2. Όριο και συνέχεια συνάρτησης δύο μεταβλητών

Οι έννοιες του ορίου και της συνέχειας μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι ανάλογες με την περίπτωση μιας μεταβλητής.

Έστω ένα αυθαίρετο σημείο του επιπέδου. - η γειτονιά ενός σημείου είναι το σύνολο όλων των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την ανισότητα. Με άλλα λόγια, - η γειτονιά ενός σημείου είναι όλα τα εσωτερικά σημεία ενός κύκλου με κέντρο σε ένα σημείο και μια ακτίνα.

Ορισμός 2. Αριθμός ονομάζεται το όριο μιας συνάρτησης σε (ή σε ένα σημείο) εάν για οποιονδήποτε αυθαίρετα μικρό θετικό αριθμό υπάρχει (ανάλογα) τέτοιος ώστε η ανισότητα να ισχύει για όλους και να ικανοποιεί την ανισότητα.

Το όριο ορίζεται ως εξής:

Παράδειγμα 1. Βρείτε το όριο.

Λύση. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία, από όπου. Όταν το έχουμε αυτό. Τότε

Ορισμός 3. Μια συνάρτηση ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο αν: 1) ορίζεται στο σημείο και στη γειτονιά του. 2) έχει ένα πεπερασμένο όριο. 3) αυτό το όριο είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο, δηλ. .

Μια συνάρτηση ονομάζεται συνεχής σε κάποιο τομέα αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο αυτού του τομέα.

Τα σημεία στα οποία δεν ικανοποιείται η συνθήκη συνέχειας ονομάζονται σημεία ασυνέχειας αυτής της συνάρτησης. Σε ορισμένες συναρτήσεις, τα σημεία διακοπής σχηματίζουν ολόκληρες γραμμές διακοπής. Για παράδειγμα, μια συνάρτηση έχει δύο γραμμές διακοπής: axis() και axis().

Παράδειγμα 2. Βρείτε σημεία διακοπής συναρτήσεων.

Λύση. Αυτή η συνάρτηση δεν ορίζεται σε εκείνα τα σημεία όπου εξαφανίζεται ο παρονομαστής, δηλ. στα σημεία όπου ή. Είναι ένας κύκλος με κέντρο στην αρχή και με ακτίνα. Αυτό σημαίνει ότι η γραμμή ασυνέχειας της αρχικής συνάρτησης θα είναι ένας κύκλος.

Διακριτά Μαθηματικά

Όλες οι λογικές πράξεις που συζητήθηκαν στο 3.2 ισχύουν για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Τώρα θα εξετάσουμε τις συναρτήσεις F(x1, x2,…, xn), όπου xi είναι λογικές μεταβλητές που λαμβάνουν τιμές μηδέν ή ένα...

Αποδείξεις ανισοτήτων χρησιμοποιώντας μονοτονικές ακολουθίες

Αν = a1b1. τότε =а1b1+а2b2 Θεώρημα 1. Έστω (а1а2)(b1b2) μονότονες ακολουθίες. Τότε Απόδειξη Πράγματι, - =a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2) (b1-b2) Εφόσον οι ακολουθίες (a1a2)(b1b2) είναι μονότονες, οι αριθμοί a1-a2 και b1-b2 έχουν το ίδιο πρόσημο. ..

Μαθηματικός προγραμματισμός

Η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή κριτηρίων βελτιστοποίησης για προβλήματα με περιορισμούς με τη μορφή ισοτήτων. Οι Kuhn και Tucker γενίκευσαν αυτή την προσέγγιση στην περίπτωση ενός γενικού περιορισμένου μη γραμμικού προγραμματισμού προβλήματος...

Ελάχιστη και πολυστοχική βελτιστοποίηση

Έστω μια συνάρτηση f(x) για το x; x, x = (x1, ..., xn). Θεωρήστε όλες τις πρώτες και δεύτερες παράγωγές του στο σημείο: = 0, ; || || , είναι ένας θετικά (αρνητικά) καθορισμένος πίνακας. Στη συνέχεια, σε τέτοια σημεία, θα τηρηθεί ένα ελάχιστο (μέγιστο) αντίστοιχα.

Ελάχιστο συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Όρια. Σύγκριση απειροελάχιστων

Κατά τη μελέτη των γραφημάτων διαφόρων συναρτήσεων, μπορεί κανείς να δει ότι όταν το όρισμα της συνάρτησης τείνει σε κάποια τιμή, είτε πεπερασμένη είτε άπειρη, η ίδια η συνάρτηση μπορεί επίσης να λάβει έναν αριθμό τιμών ...

Εφαρμογή της παραγώγου στην επίλυση προβλημάτων

Ορισμός 3. Έστω η συνάρτηση y=f(x) ορισμένη σε κάποια γειτονιά του σημείου a ή σε κάποια σημεία αυτής της γειτονιάς. Η συνάρτηση y=f(x) τείνει στο όριο b(yb) όπως το x τείνει στο αν για κάθε θετικό αριθμό, όσο μικρό κι αν είναι...

Έστω η συνάρτηση f(x) να οριστεί στο (a, + ?). Ο αριθμός Α ονομάζεται όριο της συνάρτησης f(x) για x > + ? (συμβολίζεται με A = lim x > + ? f(x)), εάν; ? > 0 ? Ν: ? x > N; |f(x) ? α|< ?. Пусть функция f(x) определена на (? ?,a)...

Επίλυση εργασιών στα ανώτερα μαθηματικά

Έστω η συνάρτηση f(x) να οριστεί σε κάποια διάτρητη γειτονιά του σημείου x0 . Ο αριθμός Α ονομάζεται όριο της συνάρτησης f(x) για x > x0 (ή στο σημείο x0), αν υπάρχει; > 0 υπάρχει; > 0 τέτοιο ώστε για όλα τα x για τα οποία 0< |x ? x0| < ?...

Συγκριτική ανάλυση μεθόδων βελτιστοποίησης

Θα θεωρήσουμε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών f =f (x1, ..., xn) ως συναρτήσεις που ορίζονται στα σημεία x του n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου En: f =f (x). 1. Το σημείο x * En ονομάζεται συνολικό ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f (x) ...

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Πολλά φαινόμενα που συμβαίνουν στη φύση, την οικονομία, την κοινωνική ζωή δεν μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση μιας μεταβλητής. Για παράδειγμα, η κερδοφορία μιας επιχείρησης εξαρτάται από το κέρδος, το πάγιο κεφάλαιο και το κεφάλαιο κίνησης ...

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Οι έννοιες του ορίου και της συνέχειας μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι ανάλογες με την περίπτωση μιας μεταβλητής. Έστω ένα αυθαίρετο σημείο του επιπέδου. - η γειτονιά ενός σημείου είναι το σύνολο όλων των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την ανισότητα ...

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Ορισμός 7. Σημείο ονομάζεται ελάχιστο (μέγιστο) σημείο μιας συνάρτησης αν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου που για όλα τα σημεία αυτής της γειτονιάς η ανισότητα, ()...

Ορισμός 1

Εάν για κάθε ζεύγος $(x,y)$ τιμών δύο ανεξάρτητων μεταβλητών από κάποιο τομέα, εκχωρείται μια συγκεκριμένη τιμή $z$, τότε η $z$ λέγεται ότι είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών $(x, y)$ στον δεδομένο τομέα.

Σημείωση: $z=f(x,y)$.

Έστω μια συνάρτηση $z=f(x,y)$ δύο ανεξάρτητων μεταβλητών $(x,y)$.

Παρατήρηση 1

Εφόσον οι μεταβλητές $(x,y)$ είναι ανεξάρτητες, η μία από αυτές μπορεί να αλλάξει ενώ η άλλη παραμένει σταθερή.

Ας δώσουμε στη μεταβλητή $x$ μια αύξηση $\Delta x$, διατηρώντας την τιμή της μεταβλητής $y$ αμετάβλητη.

Τότε η συνάρτηση $z=f(x,y)$ θα λάβει μια αύξηση, η οποία θα ονομάζεται μερική αύξηση της συνάρτησης $z=f(x,y)$ σε σχέση με τη μεταβλητή $x$. Ονομασία:

Ορισμός 2

Η μερική παράγωγος σε σχέση με τη μεταβλητή $x$ της δεδομένης συνάρτησης $z=f(x,y)$ είναι το όριο του λόγου της μερικής αύξησης $\Delta _(x) z$ της δεδομένης συνάρτησης προς το αύξηση $\Delta x$ σε $\Delta x\ σε $0.

Σημείωση: $z"_(x) ,\, \, f"_(x) (x,y),\, \, \frac(\μερικό z)(\μερικό x) ,\, \, \frac( \μερική f)(\μερική x) $.

Παρατήρηση 2

\[\frac(\μερικό z)(\μερικό x) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(\Delta _(x) z)(\Delta x) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(f(x+\Delta x,y)-f(x,y))(\Delta x) .\]

Ας δώσουμε στη μεταβλητή $y$ μια αύξηση $\Delta y$, διατηρώντας την τιμή της μεταβλητής $x$ αμετάβλητη.

Τότε η συνάρτηση $z=f(x,y)$ θα λάβει μια αύξηση, η οποία θα ονομάζεται μερική αύξηση της συνάρτησης $z=f(x,y)$ σε σχέση με τη μεταβλητή $y$. Ονομασία:

Ορισμός 3

Η μερική παράγωγος σε σχέση με τη μεταβλητή $y$ της δεδομένης συνάρτησης $z=f(x,y)$ είναι το όριο του λόγου της μερικής αύξησης $\Delta _(y) z$ της δεδομένης συνάρτησης προς το αύξηση $\Delta y$ σε $\Delta y\ σε $0.

Σημείωση: $z"_(y) ,\, \, f"_(y) (x,y),\, \, \frac(\μερικό z)(\μερικό y) ,\, \, \frac( \μερική f)(\μερική y) $.

Παρατήρηση 3

Εξ ορισμού μιας μερικής παραγώγου, έχουμε:

\[\frac(\μερικό z)(\μερικό y) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(\Delta _(y) z)(\Delta y) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))(\Delta y) .\]

Σημειώστε ότι οι κανόνες για τον υπολογισμό της μερικής παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης συμπίπτουν με τους κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής. Ωστόσο, κατά τον υπολογισμό της μερικής παραγώγου, είναι απαραίτητο να θυμόμαστε σε ποια μεταβλητή αναζητείται η μερική παράγωγος.

Παράδειγμα 1

Λύση:

$\frac(\μερικό z)(\μερικό x) =(x+y^(2))"_(x) =1$ (στη μεταβλητή $x$),

$\frac(\μερικό z)(\μερικό y) =(x+y^(2))"_(y) =2y$ (σε σχέση με $y$).

Παράδειγμα 2

Προσδιορίστε τις μερικές παραγώγους μιας δεδομένης συνάρτησης:

στο σημείο (1;2).

Λύση:

Με τον ορισμό των μερικών παραγώγων, παίρνουμε:

$\frac(\μερικό z)(\μερικό x) =(x^(2) +y^(3))"_(x) =2x$ (στη μεταβλητή $x$),

$\frac(\μερικό z)(\μερικό y) =(x^(2) +y^(3))"_(y) =3y^(2) $ (σε $y$).

\[\αριστερά. \frac(\μερικό z)(\μερικό x) \δεξιά|_((1;2)) =2\cdot 1=2, \αριστερά. \frac(\μερικό z)(\μερικό y) \right|_((1;2)) =3\cdot 2^(2) =12.\]

Ορισμός 4

Εάν για κάθε τριπλό $(x,y,z)$ τιμών τριών ανεξάρτητων μεταβλητών από κάποιον τομέα εκχωρείται μια συγκεκριμένη τιμή $w$, τότε το $w$ λέγεται ότι είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών $(x, y,z)$ σε αυτήν την περιοχή.

Σημείωση: $w=f(x,y,z)$.

Ορισμός 5

Εάν για κάθε συλλογή $(x,y,z,...,t)$ τιμών ανεξάρτητων μεταβλητών από κάποιο τομέα εκχωρείται μια συγκεκριμένη τιμή $w$, τότε η $w$ λέγεται ότι είναι συνάρτηση του μεταβλητές $(x,y, z,...,t)$ στον δεδομένο τομέα.

Σημείωση: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Για μια συνάρτηση τριών ή περισσότερων μεταβλητών, με τον ίδιο τρόπο όπως για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, προσδιορίζονται μερικές παράγωγοι σε σχέση με καθεμία από τις μεταβλητές:

$\frac(\partial w)(\partial z) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(\Delta _(z) w)(\Delta z) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z))(\Delta z) $;

$\frac(\partial w)(\partial t) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(\Delta _(t) w)(\Delta t) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t))( \Δέλτα τ)$.

Παράδειγμα 3

Προσδιορίστε τις μερικές παραγώγους μιας δεδομένης συνάρτησης:

Λύση:

Με τον ορισμό των μερικών παραγώγων, παίρνουμε:

$\frac(\μερικό w)(\μερικό x) =(x+y^(2) +2z)"_(x) =1$ (στη μεταβλητή $x$),

$\frac(\μερικό w)(\μερικό y) =(x+y^(2) +2z)"_(y) =2y$ (στη μεταβλητή $y$),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2z)"_(z) =2$ (στη μεταβλητή $z$).

Παράδειγμα 4

Προσδιορίστε τις μερικές παραγώγους μιας δεδομένης συνάρτησης:

στο σημείο (1;2;1).

Λύση:

Με τον ορισμό των μερικών παραγώγων, παίρνουμε:

$\frac(\μερικό w)(\μερικό x) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(x) =1$ (στη μεταβλητή $x$),

$\frac(\μερικό w)(\μερικό y) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(y) =2y$ (σε $y$),

$\frac(\μερικό w)(\μερικό z) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(z) =\frac(2)(z) $ (σε $z$) .

Τιμές μερικών παραγώγων σε ένα δεδομένο σημείο:

\[\αριστερά. \frac(\partial w)(\partial x) \right|_((1;2;1)) =1, \αριστερά. \frac(\partial w)(\partial y) \right|_((1;2;1)) =2\cdot 2=4, \αριστερά. \frac(\μερικό w)(\μερικό z) \right|_((1;2;1)) =\frac(2)(1) =2.\]

Παράδειγμα 5

Προσδιορίστε τις μερικές παραγώγους μιας δεδομένης συνάρτησης:

Λύση:

Με τον ορισμό των μερικών παραγώγων, παίρνουμε:

$\frac(\μερικό w)(\μερικό x) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(x) =\frac(3)(x ) $ (κατά μεταβλητή $x$),

$\frac(\μερικό w)(\μερικό y) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(y) =2y$ (σε $y $ ),

$\frac(\μερικό w)(\μερικό z) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(z) =2$ (σε $z $ ),

$\frac(\partial w)(\partial t) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(t) =2t$ (σε $t $ ).

