معادلة الخط المستقيم على المستوى.
ناقل الاتجاه مستقيم. ناقلات الطبيعي

يعد الخط المستقيم على المستوى أحد أبسط الأشكال الهندسية المألوفة لك فصول المبتدئينواليوم سنتعلم كيفية التعامل معها باستخدام أساليب الهندسة التحليلية. لإتقان المادة، يجب أن تكون قادرًا على بناء خط مستقيم؛ تعرف على المعادلة التي تحدد الخط المستقيم، على وجه الخصوص، الخط المستقيم الذي يمر عبر أصل الإحداثيات والخطوط المستقيمة الموازية لمحاور الإحداثيات. هذه المعلومةيمكن العثور عليها في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية، لقد قمت بإنشائه من أجل ماتان، ولكن القسم عنه دالة خطيةاتضح أنها ناجحة للغاية ومفصلة. لذلك، عزيزي أباريق الشاي، الاحماء هناك أولا. وبالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون لديك المعرفة الأساسية حول ثلاثة أبعادوإلا فإن فهم المادة سيكون ناقصا.

سنتناول في هذا الدرس الطرق التي يمكنك من خلالها إنشاء معادلة خط مستقيم على المستوى. أوصي بعدم إهمال الأمثلة العملية (حتى لو كانت تبدو بسيطة للغاية)، لأنني سأقدم لهم الابتدائية و حقائق مهمةوالتقنيات التقنية التي ستكون مطلوبة في المستقبل، بما في ذلك أقسام أخرى من الرياضيات العليا.

• كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بمعامل الزاوية؟
• كيف ؟
• كيفية العثور على متجه الاتجاه باستخدام المعادلة العامة للخط المستقيم؟
• كيف تكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي؟

ونبدأ:

معادلة الخط المستقيم مع الميل

تسمى الصيغة "المدرسة" المعروفة لمعادلة الخط المستقيم معادلة الخط المستقيم مع الميل. على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة تعطي خطًا مستقيمًا، فإن ميله يكون: . دعونا نفكر في المعنى الهندسي لهذا المعامل وكيف تؤثر قيمته على موقع الخط:

وقد ثبت ذلك في دورة الهندسة ميل الخط المستقيم يساوي ظل الزاويةبين اتجاه المحور الإيجابيوهذا الخط: والزاوية "تفك" عكس اتجاه عقارب الساعة.

لكي لا تشوش الرسم، قمت برسم زوايا لخطين مستقيمين فقط. دعونا نفكر في الخط "الأحمر" وانحداره. ووفقاً لما سبق: (يُشار إلى زاوية "ألفا" بقوس أخضر). بالنسبة للخط المستقيم "الأزرق" مع معامل الزاوية، تكون المساواة صحيحة (يُشار إلى زاوية "بيتا" بقوس بني). وإذا كان ظل الزاوية معروفا، فمن السهل العثور عليه إذا لزم الأمر والزاوية نفسهاباستخدام الدالة العكسية - ظل قوسي. كما يقولون، جدول مثلثي أو آلة حاسبة صغيرة بين يديك. هكذا، يميز المعامل الزاوي درجة ميل الخط المستقيم إلى محور الإحداثي السيني.

الحالات التالية ممكنة:

1) إذا كان الميل سالبًا: فإن الخط، بشكل تقريبي، ينتقل من الأعلى إلى الأسفل. ومن الأمثلة على ذلك الخطوط المستقيمة "الزرقاء" و"التوتية" في الرسم.

2) إذا كان الميل موجباً: فإن الخط يمتد من الأسفل إلى الأعلى. أمثلة - الخطوط المستقيمة "السوداء" و"الحمراء" في الرسم.

3) إذا كان الميل صفراً فإن المعادلة تأخذ الصورة ويكون المستقيم المقابل موازياً للمحور. مثال على ذلك الخط المستقيم "الأصفر".

4) بالنسبة لعائلة الخطوط الموازية للمحور (لا يوجد مثال في الرسم باستثناء المحور نفسه) فإن المعامل الزاوي غير موجود (لم يتم تعريف ظل 90 درجة).

كلما زاد معامل الميل في القيمة المطلقة، زاد انحدار الرسم البياني للخط المستقيم..

على سبيل المثال، النظر في خطين مستقيمين. ومن ثم، فإن الخط المستقيم هنا له ميل أكثر انحدارًا. اسمحوا لي أن أذكرك أن الوحدة تسمح لك بتجاهل الإشارة التي نحن مهتمون بها فقط القيم المطلقةالمعاملات الزاوية.

وفي المقابل، الخط المستقيم أكثر انحدارًا من الخطوط المستقيمة .

وعلى العكس من ذلك: كلما كان معامل الميل أصغر في القيمة المطلقة، كلما كان الخط المستقيم أكثر استواءً.

للخطوط المستقيمة المتباينة صحيحة، وبالتالي فإن الخط المستقيم أكثر استواءً. شريحة الأطفال حتى لا تسبب لك كدمات وصدمات.

لماذا هذا ضروري؟

إطالة عذابك تتيح لك معرفة الحقائق المذكورة أعلاه أن ترى على الفور أخطائك، على وجه الخصوص، الأخطاء عند إنشاء الرسوم البيانية - إذا تبين أن الرسم "خطأ بشكل واضح". من المستحسن أن تقوم بذلك حالاكان من الواضح، على سبيل المثال، أن الخط المستقيم شديد الانحدار ويمتد من الأسفل إلى الأعلى، والخط المستقيم مسطح للغاية، مضغوط بالقرب من المحور وينتقل من الأعلى إلى الأسفل.

في مشاكل هندسيةفي كثير من الأحيان تظهر عدة خطوط مستقيمة، لذلك من المناسب تعيينها بطريقة أو بأخرى.

التسميات: الخطوط المستقيمة محددة بأحرف لاتينية صغيرة: . أحد الخيارات الشائعة هو تعيينها باستخدام نفس الحرف مع اشتراكات طبيعية. على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى الأسطر الخمسة التي نظرنا إليها للتو .

بما أن أي خط مستقيم يتم تحديده بشكل فريد بنقطتين، فيمكن الإشارة إليه بالنقاط التالية: إلخ. يشير التعيين بوضوح إلى أن النقاط تنتمي إلى الخط.

