Η ροπή αδράνειας είναι σχετική. Ροπή αδράνειας των σωμάτων κατά την περιστροφική κίνηση. Παραδείγματα ροπών αδράνειας ορισμένων σωμάτων
Η ροπή αδράνειας ενός σώματος (συστήματος) σε σχέση με έναν δεδομένο άξονα Oz (ή αξονική ροπή αδράνειας) είναι μια κλιμακωτή ποσότητα που διαφέρει από το άθροισμα των γινομένων των μαζών όλων των σημείων του σώματος (συστήματος) κατά το τετράγωνα των αποστάσεων τους από αυτόν τον άξονα:
Από τον ορισμό προκύπτει ότι η ροπή αδράνειας ενός σώματος (ή συστήματος) σε σχέση με οποιονδήποτε άξονα είναι θετική ποσότητα και όχι ίση με μηδέν.
Στο μέλλον, θα φανεί ότι η αξονική ροπή αδράνειας παίζει τον ίδιο ρόλο κατά την περιστροφική κίνηση ενός σώματος όπως η μάζα κατά τη μεταφορική κίνηση, δηλ. ότι η αξονική ροπή αδράνειας είναι ένα μέτρο της αδράνειας ενός σώματος κατά την περιστροφική κίνηση κίνηση.
Σύμφωνα με τον τύπο (2), η ροπή αδράνειας ενός σώματος είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας όλων των μερών του σε σχέση με τον ίδιο άξονα. Για ένα υλικό σημείο που βρίσκεται σε απόσταση h από τον άξονα, . Η μονάδα μέτρησης της ροπής αδράνειας στο SI θα είναι 1 kg (στο σύστημα MKGSS -).
Για τον υπολογισμό των αξονικών ροπών αδράνειας, οι αποστάσεις των σημείων από τους άξονες μπορούν να εκφραστούν μέσω των συντεταγμένων αυτών των σημείων (για παράδειγμα, το τετράγωνο της απόστασης από τον άξονα Ox θα είναι κ.λπ.).
Στη συνέχεια, οι ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες θα καθοριστούν από τους τύπους:
Συχνά κατά τη διάρκεια των υπολογισμών χρησιμοποιείται η έννοια της ακτίνας περιστροφής. Η ακτίνα αδράνειας ενός σώματος σε σχέση με έναν άξονα είναι ένα γραμμικό μέγεθος που καθορίζεται από την ισότητα
όπου M είναι η μάζα σώματος. Από τον ορισμό προκύπτει ότι η ακτίνα αδράνειας είναι γεωμετρικά ίση με την απόσταση από τον άξονα του σημείου στο οποίο πρέπει να συγκεντρωθεί η μάζα ολόκληρου του σώματος έτσι ώστε η ροπή αδράνειας αυτού του ενός σημείου να είναι ίση με τη στιγμή αδράνειας ολόκληρου του σώματος.
Γνωρίζοντας την ακτίνα αδράνειας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο (4) για να βρείτε τη ροπή αδράνειας του σώματος και αντίστροφα.
Οι τύποι (2) και (3) ισχύουν τόσο για ένα άκαμπτο σώμα όσο και για οποιοδήποτε σύστημα υλικών σημείων. Στην περίπτωση ενός στερεού σώματος, σπάζοντας το σε στοιχειώδη μέρη, διαπιστώνουμε ότι στο όριο το άθροισμα στην ισότητα (2) θα μετατραπεί σε ολοκλήρωμα. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνοντας υπόψη ότι όπου είναι η πυκνότητα και V είναι ο όγκος, λαμβάνουμε
Το ολοκλήρωμα εδώ εκτείνεται σε ολόκληρο τον όγκο V του σώματος και η πυκνότητα και η απόσταση h εξαρτώνται από τις συντεταγμένες των σημείων του σώματος. Ομοίως, οι τύποι (3) για στερεά σώματα παίρνουν τη μορφή
Οι τύποι (5) και (5) είναι βολικοί στη χρήση κατά τον υπολογισμό των ροπών αδράνειας ομοιογενών σωμάτων κανονικού σχήματος. Σε αυτή την περίπτωση, η πυκνότητα θα είναι σταθερή και θα πέσει εκτός του ολοκληρώματος.
