Πρακτική εργασία: Μετασχηματισμός γραφημάτων συναρτήσεων. Πρακτική εργασία: Μετασχηματισμός γραφημάτων συναρτήσεων Φυσική έννοια της παραγώγου

Η παράγωγος μιας συνάρτησης $y = f(x)$ σε ένα δεδομένο σημείο $x_0$ είναι το όριο του λόγου της αύξησης μιας συνάρτησης προς την αντίστοιχη αύξηση του ορίσματός της, με την προϋπόθεση ότι η τελευταία τείνει στο μηδέν:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Η διαφοροποίηση είναι η λειτουργία εύρεσης της παραγώγου.

Πίνακας παραγώγων ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων

Βασικοί κανόνες διαφοροποίησης

1. Η παράγωγος του αθροίσματος (διαφορά) ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των παραγώγων

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Η παράγωγος ενός αθροίσματος (διαφορά) ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των παραγώγων.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Παράγωγο του προϊόντος

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Βρείτε την παράγωγο $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Παράγωγος του πηλίκου

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Βρείτε την παράγωγο $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Παράγωγο σύνθετη λειτουργίαισούται με το γινόμενο της παραγώγου της εξωτερικής συνάρτησης και της παραγώγου της εσωτερικής συνάρτησης

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Φυσική έννοια του παραγώγου

Αν ένα υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα και η συντεταγμένη του αλλάζει ανάλογα με το χρόνο σύμφωνα με το νόμο $x(t)$, τότε η στιγμιαία ταχύτητα αυτού του σημείου είναι ίση με την παράγωγο της συνάρτησης.

Το σημείο κινείται κατά μήκος της γραμμής συντεταγμένων σύμφωνα με το νόμο $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, όπου η $x(t)$ είναι η συντεταγμένη τη χρονική στιγμή $t$. Σε ποιο χρονικό σημείο η ταχύτητα του σημείου θα είναι ίση με $12$;

1. Η ταχύτητα είναι η παράγωγος του $x(t)$, οπότε ας βρούμε την παράγωγο της δεδομένης συνάρτησης

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. Για να βρούμε σε ποιο χρονικό σημείο $t$ η ταχύτητα ήταν ίση με $12$, δημιουργούμε και λύνουμε την εξίσωση:

Γεωμετρική σημασία της παραγώγου

Θυμηθείτε ότι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής δεν είναι παράλληλα με τους άξονεςσυντεταγμένες, μπορούν να γραφτούν με τη μορφή $y = kx + b$, όπου $k$ είναι η κλίση της γραμμής. Ο συντελεστής $k$ είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης μεταξύ της ευθείας γραμμής και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα $Ox$.

Η παράγωγος της συνάρτησης $f(x)$ στο σημείο $х_0$ είναι ίση με την κλίση $k$ της εφαπτομένης στο γράφημα σε αυτό το σημείο:

Επομένως, μπορούμε να δημιουργήσουμε μια γενική ισότητα:

$f"(x_0) = k = tana$

Στο σχήμα, η εφαπτομένη στη συνάρτηση $f(x)$ αυξάνεται, επομένως ο συντελεστής $k > 0$. Αφού $k > 0$, τότε $f"(x_0) = tana > 0$. Η γωνία $α$ μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης $Ox$ είναι οξεία.

Στο σχήμα, η εφαπτομένη στη συνάρτηση $f(x)$ μειώνεται, επομένως, ο συντελεστής $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Στο σχήμα, η εφαπτομένη στη συνάρτηση $f(x)$ είναι παράλληλη προς τον άξονα $Ox$, επομένως, ο συντελεστής $k = 0$, επομένως, $f"(x_0) = tan α = 0$. σημείο $x_0$ στο οποίο καλείται το $f "(x_0) = 0$ ακραίο.

Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης $y=f(x)$ και μια εφαπτομένη σε αυτό το γράφημα που σχεδιάζεται στο σημείο με την τετμημένη $x_0$. Βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης $f(x)$ στο σημείο $x_0$.

Η εφαπτομένη στο γράφημα αυξάνεται, επομένως, $f"(x_0) = tan α > 0$

Για να βρούμε το $f"(x_0)$, βρίσκουμε την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα $Ox$. Για να γίνει αυτό, χτίζουμε την εφαπτομένη στο τρίγωνο $ABC$.

Ας βρούμε την εφαπτομένη της γωνίας $BAC$. (Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25$

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Απάντηση: 0,25 $

Η παράγωγος χρησιμοποιείται επίσης για την εύρεση των διαστημάτων αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης:

Εάν $f"(x) > 0$ σε ένα διάστημα, τότε η συνάρτηση $f(x)$ αυξάνεται σε αυτό το διάστημα.

Αν $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = f(x)$. Βρείτε ανάμεσα στα σημεία $х_1,х_2,х_3…х_7$ εκείνα τα σημεία στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική.

Σε απάντηση, σημειώστε τον αριθμό αυτών των σημείων.

Η ευθεία y=3x+2 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=-12x^2+bx-10.

Δείξε λύση

Διάλυμα

Έστω x_0 η τετμημένη του σημείου της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=-12x^2+bx-10 από το οποίο διέρχεται η εφαπτομένη σε αυτή τη γραφική παράσταση. Η τιμή της παραγώγου στο σημείο x_0 είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης, δηλαδή y"(x_0)=-24x_0+b=3. Από την άλλη πλευρά, το σημείο εφαπτομένης ανήκει ταυτόχρονα και στη γραφική παράσταση του συνάρτηση και η εφαπτομένη, δηλαδή -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων

\begin(περιπτώσεις) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end (περιπτώσεις)

Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.

Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.

Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) (η οποία είναι μια διακεκομμένη γραμμή που αποτελείται από τρία ευθύγραμμα τμήματα). Χρησιμοποιώντας το σχήμα, υπολογίστε το F(9)-F(5), όπου το F(x) είναι ένα από τα αντιπαράγωγα της συνάρτησης f(x).

Δείξε λύση

Σύμφωνα με τον τύπο Newton-Leibniz, η διαφορά F(9)-F(5), όπου το F(x) είναι ένα από τα αντιπαράγωγα της συνάρτησης f(x), είναι ίση με την περιοχή του περιορισμένου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x), ευθείες y=0 , x=9 και x=5.

Από το γράφημα διαπιστώνουμε ότι το υποδεικνυόμενο καμπύλο τραπέζιο είναι ένα τραπέζι με βάσεις ίσες με 4 και 3 και ύψος 3. Το εμβαδόν του είναι ίσο

Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.

Δείξε λύση

Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα y=f"(x) - η παράγωγος της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-4; 10). Βρείτε τα διαστήματα της φθίνουσας συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, υποδεικνύουν το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.

Όπως είναι γνωστό, η συνάρτηση f(x) μειώνεται σε εκείνα τα διαστήματα σε κάθε σημείο των οποίων η παράγωγος f"(x) είναι μικρότερη από το μηδέν. Θεωρώντας ότι είναι απαραίτητο να βρεθεί το μήκος της μεγαλύτερης από αυτές, τρία τέτοια διαστήματα είναι φυσικά διακρίνεται από το σχήμα: (-4; -2) (0; 3);

Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.

Το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά - (5; 9) είναι 4.

Δείξε λύση

Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα y=f"(x) - η παράγωγος της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-8; 7). Βρείτε τον αριθμό των μέγιστων σημείων της συνάρτησης f(x) που ανήκουν το διάστημα [-6;

Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.

Το γράφημα δείχνει ότι η παράγωγος f"(x) της συνάρτησης f(x) αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην (σε τέτοια σημεία θα υπάρχει μέγιστο) σε ακριβώς ένα σημείο (μεταξύ -5 και -4) από το διάστημα [ -6 ] Επομένως, υπάρχει ακριβώς ένα μέγιστο σημείο στο διάστημα [-6].

Δείξε λύση

Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y=f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-2; 8).

Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.

Να προσδιορίσετε τον αριθμό των σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης f(x) είναι ίση με 0.

Δείξε λύση

Ο γωνιακός συντελεστής της ευθείας προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=-x^2+5x-7 σε ένα αυθαίρετο σημείο x_0 είναι ίσος με y"(x_0). Αλλά y"=-2x+5, που σημαίνει y" (x_0)=-2x_0+5 ο συντελεστής της ευθείας y=-3x+4 είναι ίσος με -3 Οι παράλληλες ευθείες έχουν τους ίδιους γωνιακούς συντελεστές -2x_0 +5=-3.

Παίρνουμε: x_0 = 4.

Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.

Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) και τα σημεία -6, -1, 1, 4 είναι σημειωμένα στην τετμημένη. Σε ποιο από αυτά τα σημεία η παράγωγος είναι η μικρότερη; Σημειώστε αυτό το σημείο στην απάντησή σας.

Σεργκέι Νικιφόροφ

Εάν η παράγωγος μιας συνάρτησης έχει σταθερό πρόσημο σε ένα διάστημα και η ίδια η συνάρτηση είναι συνεχής στα όριά της, τότε τα οριακά σημεία προστίθενται και στα αυξανόμενα και στα φθίνοντα διαστήματα, κάτι που αντιστοιχεί πλήρως στον ορισμό των αυξανόμενων και φθίνουσες συναρτήσεις.

Φαρίτ Γιαμάεφ 26.10.2016 18:50

Γειά σου. Πώς (σε ποια βάση) μπορούμε να πούμε ότι στο σημείο που η παράγωγος είναι ίση με μηδέν, η συνάρτηση αυξάνεται. Δώστε λόγους. Διαφορετικά, είναι απλώς ιδιοτροπία κάποιου. Με ποιο θεώρημα; Και επίσης απόδειξη. Σας ευχαριστώ.

