Derivat i një funksioni me dy ndryshore. Derivatet e pjesshme të rendit të dytë. Probleme me një funksion trigonometrik dhe një funksion me tre ndryshore

17.09.2021Titulli: Pagesa

Derivatet e pjesshme të funksioneve të dy ndryshoreve.
Koncepti dhe shembuj zgjidhjesh

Në këtë mësim, ne do të vazhdojmë njohjen tonë me funksionin e dy ndryshoreve dhe do të shqyrtojmë, ndoshta, detyrën më të zakonshme tematike - gjetjen derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë, si dhe diferenciali total i funksionit. Studentët me kohë të pjesshme, si rregull, përballen me derivate të pjesshme në vitin e parë në semestrin e dytë. Për më tepër, sipas vëzhgimeve të mia, detyra e gjetjes së derivateve të pjesshme gjendet pothuajse gjithmonë në provim.

Për të mësuarit efektiv materialin e mëposhtëm e nevojshme të jetë në gjendje të gjejë pak a shumë me siguri derivatet "e zakonshme" të një funksioni të një ndryshoreje. Ju mund të mësoni se si t'i trajtoni saktë derivatet në mësime Si të gjeni derivatin? dhe Derivat i një funksioni kompleks. Ne gjithashtu kemi nevojë për një tabelë derivative funksionet elementare dhe rregullat e diferencimit, është më i përshtatshëm nëse është në dispozicion në formë të shtypur. Ju mund të gjeni materiale referuese në faqe Formula dhe tabela matematikore.

Le të përsërisim shpejt konceptin e një funksioni të dy ndryshoreve, do të përpiqem të kufizoj veten në minimumin e thjeshtë. Një funksion i dy variablave zakonisht shkruhet si , ku ndryshoret thirren variablat e pavarur ose argumentet.

Shembull: - një funksion i dy ndryshoreve.

Ndonjëherë përdoret shënimi. Ka edhe detyra ku përdoret shkronja në vend të shkronjës.

Nga pikëpamja gjeometrike, një funksion i dy ndryshoreve është më së shpeshti një sipërfaqe e hapësirës tredimensionale (rrafsh, cilindër, top, paraboloid, hiperboloid, etj.). Por, në fakt, kjo është tashmë një gjeometri më analitike dhe ne kemi në rendin e ditës analizën matematikore, të cilën mësuesja ime e universitetit nuk më ka lënë kurrë t'i fshij është "kali".

Ne i drejtohemi çështjes së gjetjes së derivateve të pjesshme të rendit të parë dhe të dytë. Unë kam një lajm të mirë për ata prej jush që kanë pirë disa filxhanë kafe dhe janë në humor për materiale të paimagjinueshme të vështira: derivatet e pjesshme janë pothuajse të njëjta me derivatet "e zakonshme" të një funksioni të një ndryshoreje.

Për derivatet e pjesshme vlejnë të gjitha rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare. Ka vetëm disa dallime të vogla që do të mësojmë tani:

... po, meqë ra fjala, për këtë temë kam krijuar libër i vogël pdf, i cili do t'ju lejojë të "mbushni dorën" në vetëm disa orë. Por, duke përdorur faqen, ju, natyrisht, do të merrni gjithashtu rezultatin - thjesht ndoshta pak më ngadalë:

Shembulli 1

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë të një funksioni

Së pari gjeni private derivatet e rendit të parë. Janë dy prej tyre.

Shënimi:
ose - derivat i pjesshëm në lidhje me "x"
ose - derivat i pjesshëm në lidhje me "y"

Le të fillojmë me. Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "x", atëherë ndryshorja konsiderohet konstante (numër konstant).

Komentet për veprimet e ndërmarra:

(1) Gjëja e parë që bëjmë kur gjejmë derivatin e pjesshëm është të konkludojmë të gjitha funksioni në kllapa nën vizë me nënshkrim.

Vëmendje e rëndësishme! Abonimet NUK HUMBEN gjatë rrjedhës së zgjidhjes. Në këtë rast, nëse vizatoni një "goditje" diku pa, atëherë mësuesi, të paktën, mund ta vendosë atë pranë detyrës (menjëherë kafshojë një pjesë të rezultatit për pavëmendje).

