت:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.

(1) نخلق العلاقة .
(2) نتخلص من الكسر المكون من أربعة طوابق.
(3) ضع في الاعتبار التعبير الموجود في البسط والتعبير الموجود في المقام. نلاحظ أنه في البسط نحتاج إلى فتح الأقواس ورفعها إلى القوة الرابعة: وهو ما لا نريد القيام به على الإطلاق. بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لأولئك الذين ليسوا على دراية بذات الحدين لنيوتن، قد لا تكون هذه المهمة ممكنة على الإطلاق. دعونا نحلل الدرجات العليا: إذا فتحنا الأقواس في الأعلى، نحصل على أعلى درجة. أدناه لدينا نفس الدرجة العليا: . وقياسا على المثال السابق، من الواضح أنه عند قسمة البسط والمقام على حد، نحصل على واحد في النهاية. أو، كما يقول علماء الرياضيات، كثيرات الحدود و- نفس ترتيب النمو. وبالتالي، من الممكن تمامًا تحديد النسبة بقلم رصاص بسيط والإشارة على الفور إلى أن هذا الشيء يميل إلى واحد. نحن نتعامل مع الزوج الثاني من كثيرات الحدود بنفس الطريقة: و هم أيضًا نفس ترتيب النمو، ونسبتهم تميل إلى الوحدة.

في الواقع، كان من الممكن تنفيذ مثل هذا "الاختراق" في المثال رقم 1، ولكن بالنسبة لكثيرة الحدود من الدرجة الثانية، لا يزال هذا الحل يبدو غير لائق إلى حد ما. أنا شخصياً أفعل ذلك: إذا كان هناك كثيرة حدود (أو كثيرة حدود) من الدرجة الأولى أو الثانية، أستخدم الطريقة "الطويلة" لحل المثال الأول. إذا صادفت كثيرة حدود من الدرجة الثالثة أو أكثر درجات عالية، أستخدم طريقة "turbo" المشابهة للمثال 2.

مثال 3 .

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة النموذجية مع العوامل:

مثال 4 افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

يشمل المصطلح الشائع للمتسلسلة كلاً من الدرجة والمضروب. من الواضح كالنهار أنه يجب استخدام علامة دالمبيرت هنا. دعونا نقرر.

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتباعد.

(1) نخلق العلاقة . نكرر مرة أخرى. بشرط أن العضو المشترك في السلسلة هو : . من أجل الحصول على الفصل التالي في السلسلة، بدلا من ذلك تحتاج إلى استبدال، هكذا: .
(2) نتخلص من الكسر المكون من أربعة طوابق.
(٣) اقرص السبعة من الدرجة. وصفنا العوامل بالتفصيل. كيفية القيام بذلك - راجع بداية الدرس.
(4) نقطع كل ما يمكن قطعه.
(5) نحرك الثابت إلى ما بعد علامة النهاية. افتح الأقواس في البسط.
(6) نزيل عدم اليقين بالطريقة القياسية - عن طريق قسمة البسط والمقام على "en" إلى أعلى قوة.

مثال 5افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب، الحل الكامل أدناه.

مثال 6افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

في بعض الأحيان تكون هناك متسلسلة تحتوي في ملئها على "سلسلة" من العوامل، ولم نتناول بعد هذا النوع من المتسلسلات. كيف تدرس سلسلة بها "سلسلة" من العوامل؟ استخدم علامة دالمبيرت. لكن أولاً، لكي نفهم ما يحدث، دعونا نصف المسلسل بالتفصيل:

من التوسيع نرى أن كل عضو تالي في السلسلة لديه عامل إضافي مضاف إلى المقام، لذلك، إذا كان العضو المشترك في السلسلة هو، فإن العضو التالي في السلسلة هو:
. هذا هو المكان الذي يرتكبون فيه خطأً تلقائيًا، ويكتبون رسميًا وفقًا للخوارزمية التي

قد يبدو نموذج الحل التقريبي كما يلي: لنستخدم علامة دالمبيرت:
وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.
علامة كوشي جذرية

أوغسطين لويس كوشي عالم رياضيات فرنسي أكثر شهرة. يمكن لأي طالب أن يخبرك بسيرة كوشي الذاتية. التخصص الفني. في الألوان الأكثر الخلابة. وليس من قبيل الصدفة أن يتم نحت هذا الاسم في الطابق الأول من برج إيفل.

إن اختبار تقارب كوشي لسلسلة الأعداد الموجبة يشبه إلى حد ما اختبار دالمبيرت الذي تمت مناقشته للتو.

علامة كوشي الراديكالية:دعونا نفكر سلسلة أرقام إيجابية. إذا كان هناك حد: ، ف:
أ) عندما الصف يتقارب. وعلى وجه الخصوص، تتقارب السلسلة عند .
ب) عندما الصف يتباعد. على وجه الخصوص، تتباعد السلسلة عند .
ج) متى العلامة لا تعطي إجابة. تحتاج إلى استخدام علامة أخرى. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه إذا كان اختبار كوشي لا يعطينا إجابة لمسألة تقارب المتسلسلة، فإن اختبار دالمبيرت لن يعطينا إجابة أيضًا. ولكن إذا لم يقدم اختبار دالمبيرت إجابة، فإن اختبار كوشي قد "ينجح". أي أن علامة كوشي بهذا المعنى علامة أقوى.

متى يجب عليك استخدام علامة كوشي الجذرية؟عادةً ما يستخدم اختبار كوشي الجذري في الحالات التي يكون فيها المصطلح المشترك للسلسلة تماماهو في درجة اعتمادا على "أون". أو عندما يتم استخراج الجذر "جيد" من عضو مشترك في السلسلة. هناك أيضًا حالات غريبة، لكننا لن نقلق بشأنها.

مثال 7افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

نرى أن الحد العام للمتسلسلة يقع بالكامل تحت قوة تعتمد على ، مما يعني أننا بحاجة إلى استخدام اختبار كوشي الجذري:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتباعد.

(1) نقوم بصياغة الحد المشترك للمتسلسلة تحت الجذر.
(2) نعيد كتابة نفس الشيء، فقط بدون الجذر، باستخدام خاصية الدرجات.
(3) في المؤشر نقسم البسط على المقام حدا حدا دلالة على ذلك
(4) ونتيجة لذلك، لدينا عدم اليقين. هنا يمكنك قطع شوط طويل: مكعب، مكعب، ثم قسمة البسط والمقام على "en" لأعلى قوة. لكن في هذه الحالة، هناك حل أكثر فاعلية: يمكنك تقسيم البسط والمقام على حده مباشرة تحت القوة الثابتة. للتخلص من عدم اليقين، قم بتقسيم البسط والمقام على (القوة الأعلى).
(5) نقوم في الواقع بإجراء القسمة على الحدود ونشير إلى الحدود التي تميل إلى الصفر.
(6) نستحضر الجواب في أذهاننا، ونضع علامة على ما لدينا، ونستنتج أن المتسلسلة تتباعد.

إليك مثال أبسط يمكنك حله بنفسك:

مثال 8 افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

واثنين من الأمثلة النموذجية.

الحل الكامل وتصميم العينة أدناه.

مثال 9 افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب
نستخدم اختبار كوشي الجذري:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.

(1) ضع الحد المشترك للمتسلسلة تحت الجذر.
(2) نعيد كتابة نفس الشيء ولكن بدون الجذر مع فتح الأقواس باستخدام صيغة الضرب المختصرة: .
(3) في المؤشر نقسم البسط على المقام حدا حدا ونشير إلى ذلك .
(4) عدم اليقين من النموذج. هنا يمكنك قسمة البسط مباشرة على المقام الموجود بين قوسين على "en" إلى أعلى درجة. لقد واجهنا شيئًا مشابهًا أثناء الدراسة الحد الثاني الرائع. لكن هنا الوضع مختلف. إذا كانت المعاملات في القوى العليا تطابق، على سبيل المثال: ، فإن خدعة القسمة على حد على حدة لن تعمل بعد الآن، وسيكون من الضروري استخدام الثانية حد رائع. لكن لدينا هذه المعاملات مختلف(5 و 6)، لذلك من الممكن (والضروري) تقسيم حد على حد (بالمناسبة، على العكس من ذلك - الحد الثاني الملحوظ ل مختلفالمعاملات في القوى العليا لم تعد تعمل).
(5) نقوم في الواقع بإجراء القسمة على حد على حدة ونشير إلى الحدود التي تميل إلى الصفر.
(6) لقد زال الشك، وبقي الحد الأبسط: لماذا في كبيرة بلا حدوديميل إلى الصفر؟ لأن أساس الدرجة يرضي التفاوت. إذا كان لدى أي شخص شك في عدالة الحد، فلن أكون كسولًا، سأختار آلة حاسبة:
اذا ثم
اذا ثم
اذا ثم
اذا ثم
اذا ثم
… إلخ. إلى ما لا نهاية - أي في الحد:
(7) نشير إلى أننا نستنتج أن المتسلسلة متقاربة.

مثال 10 افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

هذا مثال لك لحله بنفسك.