Γραφείο βοήθειας

Η τιμή της παραγώγου σε ένα σημείο δεν σχετίζεται άμεσα με την αύξηση της συνάρτησης στο διάστημα. Εξετάστε, για παράδειγμα, συναρτήσεις - όλες αυξάνονται στο διάστημα

Βλάντλεν Πισάρεφ 02.11.2016 22:21

Αν μια συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα (a;b) και είναι ορισμένη και συνεχής στα σημεία a και b, τότε αυξάνεται στο διάστημα . Εκείνοι. Το σημείο x=2 περιλαμβάνεται σε αυτό το διάστημα.

Αν και, κατά κανόνα, η αύξηση και η μείωση θεωρούνται όχι σε ένα τμήμα, αλλά σε ένα διάστημα.

Αλλά στο ίδιο το σημείο x=2, η συνάρτηση έχει ένα τοπικό ελάχιστο. Και πώς να εξηγήσουμε στα παιδιά ότι όταν ψάχνουν για πόντους αύξησης (μείωσης), δεν μετράμε τους πόντους τοπικού άκρου, αλλά μπαίνουμε σε διαστήματα αύξησης (μείωσης).

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το πρώτο μέρος της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης είναι για " μεσαία ομάδα νηπιαγωγείο», τότε ίσως τέτοιες αποχρώσεις είναι πάρα πολλές.

Ξεχωριστά, πολλές ευχαριστίες σε όλο το προσωπικό για την «Επίλυση της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης» - ένας εξαιρετικός οδηγός.

Σεργκέι Νικιφόροφ

Μια απλή εξήγηση μπορεί να ληφθεί αν ξεκινήσουμε από τον ορισμό μιας αύξουσας/φθίνουσας συνάρτησης. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι ακούγεται ως εξής: μια συνάρτηση ονομάζεται αύξηση/μείωση σε ένα διάστημα εάν ένα μεγαλύτερο όρισμα της συνάρτησης αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή της συνάρτησης. Αυτός ο ορισμός δεν χρησιμοποιεί την έννοια της παραγώγου με κανέναν τρόπο, επομένως δεν μπορούν να προκύψουν ερωτήματα σχετικά με τα σημεία όπου εξαφανίζεται η παράγωγος.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Καλημέρα. Εδώ στα σχόλια βλέπω πεποιθήσεις ότι πρέπει να συμπεριληφθούν τα όρια. Ας πούμε ότι συμφωνώ με αυτό. Αλλά παρακαλούμε δείτε τη λύση στο πρόβλημα 7089. Εκεί, κατά τον καθορισμό αυξανόμενων διαστημάτων, τα όρια δεν περιλαμβάνονται. Και αυτό επηρεάζει την απάντηση. Εκείνοι. οι λύσεις στις εργασίες 6429 και 7089 έρχονται σε αντίθεση μεταξύ τους. Παρακαλώ διευκρινίστε αυτήν την κατάσταση.

Αλεξάντερ Ιβάνοφ

Οι εργασίες 6429 και 7089 έχουν εντελώς διαφορετικές ερωτήσεις.

Το ένα αφορά τα αυξανόμενα διαστήματα και το άλλο τα διαστήματα με θετική παράγωγο.

Δεν υπάρχει αντίφαση.

Τα άκρα περιλαμβάνονται στα διαστήματα αύξησης και μείωσης, αλλά τα σημεία στα οποία η παράγωγος είναι ίση με μηδέν δεν περιλαμβάνονται στα διαστήματα στα οποία η παράγωγος είναι θετική.

Α Ζ 28.01.2019 19:09

Συνάδελφοι, υπάρχει η έννοια της αύξησης σε ένα σημείο

(βλ. Fichtenholtz για παράδειγμα)

και η κατανόησή σας για την αύξηση στο x=2 είναι αντίθετη με τον κλασικό ορισμό.

Η αύξηση και η μείωση είναι μια διαδικασία και θα ήθελα να τηρήσω αυτήν την αρχή.

Σε κάθε διάστημα που περιέχει το σημείο x=2, η συνάρτηση δεν αυξάνεται. Επομένως, η συμπερίληψη ενός δεδομένου σημείου x=2 είναι μια ειδική διαδικασία.

Συνήθως, για να αποφευχθεί η σύγχυση, η συμπερίληψη των άκρων των διαστημάτων συζητείται χωριστά.

Αλεξάντερ Ιβάνοφ

Μια συνάρτηση y=f(x) λέγεται ότι αυξάνεται σε ένα ορισμένο διάστημα εάν μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.

Στο σημείο x=2 η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη και στο διάστημα (2; 6) η παράγωγος είναι θετική, που σημαίνει στο διάστημα )