(2) Përdorni rregullat e diferencimit , . Për një shembull të thjeshtë si ky, të dy rregullat mund të zbatohen në të njëjtin hap. Kushtojini vëmendje termit të parë: që nga konsiderohet konstante dhe çdo konstante mund të hiqet nga shenja e derivatit, pastaj e nxjerrim nga kllapat. Kjo do të thotë, në këtë situatë, nuk është më mirë se një numër i rregullt. Tani le të shohim termin e tretë: këtu, përkundrazi, nuk ka asgjë për të hequr. Meqenëse është një konstante, është gjithashtu një konstante, dhe në këtë kuptim nuk është më i mirë se termi i fundit - "shtatë".

(3) Ne përdorim derivate tabelare dhe .

(4) Ne thjeshtojmë, ose, siç dua të them, "kombinojmë" përgjigjen.

Tani . Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "y", atëherë ndryshorenkonsiderohet konstante (numër konstant).

(1) Ne përdorim të njëjtat rregulla diferencimi , . Në termin e parë nxjerrim konstanten përtej shenjës së derivatit, në termin e dytë nuk mund të hiqet asgjë sepse ajo tashmë është konstante.

(2) Ne përdorim tabelën e derivateve të funksioneve elementare. Ndryshoni mendërisht në tabelë të gjitha "X" në "Y". Kjo do të thotë, kjo tabelë është po aq e vlefshme për (dhe në të vërtetë për pothuajse çdo shkronjë). Në veçanti, formulat që përdorim duken kështu: dhe .

Cili është kuptimi i derivateve të pjesshme?

Në thelbin e tyre, derivatet e pjesshëm të rendit të parë ngjajnë derivat "i zakonshëm".:

- atë funksione, të cilat karakterizojnë shkalla e ndryshimit funksionon në drejtim të akseve dhe përkatësisht. Kështu, për shembull, funksioni karakterizon pjerrësinë e "ngjitjeve" dhe "shpateve" sipërfaqeve në drejtim të boshtit të abshisës, dhe funksioni na tregon për "relievin" e së njëjtës sipërfaqe në drejtim të boshtit të ordinatave.

! shënim : këtu i referohet drejtimeve që janë paralele boshtet koordinative.

Për hir të një kuptimi më të mirë, le të shqyrtojmë një pikë specifike të planit dhe të llogarisim vlerën e funksionit ("lartësi") në të:
- dhe tani imagjinoni që jeni këtu (NË VETË sipërfaqen).

Ne llogarisim derivatin e pjesshëm në lidhje me "x" në një pikë të caktuar:

Shenja negative e derivatit "X" na tregon për duke zbritur funksionon në një pikë në drejtim të boshtit x. Me fjalë të tjera, nëse bëjmë një të vogël-të vogël (pafundësisht i vogël) hap drejt majës së boshtit (paralel me këtë bosht), pastaj zbrisni pjerrësinë e sipërfaqes.

Tani zbulojmë natyrën e "terrenit" në drejtim të boshtit y:

Derivati në lidhje me "y" është pozitiv, prandaj, në një pikë përgjatë boshtit, funksioni rritet. Nëse është mjaft e thjeshtë, atëherë këtu jemi duke pritur për një ngjitje përpjetë.

Përveç kësaj, derivati i pjesshëm në një pikë karakterizon shkalla e ndryshimit funksionon në drejtimin përkatës. Sa më e madhe të jetë vlera që rezulton modul- sa më e pjerrët të jetë sipërfaqja, dhe anasjelltas, sa më afër zeros, aq më e sheshtë është sipërfaqja. Pra, në shembullin tonë, "pjerrësia" në drejtim të boshtit të abshisë është më e pjerrët se "mali" në drejtim të boshtit të ordinatave.