في بعض الأحيان يتم تقديم مثال استفزازي للحل، على سبيل المثال:. هنا في الأس لا "أون"، ثابت فقط. هنا تحتاج إلى تربيع البسط والمقام (تحصل على متعددات الحدود)، ثم اتبع الخوارزمية من المقالة صفوف للدمى. في مثل هذا المثال، يجب أن يعمل إما الاختبار اللازم لتقارب المتسلسلة أو الاختبار الحدي للمقارنة.
علامة كوشي متكاملة

سأخيب أمل أولئك الذين لم يفهموا مادة الدورة الأولى جيدًا. من أجل تطبيق اختبار كوشي للتكامل، يجب أن تكون أكثر أو أقل ثقة في إيجاد المشتقات والتكاملات، وأن تتمتع أيضًا بمهارة الحساب تكامل غير لائقالنوع الأول. في كتب التحليل الرياضي، يتم تقديم اختبار كوشي التكاملي بشكل صارم رياضيًا، فلنقم بصياغة الاختبار بطريقة بدائية للغاية، ولكن مفهومة. وعلى الفور أمثلة للتوضيح.

اختبار كوشي التكاملي:دعونا نفكر سلسلة أرقام إيجابية. هل هذه المتسلسلة تتقارب أم تتباعد؟

مثال 11 افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

تقريبا الكلاسيكية. اللوغاريتم الطبيعي وبعض الهراء.

الشرط الرئيسي لاستخدام اختبار كوشي للتكامل هوهو حقيقة أنه في الحد العام للسلسلة هناك دالة معينة ومشتقتها. من الموضوع المشتقربما تتذكر أبسط شيء في الجدول: ولدينا مثل هذه الحالة الأساسية.

كيفية استخدام السمة المتكاملة؟ أولاً نأخذ أيقونة التكامل ونعيد كتابة الحدين العلوي والسفلي من "عداد" المتسلسلة: . ثم، تحت التكامل، نعيد كتابة "ملء" المتسلسلة بحرف "هو": . هناك شيء مفقود... أوه، نعم، تحتاج أيضًا إلى لصق رمز التفاضل في البسط: .

الآن نحن بحاجة إلى حساب تكامل غير لائق. في هذه الحالة هناك حالتان محتملتان:

1) إذا اتضح أن التكامل متقارب، فإن متسلسلةنا ستتقارب أيضًا.

2) إذا تبين أن التكامل يتباعد، فستتباعد متسلسلةنا أيضًا.

وأكرر، إذا تم إهمال المادة فإن قراءة الفقرة ستكون صعبة وغير واضحة، حيث أن استخدام الخاصية يعود بالأساس إلى الحساب تكامل غير لائقالنوع الأول.

يجب أن يبدو الحل الكامل وتنسيق المثال كما يلي:

نستخدم علامة التكامل:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتباعدجنبا إلى جنب مع التكامل غير لائق المقابلة.

مثال 12 افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

تصميم الحل والعينة في نهاية الدرس

في الأمثلة التي تم النظر فيها، يمكن أن يكون اللوغاريتم أيضًا تحت الجذر، وهذا لن يغير طريقة الحل.

واثنين من الأمثلة الأخرى للمبتدئين

مثال 13 افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

وبحسب "المعلمات" العامة، يبدو أن المصطلح العام للسلسلة مناسب لاستخدام المعيار الحدي للمقارنة. كل ما عليك فعله هو فتح الأقواس وتمريرها على الفور إلى المرشح لإجراء مقارنة شاملة بين هذه المتسلسلة والمتسلسلة المتقاربة. ومع ذلك، كنت أغش قليلاً، قد لا يتم فتح الأقواس، ولكن لا يزال الحل من خلال معيار المقارنة الحدية يبدو طنانًا إلى حد ما.

ولذلك نستخدم اختبار كوشي التكاملي:

الدالة التكاملية مستمرة

يتقاربجنبا إلى جنب مع التكامل غير لائق المقابلة.

! ملحوظة:الرقم الناتج هوليس مجموع السلسلة !!!

مثال 14 افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

الحل وتصميم العينة موجودان في نهاية القسم الذي ينتهي.

من أجل إتقان موضوع سلسلة الأرقام بشكل كامل ولا رجعة فيه، قم بزيارة المواضيع.

الحلول والأجوبة:

مثال 3:نستخدم علامة دالمبيرت:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتباعد.
ملحوظة: كان من الممكن أيضًا استخدام طريقة الحل "التربو": ضع دائرة على الفور بقلم رصاص حول النسبة، وأشر إلى أنها تميل إلى الوحدة وقم بتدوين ملاحظة: "بنفس ترتيب النمو".

مثال 5: نستخدم علامة دالمبيرت: وبالتالي فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.

مثال 8:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.

مثال 10:
نستخدم اختبار كوشي الجذري.

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتباعد.
ملحوظة: هنا الأساس هو الدرجة، لذا

مثال 12: نستخدم إشارة التكامل.

ويتم الحصول على عدد منتهٍ، وهو ما يعني السلسلة قيد الدراسة يتقارب

مثال 14: نستخدم علامة التكامل
التكامل مستمر على .

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتباعدجنبا إلى جنب مع التكامل غير لائق المقابلة.
ملحوظة: يمكن أيضًا فحص السلسلة باستخدامالمعيار الحدي للمقارنة . للقيام بذلك، تحتاج إلى فتح الأقواس الموجودة تحت الجذر ومقارنة السلسلة قيد الدراسة مع السلسلة المتباعدة.

صفوف متناوبة. علامة لايبنتز. أمثلة على الحلول

لفهم أمثلة هذا الدرس، يجب أن يكون لديك فهم جيد لمتسلسلة الأعداد الموجبة: فهم ماهية المتسلسلة، ومعرفة الإشارة اللازمة لتقارب المتسلسلة، والقدرة على تطبيق اختبارات المقارنة، واختبار دالمبيرت ، اختبار كوشي. يمكن إثارة الموضوع من الصفر تقريبًا من خلال دراسة المقالات باستمرار صفوف للدمىو علامة دالمبرت. علامات كوشي. منطقيًا، هذا الدرس هو الثالث على التوالي، وسيسمح لك ليس فقط بفهم الصفوف المتناوبة، ولكن أيضًا بدمج المواد التي تمت تغطيتها بالفعل! سيكون هناك القليل من الحداثة، ولن يكون إتقان الصفوف المتناوبة أمرًا صعبًا. كل شيء بسيط ويمكن الوصول إليه.

ما هي سلسلة بالتناوب؟وهذا واضح أو شبه واضح من الاسم نفسه. مجرد مثال بسيط، لننظر إلى السلسلة ونصفها بمزيد من التفصيل:

والآن سيكون هناك تعليق قاتل. أعضاء السلسلة المتناوبة لديهم علامات متناوبة: زائد، ناقص، زائد، ناقص، زائد، ناقص، إلخ. إلى ما لا نهاية.
توفر المحاذاة مضاعفًا: إذا كان زوجيًا، ستكون هناك علامة زائد، وإذا كان فرديًا، فستكون هناك علامة ناقص. في المصطلحات الرياضية، هذا الشيء يسمى "المتعرّي". وبالتالي، يتم "تعريف" المتسلسلة المتناوبة بواسطة سالب واحد إلى الدرجة "en".

في الأمثلة العملية، يمكن توفير تناوب شروط السلسلة ليس فقط عن طريق المضاعف، ولكن أيضًا عن طريق أشقائه: , , , ..... على سبيل المثال:

والمأزق هو "الخداع": ،،، الخ. - مثل هذه المضاعفات لا توفر تغيير العلامة. من الواضح تمامًا أنه بالنسبة لأي طبيعي: , , . لا تنزلق صفوف الخداع إلى الطلاب الموهوبين بشكل خاص فحسب، بل تنشأ من وقت لآخر "بأنفسهم" أثناء الحل سلسلة وظيفية.

كيفية فحص سلسلة متناوبة للتقارب؟استخدم اختبار لايبنتز. لا أريد أن أقول أي شيء عن عملاق الفكر الألماني جوتفريد فيلهلم لايبنتز، لأنه بالإضافة إلى أعماله الرياضية، كتب عدة مجلدات عن الفلسفة. خطير على الدماغ.

اختبار لايبنتز: إذا كان أعضاء سلسلة بالتناوب رتابةانخفاض في المعامل، ثم تتقارب السلسلة. أو في نقطتين:

2) شروط المتسلسلة النقصان في القيمة المطلقة : . علاوة على ذلك، فإنها تتناقص بشكل رتيب.

إذا اكتملت كلاهماالظروف، ثم تتقارب السلسلة.

معلومات مختصرةحول وحدة يرد في الدليلالصيغ الساخنة لدورة الرياضيات المدرسية ولكن من باب التيسير مرة أخرى:

ماذا يعني "مودلو"؟ الوحدة، كما نتذكر من المدرسة، "تأكل" علامة الطرح. دعنا نعود إلى الصف. امسح جميع العلامات عقليًا باستخدام ممحاة و دعونا ننظر إلى الأرقام. سوف نرى أن كل المقبلعضو السلسلة أقلمن السابق. وبالتالي فإن العبارات التالية تعني نفس الشيء:

- أعضاء السلسلة بغض النظر عن الإشارةتتناقص.
– انخفاض عدد أعضاء المسلسل modulo.
– انخفاض عدد أعضاء المسلسل بالقيمة المطلقة.
– وحدةالحد المشترك للسلسلة يميل إلى الصفر: نهاية المساعدة

الآن دعونا نتحدث قليلا عن الرتابة. الرتابة هي الاتساق الممل.

أعضاء السلسلة رتيبة تماماانخفاض في المعامل إذا كان كل عضو التالي في السلسلة moduloأقل من السابق : . تتميز السلسلة برتابة صارمة في النقصان، ويمكن وصفها بالتفصيل:

أو يمكننا أن نقول باختصار: كل عضو تالي في السلسلة moduloأقل من السابق : .

أعضاء السلسلة ليست رتيبة تماماانخفاض في modulo إذا كان كل عضو تالي في سلسلة modulo ليس أكبر من العضو السابق: . دعونا نفكر في متسلسلة ذات مضروب: هناك رتابة فضفاضة هنا، حيث أن أول حدين من المتسلسلة متطابقان في المعامل. أي كل عضو تالي في السلسلة moduloليس أكثر من السابق: .

في ظل شروط نظرية لايبنيز، يجب تلبية انخفاض الرتابة (لا يهم ما إذا كانت صارمة أم غير صارمة). في هذه الحالة، يمكن لأعضاء السلسلة حتى زيادة في المعامل لبعض الوقت، لكن "ذيل" السلسلة يجب بالضرورة أن يتناقص بشكل رتيب. ليس هناك حاجة للخوف مما تراكمت عليه، أمثلة عمليةسيتم وضع كل شيء في مكانه:

مثال 1افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

يشتمل المصطلح الشائع للسلسلة على عامل، مما يعني أنك بحاجة إلى استخدام معيار لايبنيز

1) التحقق من الصف للتناوب. عادة في هذه المرحلة من القرار يتم وصف السلسلة بالتفصيل ويتم النطق بالحكم "السلسلة متناوبة".

2) هل تتناقص حدود المتسلسلة في القيمة المطلقة؟ من الضروري حل الحد، والذي غالبًا ما يكون بسيطًا جدًا.

- شروط المتسلسلة لا تنقص في معاملها. وبالمناسبة، لم تعد هناك حاجة لمناقشة رتابة التخفيض. الخلاصة: السلسلة متباعدة.

كيفية معرفة ما هو متساو؟ بسيط جدا. كما تعلمون، فإن الوحدة تدمر السلبيات، لذلك من أجل إنشاء واحدة، تحتاج فقط إلى إزالة الضوء الوامض من السقف. في هذه الحالة، المصطلح الشائع للسلسلة هو . نقوم بغباء بإزالة "الضوء الوامض": .

مثال 2 افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

نستخدم معيار لايبنيز:

1) السلسلة متناوبة .

2) – انخفاض شروط المتسلسلة في القيمة المطلقة . كل عضو تالي في السلسلة يكون أقل في القيمة المطلقة من العضو السابق: وبالتالي، فإن النقصان رتيب.

الاستنتاج: المتسلسلة متقاربة.

سيكون كل شيء بسيطًا جدًا - لكن هذه ليست نهاية الحل!

إذا تقاربت المتسلسلة طبقا لاختبار لايبنتز، يقال أيضا إنها متسلسلة يتقارب بشكل مشروط.

إذا تقاربت أيضًا سلسلة مكونة من وحدات، فسيقولون إنها متسلسلة يتقارب تماما.

ولذلك، فإن المرحلة الثانية من حل مسألة نموذجية مدرجة في جدول الأعمال - دراسة إشارة المتسلسلة المتناوبة للتقارب المطلق.

هذا ليس خطأي - هذه مجرد نظرية سلسلة الأعداد =)

دعونا نتفحص المتسلسلة لمعرفة التقارب المطلق.
لنقم بتكوين سلسلة من الوحدات - مرة أخرى، نقوم ببساطة بإزالة العامل الذي يضمن تناوب العلامات: - يتباعد (السلسلة التوافقية).

وهكذا سلسلتنا ليست متقاربة تماما.
المسلسل قيد الدراسة يتقارب فقط بشروط.

لاحظ أنه في المثال رقم 1 ليست هناك حاجة لدراسة التقارب غير المطلق، لأنه في الخطوة الأولى تم التوصل إلى أن المتسلسلة متباعدة.

نقوم بجمع الدلاء والمجارف والسيارات ونترك صندوق الرمل لننظر إلى العالم بعيون مفتوحة على مصراعيها من مقصورة الحفار الخاص بي:

مثال 3 نفحص المتسلسلة للتأكد من تقاربها، نستخدم معيار لايبنتز:

1)
هذه السلسلة بالتناوب.

2) – انخفاض شروط المتسلسلة في القيمة المطلقة . كل عضو تالي في السلسلة أقل قيمة مطلقة من العضو السابق: وهذا يعني أن النقصان رتيب. الاستنتاج: المتسلسلة متقاربة.

عند تحليل ملء السلسلة، نتوصل إلى استنتاج مفاده أنه من الضروري هنا استخدام المعيار المحدود للمقارنة. من الأفضل فتح الأقواس في المقام:

دعونا نقارن هذه المتسلسلة بمتسلسلة متقاربة. نحن نستخدم معيار الحد للمقارنة.

ويتم الحصول على عدد منتهٍ يختلف عن الصفر، مما يعني أن المتسلسلة تتقارب مع المتسلسلة. المسلسل قيد الدراسة يتقارب تماما.

مثال 4 افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

مثال 5 افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

هذه أمثلة عليك أن تقررها بنفسك. الحل الكامل وتصميم العينة في نهاية القسم.

كما ترون، الصفوف المتناوبة بسيطة ومملة! لكن لا تتسرع في إغلاق الصفحة، ففي شاشتين فقط سننظر إلى حالة تحير الكثيرين. في غضون ذلك، بضعة أمثلة أخرى للممارسة والتكرار.

مثال 6 افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

نحن نستخدم معيار لايبنيز.
1) السلسلة متناوبة .
2)
شروط السلسلة تنخفض في المعامل. كل عضو تالٍ في السلسلة تكون قيمته المطلقة أقل من سابقتها، مما يعني أن النقصان رتيب. الاستنتاج: المتسلسلة متقاربة.

يرجى ملاحظة أنني لم أصف أعضاء السلسلة بالتفصيل. يُنصح دائمًا بوصفها، ولكن بسبب الكسل الذي لا يقاوم في الحالات "الصعبة"، يمكنك الاكتفاء بعبارة "المسلسل يتناوب في الإشارة". وبالمناسبة، ليست هناك حاجة للتعامل مع هذه النقطة بشكل رسمي، نحن دائما نتحقق(على الأقل عقليًا) أن السلسلة تتناوب بالفعل. تفشل النظرة السريعة، ويتم ارتكاب الخطأ تلقائيًا. تذكر عن "الخداع" ، إذا كانت موجودة فأنت بحاجة للتخلص منها والحصول على مسلسل "عادي" بعبارات إيجابية.

تتعلق الدقة الثانية بالعبارة المتعلقة بالرتابة، والتي اختصرتها أيضًا قدر الإمكان. يمكنك القيام بذلك، وسيتم قبول مهمتك دائمًا تقريبًا. سأقول شيئًا سيئًا تمامًا - شخصيًا، غالبًا ما ألتزم الصمت بشأن الرتابة، وهذا الرقم يمر. لكن كن مستعدًا لوصف كل شيء بالتفصيل، وصولاً إلى سلاسل المتباينات التفصيلية (انظر المثال في بداية الدرس). بالإضافة إلى ذلك، أحيانًا لا تكون الرتابة صارمة، وهذا أيضًا يحتاج إلى مراقبة لاستبدال كلمة "أقل" بكلمة "لا أكثر".

نفحص المتسلسلة لمعرفة التقارب المطلق:

من الواضح أنك بحاجة إلى استخدام اختبار كوشي الجذري:

وهكذا تتقارب المتسلسلة. المسلسل قيد الدراسة يتقارب تماما.

مثال 7افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

هذا مثال للحل المستقل، غالبًا ما تكون هناك صفوف متناوبة تسبب صعوبات.

مثال 8افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

نستخدم معيار لايبنيز:
1) السلسلة متناوبة .

النقطة المهمة هي أنه لا توجد تقنيات يومية قياسية لحل هذه الحدود. أين يذهب هذا الحد؟ إلى الصفر، إلى اللانهاية؟ المهم هنا هو ما ينمو بشكل أسرع إلى ما لا نهاية- البسط أو المقام.

ملاحظة: يتم تناول مفهوم ترتيب نمو الوظيفة بالتفصيل في المقالةطرق حل الحدود . لدينا حدود التسلسللكن هذا لا يغير الجوهر.

إذا كان البسط at ينمو بشكل أسرع من المضروب، إذن . إذا كان المضروب، عند اللانهاية، ينمو بشكل أسرع من البسط، فإنه، على العكس من ذلك، سوف "يسحب" الحد إلى الصفر: . أو ربما هذا الحد يساوي رقمًا غير الصفر؟

دعونا نحاول كتابة المصطلحات القليلة الأولى من السلسلة:
يمكنك استبدال كثير الحدود من الدرجة الألف، وهذا لن يغير الوضع مرة أخرى - عاجلاً أم آجلاً، سيظل المضروب "يتفوق" على مثل هذا كثير الحدود الرهيب. مضروب أكثر ترتيب عالينمومن أي تسلسل السلطة.

– العامل ينمو بشكل أسرع من المنتج بأي كميةالتسلسل الأسي والقوة (حالتنا).

– أيالتسلسل الأسي ينمو بشكل أسرع من أي تسلسل قوى، على سبيل المثال: , . التسلسل الأسي ترتيب أعلى للنمومن أي تسلسل السلطة. على غرار المضروب، فإن التسلسل الأسي "يسحب" منتج أي عدد من أي تسلسلات قوى أو كثيرات الحدود: .

- هل هناك أي شيء "أكثر روعة" من المضروب؟ يأكل! التسلسل الأسي ("en" إلى الأس "en") ينمو بشكل أسرع من المضروب. في الواقع، هذا أمر نادر الحدوث، لكن المعلومات لن تكون زائدة عن الحاجة. نهاية المساعدة

وهكذا يمكن كتابة النقطة الثانية من الدراسة (هل مازلت تتذكر هذا؟ =)) كما يلي:
2) لأن ترتيب النمو أعلى من .
شروط انخفاض السلسلة في المعامل ، بدءا من بعض العدد، في هذه الحالة، يكون كل عضو تالي في السلسلة أقل في القيمة المطلقة من سابقتها، وبالتالي يكون النقصان رتيبًا.

الاستنتاج: المتسلسلة متقاربة.

هذه هي الحالة الغريبة تمامًا عندما تزيد قيمة حدود المتسلسلة لأول مرة، ولهذا السبب كان لدينا رأي أولي خاطئ حول النهاية. لكن، بدءًا من رقم ما "en"، يتم تجاوز المضروب بواسطة البسط، ويصبح "ذيل" السلسلة متناقصًا بشكل رتيب، وهو أمر مهم بشكل أساسي لتحقيق شروط نظرية لايبنتز. من الصعب جدًا معرفة ما يساويه هذا "en" بالضبط.

وفقًا للنظرية المقابلة، من التقارب المطلق للمتسلسلة، يتبع التقارب الشرطي للمتسلسلة. خاتمة: سلسلة الدراسة يتقارب تماما.

وأخيرًا، بعض الأمثلة لتقررها بنفسك. واحدة من نفس الأوبرا (أعد قراءة التعليمات)، ولكنها أبسط. شيء آخر للذواقة هو تعزيز علامة التقارب المتكاملة.

مثال 9افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

مثال 10افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

بعد دراسة عالية الجودة للمتسلسلات العددية الموجبة والمتناوبة، يمكنك الانتقال إليها بضمير مرتاح سلسلة وظيفية، والتي ليست أقل رتابة ورتابة مثيرة للاهتمام.

الحلول والأجوبة:

مثال 4: نستخدم معيار لايبنيز:

1) هذه السلسلة متناوبة.
2)
شروط السلسلة لا تنقص في المعامل. الخلاصة: السلسلة متباعدة.. ، في هذه الحالة، يكون كل عضو تالي في السلسلة أقل في القيمة المطلقة من سابقتها، وبالتالي يكون النقصان رتيبًا.

وبالتالي، فإن المتسلسلة تتباعد مع التكامل غير الصحيح المقابل. المسلسل قيد الدراسة يتقارب فقط بشروط.

تقوم هذه المقالة بجمع وتنظيم المعلومات اللازمة لحل أي مثال تقريبًا حول موضوع سلاسل الأعداد، بدءًا من إيجاد مجموع المتسلسلة وحتى فحصها للتأكد من تقاربها.

مراجعة المقال.

لنبدأ بتعريفات المتسلسلة الموجبة والمتناوبة ومفهوم التقارب. بعد ذلك، سنتناول المتسلسلة القياسية، مثل المتسلسلة التوافقية، والمتسلسلة التوافقية المعممة، ونتذكر صيغة إيجاد مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي. بعد ذلك، سننتقل إلى خصائص المتسلسلات المتقاربة، ونتناول الشرط اللازم لتقارب المتسلسلة، ونضع المعايير الكافية لتقارب المتسلسلات. سنقوم بتخفيف النظرية بحلول الأمثلة النموذجية مع شرح مفصل.

التنقل في الصفحة.

التعريفات والمفاهيم الأساسية.

دعونا نحصل على تسلسل رقمي حيث .

دعونا نعطي مثالا تسلسل رقمي: .

سلسلة أرقامهو مجموع شروط التسلسل الرقمي للنموذج .

كمثال على سلسلة أرقام، يمكننا إعطاء مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي مع المقام q = -0.5: .

مُسَمًّى عضو مشترك في سلسلة الأرقامأو العضو الخامس في السلسلة.

في المثال السابق، الحد العام لسلسلة الأرقام له الشكل .

مجموع جزئي لسلسلة أرقامهو مجموع النموذج، حيث n هو عدد طبيعي. ويسمى أيضًا المجموع الجزئي n لسلسلة الأرقام.

على سبيل المثال، المجموع الجزئي الرابع للسلسلة هنالك .

مبالغ جزئية تشكيل تسلسل لا نهائي من المجاميع الجزئية لسلسلة أرقام.

بالنسبة لسلسلتنا، تم العثور على المجموع الجزئي n باستخدام صيغة مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي أي أنه سيكون لدينا التسلسل التالي للمبالغ الجزئية: .

تسمى سلسلة الأرقام متقاربةإذا كان هناك حد محدود لتسلسل المجاميع الجزئية. إذا كانت نهاية تسلسل المجاميع الجزئية لسلسلة أرقام غير موجودة أو كانت لا نهائية، فسيتم استدعاء السلسلة متشعب.

مجموع سلسلة الأعداد المتقاربةتسمى نهاية تسلسل مجاميعها الجزئية ، أي .

في مثالنا، إذن، السلسلة متقاربة، ومجموعها يساوي ستة عشر ثلثا: .

مثال على سلسلة متباعدة هو مجموع التقدم الهندسي مع المقام أكبر من واحد: . يتم تحديد المبلغ الجزئي n بواسطة التعبير ، وحدود المجاميع الجزئية لا نهائية: .

مثال آخر لسلسلة أرقام متباينة هو مجموع النموذج . في هذه الحالة، يمكن حساب المبلغ الجزئي n كـ . الحد من المبالغ الجزئية لا حصر له .

مجموع النموذج مُسَمًّى سلسلة الأرقام التوافقية.

مجموع النموذج ، حيث s هو بعض عدد حقيقي، مُسَمًّى معمم بواسطة سلسلة الأرقام التوافقية.

التعريفات المذكورة أعلاه كافية لتبرير العبارات التالية المستخدمة بشكل متكرر؛ نوصي بتذكرها.

السلسلة التوافقية متباعدة.

دعونا نثبت تباعد السلسلة التوافقية.

لنفترض أن المتسلسلة متقاربة. ثم هناك حد محدود لمجاميعها الجزئية. في هذه الحالة يمكننا أن نكتب و، مما يقودنا إلى المساواة .

على الجانب الآخر،

التفاوتات التالية لا شك فيها. هكذا، . والتفاوت الناتج يدل لنا على أن المساواة لا يمكن تحقيقه، وهو ما يتناقض مع فرضيتنا حول تقارب المتسلسلة التوافقية.

الاستنتاج: المتسلسلة التوافقية متباعدة.

مجموع التقدم الهندسي من النوع مع المقام q عبارة عن سلسلة رقمية متقاربة IF وسلسلة متباينة لـ .

دعونا نثبت ذلك.

نحن نعلم أن مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي يمكن إيجاده بالصيغة .

عندما عادل

مما يدل على تقارب سلسلة الأرقام.

بالنسبة لـ q = 1 لدينا سلسلة الأرقام . تم العثور على مجاميعها الجزئية كـ ، وحدود المجاميع الجزئية لا نهائية مما يدل على تباعد المتسلسلة في هذه الحالة.

إذا كانت q = -1، فستأخذ سلسلة الأرقام الشكل . تأخذ المجاميع الجزئية قيمة لكل من n الفردي، وn حتى. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه لا يوجد حد للمبالغ الجزئية وأن المتسلسلة تتباعد.

عندما عادل

مما يدل على اختلاف سلسلة الأرقام.

بشكل عام، تتقارب المتسلسلة التوافقية عند s > 1 وتتباعد عند .

دليل.

بالنسبة لـ s = 1 نحصل على سلسلة توافقية، وفوق ذلك حددنا تباعدها.

في s عدم المساواة ينطبق على كل شيء طبيعي k. ونظرًا لتباعد المتسلسلة التوافقية، يمكن القول بأن تسلسل مجاميعها الجزئية غير محدود (نظرًا لعدم وجود حد نهائي). عندها يكون تسلسل المجاميع الجزئية لسلسلة أرقام غير محدود (كل عضو في هذه السلسلة أكبر من العضو المقابل في السلسلة التوافقية)؛ لذلك، تتباعد السلسلة التوافقية المعممة إلى s.

يبقى إثبات تقارب المتسلسلة لـ s > 1.

دعونا نكتب الفرق:

من الواضح إذن

دعونا نكتب المتباينة الناتجة عن n = 2، 4، 8، 16، ...

باستخدام هذه النتائج، يمكنك القيام بما يلي مع سلسلة الأرقام الأصلية:

تعبير هو مجموع التقدم الهندسي الذي مقامه هو . وبما أننا ندرس حالة s > 1، إذن. لهذا
. وبالتالي فإن تسلسل المجاميع الجزئية لسلسلة توافقية معممة لـ s > 1 يتزايد وفي نفس الوقت محدود من الأعلى بالقيمة، وبالتالي فإن له حدًا يشير إلى تقارب السلسلة. الدليل كامل.

