Quadratische Gleichungen mit Modul, Lösungsbeispiele. Modul einer Zahl (Absolutwert einer Zahl), Definitionen, Beispiele, Eigenschaften. Modul einer Zahl als Abstand

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Der Modul ist der absolute Wert des Ausdrucks. Um ein Modul irgendwie zu kennzeichnen, ist es üblich, gerade Klammern zu verwenden. Der in gerade Klammern eingeschlossene Wert ist der Modulo-Wert. Der Prozess zum Lösen eines Moduls besteht darin, genau diese geraden Klammern zu öffnen, die in der mathematischen Sprache modulare Klammern genannt werden. Ihre Offenlegung erfolgt nach einer Reihe von Regeln. Außerdem werden in der Reihenfolge der Lösung der Module die Wertemengen der Ausdrücke gefunden, die in den modularen Klammern standen. In den meisten Fällen wird der Modul so erweitert, dass der Ausdruck, der submodular war, sowohl positive als auch negative Werte erhält, einschließlich des Wertes Null. Geht man von den festgelegten Eigenschaften des Moduls aus, so werden dabei verschiedene Gleichungen bzw. Ungleichungen aus dem Originalausdruck zusammengestellt, die dann gelöst werden müssen. Lassen Sie uns herausfinden, wie man Module löst.

Lösungsprozess

Das Lösen eines Moduls beginnt mit dem Schreiben der ursprünglichen Gleichung mit dem Modul. Um die Frage zu beantworten, wie man Gleichungen mit einem Modul löst, müssen Sie es vollständig öffnen. Um eine solche Gleichung zu lösen, wird das Modul erweitert. Alle modularen Ausdrücke müssen berücksichtigt werden. Es muss ermittelt werden, bei welchen Werten der in seiner Zusammensetzung enthaltenen unbekannten Größen der modulare Ausdruck in Klammern Null wird. Dazu reicht es aus, den Ausdruck in modularen Klammern mit Null gleichzusetzen und dann die Lösung der resultierenden Gleichung zu berechnen. Die gefundenen Werte müssen protokolliert werden. Auf die gleiche Weise müssen Sie auch den Wert aller unbekannten Variablen für alle Module in dieser Gleichung bestimmen. Als nächstes müssen Sie damit beginnen, alle Fälle der Existenz von Variablen in Ausdrücken zu definieren und zu berücksichtigen, wenn sie sich vom Wert Null unterscheiden. Dazu müssen Sie ein Ungleichungssystem aufschreiben, das allen Modulen der ursprünglichen Ungleichung entspricht. Ungleichungen müssen so geschrieben werden, dass sie alle verfügbaren und möglichen Werte für eine Variable abdecken, die auf dem Zahlenstrahl gefunden werden. Anschließend müssen Sie zur Visualisierung dieselbe Zahlenlinie zeichnen, auf der Sie später alle erhaltenen Werte grafisch darstellen können.

Mittlerweile lässt sich fast alles über das Internet erledigen. Das Modul ist keine Ausnahme von der Regel. Sie können es online auf einer der vielen modernen Ressourcen lösen. Alle Werte der Variablen, die im Nullmodul liegen, stellen eine spezielle Einschränkung dar, die bei der Lösung der Modulgleichung verwendet wird. In der ursprünglichen Gleichung müssen Sie alle verfügbaren modularen Klammern öffnen und gleichzeitig das Vorzeichen des Ausdrucks ändern, damit die Werte der gewünschten Variablen mit den Werten übereinstimmen, die auf dem Zahlenstrahl sichtbar sind. Die resultierende Gleichung muss gelöst werden. Der Wert der Variablen, der beim Lösen der Gleichung erhalten wird, muss anhand der vom Modul selbst festgelegten Begrenzung überprüft werden. Wenn der Wert der Variablen die Bedingung vollständig erfüllt, ist er korrekt. Alle Wurzeln, die bei der Lösung der Gleichung erhalten werden, aber nicht den Einschränkungen entsprechen, müssen verworfen werden.

Anweisungen

Wenn ein Modul als stetige Funktion dargestellt wird, kann der Wert seines Arguments entweder positiv oder negativ sein: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Der Modul ist Null und der Modul jeder positiven Zahl ist . Wenn das Argument negativ ist, ändert sich nach dem Öffnen der Klammern sein Vorzeichen von Minus auf Plus. Daraus folgt die Schlussfolgerung, dass die Module der Gegensätze gleich sind: |-x| = |x| = x.

Modul komplexe Zahl wird durch die Formel gefunden: |a| = √b ² + c ² und |a + b| ≤ |a| + |b|. Enthält das Argument eine positive Zahl als Multiplikator, dann kann diese aus dem Klammerzeichen entnommen werden, zum Beispiel: |4*b| = 4*|b|.

Wenn das Argument als komplexe Zahl dargestellt wird, ist zur Vereinfachung der Berechnungen die Reihenfolge der Terme des Ausdrucks in rechteckigen Klammern zulässig: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, weil (2-3) kleiner als Null ist.

Das potenzierte Argument steht gleichzeitig unter dem Vorzeichen einer Wurzel gleicher Ordnung – es wird gelöst mit: √a² = |a| = ±a.

Wenn Sie eine Aufgabe haben, in der die Bedingung für die Erweiterung der Modulklammern nicht angegeben ist, besteht keine Notwendigkeit, diese zu entfernen – dies ist das Endergebnis. Und wenn Sie sie öffnen müssen, müssen Sie das ±-Zeichen angeben. Beispielsweise müssen Sie den Wert des Ausdrucks √(2 * (4-b))² ermitteln. Seine Lösung sieht so aus: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Da das Vorzeichen des Ausdrucks 4-b unbekannt ist, muss es in Klammern stehen. Wenn Sie hinzufügen Zusätzlicher Zustand, zum Beispiel |4-b| >

Der Modul von Null ist gleich Null, und der Modul jeder positiven Zahl ist er selbst. Wenn das Argument negativ ist, ändert sich nach dem Öffnen der Klammern sein Vorzeichen von Minus auf Plus. Daraus folgt die Schlussfolgerung, dass die Module entgegengesetzter Zahlen gleich sind: |-x| = |x| = x.

Der Modul einer komplexen Zahl wird durch die Formel ermittelt: |a| = √b ² + c ² und |a + b| ≤ |a| + |b|. Enthält das Argument eine positive ganze Zahl als Faktor, dann kann diese aus dem Klammerzeichen entnommen werden, zum Beispiel: |4*b| = 4*|b|.

Der Modul kann nicht negativ sein, daher wird jede negative Zahl in eine positive umgewandelt: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Wenn das Argument in Form einer komplexen Zahl dargestellt wird, ist es zur Vereinfachung der Berechnungen möglich, die Reihenfolge der in rechteckigen Klammern eingeschlossenen Terme des Ausdrucks zu ändern: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, weil (2-3) kleiner als Null ist.

Wenn Sie eine Aufgabe haben, in der die Bedingung für die Erweiterung der Modulklammern nicht angegeben ist, besteht keine Notwendigkeit, diese zu entfernen – dies ist das Endergebnis. Und wenn Sie sie öffnen müssen, müssen Sie das ±-Zeichen angeben. Beispielsweise müssen Sie den Wert des Ausdrucks √(2 * (4-b))² ermitteln. Seine Lösung sieht so aus: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Da das Vorzeichen des Ausdrucks 4-b unbekannt ist, muss es in Klammern stehen. Wenn Sie eine zusätzliche Bedingung hinzufügen, zum Beispiel |4-b| > 0, dann ist das Ergebnis 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Das unbekannte Element kann auch auf eine bestimmte Zahl gesetzt werden, was berücksichtigt werden sollte, da es wird das Vorzeichen des Ausdrucks beeinflussen.

A wird nach folgenden Regeln berechnet:

Der Kürze halber werden Notationen verwendet |a|. Also |10| = 10; - 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100 usw.

Jede Größe X entspricht einem ziemlich genauen Wert | X|. Und das bedeutet Identität bei= |X| Sätze bei wie einige Argumentfunktion X.

Zeitplan Das Funktionen Nachstehend dargestellt.

Für X > 0 |X| = X, und für X< 0 |X|= -X; in diesem Zusammenhang ist die Linie y = | X| bei X> 0 kombiniert mit einer Geraden y = x(Halbierende des ersten Koordinatenwinkels) und wann X< 0 - с прямой y = -x(Halbierende des zweiten Koordinatenwinkels).

Separate Gleichungen Unbekannte unter das Schild einschließen Modul.

Beliebige Beispiele für solche Gleichungen - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 usw.

Gleichungen lösen Das Enthalten einer Unbekannten unter dem Modulzeichen basiert auf der Tatsache, dass, wenn der Absolutwert einer unbekannten Zahl x gleich einer positiven Zahl a ist, diese Zahl x selbst entweder gleich a oder -a ist.

Zum Beispiel:, wenn | X| = 10, dann oder X=10, oder X = -10.

Lassen Sie uns überlegen Lösen einzelner Gleichungen.

Analysieren wir die Lösung der Gleichung | X- 1| = 2.

Erweitern wir das Modul dann der Unterschied X- 1 kann entweder + 2 oder - 2 sein. Wenn x - 1 = 2, dann X= 3; Wenn X- 1 = - 2 also X= - 1. Wir führen eine Substitution durch und stellen fest, dass diese beiden Werte die Gleichung erfüllen.

Antwort. Die obige Gleichung hat zwei Wurzeln: X 1 = 3, X 2 = - 1.

Lassen Sie uns analysieren Lösung der Gleichung | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Nach Modulerweiterung wir bekommen: oder 6 - 2 X= 3X+ 1 oder 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Im ersten Fall X= 1, und im zweiten X= - 7.

Untersuchung. Bei X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3X+ 1 = 4; es folgt aus dem Gericht, X = 1 - Wurzel gegeben Gleichungen.

Bei X = - 7 |6 — 2X| = |20| = 20, 3X+ 1= - 20; denn 20 ≠ -20, also X= - 7 ist keine Wurzel dieser Gleichung.

Antwort. U Gleichung hat nur eine Wurzel: X = 1.

Gleichungen dieser Art können sein lösen und grafisch.

Also lasst uns entscheiden Zum Beispiel, grafisch Gleichung | X- 1| = 2.

Zuerst werden wir konstruieren Funktionsgrafiken bei = |X- 1|. Zeichnen wir zunächst einen Graphen der Funktion bei=X- 1:

Dieser Teil davon Grafik, die sich oberhalb der Achse befindet X Wir werden es nicht ändern. Für Sie X- 1 > 0 und daher | X-1|=X-1.

Der Teil des Diagramms, der sich unterhalb der Achse befindet X, lass uns darstellen symmetrisch relativ zu dieser Achse. Denn für diesen Teil X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Das Ergebnis Linie(durchgezogene Linie) und Wille Funktionsgraph y = | X—1|.

Diese Linie wird sich mit schneiden gerade bei= 2 an zwei Punkten: M 1 mit Abszisse -1 und M 2 mit Abszisse 3. Und dementsprechend die Gleichung | X- 1| =2 es wird zwei Wurzeln geben: X 1 = - 1, X 2 = 3.

Der aus dem Lateinischen wörtlich übersetzte Begriff (Modul) bedeutet „Maß“. Dieses Konzept wurde vom englischen Wissenschaftler R. Cotes in die Mathematik eingeführt. Und der deutsche Mathematiker K. Weierstrass führte das Modulzeichen ein – ein Symbol, das dieses Konzept beim Schreiben bezeichnet.

In Kontakt mit

Erstmals wird dieses Konzept in der Mathematik nach dem Programm der 6. Klasse studiert. weiterführende Schule. Einer Definition zufolge ist der Modul ein absoluter Wert reelle Zahl. Mit anderen Worten: Um den Modul einer reellen Zahl herauszufinden, müssen Sie ihr Vorzeichen verwerfen.

Grafisch absoluter Wert A bezeichnet als |a|.

Das Hauptunterscheidungsmerkmal dieses Konzepts besteht darin, dass es sich immer um eine nicht negative Größe handelt.

Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, nennt man Gegenzahlen. Wenn ein Wert positiv ist, ist sein Gegenteil negativ und Null ist sein Gegenteil.

Geometrische Bedeutung

Wenn wir das Konzept eines Moduls aus der Perspektive der Geometrie betrachten, dann bezeichnet es den Abstand, der in Einheitssegmenten vom Koordinatenursprung zu einem bestimmten Punkt gemessen wird. Diese Definition offenbart vollständig die geometrische Bedeutung des untersuchten Begriffs.

Grafisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken: |a| = OA.

Eigenschaften von absolutem Wert

Im Folgenden betrachten wir alle mathematischen Eigenschaften dieses Konzepts und Möglichkeiten, es in Form wörtlicher Ausdrücke zu schreiben:

Merkmale der Lösung von Gleichungen mit Modul

Wenn wir über das Lösen mathematischer Gleichungen und Ungleichungen sprechen, die Modul enthalten, müssen wir bedenken, dass Sie dieses Zeichen öffnen müssen, um sie zu lösen.

Wenn beispielsweise das Vorzeichen eines Absolutwerts einen mathematischen Ausdruck enthält, müssen vor dem Öffnen des Moduls die aktuellen mathematischen Definitionen berücksichtigt werden.

|A + 5| = A + 5, wenn A größer oder gleich Null ist.

5-A, wenn ein Wert kleiner als Null ist.

In einigen Fällen kann das Vorzeichen für jeden Wert der Variablen eindeutig ermittelt werden.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Konstruieren wir eine Koordinatenlinie, auf der wir alle Zahlenwerte markieren, deren Absolutwert 5 sein wird.

Zuerst müssen Sie eine Koordinatenlinie zeichnen, den Koordinatenursprung darauf markieren und die Größe eines Einheitssegments festlegen. Außerdem muss die Gerade eine Richtung haben. Nun müssen auf dieser Linie Markierungen angebracht werden, die der Größe eines Einheitssegments entsprechen.

Somit können wir sehen, dass es auf dieser Koordinatenlinie zwei für uns interessante Punkte mit den Werten 5 und -5 gibt.