حان الوقت للإحماء قليلاً:

كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بمعامل الزاوية؟

إذا كانت نقطة تنتمي إلى خط معين معروفة والمعامل الزاوي لهذا الخط، فإن معادلة هذا الخط يتم التعبير عنها بالصيغة:

مثال 1

اكتب معادلة خط مستقيم بمعامل زاوية إذا علم أن النقطة تنتمي إلى هذا الخط المستقيم.

حل: لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام الصيغة . في هذه الحالة:

إجابة:

فحصيتم ببساطة. أولًا، ننظر إلى المعادلة الناتجة ونتأكد من أن الميل في مكانه. ثانياً، يجب أن تحقق إحداثيات النقطة هذه المعادلة. دعنا نعوضهم في المعادلة:

ويتم الحصول على المساواة الصحيحة، مما يعني أن النقطة تحقق المعادلة الناتجة.

خاتمة: تم العثور على المعادلة بشكل صحيح.

مثال أكثر صعوبة لحله بنفسك:

مثال 2

اكتب معادلة للخط المستقيم إذا علم أن زاوية ميله إلى الاتجاه الموجب للمحور هي ، وأن النقطة تنتمي إلى هذا الخط المستقيم.

إذا كان لديك أي صعوبات، أعد القراءة المادة النظرية. بتعبير أدق، وأكثر عملية، أتخطى الكثير من الأدلة.

رن آخر مكالمةلقد مر حفل التخرج، وخارج أبواب مدرستنا الأصلية، تنتظرنا الهندسة التحليلية نفسها. انتهت النكتة... أو ربما بدأوا للتو =)

نلوح بقلمنا بحنين للمألوف ونتعرف على المعادلة العامة للخط المستقيم. لأنه في الهندسة التحليلية هذا هو بالضبط ما يستخدم:

المعادلة العامة للخط المستقيم لها الشكل: ، أين بعض الأرقام. وفي الوقت نفسه، المعاملات معًالا تساوي الصفر، لأن المعادلة تفقد معناها.

دعونا نرتدي بدلة ونربط المعادلة بمعامل الميل. أولاً، دعنا ننقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

يجب وضع المصطلح الذي يحمل علامة "X" في المقام الأول:

من حيث المبدأ، فإن المعادلة لها الشكل بالفعل، ولكن وفقًا لقواعد الآداب الرياضية، يجب أن يكون معامل الحد الأول (في هذه الحالة) موجبًا. علامات التغيير:

تذكر هذه الميزة التقنية!نجعل المعامل الأول (في أغلب الأحيان) إيجابيًا!

في الهندسة التحليلية، تُعطى معادلة الخط المستقيم دائمًا بشكل عام. حسنًا، إذا لزم الأمر، يمكن اختزاله بسهولة إلى النموذج "المدرسة" بمعامل زاوي (باستثناء الخطوط المستقيمة الموازية للمحور الإحداثي).

دعونا نسأل أنفسنا ماذا كافٍتعرف على بناء خط مستقيم؟ نقطتان. ولكن المزيد عن حادثة الطفولة هذه، هي الآن قاعدة العصي بالسهام. كل خط مستقيم له ميل محدد للغاية يسهل "التكيف" معه. المتجه.

يسمى المتجه الموازي لخط ما بمتجه الاتجاه لهذا الخط. من الواضح أن أي خط مستقيم لديه عدد لا حصر له من متجهات الاتجاه، وجميعها ستكون على خط مستقيم (سواء كانت في اتجاه مشترك أم لا - لا يهم).

سأشير إلى متجه الاتجاه كما يلي: .

لكن متجهًا واحدًا لا يكفي لبناء خط مستقيم، فالمتجه حر وغير مرتبط بأي نقطة على المستوى. لذلك، من الضروري أيضًا معرفة بعض النقاط التي تنتمي إلى الخط.

كيف تكتب معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه؟

إذا كانت هناك نقطة تنتمي إلى خط معروف ومتجه الاتجاه لهذا الخط ، فيمكن تجميع معادلة هذا الخط باستخدام الصيغة:

في بعض الأحيان يطلق عليه المعادلة الكنسية للخط .

ماذا تفعل متى أحد الإحداثياتيساوي صفرًا، سنفهمه في الأمثلة العملية أدناه. بالمناسبة، يرجى ملاحظة - كلاهما في وقت واحدلا يمكن أن تكون الإحداثيات تساوي الصفر، لأن المتجه الصفري لا يحدد اتجاهًا محددًا.

مثال 3

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه

حل: لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام الصيغة. في هذه الحالة:

باستخدام خصائص النسبة نتخلص من الكسور:

ونأتي بالمعادلة إلى صورتها العامة :

إجابة:

كقاعدة عامة، ليست هناك حاجة للرسم في مثل هذه الأمثلة، ولكن من أجل الفهم:

نرى في الرسم نقطة البداية ومتجه الاتجاه الأصلي (يمكن رسمه من أي نقطة على المستوى) والخط المستقيم المبني. بالمناسبة، في كثير من الحالات يكون من الملائم أكثر بناء خط مستقيم باستخدام معادلة ذات معامل زاوي. من السهل تحويل المعادلة إلى صورة وتحديد نقطة أخرى بسهولة لإنشاء خط مستقيم.

كما ذكرنا في بداية الفقرة، يحتوي الخط المستقيم على عدد لا نهائي من متجهات الاتجاه، وكلها على خط واحد. على سبيل المثال، رسمت ثلاثة ناقلات من هذا القبيل: . أيًا كان متجه الاتجاه الذي نختاره، فستكون النتيجة دائمًا هي معادلة الخط المستقيم نفسها.

لنقم بإنشاء معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

حل النسبة:

اقسم كلا الطرفين على -2 واحصل على المعادلة المألوفة:

يمكن للمهتمين اختبار المتجهات بنفس الطريقة أو أي ناقل خطي آخر.

الآن دعونا نحل المشكلة العكسية:

كيفية العثور على متجه الاتجاه باستخدام المعادلة العامة للخط المستقيم؟

بسيط جدا:

إذا تم إعطاء خط بمعادلة عامة، فإن المتجه هو متجه اتجاه هذا الخط.

أمثلة لإيجاد متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

تسمح لنا العبارة بإيجاد متجه اتجاه واحد فقط من عدد لا نهائي، لكننا لا نحتاج إلى المزيد. على الرغم من أنه من المستحسن في بعض الحالات تقليل إحداثيات متجهات الاتجاه:

وبالتالي، تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور ويتم تقسيم إحداثيات متجه الاتجاه الناتج بشكل ملائم على -2، للحصول على المتجه الأساسي تمامًا كمتجه الاتجاه. منطقي.

وبالمثل، تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور، وبقسمة إحداثيات المتجه على 5، نحصل على متجه الوحدة باعتباره متجه الاتجاه.

الآن دعونا نفعل ذلك التحقق من المثال 3. لقد ارتفع المثال، لذلك أذكرك أننا قمنا فيه بتجميع معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطة ومتجه الاتجاه

أولاًباستخدام معادلة الخط المستقيم نعيد بناء متجه اتجاهه: - كل شيء على ما يرام، لقد تلقينا المتجه الأصلي (في بعض الحالات قد تكون النتيجة متجهًا خطيًا واحدًا إلى المتجه الأصلي، وعادة ما يكون من السهل ملاحظة ذلك من خلال تناسب الإحداثيات المقابلة).

ثانيًا، يجب أن تحقق إحداثيات النقطة المعادلة. نعوضهم في المعادلة:

لقد تم الحصول على المساواة الصحيحة، وهو ما نحن سعداء به للغاية.

خاتمة: تم إكمال المهمة بشكل صحيح.

مثال 4

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل والجواب في نهاية الدرس . يُنصح بشدة بالتحقق من استخدام الخوارزمية التي تمت مناقشتها للتو. حاول دائمًا (إن أمكن) التحقق من المسودة. من الغباء ارتكاب أخطاء يمكن تجنبها بنسبة 100%.

في حالة كون أحد إحداثيات متجه الاتجاه صفرًا، تابع بكل بساطة:

مثال 5

حل: الصيغة غير مناسبة لأن المقام على الجانب الأيمن هو صفر. هناك مخرج! باستخدام خصائص التناسب، نعيد كتابة الصيغة في النموذج، ويتم تمرير الباقي على طول مسار عميق:

إجابة:

فحص:

1) استعادة المتجه الموجه للخط المستقيم:
- المتجه الناتج على خط واحد مع متجه الاتجاه الأصلي.

2) عوّض بإحداثيات النقطة في المعادلة:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة

خاتمة: المهمة اكتملت بشكل صحيح

السؤال الذي يطرح نفسه هو لماذا تهتم بالصيغة إذا كانت هناك نسخة عالمية ستعمل على أي حال؟ هناك سببان. أولا، الصيغة في شكل كسر تذكر أفضل بكثير. وثانيًا، عيب الصيغة الشاملة هو ذلك يزداد خطر الخلط بشكل كبيرعند استبدال الإحداثيات.

مثال 6

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه.

هذا مثال لك لحله بنفسك.

ولنعد إلى النقطتين الشائعتين:

كيف تكتب معادلة خط مستقيم باستخدام نقطتين؟

إذا عرفت نقطتان، فيمكن تجميع معادلة الخط المستقيم الذي يمر بهذه النقاط باستخدام الصيغة:

في الواقع، هذا نوع من الصيغة، وهذا هو السبب: إذا كانت نقطتان معروفتين، فسيكون المتجه هو متجه الاتجاه للخط المحدد. في الدرس ناقلات للدمىلقد نظرنا في أبسط مشكلة - كيفية العثور على إحداثيات المتجه من نقطتين. وفقا لهذه المشكلة، فإن إحداثيات متجه الاتجاه هي:

ملحوظة : يمكن "تبديل" النقاط واستخدام الصيغة. مثل هذا الحل سيكون معادلاً.

مثال 7

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطتين .

حل: نستخدم الصيغة:

تمشيط القواسم:

وخلط سطح السفينة:

لقد حان الوقت للتخلص من الأعداد الكسرية. في هذه الحالة، عليك أن تضرب كلا الطرفين في 6:

افتح القوسين وتذكر المعادلة:

إجابة:

فحصواضح - يجب أن تحقق إحداثيات النقاط الأولية المعادلة الناتجة:

1) استبدل إحداثيات النقطة:

المساواة الحقيقية.

2) استبدل إحداثيات النقطة:

المساواة الحقيقية.

خاتمة: معادلة الخط مكتوبة بشكل صحيح.

لو مرة على الأقلمن النقاط لا تلبي المعادلة، ابحث عن الخطأ.

ومن الجدير بالذكر أن التحقق الرسومي في هذه الحالة أمر صعب، حيث أن بناء خط مستقيم ومعرفة ما إذا كانت النقاط تنتمي إليه ، ليس بسيط جدا.

سأشير إلى بعض الجوانب التقنية الأخرى للحل. ربما يكون من المربح في هذه المشكلة استخدام صيغة المرآة وفي نفس النقاط اصنع معادلة:

كسور أقل. إذا أردت، يمكنك تنفيذ الحل حتى النهاية، ويجب أن تكون النتيجة نفس المعادلة.

النقطة الثانية هي النظر إلى الإجابة النهائية ومعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيطها أكثر؟ على سبيل المثال، إذا حصلت على المعادلة، فمن المستحسن تقليلها بمقدار اثنين: – ستحدد المعادلة نفس الخط المستقيم. ومع ذلك، هذا هو بالفعل موضوع للحديث عنه الوضع النسبي للخطوط.

بعد أن تلقى الجواب في المثال 7، فقط في حالة التحقق مما إذا كانت جميع معاملات المعادلة قابلة للقسمة على 2 أو 3 أو 7. على الرغم من أنه في أغلب الأحيان يتم إجراء هذه التخفيضات أثناء الحل.

مثال 8

اكتب معادلة الخط الذي يمر بالنقاط .

هذا مثال لحل مستقل، والذي سيسمح لك بفهم تقنيات الحساب وممارستها بشكل أفضل.

على غرار الفقرة السابقة: إذا كان في الصيغة يصبح أحد المقامات (إحداثي متجه الاتجاه) صفراً، ثم نعيد كتابته على الصورة. مرة أخرى، لاحظ كيف تبدو محرجة ومربكة. لا أرى فائدة كبيرة في جلب أمثلة عمليةلأننا قد قمنا بالفعل بحل هذه المشكلة (انظر رقم 5، 6).

ناقل عادي مباشر (ناقل عادي)

ما هو الطبيعي؟ بكلمات بسيطة، العمودي عمودي. أي أن المتجه الطبيعي لخط ما يكون عموديًا على خط معين. من الواضح أن أي خط مستقيم يحتوي على عدد لا نهائي منها (وكذلك متجهات الاتجاه)، وجميع المتجهات العادية للخط المستقيم ستكون على خط مستقيم (سواء كانت متجهة في الاتجاه أم لا، فلا فرق).

سيكون التعامل معها أسهل من التعامل مع المتجهات الإرشادية:

إذا تم إعطاء خط بمعادلة عامة في نظام إحداثيات مستطيل، فإن المتجه هو المتجه الطبيعي لهذا الخط.

إذا كان لا بد من "سحب" إحداثيات متجه الاتجاه بعناية من المعادلة، فيمكن ببساطة "إزالة" إحداثيات المتجه العادي.

يكون المتجه العادي دائمًا متعامدًا مع متجه الاتجاه للخط. دعونا نتحقق من تعامد هذه المتجهات باستخدام المنتج نقطة:

سأقدم أمثلة بنفس المعادلات الخاصة بمتجه الاتجاه:

هل من الممكن بناء معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة واحدة ومتجه عادي؟ أشعر بذلك في أمعائي، هذا ممكن. إذا كان المتجه العادي معروفًا، فإن اتجاه الخط المستقيم نفسه محدد بوضوح - وهذا "هيكل صلب" بزاوية 90 درجة.

كيف تكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي؟

إذا كانت نقطة معينة تابعة لخط ومتجه عادي لهذا الخط معروفة، فإن معادلة هذا الخط يتم التعبير عنها بالصيغة:

لقد نجح كل شيء هنا بدون كسور ومفاجآت أخرى. هذا هو ناقلنا الطبيعي. أحبه. والاحترام =)

مثال 9

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط.

حل: نستخدم الصيغة:

تم الحصول على المعادلة العامة للخط المستقيم، دعونا نتحقق من ذلك:

1) "أزل" إحداثيات المتجه العادي من المعادلة: – نعم، بالفعل تم الحصول على المتجه الأصلي من الشرط (أو يجب الحصول على متجه خطي متداخل).

2) دعونا نتحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة:

المساواة الحقيقية.

وبعد أن نقتنع بأن المعادلة مركبة بشكل صحيح، سنكمل الجزء الثاني الأسهل من المهمة. نخرج المتجه الموجه للخط المستقيم:

إجابة:

في الرسم يبدو الوضع كما يلي:

لأغراض التدريب، مهمة مماثلة لحلها بشكل مستقل:

مثال 10

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط.

سيتم تخصيص القسم الأخير من الدرس لأنواع أقل شيوعًا، ولكنها مهمة أيضًا من معادلات الخط على المستوى

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.
معادلة الخط في شكل حدودي

معادلة الخط المستقيم في القطع لها الشكل حيث الثوابت غير الصفرية. لا يمكن تمثيل بعض أنواع المعادلات بهذه الصورة، على سبيل المثال، التناسب المباشر (نظرًا لأن الحد الحر يساوي صفرًا ولا توجد طريقة للحصول على واحد في الطرف الأيمن).

وهذا، مجازيًا، نوع من المعادلات "التقنية". تتمثل المهمة الشائعة في تمثيل المعادلة العامة للخط كمعادلة لخط مقسم إلى شرائح. كيف هي مريحة؟ تتيح لك معادلة الخط المقسم العثور بسرعة على نقاط تقاطع الخط مع محاور الإحداثيات، وهو ما قد يكون مهمًا جدًا في بعض مشكلات الرياضيات العليا.

دعونا نجد نقطة تقاطع الخط مع المحور. نعيد تعيين "y" إلى الصفر، وتأخذ المعادلة الشكل . يتم الحصول على النقطة المطلوبة تلقائيا: .

الشيء نفسه مع المحور - النقطة التي يتقاطع عندها الخط المستقيم مع المحور الإحداثي.

المعادلة الخطية للشكل حيث أو ب- يتم استدعاء بعض الأرقام الحقيقية غير الصفر معادلة الخط المستقيم في القطاعات. هذا الاسم ليس من قبيل الصدفة، لأن القيم المطلقة للأرقام أو بتساوي أطوال القطع التي يقطعها الخط المستقيم على محاور الإحداثيات ثورو أويعلى التوالي (يتم حساب المقاطع من الأصل). وبالتالي، فإن معادلة الخط في المقاطع تجعل من السهل بناء هذا الخط في الرسم. للقيام بذلك، يجب عليك تحديد النقاط بالإحداثيات وفي نظام إحداثيات مستطيل على المستوى، واستخدام المسطرة لربطها بخط مستقيم.

على سبيل المثال، لنقم بإنشاء خط مستقيم معطى بواسطة معادلة في أجزاء من النموذج. قم بتمييز النقاط وربطها.

يمكنك الحصول على معلومات مفصلة حول هذا النوع من معادلة الخط على المستوى في معادلة المقالة للخط في المقاطع.

أعلى الصفحة

نهاية العمل -

هذا الموضوع ينتمي إلى القسم:

الجبر والهندسة التحليلية. مفهوم المصفوفة والعمليات على المصفوفات وخصائصها

مفهوم المصفوفة هو العمليات على المصفوفات وخصائصها.. المصفوفة عبارة عن جدول مستطيل مكون من أرقام لا يمكن أن تكون.. وجمع المصفوفة هو عملية على العناصر..

إذا كنت بحاجة إلى مواد إضافية حول هذا الموضوع، أو لم تجد ما كنت تبحث عنه، نوصي باستخدام البحث في قاعدة بيانات الأعمال لدينا:

ماذا سنفعل بالمواد المستلمة:

إذا كانت هذه المادة مفيدة لك، فيمكنك حفظها على صفحتك على الشبكات الاجتماعية:

جميع المواضيع في هذا القسم:

تعريف التفاضل
عملية إيجاد المشتق تسمى تمايز الدالة. يقال إن الدالة قابلة للاشتقاق في مرحلة ما إذا كان لها مشتقة منتهية عند تلك النقطة، و

قاعدة التمايز
النتيجة الطبيعية 1. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق:

المعنى الهندسي للمشتق. معادلة الظل
زاوية ميل الخط المستقيم y = kx+b هي الزاوية المقاسة من الموضع

المعنى الهندسي لمشتقة دالة عند نقطة ما
دعونا نفكر في القاطع AB للرسم البياني للدالة y = f(x) بحيث يكون للنقطتين A وB إحداثيات، على التوالي

حل
الوظيفة محددة للجميع أرقام حقيقية. وبما أن (-1; -3) هي نقطة التماس، إذن

الشروط الضرورية للأقصى والشروط الكافية للأقصى
تعريف الدالة المتزايدة. تزيد الدالة y = f(x) على الفاصل الزمني X إذا كان موجودًا

علامات كافية لأقصى وظيفة
للعثور على الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، يمكنك استخدام أي من الثلاثة مؤشرات كافيةأقصى. على الرغم من أن الأكثر شيوعا وملاءمة هو الأول.

صيغة نيوتن-لايبنتز (مع الدليل)
صيغة نيوتن-لايبنتز. دع الدالة y = f(x) تكون متصلة على فترة وF(x) تكون إحدى المشتقات العكسية للدالة في هذه الفترة، ثم المعادلة

وسوف نحلل بالتفصيل نوع خاص من معادلة الخط المستقيم - . لنبدأ بشكل معادلة الخط المستقيم المقطع ونعطي مثالاً. بعد ذلك، سنركز على إنشاء خط مستقيم، وهو ما يتم الحصول عليه من معادلة الخط المستقيم في القطع. وفي الختام، سوف نبين كيف يتم الانتقال من المعادلة العامة الكاملة للخط إلى معادلة الخط في القطع.

التنقل في الصفحة.

معادلة الخط في المقاطع - الوصف والمثال.

دع أوكسي يتم إصلاحه على الطائرة.

معادلة الخط في القطاعاتعلى المستوى في نظام إحداثيات مستطيل، يكون لـ Oxy الشكل حيث a وb عبارة عن أرقام حقيقية غير صفرية.

ليس من قبيل الصدفة أن معادلة الخط في المقاطع تلقت هذا الاسم - القيم المطلقة للأرقام a و b تساوي أطوال المقاطع التي يقطعها الخط على محوري الإحداثيات Ox و Oy، عد من الأصل.

دعونا نوضح هذه النقطة. نحن نعلم أن إحداثيات أي نقطة على الخط تحقق معادلة ذلك الخط. ثم من الواضح أن الخط المحدد بمعادلة الخط في المقاطع يمر عبر النقاط و منذ ذلك الحين و . وتقع النقاط و بدقة على محوري الإحداثيات Ox وOy على التوالي، وتبعد عن أصل الإحداثيات بوحدات a وb. تشير علامات الأرقام a و b إلى الاتجاه الذي يجب وضع الأجزاء فيه. علامة "+" تعني أن الجزء موضوع في الاتجاه الإيجابي محور الإحداثياتوالعلامة "-" تعني العكس.

دعونا نرسم رسمًا تخطيطيًا يشرح كل ما سبق. يُظهر موقع الخطوط نسبة إلى نظام الإحداثيات المستطيلة الثابتة أوكسي، وذلك اعتماداً على قيم الرقمين a وb في معادلة الخط في المقاطع.

الآن أصبح من الواضح أن معادلة الخط المستقيم في المقاطع تجعل من السهل بناء هذا الخط المستقيم في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي. لبناء خط مستقيم، والذي يتم الحصول عليه من معادلة خط مستقيم في أجزاء من النموذج، يجب عليك تحديد النقاط وفي نظام إحداثيات مستطيل على المستوى، ثم توصيلها بخط مستقيم باستخدام المسطرة.

دعونا نعطي مثالا.

مثال.

أنشئ خطًا مستقيمًا معطى بمعادلة الخط في أجزاء من النموذج.

حل.

بناءً على المعادلة المعطاة لخط مستقيم مقسم إلى أجزاء، يمكن ملاحظة أن الخط يمر عبر النقاط . نحتفل بها ونربطها بخط مستقيم.

اختزال المعادلة العامة للخط إلى معادلة الخط في القطع.

عند حل بعض المسائل المتعلقة بخط على مستوى، من الملائم العمل مع معادلة خط مقسم إلى شرائح. ومع ذلك، هناك أنواع أخرى من المعادلات التي تحدد الخط على المستوى. لذلك، من الضروري إجراء الانتقال من معادلة خط معينة إلى معادلة هذا الخط في المقاطع.

سنبين في هذه الفقرة كيفية الحصول على معادلة الخط في المقاطع إذا تم إعطاء المعادلة العامة الكاملة للخط.

دعونا نعرف المعادلة العامة الكاملة لخط على المستوى . نظرًا لأن A وB وC لا تساوي الصفر، يمكنك نقل الرقم C إلى الجانب الأيمن من المساواة، وتقسيم طرفي المساواة الناتجة على -C، وإرسال معاملات x وy إلى المقامات:
.

(في التحول الأخير استخدمنا المساواة ).

إذن نحن من المعادلة العامة للخط المستقيم مرت إلى معادلة الخط المستقيم في القطاعات، حيث .

مثال.

يتم إعطاء الخط المستقيم في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي بواسطة المعادلة . اكتب معادلة هذا الخط على شكل شرائح.

حل.

دعنا ننتقل ثانية واحدة إلى الجانب الأيمن من المساواة المعطاة: . الآن دعونا نقسم المساواة الناتجة إلى كلا الطرفين: . يبقى لتحويل المساواة الناتجة إلى النوع الصحيح: . وهكذا حصلنا على المعادلة المطلوبة للخط في المقاطع.

إجابة:

إذا تم تحديد خط مستقيم

وتتمثل المهمة في إنشاء خط يمر عبر الإحداثيات المحددة لنهاية المقطع.

نحن نعتقد أن الشريحة غير منحلة، أي. له طول أكبر من الصفر (وإلا، بالطبع، هناك عدد لا نهائي من الخطوط المختلفة التي تمر عبره).

حالة ثنائية الأبعاد

دع قطعة تعطى، أي. إحداثيات نهايتها معروفة.

مطلوب للبناء معادلة الخط في الطائرة، مروراً بهذا الجزء، أي. أوجد المعاملات ، ، في معادلة الخط المستقيم:

لاحظ أن الثلاثيات المطلوبة التي تمر عبر مقطع معين هي كثيرة بلا حدود: يمكنك ضرب المعاملات الثلاثة برقم عشوائي غير الصفر والحصول على نفس الخط المستقيم. ولذلك، فإن مهمتنا هي العثور على واحد من هؤلاء الثلاثة توائم.

من السهل التحقق (عن طريق استبدال هذه التعبيرات وإحداثيات النقاط في معادلة الخط المستقيم) من أن مجموعة المعاملات التالية مناسبة:

حالة عدد صحيح

من المزايا المهمة لهذه الطريقة في إنشاء خط مستقيم أنه إذا كانت إحداثيات النهايات عددًا صحيحًا، فإن المعاملات الناتجة ستكون أيضًا الأعداد الصحيحة. وفي بعض الحالات، يسمح ذلك بإجراء العمليات الهندسية دون اللجوء إلى الأعداد الحقيقية على الإطلاق.

ومع ذلك، هناك عيب صغير: بالنسبة لنفس الخط، يمكن الحصول على ثلاثة توائم مختلفة من المعاملات. لتجنب ذلك، ولكن دون الابتعاد عن معاملات الأعداد الصحيحة، يمكنك استخدام التقنية التالية، والتي تسمى غالبًا تقنين. دعونا نجد القاسم المشترك الأكبر للأرقام، ،،، ونقسم المعاملات الثلاثة عليه، ثم نقوم بتطبيع العلامة: إذا أو، ثم نضرب المعاملات الثلاثة في . ونتيجة لذلك، سوف نتوصل إلى استنتاج مفاده أنه بالنسبة للخطوط المتطابقة، سنحصل على معاملات ثلاثية متطابقة، مما سيجعل من السهل التحقق من تساوي الخطوط.

حالة ذات قيمة حقيقية

عند التعامل مع الأعداد الحقيقية، يجب أن تكون دائمًا على دراية بالأخطاء.

المعاملات التي نحصل عليها هي من ترتيب الإحداثيات الأصلية، والمعامل هو بالفعل من ترتيب مربعهم. يمكن أن تكون هذه أرقامًا كبيرة بالفعل، وعلى سبيل المثال، عندما تتقاطع الخطوط، فإنها ستصبح أكبر، مما قد يؤدي إلى أخطاء تقريب كبيرة حتى مع إحداثيات الترتيب الأصلية.

لذلك، عند العمل مع الأعداد الحقيقية، فمن المستحسن إجراء ما يسمى تطبيعالمباشر: أي جعل المعاملات هكذا . للقيام بذلك تحتاج إلى حساب الرقم:

ونقسم جميع المعاملات الثلاثة عليها.

وبالتالي، فإن ترتيب المعاملات لن يعتمد بعد الآن على ترتيب إحداثيات الإدخال، وسيكون المعامل من نفس ترتيب إحداثيات الإدخال. ومن الناحية العملية، يؤدي هذا إلى تحسن كبير في دقة الحساب.

وأخيرا، دعونا نذكر مقارنةخطوط مستقيمة - بعد كل شيء، بعد هذا التطبيع لنفس الخط المستقيم، يمكن الحصول على ثلاثة توائم فقط من المعاملات: حتى الضرب بـ . وبناءً على ذلك، إذا أجرينا تطبيعًا إضافيًا مع الأخذ في الاعتبار الإشارة (إذا أو، ثم نضرب ب)، فإن المعاملات الناتجة ستكون فريدة.

المهمة 1 #6713

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

\[\begin(cases) \sqrt((x+2)^2+y^2)+\sqrt(x^2+(y-a)^2)=\sqrt(4+a^2)\\ 5y= |6-أ^2| \النهاية(الحالات)\]

لديه حل فريد من نوعه.

(مهمة من المشتركين)

لنفكر في المعادلة الثانية للنظام: فهي تحدد عائلة من الخطوط المستقيمة \(y=0.2|6-a^2|\) الموازية للمحور \(Ox\) وتقع في النصف العلوي من المستوى (بما في ذلك المحور \(Ox\)) لأي معلمة قيمة \(a\) (نظرًا لأن المعامل يكون دائمًا غير سالب).

دعونا ننظر إلى المعادلة الأولى. اجعل \(A(x;y)\) , \(B(-2;0)\) , \(C(0;a)\) نقاطًا. ثم \(BA=\sqrt((x+2)^2+y^2)\) , \(AC=\sqrt(x^2+(y-a)^2)\) , \(BC=\sqrt( 4+أ^2)\) .
وبالتالي فإن المعادلة الأولى للنظام تبدو كالتالي: \(BA+AC=BC\) . وهذا يعني أنه يحدد موضع النقاط \(A\) الواقعة على القطعة \(BC\) .

لكي يحصل هذا النظام على حل فريد، يجب أن يتقاطع الخط المستقيم \(y=0.2|6-a^2|\) مع المقطع \(BC\) عند نقطة واحدة.

1) دع \(أ<0\) , то есть точка \(C\) лежит на отрицательной части оси \(Oy\) . Единственный случай, когда прямая \(y=0,2|6-a^2|\) будет иметь с отрезком одну общую точку, – когда прямая \(y=0,2|6-a^2|\) будет проходить через точку \(B\) , то есть совпадать с осью абсцисс. Отсюда \(0,2|6-a^2|=0\) , следовательно, \(a=\pm \sqrt6\) . Так как \(a<0\) , то \(a=-\sqrt6\) .

2) دع \(a=0\) . ثم يقع المقطع \(BC\) على المحور السيني، ويقع الخط المستقيم \(y=0.2|6-a^2|\) في النصف العلوي من المستوى، ولا توجد نقاط مشتركة بينهما.

3) دع \(a>0\) . ثم يقع \(C\) على الاتجاه الموجب للإحداثي.

الخط المستقيم \(y=0.2|6-a^2|\) يتقاطع مع المحور الإحداثي عند النقطة \(D\) . لكي يتقاطع الخط المستقيم مع القطعة \(BC\)، من الضروري ألا تكون النقطة \(C\) أقل من النقطة \(D\)، أي \

دعونا نحل هذا عدم المساواة. لأن \(a>0\) ، لدينا: \[|6-a^2|\leqslant 5a\quad\Leftrightarrow\quad -5a\leqslant 6-a^2\leqslant 5a\quad\Leftrightarrow\quad 1\leqslant a\leqslant 6.\]

إجابة:

\(أ\في\(-\sqrt6\)\كوب\)

المهمة 2 #3978

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

ابحث عن كافة قيم المعلمة \(a\) لكل منها النظام \[\begin(cases) y^2-(2a+1)y+a^2+a-2=0\\ \sqrt((x-a)^2+y^2)+\sqrt((x-a)^ 2+(y-3)^2)=3 \end(cases)\]لديه حل واحد بالضبط.

دعونا نحول المعادلة الأولى للنظام. لاحظ أن \(a^2+a-2=(a+2)(a-1)\) . لاحظ أيضًا أن \(a+2+a-1=2a+1\) ، وبالتالي، وفقًا لنظرية فييتا، فإن جذور هذه المعادلة ستكون \(y=a+2\) و \(y=a-1 \) . هذا يعني أن الرسم البياني للمعادلة الأولى سيكون عبارة عن خطين مستقيمين \(y=a+2\) و\(y=a-1\) موازيين لمحور الإحداثي السيني.

دعونا نحول المعادلة الثانية. خذ بعين الاعتبار النقاط \(A(a;0)\) , \(B(a;3)\) , \(C(x;y)\) . ثم \(AB=\sqrt((a-a)^2+(0-3)^2)=3\), \(AC=\sqrt((x-a)^2+y^2)\) و \(CB=\sqrt((x-a)^2+(y-3)^2)\) . ولذلك، يمكن إعادة كتابة المعادلة الثانية للنظام بالشكل \(AC+CB=AB\) . وهذا يعني أنه يحدد مجموعة النقاط \(C\) التي تقع على القطعة \(AB\) . لاحظ أنه نظرًا لأن النقطتين \(A\) و\(B\) لهما نفس الإحداثي الإحداثي، فإن المقطع \(AB\) يكون متعامدًا على محور الإحداثي السيني.

من الناحية التخطيطية، تبدو الرسوم البيانية لكلا المعادلتين كما يلي:

لكي يحصل النظام على حل فريد، يجب أن يتقاطع الرسم البياني الأخضر مع المقطع \(AB\) عند نقطة واحدة. وبالتالي، إما أن الخط \(y=a+2\) يتقاطع مع القطعة، لكن الخط \(y=a-1\) لا يتقاطع معها، أو العكس: \[\left[\begin(تجمع)\begin(محاذاة) &\begin(cases) 0\leqslant a+2\leqslant 3\\ a-1<0 \end{cases} \\ &\begin{cases} 0\leqslant a-1\leqslant 3\\ a+2>3\end(الحالات)\end(محاذاة)\end(مجمعة)\right.\quad\Leftrightarrow\quad a\in [-2;1)\cup(1;4]\]

إجابة:

\([-2;1)\كوب(1;4]\)

المهمة 3 #3979

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

أوجد أصغر قيمة للمعلمة \(a\) التي تقع عندها المعادلة \[\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2)+\sqrt((x+14)^2+(x+3)^2)=13a\]لديه جذر واحد على الأقل.

1 الطريق.

دعونا نفكر \(f(x)=\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2)+\sqrt((x+14)^2+(x+3)^2)\).
ثم ستأخذ المعادلة الشكل \(f(x)=13a\) . ثم نحتاج إلى العثور على أصغر قيمة \(a\) يتقاطع عندها الخط المستقيم \(y=13a\) مع الرسم البياني \(y=f(x)\) عند نقطة واحدة على الأقل. دعنا نستكشف \(f(x)\) . للقيام بذلك، نجد أولا مشتقتها: \[\begin(محاذاة) &f"(x)=\dfrac(2(x+8)+2(x+2))(2\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2 ))+ \dfrac(2(x+14)+2(x+3))(2\sqrt((x+14)^2+(x+3)^2))=\\ &=\dfrac( 2x+10)(\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2))+ \dfrac(2x+17)(\sqrt((x+14)^2+(x+3) ^2))\النهاية(محاذاة)\]دعونا نجد أصفار المشتقة: \[\begin(محاذاة) &\dfrac(2x+10)(\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2))+ \dfrac(2x+17)(\sqrt((x +14)^2+(x+3)^2))=0 \quad\Leftrightarrow\\ &\sqrt(\dfrac((x+14)^2+(x+3)^2)((x+ 8 )^2+(x+2)^2))=-\dfrac(2x+17)(2x+10) \quad\Leftrightarrow\\ &\begin(cases) \dfrac((x+14)^2 + (x+3)^2)((x+8)^2+(x+2)^2)=\left(\dfrac(2x+17)(2x+10)\right)^2 \qquad ( * )\\ \dfrac(2x+17)(2x+10)\leqslant 0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\\ &\begin(cases) 85x^2+598x+424=0\\ x\in \ اليسار [-8.5؛ -5\right) \end(cases) \quad\Leftrightarrow\\ & x=-\dfrac(106)(17) \end(محاذاة)\]

دعونا نحدد علامات المشتق:

لذلك، يبدو الرسم البياني التخطيطي للوظيفة كما يلي:

وبالتالي، فإن القيمة الدنيا للمعلمة \(a\) هي عندما يمر الخط المستقيم \(y=13a\) عبر النقطة القصوى للدالة \(f(x)\) : \

الطريقة 2.

لاحظ أنه في الطريقة الأولى كان هناك الكثير من الحسابات وفي الواقع كنا محظوظين لأنه عند حل المعادلة \((*)\) تم إلغاء الحدود مع \(x^4\) و \(x^3\)، ووصلنا إلى معادلة من الدرجة الثانية. ولكن ماذا لو لم يتم اختيار الأرقام بشكل جيد ولم نصل في النهاية إلى معادلة "جميلة" يمكننا حلها؟
دعونا نلقي نظرة على الطريقة الثانية لحل هذه المعادلات.

خذ بعين الاعتبار ثلاث نقاط: \(A(x;x)\) , \(B(-8, -2)\) , \(C(-14, -3)\) . ثم ستأخذ المعادلة الشكل \ إذا أردنا إيجاد أصغر قيمة للمعلمة \(a\) التي يكون للمعادلة عندها حل واحد على الأقل، فسنحتاج إلى إيجاد النقطة \(A\) التي عندها المجموع من أطوال المقطعين \(AB\) و \(AC\) سيكونان الأصغر.
أين تقع النقطة \(A\)؟ هذه النقطة "تمتد" على طول الخط المستقيم \(y=x\) . بيانيا يبدو مثل هذا:

هنا سوف نستخدم الفكرة الكلاسيكية للتخطيط. دعونا نعكس النقطة \(B\) بشكل متماثل بالنسبة إلى الخط \(y=x\) (أي أننا نرسم \(BB"\perp y=x\) ، حيث \(BH=HB"\) :

ثم \(AB+AC=AB"+AC\). لاحظ أنه وفقًا لقاعدة المثلث، إذا كانت النقطة \(A\) لا تقع على القطعة المستقيمة \(B"C\)، فإن \(AB"+ أ>ب"ج\) . لذلك، سيتم تحقيق أصغر مجموع للأطوال \(AB"+AC\) عند \(A\in B"C\) .

وهكذا فهمنا عقائدياً أين يجب أن تكون النقطة \(أ\). الآن كل ما تبقى هو العثور على إحداثياته.

1) أوجد إحداثيات النقطة \(B"\) .
للقيام بذلك، نجد أولاً معادلة الخط المستقيم \(BB"\). بما أن \(BB"\perp y=x\)، إذا كانت معادلة الخط المستقيم \(BB"\) لها الصيغة \(y=kx+b\) ، ثم \(k\cdot 1=-1\) (حاصل ضرب المعاملات الزاوية لخطين متعامدين متبادلين يساوي \(-1\)) لذلك، \(y= -س+ب\) .
للعثور على الرقم \(b\)، عليك التعويض بإحداثيات النقطة \(B\) في معادلة الخط: \[-2=-1\cdot (-8)+b\quad\Leftrightarrow\quad b=-10\]ولذلك فإن معادلة الخط المستقيم لها الصيغة \(y=-x-10\) .
لنجد إحداثيات النقطة \(H\) - هذه هي نقطة تقاطع الخطين \(y=x\) و \(y=-x-10\) : \[\begin(cases) y=x\\ y=-x-10\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=y=-5\quad\Rightarrow\quad H(-5,-5)\ ]\(H\) هو منتصف القطعة \(BB"\). هذا يعني أنه إذا كانت إحداثيات النقطة \(B"\) تساوي \((x_0;y_0)\) ، إذن \[\begin(cases) -5=\dfrac(-8+x_0)2\\ -5=\dfrac(-2+y_0)2\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x_0 =-2\\ y_0=-8\end(cases)\]وبالتالي، \(B"(-2;-8)\) .

2) أوجد معادلة الخط \(B"C\) إذا كانت معادلة هذا الخط موجودة منظر عاميبدو \(y=mx+n\) إذن \[\begin(cases) -8=-2m+n\\ -3=-14m+n\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) m=-\dfrac5(12)\\ n =-\dfrac(53)6\end(الحالات)\]ولذلك، \(y=-\frac5(12)x-\frac(53)6\) . يمكنك الآن العثور على إحداثيات النقطة \(A\) - هذه هي نقطة تقاطع الخطين \(y=x\) و\(B"C\): \[\begin(cases) y=x\\ y=-\frac5(12)x-\frac(53)6\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad x=y=-\dfrac(106)( 17)\]

3) الآن يمكنك العثور على قيمة المعلمة \(a\) . \

ما الجيد في هذه الطريقة؟ أولاً، إنه أكثر أناقة. ثانيا، في سياق الحل واجهنا فقط المعادلات الخطية، والتي هي أسهل بكثير في حلها.

إجابة:

\(أ=1\)

المهمة 4 #3909

مستوى المهمة: أصعب من امتحان الدولة الموحدة

ابحث عن جميع قيم المعلمة \(a\) التي يعمل النظام عليها \[\begin(cases) x^2+|x^2-2x|=y^2+|y^2-2y|\\ x+y=a\end(cases)\]

لديه أكثر من حلين.

لنرسم رسمًا بيانيًا للمعادلة الأولى. للقيام بذلك، النظر في الحالات:

1) \(x^2-2x\geqslant 0\) , \(y^2-2y\geqslant 0\) . ثم سوف تأخذ المعادلة الشكل \ ثم في هذه الحالة نحصل على الرسم البياني التالي:

2) \(x^2-2x\leqslant 0\) , \(y^2-2y\leqslant 0\) . ثم: \ وهذا يعني أن الرسم البياني للحالتين الأوليين سيبدو كما يلي:

3) \(x^2-2x\geqslant 0\) , \(y^2-2y\leqslant 0\) . عندها ستأخذ المعادلة الشكل: \ ولذلك سيضاف أيضاً:

4) \(x^2-2x\leqslant 0\) , \(y^2-2y\geqslant 0\) . ثم لدينا: \ سيكون الرسم البياني هو نفس القطع المكافئ كما في الخطوة 3، فقط مع تغيير المحاور:

الرسم البياني لـ \(x+y=a\) لكل \(a\) ثابت هو الخط \(y=-x+a\)، أي خط موازي لـ \(y=-x\) ( وأيضًا موازيًا لجزء من الخط \(y=1-x\) من النقطة 1).
لكي يكون للنظام أكثر من حلين، من الضروري أن يكون الخط المستقيم \(y=-x+a\) في المواضع من (1) (غير شامل) إلى (2) (شامل):

في الواقع، عندما يكون الخط في الموضع (2)، سيكون لدى النظام عدد لا نهائي من الحلول (أي جزء من الخط \(y=1-x\) مع \(x\in (-\infty;-1]\cup\]