تسمى سلسلة الأرقام علامة إيجابية، إذا كانت جميع شروطها إيجابية، أي .

تسمى سلسلة الأرقام com.signalternatingإذا اختلفت علامات الأعضاء المجاورة له. يمكن كتابة سلسلة أرقام متناوبة على النحو التالي أو ، أين .

تسمى سلسلة الأرقام علامة بالتناوبإذا كان يحتوي على عدد لا نهائي من الحدود الموجبة والسالبة.

سلسلة الأرقام المتناوبة هي حالة خاصة من سلسلة الأرقام المتناوبة.

الصفوف

إيجابية، بالتناوب والتناوب، على التوالي.

بالنسبة للمتسلسلة المتناوبة، هناك مفهوم التقارب المطلق والشرطي.

متقاربة تماما، إذا كانت سلسلة القيم المطلقةأعضاؤها، أي سلسلة أعداد موجبة تتقارب.

على سبيل المثال، سلسلة الأرقام و متقاربة تمامًا، لأن المتسلسلة متقاربة ، وهو مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي.

تسمى السلسلة المتناوبة متقاربة مشروطةإذا تباعدت المتسلسلة وتقاربت.

مثال على سلسلة أرقام متقاربة بشكل مشروط هي السلسلة . سلسلة أرقام ، مؤلفة من القيم المطلقة لحدود المتسلسلة الأصلية، المتباعدة، لأنها توافقية. وفي الوقت نفسه، تكون المتسلسلة الأصلية متقاربة، ويمكن تحديدها بسهولة باستخدام . وبالتالي، فإن العلامة الرقمية هي سلسلة متناوبة متقاربة مشروطة.

خصائص سلسلة الأعداد المتقاربة

مثال.

إثبات تقارب سلسلة الأعداد.

حل.

دعونا نكتب السلسلة بشكل مختلف . تتقارب السلسلة العددية، حيث أن السلسلة التوافقية المعممة تتقارب عند s > 1، وبسبب الخاصية الثانية للسلسلة العددية المتقاربة، فإن السلسلة ذات المعامل العددي سوف تتقارب أيضًا.

مثال.

هل تتقارب سلسلة الأعداد؟

حل.

دعونا نحول السلسلة الأصلية: . وبذلك نكون قد حصلنا على مجموع سلسلتين عدديتين و، وكل واحدة منهما متقاربة (انظر المثال السابق). وبالتالي، وبموجب الخاصية الثالثة للمتسلسلة العددية المتقاربة، فإن المتسلسلة الأصلية تتقارب أيضًا.

مثال.

إثبات تقارب سلسلة عددية وحساب مقدارها.

حل.

يمكن تمثيل سلسلة الأرقام هذه بالفرق بين سلسلتين:

تمثل كل من هذه المتسلسلة مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، وبالتالي فهي متقاربة. الخاصية الثالثة للمتسلسلة المتقاربة تسمح لنا بتأكيد أن سلسلة الأعداد الأصلية متقاربة. دعونا نحسب مجموعها.

الحد الأول من السلسلة هو واحد، ومقام المتوالية الهندسية المقابلة يساوي 0.5، وبالتالي، .

الحد الأول من السلسلة هو 3، ومقام المتتابعة الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي هو 1/3، لذا .

دعونا نستخدم النتائج التي تم الحصول عليها للعثور على مجموع سلسلة الأرقام الأصلية:

شرط ضروري لتقارب المتسلسلة

إذا تقاربت سلسلة عددية، فإن نهاية حدها k يساوي صفرًا: .

عند فحص أي سلسلة أرقام من أجل التقارب، أول شيء يجب التحقق منه هو استيفاء شرط التقارب الضروري. يشير عدم استيفاء هذا الشرط إلى تباعد السلسلة الرقمية، أي إذا تباعدت السلسلة.

ومن ناحية أخرى، عليك أن تفهم أن هذا الشرط ليس كافيا. أي أن تحقيق المساواة لا يدل على تقارب سلسلة الأعداد. على سبيل المثال، بالنسبة للمتسلسلة التوافقية، يتم استيفاء الشرط الضروري للتقارب، وتتباعد السلسلة.

مثال.

دراسة سلسلة أرقام للتقارب.

حل.

دعونا نتحقق من الشرط الضروري لتقارب سلسلة الأرقام:

حد الحد n من سلسلة الأعداد لا يساوي صفرًا، وبالتالي فإن السلسلة تتباعد.

علامات تقارب كافية لسلسلة إيجابية.

عند استخدام الميزات الكافية لدراسة سلاسل الأعداد للتقارب تواجه مشاكل بشكل مستمر، لذا ننصحك بالتوجه إلى هذا القسم إذا واجهت أي صعوبات.

شرط ضروري وكاف لتقارب سلسلة أعداد موجبة.

لتقارب سلسلة أعداد موجبة فمن الضروري والكافي أن يكون تسلسل مجاميعها الجزئية محددًا.

لنبدأ بعلامات مقارنة السلسلة. ويكمن جوهرها في مقارنة السلسلة العددية قيد الدراسة مع السلسلة التي يعرف تقاربها أو تباعدها.

علامات المقارنة الأولى والثانية والثالثة.

العلامة الأولى للمقارنة بين السلسلة.

دعونا نكون سلسلتين عدديتين موجبتين والمتباينة تنطبق على الكل k = 1، 2، 3، ... ثم تقارب السلسلة يعني التقارب، وتباعد السلسلة يعني تباعد .

يتم استخدام معيار المقارنة الأول في كثير من الأحيان وهو أداة قوية جدًا لدراسة تقارب سلاسل الأرقام. المشكلة الرئيسية هي اختيار سلسلة مناسبة للمقارنة. عادة ما يتم اختيار سلسلة للمقارنة (ولكن ليس دائمًا) بحيث يكون أس حدها k مساويًا للفرق بين أسس البسط ومقام الحد k من السلسلة الرقمية قيد الدراسة. على سبيل المثال، لنفترض أن الفرق بين أسس البسط والمقام يساوي 2 - 3 = -1، لذلك، للمقارنة، نختار سلسلة ذات الحد k، أي سلسلة توافقية. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال.

تحديد تقارب أو تباعد المتسلسلة.

حل.

وبما أن نهاية الحد العام للمتسلسلة يساوي الصفر، فإن الشرط اللازم لتقارب المتسلسلة قد تحقق.

من السهل أن نرى أن عدم المساواة صحيح بالنسبة لجميع k الطبيعية. نحن نعلم أن المتسلسلة التوافقية متباعدة، وبالتالي، بالمعيار الأول للمقارنة، تكون المتسلسلة الأصلية متباعدة أيضًا.

مثال.

دراسة سلسلة الأرقام للتقارب.

حل.

تم استيفاء الشرط الضروري لتقارب سلسلة الأعداد . إن عدم المساواة واضح لأي قيمة طبيعية لـ k. تتقارب المتسلسلة لأن المتسلسلة التوافقية المعممة تتقارب عند s > 1. وبالتالي، فإن العلامة الأولى لمقارنة المتسلسلات تسمح لنا بتحديد تقارب سلسلة الأعداد الأصلية.

مثال.

تحديد تقارب أو تباعد سلسلة أعداد.

حل.

وبالتالي فإن الشرط الضروري لتقارب سلسلة الأعداد قد تحقق. ما الصف الذي يجب أن أختاره للمقارنة؟ تقترح سلسلة الأرقام نفسها، ومن أجل اتخاذ قرار بشأن s، نقوم بفحص التسلسل الرقمي بعناية. شروط التسلسل الرقمي تزداد نحو اللانهاية. وبالتالي، بدءًا من رقم ما N (أي من N = 1619)، ستكون شروط هذا التسلسل أكبر من 2. بدءًا من هذا العدد N، تكون المتراجحة صحيحة. تتقارب المتسلسلة العددية بسبب الخاصية الأولى للمتسلسلة المتقاربة، حيث يتم الحصول عليها من المتسلسلة المتقاربة عن طريق التخلص من الحدود الأولى N – 1. وبالتالي، وفقًا للمعيار الأول للمقارنة، تكون المتسلسلة متقاربة، وبموجب الخاصية الأولى لسلاسل الأعداد المتقاربة، ستتقارب المتسلسلة أيضًا.

العلامة الثانية للمقارنة.

اسمحوا وتكون سلسلة أرقام إيجابية. إذا كان تقارب المتسلسلة يعني تقارب . إذا كان تباعد سلسلة الأرقام يعني تباعد .

عاقبة.

إذا و، فإن تقارب إحدى المتسلسلتين يعني تقارب الأخرى، والتباعد يعني التباعد.

نحن نفحص المتسلسلة من أجل التقارب باستخدام معيار المقارنة الثاني. كسلسلة نحن نأخذ سلسلة متقاربة. لنجد نهاية نسبة الحدود k في سلسلة الأرقام:

وهكذا، وفقا للمعيار الثاني للمقارنة، من تقارب سلسلة عددية، يتبع تقارب السلسلة الأصلية.

مثال.

دراسة تقارب سلسلة عددية.

حل.

دعونا نتحقق من الشرط الضروري لتقارب المتسلسلة . تم استيفاء الشرط. لتطبيق معيار المقارنة الثاني، لنأخذ المتسلسلة التوافقية. دعونا نجد نهاية نسبة الحدود k:

وبالتالي، من تباعد المتسلسلة التوافقية، يتبع تباعد المتسلسلة الأصلية حسب المعيار الثاني للمقارنة.

وللعلم نقدم المعيار الثالث لمقارنة السلاسل.

العلامة الثالثة للمقارنة.

اسمحوا وتكون سلسلة أرقام إيجابية. إذا تحقق الشرط من عدد N، فإن تقارب المتسلسلة يعني تقاربا، وتباعد المتسلسلة يعني تباعدا.

علامة دالمبرت.

تعليق.

يكون اختبار دالمبرت صالحًا إذا كانت النهاية لا نهائية، أي إذا ، فإن المتسلسلة تتقارب إذا ، ثم تتباعد السلسلة.

إذا، فإن اختبار دالمبرت لا يوفر معلومات حول تقارب أو تباعد المتسلسلة ويلزم إجراء بحث إضافي.

مثال.

افحص متسلسلة أرقام للتقارب باستخدام معيار دالمبيرت.

حل.

دعونا نتحقق من استيفاء الشرط اللازم لتقارب المتسلسلة العددية، ونحسب النهاية باستخدام:

تم استيفاء الشرط.

دعونا نستخدم علامة دالمبيرت:

وهكذا تتقارب المتسلسلة.

علامة كوشي الراديكالية.

اسمحوا أن تكون سلسلة أرقام إيجابية. إذا كانت السلسلة العددية متقاربة، وإذا كانت المتسلسلة متباعدة.

تعليق.

يكون اختبار كوشي الجذري صحيحًا إذا كانت النهاية لا نهائية، أي إذا ، فإن المتسلسلة تتقارب إذا ، ثم تتباعد السلسلة.

إذا، فإن اختبار كوشي الجذري لا يوفر معلومات حول تقارب أو تباعد المتسلسلة ويلزم إجراء بحث إضافي.

عادة ما يكون من السهل إلى حد ما تمييز الحالات التي يكون من الأفضل فيها استخدام اختبار كوشي الجذري. الحالة النموذجية هي عندما يكون الحد العام لسلسلة الأرقام تعبيرًا عن القوة الأسية. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال.

افحص متسلسلة أعدادية موجبة للتقارب باستخدام اختبار كوشي الجذري.

حل.

. وباستخدام اختبار كوشي الجذري نحصل عليه .

ولذلك فإن المتسلسلة تتقارب.

مثال.

هل تتقارب سلسلة الأعداد؟ .

حل.

دعونا نستخدم اختبار كوشي الجذري وبالتالي فإن سلسلة الأعداد تتقارب.

اختبار كوشي التكاملي

اسمحوا أن تكون سلسلة أرقام إيجابية. لنقم بإنشاء دالة ذات وسيطة مستمرة y = f(x) مشابهة للدالة. دع الدالة y = f(x) تكون موجبة ومستمرة ومتناقصة على الفترة حيث . ثم في حالة التقارب تكامل غير لائقتتقارب سلسلة الأرقام قيد الدراسة. إذا تباعد التكامل غير الصحيح، فإن المتسلسلة الأصلية تتباعد أيضًا.

عند التحقق من انخفاض الدالة y = f(x) على فترة زمنية، قد تكون النظرية من القسم مفيدة لك.

مثال.

افحص متسلسلة عددية تحتوي على مصطلحات موجبة للتقارب.

حل.

تم استيفاء الشرط الضروري لتقارب المتسلسلة، إذًا . دعونا نفكر في الوظيفة. وهي موجبة ومستمرة ومتناقصة على الفترة. إن استمرارية هذه الوظيفة وإيجابيتها لا شك فيها، ولكن دعونا نتناول هذا الانخفاض بمزيد من التفصيل. دعونا نجد المشتقة:
. وتكون سالبة على الفترة، وبالتالي فإن الدالة تتناقص في هذه الفترة.

قبل البدء في العمل مع هذا الموضوع، أنصحك بإلقاء نظرة على القسم الذي يحتوي على مصطلحات سلسلة الأرقام. يجدر الانتباه بشكل خاص إلى مفهوم العضو المشترك في السلسلة. إذا كانت لديك شكوك حول الاختيار الصحيح لمعيار التقارب، أنصحك بالاطلاع على موضوع "اختيار معيار التقارب لسلسلة الأعداد".

اختبار دالمبرت (أو اختبار دالمبرت) يستخدم لدراسة تقارب المتسلسلات التي يكون حدها المشترك أكبر من الصفر تمامًا، أي $u_n > 0$. وتسمى هذه المتسلسلات إيجابية للغاية. في الأمثلة القياسية، يتم استخدام علامة دالمبرت في شكلها المتطرف.

علامة دالمبرت (في شكلها المتطرف)

إذا كانت المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ موجبة تمامًا و $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L ، $ $ ثم لـ $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (و$L=\infty$) تتباعد السلسلة.

الصياغة بسيطة للغاية، لكن السؤال التالي يظل مفتوحًا: ماذا سيحدث إذا كان $L=1$؟ اختبار دالمبيرت غير قادر على إعطاء إجابة لهذا السؤال، فإذا كان $L=1$، فمن الممكن أن تتقارب المتسلسلة وتتباعد.

في أغلب الأحيان، في الأمثلة القياسية، يتم استخدام معيار D'Alembert إذا كان التعبير عن الحد العام للسلسلة يحتوي على كثير الحدود $n$ (يمكن أن يكون كثير الحدود تحت الجذر) ودرجة من النموذج $a^n $ أو $n!$. على سبيل المثال، $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (انظر المثال رقم 1) أو $u_n=\frac(\ الجذر التربيعي (4ن+5))((3ن-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

ماذا تعني عبارة "ن"؟ اظهر المخفي

تسجيل "ن!" (اقرأ "en Factorial") يشير إلى حاصل ضرب جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى n، أي.

$$ ن!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

حسب التعريف، من المفترض أن $0!=1!=1$. على سبيل المثال، دعونا نجد 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يستخدم اختبار دالمبرت لتحديد تقارب المتسلسلة التي يحتوي حدها المشترك على حاصل ضرب البنية التالية: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

المثال رقم 1

افحص المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ للتقارب.

بما أن الحد الأدنى للجمع هو 1، فسيتم كتابة الحد العام للمتسلسلة تحت علامة المجموع: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. نظرًا لأن $n≥ 1$ لدينا $3n+7 > 0$، $5^n>0$ و $2n^3-1 > 0$، ثم $u_n > 0$. لذلك، سلسلتنا إيجابية تمامًا.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right) )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1\يمين))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2( n+1)^3-1\right))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ يسار(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\يمين)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10) (n)\يمين)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\right))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3) )=5. $$

بما أن $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$، فإنه يتباعد وفقًا للسلسلة المحددة.

بصراحة، اختبار دالمبرت ليس هو الخيار الوحيد في هذه الحالة، يمكنك استخدام على سبيل المثال اختبار كوشي الجذري، إلا أن استخدام اختبار كوشي الجذري سيتطلب معرفة (أو إثبات) صيغ إضافية، لذلك، يعد استخدام اختبار D'Alembert في هذه الحالة أكثر ملاءمة.

إجابة: السلسلة تتباعد.

المثال رقم 2

اكتشف السلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

بما أن الحد الأدنى للجمع هو 1، فسيتم كتابة الحد العام للمتسلسلة تحت علامة المجموع: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

يحتوي المصطلح الشائع للسلسلة على كثيرة الحدود تحت الجذر، أي. $\sqrt(4n+5)$، والمضروب $(3n-2)!$. يعد وجود العامل المضروب في المثال القياسي ضمانًا بنسبة مائة بالمائة تقريبًا لتطبيق معيار دالمبيرت.

لتطبيق هذا المعيار، علينا إيجاد نهاية النسبة $\frac(u_(n+1))(u_n)$. لكتابة $u_(n+1)$، تحتاج إلى الصيغة $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

بما أن $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$، فيمكن كتابة صيغة $u_(n+1)$ بالشكل إلى آخر:

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

يعد هذا الرمز مناسبًا لمزيد من الحلول عندما يتعين علينا تبسيط الكسر إلى ما دون النهاية. إذا كانت المساواة مع المضروب تتطلب شرحًا، فيرجى فتح الملاحظة أدناه.

كيف حصلنا على المساواة $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$؟ اظهر المخفي

الرمز $(3n+1)!$ يعني حاصل ضرب جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى $3n+1$. أولئك. يمكن كتابة هذا التعبير على النحو التالي:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

مباشرة قبل الرقم $3n+1$ يوجد رقم أقل بواحد، أي. الرقم $3n+1-1=3n$. وقبل الرقم $3n$ مباشرة يوجد الرقم $3n-1$. حسنًا، قبل الرقم $3n-1$ مباشرةً، لدينا الرقم $3n-1-1=3n-2$. لنعيد كتابة صيغة $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

ما هو المنتج $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$؟ هذا المنتج يساوي $(3n-2)!$. لذلك، يمكن إعادة كتابة التعبير $(3n+1)!$ بالشكل التالي:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

يعد هذا الرمز مناسبًا لمزيد من الحلول عندما يتعين علينا تبسيط الكسر إلى ما دون النهاية.

دعونا نحسب قيمة $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

بما أن $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

علامات تقارب المتسلسلات
علامة دالمبرت. علامات كوشي

العمل، العمل - والتفاهم سيأتي لاحقا
ج.ل. دالمبرت

تهانينا للجميع في بداية العام الدراسي! اليوم هو الأول من سبتمبر، واحتفالًا بالعيد، قررت أن أقدم للقراء ما كنت تتطلع إليه وتتوق إلى معرفته منذ فترة طويلة - علامات تقارب السلاسل العددية الموجبة. إن عطلة الأول من سبتمبر وتهنئتي ذات صلة دائمًا، فلا بأس إذا كان الصيف بالفعل بالخارج، فأنت الآن تعيد الامتحان للمرة الثالثة، ادرس إذا كنت قد زرت هذه الصفحة!

بالنسبة لأولئك الذين بدأوا للتو في دراسة السلسلة، أنصحك بقراءة المقال أولاً سلسلة أرقام للدمى. في الواقع، هذه العربة هي استمرار للوليمة. لذلك، سننظر اليوم في الدرس إلى أمثلة وحلول حول المواضيع:

إحدى علامات المقارنة الشائعة الموجودة في الأمثلة العملية هي علامة دالمبيرت. علامات كوشي أقل شيوعًا، ولكنها أيضًا تحظى بشعبية كبيرة. كما هو الحال دائمًا، سأحاول تقديم المادة بشكل بسيط وسهل الوصول إليه ومفهوم. الموضوع ليس هو الأصعب، وجميع المهام قياسية إلى حد ما.

اختبار تقارب دالمبرت

كان جان ليرون دالمبرت عالم رياضيات فرنسي مشهور في القرن الثامن عشر. بشكل عام، تخصص دالمبرت في المعادلات التفاضلية، واستنادًا إلى أبحاثه، درس المقذوفات حتى تطير قذائف مدفعية صاحب الجلالة بشكل أفضل. في الوقت نفسه، لم أنس سلسلة الأرقام، فليس من قبيل الصدفة أن تتقارب صفوف قوات نابليون فيما بعد وتتباعد بشكل واضح.

قبل صياغة الإشارة نفسها، دعونا نفكر في سؤال مهم:
متى يجب استخدام اختبار تقارب دالمبيرت؟

لنبدأ بالمراجعة أولاً. دعونا نتذكر الحالات التي تحتاج فيها إلى استخدام الأكثر شيوعًا حد المقارنة. يتم تطبيق المعيار المحدد للمقارنة عندما يكون في المصطلح العام للسلسلة:

1) يحتوي المقام على كثيرة الحدود.
2) كثيرات الحدود موجودة في كل من البسط والمقام.
3) يمكن أن يكون أحد كثيري الحدود أو كليهما تحت الجذر.
4) بالطبع، يمكن أن يكون هناك المزيد من كثيرات الحدود والجذور.

المتطلبات الأساسية لتطبيق اختبار دالمبيرت هي كما يلي:

1) يشمل المصطلح الشائع للسلسلة ("ملء" السلسلة) بعض الأرقام بدرجة ما، على سبيل المثال، ، ، وهكذا. علاوة على ذلك، لا يهم إطلاقا أين يقع هذا الشيء، في البسط أو في المقام - المهم أنه موجود هناك.

2) الحد المشترك للمتسلسلة يشمل المضروب. لقد عبرنا السيوف مع المضروب مرة أخرى في تسلسل الأرقام في الدرس وحدوده. ومع ذلك، لن يضر نشر مفرش المائدة الذي تم تجميعه ذاتيًا مرة أخرى:

…

…

3) إذا كان في الحد العام للسلسلة "سلسلة عوامل" مثلاً: . هذه الحالة نادرة ولكن! عند دراسة مثل هذه السلسلة، غالبا ما يتم ارتكاب خطأ - انظر المثال 6.

بالنسبة لأولئك الذين لا يزال لديهم مشاكل مع الحدود أو سوء فهم للحدود، يرجى الرجوع إلى الدرس حدود. أمثلة على الحلول. وبدون فهم الحد والقدرة على الكشف عن عدم اليقين، لسوء الحظ، لا يمكن للمرء أن يتقدم أكثر.

والآن الأمثلة التي طال انتظارها.

مثال 1

نرى ذلك في المصطلح العام للسلسلة التي لدينا، وهذا شرط أساسي لاستخدام اختبار دالمبيرت. أولاً، الحل الكامل وتصميم العينة، التعليقات أدناه.

نستخدم علامة دالمبيرت:

يتقارب.
(1) نؤلف نسبة العضو التالي في السلسلة إلى العضو السابق: . من الشرط نرى أن الحد العام للسلسلة هو . من أجل الحصول على العضو التالي في السلسلة التي تحتاجها بدلا من ذلك ليحل محل: .
(2) نتخلص من الكسر المكون من أربعة طوابق. إذا كان لديك بعض الخبرة في الحل، يمكنك تخطي هذه الخطوة.
(3) افتح القوسين في البسط. في المقام نخرج الأربعة من القوة.
(4) تقليل بمقدار . نحن نأخذ الثابت وراء علامة النهاية. في البسط نقدم مصطلحات مماثلة بين قوسين.
(5) يتم التخلص من عدم اليقين بالطريقة القياسية - عن طريق قسمة البسط والمقام على "en" إلى أعلى قوة.
(6) نقسم البسط حدا حدا على المقامات، ونشير إلى الحدود التي تميل إلى الصفر.
(7) نبسط الإجابة ونلاحظ أنه وفقًا لمعيار دالمبيرت، فإن المتسلسلة قيد الدراسة متقاربة.

مثال 2

لنأخذ متسلسلة مماثلة ونفحصها من أجل التقارب

أولا الحل الكامل ثم التعليقات:

نستخدم علامة دالمبيرت:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.

(1) نخلق العلاقة .

(٣) تأمل في التعبير في البسط والتعبير في المقام. نلاحظ أنه في البسط نحتاج إلى فتح الأقواس ورفعها إلى القوة الرابعة: وهو ما لا نريد القيام به على الإطلاق. وبالنسبة لأولئك الذين ليسوا على دراية بذات الحدين لنيوتن، فإن هذه المهمة ستكون أكثر صعوبة. دعونا نحلل الدرجات العليا: إذا فتحنا الأقواس في الأعلى ، ثم سوف نحصل على درجة عليا. أدناه لدينا نفس الدرجة العليا: . وقياسا على المثال السابق، من الواضح أنه عند قسمة البسط والمقام على حد، نحصل على واحد في النهاية. أو، كما يقول علماء الرياضيات، كثيرات الحدود و - نفس ترتيب النمو. وبالتالي، فمن الممكن تماما تحديد العلاقة بقلم رصاص بسيط وأشر على الفور إلى أن هذا الشيء يميل إلى واحد. نحن نتعامل مع الزوج الثاني من كثيرات الحدود بنفس الطريقة: و هم أيضًا نفس ترتيب النمو، ونسبتهم تميل إلى الوحدة.

في الواقع، كان من الممكن تنفيذ مثل هذا "الاختراق" في المثال رقم 1، ولكن بالنسبة لكثيرة الحدود من الدرجة الثانية، لا يزال هذا الحل يبدو غير لائق إلى حد ما. أنا شخصياً أفعل ذلك: إذا كان هناك كثيرة حدود (أو كثيرة حدود) من الدرجة الأولى أو الثانية، أستخدم الطريقة "الطويلة" لحل المثال الأول. إذا صادفت كثيرة حدود من الدرجة الثالثة أو أعلى، أستخدم الطريقة "الطويلة" لحل المثال الأول. طريقة "توربو" مشابهة للمثال 2.

مثال 3

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة النموذجية مع العوامل:

مثال 4

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتباعد.
(1) نخلق العلاقة . نكرر مرة أخرى. حسب الشرط، فإن المصطلح الشائع للسلسلة هو: . من أجل الحصول على الفصل التالي في السلسلة، بدلا من ذلك تحتاج إلى استبدال، هكذا: .
(2) نتخلص من الكسر المكون من أربعة طوابق.
(٣) اقرص السبعة من الدرجة. وصفنا العوامل بالتفصيل. كيفية القيام بذلك - راجع بداية الدرس أو المقالة الخاصة بالتسلسلات الرقمية.
(4) نقطع كل ما يمكن قطعه.
(5) نحرك الثابت إلى ما بعد علامة النهاية. افتح الأقواس في البسط.
(6) نزيل عدم اليقين بالطريقة القياسية - عن طريق قسمة البسط والمقام على "en" إلى أعلى قوة.

مثال 5

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

الحل الكامل وتصميم العينة في نهاية الدرس

مثال 6

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

ومن التوسيع نرى أن كل عضو تالي في السلسلة له عامل إضافي مضاف إلى المقام، وبالتالي، إذا كان العضو المشترك في السلسلة ، ثم العضو التالي في السلسلة:
. هذا هو المكان الذي يرتكبون فيه خطأً تلقائيًا، ويكتبون رسميًا وفقًا للخوارزمية التي

قد يبدو الحل النموذجي كما يلي:

نستخدم علامة دالمبيرت:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.

علامة كوشي الراديكالية

أوغسطين لويس كوشي عالم رياضيات فرنسي أكثر شهرة. يمكن لأي طالب هندسة أن يخبرك بالسيرة الذاتية لكوشي. في الألوان الأكثر الخلابة. وليس من قبيل الصدفة أن يتم نحت هذا الاسم في الطابق الأول من برج إيفل.

إن اختبار تقارب كوشي لسلسلة الأعداد الموجبة يشبه إلى حد ما اختبار دالمبيرت الذي تمت مناقشته للتو.

علامة كوشي الراديكالية:دعونا نفكر سلسلة أرقام إيجابية. إذا كان هناك حد: ، ف:
أ) عندما الصف يتقارب. وعلى وجه الخصوص، تتقارب السلسلة عند .
ب) عندما الصف يتباعد. على وجه الخصوص، تتباعد السلسلة عند .
ج) متى العلامة لا تعطي إجابة. تحتاج إلى استخدام علامة أخرى. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه إذا كان اختبار كوشي لا يعطينا إجابة لسؤال تقارب المتسلسلة، فإن اختبار دالمبيرت لن يعطي إجابة أيضًا. ولكن إذا لم يقدم اختبار دالمبيرت إجابة، فإن اختبار كوشي قد "ينجح". أي أن علامة كوشي بهذا المعنى علامة أقوى.

متى يجب عليك استخدام علامة كوشي الجذرية؟عادةً ما يستخدم اختبار كوشي الجذري في الحالات التي يتم فيها استخراج الجذر "الجيد" من عضو مشترك في السلسلة. كقاعدة عامة، هذا الفلفل في درجة الذي يعتمد عليه. هناك أيضًا حالات غريبة، لكننا لن نقلق بشأنها.

مثال 7

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

نرى أن الكسر يقع بالكامل تحت قوة تعتمد على "en"، مما يعني أننا بحاجة إلى استخدام اختبار كوشي الجذري:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتباعد.

(1) نقوم بصياغة الحد المشترك للمتسلسلة تحت الجذر.

(2) نعيد كتابة نفس الشيء، فقط بدون الجذر، باستخدام خاصية الدرجات.
(3) في المؤشر نقسم البسط على المقام حدا حدا دلالة على ذلك
(4) ونتيجة لذلك، لدينا عدم اليقين. هنا يمكنك قطع شوط طويل: مكعب، مكعب، ثم قسمة البسط والمقام على "en" مكعب. ولكن في هذه الحالة يوجد حل أكثر فعالية: يمكن استخدام هذه التقنية مباشرة تحت الدرجة الثابتة. للتخلص من عدم اليقين، قم بتقسيم البسط والمقام على (القوة الأعلى في كثيرات الحدود).

(5) نقوم بالقسمة على حد على حد ونشير إلى الحدود التي تميل إلى الصفر.
(6) نستحضر الجواب في أذهاننا، ونضع علامة على ما لدينا، ونستنتج أن المتسلسلة تتباعد.

إليك مثال أبسط يمكنك حله بنفسك:

مثال 8

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

واثنين من الأمثلة النموذجية.

الحل الكامل وتصميم العينة في نهاية الدرس

مثال 9

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب
نستخدم اختبار كوشي الجذري:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.

(1) ضع الحد المشترك للمتسلسلة تحت الجذر.

(2) نعيد كتابة نفس الشيء، ولكن بدون الجذر، مع فتح الأقواس باستخدام صيغة الضرب المختصرة: .
(3) في المؤشر نقسم البسط على المقام حدا حدا ونشير إلى ذلك .
(4) يتم الحصول على عدم اليقين من النموذج، وهنا أيضا يمكن إجراء القسمة مباشرة تحت الدرجة. ولكن بشرط واحد:يجب أن تكون معاملات القوى العليا لكثيرات الحدود مختلفة. إن طابقينا مختلفان (5 و 6)، وبالتالي فمن الممكن (والضروري) تقسيم كلا الطابقين إلى . إذا كانت هذه المعاملات هي نفسهاعلى سبيل المثال (1 و 1): فإن مثل هذه الخدعة لا تعمل ويجب عليك استخدامها الحد الثاني الرائع. إذا كنت تتذكر، فقد تمت مناقشة هذه التفاصيل الدقيقة في الفقرة الأخيرة من المقال طرق حل الحدود.

(5) نقوم في الواقع بإجراء القسمة على حد على حدة ونشير إلى الحدود التي تميل إلى الصفر.
(6) تم التخلص من حالة عدم اليقين، وبقي لدينا أبسط حد: . لماذا في كبيرة بلا حدوديميل إلى الصفر؟ لأن أساس الدرجة يرضي التفاوت. إذا كان أي شخص لديه شك في عدالة الحد ، فلن أكون كسولًا، سألتقط الآلة الحاسبة:
اذا ثم
اذا ثم
اذا ثم
اذا ثم
اذا ثم
… إلخ. إلى ما لا نهاية - أي في الحد:

مثل هذا تماما تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائيعلى اصابعك =)
! لا تستخدم هذه التقنية أبدًا كدليل! لأن كون الشيء واضحًا، فهذا لا يعني أنه صحيح.

(7) نشير إلى أننا نستنتج أن المتسلسلة متقاربة.

مثال 10

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

هذا مثال لك لحله بنفسك.

اختبار كوشي التكاملي

أو مجرد علامة متكاملة. سأخيب أمل أولئك الذين لم يفهموا مادة الدورة الأولى جيدًا. من أجل تطبيق اختبار كوشي للتكامل، يجب أن تكون أكثر أو أقل ثقة في إيجاد المشتقات والتكاملات، وأن تتمتع أيضًا بمهارة الحساب تكامل غير لائقالنوع الأول.

في الكتب المدرسية عن التحليل الرياضي اختبار كوشي التكامليمعطاة رياضيا بشكل صارم، ولكن بشكل مربك للغاية، لذلك سأقوم بصياغة العلامة ليس بشكل صارم للغاية، ولكن بشكل واضح:

دعونا نفكر سلسلة أرقام إيجابية. إذا كان هناك تكامل غير صحيح، فإن المتسلسلة تتقارب أو تتباعد مع هذا التكامل.

وفقط بعض الأمثلة للتوضيح:

مثال 11

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

تقريبا الكلاسيكية. اللوغاريتم الطبيعي وبعض الهراء.

الشرط الرئيسي لاستخدام اختبار كوشي للتكامل هوهو حقيقة أن الحد العام للمتسلسلة يحتوي على عوامل مشابهة لدالة معينة ومشتقتها. من الموضوع

اختبار تقارب دالمبرت اختبار تقارب كوشي الجذري اختبار تقارب كوشي التكاملي

قبل صياغة الإشارة نفسها، دعونا نفكر في سؤال مهم:
متى يجب استخدام اختبار تقارب دالمبيرت؟

المتطلبات الأساسية لتطبيق اختبار دالمبيرت هي كما يلي:

2) الحد المشترك للمتسلسلة يشمل المضروب. لقد عبرنا السيوف مع العوامل في الفصل التسلسل الرقمي وحدوده. ومع ذلك، لن يضر نشر مفرش المائدة الذي تم تجميعه ذاتيًا مرة أخرى:

…

…

بالإضافة إلى ذلك، في الحد المشترك للمتسلسلة يمكن أن تحدث كل من الدرجة والمضروب في وقت واحد؛ قد يكون هناك مضروبان، درجتان، فمن المهم أن يكون هناك ما لا يقل عن شيءالنقاط المدروسة - وهذا هو بالضبط الشرط الأساسي لاستخدام علامة دالمبرت.

علامة دالمبرت: دعونا نفكر سلسلة أرقام إيجابية. إذا كان هناك حد لنسبة الحد اللاحق إلى الحد السابق: فإن:
أ) عندما الصف يتقارب. وعلى وجه الخصوص، تتقارب السلسلة عند .
ب) عندما الصف يتباعد. على وجه الخصوص، تتباعد السلسلة عند .
ج) متى العلامة لا تعطي إجابة. تحتاج إلى استخدام علامة أخرى. في أغلب الأحيان، يتم الحصول على واحد في حالة محاولة تطبيق اختبار دالمبيرت حيث يكون من الضروري استخدام اختبار المقارنة المحدود.

والآن الأمثلة التي طال انتظارها.

مثال 1

نستخدم علامة دالمبيرت:

يتقارب.

مثال 2

لنأخذ متسلسلة مماثلة ونفحصها من أجل التقارب

أولا الحل الكامل ثم التعليقات:

نستخدم علامة دالمبيرت:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.

في الواقع، كان من الممكن تنفيذ مثل هذا "الاختراق" في المثال رقم 1، ولكن بالنسبة لكثيرة الحدود من الدرجة الثانية، لا يزال هذا الحل يبدو غير لائق إلى حد ما. أنا شخصياً أفعل ذلك: إذا كان هناك كثيرة حدود (أو كثيرة حدود) من الدرجة الأولى أو الثانية، أستخدم الطريقة "الطويلة" لحل المثال الأول. إذا صادفت كثيرة حدود من الدرجة الثالثة أو أعلى، أستخدم الطريقة "الطويلة" لحل المثال الأول. طريقة "توربو" مشابهة للمثال 2.

مثال 3

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

الحل الكامل وتصميم العينة في نهاية الدرس حول التسلسل الرقمي.
(4) نقطع كل ما يمكن قطعه.
(5) نحرك الثابت إلى ما بعد علامة النهاية. افتح الأقواس في البسط.
(6) نزيل عدم اليقين بالطريقة القياسية - عن طريق قسمة البسط والمقام على "en" إلى أعلى قوة.

مثال 5

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

الحل الكامل وتصميم العينة في نهاية الدرس

مثال 6

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

قد يبدو الحل النموذجي كما يلي:

نستخدم علامة دالمبيرت:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.