Οι νόμοι των αριθμητικών πράξεων είναι παραδείγματα. Οι νόμοι των αριθμητικών πράξεων σε πραγματικούς αριθμούς. Θέμα: Νόμοι αριθμητικών πράξεων

Θέμα νούμερο 1.

Πραγματικοί αριθμοί Αριθμητικές εκφράσεις. Μετατροπή αριθμητικών παραστάσεων

Ι. Θεωρητικό υλικό

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

· Ακέραιοι αριθμοί

Δεκαδικός συμβολισμός

Αντίθετοι αριθμοί

· Ολόκληροι αριθμοί

Κοινό κλάσμα

Ρητοί αριθμοί

Άπειρο δεκαδικό

Αριθμός περιόδου, περιοδικό κλάσμα

Παράλογοι αριθμοί

Πραγματικοί αριθμοί

Αριθμητικές πράξεις

Αριθμητική παράσταση

Τιμή έκφρασης

Μετατροπή δεκαδικού σε κλάσμα

Μετατροπή κοινού κλάσματος σε δεκαδικό

Μετατροπή περιοδικού κλάσματος σε κοινό κλάσμα

Οι νόμοι των αριθμητικών πράξεων

Κριτήρια διαιρετότητας

Καλούνται οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται κατά την καταμέτρηση αντικειμένων ή για την ένδειξη του σειριακού αριθμού ενός αντικειμένου μεταξύ παρόμοιων αντικειμένων φυσικός... Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας το δέκα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Αυτή η σημειογραφία των αριθμών ονομάζεται δεκαδικός.

για παράδειγμα: 24; 3711; 40125.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών συνήθως συμβολίζεται Ν.

Καλούνται δύο αριθμοί που διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς το πρόσημο απεναντι αποαριθμοί.

για παράδειγμα, αριθμοί 7 και - 7.

Οι φυσικοί αριθμοί, απέναντι τους, καθώς και ο αριθμός μηδέν αποτελούν το σύνολο ολόκληρος Ζ.

για παράδειγμα: – 37; 0; 2541.

Ένας αριθμός του είδους, όπου Μ -ακέραιος αριθμός, n -φυσικός αριθμός, που ονομάζεται συνηθισμένος κλάσμα... Σημειώστε ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με παρονομαστή 1.

για παράδειγμα: , .

Η ένωση των συνόλων των ακεραίων και των κλασματικών αριθμών (θετικών και αρνητικών) αποτελεί το σύνολο λογικόςαριθμοί. Συνηθίζεται να το δηλώνουν Q.

για παράδειγμα: ; – 17,55; .

Έστω ένα δεκαδικό κλάσμα. Η σημασία του δεν θα αλλάξει εάν αντιστοιχίσετε οποιονδήποτε αριθμό μηδενικών στα δεξιά.

για παράδειγμα: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Αυτό το δεκαδικό κλάσμα ονομάζεται άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

Οποιοδήποτε κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

Καλείται μια διαδοχικά επαναλαμβανόμενη ομάδα ψηφίων μετά την υποδιαστολή στην αριθμητική εγγραφή περίοδος, και λέγεται ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα με τέτοια τελεία στη σημειογραφία του περιοδικός... Για συντομία, συνηθίζεται να γράφεται η περίοδος μία φορά, κλείνοντάς την σε παρένθεση.

για παράδειγμα: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

Τα άπειρα δεκαδικά μη περιοδικά κλάσματα λέγονται παράλογοςαριθμοί.

Η ένωση των συνόλων των ρητών και των παράλογων αριθμών αποτελεί το σύνολο έγκυροςαριθμοί. Συνηθίζεται να το δηλώνουν R.

για παράδειγμα: ; 0,(23); 41,3574…

Αριθμός είναι παράλογο.

Για όλους τους αριθμούς, ορίζονται οι ενέργειες τριών βημάτων:

· Δράσεις Στάδιο Ι: πρόσθεση και αφαίρεση.

· Δράσεις του σταδίου ΙΙ: πολλαπλασιασμός και διαίρεση.

· Δράσεις του σταδίου ΙΙΙ: ανέβασμα στη δύναμη και εξαγωγή της ρίζας.

Μια έκφραση που αποτελείται από αριθμούς, αριθμητικά σημεία και αγκύλες ονομάζεται αριθμητικός.

για παράδειγμα: ; .

Ο αριθμός που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της εκτέλεσης ενεργειών ονομάζεται αξία έκφρασης.

Αριθμητική παράσταση δεν έχει νόημααν περιέχει διαίρεση με το μηδέν.

Όταν βρεθεί η τιμή της έκφρασης, οι ενέργειες του σταδίου III, του σταδίου II και στο τέλος της δράσης του σταδίου Ι εκτελούνται διαδοχικά. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η τοποθέτηση παρενθέσεων σε μια αριθμητική παράσταση.

Η μετατροπή μιας αριθμητικής παράστασης συνίσταται στη διαδοχική εκτέλεση αριθμητικών πράξεων στους αριθμούς που περιλαμβάνονται σε αυτήν χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους κανόνες (ο κανόνας για την προσθήκη συνηθισμένων κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, πολλαπλασιασμός δεκαδικών κλασμάτων κ.λπ.). Εργασίες για τη μετατροπή αριθμητικών παραστάσεων σε σεμινάρια βρίσκονται στις ακόλουθες διατυπώσεις: "Εύρεση της τιμής μιας αριθμητικής παράστασης", "Απλοποίηση αριθμητικής παράστασης", "Υπολογισμός" κ.λπ.

Όταν βρίσκετε τις τιμές ορισμένων αριθμητικών παραστάσεων, πρέπει να εκτελέσετε ενέργειες με κλάσματα διαφορετικό είδος: συνηθισμένο, δεκαδικό, περιοδικό. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να χρειαστεί να μετατρέψετε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό ή να εκτελέσετε την αντίθετη ενέργεια - να αντικαταστήσετε το περιοδικό κλάσμα με ένα συνηθισμένο.

Μετατρέπω δεκαδικό κλάσμα προς κοινό, αρκεί να γράψετε τον αριθμό μετά την υποδιαστολή στον αριθμητή του κλάσματος και ένα με μηδενικά στον παρονομαστή και θα πρέπει να υπάρχουν τόσα μηδενικά όσα ψηφία στα δεξιά της υποδιαστολής.

για παράδειγμα: ; .

Μετατρέπω κλάσμα σε δεκαδικό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή του με τον παρονομαστή σύμφωνα με τον κανόνα της διαίρεσης ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν ακέραιο.

για παράδειγμα: ;

;

.

Μετατρέπω περιοδικό κλάσμα στο συνηθισμένο, απαραίτητη:

1) από τον αριθμό που βρίσκεται πριν από τη δεύτερη περίοδο, αφαιρέστε τον αριθμό που βρίσκεται πριν από την πρώτη περίοδο.

2) Καταγράψτε αυτή τη διαφορά ως αριθμητή.

3) στον παρονομαστή, γράψτε τον αριθμό 9 όσες φορές υπάρχουν αριθμοί στην περίοδο.

4) προσθέστε τόσα μηδενικά στον παρονομαστή όσα ψηφία υπάρχουν μεταξύ του κόμματος και της πρώτης περιόδου.

για παράδειγμα: ; .

Οι νόμοι των αριθμητικών πράξεων σε πραγματικούς αριθμούς

1. Προώθηση(αντιθετικός) νόμος της πρόσθεσης: η τιμή του αθροίσματος δεν αλλάζει από τη μετάθεση των όρων:

2. Προώθηση(ανταλλάξιμος) νόμος πολλαπλασιασμού: η μετάθεση παραγόντων δεν αλλάζει την τιμή του γινομένου:

3. Συνδυαστική(συνειρμικός) νόμος της πρόσθεσης: η τιμή του αθροίσματος δεν θα αλλάξει εάν οποιαδήποτε ομάδα όρων αντικατασταθεί από το άθροισμά τους:

4. Συνδυαστική(συνειρμικός) νόμος πολλαπλασιασμού: η τιμή του γινομένου δεν θα αλλάξει εάν οποιαδήποτε ομάδα παραγόντων αντικατασταθεί από ένα γινόμενο:

.

5. ΔιασταύρωσηΟ (κατανεμητικός) νόμος του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση: για να πολλαπλασιάσουμε το άθροισμα με έναν αριθμό, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο με αυτόν τον αριθμό και να προσθέσουμε τα γινόμενα που προκύπτουν:

Οι ιδιότητες 6 - 10 ονομάζονται νόμοι της απορρόφησης 0 και 1.

Κριτήρια διαιρετότητας

Οι ιδιότητες που επιτρέπουν, σε ορισμένες περιπτώσεις, χωρίς διαίρεση, να καθοριστεί εάν ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλον, ονομάζονται κριτήρια διαιρετότητας.

Διαιρετότητα με 2.Ο αριθμός διαιρείται με το 2 αν και μόνο αν η γραφή του αριθμού τελειώνει σε ακόμη καιεικόνα. Δηλαδή στα 0, 2, 4, 6, 8.

για παράδειγμα: 12834; –2538; 39,42.

Διαιρετότητα με 3... Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.

για παράδειγμα: 2742; –17940.

Διαιρετότητα με το 4... Ένας αριθμός που περιέχει τουλάχιστον τρία ψηφία διαιρείται με το 4 εάν και μόνο εάν ο διψήφιος αριθμός που σχηματίζεται από τα δύο τελευταία ψηφία του συγκεκριμένου αριθμού διαιρείται με το 4.

για παράδειγμα: 15436; –372516.

Διαιρετότητα με 5... Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν και μόνο αν το τελευταίο του ψηφίο είναι είτε 0 είτε 5.

για παράδειγμα: 754570; –4125.

Διαιρετότητα με το 9... Ένας αριθμός διαιρείται με το 9 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

για παράδειγμα: 846; –76455.

18-19.10.2010

Θέμα: «ΝΟΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ»

Στόχος: να εξοικειώσει τους μαθητές με τους νόμους των αριθμητικών πράξεων.

Στόχοι μαθήματος:

να αποκαλύψει τους νόμους μετατόπισης και συνδυασμού της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα, να τους διδάξει να εφαρμόζουν όταν απλοποιούν εκφράσεις.

να σχηματίσουν την ικανότητα απλοποίησης των εκφράσεων.

εργασία για την ανάπτυξη της λογικής σκέψης και ομιλίας των παιδιών.

εκπαιδεύστε την ανεξαρτησία, την περιέργεια, το ενδιαφέρον για το θέμα.

UUD: την ικανότητα να ενεργεί με σύμβολα σημάδια,

την ικανότητα επιλογής των λόγων, κριτηρίων σύγκρισης, αντιπαράθεσης, αξιολόγησης και ταξινόμησης αντικειμένων.

Εξοπλισμός: εγχειρίδιο, ΤΕΚ, παρουσίαση

Ρύζι. Εικ. 30 31

Χρησιμοποιώντας το Σχήμα 30, εξηγήστε γιατί ισχύει η ισότητα.

α + β = β + α.

Αυτή η ισότητα εκφράζει την ιδιότητα της πρόσθεσης που γνωρίζετε. Προσπαθήστε να θυμηθείτε ποιο.

Ελεγξε τον εαυτό σου:

Το άθροισμα δεν αλλάζει από την αλλαγή θέσεων των όρων

Αυτή η ιδιοκτησία - ταξιδιωτικό νόμο της προσθήκης.

Ποια ισότητα μπορεί να γραφτεί από το Σχήμα 31; Ποια ιδιότητα της πρόσθεσης εκφράζει αυτή την ισότητα;

Ελεγξε τον εαυτό σου.

Από το σχήμα 31 προκύπτει ότι (a + b) + c = a + (b + c): Εάν προσθέσετε τον τρίτο όρο στο άθροισμα δύο όρων, θα έχετε τον ίδιο αριθμό με το άθροισμα του δεύτερου και του τρίτου όρου στον πρώτο όρο.

Αντί για (a + b) + c, καθώς και | αντί για + (b + c), μπορείτε απλά να γράψετε a + b + c.

Αυτή η ιδιοκτησία - συνδυασμός νόμος της πρόσθεσης.

Στα μαθηματικά, οι νόμοι των αριθμητικών πράξεων γράφονται όπως στο | λεκτική μορφή και με τη μορφή ισοτήτων χρησιμοποιώντας γράμματα:

Εξηγήστε πώς μπορούν να απλοποιηθούν οι ακόλουθοι υπολογισμοί χρησιμοποιώντας τους νόμους της πρόσθεσης και εκτελέστε τους:

212. α) 48 + 56 + 52; ε) 25 + 65 + 75;

β) 34 + 17 + 83; στ) 35 + 17 + 65 + 33;

γ) 56 + 24 + 38 + 62; ζ) 27 + 123 + 16 + 234;

δ) 88 + 19 + 21 + 12; η) 156 + 79 + 21 + 44.

213. Χρησιμοποιώντας το Σχήμα 32, εξηγήστε γιατί ισχύει η ισότητα αβ = σι ένα.

Μπορείτε να μαντέψετε ποιος νόμος απεικονίζει αυτήν την ισότητα; Μπορεί να υποστηριχθεί ότι για

Ο πολλαπλασιασμός είναι οι ίδιοι νόμοι με την πρόσθεση; Προσπαθήστε να τα διατυπώσετε,

και μετά ελέγξτε τον εαυτό σας:

Χρησιμοποιώντας τους νόμους του πολλαπλασιασμού, υπολογίστε προφορικά τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων:

214. α) 76 · 5 · 2; γ) 69 * 125 * 8; ε) 8 941 125; ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ

β) 465 * 25 * 4; δ) 4 * 213 * 5 * 5; στ) 2 5 126 4 25.

215. Βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου Α Β Γ Δ(εικ. 33) με δύο τρόπους.

216. Χρησιμοποιώντας το σχήμα 34, εξηγήστε γιατί ισχύει η ισότητα: a (b + c) = ab + ac.

Ρύζι. 34 Ποια ιδιότητα των αριθμητικών πράξεων εκφράζει;

Ελεγξε τον εαυτό σου. Αυτή η ισότητα απεικονίζει την ακόλουθη ιδιότητα: όταν πολλαπλασιάζετε έναν αριθμό με ένα άθροισμα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον αριθμό με κάθε όρο και να προσθέσετε τα αποτελέσματα που προέκυψαν.

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να διαμορφωθεί με άλλο τρόπο: το άθροισμα δύο ή περισσότερων προϊόντων που περιέχουν τον ίδιο παράγοντα μπορεί να αντικατασταθεί από το γινόμενο αυτού του παράγοντα από το άθροισμα των υπόλοιπων παραγόντων.

Αυτή η ιδιότητα είναι ένας άλλος νόμος των αριθμητικών πράξεων - διανεμητικός... Όπως μπορείτε να δείτε, η προφορική διατύπωση αυτού του νόμου είναι πολύ δυσκίνητη και η μαθηματική γλώσσα είναι το μέσο που τον καθιστά συνοπτικό και κατανοητό:

Σκεφτείτε πώς να εκτελέσετε προφορικά τους υπολογισμούς στις εργασίες Νο. 217 - 220 και ολοκληρώστε τους.

217. α) 15 13; β) 26 22; γ) 34 12; δ) 27 21.

218. α) 44 52; β) 16 42; γ) 35 · 33; δ) 36 26.

219. α) 43 16 + 43 84; ε) 62 16 + 38 16;

β) 85 47 + 53 85; στ) 85 44 + 44 15;

γ) 54 60 + 460 6. ζ) 240 710 + 7100 76;

δ) 23 320 + 230 68; η) 38 5800 + 380 520.

220. α) 4 63 + 4 79 + 142 6; γ) 17 27 + 23 17 + 50 19;

β) 7 125 + 3 62 + 63 3; δ) 38 46 + 62 46 + 100 54.

221. Σχεδιάστε ένα σχέδιο στο τετράδιό σας για να αποδείξετε την ισότητα ένα ( σι - γ) = α σι - άσσος

222. Υπολογίστε προφορικά, εφαρμόζοντας τον νόμο κατανομής: α) 6 · 28; β) 18 21; γ) 17 · 63; δ) 19 98.

223. Υπολογίστε προφορικά: α) 34 · 84 - 24 · 84; γ) 51 78 - 51 58;

β) 45 40 - 40 25; δ) 63 7 - 7 33

224 Υπολογίστε: α) 560 188 - 880 56; γ) 490 730 - 73 900;

β) 84 670 - 640 67; δ) 36 3400 - 360 140.

Υπολογίστε προφορικά χρησιμοποιώντας τις τεχνικές που γνωρίζετε:

225. α) 13 5 + 71 5; γ) 87 5 - 23 5; ε) 43 25 + 25 17;

β) 58 5 - 36 5; δ) 48 5 + 54 5; στ) 25 67 - 39 25.

226. Χωρίς να κάνετε κανέναν υπολογισμό, συγκρίνετε τις τιμές των παραστάσεων:

α) 258 * (764 + 548) και 258 * 764 + 258 * 545. γ) 532 · (618 - 436) και 532 · 618 –532 · 436;

β) 751 * (339 + 564) και 751 * 340 + 751 * 564; δ) 496 (862 - 715) και 496 860 - 496 715.

227. Συμπληρώστε τον πίνακα:

Χρειάστηκε να κάνετε υπολογισμούς για να συμπληρώσετε τη δεύτερη γραμμή;

228. Πώς θα αλλάξει αυτό το προϊόν εάν αλλάξουν οι παράγοντες ως εξής:

229. Γράψτε ποιοι φυσικοί αριθμοί βρίσκονται στην ακτίνα συντεταγμένων:

α) στα αριστερά του αριθμού 7. γ) μεταξύ των αριθμών 2895 και 2901.

β) μεταξύ των αριθμών 128 και 132. δ) στα δεξιά του αριθμού 487, αλλά στα αριστερά του αριθμού 493.

230. Εισαγάγετε τα σημάδια δράσης για να πάρετε τη σωστή ισότητα: α) 40 + 15; 17 = 72; γ) 40; 15 ? 17 = 8;

β) 40; 15 ? 17 = 42; δ) 120; 60; 60 = 0.

231 ... Οι κάλτσες είναι μπλε στο ένα κουτί και λευκές στο άλλο. Υπάρχουν 20 περισσότερα ζευγάρια μπλε κάλτσες από τις λευκές και υπάρχουν μόνο δύο κουτιά με 84 κάλτσες Lara. Πόσα ζευγάρια κάλτσες από κάθε χρώμα;

232 ... Υπάρχουν τρία είδη πλιγούρι στο κατάστημα: φαγόπυρο, μαργαριτάρι και ρύζι, μόνο 580 κιλά. Εάν πωλούνταν 44 κιλά φαγόπυρο, 18 κιλά μαργαριταρένιο κριθάρι και 29 κιλά ρύζι, τότε η μάζα των δημητριακών όλων των τύπων θα γινόταν η ίδια. Πόσα κιλά από κάθε είδος πλιγούρι υπάρχουν στο κατάστημα.

Σκοπός: έλεγχος του σχηματισμού δεξιοτήτων για την εκτέλεση υπολογισμών με τύπους. να εξοικειώσει τα παιδιά με τους νόμους μετατόπισης, συνδυασμού και κατανομής της αριθμητικής.

• να εξοικειωθεί με την κυριολεκτική σημειογραφία των νόμων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. διδάσκουν να εφαρμόζουν τους νόμους των αριθμητικών πράξεων για την απλοποίηση των υπολογισμών και των κυριολεκτικών εκφράσεων.
• ανάπτυξη λογικής σκέψης, νοητικές δεξιότητες, βουλητικές συνήθειες, μαθηματική ομιλία, μνήμη, προσοχή, ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, πρακτικότητα.
• καλλιεργούν το σεβασμό ο ένας για τον άλλον, την αίσθηση της συντροφικότητας, την εμπιστοσύνη.

Τύπος μαθήματος: συνδυασμένο.

• επαλήθευση γνώσεων που έχουν αποκτηθεί προηγουμένως·
• προετοιμασία των μαθητών για να κατακτήσουν νέο υλικό
• παρουσίαση νέου υλικού·
• αντίληψη και επίγνωση των μαθητών για το νέο υλικό.
• πρωτογενής ενοποίηση του μελετημένου υλικού.
• συνοψίζοντας το μάθημα και ορίζοντας εργασίες για το σπίτι.

Εξοπλισμός: υπολογιστής, προβολέας, παρουσίαση.

Σχέδιο:

1. Οργανωτική στιγμή.
2. Επαλήθευση προηγουμένως μελετημένου υλικού.
3. Εκμάθηση νέου υλικού.
4. Αρχική εξέταση αφομοίωσης γνώσεων (εργασία με το σχολικό βιβλίο).
5. Έλεγχος και αυτοεξέταση γνώσεων (ανεξάρτητη εργασία).
6. Συνοψίζοντας το μάθημα.
7. Αντανάκλαση.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή

Δάσκαλος: Καλησπέρα παιδιά! Ξεκινάμε το μάθημά μας με ένα ποίημα - χωριστικές λέξεις. Δώστε προσοχή στην οθόνη. (1 διαφάνεια). Παράρτημα 2 .

Φίλοι μαθηματικά
Το χρειάζονται απολύτως όλοι.
Εργαστείτε επιμελώς στην τάξη
Και σίγουρα η επιτυχία σας περιμένει!

2. Επανάληψη υλικού

Ας επαναλάβουμε το περασμένο υλικό. Προσκαλώ τον μαθητή στην οθόνη. Η εργασία: να συνδέσετε τον γραπτό τύπο με το όνομά του με έναν δείκτη και να απαντήσετε στην ερώτηση, τι άλλο μπορείτε να βρείτε με τη βοήθεια αυτού του τύπου. (2 διαφάνειες).

Ανοίξτε τετράδια, υπογράψτε τον αριθμό, καλή δουλειά. Δώστε προσοχή στην οθόνη. (3 διαφάνειες).

Δουλεύουμε προφορικά την επόμενη διαφάνεια. (5 διαφάνειες).

12 + 5 + 8		25 10		250 – 50
200 – 170		30 + 15		45: 3
15 + 30		45 – 17		28 25 4

Εργασία: βρείτε τη σημασία των εκφράσεων. (Ένας μαθητής εργάζεται στην οθόνη.)

- Τι ενδιαφέροντα πράγματα προσέξατε κατά την επίλυση παραδειγμάτων; Σε ποια παραδείγματα πρέπει να δώσετε ιδιαίτερη προσοχή; (Απαντήσεις παιδιών.)

Προβληματική κατάσταση

- Ποιες ιδιότητες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού γνωρίζετε από το δημοτικό; Ξέρετε πώς να τα γράφετε χρησιμοποιώντας κυριολεκτικές εκφράσεις; (Απαντήσεις παιδιών).

3. Εκμάθηση νέου υλικού

- Και έτσι, το θέμα του σημερινού μαθήματος είναι "Οι νόμοι των αριθμητικών πράξεων" (6 διαφάνειες).
- Καταγράψτε το θέμα του μαθήματος σε ένα τετράδιο.
- Τι καινούργιο πρέπει να μάθουμε στο μάθημα; (Μαζί με τα παιδιά διατυπώνονται οι στόχοι του μαθήματος).
- Κοιτάμε την οθόνη. (7 διαφάνεια).

Μπορείτε να δείτε τους νόμους της πρόσθεσης γραμμένους σε μορφή γράμματος και παραδείγματα. (Ανάλυση παραδειγμάτων).

- Επόμενη διαφάνεια (8 διαφάνεια).

Αναλύουμε τους νόμους του πολλαπλασιασμού.

- Και τώρα ας γνωρίσουμε έναν πολύ σημαντικό νόμο διανομής (Διαφάνεια 9).

- Συνοψίστε. (10 διαφάνειες).

- Γιατί είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τους νόμους των αριθμητικών πράξεων; Θα είναι χρήσιμα σε περαιτέρω σπουδές, στη μελέτη ποιων θεμάτων; (Απαντήσεις παιδιών.)

- Σημειώστε τους νόμους σε ένα τετράδιο.

4. Ασφάλιση του υλικού

- Ανοίξτε το σχολικό βιβλίο και βρείτε προφορικά τον αριθμό 212 (α, β, ε).

Νο 212 (γ, δ, ζ, η) γραπτώς στον πίνακα και σε τετράδια. (Εξέταση).

- Προφορική εργασία στο Νο. 214.

- Εκτελούμε την εργασία με αριθμό 215. Ποιος νόμος χρησιμοποιείται για την επίλυση αυτού του αριθμού; (Απαντήσεις παιδιών).

5. Ανεξάρτητη εργασία

- Γράψτε την απάντηση στην κάρτα και συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με τον συνεργάτη σας. Τώρα δώστε προσοχή στην οθόνη. (11 διαφάνεια).(Τεστ αυτοαξιολογισης).

6. Περίληψη μαθήματος

- Προσοχή στην οθόνη. (12 διαφάνειες).Συμπλήρωσε την πρόταση.

Βαθμοί μαθήματος.

7. Εργασία για το σπίτι

§13, αρ. 227, 229.

8. Αντανάκλαση

Η προσέγγιση της προσθήκης μη αρνητικών ακεραίων καθιστά δυνατή την τεκμηρίωση των γνωστών νόμων της πρόσθεσης: μετατόπισης και συνδυασμού.

Ας αποδείξουμε πρώτα τον νόμο μετατόπισης, δηλαδή θα αποδείξουμε ότι για τυχόν μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς a και b ισχύει η ισότητα a + b = b + a.

Έστω a ο αριθμός των στοιχείων στο σύνολο A, b - ο αριθμός των στοιχείων στο σύνολο B και AB = 0. Τότε, εξ ορισμού, το άθροισμα των μη αρνητικών ακεραίων a + b είναι ο αριθμός των στοιχείων της ένωσης των συνόλων A και B: a + b = n (A // B). Αλλά το σύνολο A B είναι ίσο με το σύνολο B A σύμφωνα με την ιδιότητα μετατόπισης της ένωσης των συνόλων, και, επομένως, n (AU B) = n (B U A). Με τον ορισμό του αθροίσματος n (BiA) = b + a, επομένως a + b = b + a για τυχόν μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς a και b.

Ας αποδείξουμε τώρα τον νόμο του συνδυασμού, δηλαδή θα αποδείξουμε ότι για τυχόν μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς a, b, c ισχύει η ισότητα (a + b) + c = a + (b + c).

Έστω a = n (A), b = n (B), c = n (C) και AUB = 0, BUC = 0 Στη συνέχεια, με τον ορισμό του αθροίσματος δύο αριθμών, μπορούμε να γράψουμε (a + b) + c = n (A / /) B) + n (C) = n ((AUBUC).

Εφόσον η ένωση των συνόλων υπακούει στο νόμο του συνδυασμού, τότε n ((AUB) U C) = n (A U (BUC)). Όπου, με τον ορισμό του αθροίσματος δύο αριθμών, έχουμε n (A J (BUC)) = n (A) + n (BU C) = a + (b + c). Επομένως, (a + b) + c - a + (b + c) για τυχόν μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς a, b και c.

Ποιος είναι ο σκοπός του συνδυαστικού νόμου της πρόσθεσης; Εξηγεί πώς μπορείτε να βρείτε το άθροισμα τριών όρων: για αυτό, αρκεί να προσθέσετε τον πρώτο όρο με τον δεύτερο και να προσθέσετε τον τρίτο όρο στον αριθμό που προκύπτει ή να προσθέσετε τον πρώτο όρο στο άθροισμα του δεύτερου και του τρίτου. Σημειώστε ότι ο νόμος του συνδυασμού δεν συνεπάγεται μετάθεση όρων.

Τόσο ο νόμος μετατόπισης όσο και ο συνδυασμός της πρόσθεσης μπορούν να γενικευθούν σε οποιονδήποτε αριθμό όρων. Σε αυτήν την περίπτωση, ο νόμος μετατόπισης θα σημαίνει ότι το άθροισμα δεν αλλάζει με οποιαδήποτε μετάθεση των όρων και ο νόμος του συνδυασμού σημαίνει ότι το άθροισμα δεν αλλάζει με καμία ομαδοποίηση όρων (χωρίς να αλλάξει η σειρά τους).

Από τους νόμους της πρόσθεσης ταξιδιού και συνδυασμού προκύπτει ότι το άθροισμα πολλών όρων δεν θα αλλάξει εάν αναδιαταχθούν με οποιονδήποτε τρόπο και εάν κάποια ομάδα από αυτούς περικλείεται σε παρένθεση.

Υπολογίζουμε, χρησιμοποιώντας τους νόμους της πρόσθεσης, την τιμή της παράστασης 109 + 36+ 191 +64 + 27.

Με βάση τον νόμο μεταφοράς, αναδιατάσσουμε τους όρους 36 και 191. Στη συνέχεια 109 + 36 + 191 + 64 + 27 = 109 + 191 + 36 + 64 + 27.

Θα χρησιμοποιήσουμε το νόμο του συνδυασμού, ομαδοποιώντας τους όρους και, στη συνέχεια, θα βρούμε τα αθροίσματα σε παρένθεση: 109+ 191 +36 + 64 + 27 == (109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.

Ας εφαρμόσουμε τον νόμο του συνδυασμού για άλλη μια φορά, περικλείοντας το άθροισμα των αριθμών 300 και 100 σε παρένθεση: 300+ 100 + 27 = (300+ 100) + 27.

Ας κάνουμε τους υπολογισμούς: (300+ 100) + 27 = 400+ 27 = 427.

Οι μαθητές του Δημοτικού Σχολείου γνωρίζουν την κινητή περιουσία της πρόσθεσης μελετώντας τους αριθμούς της πρώτης δεκάδας. Χρησιμοποιείται αρχικά για τη σύνταξη ενός μονοψήφιου πίνακα πρόσθεσης και στη συνέχεια για τον εξορθολογισμό διαφόρων υπολογισμών.

Ο συνδυασμός νόμος της πρόσθεσης δεν μελετάται ρητά στο στοιχειώδες μάθημα των μαθηματικών, αλλά χρησιμοποιείται συνεχώς. Έτσι, είναι η βάση για τη μέθοδο πρόσθεσης ενός αριθμού σε μέρη: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1) + 1 = 4 + 1 = 5. Επιπλέον, στις περιπτώσεις που είναι απαραίτητο να προστεθεί ένας αριθμός στο ποσό, το ποσό στον αριθμό, το ποσό στο ποσό, ο νόμος συνδυασμού χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με τον νόμο μεταφοράς. Για παράδειγμα, προτείνεται να προσθέσετε το άθροισμα 2 + 1 στον αριθμό 4 με τους εξής τρόπους:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

Ας αναλύσουμε αυτές τις μεθόδους. Στην περίπτωση 1, οι υπολογισμοί έγιναν σύμφωνα με την υποδεικνυόμενη διαδικασία. Στην περίπτωση 2 εφαρμόζεται η συνδυαστική ιδιότητα της πρόσθεσης. Οι υπολογισμοί στην τελευταία περίπτωση βασίζονται στους νόμους μετατόπισης και συνδυασμού της πρόσθεσης και οι ενδιάμεσοι μετασχηματισμοί παραλείπονται. Είναι έτσι. Πρώτον, βάσει του νόμου μετατόπισης, οι όροι 1 και 2 αναδιατάχθηκαν: 4+ (2-1) = 4 + (1 + 2). Στη συνέχεια χρησιμοποιήσαμε τον νόμο του συνδυασμού: 4 + (1 +2) = (4+ 1) + 2. Και, τέλος, κάναμε υπολογισμούς σύμφωνα με τη διαδικασία (4 +1) + 2 = 5 + 2 = 7.

Κανόνες για την αφαίρεση ενός αριθμού από ένα άθροισμα και ενός αθροίσματος από έναν αριθμό

Ας δικαιολογήσουμε τους γνωστούς κανόνες για την αφαίρεση ενός αριθμού από ένα άθροισμα και ενός αθροίσματος από έναν αριθμό.

Ο κανόνας για την αφαίρεση ενός αριθμού από ένα άθροισμα. Για να αφαιρέσετε έναν αριθμό από το άθροισμα, αρκεί να αφαιρέσετε αυτόν τον αριθμό από ένα από τα αθροίσματα του αθροίσματος και να προσθέσετε ένα άλλο άθροισμα στο αποτέλεσμα που προκύπτει.

Γράφουμε αυτόν τον κανόνα χρησιμοποιώντας τα σύμβολα: Αν τα a, b, c είναι μη αρνητικοί ακέραιοι, τότε:

α) για a> c έχουμε ότι (a + b) - c = (a - c) + b;

β) για b> c έχουμε ότι (a + b) - c = a + (b - c);

γ) για a> c και b> c, οποιοσδήποτε από αυτούς τους τύπους μπορεί να χρησιμοποιηθεί.

Έστω a> c, τότε η διαφορά a - c υπάρχει. Ας το συμβολίσουμε με p: a - c = p. Εξ ου και a = p + c. Αντικαταστήστε το άθροισμα p + -c αντί για a στην παράσταση (a + b) - c και μετατρέψτε το: (a + 6) --c = (p + c + b) - c = p + b + -c - c = p + b

Όμως το γράμμα p δηλώνει τη διαφορά a - c, που σημαίνει ότι έχουμε (a + b) - - c = (a - c) + b, όπως απαιτείται.

Η συλλογιστική διενεργείται με παρόμοιο τρόπο και για άλλες περιπτώσεις. Ας δώσουμε τώρα μια απεικόνιση αυτού του κανόνα (περίπτωση "α") χρησιμοποιώντας κύκλους Euler. Πάρτε τρία πεπερασμένα σύνολα A, B και C έτσι ώστε n (A) = a, n (B) = b, n (C) = c και AUB = 0, CUA. Τότε (a + b) - c είναι ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου (AUB) C και ο αριθμός (a - c) + b είναι ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου (AC) UB. Στους κύκλους του Euler, το σύνολο (AUB) C αντιπροσωπεύεται από τη σκιασμένη περιοχή που φαίνεται στο σχήμα.

Είναι εύκολο να βεβαιωθείτε ότι το σύνολο (AC) UB θα αντιπροσωπεύεται από την ίδια ακριβώς περιοχή. Ως εκ τούτου, (AUB) C = (AC) UB για δεδομένα

σύνολα A, B και C. Επομένως, n ((AUB) C) = n ((AC) UB) και (a + b) - c - (a - c) + b.

Η περίπτωση β μπορεί να απεικονιστεί με παρόμοιο τρόπο.

Ο κανόνας για την αφαίρεση του ποσού από τον αριθμό. Για να αφαιρέσετε το άθροισμα των αριθμών από τον αριθμό, αρκεί να αφαιρέσετε από αυτόν τον αριθμό διαδοχικά κάθε όρος ένας προς έναν, δηλ. εάν τα a, b, c είναι μη αρνητικοί ακέραιοι, τότε για a> b + c έχουμε a - (β + γ ) = (α - β) - γ.

Το σκεπτικό αυτού του κανόνα και η θεωρητική του απεικόνιση συνόλων εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως και για τον κανόνα για την αφαίρεση ενός αριθμού από ένα άθροισμα.

Οι παραπάνω κανόνες εξετάζονται στο δημοτικό σχολείο με συγκεκριμένα παραδείγματα, χρησιμοποιούνται οπτικές εικόνες για αιτιολόγηση. Αυτοί οι κανόνες σάς επιτρέπουν να εκτελείτε τους υπολογισμούς αποτελεσματικά. Για παράδειγμα, ο κανόνας για την αφαίρεση ενός αθροίσματος από έναν αριθμό είναι η βάση για την αφαίρεση ενός αριθμού σε μέρη:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

Το νόημα αυτών των κανόνων αποκαλύπτεται καλά κατά την επίλυση αριθμητικών προβλημάτων με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, το πρόβλημα «20 μικρά και 8 μεγάλα ψαροκάικα βγήκαν στη θάλασσα το πρωί. 6 σκάφη επέστρεψαν. Πόσες βάρκες με ψαράδες πρέπει ακόμα να επιστρέψουν;». μπορεί να λυθεί με τρεις τρόπους:

/ τρόπος. 1,20 + 8 = 28 2,28 - 6 = 22

// τρόπος. 1,20 - 6 = 14 2,14 + 8 = 22

Μέθοδος III. 1,8 - 6 = 2 2,20 + 2 = 22

Οι νόμοι του πολλαπλασιασμού

Ας αποδείξουμε τους νόμους του πολλαπλασιασμού με βάση τον ορισμό ενός γινομένου ως προς το καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων.

1. Ο νόμος μετατόπισης: για τυχόν μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς a και b, η ισότητα a * b = b * a είναι αληθής.

Έστω a = n (Α), b = n (Β). Τότε, με τον ορισμό του γινομένου, a * b = n (A * B). Αλλά τα σύνολα A * B και B * A είναι ίσης ισχύος: κάθε ζεύγος (a, b) από το σύνολο AXB μπορεί να συσχετιστεί με ένα μόνο ζεύγος (b, a) από το σύνολο BxA, και αντίστροφα. Επομένως, n (AXB) = n (BxA), και επομένως a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-a.

2. Συνδυαστικός νόμος: για τυχόν μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς a, b, c, η ισότητα (a * b) * c = a * (b * c) είναι αληθής.

Έστω a = n (A), b = n (B), c = n (C). Στη συνέχεια, με τον ορισμό του γινομένου (ab) -c = n ((AXB) XQ, a- (b -c) = n (AX (BXQ). Τα σύνολα (AxB) XC και AX (BX Q) είναι διαφορετικά: το πρώτο αποτελείται από ζεύγη της μορφής ((a, b), c) και το δεύτερο - από ζεύγη της μορφής (a, (b, c)), όπου aЈA, bЈB, cЈC. Αλλά τα σύνολα (AXB) Τα XC και AX (BXC) είναι ίσα, αφού υπάρχει αντιστοίχιση ένα προς ένα από το ένα σύνολο στο άλλο. Επομένως, n ((AXB) * ​​C) = n (A * (B * C)), και , επομένως, (a * b) * c = a * (b * c).

3. Νόμος κατανομής του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση: για τυχόν μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς a, b, c, η ισότητα (a + b) x c = ac + be είναι αληθής.

Έστω a - n (A), b = n (B), c = n (C) και AUB = 0. Τότε, με τον ορισμό του γινομένου, έχουμε (a + b) xc = n ((AUB) * Γ. Από όπου, με βάση την ισότητα (*) λαμβάνουμε n ((A UB) * C) = n ((A * C) U (B * C)), και περαιτέρω, με τον ορισμό του αθροίσματος και του γινομένου n ( (A * C) U (B * C) ) - = n (A * C) + n (B * C) = ac + bc.

4. Κατανεμητικός νόμος του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση: για τυχόν μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς a, b και c και a ^ b, η ισότητα (a - b) c = = ac - bc είναι αληθής.

Ο νόμος αυτός προέρχεται από την ισότητα (AB) * C = (A * C) (B * C) και αποδεικνύεται παρόμοια με τον προηγούμενο.

Οι νόμοι κίνησης και συνδυασμού του πολλαπλασιασμού μπορούν να επεκταθούν σε οποιονδήποτε αριθμό παραγόντων. Όπως και με την προσθήκη, αυτοί οι νόμοι χρησιμοποιούνται συχνά μαζί, δηλαδή, το γινόμενο πολλών παραγόντων δεν θα αλλάξει εάν αναδιαταχθούν με οποιονδήποτε τρόπο και εάν οποιαδήποτε ομάδα από αυτούς περικλείεται σε παρένθεση.

Οι νόμοι κατανομής καθορίζουν τη σύνδεση μεταξύ πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης και αφαίρεσης. Με βάση αυτούς τους νόμους, οι αγκύλες επεκτείνονται σε εκφράσεις όπως (a + b) c και (a - b) c, καθώς και ο παράγοντας αφαιρείται από τις αγκύλες εάν η έκφραση έχει τη μορφή ac - be ή

Στο στοιχειώδες μάθημα των μαθηματικών μελετάται η μετατιθέμενη ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, διατυπώνεται ως εξής: "Το γινόμενο δεν θα αλλάξει από τη μετάθεση των παραγόντων" - και χρησιμοποιείται ευρέως στη σύνταξη του πίνακα πολλαπλασιασμού για μονοψήφιους αριθμούς. Ο νόμος συνδυασμού στο δημοτικό σχολείο δεν εξετάζεται ρητά, αλλά χρησιμοποιείται μαζί με τον νόμο του αντιπροσώπου όταν πολλαπλασιάζεται ένας αριθμός με ένα γινόμενο. Συμβαίνει ως εξής: οι μαθητές καλούνται να εξετάσουν διάφορους τρόπους εύρεσης της τιμής της έκφρασης 3 * (5 * 2) και να συγκρίνουν τα αποτελέσματα.

Δίνονται περιπτώσεις:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

Το πρώτο από αυτά βασίζεται στον κανόνα της σειράς των ενεργειών, το δεύτερο - στον συνδυαστικό νόμο του πολλαπλασιασμού, το τρίτο - στους μετατιθέμενους και συνδυαστικούς νόμους πολλαπλασιασμού.

Ο κατανεμητικός νόμος του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση εξετάζεται στο σχολείο με συγκεκριμένα παραδείγματα και ονομάζεται κανόνες για τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με ένα άθροισμα και ενός αθροίσματος με έναν αριθμό. Η εξέταση αυτών των δύο κανόνων υπαγορεύεται από μεθοδολογικές εκτιμήσεις.

Κανόνες για τη διαίρεση ενός αθροίσματος με έναν αριθμό και των αριθμών με ένα γινόμενο

Ας γνωρίσουμε μερικές ιδιότητες διαίρεσης φυσικών αριθμών. Η επιλογή αυτών των κανόνων καθορίζεται από το περιεχόμενο του μαθήματος των μαθηματικών της στοιχειώδους εκπαίδευσης.

Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός αθροίσματος με έναν αριθμό. Αν οι αριθμοί a και b διαιρούνται με τον αριθμό c, τότε το άθροισμά τους a + b διαιρείται με το c. το πηλίκο που προκύπτει διαιρώντας το άθροισμα a + b με τον αριθμό c είναι ίσο με το άθροισμα των πηλίκων που προκύπτουν διαιρώντας το a με το c και το b με το c, δηλ.

(α + β): γ = α: γ + β: γ.

Απόδειξη. Εφόσον το a διαιρείται με το c, υπάρχει ένας φυσικός αριθμός m = a: c τέτοιος ώστε a = c-m. Ομοίως, υπάρχει ένας φυσικός αριθμός n - b: c τέτοιος ώστε b = c-n. Τότε a + b = = c-m + c- / 2 = c- (m + n). Επομένως, προκύπτει ότι το a + b διαιρείται με το c και το πηλίκο που προκύπτει από τη διαίρεση του a + b με τον αριθμό c είναι ίσο με m + n, δηλαδή a: c + b: c.

Ο αποδεδειγμένος κανόνας μπορεί να ερμηνευτεί από την άποψη της θεωρίας συνόλων.

Έστω a = n (A), b = n (B) και AGB = 0. Εάν καθένα από τα σύνολα Α και Β μπορεί να διαιρεθεί σε c εξίσου ισχυρά υποσύνολα, τότε η ένωση αυτών των συνόλων δέχεται επίσης την ίδια κατάτμηση.

Επιπλέον, εάν κάθε υποσύνολο του διαμερίσματος του συνόλου A περιέχει στοιχεία a: c και κάθε υποσύνολο του συνόλου B περιέχει στοιχεία b: c, τότε κάθε υποσύνολο του συνόλου A [) B περιέχει στοιχεία a: c + b: c . Αυτό σημαίνει ότι (α + β): γ = α: γ + β: γ.

Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός αριθμού με ένα γινόμενο. Εάν ένας φυσικός αριθμός a διαιρείται με τους φυσικούς αριθμούς b και c, τότε για να διαιρεθεί το a με το γινόμενο των αριθμών b και c, αρκεί να διαιρεθεί ο αριθμός a με το b (c) και να διαιρεθεί το πηλίκο που προκύπτει με το c ( β): α: (β * γ) - (α: β): γ = (α: γ): β Απόδειξη. Βάλτε (α: β): γ = χ. Τότε, με τον ορισμό του πηλίκου, a: b = c-x, επομένως είναι ανάλογο με το a - b- (cx). Με βάση το νόμο του συνδυασμού του πολλαπλασιασμού a = (bc) -x. Η ισότητα που προκύπτει σημαίνει ότι a: (bc) = x. Άρα α: (βγ) = (α: β): γ.

Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με ένα πηλίκο δύο αριθμών. Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με ένα πηλίκο δύο αριθμών, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε αυτόν τον αριθμό με το μέρισμα και να διαιρέσουμε το γινόμενο που προκύπτει με τον διαιρέτη, δηλ.

α- (β: γ) = (α-β): γ.

Η εφαρμογή των διατυπωμένων κανόνων επιτρέπει την απλοποίηση των υπολογισμών.

Για παράδειγμα, για να βρείτε την τιμή της παράστασης (720+ 600): 24, αρκεί να διαιρέσετε με 24 όρους 720 και 600 και να προσθέσετε τα πηλίκα που προκύπτουν:

(720+ 600): 24 = 720: 24 + 600: 24 = 30 + 25 = 55. Η τιμή της παράστασης 1440: (12 * 15) μπορεί να βρεθεί διαιρώντας πρώτα το 1440 με το 12 και στη συνέχεια το πηλίκο που προκύπτει είναι διαιρούμενο με 15:

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

Αυτοί οι κανόνες εξετάζονται στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών με συγκεκριμένα παραδείγματα. Κατά την πρώτη γνωριμία με τον κανόνα της διαίρεσης του αθροίσματος 6 + 4 με τον αριθμό 2, χρησιμοποιείται ενδεικτικό υλικό. Στο μέλλον, αυτός ο κανόνας χρησιμοποιείται για τον εξορθολογισμό των υπολογισμών. Ο κανόνας της διαίρεσης ενός αριθμού με ένα γινόμενο χρησιμοποιείται ευρέως κατά τη διαίρεση αριθμών που τελειώνουν σε μηδέν.

Στο μέλλον, όταν μελετάμε ενέργειες σε αριθμούς, που αντιπροσωπεύονται από αριθμούς ή γράμματα (δεν έχει σημασία), θα πρέπει να βασιστούμε σε πολλά συμπεράσματα σε εκείνους τους νόμους των ενεργειών που μελετήθηκαν αριθμητικά. Λόγω της σημασίας αυτών των νόμων, ονομάζονται βασικοί νόμοι δράσης.

Ας τους θυμηθούμε.

1. Ο ταξιδιωτικός νόμος της προσθήκης.

Το άθροισμα δεν αλλάζει από αλλαγή της σειράς των όρων.

Αυτός ο νόμος έχει ήδη γραφτεί στην § 1 με τη μορφή ισότητας:

όπου a και είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.

Είναι γνωστό από την αριθμητική ότι ο νόμος μετατόπισης ισχύει για το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού όρων.

2. Συνδυαστικός νόμος της πρόσθεσης.

Το άθροισμα πολλών όρων δεν θα αλλάξει εάν κάποια ομάδα παρακείμενων όρων αντικατασταθεί από το άθροισμά τους.

Για το άθροισμα τριών όρων έχουμε:

Για παράδειγμα, το ποσό μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους ως εξής:

Ο νόμος συνδυασμού ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό όρων.

Έτσι, στο άθροισμα τεσσάρων όρων, οι παρακείμενοι όροι μπορούν να συνδυαστούν σε ομάδες όπως επιθυμείτε και αυτοί οι όροι μπορούν να αντικατασταθούν με το άθροισμά τους:

Για παράδειγμα, παίρνουμε τον ίδιο αριθμό 16, ανεξάρτητα από το πώς ομαδοποιούμε παρακείμενους όρους:

Οι νόμοι της κίνησης και του συνδυασμού χρησιμοποιούνται συχνά σε προφορικούς υπολογισμούς, τοποθετώντας αριθμούς έτσι ώστε να είναι ευκολότερο να τους προσθέσετε στο μυαλό σας.

Ας ανταλλάξουμε τους δύο τελευταίους όρους, παίρνουμε:

Η προσθήκη των αριθμών με αυτή τη σειρά αποδείχθηκε πολύ πιο εύκολη.

Συνήθως, οι όροι στη νέα σειρά δεν ξαναγράφονται, αλλά μεταφέρονται στο μυαλό: έχοντας αναδιατάξει νοερά το 67 και εγώ, προσθέτουν αμέσως 89 και 11 και μετά προσθέτουν 67.

Για να διευκολύνουμε την προσθήκη αυτών των αριθμών στο μυαλό σας, ας αλλάξουμε τη σειρά των όρων ως εξής:

Χρησιμοποιώντας το νόμο του συνδυασμού, περικλείουμε τους δύο τελευταίους όρους σε αγκύλες:

Είναι εύκολο να προσθέσουμε αριθμούς σε αγκύλες, παίρνουμε:

3. Ο ταξιδιωτικός νόμος του πολλαπλασιασμού.

Το προϊόν δεν αλλάζει όταν αλλάζει η σειρά των παραγόντων:

που υπάρχουν αριθμοί.

Είναι γνωστό από την αριθμητική ότι ο νόμος μετατόπισης ισχύει για το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού παραγόντων.

4. Συνδυαστικός νόμος πολλαπλασιασμού.

Το γινόμενο πολλών παραγόντων δεν θα αλλάξει εάν κάποια ομάδα παρακείμενων παραγόντων αντικατασταθεί από ένα προϊόν.

Για το γινόμενο τριών παραγόντων, έχουμε:

Για παράδειγμα, το γινόμενο τριών παραγόντων 5-3-4 μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

Για το γινόμενο τεσσάρων παραγόντων, έχουμε:

Για παράδειγμα, ο ίδιος αριθμός 20 θα ληφθεί για οποιαδήποτε ομαδοποίηση παρακείμενων παραγόντων:

Η χρήση των νόμων ταξιδιού και συνδυασμού του πολλαπλασιασμού συχνά διευκολύνει πολύ τους υπολογισμούς.

Ο πολλαπλασιασμός του 25 επί 37 δεν είναι εύκολος. Ας μετακινήσουμε τους δύο τελευταίους παράγοντες:

Τώρα ο πολλαπλασιασμός είναι εύκολο να γίνει στο μυαλό σας.