Μη εκφυλισμένοι πίνακες. Κριτήριο ύπαρξης αντίστροφου πίνακα. Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη αντίστροφου πίνακα Ύπαρξη αντίστροφου πίνακα

Ο αντίστροφος πίνακας του δεδομένου.

Δεν έχει κάθε μήτρα αντίστροφο.

Θεώρημα 1. Οι απλούστερες ιδιότητες αντίστροφη μήτρα.

1°. Οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να έχει το πολύ ένα αντίστροφο.

2°. μι –1 = μι.

3°. ( ΕΝΑ –1) –1 = ΕΝΑ.

4°. ( ΑΒ) –1 = σι –1 ΕΝΑ –1 .

Εκφυλισμένοι και μη εκφυλισμένοι τετραγωνικοί πίνακες.

Θεώρημα 2. Κριτήριο αντιστρεψιμότητας μήτρας.

Ένας πίνακας είναι αναστρέψιμος εάν και μόνο εάν δεν είναι εκφυλισμένος.

Λήμμα 1. Οποιοσδήποτε στοιχειώδης μετασχηματισμός γραμμής (στήλης) ενός πίνακα μπορεί να πραγματοποιηθεί πολλαπλασιάζοντας αυτόν τον πίνακα από τα αριστερά (δεξιά) με τον αντίστοιχο στοιχειώδη πίνακα.

Λήμμα 2. Για να είναι ένας πίνακας μη ενικός, είναι απαραίτητο και αρκετό να μπορεί να αναχθεί στον πίνακα ταυτότητας χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σειρών.

Λήμμα 3. Αν οι σειρές (στήλες) του πίνακα ΕΝΑ (σι) εξαρτώνται γραμμικά και ντο = ΑΒ, τότε ακριβώς το ίδιο γραμμική εξάρτησηεκτελούνται για τις σειρές (στήλες) του πίνακα ΜΕ.

Πρακτικός τρόπος υπολογισμού αντίστροφου πίνακα:

ΕΝΑ|μι ... μι|ΕΝΑ –1 .

Εξισώσεις μήτρας.

Σημείωση SLE με τη μορφή εξίσωσης μονής μήτρας ειδικής φόρμας. Cramer's Terem σε μορφή matrix.

Μεταθέσεις και αντικαταστάσεις

Μεταθέσεις. Ρεκόρ μετάθεσης. Αριθμός μεταθέσεων nστοιχεία. Αναστροφές. Ζυγές και περιττές μεταθέσεις. Μεταθέσεις.

Θεώρημα. Ιδιότητες μεταθέσεων.

1°. Από οποιαδήποτε μετάθεση, μπορείτε να μεταβείτε σε οποιαδήποτε άλλη μετάθεση με τη βοήθεια πολλών μεταθέσεων.

2°. Κάθε μεταφορά αλλάζει την ισοτιμία της μετάθεσης.

Αντικαταστάσεις. S n. Καταγραφή αντικατάστασης. Ισοτιμία αντικατάστασης. Η ορθότητα του ορισμού της ισοτιμίας μιας αντικατάστασης. Μπαλαντέρ. (–1) s (p) .

Ορισμός ορίζουσας

Ορισμός ορίζουσας.

Παραδείγματα υπολογισμού των οριζόντιων πινάκων δεύτερης και τρίτης τάξης, της ορίζουσας του άνω (κάτω) τριγωνικού πίνακα, της ορίζουσας ενός πίνακα στον οποίο όλα τα στοιχεία κάτω (πάνω) από τη δευτερεύουσα διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν.

Καθοριστικές ιδιότητες

Θεώρημα. Καθοριστικές ιδιότητες.

1°. det t ΕΝΑ= αποτ ΕΝΑ.

2°.det = det + det .

3°. det = l×det .

4°. det = -det.

5°. Εάν μία από τις σειρές του πίνακα είναι μηδέν, τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι μηδέν.

6°. Εάν δύο σειρές του πίνακα είναι ίσες, τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι μηδέν.

7°. Εάν δύο σειρές του πίνακα είναι ανάλογες, τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι μηδέν.

8°. Εάν μία από τις σειρές του πίνακα πολλαπλασιαστεί με έναν αριθμό και προστεθεί στην άλλη σειρά, τότε η ορίζουσα δεν θα αλλάξει.

9°. Η ορίζουσα ενός εκφυλισμένου πίνακα είναι μηδέν.

10°. Η ορίζουσα ενός μη μοναδικού πίνακα είναι μη μηδέν.

Σημείωση. Οι ιδιότητες 1°–4° αποδεικνύονται εξ ορισμού, οι υπόλοιπες ιδιότητες προέρχονται από τις ιδιότητες 1°–4°.

Συμπέρασμα 1. Κριτήριο για τη μη μοναδικότητα ενός πίνακα.

Ένας τετράγωνος πίνακας είναι μη εκφυλισμένος εάν και μόνο εάν η ορίζοντή του είναι μη μηδενική.

Συνέπεια 2. ομοιογενές σύστημα γραμμικές εξισώσεις, που αποτελείται από nεξισώσεις με nάγνωστο, έχει μη μηδενικές λύσεις αν και μόνο αν η ορίζουσα του πίνακα του συστήματος είναι ίση με μηδέν.

Μικρά και αλγεβρικές προσθήκες. Επέκταση γραμμής και στήλης ορίζουσας

Ανήλικος M ijτετράγωνη μήτρα. Αλγεβρική πρόσθεση Ένα ijστοιχείο aijτετράγωνη μήτρα.

Θεώρημαπερί αποσύνθεσης.

det ΕΝΑ = ένα κ 1 Ένα κ 1 +ένα κ 2 Ένα κ 2 + ... +α κν Α κν, det ΕΝΑ = ένα 1κ ΕΝΑ 1κ +ένα 2κ ΕΝΑ 2κ + ... +α νκ Α νκ

για κάθε κ =

Στάδια απόδειξης

1. Για έναν πίνακα στον οποίο A n = e n, εξ ορισμού det.

2. Για έναν πίνακα στον οποίο Ολα συμπεριλαμβάνονται = e j, με αναγωγή στην περίπτωση 1, λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο Ολα συμπεριλαμβάνονταικαι αμετάβλητο M ij.

3. Γενική περίπτωση με παράσταση Ολα συμπεριλαμβάνονταιως άθροισμα nδιανύσματα και αναγωγή στην περίπτωση 2.

Μια άλλη ιδιότητα της ορίζουσας

11°. ένα κ 1 Απ 1 +ένα κ 2 Απ 2 + ... +α κν Α πν,ένα 1 kA 1 Π+ένα 2 kA 2 Π+ ... +a nk A np, αν κ ¹ Π.

Προσθήκη μήτρας.

Πρόσθετες ιδιότητες:

Α + Β = Β + Α.

· (Α + Β) + Γ = Α + (Β + Γ) .

Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.

k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Πολλαπλασιασμός πίνακα.

Αντίστροφος πίνακας.

Προκριματικές ιδιότητες

4. Θεώρημα υποκατάστασης.

5. Θεώρημα ακύρωσης.

προσθήκες σε αυτά τα στοιχεία

όπου i= ,

Μεταφορά μήτρας.

Μεταφερόμενος πίνακας
ΕΝΑΤ[ Εγώ, ι] = ΕΝΑ[ι, Εγώ].
Για παράδειγμα,

και

κυλινδρικές επιφάνειες.

Η επιφάνεια που σχηματίζεται από την κίνηση της ευθείας γραμμής L, η οποία κινείται στο χώρο, διατηρώντας σταθερή κατεύθυνση και τέμνοντας κάποια καμπύλη Κ κάθε φορά, ονομάζεται κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, ενώ η καμπύλη K είναι ο οδηγός του κυλίνδρου και Το L είναι η γενεαλογία του.

Ελλειπτικός κύλινδρος

Ελλειπτική εξίσωση:

ειδική περίπτωση ελλειπτικός κύλινδροςείναι ένα κυκλικός κύλινδρος, η εξίσωσή του είναι x 2 + y 2 = R 2 . Η εξίσωση x 2 \u003d 2pz καθορίζει στο διάστημα παραβολικός κύλινδρος.

Η εξίσωση: ορίζει στο χώρο υπερβολικός κύλινδρος.

Όλες αυτές οι επιφάνειες ονομάζονται κύλινδροι δεύτερης τάξης, αφού οι εξισώσεις τους είναι εξισώσεις δεύτερου βαθμού ως προς τις τρέχουσες συντεταγμένες x, y, z.

62. Ελλειψοειδή.

Εξετάζουμε την επιφάνεια που δίνεται από την εξίσωση:

Θεωρήστε τμήματα της επιφάνειας με επίπεδα παράλληλα με το επίπεδο xOy. Εξισώσεις τέτοιων επιπέδων: z=h, όπου h είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Η γραμμή που προκύπτει στην ενότητα προσδιορίζεται από δύο εξισώσεις:

Εξετάζοντας την επιφάνεια:

Κι αν τότε Η ευθεία τομής της επιφάνειας με τα επίπεδα z=h δεν υπάρχει.

Β) εάν , η γραμμή τομής εκφυλίζεται σε δύο σημεία (0,0,s) και (0,0,-s). Το επίπεδο z = c, z = - c αγγίζει τη δεδομένη επιφάνεια.

Β) εάν , τότε οι εξισώσεις μπορούν να ξαναγραφτούν ως εξής:
, όπως μπορείτε να δείτε, η γραμμή τομής είναι έλλειψη με ημιάξονες a1 = , b1 = . Σε αυτή την περίπτωση, όσο μικρότερο είναι το h, τόσο μεγαλύτερος είναι ο ημιάξονας. Στο n=0 φτάνουν τις μέγιστες τιμές τους a1=a, b1=b. Οι εξισώσεις θα έχουν τη μορφή:

Τα θεωρούμενα τμήματα μας επιτρέπουν να απεικονίσουμε την επιφάνεια ως μια κλειστή οβάλ επιφάνεια. Η επιφάνεια ονομάζεται ελλειψοειδή.Αν κάποιοι ημιάξονες είναι ίσοι, το τριαξονικό ελλειψοειδές μετατρέπεται σε ελλειψοειδές περιστροφής και αν a=b=c, τότε σε σφαίρα.

Υπερβολοειδή.

1. Εξερευνήστε την επιφάνεια . Διασχίζοντας την επιφάνεια με το επίπεδο z=h, παίρνουμε μια ευθεία τομής, η εξίσωση της οποίας είναι

z=h. ή z=ημισάξονες: a1= b1=

οι ημιάξονες φτάνουν τη μικρότερη τιμή τους στο h=0: a1=a, b1=b. Καθώς το h αυξάνεται, οι ημιάξονες της έλλειψης θα αυξάνονται. => x=0.

Μια ανάλυση αυτών των τμημάτων δείχνει ότι η επιφάνεια που ορίζεται από την εξίσωση έχει το σχήμα ενός άπειρου διαστελλόμενου σωλήνα. Η επιφάνεια ονομάζεται μονοφυλλο υπερβολοειδη.

2. - εξίσωση επιφάνειας.

και - μια επιφάνεια που αποτελείται από 2 κοιλότητες σε μορφή κυρτών απεριόριστων μπολ. Η επιφάνεια ονομάζεται δίφυλλο υπερβολοειδές.

64. παραβολοειδή.

.
-το ελλειπτικό παραβολοειδές.

Κανονική εξίσωση: (ρ>0, q>0).

Το p = q είναι ένα παραβολοειδές περιστροφής γύρω από τον άξονα Oz.

Τα τμήματα ενός ελλειπτικού παραβολοειδούς κατά επίπεδα είναι είτε έλλειψη, είτε παραβολή ή σημείο.

2.
- υπερβολικό παραβολοειδές.

Τα τμήματα ενός υπερβολικού παραβολοειδούς κατά επίπεδα είναι είτε υπερβολή, είτε παραβολή, είτε ζεύγος ευθειών (ευθύγραμμες γεννήτριες).

65. Κανονικές επιφάνειες.

Κανονική εξίσωση:

a = b - κώνος περιστροφής (ευθεία κυκλική)
Τομές του κώνου κατά επίπεδα: σε ένα επίπεδο που τέμνει όλες τις ευθύγραμμες γεννήτριες - μια έλλειψη. σε ένα επίπεδο παράλληλο σε μια ευθύγραμμη γεννήτρια - μια παραβολή. σε ένα επίπεδο παράλληλο με δύο ευθύγραμμες γεννήτριες - μια υπερβολή. στο επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή του κώνου, ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών ή ένα σημείο (κορυφή).

66. Λειτουργία. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Τρόποι ρύθμισης.

Συνάρτηση είναι ένας νόμος σύμφωνα με τον οποίο ο αριθμός x από ένα δεδομένο σύνολο X συνδέεται με έναν μόνο αριθμό y, γράφουν, ενώ x ονομάζεται όρισμα της συνάρτησης, y

ονομάζεται τιμή της συνάρτησης.

1. Αναλυτική μέθοδος.

2. Γραφικός τρόπος.

3. Προφορικός τρόπος.

4. Πίνακας μέθοδος.

Θεώρημα σύγκρισης.

στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, ένα θεώρημα που βεβαιώνει την ύπαρξη μιας ορισμένης ιδιότητας λύσεων σε μια διαφορική εξίσωση (ή ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων) με την υπόθεση ότι μια βοηθητική εξίσωση ή ανισότητα (ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων ή ανισώσεων) έχει κάποια ιδιοκτησία.

1) Θεώρημα Shturm: οποιαδήποτε μη τετριμμένη λύση μιας εξίσωσης εξαφανίζεται σε ένα τμήμα όχι περισσότερο από m φορές αν η εξίσωση έχει αυτή την ιδιότητα και στο.

2) Διαφορική ανισότητα: η λύση στο πρόβλημα είναι κατά συνιστώσα μη αρνητική εάν αυτή η ιδιότητα έχει λύση στο πρόβλημα και οι ανισότητες ικανοποιούνται

Το πρώτο είναι υπέροχο όριο.

Κατά τον υπολογισμό των ορίων των παραστάσεων που περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις, χρησιμοποιούν συχνά το όριο που ονομάζεται το πρώτο αξιοσημείωτο όριο.

Διαβάζει: το όριο του λόγου του ημιτόνου προς το όρισμά του είναι ίσο με ένα όταν το όρισμα τείνει στο μηδέν.

Απόδειξη:

Πάρτε έναν κύκλο ακτίνας 1, συμβολίστε το μέτρο του ακτινίου της γωνίας MOB ως x. ας 0 , το τόξο MB είναι αριθμητικά ίσο με την κεντρική γωνία x, . Προφανώς έχουμε . Με βάση τους αντίστοιχους τύπους γεωμετρίας, παίρνουμε . Διαιρέστε την ανισότητα με >0, πάρτε 1<

Επειδή , τότε με το πρόσημο (στο όριο μιας ενδιάμεσης συνάρτησης) η ύπαρξη ορίων .

Τι γίνεται αν x<0 => , όπου –x>0 =>

83. Το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο.

Όπως γνωρίζετε, το όριο σειρά αριθμών
, έχει όριο ίσο με e. . 1.Αφήστε . Κάθε τιμή x περικλείεται μεταξύ δύο θετικών ακεραίων: , όπου n=[x] είναι το ακέραιο μέρος του x. Επομένως, προκύπτει
. Αν , τότε . Ετσι:
,

Με βάση την ύπαρξη ορίων: . 2. Αφήστε . Ας κάνουμε μια αντικατάσταση –x=t, μετά = . και ονομάζονται το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο. Χρησιμοποιούνται ευρέως για τον υπολογισμό ορίων. Σε εφαρμογές ανάλυσης σημαντικό ρόλο παίζει η εκθετική συνάρτηση με βάση e. Λειτουργία ονομάζεται εκθετικός, χρησιμοποιείται επίσης ο συμβολισμός .

Απόδειξη.

(λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι αν Dx®0, τότε Du®0, αφού u = g(x) είναι συνεχής συνάρτηση)

Τότε . Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Το θεώρημα του Cauchy

Θεώρημα Cauchy: Αν οι συναρτήσεις f(x) και είναι συνεχείς στο διάστημα , διαφοροποιήσιμες στο διάστημα (a,b) και Για , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο , έτσι ώστε η ισότητα
.

Πίνακες. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γραμμικές πράξεις σε πίνακες και τις ιδιότητές τους.

Ένας πίνακας m επί n είναι μια συλλογή mn πραγματικών (σύνθετων) αριθμών ή στοιχείων άλλης δομής (πολυώνυμα, συναρτήσεις κ.λπ.), γραμμένα με τη μορφή ενός ορθογώνιου πίνακα, ο οποίος αποτελείται από m σειρές και n στήλες και είναι λαμβάνονται σε στρογγυλά ή ορθογώνια ή σε διπλά ευθύγραμμα παρένθεση. Σε αυτήν την περίπτωση, οι ίδιοι οι αριθμοί ονομάζονται στοιχεία του πίνακα και σε κάθε στοιχείο εκχωρούνται δύο αριθμοί - ο αριθμός της γραμμής και ο αριθμός της στήλης.

Ένας πίνακας, του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, ονομάζεται μηδενικός πίνακας

Ένας πίνακας n κατά n ονομάζεται τετραγωνικός πίνακας nης τάξης, δηλ. ο αριθμός των σειρών είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών.

Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται ότι είναι διαγώνιος εάν όλες οι εκτός διαγώνιας εγγραφές του είναι ίσες με μηδέν.

Ένας διαγώνιος πίνακας με όλες τις διαγώνιες εγγραφές ίσες με 1 ονομάζεται πίνακας ταυτότητας
Προσθήκη μήτρας.

Πρόσθετες ιδιότητες:

Α + Β = Β + Α.

· (Α + Β) + Γ = Α + (Β + Γ) .

Εάν το O είναι μηδενικός πίνακας, τότε A + O = O + A = A

Παρατήρηση 1. Η εγκυρότητα αυτών των ιδιοτήτων προκύπτει από τον ορισμό της πράξης της προσθήκης πίνακα.

Παρατήρηση 2. Σημειώστε και πάλι ότι μπορούν να προστεθούν μόνο πίνακες της ίδιας διάστασης.

Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό

k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Παρατήρηση 1. Η εγκυρότητα των ιδιοτήτων προκύπτει από τους ορισμούς 3.4 και 3.5.

Παρατήρηση 2. Ας ονομάσουμε τη διαφορά των πινάκων Α και Β πίνακα C, για τον οποίο С+В=А, δηλ. С=А+(-1)В.
Πολλαπλασιασμός πίνακα.

Ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν πίνακα απαιτεί επίσης την εκπλήρωση ορισμένων προϋποθέσεων για τις διαστάσεις των παραγόντων, δηλαδή: ο αριθμός των στηλών του πρώτου παράγοντα πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του δεύτερου.

Για τετραγωνικούς πίνακες ίδιας τάξης, τα γινόμενα ΑΒ και ΒΑ υπάρχουν και έχουν την ίδια διάσταση, αλλά τα αντίστοιχα στοιχεία τους γενικά δεν είναι ίσα.

Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις τα προϊόντα ΑΒ και ΒΑ συμπίπτουν

Αντίστροφος πίνακας.

Ένας τετράγωνος πίνακας Α ονομάζεται εκφυλισμένος εάν ΔA=0 και μη εκφυλισμένος εάν ΔA≠0

Ένας τετράγωνος πίνακας Β ονομάζεται αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα Α ίδιας τάξης εάν ΑΒ = ΒΑ = Ε. Στην περίπτωση αυτή, συμβολίζεται το Β

Για να υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας, είναι απαραίτητο και αρκετό ο αρχικός πίνακας να είναι μη ενικός.

2. Ορίζουσα μήτρας. Ιδιότητες προσδιοριστικών παραγόντων.

Η ορίζουσα (ή ορίζουσα) είναι μια από τις βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι ένα πολυώνυμο στα στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα (δηλαδή εκείνου που έχει τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών). Γενικά, μια μήτρα μπορεί να οριστεί πάνω από οποιονδήποτε αντιμεταθετικό δακτύλιο, οπότε η ορίζουσα θα είναι ένα στοιχείο του ίδιου δακτυλίου. (∆A)

Προκριματικές ιδιότητες

· Η ορίζουσα είναι μια λοξά-συμμετρική πολυγραμμική συνάρτηση σειρών (στηλών) ενός πίνακα. Πολυγραμμικότητα σημαίνει ότι η ορίζουσα είναι γραμμική σε όλες τις σειρές (στήλες): , όπου κ.λπ. - οι σειρές του πίνακα, - η ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα.

· Όταν προσθέτετε έναν γραμμικό συνδυασμό άλλων σειρών (στήλες) σε οποιαδήποτε σειρά (στήλη), η ορίζουσα δεν θα αλλάξει.

· Αν δύο σειρές (στήλες) ενός πίνακα είναι ίδιες, τότε η ορίζουσα του είναι ίση με μηδέν.

· Αν δύο (ή περισσότερες) σειρές (στήλες) ενός πίνακα εξαρτώνται γραμμικά, τότε η ορίζοντή του είναι ίση με μηδέν.

· Αν αναδιατάξετε δύο σειρές (στήλες) ενός πίνακα, τότε η ορίζοντή του πολλαπλασιάζεται με (-1).

· Ο κοινός παράγοντας των στοιχείων οποιασδήποτε σειράς της ορίζουσας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της ορίζουσας.

· Εάν τουλάχιστον μία σειρά (στήλη) του πίνακα είναι μηδέν, τότε η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν.

· Το άθροισμα των γινομένων όλων των στοιχείων οποιασδήποτε συμβολοσειράς και των αλγεβρικών συμπληρωμάτων τους είναι ίσο με την ορίζουσα.

· Το άθροισμα των γινομένων όλων των στοιχείων οποιασδήποτε σειράς και των αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων της παράλληλης σειράς είναι ίσο με μηδέν.

· Η ορίζουσα του γινόμενου τετραγωνικών πινάκων ίδιας τάξης ισούται με το γινόμενο των οριζόντιών τους (βλ. και τον τύπο Binet-Cauchy).

Χρησιμοποιώντας σημειογραφία ευρετηρίου, η ορίζουσα ενός πίνακα 3×3 μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας το σύμβολο Levi-Civita από τη σχέση:

3. Μικρά και αλγεβρικές προσθήκες.

Η ελάσσονα ενός στοιχείου ενός πίνακα n-ης τάξης είναι η ορίζουσα του πίνακα της (n-1) ης τάξης, που λαμβάνεται από τον πίνακα A με τη διαγραφή της i-ης σειράς και της j-ης στήλης.

Κατά την εγγραφή της ορίζουσας της σειράς (n-1), τα στοιχεία κάτω από τις γραμμές στην αρχική ορίζουσα δεν λαμβάνονται υπόψη.
Το αλγεβρικό συμπλήρωμα Aij του στοιχείου aij ενός πίνακα n-ης τάξης είναι το ελάσσονα του, που λαμβάνεται με πρόσημο, ανάλογα με τον αριθμό της σειράς και τον αριθμό της στήλης: δηλαδή, το αλγεβρικό συμπλήρωμα συμπίπτει με το δευτερεύον όταν το άθροισμα των Οι αριθμοί σειρών και στηλών είναι ένας άρτιος αριθμός και διαφέρει από τον ελάσσονα ως προς το πρόσημο, όταν το άθροισμα των αριθμών σειρών και στηλών είναι περιττός αριθμός.

4. Θεώρημα υποκατάστασης.

Τα αθροίσματα των γινομένων των αυθαίρετων αριθμών bi ,b2,...,b και τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων οποιασδήποτε στήλης ή γραμμής πίνακα τάξης n είναι ίσα με την ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον δεδομένο αντικαθιστώντας τα στοιχεία αυτής της στήλης (σειράς) με τους αριθμούς b1,b2,...,bn.

5. Θεώρημα ακύρωσης.

Το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων μιας από τις στήλες (γραμμές) του πίνακα και των αντίστοιχων αλγεβρικών συμπληρωμάτων των στοιχείων μιας άλλης στήλης (γραμμής) είναι ίσο με μηδέν.

6. Μερικές μέθοδοι υπολογισμού οριζόντων.

Θεώρημα (Laplace). Η ορίζουσα του πίνακα της τάξης N = το άθροισμα του γινομένου όλων των δευτερευόντων της kth τάξης, που μπορεί να αποτελείται από αυθαίρετα επιλεγμένες k παράλληλες σειρές και αλγεβρικά συμπληρώματα αυτών των δευτερευόντων

Θεώρημα (για την αποσύνθεση της ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της σειράς). Ορίζουσα πλ. πίνακες = το άθροισμα των γινομένων στοιχείων μιας ορισμένης σειράς και αλγεβρικής

προσθήκες σε αυτά τα στοιχεία

7. Πολλαπλασιασμός πίνακα. ιδιότητες πολλαπλασιασμού.

Η λειτουργία του πολλαπλασιασμού δύο πινάκων εισάγεται μόνο για την περίπτωση που ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του δεύτερου πίνακα.

Το γινόμενο του πίνακα А m * n = (a i , g) και του πίνακα B n * p = (b i , k) είναι ο πίνακας Сm*p = (с i , k) τέτοιος ώστε: ,

όπου i= , , δηλ. το στοιχείο της i-ης και k-ης στήλης του πίνακα γινομένων C είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της i-ης σειράς του πίνακα A και των αντίστοιχων στοιχείων της k-ης στήλης του πίνακα B .

Οι πίνακες A, n*m και B, m*n, καλούνται. σύμφωνος. (Αν το Α είναι συνεπές με το Β, τότε αυτό δεν σημαίνει ότι το Β είναι συνεπές με το Α).

Η έννοια της συνέπειας είναι ότι ο αριθμός των στηλών του 1ου πίνακα ταιριάζει με τον αριθμό των σειρών του 2ου πίνακα. Για συνεπείς πίνακες, μπορεί να οριστεί η λειτουργία του πολλαπλασιασμού.

Εάν οι πίνακες Α και Β είναι τετράγωνοι και έχουν το ίδιο μέγεθος, τότε οι Α*Β και Β*Α υπάρχουν πάντα. Μετάθεση είναι η αντικατάσταση όλων των στοιχείων μιας στήλης με τα αντίστοιχα στοιχεία μιας γραμμής. Εάν A T \u003d A, τότε καλείται ο πίνακας A. συμμετρικό (είναι αναγκαστικά τετράγωνο).

Μεταφορά μήτρας.

Μεταφερόμενος πίνακας- μήτρα που λαμβάνεται από τον αρχικό πίνακα αντικαθιστώντας τις γραμμές με στήλες.
Τυπικά, ο μετατιθέμενος πίνακας για τον πίνακα μεγέθους είναι ο πίνακας μεγέθους, ο οποίος ορίζεται ως ΕΝΑΤ[ Εγώ, ι] = ΕΝΑ[ι, Εγώ].
Για παράδειγμα,

και

Αντίστροφος πίνακας. Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη αντίστροφου πίνακα. Εύρεση του αντίστροφου πίνακα.

Ας υπάρχει ένας πίνακας Α - μη εκφυλισμένος.

A -1 , A -1 *A=A*A -1 =E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας. Το Α -1 έχει τις ίδιες διαστάσεις με το Α.

Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα:

1. Αντί για κάθε στοιχείο του πίνακα a ij γράφουμε το αλγεβρικό του συμπλήρωμα.

A* - μήτρα ένωσης.

2. μεταφέρετε τον προκύπτοντα πίνακα ένωσης. ΣΤΟ

3. Διαιρέστε κάθε στοιχείο του πίνακα ένωσης με την ορίζουσα του πίνακα Α.

A -1 = A *T

Θεώρημα: (για την εκμηδένιση της ορίζουσας):
το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων κάποιας σειράς της ορίζουσας και του αλγεβρικού συμπληρώματος στα στοιχεία μιας άλλης παράλληλης σειράς είναι πάντα ίσο με μηδέν.

10. Σημείωση πίνακα συστήματος γραμμικών εξισώσεων και οι λύσεις του.

Οι πίνακες καθιστούν δυνατή τη σύντομη εγγραφή ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Έστω ένα σύστημα 3 εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

Εξετάστε τη μήτρα του συστήματος και στήλες μήτρας αγνώστων και ελεύθερων μελών

Ας βρούμε το προϊόν

εκείνοι. Ως αποτέλεσμα του γινόμενου, λαμβάνουμε τις αριστερές πλευρές των εξισώσεων αυτού του συστήματος. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της ισότητας πίνακα, αυτό το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

ή μικρότερη ΕΝΑ∙X=B.

Εδώ μήτρες ΕΝΑκαι σιείναι γνωστά, και η μήτρα Χάγνωστος. Πρέπει να βρεθεί, γιατί. τα στοιχεία του είναι η λύση αυτού του συστήματος. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση μήτρας.

Έστω η ορίζουσα μήτρας διαφορετική από το μηδέν | ΕΝΑ| ≠ 0. Τότε η εξίσωση του πίνακα λύνεται ως εξής. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στα αριστερά με τον πίνακα Α'1, το αντίστροφο του πίνακα ΕΝΑ: . Στο βαθμό που Α -1 Α = Εκαι μι∙Χ=Χ, τότε παίρνουμε τη λύση της εξίσωσης του πίνακα με τη μορφή X = A -1 B.

Σημειώστε ότι εφόσον ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να βρεθεί μόνο για τετραγωνικούς πίνακες, η μέθοδος του πίνακα μπορεί να λύσει μόνο εκείνα τα συστήματα στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίδιος με τον αριθμό των αγνώστων. Ωστόσο, ο συμβολισμός πίνακα του συστήματος είναι επίσης δυνατός στην περίπτωση που ο αριθμός των εξισώσεων δεν είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, τότε ο πίνακας ΕΝΑδεν είναι τετράγωνο και επομένως είναι αδύνατο να βρεθεί μια λύση στο σύστημα στη μορφή X = A -1 B.

11. Λύση μη εκφυλισμένων γραμμικών συστημάτων, τύποι Cramer.

Το SLAE γράφεται συνήθως σε μορφή πίνακα, όταν δεν υποδεικνύονται τα ίδια τα άγνωστα, αλλά υποδεικνύονται μόνο ο πίνακας του συστήματος Α και η στήλη των ελεύθερων όρων Β.

Επίλυση μη εκφυλισμένου SLAE με τη μέθοδο του Cramer:

Α -1 =

X1= (A 11 b 1 + A 21 b 2 + …+A n 1 b n)

Θεώρημα: (Cramer):
επίλυση μη εκφυλισμένων εξισώσεων AX=B, μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Το Ak λαμβάνεται από το A αντικαθιστώντας την k-η στήλη με τη στήλη του ελεύθερου όρου B.

12. Κατάταξη μήτρας. Ιδιότητες κατάταξης μήτρας. Υπολογισμός της κατάταξης ενός πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Καλείται ο μέγιστος αριθμός γραμμικά εξαρτώμενων σειρών του πίνακα Α. κατάταξη μήτρας και συμβολίζεται με r(a).Η μεγαλύτερη από τις τάξεις των δευτερευόντων ενός δεδομένου πίνακα εκτός του 0 ονομάζεται κατάταξη μήτρας.

Ιδιότητες:

1) κατά τη μεταφορά rang=const.

2) αν διαγράψετε τη μηδενική σειρά, τότε rang=const;

3) κατάταξη=κόστος, με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

3) να υπολογίσετε την κατάταξη χρησιμοποιώντας τον πίνακα μετασχηματισμού στοιχείου Α-μετασχηματισμός στους πίνακες Β, των οποίων η κατάταξη βρίσκεται εύκολα.

4) η κατάταξη των τριγώνων του πίνακα = ο αριθμός των μη μηδενικών στοιχείων, που βρίσκονται στις κύριες διαγώνιους.

Μέθοδοι εύρεσης της κατάταξης ενός πίνακα:

1) η μέθοδος των συνοριακών ανηλίκων

2) μέθοδος στοιχειωδών μετασχηματισμών

Μέθοδος μικρών κροσσών:

η μέθοδος οριοθέτησης ανηλίκων καθιστά δυνατό τον αλγόριθμο της διαδικασίας εύρεσης του πίνακα κατάταξης και επιτρέπει την ελαχιστοποίηση του ποσού του υπολογισμού των ανηλίκων.

1) εάν ο πίνακας έχει όλα τα μηδενικά στοιχεία, τότε κατάταξη = 0

2) αν υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο => r(a)>0

τώρα θα συνορεύουμε με την ελάσσονα Μ1, δηλ. θα κατασκευάσουμε όλα τα πιθανά ανήλικα 2ης τάξης, κτρ. περιέχει την i-η σειρά και την j-η στήλη, μέχρι να βρούμε ένα μη μηδενικό δευτερεύον 2ης τάξης.

Η διαδικασία θα συνεχιστεί μέχρι ένα από τα γεγονότα:
1. το μέγεθος του ανηλίκου θα φτάσει τον αριθμό k.

2. σε κάποιο στάδιο, όλοι οι ανήλικοι με περίγραμμα θα είναι = 0.

Και στις δύο περιπτώσεις, η τιμή του πίνακα κατάταξης θα είναι ίση με τη σειρά του μεγαλύτερου μη μηδενικού δευτερεύοντος.

Μέθοδος στοιχειωδών μετασχηματισμών:
όπως είναι γνωστό, η έννοια του τριγωνικού πίνακα ορίζεται μόνο για τετράγωνους πίνακες. Για ορθογώνιους πίνακες, το ανάλογο είναι η έννοια της τραπεζοειδούς μήτρας.

Για παράδειγμα:
κατάταξη = 2.

4.1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΜΗΤΡΑ ΚΑΙ Η ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΜΙΑΣ ΠΛΗΡΩΣΗΣ

τετράγωνη μήτρα ΕΝΑΣειράnπου ονομάζεται μη εκφυλισμένος(ή μη ειδικός), αν det ΕΝΑ≠ 0. Διαφορετικά, ο πίνακας ΕΝΑ – εκφυλισμένος(ή ειδικός). ΜήτραΕΝΑ είναι ένα ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗγια τετράγωνο μη ενικό πίνακα ΕΝΑ, αν ΕΝΑ ΑΑΑ μι , που μι- μήτρα ταυτότητας παραγγελίαςn:

.

Θεώρημα 4.1. (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη αντίστροφου πίνακα). αντίστροφη μήτρα ΕΝΑ υπάρχει εάν και μόνο εάν ο αρχικός πίνακας ΕΝΑμη εκφυλισμένος.

Απόδειξη . Χρειάζομαι. Αφήστε τη μήτραΕΝΑέχει αντίστροφο ΕΝΑ , δηλ. ΕΝΑ ΑΑΑ μι . Με την ιδιότητα των 10 προσδιοριστικών, έχουμερε(ΕΝΑ ΕΝΑ ) =Δ(ΕΝΑ ) ρε(ΕΝΑ) ρε(μι) = 1 και, επομένως,ρε(ΕΝΑ ) 0.

Επάρκεια. Αφήνω ρε(ΕΝΑ ) 0. Θεωρήστε έναν τετράγωνο πίνακα n-η σειράπου ονομάζεταιεπισυνάπτεται. Τα στοιχεία του είναι τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του πίνακα, μεταφέρεται στη μήτρα ΕΝΑ:

.

Είναι εύκολο να το δείξεις αυτό

.

Από αυτό προκύπτει ότι αν πάρουμε τον πίνακαΕΝΑ , μετά τα προϊόνταΕΝΑ ΕΝΑ και AA είναι ίσα με τον πίνακα ταυτότηταςμι n-η σειρά: ΕΝΑ ΕΝΑ AA μι .

τάξημήτρες ΕΝΑ (σημειώνεταιτάξη ΕΝΑή r(ΕΝΑ)) είναι η μεγαλύτερη τάξη μη μηδενικών δευτερευόντων (καθοριστικών) που δημιουργείται από αυτό. Κάθε μη μηδενικό ελάσσονα ενός πίνακα του οποίου η σειρά είναι ίση με την κατάταξή του ονομάζεται του βασικό μικρό. Οι σειρές και οι στήλες που εμπλέκονται στο σχηματισμό του βασικού δευτερεύοντος θα είναι επίσης βασικές. Ένας πίνακας μπορεί να έχει πολλά βασικά δευτερεύοντα, αλλά όλες οι τάξεις τους είναι ίδιες και ίσες με την κατάταξη του πίνακα.

Η κατάταξη ενός πίνακα δεν θα αλλάξει εάν:

1) ανταλλάξτε τις γραμμές και τις στήλες του πίνακα.

2) αναδιάταξη δύο από τις στήλες (γραμμές) του.

3) αφαιρέστε μια στήλη (σειρά) από αυτήν, όλα τα στοιχεία της οποίας είναι ίσα με μηδέν.

4) αφαιρέστε από αυτήν μια στήλη (σειρά) που είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων στηλών (γραμμών) της.

5) πολλαπλασιάστε την αυθαίρετη στήλη (σειρά) με οποιονδήποτε μη μηδενικό αριθμό.

6) σε οποιαδήποτε από τις στήλες (γραμμές) του προσθέστε έναν αυθαίρετο γραμμικό συνδυασμό των υπόλοιπων στηλών (γραμμών) αυτού του πίνακα.

Οι μετασχηματισμοί 2) - 6) λέγονται στοιχειώδης. Οι δύο πίνακες είναι ισοδύναμος, αν το ένα λαμβάνεται από το άλλο με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών και συμβολίζεται ως ΕΝΑ~V.

Οι ακόλουθες σχέσεις ισχύουν για τις τάξεις των πινάκων:

1) r(ΕΝΑ+ V ) r(ΕΝΑ) + r(σι),

§6. Προκριματικές ιδιότητες

§7. αντίστροφη μήτρα

Μη μοναδικοί και εκφυλισμένοι πίνακες

αντίστροφη μήτρα

Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη αντίστροφου πίνακα

Αλγόριθμος για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα με τον τύπο

Υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς

§6. Προκριματικές ιδιότητες

1. Εάν οποιαδήποτε σειρά (στήλη) ενός πίνακα είναι ίση με μηδέν, τότε η ορίζοντή του είναι ίση με μηδέν.

Συνέπεια 1. Εάν ένας τετράγωνος πίνακας περιέχει δύο ίδιες σειρές (στήλες), τότε η ορίζουσα του είναι μηδέν.

Συνέπεια 2. Αν τα στοιχεία δύο σειρών (στήλων) ενός πίνακα είναι ανάλογα, τότε η ορίζοντή του είναι ίση με μηδέν.

2. Αν όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής (στήλης) ενός πίνακα πολλαπλασιαστούν με έναν αριθμό, η ορίζοντή του θα πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό.

Σχόλιο. Για το πρόσημο της ορίζουσας, μπορείτε να αφαιρέσετε τον κοινό παράγοντα οποιασδήποτε σειράς (στήλης), σε αντίθεση με τον πίνακα, για το πρόσημο του οποίου μπορείτε να αφαιρέσετε μόνο τον κοινό παράγοντα όλων των στοιχείων.

3. Κατά τη μεταφορά ενός πίνακα, η ορίζουσα του δεν αλλάζει.

4. Κατά την εναλλαγή δύο σειρών (στήλων) ενός πίνακα, η ορίζοντή του αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο.

5. Η ορίζουσα μήτρας δεν αλλάζει εάν σε οποιαδήποτε σειρά (στήλη) προστεθεί μια άλλη σειρά (στήλη) πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό.

6. Η ορίζουσα του γινομένου δύο τετραγωνικών πινάκων ισούται με το γινόμενο των οριζόντιών τους, δηλ.

Σχόλιο. Ακόμη και ΕΝΑ∙V ≠ V∙ΕΝΑ, .

Έτσι, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των οριζόντων, κάθε ορίζουσα μπορεί να αναχθεί σε τριγωνική μορφή. Ας δούμε αυτή τη διαδικασία με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.Υπολογίστε την ορίζουσα

Λύση.

§ 7. αντίστροφη μήτρα

Για κάθε αριθμό ένα¹ 0 υπάρχει μια αμοιβαία ένα-1 τέτοιο που ένα· ένα–1 = 1. Παρόμοια έννοια εισάγεται για τετράγωνους πίνακες.

Θεωρήστε έναν τετράγωνο πίνακα

.

τετράγωνη μήτρα ΕΝΑπου ονομάζεται μη εκφυλισμένοςαν η ορίζουσα του είναι μη μηδενική, και εκφυλισμένοςαν η ορίζουσα του είναι μηδέν.

τετράγωνη μήτρα ΕΝΑ-1 λέγεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗγια τετράγωνο πίνακα ΕΝΑ, εάν το γινόμενο τους τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά είναι ίσο με τον πίνακα ταυτότητας:

ΕΝΑ · ΕΝΑ –1 = Α-ένας · Α = Ε.

Σε αντίθεση με τους αριθμούς, δεν έχει κάθε τετράγωνος πίνακας αντίστροφο.

Θεώρημα (απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη αντίστροφου πίνακα). Προκειμένου ο πίνακας Α να έχει αντίστροφο, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι μη εκφυλισμένος.

;

,