Por këto ishin dy rrugë private. Është shumë e qartë se nga pika në të cilën jemi, (dhe në përgjithësi nga çdo pikë e sipërfaqes së dhënë) ne mund të lëvizim në një drejtim tjetër. Kështu, ka një interes për hartimin e një "karte navigimi" të përgjithshëm që do të na tregonte për "peizazhin" e sipërfaqes. nëse është e mundur në çdo pikë fushëveprimi i këtij funksioni në të gjitha mënyrat e disponueshme. Unë do të flas për këtë dhe gjëra të tjera interesante në një nga mësimet e ardhshme, por tani për tani, le të kthehemi në anën teknike të çështjes.

Ne sistemojmë rregullat elementare të aplikuara:

1) Kur diferencojmë me , atëherë ndryshorja konsiderohet konstante.

2) Kur diferencimi kryhet sipas, atëherë konsiderohet konstante.

3) Rregullat dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare janë të vlefshme dhe të zbatueshme për çdo ndryshore (ose çdo tjetër) në lidhje me të cilën kryhet diferencimi.

Hapi dy. Gjejmë derivate të pjesshëm të rendit të dytë. Janë katër prej tyre.

Shënimi:
ose - derivati i dytë në lidhje me "x"
ose - derivati i dytë në lidhje me "y"
ose - të përziera derivati "x nga y"
ose - të përziera derivati "Y me X"

Nuk ka probleme me derivatin e dytë. Me fjalë të thjeshta, derivati i dytë është derivati i derivatit të parë.

Për lehtësi, unë do të rishkruaj derivatet e pjesshme të rendit të parë të gjetura tashmë:

Së pari gjejmë derivatet e përzier:

Siç mund ta shihni, gjithçka është e thjeshtë: marrim derivatin e pjesshëm dhe e diferencojmë përsëri, por në këtë rast, tashmë me "y".

Në mënyrë të ngjashme:

Në shembuj praktikë, mund të përqendroheni në barazinë e mëposhtme:

Kështu, përmes derivateve të përzier të rendit të dytë, është shumë e përshtatshme të kontrollojmë nëse i kemi gjetur saktë derivatet e pjesshme të rendit të parë.

Derivatin e dytë e gjejmë në lidhje me "x".
Asnjë shpikje, ne marrim dhe diferencojeni përsëri me "X":

Në mënyrë të ngjashme:

Duhet të theksohet se kur të gjeni, duhet të tregoni vëmendje e shtuar, pasi nuk ka barazi të mrekullueshme për t'i testuar ato.

Derivatet e dyta gjejnë gjithashtu zbatim të gjerë praktik, në veçanti, ato përdoren në problemin e gjetjes ekstreme të një funksioni të dy ndryshoreve. Por çdo gjë ka kohën e vet:

Shembulli 2

Llogaritni derivatet e pjesshme të rendit të parë të funksionit në pikën . Gjeni derivatet e rendit të dytë.

Ky është një shembull për vetë-zgjidhje (përgjigjet në fund të orës së mësimit). Nëse keni vështirësi në dallimin e rrënjëve, kthehuni te mësimi Si të gjeni derivatin? Në përgjithësi, shumë shpejt do të mësoni se si të gjeni derivate të ngjashëm në fluturim.

Ne e mbushim dorën me shembuj më kompleksë:

Shembulli 3

Kontrollojeni atë. Shkruani diferencialin total të rendit të parë.

Zgjidhje: Gjejmë derivate të pjesshëm të rendit të parë:

Kushtojini vëmendje nënshkrimit: pranë "x" nuk është e ndaluar të shkruhet në kllapa se është një konstante. Kjo shenjë mund të jetë shumë e dobishme për fillestarët për ta bërë më të lehtë lundrimin në zgjidhje.

Komentet e mëtejshme:

(1) Ne nxjerrim të gjitha konstantet jashtë shenjës së derivatit. Në këtë rast, dhe , dhe, kështu, produkti i tyre konsiderohet një numër konstant.

(2) Mos harroni se si të dalloni siç duhet rrënjët.

(1) Të gjitha konstantet i nxjerrim nga shenja e derivatit, në këtë rast konstanta është .

(2) Nën prim, ne kemi produktin e dy funksioneve, prandaj, duhet të përdorim rregullin e diferencimit të produktit .

(3) Mos harroni se është një funksion kompleks (edhe pse më i thjeshti nga komplekset). Ne përdorim rregullin përkatës: .

Tani gjejmë derivate të përzier të rendit të dytë:

Kjo do të thotë që të gjitha llogaritjet janë të sakta.

Le të shkruajmë diferencialin total. Në kontekstin e detyrës në shqyrtim, nuk ka kuptim të tregohet se cili është diferenciali total i një funksioni të dy variablave. Është e rëndësishme që ky dallim shumë shpesh duhet të shkruhet në problemet praktike.

Diferenciali total i rendit të parë funksionet e dy variablave kanë formën:

Në këtë rast:

Kjo do të thotë, në formulë ju thjesht duhet të zëvendësoni marrëzi thjesht derivatet e pjesshme të gjetura tashmë të rendit të parë. Ikonat diferenciale dhe në këtë dhe situata të ngjashme, nëse është e mundur, është më mirë të shkruani në numërues:

Dhe me kërkesë të përsëritur të lexuesve, diferencial i plotë i rendit të dytë.

Duket kështu:

Gjeni me kujdes derivatet "me një shkronjë" të rendit të dytë:

dhe shkruani "përbindëshin", duke "lidhur" me kujdes katrorët, produktin dhe duke mos harruar të dyfishoni derivatin e përzier:

Është në rregull nëse diçka ju dukej e vështirë, gjithmonë mund t'i ktheheni derivateve më vonë, pasi të keni përdorur teknikën e diferencimit:

Shembulli 4

Gjeni derivatet e pjesshëm të rendit të parë të një funksioni . Kontrollojeni atë. Shkruani diferencialin total të rendit të parë.

Konsideroni një sërë shembujsh me funksionet komplekse:

Shembulli 5

Gjeni derivate të pjesshëm të rendit të parë të funksionit .

Zgjidhja:

Shembulli 6

Gjeni derivatet e pjesshëm të rendit të parë të një funksioni .
Shkruani diferencialin total.

Ky është një shembull për vetë-zgjidhje (përgjigja në fund të orës së mësimit). Nuk do të postoj zgjidhjen e plotë sepse është mjaft e thjeshtë.

Shumë shpesh, të gjitha rregullat e mësipërme zbatohen në kombinim.

Shembulli 7

Gjeni derivatet e pjesshëm të rendit të parë të një funksioni .

(1) Ne përdorim rregullin e diferencimit të shumës

(2) Termi i parë në këtë rast konsiderohet konstante, pasi nuk ka asgjë në shprehjen që varet nga "x" - vetëm "y". E dini, është gjithmonë mirë kur një thyesë mund të kthehet në zero). Për mandatin e dytë, ne zbatojmë rregullin e diferencimit të produktit. Nga rruga, në këtë kuptim, asgjë nuk do të ndryshonte nëse në vend të kësaj do të jepej një funksion - është e rëndësishme që këtu produkt i dy funksioneve, Secila prej të cilave varet nga "X", dhe për këtë arsye, ju duhet të përdorni rregullin e diferencimit të produktit. Për termin e tretë zbatojmë rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks.

(1) Termi i parë si në numërues ashtu edhe në emërues përmban një "y", prandaj, duhet të përdorni rregullin për diferencimin e herësit: . Termi i dytë varet VETËM nga "x", që do të thotë se konsiderohet konstante dhe kthehet në zero. Për termin e tretë, ne përdorim rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks.

Për ata lexues që me guxim ia dolën pothuajse në fund të mësimit, do t'ju tregoj një anekdotë të vjetër të Mekhmatov për detentim:

Dikur një derivat i keq u shfaq në hapësirën e funksioneve dhe si shkoi për të diferencuar të gjithë. Të gjitha funksionet shpërndahen në të gjitha drejtimet, askush nuk dëshiron të kthehet! Dhe vetëm një funksion nuk ikën askund. Derivati i afrohet dhe pyet:

"Pse nuk po ik nga unë?"

- Ha. Por nuk më intereson, se jam "e në fuqinë e x", dhe nuk mund të më bësh asgjë!

Për të cilën derivati i keq me një buzëqeshje tinëzare përgjigjet:

- Këtu e keni gabim, unë do t'ju diferencoj me "y", prandaj bëhu zero për ty.

Kush e kuptoi shakanë, i zotëronte derivatet, të paktën për “trojkën”).

Shembulli 8

Gjeni derivatet e pjesshëm të rendit të parë të një funksioni .

Ky është një shembull bëjeni vetë. Një zgjidhje e plotë dhe një model model i problemit janë në fund të mësimit.

Epo, kjo është pothuajse e gjitha. Së fundi, nuk mund të mos ju lutem matematikanëve me një shembull më shumë. Nuk bëhet fjalë as për amatorët, të gjithë kanë një nivel të ndryshëm të trajnimit matematikor - ka njerëz (dhe jo aq të rrallë) që pëlqejnë të konkurrojnë me detyra më të vështira. Megjithëse, shembulli i fundit në këtë mësim nuk është aq i ndërlikuar sa i rëndë për sa i përket llogaritjeve.

Koncepti i një funksioni të shumë variablave

Le të ketë n-ndryshore dhe çdo x 1, x 2 ... x n nga një grup i caktuar x i caktohet një përkufizim. numri Z, pastaj në grupin x është dhënë funksioni Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) i shumë ndryshoreve.

X - zona e funksioneve të përcaktuara

x 1, x 2 ... x n - ndryshore e pavarur (argumente)

Z - Funksioni Shembull: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (Vëllimi i cilindrit)

Konsideroni Z \u003d f (x; y) - f-tion i 2 ndryshoreve x (x 1, x 2 zëvendësuar me x, y). Rezultatet për analogji transferohen në funksione të tjera të shumë variablave. Zona e përcaktimit të funksionit të 2 variablave është i gjithë kordoni i katrorit (ooh) ose një pjesë e tij. Mn-në vlerën e funksionit th të 2 ndryshoreve - sipërfaqja në një hapësirë 3-dimensionale.

Teknikat e ndërtimit të grafikëve: - Seksioni Rassm-t mbi sipërfaqen e katrorit || katrorët e koordinatave.

Shembull: x \u003d x 0, zn. katrori X || 0yz y \u003d y 0 0xz Lloji i funksionit: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)

Për shembull: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Rrethi i parabolës(qendër(0;1)

Kufijtë dhe vazhdimësia e funksioneve të dy variablave

Le të jepet Z = f (x; y), atëherë A është kufiri i f-tionit në m (x 0, y 0), nëse për ndonjë vendosje arbitrare të vogël. numër E>0 emër-t numër pozitiv b>0, që për të gjitha x,y |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z \u003d f (x; y) është i vazhdueshëm në t. (x 0, y 0), nëse: - është përcaktuar në këtë t .; - ka një fundme kufiri në x, duke u prirur në x 0 dhe y në y 0; - ky limit = vlera

funksionet në t (x 0, y 0), d.m.th. limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0)

Nëse funksioni është i vazhdueshëm në secilën. t. mn-va X, atëherë është e vazhdueshme në këtë zonë

Funksioni diferencial, gjeometimi i tij. Përdorimi i dif-la në vlera të përafërta.

dy=f’(x)∆x – funksion diferencial

dy=dx, d.m.th. dy=f '(x)dx nëse y=x

Nga pikëpamja gjeografike, një diferencial funksioni është një rritje në ordinatën e tangjentes të tërhequr në grafikun e funksionit në një pikë me abshissa x 0

Dif-l përdoret në llogaritjen e përafërsisht. vlerat e funksionit sipas formulës: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Sa më afër x të jetë ∆x, aq më i saktë është rezultati.

Derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë

Derivati i rendit të parë (i cili quhet privat)

O. Le të jenë x, y rritja e ndryshoreve të pavarura x dhe y në një pikë nga rajoni X. Atëherë vlera e barabartë me z = f(x + x, y + y) = f(x, y) quhet rritja totale në pikën x 0, y 0. Nëse ndryshorja x është fikse, dhe ndryshorja y rritet me y, atëherë marrim zу = f(x, y, + y) - f(x, y)

Derivati i pjesshëm i ndryshores y përcaktohet në mënyrë të ngjashme, d.m.th.

Derivati i pjesshëm i një funksioni prej 2 ndryshoresh gjendet sipas të njëjtave rregulla si për funksionet e një ndryshoreje.

Dallimi është se kur diferencohet një funksion në lidhje me ndryshoren x, y konsiderohet konst, dhe kur diferencohet në lidhje me y, x konsiderohet konst.

Konstitat e izoluara lidhen me funksionin me veprimet e mbledhjes/zbritjes.

Konstet e lidhura lidhen me funksionin me operacione shumëzimi/pjestimi.

Derivati i konstitit të izoluar = 0

1.4.Diferenciali total i një funksioni prej 2 ndryshoresh dhe aplikimet e tij

Le të jetë z = f(x,y), atëherë

tz = - quhet rritje e plotë

Derivat i pjesshëm i rendit të dytë

Për funksionet e vazhdueshme të 2 ndryshoreve, derivatet e përziera të pjesshme të rendit të dytë përkojnë.

Përdorimi i derivateve të pjesshëm për të përcaktuar derivatet e pjesshme të funksioneve max dhe min quhen ekstreme.

A. Pikat quhen max ose min z = f(x,y) nëse ka disa segmente të tilla që për të gjitha x dhe y nga kjo lagje f(x,y)

T. Nëse jepet një pikë ekstreme e një funksioni prej 2 ndryshoresh, atëherë vlera e derivateve të pjesshme në këtë pikë është e barabartë me 0, d.m.th. ,

Pikat në të cilat derivatet e pjesshme të rendit të parë quhen stacionare ose kritike.

Prandaj, për të gjetur pikat ekstreme të një funksioni me 2 ndryshore, përdoren kushte të mjaftueshme ekstreme.

Le të jetë funksioni z = f(x,y) dy herë i diferencueshëm, dhe le të jetë pika e palëvizshme,

1) dhe maxA<0, minA>0.

1.4.(*)diferencial i plotë. Kuptimi gjeometrik i diferencialit. Zbatimi i diferencialit në llogaritjet e përafërta

O. Le të jetë i përcaktuar funksioni y = f(x) në ndonjë fqinjësi në pikat . Një funksion f(x) quhet i diferencueshëm në një pikë nëse rritja e tij në këtë pikë , ku paraqitet në formën (1)

Ku A është një vlerë konstante e pavarur nga , në një pikë fikse x, - pafundësisht e vogël në . Një funksion relativisht linear A quhet diferencial i funksionit f(x) në një pikë dhe shënohet me df() ose dy.

Kështu, shprehja (1) mund të shkruhet si ().

Diferenciali i funksionit në shprehjen (1) ka formën dy = A . Si çdo funksion linear, ai përcaktohet për çdo vlerë ndërsa rritja e funksionit duhet të merret parasysh vetëm për ato për të cilat + i përket domenit të funksionit f(x).

Për lehtësinë e shënimit të diferencialit, rritja shënohet me dx dhe quhet diferencial i ndryshores së pavarur x. Prandaj, diferenciali shkruhet si dy = Adx.

Nëse funksioni f(x) është i diferencueshëm në çdo pikë të një intervali, atëherë diferenciali i tij është funksion i dy ndryshoreve - pika x dhe ndryshorja dx:

T. Që funksioni y = g(x) të jetë i diferencueshëm në një moment , është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të ketë një derivat në këtë pikë, ndërsa

(*) Dëshmi. Nevoja.

Le të jetë funksioni f(x) i diferencueshëm në pikën , d.m.th. . Pastaj

Prandaj, derivati f'() ekziston dhe është i barabartë me A. Prandaj dy = f'()dx

Përshtatshmëria.

Le të ketë një derivat f'(), d.m.th. = f'(). Atëherë kurba y = f(x) është një segment tangjent. Për të llogaritur vlerën e një funksioni në një pikë x, merrni një pikë në disa nga fqinjët e tij, në mënyrë që të mos jetë e vështirë të gjesh f() dhe f'()/

Le të jepet një funksion. Meqenëse x dhe y janë variabla të pavarur, njëra prej tyre mund të ndryshojë ndërsa tjetra mbetet e pandryshuar. Le të shtojmë ndryshoren e pavarur x duke e mbajtur vlerën e y të pandryshuar. Atëherë z do të marrë një rritje, e cila quhet rritje e pjesshme e z me x dhe shënohet me . Kështu që, .

Në mënyrë të ngjashme, marrim një rritje të pjesshme të z në lidhje me y: .

Rritja totale e funksionit z përcaktohet nga barazia .

Nëse ka një kufi, atëherë ai quhet derivat i pjesshëm i funksionit në pikën në lidhje me ndryshoren x dhe shënohet me një nga simbolet:

Derivatet e pjesshme në lidhje me x në një pikë zakonisht shënohen me simbole .

Derivati i pjesshëm i në lidhje me ndryshoren y përcaktohet dhe shënohet në mënyrë të ngjashme:

Kështu, derivati i pjesshëm i një funksioni të disa (dy, tre ose më shumë) ndryshoreve përcaktohet si derivat i një funksioni të njërës prej këtyre ndryshoreve, duke iu nënshtruar qëndrueshmërisë së vlerave të variablave të pavarur të mbetur. Prandaj, derivatet e pjesshëm të një funksioni gjenden sipas formulave dhe rregullave për llogaritjen e derivateve të një funksioni të një ndryshoreje (në këtë rast, përkatësisht x ose y, konsiderohen vlerë konstante).

Derivatet e pjesshme quhen edhe derivate të pjesshme të rendit të parë. Ato mund të konsiderohen si funksione të . Këto funksione mund të kenë derivate të pjesshëm, të cilët quhen derivate të pjesshëm të rendit të dytë. Ato përcaktohen dhe shënohen si më poshtë:

; ;

; .

Diferenciale të rendit 1 dhe 2 të një funksioni me dy ndryshore.

Diferenciali total i një funksioni (formula 2.5) quhet diferencial i rendit të parë.

Formula për llogaritjen e diferencës totale është si më poshtë:

(2.5) ose , ku ,

diferencialet e pjesshme të funksionit .

Le të ketë funksioni derivate të pjesshëm të vazhdueshëm të rendit të dytë. Diferenciali i rendit të dytë përcaktohet nga formula . Le ta gjejmë:

Nga këtu: . Në mënyrë simbolike shkruhet kështu:

INTEGRAL I PAKFAKTUAR.

Antiderivativ i një funksioni, integral i pacaktuar, veti.

Funksioni F(x) thirret primitive për një funksion të caktuar f(x), nëse F"(x)=f(x), ose, që është e njëjtë, nëse dF(x)=f(x)dx.

Teorema. Nëse një funksion f(x), i përcaktuar në një interval (X) me gjatësi të fundme ose të pafundme, ka një antiderivativ, F(x), atëherë ai gjithashtu ka pafundësisht shumë antiderivativë; të gjitha ato përfshihen në shprehjen F(x)+C, ku C është një konstante arbitrare.

Bashkësia e të gjithë antiderivativëve për një funksion të caktuar f(x), e përcaktuar në një interval ose në një segment me gjatësi të fundme ose të pafundme, quhet integral i pacaktuar nga funksioni f(x) [ose nga shprehja f(x)dx ] dhe shënohet me simbolin .

Nëse F(x) është një nga antiderivativët për f(x), atëherë nga teorema antiderivative

, ku C është një konstante arbitrare.

Sipas përcaktimit të antiderivativit, F "(x)=f(x) dhe, rrjedhimisht, dF(x)=f(x) dx. Në formulën (7.1), f(x) quhet integrand, dhe f( x) dx quhet shprehja e integrandit.

Derivatet e pjesshëm të funksioneve të disa ndryshoreve janë funksione të të njëjtave variabla. Këto funksione, nga ana tjetër, mund të kenë derivate të pjesshëm, të cilët do t'i quajmë derivate të pjesshëm të dytë (ose derivate të pjesshëm të rendit të dytë) të funksionit origjinal.

Kështu, për shembull, një funksion i dy ndryshoreve ka katër derivate të pjesshme të rendit të dytë, të cilat përcaktohen dhe shënohen si më poshtë:

Një funksion prej tre variablash ka nëntë derivate të pjesshëm të rendit të dytë:

Derivatet e pjesshme të rendit të tretë dhe më të lartë të një funksioni të disa ndryshoreve përcaktohen dhe shënohen në mënyrë të ngjashme: derivati i pjesshëm i rendit të një funksioni të disa ndryshoreve është derivati i pjesshëm i rendit të parë i derivatit të pjesshëm të rendit. të të njëjtit funksion.

Për shembull, derivati i pjesshëm i rendit të tretë i një funksioni është derivati i pjesshëm i rendit të parë në lidhje me y të derivatit të pjesshëm të rendit të dytë

Një derivat i pjesshëm i dytë ose më i lartë i marrë në lidhje me disa ndryshore të ndryshme quhet derivat i pjesshëm i përzier.

Për shembull, derivatet e pjesshme

janë derivate të pjesshëm të përzier të një funksioni të dy ndryshoreve.

Shembull. Gjeni derivatet e pjesshme të përziera të rendit të dytë të një funksioni

Zgjidhje. Gjetja e derivateve të pjesshme të rendit të parë

Pastaj gjejmë derivatet e përziera të pjesshme të rendit të dytë

Shohim që derivatet e pjesshëm të përzier dhe që ndryshojnë vetëm në rendin e diferencimit, d.m.th., në sekuencën në të cilën kryhet diferencimi në lidhje me variabla të ndryshëm, rezultuan të jenë identikisht të barabartë. Ky rezultat nuk është i rastësishëm. Në lidhje me derivatet e përziera të pjesshme, vlen teorema e mëposhtme, të cilën ne e pranojmë pa prova.

Përkufizimi. Derivatet e pjesshëm të rendit të dytë të një funksioni janë derivatet e pjesshme të derivateve të tij të pjesshme të rendit të parë.

Shënimi i pjesshëm derivativ i rendit të dytë:

Për shembuj praktikë, barazia e mëposhtme vlen:

Kështu, është shumë e përshtatshme të kontrollohet saktësia e gjetjes së derivateve të pjesshme të rendit të parë për sa i përket derivateve të përziera të rendit të dytë.

Shembuj.

a) Gjeni derivatet e pjesshëm të rendit të dytë të një funksioni

Zgjidhje.

1. Ne konsiderojmë një variabël y

2. Funksioni që rezulton diferencohet edhe një herë me "x", d.m.th. gjeni derivatin e dytë në lidhje me "x":

3. Ne konsiderojmë një variabël X konstante, zbatojmë rregullin e diferencimit të shumës, rregullin e nxjerrjes së faktorit konstant nga shenja e derivatit dhe derivatit tabelor të funksionit të fuqisë:

4. Edhe një herë, ne diferencojmë funksionin që rezulton në lidhje me "y", d.m.th. gjeni derivatin e dytë në lidhje me "y":

5. Të gjejmë derivatin e përzier “x me y”. Për ta bërë këtë, ne dallojmë derivatin e parë në lidhje me "x" në lidhje me "y".

5. Të gjejmë derivatin e përzier “y mbi x”. Për ta bërë këtë, ne dallojmë derivatin e parë në lidhje me "Y" në lidhje me "X".

b) Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të funksionit Kontrolloni që shënoni diferencialin total të rendit të parë dz.

Zgjidhje.

1. Të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të parë, duke zbatuar rregullat e njehsimit të derivatit të prodhimit, shumës, duke nxjerrë faktorin konstant nga shenja e derivatit dhe integraleve tabelore të funksioneve trigonometrike: