Përkufizimi i funksionit të kufizuar. Kufijtë e funksioneve monotone. Funksionet themelore elementare. Vetitë dhe grafikët e tyre

17.09.2021Titulli: Ndërtesat

Teorema mbi kufirin e një funksioni monoton. Vërtetimi i teoremës jepet duke përdorur dy metoda. Janë dhënë edhe përkufizime të funksioneve rreptësisht në rritje, jozitëse, rreptësisht zvogëluese dhe jo-rritëse. Përkufizimi i një funksioni monoton.

përmbajtja

Funksioni nuk është i kufizuar nga lart

1.1. Le të jetë numri b i fundëm: .
1.1.2. Le të jetë funksioni i pakufizuar nga lart.

në .

Le të shënojmë. Pastaj për ndonjë ekziston , në mënyrë që
në .
Kjo do të thotë që kufiri në të majtë në pikën b është (shih "Përkufizimet e kufijve të pafundëm të njëanshëm të një funksioni në pikën fundore").

b hershme plus pafundësi

Funksioni i kufizuar nga lart

1. Le të mos ulet funksioni në intervalin .
1.2.1. Le të kufizohet funksioni nga lart me numrin M : për .
Le të vërtetojmë se në këtë rast ka një kufi.

Meqenëse funksioni është i kufizuar nga lart, ekziston një kufi i sipërm i fundëm
.
Sipas përcaktimit të kufirit më të vogël të sipërm, plotësohen kushtet e mëposhtme:
;
për çdo pozitiv ekziston një argument për të cilin
.

Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë për . Pastaj në. Ose
në .

Pra, ne kemi gjetur se për çdo ekziston një numër , kështu që
në .
"Përkufizimet e kufijve të njëanshëm në pafundësi").

Funksioni nuk është i kufizuar nga lart

1. Le të mos ulet funksioni në intervalin .
1.2. Le të jetë numri b plus pafundësi: .
1.2.2. Le të jetë funksioni i pakufizuar nga lart.
Le të vërtetojmë se në këtë rast ka një kufi.

Meqenëse funksioni nuk është i kufizuar nga lart, atëherë për çdo numër M ekziston një argument , për të cilin
.

Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë për . Pastaj në.

Pra, për çdo ka një numër , kështu që
në .
Kjo do të thotë se kufiri në është (shih "Përkufizimet e kufijve të pafundëm të njëanshëm në pafundësi").

Funksioni nuk rritet

Tani merrni parasysh rastin kur funksioni nuk po rritet. Ju mund, si më sipër, të konsideroni secilin opsion veç e veç. Por ne do t'i mbulojmë ato menjëherë. Për këtë ne përdorim. Le të vërtetojmë se në këtë rast ka një kufi.

Konsideroni kufirin e poshtëm të fundëm të grupit të vlerave të funksionit:
.
Këtu B mund të jetë ose një numër i kufizuar ose një pikë në pafundësi. Sipas përcaktimit të infimumit të saktë, plotësohen kushtet e mëposhtme:
;
për çdo fqinjësi të pikës B ka një argument për të cilin
.
Nga kushti i teoremës,. Kështu që .

Meqenëse funksioni nuk rritet, atëherë për . Që atëherë
në .
Ose
në .
Më tej, vërejmë se pabarazia përcakton lagjen e shpuar të majtë të pikës b.

Pra, kemi gjetur se për çdo lagje të pikës , ekziston një lagje e majtë e tillë e shpuar e pikës b sa
në .
Kjo do të thotë se kufiri në të majtë në pikën b është:

(shih përkufizimin universal të kufirit të një funksioni sipas Cauchy).

Kufiri në pikën a

Tani le të tregojmë se ka një kufi në pikën a dhe të gjejmë vlerën e tij.

Le të shqyrtojmë një funksion. Sipas kushtit të teoremës, funksioni është monoton për . Le të zëvendësojmë ndryshoren x me - x (ose të bëjmë zëvendësimin dhe më pas të zëvendësojmë ndryshoren t me x). Atëherë funksioni është monoton për . Shumëzimi i pabarazive me -1 dhe duke ndryshuar rendin e tyre, arrijmë në përfundimin se funksioni është monoton për .

Në mënyrë të ngjashme, është e lehtë të tregohet se nëse nuk zvogëlohet, atëherë nuk rritet. Pastaj, sipas asaj që u vërtetua më lart, ka një kufi
.
Nëse nuk rritet, atëherë nuk zvogëlohet. Në këtë rast, ekziston një kufi
.

Tani mbetet të tregojmë se nëse ka një kufi të funksionit në , atëherë ekziston një kufi i funksionit në , dhe këto kufij janë të barabartë:
.

Le të prezantojmë shënimin:
(1) .
Le ta shprehim f në terma g:
.
Merrni një numër pozitiv arbitrar. Le të ketë një fqinjësi epsilon të pikës A. Lagjja Epsilon përcaktohet si për vlerat e fundme ashtu edhe për ato të pafundme të A-së (shih "Lagjja e një pike"). Meqenëse ekziston një kufi (1), atëherë, sipas përcaktimit të një kufiri, për cilindo ekziston i tillë që
në .

Le të jetë një numër i kufizuar. Le të shprehim lagjen e shpuar të majtë të pikës -a duke përdorur pabarazitë:
në .
Le të zëvendësojmë x me -x dhe të marrim parasysh se:
në .
Dy pabarazitë e fundit përcaktojnë një lagje djathtas të shpuar të pikës a . Pastaj
në .

Le të jetë një numër i pafund, . Ne e përsërisim diskutimin.
në ;
në ;
në ;
në .

Pra, ne kemi gjetur se për çdo ekziston i tillë që
në .
Do të thotë se
.

Teorema është vërtetuar.

Shiko gjithashtu:

Vini re se të gjitha përkufizimet përfshijnë një grup numerik X, i cili është pjesë e domenit të funksionit: X me D(f). Në praktikë, më shpesh ka raste kur X është një interval numerik (segment, interval, rreze, etj.).

Përkufizimi 1.

Një funksion y \u003d f (x) quhet rritje në një bashkësi X me D (f) nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 të grupit X të tillë që x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Përkufizimi 2.

Një funksion y \u003d f (x) quhet zvogëlim në një grup X me D (f) nëse për çdo monotoni të dy pikave x 1 dhe x 2 të grupit X, në mënyrë që x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f (x2).

Në praktikë, është më i përshtatshëm të përdoren formulimet e mëposhtme: funksioni rritet nëse vlera më e madhe e argumentit korrespondon me vlerën më të madhe të funksionit; funksioni është në rënie nëse vlera më e madhe e argumentit korrespondon me vlerën më të vogël të funksionit.

Në klasat e 7-ta dhe të 8-ta, ne përdorëm interpretimin gjeometrik të mëposhtëm të koncepteve të funksioneve zmadhuese ose zvogëluese: duke lëvizur përgjatë grafikut të një funksioni rritës nga e majta në të djathtë, ne ngjitemi në një lloj kodre (Fig. 55); duke lëvizur përgjatë grafikut të një funksioni në rënie nga e majta në të djathtë, sikur të zbrisnim një kodër (Fig. 56).
Zakonisht termat "funksion në rritje", "funksion zvogëlues" bashkohen me emrin e përbashkët funksion monoton, dhe studimi i një funksioni për rritje ose ulje quhet studimi i një funksioni për monotoni.

Vëmë re një rrethanë tjetër: nëse një funksion është në rritje (ose në rënie) në domenin e tij natyror të përkufizimit, atëherë zakonisht thuhet se funksioni është në rritje (ose në rënie) - pa specifikuar grupin numerik X.

Shembulli 1

Shqyrtoni funksionin për monotoninë:

a) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

Zgjidhja:

a) Merrni vlera arbitrare të argumentit x 1 dhe x 2 dhe le të x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Pabarazia e fundit do të thotë se f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Pra nga x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), që do të thotë se funksioni i dhënë është në rënie (në të gjithë vijën numerike).

Përkufizimi 3.

Funksioni y - f(x) quhet i kufizuar nga poshtë në bashkësinë X me D (f) nëse të gjitha vlerat e funksionit në bashkësinë X janë më të mëdha se një numër (me fjalë të tjera, nëse ka një numër m e tillë që për çdo vlerë x є X mosbarazimi f( x) >m).

Përkufizimi 4.

Funksioni y \u003d f (x) quhet i kufizuar nga lart në grupin X me D (f) nëse të gjitha vlerat e funksionit janë më pak se një numër i caktuar (me fjalë të tjera, nëse ekziston një numër M i tillë që për çdo vlerë x є X pabarazia f (x)< М).

Nëse bashkësia X nuk është e specifikuar, atëherë supozohet se funksioni është i kufizuar nga poshtë ose nga lart në të gjithë domenin e përkufizimit.

Nëse një funksion është i kufizuar nga poshtë dhe nga lart, atëherë ai quhet i kufizuar.

Kufizimi i një funksioni lexohet lehtësisht nga grafiku i tij: nëse funksioni është i kufizuar nga poshtë, atëherë grafiku i tij ndodhet tërësisht mbi një vijë horizontale y \u003d m (Fig. 57); nëse funksioni është i kufizuar nga lart, atëherë grafiku i tij ndodhet plotësisht nën një vijë horizontale y \u003d M (Fig. 58).

Shembulli 2 Hulumtoni një funksion për kufirin
Zgjidhje. Nga njëra anë, pabarazia është mjaft e dukshme (me përcaktimin e rrënjës katrore, kjo do të thotë se funksioni është i kufizuar nga poshtë. Nga ana tjetër, kemi dhe prandaj
Kjo do të thotë që funksioni është i kufizuar nga lart. Tani shikoni grafikun e funksionit të dhënë (Fig. 52 nga paragrafi i mëparshëm). Kufizimi i funksionit si nga lart ashtu edhe nga poshtë lexohet mjaft lehtë nga grafiku.

Përkufizimi 5.

Numri m quhet vlera më e vogël e funksionit y \u003d f (x) në grupin X C D (f), nëse:

1) në X ka një pikë të tillë x 0 që f(x 0) = m;

2) për të gjitha x nga X plotësohet pabarazia m>f(х 0).

Përkufizimi 6.

Numri M quhet vlera më e madhe e funksionit y \u003d f (x) në grupin X C D (f), nëse:
1) në X ka një pikë të tillë x 0 që f(x 0) = M;
2) për të gjitha x nga X, pabarazia
Vlerën më të vogël të funksionit në klasën e 7-të dhe të 8-të e shënuam me simbolin y dhe vlerën më të madhe me simbolin y.

Nëse bashkësia X nuk është e specifikuar, atëherë supozohet se po flasim për gjetjen e vlerës më të vogël ose më të madhe të funksionit në të gjithë domenin e përkufizimit.

Deklaratat e mëposhtme të dobishme janë mjaft të dukshme:

1) Nëse një funksion ka Y, atëherë ai është i kufizuar nga poshtë.
2) Nëse një funksion ka Y, atëherë ai është i kufizuar nga lart.
3) Nëse funksioni nuk është i kufizuar më poshtë, atëherë Y nuk ekziston.
4) Nëse funksioni nuk është i kufizuar nga lart, atëherë Y nuk ekziston.

Shembulli 3

Gjeni vlerat më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni
Zgjidhje.

Është mjaft e qartë, veçanërisht nëse i drejtoheni grafikut të funksionit (Fig. 52), që = 0 (funksioni e arrin këtë vlerë në pikat x = -3 dhe x = 3), a = 3 (funksioni arrin kjo vlerë në pikën x = 0.
Në klasën e 7-të dhe të 8-të përmendëm edhe dy veti të funksioneve. E para quhej vetia e konveksitetit të një funksioni. Konsiderohet se një funksion është konveks poshtë në intervalin X nëse, duke lidhur dy pika të grafikut të tij (me abshisa nga X) me një segment të drejtë, gjejmë se pjesa përkatëse e grafikut shtrihet poshtë segmentit të vizatuar ( Fig. 59). vazhdimësia Një funksion është konveks lart në intervalin X nëse, duke lidhur çdo dy pika të grafikut të tij (me abshisa nga X) me një segment të drejtë, gjejmë se pjesa përkatëse e grafikut shtrihet mbi segmentin e vizatuar (Fig. 60 ).

Vetia e dytë - vazhdimësia e funksionit në intervalin X - do të thotë se grafiku i funksionit në intervalin X është i vazhdueshëm, d.m.th. nuk ka shpime dhe kërcime.

Komentoni.

Në fakt, në matematikë, gjithçka është, siç thonë ata, "pikërisht e kundërta": grafiku i një funksioni përshkruhet si një vijë e fortë (pa shpime dhe kërcime) vetëm kur vërtetohet vazhdimësia e funksionit. Por përkufizimi formal i vazhdimësisë së një funksioni, i cili është mjaft kompleks dhe delikat, është ende përtej fuqive tona. E njëjta gjë mund të thuhet për konveksitetin e një funksioni. Duke diskutuar këto dy veti të funksioneve, ne do të vazhdojmë të mbështetemi në paraqitjet vizuale-intuitive.

Tani le të rishikojmë njohuritë tona. Duke kujtuar funksionet që kemi studiuar në klasat e 7-ta dhe të 8-ta, do të sqarojmë se si duken grafikët e tyre dhe do të listojmë vetitë e funksionit, duke iu përmbajtur një renditjeje të caktuar, për shembull: fusha e përkufizimit; monotone; kufizim; , ; vazhdimësi; varg vlerash; konveks.

Më pas, do të shfaqen vetitë e reja të funksioneve dhe lista e vetive do të ndryshojë në përputhje me rrethanat.

1. Funksioni konstant y \u003d C

Grafiku i funksionit y \u003d C është paraqitur në fig. 61 - vijë e drejtë, paralele me boshtin x. Ky është një funksion kaq jo interesant sa nuk ka kuptim të rendisim vetitë e tij.

Grafiku i funksionit y \u003d kx + m është një vijë e drejtë (Fig. 62, 63).

Vetitë e funksionit y \u003d kx + m:

1)
2) rritet nëse k > 0 (Fig. 62), zvogëlohet nëse k< 0 (рис. 63);

4) nuk ka as vlerat më të mëdha e as më të vogla;
5) funksioni është i vazhdueshëm;
6)
7) nuk ka kuptim të flasim për konveksitet.

Grafiku i funksionit y \u003d kx 2 është një parabolë me një kulm në origjinë dhe me degë të drejtuara lart nëse k\u003e O (Fig. 64), dhe poshtë nëse k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Vetitë e funksionit y - kx 2:

Për rastin k > 0 (Fig. 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);

4) = nuk ekziston;
5) e vazhdueshme;
6) Е(f) = funksioni zvogëlohet, dhe në intervalin , zvogëlohet në rreze;
7) konveks lart.

Grafiku i funksionit y \u003d f (x) ndërtohet pikë për pikë; sa më shumë pikë të formës (x; f (x)) të marrim, aq më e saktë marrim idenë e grafikut. Nëse marrim shumë nga këto pika, atëherë ideja e grafikut do të jetë më e plotë. Është në këtë rast që intuita na thotë se grafiku duhet të vizatohet si një vijë e fortë (në këtë rast, si një parabolë). Dhe më pas, duke lexuar grafikun, nxjerrim përfundime për vazhdimësinë e funksionit, për konveksitetin e tij poshtë ose lart, për diapazonin e funksionit. Duhet të kuptoni se nga shtatë pronat e listuara, vetëm pronat 1), 2), 3), 4) janë "legjitime" në kuptimin që ne jemi në gjendje t'i vërtetojmë ato duke iu referuar përkufizimeve të sakta. Ne kemi vetëm paraqitje vizuale-intuitive për pronat e mbetura. Nga rruga, nuk ka asgjë të keqe me këtë. Nga historia e zhvillimit të matematikës, dihet se njerëzimi shpesh dhe për një kohë të gjatë përdorte veti të ndryshme të objekteve të caktuara, duke mos ditur përkufizimet e sakta. Më pas, kur mund të formuloheshin përkufizime të tilla, gjithçka ra në vend.

Grafiku i funksionit është hiperbolë, boshtet e koordinatave shërbejnë si asimptota të hiperbolës (Fig. 66, 67).

1) D(f) = (-00.0)1U (0.+oo);
2) nëse k > 0, atëherë funksioni zvogëlohet në rreze të hapur (-oo, 0) dhe në rreze të hapur (0, +oo) (Fig. 66); nëse të< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nuk kufizohet as nga poshtë as nga lart;
4) nuk ka as vlerat më të vogla dhe as më të mëdhatë;
5) funksioni është i vazhdueshëm në rreze të hapur (-oo, 0) dhe në rreze të hapur (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) nëse k > 0, atëherë funksioni është konveks lart në x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, d.m.th. në traun e hapur (0, +oo) (Fig. 66). Nëse për të< 0, то функция выпукла вверх при х >o dhe konveks poshtë në x< О (рис. 67).
Grafiku i funksionit është një degë e parabolës (Fig. 68). Karakteristikat e funksionit:
1) D(f) = , rritet në rreze. Në këtë segment $16-x^2≤16$ ose $\sqrt(16-x^2)≤4$, por kjo do të thotë kufi nga lart.
Përgjigje: funksioni ynë është i kufizuar nga dy rreshta $y=0$ dhe $y=4$.

Vlera më e lartë dhe më e ulët

Vlera më e vogël e funksionit y= f(x) në bashkësinë Х⊂D(f) është një numër m, i tillë që:

b) Për çdo xϵX, vlen $f(x)≥f(x0)$.

Vlera më e madhe e funksionit y=f(x) në bashkësinë Х⊂D(f) është një numër m, i tillë që:
a) Ka disa x0 të tillë që $f(x0)=m$.
b) Për çdo xϵX, $f(x)≤f(x0)$ është i kënaqur.

Vlera më e madhe dhe më e vogël zakonisht shënohet me y max. dhe emri. .

Konceptet e kufirit dhe më e madhja me vlerën më të vogël të një funksioni janë të lidhura ngushtë. Deklaratat e mëposhtme janë të vërteta:
a) Nëse ka një vlerë më të vogël për një funksion, atëherë ai kufizohet nga poshtë.
b) Nëse ka një vlerë maksimale për një funksion, atëherë ai kufizohet nga lart.
c) Nëse funksioni nuk është i kufizuar nga lart, atëherë nuk ka vlerë maksimale.
d) Nëse funksioni nuk është i kufizuar më poshtë, atëherë vlera më e vogël nuk ekziston.

Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Zgjidhja: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Për $x=4$ $f(4)=5$, për të gjitha vlerat e tjera, funksioni merr vlera më të vogla ose nuk ekziston, domethënë kjo është vlera më e madhe e funksionit.
Sipas përkufizimit: $9-4x^2+16x≥0$. Gjeni rrënjët e trinomit katror $(2x+1)(2x-9)≥0$. Në $x=-0.5$ dhe $x=4.5$ funksioni zhduket, në të gjitha pikat e tjera është më i madh se zero. Atëherë, sipas përkufizimit, vlera më e vogël e funksionit është zero.
Përgjigje: y max. =5 dhe y min. =0.

Djema, ne kemi studiuar gjithashtu konceptet e konveksitetit të një funksioni. Kur zgjidhim disa probleme, mund të na duhet kjo pronë. Kjo veti gjithashtu përcaktohet lehtësisht duke përdorur grafikët.

Funksioni është konveks poshtë nëse çdo dy pika të grafikut të funksionit origjinal janë të lidhura, dhe grafiku i funksionit është nën vijën që lidh pikat.

Funksioni është konveks lart nëse çdo dy pika të grafikut të funksionit origjinal janë të lidhura, dhe grafiku i funksionit është mbi vijën që lidh pikat.

Një funksion është i vazhdueshëm nëse grafiku i funksionit tonë nuk ka ndërprerje, siç është grafiku i funksionit të mësipërm.

Nëse dëshironi të gjeni vetitë e një funksioni, atëherë sekuenca e kërkimit të vetive është si më poshtë:
a) Fusha e përkufizimit.
b) Monotonia.
c) kufizim.
d) Vlera më e madhe dhe më e vogël.
e) Vazhdimësia.
f) Gama e vlerave.

Gjeni vetitë e funksionit $y=-2x+5$.
Zgjidhje.
a) Domeni i përkufizimit D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonia. Le të kontrollojmë për çdo vlerë x1 dhe x2 dhe le të x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Sepse x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) kufizim. Natyrisht, funksioni nuk është i kufizuar.
d) Vlera më e madhe dhe më e vogël. Meqenëse funksioni nuk është i kufizuar, nuk ka vlerë maksimale ose minimale.
e) Vazhdimësia. Grafiku i funksionit tonë nuk ka boshllëqe, atëherë funksioni është i vazhdueshëm.
f) Gama e vlerave. E(y)=(-∞;+∞).

Detyrat mbi vetitë e një funksioni për zgjidhje të pavarur

Gjeni vetitë e funksionit:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Ne do ta quajmë funksionin y=f(x) BOUNDED UP (BOTTOM) në bashkësinë A nga fusha D(f), nëse ka një numër të tillë. M , që për çdo x nga ky vendos kushtin

Duke përdorur simbole logjike, përkufizimi mund të shkruhet si:

f(x) – i kufizuar nga lart në set

(f(x) – i kufizuar nga poshtë në set

Funksionet e kufizuara në vlerë absolute ose thjesht të kufizuara janë futur në konsideratë.

Ne do ta quajmë një funksion BOUNDED në bashkësinë A nga fusha e përkufizimit nëse ekziston një numër pozitiv M i tillë që

Në gjuhën e simboleve logjike

f(x) – kufizuar në set

Një funksion që nuk është i kufizuar quhet i pakufizuar. Ne e dimë se përkufizimet e dhëna përmes mohimit kanë pak përmbajtje. Për të formuluar këtë pohim si përkufizim, ne përdorim vetitë e operacioneve të sasisë (3.6) dhe (3.7). Atëherë mohimi i kufijve të funksionit në gjuhën e simboleve logjike do të japë:

f(x) – kufizuar në set

Rezultati i marrë na lejon të formulojmë përkufizimin e mëposhtëm.

Një funksion quhet I PAKUFIZUAR në një bashkësi A, që i përket domenit të funksionit, nëse në këtë bashkësi, për çdo numër pozitiv M, ekziston i tillë vlera e argumentit X , se vlera do të vazhdojë të kalojë vlerën e M, që është, .

Si shembull, merrni parasysh funksionin

Përcaktohet në të gjithë boshtin real. Nëse marrim segmentin [–2;1] (bashkësia A), atëherë mbi të ai do të kufizohet si nga lart ashtu edhe nga poshtë.

Në të vërtetë, për të treguar se ai është i kufizuar nga lart, duhet të marrim parasysh kallëzuesin

dhe tregoni se ekziston (ekziston) M i tillë që për të gjitha x të marra në segmentin [–2;1], do të jetë e vërtetë

Nuk është e vështirë të gjesh një M të tillë. Mund të supozojmë M = 7, sasia e ekzistencës nënkupton gjetjen e të paktën një vlere të M. Prania e një M të tillë konfirmon faktin se funksioni në segmentin [–2;1] është i kufizuar nga lart.

Për të vërtetuar kufirin e tij nga poshtë, duhet të marrim parasysh kallëzuesin

Vlera e M, e cila siguron vërtetësinë e këtij kallëzuesi, është, për shembull, M = -100.

Mund të vërtetohet se funksioni do të kufizohet gjithashtu si modul: për të gjitha x nga segmenti [–2;1], vlerat e funksionit përkojnë me vlerat e , prandaj, si M, mund të marrim , për shembull, vlera e mëparshme e M = 7.

Le të tregojmë se i njëjti funksion, por në intervalin , do të jetë i pakufizuar, d.m.th.

Për të treguar se x i tillë ekziston, merrni parasysh pohimin

Duke kërkuar për vlerat e kërkuara të x midis vlerave pozitive të argumentit, marrim

Kjo do të thotë se pa marrë parasysh se çfarë pozitive merr Mwe, vlerat e x që sigurojnë përmbushjen e pabarazisë

përftohen nga raporti.

Duke marrë parasysh një funksion në të gjithë boshtin real, mund të tregohet se ai është i pakufizuar në vlerë absolute.

Në të vërtetë, nga pabarazia

Kjo do të thotë, sado i madh të jetë M pozitiv, ose do të sigurojë përmbushjen e pabarazisë.

FUNKSIONI EKSTREM.

Funksioni ka në pikë Me maksimumi lokal (minimumi) nëse ka një fqinjësi të tillë të kësaj pike që për x¹ Me kjo lagje plotëson pabarazinë

veçanërisht se pika ekstreme mund të jetë vetëm një pikë e brendshme e hendekut, dhe f(x) duhet të përcaktohet në të. Rastet e mundshme të mungesës së një ekstremi janë paraqitur në Fig. 8.8.

Nëse një funksion rritet (zvogëlohet) në një interval dhe zvogëlohet (rritet) në një interval, atëherë pika Me është pika maksimale (minimale) lokale.

Mungesa e një maksimumi të funksionit f(x) në një pikë Me mund të formulohet kështu:

_______________________

f(x) ka një maksimum në c

Kjo do të thotë se nëse pika c nuk është një pikë maksimale lokale, atëherë pavarësisht se cila është lagjja që përfshin pikën c si të brendshme, ka të paktën një vlerë të x jo e barabartë me c, për të cilën . Kështu, nëse nuk ka maksimum në pikën c, atëherë mund të mos ketë fare një ekstrem në këtë pikë, ose mund të jetë një pikë minimale (Fig. 8.9).

Koncepti i një ekstremi jep një vlerësim krahasues të vlerës së një funksioni në çdo pikë në lidhje me funksionet e afërta. Një krahasim i ngjashëm i vlerave të funksionit mund të bëhet për të gjitha pikat e një intervali të caktuar.

Vlera MË E MADHE (MINIMUM) e një funksioni në një grup është vlera e tij në një pikë nga kjo bashkësi e tillë që – për . Vlera më e madhe e funksionit arrihet në pikën e brendshme të segmentit dhe më e vogla – në skajin e majtë të saj.

Për të përcaktuar vlerën më të madhe (më të vogël) të një funksioni të dhënë në një segment, është e nevojshme të zgjidhni numrin më të madh (më të vogël) midis të gjitha vlerave të maksimumeve të tij (minimumeve), si dhe vlerave të marra në skajet e intervalit. Do të jetë vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit. Ky rregull do të specifikohet më vonë.

Problemi i gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një interval të hapur nuk zgjidhet gjithmonë lehtë. Për shembull, funksioni

në intervalin (Fig. 8.11) nuk i ka.

Le të sigurohemi, për shembull, që ky funksion të mos ketë vlerën më të madhe. Në të vërtetë, duke pasur parasysh monotoninë e funksionit, mund të argumentohet se sado afër vendosim vlerat e x në të majtë të unitetit, do të ketë x të tjera në të cilat vlerat e funksionit do të jenë më të mëdha se vlerat e tij në pikat fikse të dhëna, por ende më pak se uniteti.

1) Shtrirja e funksionit dhe diapazoni i funksionit.

Shtrirja e një funksioni është grupi i të gjitha vlerave të vlefshme të argumentit x(ndryshueshme x) për të cilin funksioni y = f(x) të përcaktuara. Gama e një funksioni është bashkësia e të gjitha vlerave reale y që funksioni e pranon.

Në matematikën elementare, funksionet studiohen vetëm në bashkësinë e numrave realë.

2) Funksioni zero.

Zero e funksionit është vlera e argumentit në të cilin vlera e funksionit është e barabartë me zero.

3) Intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës së një funksioni.

Intervalet e shenjës konstante të një funksioni janë grupe të tilla vlerash argumentesh mbi të cilat vlerat e funksionit janë vetëm pozitive ose vetëm negative.

4) Monotonia e funksionit.

Një funksion në rritje (në një interval të caktuar) është një funksion në të cilin një vlerë më e madhe e argumentit nga ky interval korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit.

Funksioni zvogëlues (në një interval) - një funksion në të cilin një vlerë më e madhe e argumentit nga ky interval korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.

5) Funksionet çift (tek)..

Një funksion çift është një funksion, fusha e përkufizimit të të cilit është simetrik në lidhje me origjinën dhe për cilindo X nga fusha e përkufizimit barazia f(-x) = f(x). Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin y.

Një funksion tek është një funksion, domeni i përkufizimit të të cilit është simetrik në lidhje me origjinën dhe për cilindo X nga fusha e përkufizimit barazia f(-x) = - f(x). Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën.

6) Funksione të kufizuara dhe të pakufizuara.

Një funksion quhet i kufizuar nëse ekziston një numër pozitiv M i tillë që |f(x)| ≤ M për të gjitha vlerat e x . Nëse nuk ka një numër të tillë, atëherë funksioni është i pakufizuar.

7) Periodiciteti i funksionit.

Një funksion f(x) është periodik nëse ekziston një numër T jo zero i tillë që për çdo x nga fusha e funksionit, f(x+T) = f(x). Ky numër më i vogël quhet periudha e funksionit. Gjithçka funksionet trigonometrike janë periodike. (Formulat trigonometrike).

19. Funksionet elementare themelore, vetitë dhe grafikët e tyre. Zbatimi i funksioneve në ekonomi.

Funksionet themelore elementare. Vetitë dhe grafikët e tyre

1. Funksioni linear.

Funksioni linear quhet funksion i formës , ku x është një ndryshore, dhe dhe b janë numra realë.

Numri a i quajtur pjerrësia e një drejtëze, është e barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së kësaj drejteje me drejtimin pozitiv të boshtit x. Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë. Përcaktohet nga dy pika.

Vetitë e funksionit linear

1. Domeni i përkufizimit - grupi i të gjithë numrave realë: D (y) \u003d R

2. Bashkësia e vlerave është bashkësia e të gjithë numrave realë: E(y)=R

3. Funksioni merr një vlerë zero për ose.

4. Funksioni rritet (zvogëlohet) në të gjithë domenin e përkufizimit.

5. Funksioni linear është i vazhdueshëm në të gjithë domenin e përkufizimit, i diferencueshëm dhe .

2. Funksioni kuadratik.

Një funksion i formës, ku x është një ndryshore, koeficientët a, b, c janë numra realë, quhet kuadratike.

Shanset a, b, c përcaktoni vendndodhjen e grafikut në planin koordinativ

Koeficienti a përcakton drejtimin e degëve. Grafiku i një funksioni kuadratik është një parabolë. Koordinatat e kulmit të parabolës gjenden me formula:

Karakteristikat e funksionit:

2. Një grup vlerash të njërit prej intervaleve: ose.

3. Funksioni merr vlera zero kur , ku diskriminuesi llogaritet me formulën:.