Πολλά φαινόμενα που συμβαίνουν στη φύση, την οικονομία, την κοινωνική ζωή δεν μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση μιας μεταβλητής. Για παράδειγμα, η κερδοφορία μιας επιχείρησης εξαρτάται από το κέρδος, το πάγιο κεφάλαιο και το κεφάλαιο κίνησης. Για τη μελέτη αυτού του είδους εξαρτήσεων, εισάγεται η έννοια της συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Σε αυτή τη διάλεξη εξετάζονται οι συναρτήσεις δύο μεταβλητών, καθώς όλες οι βασικές έννοιες και τα θεωρήματα που διατυπώνονται για συναρτήσεις δύο μεταβλητών μπορούν εύκολα να γενικευθούν στην περίπτωση μεγαλύτερου αριθμού μεταβλητών.

Αφήνω σιείναι το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών πραγματικών αριθμών .

Ορισμός 1Εάν, σύμφωνα με κάποιο νόμο, κάθε διατεταγμένο ζεύγος αριθμών σχετίζεται με ένα μοναδικό πραγματικός αριθμός, μετά το λένε αυτό συνάρτηση δύο μεταβλητών ή .Οι αριθμοί καλούνται ανεξάρτητες μεταβλητέςή ορίσματα συνάρτησης, και ο αριθμός είναι εξαρτημένη μεταβλητή.

Για παράδειγμα, ο τύπος που εκφράζει τον όγκο ενός κυλίνδρου είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών: - ακτίνα βάσης και - ύψος.

Ένα ζεύγος αριθμών μερικές φορές ονομάζεται σημείο και μια συνάρτηση δύο μεταβλητών μερικές φορές ονομάζεται συνάρτηση σημείου.

Τιμή συνάρτησης σε μια τελεία δηλώνουν ή και καλέστε ιδιωτική τιμή συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Το σύνολο όλων των σημείων στα οποία ορίζεται η συνάρτηση , λέγεται τομέα ορισμού αυτή τη λειτουργία. Για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρο το επίπεδο συντεταγμένων ή το τμήμα του που οριοθετείται από μία ή περισσότερες γραμμές.

Για παράδειγμα, το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι ολόκληρο το επίπεδο και οι συναρτήσεις είναι ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο την αρχή ( ή .

Οι έννοιες του ορίου και της συνέχειας μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι ανάλογες με την περίπτωση μιας μεταβλητής.

Έστω ένα αυθαίρετο σημείο του επιπέδου. - η γειτονιά του σημείου ονομάζεται το σύνολο όλων των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την ανισότητα . Με άλλα λόγια, - η γειτονιά ενός σημείου είναι όλα τα εσωτερικά σημεία ενός κύκλου με κέντρο σε ένα σημείο και ακτίνα .

Ορισμός 2Ο αριθμός καλείται όριο λειτουργίαςστο (ή στο σημείο ) αν για οποιονδήποτε αυθαίρετα μικρό θετικό αριθμό υπάρχει (ανάλογα με ) τέτοιος ώστε για όλα ικανοποιώντας την ανισότητα, την ανισότητα .

Το όριο ορίζεται ως εξής: ή .

Παράδειγμα 1Βρείτε το όριο .

Λύση.Εισάγουμε τη σημειογραφία , που . Στο έχουμε αυτό. Τότε

.

Ορισμός 3Η συνάρτηση καλείται συνεχής σε ένα σημείο, εάν: 1) ορίζεται στο σημείο και στη γειτονιά του. 2) έχει ένα πεπερασμένο όριο. 3) αυτό το όριο είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο , δηλ. .

Λειτουργία που ονομάζεται συνεχής σε κάποια περιοχή, εάν είναι συνεχής σε κάθε σημείο αυτής της περιοχής.

Τα σημεία όπου η συνθήκη συνέχειας δεν ικανοποιείται καλούνται σημεία θραύσηςαυτή τη λειτουργία. Σε ορισμένες συναρτήσεις, τα σημεία διακοπής σχηματίζουν ολόκληρες γραμμές διακοπής. Για παράδειγμα, μια συνάρτηση έχει δύο γραμμές διακοπής: axis() και axis().

Παράδειγμα 2Βρείτε σημεία διακοπής συναρτήσεων .

Λύση.Αυτή η συνάρτηση δεν ορίζεται σε εκείνα τα σημεία όπου εξαφανίζεται ο παρονομαστής, δηλ. στα σημεία όπου ή . Είναι ένας κύκλος με κέντρο στην αρχή και με ακτίνα . Αυτό σημαίνει ότι η γραμμή ασυνέχειας της αρχικής συνάρτησης θα είναι ένας κύκλος.

2 Μερικά παράγωγα πρώτης τάξης. πλήρες διαφορικό.
Μερικά παράγωγα υψηλότερων τάξεων

Έστω μια συνάρτηση δύο μεταβλητών . Ας αυξήσουμε το όρισμα και ας αφήσουμε το όρισμα αμετάβλητο. Στη συνέχεια, η συνάρτηση θα λάβει μια αύξηση που καλείται μερική αύξηση κατά μεταβλητήκαι σημειώνεται:

Ομοίως, διορθώνοντας το όρισμα και αυξάνοντας το όρισμα, παίρνουμε ιδιωτική αύξηση μιας συνάρτησης σε μια μεταβλητή:

Η τιμή ονομάζεται πλήρης αύξηση της συνάρτησης στο σημείο .

Ορισμός 4 Μερική παράγωγος συνάρτησης δύο μεταβλητών μία από αυτές τις μεταβλητές είναι το όριο του λόγου της αντίστοιχης μερικής αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση της δεδομένης μεταβλητής όταν η τελευταία τείνει στο μηδέν (αν υπάρχει αυτό το όριο).

Η μερική παράγωγος συμβολίζεται ως: ή, ή .

Έτσι, εξ ορισμού 4 έχουμε:

Μερικές παράγωγες συναρτήσεις υπολογίζονται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες και τύπους ως συνάρτηση μιας μεταβλητής, ενώ λαμβάνεται υπόψη ότι κατά τη διαφοροποίηση σε σχέση με τη μεταβλητή, θεωρείται σταθερή και όταν διαφοροποιείται ως προς τη μεταβλητή θεωρείται σταθερή.

Παράδειγμα 3Βρείτε μερικές παραγώγους συναρτήσεων:

Λύση:

1 Για να βρείτε, σκεφτείτε σταθερό και διαφοροποιήσιμο ως συνάρτηση μιας μεταβλητής:

Ομοίως, υποθέτοντας σταθερή τιμή, βρίσκουμε:

.

.

Ορισμός 5 Το συνολικό διαφορικό μιας συνάρτησης είναι το άθροισμα των γινομένων των μερικών παραγώγων αυτής της συνάρτησης και των προσαυξήσεων των αντίστοιχων ανεξάρτητων μεταβλητών, δηλ.

.

Με μη διορθωμένα: , και ο τύπος για το συνολικό διαφορικό μπορεί να γραφτεί ως

ή .

Παράδειγμα 4Βρείτε το πλήρες διαφορικό μιας συνάρτησης .

Λύση.Επειδή , τότε με τον τύπο του συνολικού διαφορικού βρίσκουμε

.

Οι μερικοί παράγωγοι ονομάζονται και μερικοί παράγωγοι πρώτης τάξης.

Ορισμός 6 Μερικά παράγωγα δεύτερης τάξης οι συναρτήσεις ονομάζονται μερικές παράγωγοι μερικών παραγώγων πρώτης τάξης.

Υπάρχουν τέσσερις μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης. Ορίζονται ως εξής:

Ή ; ή ;

Ή ; ή .

Παρόμοια ορίζονται και τα επί μέρους παράγωγα της 3ης, 4ης και ανώτερης τάξης. Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση έχουμε:

; και τα λοιπά.

Οι δεύτερες ή ανώτερες μερικές παράγωγοι που λαμβάνονται σε σχέση με διαφορετικές μεταβλητές ονομάζονται μικτά επιμέρους παράγωγα.Για λειτουργία αυτά είναι τα παράγωγα. Σημειώστε ότι στην περίπτωση που οι μικτές παράγωγοι είναι συνεχείς, τότε γίνεται η ισότητα.

Παράδειγμα 5Να βρείτε μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης της συνάρτησης .

Λύση.Οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης για αυτήν τη συνάρτηση βρίσκονται στο παράδειγμα 3:

Διαφοροποιητικό και σε σχέση με μεταβλητές Χκαι y, παίρνουμε:

3 Ακρότατο συνάρτησης πολλών μεταβλητών.
Απαραίτητο και επαρκείς προϋποθέσειςτην ύπαρξη ακραίου

Ορισμός 7Το σημείο λέγεται ελάχιστος (μέγιστος) βαθμόςσυνάρτηση , αν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου που για όλα τα σημεία από αυτή τη γειτονιά η ανισότητα , ().

Ελάχιστα και μέγιστα σημεία συνάρτησης που ονομάζεται ακραία σημεία, και οι τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία είναι ακραία λειτουργία(ελάχιστο και μέγιστο, αντίστοιχα).

Σημειώστε ότι το ελάχιστο και το μέγιστο της συνάρτησης έχουν τοπικόςχαρακτήρα, αφού η τιμή της συνάρτησης σε ένα σημείο συγκρίνεται με τις τιμές της σε σημεία αρκετά κοντά στο .

Θεώρημα 1(απαραίτητες ακραίες συνθήκες). Αν είναι ένα ακραίο σημείο μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης, τότε οι μερικές παράγωγοί της και σε αυτό το σημείο είναι ίσες με μηδέν: .

Τα σημεία στα οποία οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης είναι ίσες με μηδέν ονομάζονται κρίσιμοςή ακίνητος. Σε κρίσιμα σημεία η συνάρτηση μπορεί να έχει ή όχι ακραίο.

Θεώρημα 2(επαρκής ακραία συνθήκη) Έστω η συνάρτηση : α) να οριστεί σε κάποια γειτονιά του κρίσιμου σημείου , όπου και ; β) έχει συνεχείς μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης . Τότε αν , τότε η συνάρτηση στο σημείο έχει ένα άκρο: μέγιστο αν Α<0; минимум, если А>0; αν , τότε η συνάρτηση δεν έχει ακρότατο στο σημείο. Πότε το ζήτημα της παρουσίας ενός εξτρέμ παραμένει ανοιχτό.

Κατά τη μελέτη μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών για ένα άκρο, συνιστάται η χρήση του ακόλουθου σχήματος:

1 Βρείτε μερικές παραγώγους πρώτης τάξης: και .

2 Λύστε το σύστημα εξισώσεων και βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.

3 Βρείτε μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης: , , .

4 Υπολογίστε τις τιμές των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης σε καθεμία

κρίσιμο σημείο και, χρησιμοποιώντας επαρκείς συνθήκες, βγάλτε συμπέρασμα για την ύπαρξη ακραίου.

5 Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης.

Παράδειγμα 6Βρείτε τα άκρα μιας συνάρτησης .

Λύση:

1 Εύρεση μερικών παραγώγων και :

; .

2 Για να προσδιορίσουμε τα κρίσιμα σημεία, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:

ή

Από την πρώτη εξίσωση του συστήματος βρίσκουμε: . Αντικατάσταση της τιμής που βρέθηκε yστη δεύτερη εξίσωση παίρνουμε:

, , ,

.

Εύρεση αξιών y, που αντιστοιχεί στις τιμές . Τιμές αντικατάστασης στην εξίσωση, παίρνουμε: ; Ο πίνακας των βασικών αόριστων ολοκληρωμάτων πληροί την ισότητα.

Λύση.Διαχωρίζουμε το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης:

.

Λάβαμε το integrand, επομένως, η ενσωμάτωση εκτελείται σωστά.

Ας αποδείξουμε για παράδειγμα (7).

ας ( x k, y k) → (Χ 0 , στο 0) ((x k, y k) ≠ (Χ 0 , στο 0)); τότε

Έτσι, το όριο στην αριστερή πλευρά του (9) υπάρχει και είναι ίσο με τη δεξιά πλευρά του (9), και αφού η ακολουθία ( x k, y k) τείνει να ( Χ 0 , στο 0) σύμφωνα με οποιονδήποτε νόμο, τότε αυτό το όριο είναι ίσο με το όριο της συνάρτησης φά (Χ, y) ∙φ (Χ, y) στο σημείο ( Χ 0 , στο 0).

Θεώρημα.εάν λειτουργία φά (Χ, y) έχει μη μηδενικό όριο στο σημείο ( Χ 0 , στο 0), δηλ.

τότε υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για όλα Χ, στο

ικανοποιεί την ανισότητα

Επομένως, για τέτοια (Χ, y)

εκείνοι. ισχύει η ανισότητα (11). Από την ανισότητα (12) για τα υποδεικνυόμενα (Χ, y) πρέπει

ΕΝΑ< 0 (сохранение знака).

Εξ ορισμού, η συνάρτηση φά(Χ) = φά (Χ 1 , …, x n) = ΕΝΑέχει ένα όριο στο σημείο

(γράφουν περισσότερα φά(Χ) → ΕΝΑ (Χ → Χ 0)) αν ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου Χ 0 , εκτός ίσως από τον εαυτό της, και αν υπάρχει όριο

όποια και αν είναι η προσπάθεια για ΧΑκολουθία 0 σημείων Χκαπό την καθορισμένη γειτονιά ( κ= 1, 2, ...) εκτός από Χ 0 .

Ένας άλλος ισοδύναμος ορισμός είναι ο εξής: συνάρτηση φάέχει στο σημείο Χ 0 όριο ίσο με ΕΝΑ, αν ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου Χ 0 , εκτός ίσως από τον εαυτό του, και για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε

για όλα Χικανοποιώντας τις ανισότητες

0 < |Χ – Χ 0 | < δ.

Αυτός ο ορισμός είναι με τη σειρά του ισοδύναμος με τον ακόλουθο: για κάθε ε > 0 υπάρχει μια γειτονιά U (Χ 0 ) σημεία Χ 0 τέτοια που για όλους Χ

Προφανώς, αν ο αριθμός ΕΝΑυπάρχει ένα όριο φά(Χ) v Χ 0, λοιπόν ΕΝΑυπάρχει όριο λειτουργίας φά(Χ 0 + η) από ηστο σημείο μηδέν:

και αντίστροφα.

Σκεφτείτε κάποια λειτουργία φά, δίνεται σε όλα τα σημεία της γειτονιάς του σημείου Χ 0 , εκτός ίσως από την τελεία Χ 0; ας ω = (ω 1 , ..., ω Π) είναι ένα αυθαίρετο διάνυσμα μήκους ένα (|ω| = 1) και t> 0 είναι βαθμωτή. Προβολή σημείων Χ 0 + tω (0 < t) σχηματίζουν την εξερχόμενη Χ 0 ακτίνα προς την κατεύθυνση του διανύσματος ω. Για κάθε ω, μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση

από μια βαθμωτή μεταβλητή t, όπου δ ω είναι αριθμός που εξαρτάται από το ω. Το όριο αυτής της συνάρτησης (από μία μεταβλητή t)

αν υπάρχει, είναι φυσικό να ονομαστεί το όριο φάστο σημείο Χ 0 προς την κατεύθυνση του διανύσματος ω.

Θα γράψω

Μπορείτε να μιλήσετε για το όριο φά, πότε Χ → ∞:

Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός πεπερασμένου αριθμού ΕΝΑΗ ισότητα (14) πρέπει να γίνει κατανοητή με την έννοια ότι για οποιοδήποτε ε > 0 μπορεί κανείς να ορίσει τέτοιο Ν> 0, που για πόντους Χ, για το οποίο | Χ| > Ν, λειτουργία φάορίζεται και η ανισότητα

Άρα το όριο της συνάρτησης φά(Χ) = φά(Χ 1 , ..., x n)από ΠΟι μεταβλητές ορίζονται αναλογικά με τον ίδιο τρόπο όπως για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών.

Έτσι, στραφούμε στον ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Αριθμός ΕΝΑονομάζεται όριο της συνάρτησης φά(Μ) στο Μ → Μ 0 αν για οποιονδήποτε αριθμό ε > 0 υπάρχει πάντα ένας αριθμός δ > 0 τέτοιος ώστε για οποιαδήποτε σημεία Μ, άλλο από Μ 0 και ικανοποιεί την προϋπόθεση | ΜΜ 0 | < δ, будет иметь место неравенство |φά(Μ) – ΕΝΑ | < ε.

Όριο δηλώνει

Οριακά θεωρήματα.Εάν λειτουργεί φά 1 (Μ) και φά 2 (Μ) στο Μ → Μ 0 το καθένα τείνει σε ένα πεπερασμένο όριο, τότε:

Παράδειγμα 1Εύρεση ορίου συνάρτησης:

Λύση. Μετασχηματίζουμε το όριο ως εξής:

Αφήνω y = kx, τότε

Παράδειγμα 2Εύρεση ορίου συνάρτησης:

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε το πρώτο αξιοσημείωτο όριο

Παράδειγμα 3Εύρεση ορίου συνάρτησης:

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο

Συνέχεια συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Εξ ορισμού, η συνάρτηση φά (Χ, y) είναι συνεχής στο σημείο ( Χ 0 , στο 0) εάν ορίζεται σε κάποια γειτονιά του, συμπεριλαμβανομένου του ίδιου του σημείου ( Χ 0 , στο 0) και αν το όριο φά (Χ, y) σε εκείνο το σημείο ισούται με την τιμή του σε αυτό:

Η συνθήκη συνέχειας δηλ. λειτουργία φάείναι συνεχής στο σημείο ( Χ 0 , στο 0) εάν η συνάρτηση είναι συνεχής φά(Χ 0 + Δ Χ, στο 0 + Δ y)στις μεταβλητές Δ Χ, Δ στοστο Δ Χ = Δ y= 0.

Μπορείτε να εισαγάγετε μια προσαύξηση Δ καιλειτουργίες και = φά (Χ, y) στο σημείο (Χ, y) που αντιστοιχούν σε προσαυξήσεις Δ Χ, Δ στοεπιχειρήματα

Δ και = φά(Χ + Δ Χ, στο + Δ y) – φά (Χ, y)

και σε αυτή τη γλώσσα ορίζουν τη συνέχεια φά v (Χ, y) : λειτουργία φάσυνεχής στο σημείο (Χ, y) , αν

Θεώρημα.Άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο συνεχών στο σημείο ( Χ 0 , στο 0) λειτουργίες φάκαι το φ είναι μια συνεχής συνάρτηση σε αυτό το σημείο, εκτός εάν, φυσικά, στην περίπτωση ενός μερικού φ ( Χ 0 , στο 0) ≠ 0.

Μόνιμος Μεμπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση φά (Χ, y) = Μεαπό μεταβλητές Χ, y. Είναι συνεχής σε αυτές τις μεταβλητές γιατί

Οι συναρτήσεις είναι οι επόμενες σε πολυπλοκότητα. φά (Χ, y) = Χκαι φά (Χ, y) = στο. Μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως λειτουργίες του (Χ, y) , και είναι συνεχείς. Για παράδειγμα, η συνάρτηση φά (Χ, y) = Χταιριάζει με κάθε σημείο (Χ, y) έναν αριθμό ίσο με Χ. Συνέχεια αυτής της λειτουργίας σε αυθαίρετο σημείο (Χ, y) μπορεί να αποδειχθεί έτσι.

Συνέχεια λειτουργίας

Μια συνάρτηση δύο μεταβλητών f (x, y), που ορίζονται στο σημείο (x 0 , y 0) και σε κάποια γειτονιά του, ονομάζεται συνεχής στο σημείο (x 0 , y 0) αν το όριο αυτής της συνάρτησης είναι το σημείο (x 0 , y 0 ) είναι ίσο με την τιμή αυτής της συνάρτησης f(x 0 , y 0), δηλ. αν

Μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε κάθε σημείο μιας περιοχής ονομάζεται συνεχής σε αυτήν την περιοχή. Οι συνεχείς συναρτήσεις δύο μεταβλητών έχουν ιδιότητες παρόμοιες με αυτές των συνεχών συναρτήσεων μιας μεταβλητής.

Εάν σε κάποιο σημείο (x 0 , y 0) η συνθήκη συνέχειας δεν ικανοποιείται, τότε η συνάρτηση f (x, y) στο σημείο (x 0 , y 0) λέγεται ασυνεχής.

Διαφοροποίηση συνάρτησης δύο μεταβλητών

Μερικά παράγωγα πρώτης τάξης

Ένα ακόμη πιο σημαντικό χαρακτηριστικό της παραλλαγής μιας συνάρτησης είναι τα όρια:

όριο αναλογίας

ονομάζεται μερική παράγωγος της πρώτης τάξης της συνάρτησης z = f (x, y) ως προς το όρισμα x (συντομογραφία ως μερική παράγωγος) και συμβολίζεται με τα σύμβολα ή ή

Ομοίως, το όριο

ονομάζεται μερική παράγωγος της συνάρτησης z \u003d f (x, y) ως προς το όρισμα y και συμβολίζεται με τα σύμβολα ή ή.

Η εύρεση μερικών παραγώγων ονομάζεται μερική διαφοροποίηση.

Από τον ορισμό μιας μερικής παραγώγου, προκύπτει ότι όταν βρίσκεται από ένα συγκεκριμένο όρισμα, το άλλο μερικό όρισμα θεωρείται σταθερό. Μετά την εκτέλεση της διαφοροποίησης, και τα δύο επιμέρους ορίσματα θεωρούνται και πάλι μεταβλητές. Με άλλα λόγια, μερικές παράγωγοι και είναι συναρτήσεις δύο μεταβλητών x και y.

Μερικά διαφορικά

αξία

λέγεται το κύριο γραμμικό μέρος της προσαύξησης; x f (γραμμικό ως προς τη μερική αύξηση του ορίσματος;x). Αυτή η τιμή ονομάζεται μερική διαφορική και συμβολίζεται με το σύμβολο d x f.

Ομοίως

Ολικό διαφορικό μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών

Εξ ορισμού, το συνολικό διαφορικό μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών, που συμβολίζεται με το σύμβολο d f, είναι το κύριο γραμμικό μέρος της συνολικής αύξησης της συνάρτησης:

Η συνολική διαφορά αποδείχθηκε ότι είναι ίση με το άθροισμα των μερικών διαφορών. Τώρα ο τύπος για το συνολικό διαφορικό μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

Τονίζουμε ότι ο τύπος για το ολικό διαφορικό λαμβάνεται με την υπόθεση ότι οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης

είναι συνεχείς σε κάποια γειτονιά του σημείου (x, y).

Μια συνάρτηση που έχει ολική διαφορική σε ένα σημείο ονομάζεται διαφοροποιήσιμη σε αυτό το σημείο.

Για να είναι διαφοροποιήσιμη μια συνάρτηση δύο μεταβλητών σε ένα σημείο, δεν αρκεί να έχει όλες τις μερικές παραγώγους σε αυτό το σημείο. Είναι απαραίτητο όλες αυτές οι μερικές παράγωγοι να είναι συνεχείς σε κάποια γειτονιά του εξεταζόμενου σημείου.

Παράγωγα και διαφορικά υψηλότερων τάξεων

Θεωρήστε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών z =f (x, y). Έχει ήδη σημειωθεί παραπάνω ότι τα επί μέρους παράγωγα του πρώτου

είναι οι ίδιες συναρτήσεις δύο μεταβλητών και μπορούν να διαφοροποιηθούν ως προς το x και το y. Λαμβάνουμε παράγωγα υψηλότερης (δεύτερης) τάξης:

Υπάρχουν ήδη τέσσερα επί μέρους παράγωγα δεύτερης τάξης. Χωρίς απόδειξη, γίνεται η δήλωση: Αν οι μικτές μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι συνεχείς, τότε είναι ίσες:

Σκεφτείτε τώρα τη διαφορά πρώτης τάξης

Είναι συνάρτηση τεσσάρων ορισμάτων: x, y, dx, dy, τα οποία μπορούν να λάβουν διαφορετικές τιμές.

Το διαφορικό δεύτερης τάξης υπολογίζεται ως το διαφορικό του διαφορικού πρώτης τάξης: υποθέτοντας ότι τα διαφορικά των μερικών ορισμάτων dx και dy είναι σταθερές: