Γ 16 μετασχηματισμός γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Μετασχηματισμός της γραφικής παράστασης της τριγωνομετρικής συνάρτησης y = sin x με συμπίεση και επέκταση GBPU "Ρωσικό Κολλέγιο Παραδοσιακής Κουλτούρας" Popova L.A. Παράλληλη μεταφορά του γραφήματος κατά μήκος του άξονα Oy

Μάθημα 24. Μετασχηματισμοί γραφημάτων τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Στόχος: εξετάστε τους πιο συνηθισμένους μετασχηματισμούς γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

I. Επικοινωνία του θέματος και του σκοπού του μαθήματος

II. Επανάληψη και εμπέδωση του καλυπτόμενου υλικού

1. Απαντήσεις σε ερωτήσεις σχετικά με σχολική εργασία στο σπίτι(ανάλυση άλυτων προβλημάτων).

2. Παρακολούθηση αφομοίωσης του υλικού (γραπτή έρευνα).

Επιλογή 1

αμαρτία x.

2. Βρείτε την κύρια περίοδο της συνάρτησης:

3. Γράφημα τη συνάρτηση

Επιλογή 2

1. Βασικές ιδιότητες και γραφική παράσταση της συνάρτησης y = cos x.

2. Βρείτε την κύρια περίοδο της συνάρτησης:

3. Γράφημα τη συνάρτηση

III. Εκμάθηση νέου υλικού

Όλοι οι μετασχηματισμοί των γραφημάτων συναρτήσεων, που περιγράφονται λεπτομερώς στο Κεφάλαιο 1, είναι καθολικοί - είναι κατάλληλοι για όλες τις συναρτήσεις, συμπεριλαμβανομένων των τριγωνομετρικών. Επομένως, συνιστούμε να επαναλάβετε αυτό το θέμα. Εδώ θα περιοριστούμε σε μια σύντομη υπενθύμιση των βασικών μετασχηματισμών των γραφημάτων.

1. Να γραφεί η συνάρτηση y = f(x) + b είναι απαραίτητο να μεταφερθεί το γράφημα της συνάρτησης στο |σι | μονάδες κατά μήκος της τεταγμένης - επάνω στο b > 0 και κάτω στο b< 0.

2. Να σχεδιάσετε ένα γράφημα συνάρτησης y = mf(x) (όπου m > 0) πρέπει να τεντώσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) έως m φορές κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. Και για m > 1 υπάρχει πραγματικά τέντωμα μέσα m φορές, για 0< m < 1 - сжатие в 1/ m раз.

3. Να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y = f(x+a ) πρέπει να μεταφέρετε το γράφημα της συνάρτησης στο |ένα | μονάδες κατά μήκος του άξονα x - προς τα δεξιά στο α< 0 и влево при а > 0.

4. Να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y = f(kx ) (όπου k > 0) είναι απαραίτητο να συμπιεστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) έως k φορές κατά μήκος του άξονα x. Και γιακ > 1 υπάρχει στην πραγματικότητα συμπίεση k φορές, για 0< κ < 1 – растяжение в 1/ k φορές.

5. Να γραφεί η συνάρτηση y = - f(x ) χρειάζεστε ένα γράφημα της συνάρτησης y = f(x ) αντανακλούν σε σχέση με τον άξονα x (αυτός ο μετασχηματισμός είναι μια ειδική περίπτωση του μετασχηματισμού 2 για m = -1).

6. Να γραφεί η συνάρτηση y =φά (-x) χρειάζεστε ένα γράφημα της συνάρτησης y = f(x ) αντανακλούν σε σχέση με τον άξονα τεταγμένων (αυτός ο μετασχηματισμός είναι μια ειδική περίπτωση του μετασχηματισμού 4 για k = -1).

Παράδειγμα 1

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y = - cos 3 x + 2.

Σύμφωνα με τον κανόνα 5, χρειάζεστε ένα γράφημα της συνάρτησης y = cos x αντανακλούν σε σχέση με τον άξονα x. Σύμφωνα με τον κανόνα 3, αυτό το γράφημα πρέπει να συμπιεστεί τρεις φορές κατά μήκος του άξονα x. Τέλος, σύμφωνα με τον κανόνα 1, ένα τέτοιο γράφημα πρέπει να ανυψωθεί κατά τρεις μονάδες κατά μήκος του άξονα τεταγμένων.

Είναι επίσης χρήσιμο να υπενθυμίσουμε τους κανόνες για τη μετατροπή γραφημάτων με ενότητες.

1. Να γραφεί μια συνάρτηση y = | φά (x)| πρέπει να αποθηκεύσουμε μέρος της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x ), για το οποίο y ≥ 0. Αυτό το τμήμα της γραφικής παράστασης y = f(x ), για το οποίο< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2. Να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y =φά (|x|) είναι απαραίτητο να αποθηκεύσετε μέρος του γραφήματος της συνάρτησης y = f(x ), για το οποίο x ≥ 0. Επιπλέον, αυτό το τμήμα πρέπει να ανακλάται συμμετρικά προς τα αριστερά σε σχέση με την τεταγμένη.

3. Να σχεδιάσετε την εξίσωση |y| =φά (x) είναι απαραίτητο να αποθηκεύσετε μέρος της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x ), για το οποίο y ≥ 0. Επιπλέον, αυτό το τμήμα πρέπει να ανακλάται συμμετρικά προς τα κάτω σε σχέση με τον άξονα x.

Παράδειγμα 2

Ας σχεδιάσουμε την εξίσωση |y| =αμαρτία | x |.

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y =αμαρτία x για x ≥ 0. Αυτό το γράφημα, σύμφωνα με τον κανόνα 2, θα ανακλάται προς τα αριστερά σε σχέση με τον άξονα τεταγμένων. Ας αποθηκεύσουμε τα μέρη ενός τέτοιου γραφήματος για τα οποία y ≥ 0. Σύμφωνα με τον κανόνα 3, θα αντικατοπτρίσουμε συμμετρικά αυτά τα μέρη προς τα κάτω σε σχέση με τον άξονα x.

Σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις, τα σήματα της ενότητας πρέπει να επεκταθούν.

Παράδειγμα 3

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα σύνθετη λειτουργία y = cos (2 x + |x|).

Θυμηθείτε ότι το όρισμα της συνημίτονος είναι συνάρτηση της μεταβλητής x και επομένως η συνάρτηση είναι σύνθετη. Ας επεκτείνουμε το σύμβολο συντελεστή και πάρουμε:Για δύο τέτοια διαστήματα κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y(x ). Ας λάβουμε υπόψη ότι για x ≥ 0 η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = cos 3 x που προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y =συν x συμπίεση κατά 3 φορές κατά μήκος του άξονα της τετμημένης.

Παράδειγμα 4

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση

Χρησιμοποιώντας τον τύπο της τετραγωνικής διαφοράς, γράφουμε τη συνάρτηση στη φόρμαΗ γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αποτελείται από δύο μέρη. Για x > 0, πρέπει να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y = 1 -συν Χ. Λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = cos x ανάκλαση σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης και μετατόπιση 1 μονάδας προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα τεταγμένων.

Για x ≥ 0 σχεδιάζουμε τη συνάρτηση y = ( x -1)2 - 1. Λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 μετατόπιση 1 μονάδας προς τα δεξιά κατά μήκος του άξονα x και 1 μονάδας προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα y.

IV. Ερωτήσεις ασφαλείας(μετωπική έρευνα)

1. Κανόνες μετατροπής γραφημάτων συναρτήσεων.

2. Μετασχηματισμός γραφημάτων με ενότητες.

V. Ανάθεση μαθήματος

§ 13, Αρ. 2 (α, β); 3; 5; 7 (c, d); 8 (α, β); 9(a); 10 (β); 11 (α, β); 13 (c, d); 14; 17 (α, β); 19 (β); 20 (α, γ).

VI. Ανάθεση εργασίας για το σπίτι

§ 13, Νο. 2 (γ, δ); 4; 6; 7 (α, β); 8 (c, d); 9 (β); 10(a); 11 (c, d); 13 (α, β); 15; 17 (c, d); 19(a); 20 (β, δ).

VII. Δημιουργική εργασία

Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση συνάρτησης, εξίσωσης, ανισότητας:

VIII. Συνοψίζοντας το μάθημα

Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφάνειας:

Γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων Συνάρτηση y = sin x, οι ιδιότητές της Μετασχηματισμός γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων με παράλληλη μεταφορά Μετασχηματισμός γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων με συμπίεση και επέκταση Για τους περίεργους...

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = sin x είναι ημιτονοειδές Ιδιότητες της συνάρτησης: D(y) =R Περιοδική (T=2 ) Περιττή (sin(-x)=-sin x) Μηδενικά της συνάρτησης: y =0, sin x=0 at x =  n, n  Z y=sin x

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ιδιότητες της συνάρτησης y = sin x 5. Διαστήματα σταθερού πρόσημου: Y >0 για x   (0+2  n ;  +2  n) , n  Z Y

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ιδιότητες της συνάρτησης y = sin x 6. Διαστήματα μονοτονίας: η συνάρτηση αυξάνεται σε διαστήματα της μορφής:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Z y = sin x

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ιδιότητες της συνάρτησης y= sin x Διαστήματα μονοτονίας: η συνάρτηση μειώνεται σε διαστήματα της μορφής:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Z y=sin x

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ιδιότητες της συνάρτησης y = sin x 7. Ακραία σημεία: X max =  / 2 +2  n, n  Z X m in = -  / 2 +2  n, n  Z y=sin x

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ιδιότητες της συνάρτησης y = sin x 8. Εύρος τιμών: E(y) =  -1;1  y = sin x

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετασχηματισμός γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x +в) προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) με παράλληλη μετάφραση κατά (-в) μονάδες κατά μήκος της τετμημένης Η γραφική παράσταση του η συνάρτηση y = f (x) +α προκύπτει από τη συνάρτηση γραφήματος y = f(x) με παράλληλη μετάφραση κατά (α) μονάδες κατά μήκος του άξονα τεταγμένων

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετατροπή γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων Σχεδιάστε ένα γράφημα Συναρτήσεις y = sin(x+  /4) θυμηθείτε τους κανόνες

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετατροπή γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων y =sin (x+  /4) Να σχεδιάσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης: y=sin (x -  /6)

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετατροπή γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων y = sin x +  Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: y = sin (x -  /6)

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετατροπή γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων y= sin x +  Να σχηματίσετε γραφικά τη συνάρτηση: y=sin (x +  /2) θυμηθείτε τους κανόνες

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = cos x είναι συνημιτονοειδές κύμα y = cos x sin(x+  /2)=cos x

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετασχηματισμός γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων με συμπίεση και διάταση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = k f (x) προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) τεντώνοντάς την k φορές (για k>1) κατά μήκος της γράφημα τεταγμένων Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = k f (x ) προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) συμπιέζοντάς την k φορές (στο 0

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετασχηματίστε γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων συμπιέζοντας και τεντώνοντας y=sin2x y=sin4x Y=sin0,5x θυμηθείτε τους κανόνες

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετασχηματισμός γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων με συμπίεση και διάταση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (kx) προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) συμπιέζοντάς την k φορές (για k>1) κατά μήκος του άξονας x Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (kx ) προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) τεντώνοντάς την k φορές (στο 0

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετασχηματίστε γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων συμπιέζοντας και τεντώνοντας y = cos2x y = cos 0,5x θυμηθείτε τους κανόνες

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετασχηματισμός γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων με συμπίεση και διάταση Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = -f (kx) και y=- k f(x) λαμβάνονται από γραφήματα των συναρτήσεων y = f(kx) και y= k f(x), αντίστοιχα, με τον κατοπτρισμό τους ως προς τον άξονα x το ημίτονο είναι περιττή συνάρτηση, επομένως sin(-kx) = - sin (kx) το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, επομένως cos(-kx) = cos(kx)

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετασχηματίστε γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων συμπιέζοντας και τεντώνοντας y = - sin3x y = sin3x θυμηθείτε τους κανόνες

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετασχηματίστε γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων συμπιέζοντας και τεντώνοντας y=2cosx y=-2cosx θυμηθείτε τους κανόνες

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετασχηματισμός γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων με σύνθλιψη και διάταση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (kx+b) προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) με παράλληλη μεταφορά της κατά (-σε /k) μονάδες κατά μήκος του άξονα x και συμπιέζοντάς τον σε k φορές (σε k>1) ή τεντώνοντας k φορές (στο 0

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μετασχηματισμός γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων με σύνθλιψη και διάταση Y= cos(2x+  /3) y=cos(x+  /6) y= cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6) ) y = cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6)) Y= cos(2x+  /3) y=cos2x θυμηθείτε τους κανόνες

τριγωνομετρικές συναρτήσεις Για τους περίεργους... Δείτε πώς μοιάζουν τα γραφήματα κάποιων άλλων trigs. συναρτήσεις: y = 1 / cos x ή y=sec x (ανάγνωση δευτερολέπτου) y = cosec x ή y= 1/ sin x ανάγνωση cosecons

Με θέμα: μεθοδολογικές εξελίξεις, παρουσιάσεις και σημειώσεις

TsOR «Μετατροπή γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων» βαθμοί 10-11

Ενότητα Προγράμματος Σπουδών: «Τριγωνομετρικές συναρτήσεις» Είδος μαθήματος: ψηφιακό εκπαιδευτικό πόρο συνδυασμένο μάθημαάλγεβρα. Σύμφωνα με τη μορφή παρουσίασης του υλικού: Συνδυασμένο (καθολικό) TsOR με...

Μεθοδολογική ανάπτυξη ενός μαθήματος στα μαθηματικά: "Μετασχηματισμός γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων"

Μεθοδολογική ανάπτυξη μαθήματος στα μαθηματικά: «Μετασχηματισμός γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων» για μαθητές της δέκατης τάξης. Το μάθημα συνοδεύεται από παρουσίαση....

Ενότητα Ι § 6. Ερωτήσεις και εργασίες για επανάληψη ενότητας Ι Αρ. 50-51. Ασκήσεις Νο 28 (α-δ).

V. Περίληψη μαθήματος

Περίληψη μαθήματος άλγεβρας και έναρξη ανάλυσης στη 10η τάξη

με θέμα: «Μετατροπή γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων»

• Σκοπός του μαθήματος: η συστηματοποίηση της γνώσης με θέμα «Ιδιότητες και γραφικές παραστάσεις τριγωνομετρικών συναρτήσεων y=sin (x), y=cos (x)».
• επαναλάβετε τους τύπους μείωσης.
• μετατροπή γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
• ανάπτυξη προσοχής, μνήμης, λογικής σκέψης. εντείνει τη νοητική δραστηριότητα, την ικανότητα ανάλυσης, γενίκευσης και λογικής.
• καλλιέργεια σκληρής δουλειάς, επιμέλεια για την επίτευξη στόχων, ενδιαφέρον για το αντικείμενο.

Εξοπλισμός μαθήματος: ΤΠΕ

Τύπος μαθήματος: μαθαίνοντας νέα πράγματα

Πρόοδος μαθήματος

Πριν το μάθημα, 2 μαθητές σχεδιάζουν στον πίνακα γραφήματα από την εργασία τους.

Οργανωτικό σημείο:

Γεια σας παιδιά!

Σήμερα στο μάθημα θα μεταμορφώσουμε τις γραφικές παραστάσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων y=sin (x), y=cos (x).

Προφορική εργασία:

Έλεγχος εργασιών για το σπίτι.

επίλυση παζλ.

Εκμάθηση νέου υλικού

Όλοι οι μετασχηματισμοί των γραφημάτων συναρτήσεων είναι καθολικοί - είναι κατάλληλοι για όλες τις συναρτήσεις, συμπεριλαμβανομένων των τριγωνομετρικών. Εδώ θα περιοριστούμε σε μια σύντομη υπενθύμιση των βασικών μετασχηματισμών των γραφημάτων.

Μετασχηματισμός γραφημάτων συναρτήσεων.

Δίνεται η συνάρτηση y = f (x). Ξεκινάμε τη δημιουργία όλων των γραφημάτων από το γράφημα αυτής της συνάρτησης και μετά εκτελούμε ενέργειες με αυτήν.

Λειτουργία

Τι να κάνετε με το πρόγραμμα

y = f(x) + a

Ανεβάζουμε όλα τα σημεία του πρώτου γραφήματος κατά μια μονάδα προς τα πάνω.

y = f(x) – a

Χαμηλώνουμε όλα τα σημεία του πρώτου γραφήματος κατά μια μονάδα προς τα κάτω.

y = f(x + a)

Μετατοπίζουμε όλα τα σημεία του πρώτου γραφήματος κατά μια μονάδα προς τα αριστερά.

y = f (x – a)

Μετατοπίζουμε όλα τα σημεία του πρώτου γραφήματος κατά μια μονάδα προς τα δεξιά.

y = a*f (x),a>1

Διορθώνουμε τα μηδενικά στη θέση τους, μετακινούμε τα πάνω σημεία ψηλότερα κατά μία φορά και χαμηλώνουμε τα χαμηλότερα κατά μία φορές.

Το γράφημα θα «τεντωθεί» πάνω-κάτω, τα μηδενικά παραμένουν στη θέση τους.

y = a*f(x), a<1

Διορθώνουμε τα μηδενικά, τα πάνω σημεία θα κατεβαίνουν κάθε φορά, τα χαμηλότερα θα ανεβαίνουν κάθε φορά. Το γράφημα θα «μικρύνει» προς τον άξονα x.

y = -f(x)

Αντικατοπτρίστε το πρώτο γράφημα για τον άξονα x.

y = f (πέλεκυς), α<1

Διορθώστε ένα σημείο στον άξονα τεταγμένων. Κάθε τμήμα στον άξονα της τετμημένης αυξάνεται κατά μία φορά. Το γράφημα θα εκτείνεται από τον άξονα τεταγμένων σε διαφορετικές κατευθύνσεις.

y = f (ax), a >1

Στερεώστε ένα σημείο στον άξονα τεταγμένων, μειώστε κάθε τμήμα στον άξονα της τετμημένης κατά έναν παράγοντα. Το γράφημα θα «μικρύνει» προς τον άξονα y και στις δύο πλευρές.

y = | f(x)|

Τα μέρη του γραφήματος που βρίσκονται κάτω από τον άξονα της τετμημένης αντικατοπτρίζονται. Ολόκληρο το γράφημα θα βρίσκεται στο πάνω μισό επίπεδο.

Σχέδια λύσεων.

1)y = αμαρτία x + 2.

Κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση y = sin x. Ανεβάζουμε κάθε σημείο του γραφήματος προς τα πάνω κατά 2 μονάδες (και μηδενικά).

2)y = cos x – 3.

Κατασκευάζουμε ένα γράφημα y = cos x. Χαμηλώνουμε κάθε σημείο του γραφήματος κατά 3 μονάδες.

3)y = cos (x - /2)

Κατασκευάζουμε ένα γράφημα y = cos x. Μετατοπίζουμε όλα τα σημεία κατά p/2 προς τα δεξιά.

4)y = 2 sinx.

Κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση y = sin x. Αφήνουμε τα μηδενικά στη θέση τους, ανεβάζουμε τους πάνω πόντους κατά 2 φορές και χαμηλώνουμε κατά το ίδιο ποσοστό τους κάτω.

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Σχεδίαση γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων με χρήση του προγράμματος Advanced Grapher.

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = -cos 3x + 2.

1. Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = cos x.
2. Ας το αντικατοπτρίσουμε σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης.
3. Αυτό το γράφημα πρέπει να συμπιεστεί τρεις φορές κατά μήκος του άξονα x.
4. Τέλος, ένα τέτοιο γράφημα πρέπει να ανυψωθεί κατά τρεις μονάδες κατά μήκος του άξονα y.

y = 0,5 αμαρτία x.

y = 0,2 cos x-2

y = 5 συν 0 .5 x

y= -3sin(x+π).

2) Βρείτε το λάθος και διορθώστε το.

V. Ιστορικό υλικό. Ένα μήνυμα για τον Euler.

Ο Leonhard Euler είναι ο μεγαλύτερος μαθηματικός του 18ου αιώνα. Γεννήθηκε στην Ελβετία. Για πολλά χρόνια έζησε και εργάστηκε στη Ρωσία, μέλος της Ακαδημίας της Αγίας Πετρούπολης.

Γιατί πρέπει να γνωρίζουμε και να θυμόμαστε το όνομα αυτού του επιστήμονα;

Στις αρχές του 18ου αιώνα, η τριγωνομετρία δεν ήταν ακόμα επαρκώς ανεπτυγμένη: δεν υπήρχαν σύμβολα, οι τύποι γράφτηκαν με λέξεις, ήταν δύσκολο να τις μάθουμε, το ζήτημα των σημείων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε διαφορετικά τέταρτα ενός κύκλου ήταν ασαφές, και το όρισμα μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης σήμαινε μόνο γωνίες ή τόξα. Μόνο στα έργα του Όιλερ η τριγωνομετρία έλαβε τη σύγχρονη μορφή της. Ήταν αυτός που άρχισε να εξετάζει την τριγωνομετρική συνάρτηση ενός αριθμού, δηλ. Το επιχείρημα άρχισε να νοείται όχι μόνο ως τόξα ή μοίρες, αλλά και ως αριθμοί. Ο Euler εξήγαγε όλους τους τριγωνομετρικούς τύπους από αρκετούς βασικούς και εξορθολόγησε το ζήτημα των σημείων της τριγωνομετρικής συνάρτησης σε διαφορετικά τέταρτα του κύκλου. Για να δηλώσει τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, εισήγαγε τον συμβολισμό: sin x, cos x, tan x, ctg x.

Στο κατώφλι του 18ου αιώνα, μια νέα κατεύθυνση εμφανίστηκε στην ανάπτυξη της τριγωνομετρίας - αναλυτικής. Αν πριν από αυτό ο κύριος στόχος της τριγωνομετρίας θεωρούνταν η λύση των τριγώνων, τότε ο Euler θεωρούσε την τριγωνομετρία ως επιστήμη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Το πρώτο μέρος: το δόγμα των συναρτήσεων είναι μέρος του γενικού δόγματος των συναρτήσεων, το οποίο μελετάται στη μαθηματική ανάλυση. Μέρος δεύτερο: επίλυση τριγώνων - κεφάλαιο γεωμετρία. Τέτοιες καινοτομίες έγιναν από τον Euler.

VI. Επανάληψη

Ανεξάρτητη εργασία «Προσθήκη του τύπου».

VII. Περίληψη μαθήματος:

1) Τι καινούργιο μάθατε σήμερα στην τάξη;

2) Τι άλλο θέλετε να μάθετε;

3) Βαθμολόγηση.

Τριγωνομετρικά γραφήματα λειτουργίες

• Συνάρτηση y = sinx, τις ιδιότητές του

• Μετατροπή γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων με παράλληλη μετάφραση
• Μετατροπή γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων με συμπίεση και επέκταση

• Για τους περίεργους…
• Συγγραφέας

Γράφημα συνάρτησης y = αμαρτία x είναι ημιτονοειδές κύμα

y = αμαρτία x

Ιδιότητες συνάρτησης :

• D(y) =R 2. Περιοδική (T=2  )

3. Περίεργο ( sin(-x)=-sin x) 4. Μηδενικά συναρτήσεων:

y=0, αμαρτία x=0 σε x =  n, n  Ζ

Ιδιότητες της συνάρτησης y = αμαρτία x

y = αμαρτία x

5. Διαστήματα σταθερότητας πρόσημου :

στο 0 στο Χ   (0+2  n ;  +2  n ) , n  Ζ

στο στο x   ( -  +2  n ; 0+2  ιδ), ν  Ζ

Ιδιότητες της συνάρτησης y= αμαρτία x

6. Διαστήματα μονοτονίας :

η συνάρτηση αυξάνεται κατά διαστήματα

τύπος:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Ζ

Ιδιότητες της συνάρτησης y= αμαρτία x

Περίοδοι μονοτονίας:

η λειτουργία μειώνεται κατά διαστήματα

τύπος:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Ζ

Ιδιότητες της συνάρτησης y = αμαρτία x

x ελάχ

x ελάχ

x μέγ

x μέγ

7 . Ακραία σημεία :

x κούνια =  / 2 +2  n , n  Ζ

x m σε = -  / 2 +2  n , n  Ζ

Ιδιότητες της συνάρτησης y = αμαρτία x

8 . Εύρος τιμών :

E(y) =  -1;1 

Μετατροπή γραφημάτων τριγωνομετρικές συναρτήσεις

• Γράφημα της συνάρτησης y = f(x Το +γ) προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) παράλληλη μετάφραση κατά (-σε) μονάδες κατά μήκος του άξονα της τετμημένης
• Γράφημα της συνάρτησης y = f(x )+α προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) παράλληλη μετάφραση κατά (α) μονάδες κατά μήκος του άξονα τεταγμένων

Σχεδιάστε ένα γράφημα

Συναρτήσεις y = sin(x+  /4 )

y = αμαρτία x

ανάκληση

κανόνες

Σχεδιάστε ένα γράφημα

Χαρακτηριστικά: y=sin (x -  /6)

y =sin(x+  /4 )

Σχεδιάστε ένα γράφημα

Χαρακτηριστικά:

y = αμαρτία x + 

y=sin(x -  /6 )

y=sinx+ 

Σχεδιάστε ένα γράφημα

Χαρακτηριστικά: y=sin (x +  /2)

ανάκληση

κανόνες

Γράφημα συνάρτησης y = cos x είναι συνημιτονικό κύμα

sin(x+  /2)=cos x

Κατάλογος ιδιοτήτων

συναρτήσεις y = cos x

με συμπίεση και διάταση

• Γράφημα της συνάρτησης y = κ f(x y = f(x) τεντώνοντάς το κ φορές (στις k1) κατά μήκος της τεταγμένης
• Γράφημα της συνάρτησης y = kf(x ) προκύπτει από το γράφημα της συνάρτησης y = f(x) συμπιέζοντάς το σε 1/k φορές (στις 0 κατά μήκος της τεταγμένης

με συμπίεση και διάταση

y=0,5εκ

ανάκληση

κανόνες

με συμπίεση και διάταση

• Γράφημα της συνάρτησης y = f(kx ) προκύπτει από το γράφημα της συνάρτησης y = f(x) συμπιέζοντάς το σε κ φορές (στις k1) κατά μήκος του άξονα x
• Γράφημα της συνάρτησης y = f(kx ) προκύπτει από το γράφημα της συνάρτησης y = f(x) τεντώνοντάς το 1/k φορές (στις 0 κατά μήκος του άξονα x

με συμπίεση και διάταση

y = cos2x

y = cos 0,5x

ανάκληση

κανόνες

με συμπίεση και διάταση

• Γραφήματα συναρτήσεων y = -f(kx ) και y=- k f(x) λαμβάνονται από γραφήματα συναρτήσεων y = f(kx) Και y= k f(x) αντίστοιχα, καθρεφτίζοντάς τα σε σχέση με τον άξονα x
• Το ημίτονο είναι μια περιττή συνάρτηση, άρα sin(-kx) = - sin(kx)

Το συνημίτονο είναι μια άρτια συνάρτηση, που σημαίνει cos(-kx) = cos(kx)

με συμπίεση και διάταση

y= - 3sinx

y=3sinx

ανάκληση

κανόνες

με συμπίεση και διάταση

y=-2cosx

ανάκληση

κανόνες

με συμπίεση και διάταση

• Γράφημα μιας συνάρτησης y = f(kx+b ) που προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) με παράλληλη μεταφορά σε (-V /k) μονάδες κατά μήκος του άξονα x και με συμπίεση σε κ φορές (στις k1) ή τέντωμα μέσα 1/k φορές (στις 0 κατά μήκος του άξονα x
• f (kx+b) = f (k(x+b/k))

με συμπίεση και διάταση

y=cos(2x+  /3)

y=cos(2(x+  /6))

y=cos(2x+  /3)

y=cos(2(x+  /6))

y=cos(x+  /6)

Y=cos(2x+  /3)

Y=cos(2x+  /3)

ανάκληση

κανόνες

Για τους περίεργους…

Κοιτάξτε πώς μοιάζουν τα γραφήματα κάποιων άλλων trigs. λειτουργίες :

y = cosec x ή y= 1/ αμαρτία x

διαβάστε τα συνοδευτικά

y=1/συν x ή y=sec x

( δευτερόλεπτα ανάγνωσης)

Μπορείτε να διαβάσετε για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις στα έργα :

• Ορισμός τριγωνομετρικών συναρτήσεων

• Στις περιόδους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων

• Γραφήματα ημιτονίου και συνημιτόνου
• Γραφήματα εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
• Φόρμουλες εκμαγεία
• Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Καθηγήτρια μαθηματικών

Λύκειο Derzhavinsky

Πετροζαβόντσκ

Πρισακάρ

Όλγα Μπορίσοφνα

(ταχυδρομείο : [email προστατευμένο])

• Γράψε μου το δικό σου