Ας βρούμε τις ροπές αδράνειας κάποιων ομοιογενών σωμάτων.
1. Λεπτή ομοιογενής ράβδος μήκους l και μάζας Μ. Ας υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας της σε σχέση με τον άξονα που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από το άκρο της Α (Εικ. 275). Ας κατευθύνουμε τον άξονα συντεταγμένων κατά μήκος AB Στη συνέχεια, για οποιοδήποτε στοιχειώδες τμήμα μήκους d, η τιμή είναι , και η μάζα είναι , όπου είναι η μάζα μιας μονάδας μήκους της ράβδου. Ως αποτέλεσμα, ο τύπος (5) δίνει
Αντικαθιστώντας εδώ με την αξία του, βρίσκουμε τελικά
2. Λεπτός στρογγυλός ομογενής δακτύλιος ακτίνας R και μάζας Μ. Ας βρούμε τη ροπή αδράνειας του σε σχέση με τον άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του δακτυλίου και διέρχεται από το κέντρο του C (Εικ. 276).
Δεδομένου ότι όλα τα σημεία του δακτυλίου βρίσκονται σε απόσταση από τον άξονα, ο τύπος (2) δίνει
Επομένως, για το δαχτυλίδι
Προφανώς, το ίδιο αποτέλεσμα θα ληφθεί για τη στιγμή αδράνειας ενός λεπτού κυλινδρικού κελύφους μάζας Μ και ακτίνας R ως προς τον άξονά του.
3. Στρογγυλή ομοιογενής πλάκα ή κύλινδρος ακτίνας R και μάζας Μ. Ας υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας της στρογγυλής πλάκας ως προς τον άξονα που είναι κάθετος στην πλάκα και διέρχεται από το κέντρο της (βλ. Εικ. 276). Για να γίνει αυτό, επιλέγουμε έναν στοιχειώδη δακτύλιο με ακτίνα και πλάτος (Εικ. 277, α). Η περιοχή αυτού του δακτυλίου είναι και η μάζα είναι η μάζα ανά μονάδα επιφάνειας της πλάκας. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον τύπο (7), για έναν επιλεγμένο στοιχειώδη δακτύλιο θα υπάρχει και για ολόκληρο το πιάτο
Σώματα mανά τετραγωνικό απόστασης ρεμεταξύ αξόνων:
J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)Οπου m- συνολικό σωματικό βάρος.
Για παράδειγμα, η ροπή αδράνειας μιας ράβδου σε σχέση με έναν άξονα που διέρχεται από το άκρο της είναι ίση με:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2.(\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\right)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)
| ομοιογενή σώματα της απλούστερης μορφής σε σχέση με ορισμένους άξονες περιστροφής | Σώμα | Περιγραφή Θέση άξονα | ένα Ροπή αδράνειας |
|---|---|---|---|
| J α m | Μάζα σημείου υλικού Σε απόσταση r | ||
| από ένα σημείο, ακίνητο Σε απόστασηΚοίλος δακτύλιος κύλινδρος ή ακτίνας κοίλου λεπτού τοιχώματος m | και μάζες | Άξονας κυλίνδρου | |
| m r 2 (\displaystyle mr^(2)) Σε απόστασηΚοίλος δακτύλιος κύλινδρος ή ακτίνας κοίλου λεπτού τοιχώματος m | και μάζες | Συμπαγής κύλινδρος ή δίσκος ακτίνας | |
| 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2)) mΚοίλος κύλινδρος μάζας με παχύ τοίχωμα Σε απόστασημε εξωτερική ακτίνα Σε απόσταση 1 | και μάζες | 2 και εσωτερική ακτίνα | |
| m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2))) Συμπαγές μήκος κυλίνδρουμεγάλο Σε απόστασηΚοίλος δακτύλιος κύλινδρος ή ακτίνας κοίλου λεπτού τοιχώματος m | , ακτίνα | ||
| 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\style display (1 \πάνω από 4)m\cdot r^(2)+(1 \πάνω από 12)m\cdot l^(2)) Συμπαγές μήκος κυλίνδρουμεγάλο Σε απόστασηΚοίλος δακτύλιος κύλινδρος ή ακτίνας κοίλου λεπτού τοιχώματος m | Κοίλο μήκος κυλίνδρου (δαχτυλιδιού) με λεπτό τοίχωμα | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\style display (1 \πάνω από 2)m\cdot r^(2)+(1 \πάνω από 12)m\cdot l^(2)) | |
| Ευθεία λεπτή ράβδος μήκους Συμπαγές μήκος κυλίνδρουΚοίλος δακτύλιος κύλινδρος ή ακτίνας κοίλου λεπτού τοιχώματος m | Ο άξονας είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από το κέντρο μάζας της | 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2)) | |
| Ευθεία λεπτή ράβδος μήκους Συμπαγές μήκος κυλίνδρουΚοίλος δακτύλιος κύλινδρος ή ακτίνας κοίλου λεπτού τοιχώματος m | Ο άξονας είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από το άκρο της | 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2)) | |
| Σφαίρα ακτίνας λεπτού τοιχώματος Σε απόστασηΚοίλος δακτύλιος κύλινδρος ή ακτίνας κοίλου λεπτού τοιχώματος m | Ο άξονας διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας | 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2)) | |
| Μπάλα ακτίνας Σε απόστασηΚοίλος δακτύλιος κύλινδρος ή ακτίνας κοίλου λεπτού τοιχώματος m | Ο άξονας περνά από το κέντρο της μπάλας | 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2)) | |
| Κώνος ακτίνας Σε απόστασηΚοίλος δακτύλιος κύλινδρος ή ακτίνας κοίλου λεπτού τοιχώματος m | Κώνος άξονας | 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2)) | |
| Ισοσκελές τρίγωνο με υψόμετρο η, βάση Θέση άξονακαι μάζα m | Ο άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο του τριγώνου και διέρχεται από την κορυφή | 1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2))) | |
| Κανονικό τρίγωνο με πλευρά Θέση άξονακαι μάζα m | Ο άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο του τριγώνου και διέρχεται από το κέντρο μάζας | 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2)) | |
| Τετράγωνο με πλευρά Θέση άξονακαι μάζα m | Ο άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο του τετραγώνου και διέρχεται από το κέντρο μάζας | 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2)) | |
| Ορθογώνιο με πλευρές Θέση άξοναΚαι σικαι μάζα m | Ο άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο του ορθογωνίου και διέρχεται από το κέντρο μάζας | 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2))) | |
| Κανονικό n-gon ακτίνας Σε απόστασηκαι μάζα m | Ο άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο και διέρχεται από το κέντρο μάζας | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\αριστερά) | |
| Torus (κούφιο) με ακτίνα οδηγού κύκλου R, ακτίνα του κύκλου δημιουργίας Σε απόστασηκαι μάζα m | Ο άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο του κύκλου οδήγησης του δακτύλου και διέρχεται από το κέντρο μάζας | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\right)) |
Εξαγωγή τύπων
Κύλινδρος με λεπτό τοίχωμα (δακτύλιος, τσέρκι)
Παραγωγή του τύπου
Η ροπή αδράνειας ενός σώματος είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας των συστατικών του μερών. Ας χωρίσουμε έναν κύλινδρο με λεπτό τοίχωμα σε στοιχεία με μάζα dmκαι στιγμές αδράνειας dJ i. Τότε
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m .(1) .
(\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)Δεδομένου ότι όλα τα στοιχεία ενός κυλίνδρου με λεπτά τοιχώματα βρίσκονται στην ίδια απόσταση από τον άξονα περιστροφής, ο τύπος (1) μετατρέπεται στη μορφή
Παραγωγή του τύπου
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . R(\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).) RΚύλινδρος με παχύ τοίχωμα (δακτύλιος, τσέρκι) ηκαι πυκνότητα ρ. Ας το σπάσουμε σε λεπτούς δακτυλίους χοντρούς Δρ. Μάζα και ροπή αδράνειας δακτυλίου λεπτής ακτίνας Σε απόστασηθα είναι
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ;d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r .
(\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.) Ας βρούμε τη ροπή αδράνειας του χοντρού δακτυλίου ως ολοκλήρωμαJ = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=)
= 2 π ρ h r 4 4 |R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) .
(\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2 )-R_(1)^(2)\δεξιά)\αριστερά(R^(2)+R_(1)^(2)\δεξιά).)Αφού ο όγκος και η μάζα του δακτυλίου είναι ίσες
Παραγωγή του τύπου
V = π (R 2 − R 1 2) h ; R m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \αριστερά(R^(2)-R_(1)^(2)\δεξιά)h,)
παίρνουμε τον τελικό τύπο για τη ροπή αδράνειας του δακτυλίουJ = 1 2 m (R 2 + R 1 2) .
Παραγωγή του τύπου
(\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\αριστερά(R^(2)+R_(1)^(2)\δεξιά).) Ομογενής δίσκος (συμπαγής κύλινδρος)Θεωρώντας έναν κύλινδρο (δίσκο) ως δακτύλιο με μηδενική εσωτερική ακτίνα (
1 = 0), λαμβάνουμε τον τύπο για τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου (δίσκος):Οπου R J = 1 2 m R2. (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)Συμπαγής κώνος ηΣπάμε τον κώνο σε λεπτούς δίσκους με πάχος
dh, κάθετα στον άξονα του κώνου. Η ακτίνα ενός τέτοιου δίσκου είναι ίση με
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 |0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 .
Παραγωγή του τύπου
(\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \δεξιά)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\δεξιά)^(4)\αριστερά.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(ευθυγραμμισμένο))) Ομογενής δίσκος (συμπαγής κύλινδρος)Συμπαγής ομοιογενής μπάλα ηΑς σπάσουμε τη μπάλα σε λεπτούς δίσκους πάχους
, κάθετα στον άξονα περιστροφής. Η ακτίνα ενός τέτοιου δίσκου βρίσκεται σε ύψοςαπό το κέντρο της σφαίρας, τη βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο
r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)Η μάζα και η ροπή αδράνειας ενός τέτοιου δίσκου θα είναι
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ;(\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;)
Παραγωγή του τύπου
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . R :
(\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\δεξιά)dh.)Βρίσκουμε τη ροπή αδράνειας της μπάλας με ολοκλήρωση: J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R2.(\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\right)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(ευθυγραμμισμένο)))
Παραγωγή του τύπου
Λεπτή ράβδος (ο άξονας διέρχεται από το κέντρο) ΔρΑς σπάσουμε τη ράβδο σε μικρά κομμάτια μήκους
. Η μάζα και η ροπή αδράνειας ενός τέτοιου θραύσματος είναι ίσες με, κάθετα στον άξονα του κώνου. Η ακτίνα ενός τέτοιου δίσκου είναι ίση με
d m = m d r l ;d J = r 2 d m = m r 2 d r l .
Παραγωγή του τύπου
(\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).) J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 .
(\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\αριστερά.(\frac (r^(3))(3))\δεξιά|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)Λεπτή ράβδος (ο άξονας διέρχεται από το άκρο)
Όταν ο άξονας περιστροφής κινείται από το μέσο της ράβδου προς το άκρο της, το κέντρο βάρους της ράβδου κινείται σε σχέση με τον άξονα κατά μια απόσταση Σε απόστασηΚοίλος δακτύλιος κύλινδρος ή ακτίνας κοίλου λεπτού τοιχώματος m l ⁄ 2 Σε απόσταση. Σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner, η νέα ροπή αδράνειας θα είναι ίση με J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . 2). Αυτή η τιμή αντανακλά την κατανομή της μάζας στο βάθος. Μία από τις μεθόδους για τη μέτρησή του κοντά σε πλανήτες και δορυφόρους είναι ο προσδιορισμός της μετατόπισης Doppler του ραδιοφωνικού σήματος που εκπέμπεται από ένα AMS που πετά κοντά σε έναν δεδομένο πλανήτη ή δορυφόρο. Για μια σφαίρα με λεπτό τοίχωμα, η αδιάστατη ροπή αδράνειας είναι ίση με 2/3 (~0,67), για μια ομοιογενή μπάλα - 0,4, και γενικά, όσο μικρότερη, τόσο μεγαλύτερη είναι η μάζα του σώματος συγκεντρωμένη στο κέντρο της. Για παράδειγμα, η Σελήνη έχει μια αδιάστατη ροπή αδράνειας κοντά στο 0,4 (ίση με 0,391), οπότε υποτίθεται ότι είναι σχετικά ομοιογενής, η πυκνότητά της αλλάζει ελάχιστα με το βάθος. Η αδιάστατη ροπή αδράνειας της Γης είναι μικρότερη από αυτή μιας ομοιογενούς μπάλας (ίση με 0,335), γεγονός που αποτελεί επιχείρημα υπέρ της ύπαρξης πυκνού πυρήνα.
Φυγόκεντρη ροπή αδράνειας
Οι φυγόκεντρες ροπές αδράνειας ενός σώματος σε σχέση με τους άξονες ενός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων είναι οι ακόλουθες ποσότητες:
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _(V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)Οπου x , yΚαι z- συντεταγμένες ενός μικρού σώματος με όγκο dV, πυκνότητα ρ και μάζα dm .
Ο άξονας OX ονομάζεται κύριος άξοναςαδράνεια σώματος, εάν οι φυγόκεντρες ροπές αδράνειας J xyΚαι J xzείναι ταυτόχρονα ίσα με μηδέν. Τρεις κύριοι άξονες αδράνειας μπορούν να συρθούν σε κάθε σημείο του σώματος. Αυτοί οι άξονες είναι αμοιβαία κάθετοι μεταξύ τους. Στιγμές αδράνειας του σώματοςσε σχέση με τους τρεις κύριους άξονες αδράνειας που χαράσσονται σε ένα αυθαίρετο σημείο Οσώματα λέγονται κύριες στιγμές αδράνειαςαυτού του σώματος.
Οι κύριοι άξονες αδράνειας που διέρχονται από το κέντρο μάζας του σώματος ονομάζονται κύριοι κεντρικοί άξονες αδράνειας του σώματος, και οι ροπές αδράνειας γύρω από αυτούς τους άξονες είναι δικές του κύριες κεντρικές ροπές αδράνειας. Ο άξονας συμμετρίας ενός ομοιογενούς σώματος είναι πάντα ένας από τους κύριους κεντρικούς άξονες αδράνειας του.
Γεωμετρικές ροπές αδράνειας
Γεωμετρική ροπή αδράνειας όγκου
J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)όπου, όπως πριν Σε απόσταση- απόσταση από το στοιχείο dVπρος τον άξονα Θέση άξονα .
Γεωμετρική ροπή αδράνειας εμβαδούσε σχέση με τον άξονα - γεωμετρικό χαρακτηριστικόσώμα, που εκφράζεται με τον τύπο:
J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)όπου η ενσωμάτωση πραγματοποιείται πάνω από την επιφάνεια μικρό, Α dS- στοιχείο αυτής της επιφάνειας.
Διάσταση JSa- μήκος έως την τέταρτη δύναμη ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (mim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), αντίστοιχα, η μονάδα μέτρησης SI είναι 4. Στους υπολογισμούς κατασκευής, τη λογοτεχνία και τις ποικιλίες έλασης μετάλλων, συχνά υποδεικνύεται σε cm 4.
Η ροπή αντίστασης της τομής εκφράζεται μέσω της γεωμετρικής ροπής αδράνειας της περιοχής:
W = J S a r m a x .(\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).) Εδώ - r μέγμέγιστη απόσταση
| από επιφάνεια σε άξονα. | |
|---|---|
| Γεωμετρικές ροπές αδράνειας του εμβαδού κάποιων μορφών Ύψος ορθογωνίου h (\displaystyle h) και πλάτος: | b (\displaystyle b)
J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) |
| J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12))) Ορθογώνιο τμήμα κουτιού με ύψος και πλάτος κατά μήκος των εξωτερικών περιγραμμάτων H (\displaystyle H) Και B (\displaystyle B) Ύψος ορθογωνίου H (\displaystyle H) και πλάτος, και για εσωτερικούς | αντίστοιχα
J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) |
| J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3))) Διάμετρος κύκλου | d (\displaystyle d) |
J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))
Ροπή αδράνειας σε σχέση με το επίπεδο
Η ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος σε σχέση με ένα ορισμένο επίπεδο είναι μια κλιμακωτή ποσότητα ίση με το άθροισμα των γινομένων της μάζας κάθε σημείου του σώματος με το τετράγωνο της απόστασης από αυτό το σημείο μέχρι το εν λόγω επίπεδο. Αν μέσω αυθαίρετου σημείου O (\displaystyle O) εκτελώ άξονες συντεταγμένων x , y , z (\displaystyle x,y,z) , τότε οι ροπές αδράνειας σε σχέση με τα επίπεδα συντεταγμένων, x O y (\displaystyle xOy) H (\displaystyle H) y O z (\displaystyle yOz) z O x (\displaystyle zOx)
θα εκφραστεί με τους τύπους: J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,)J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 .
(\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)
(\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .) (Στην περίπτωση ενός στερεού σώματος, η άθροιση αντικαθίσταται από την ολοκλήρωση.) Κεντρική ροπή αδράνειαςροπή αδράνειας για το σημείο Ο, ροπή αδράνειας ως προς τον πόλο, πολική ροπή αδράνειας
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)Η κεντρική ροπή αδράνειας μπορεί να εκφραστεί ως προς τις κύριες αξονικές ροπές αδράνειας, καθώς και ως προς τις ροπές αδράνειας ως προς τα επίπεδα:
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \δικαίωμα),) J O = J x O y + J y O z + J x O z .(\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)
Τανυστής αδράνειας και ελλειψοειδές αδράνειας Η ροπή αδράνειας ενός σώματος σε σχέση με έναν αυθαίρετο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας και έχει κατεύθυνση που καθορίζεται από το μοναδιαίο διάνυσμα s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , |
s → | (1)= 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\δεξιά\vert =1) , μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή τετραγωνικής (διγραμμικής) μορφής: I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad)
J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(array )(cccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(πίνακας))\right\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\quad):
Οπου Επιλέγοντας το κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων, ο πίνακας τανυστή αδράνειας μπορεί να μειωθεί σε διαγώνια μορφή. Για να γίνει αυτό, πρέπει να λύσετε το πρόβλημα της ιδιοτιμής για τον πίνακα τανυστή- ορθογώνιος πίνακας μετάβασης στη βάση του τανυστή αδράνειας. Στη σωστή βάση, οι άξονες συντεταγμένων κατευθύνονται κατά μήκος των κύριων αξόνων του τανυστή αδράνειας και επίσης συμπίπτουν με τους κύριους ημιάξονες του ελλειψοειδούς τανυστή αδράνειας. Ποσότητες J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- κύριες ροπές αδράνειας. Η έκφραση (1) στο δικό της σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή:
από την οποία παίρνουμε την εξίσωση του ελλειψοειδούς στις δικές του συντεταγμένες. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με I s (\displaystyle I_(s))
και κάνοντας αντικαταστάσεις:
ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)παίρνουμε την κανονική μορφή της ελλειψοειδούς εξίσωσης σε συντεταγμένες ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)Η απόσταση από το κέντρο του ελλειψοειδούς σε ένα ορισμένο σημείο σχετίζεται με την τιμή της ροπής αδράνειας του σώματος κατά μήκος μιας ευθείας που διέρχεται από το κέντρο του ελλειψοειδούς και από αυτό το σημείο.
ΦΥΣΙΚΟ Εκκρεμές
Σκοπός της εργασίας: προσδιορίστε τη ροπή αδράνειας ενός φυσικού εκκρεμούς σε μορφή ράβδου με βάρη με βάση την περίοδο των δικών του ταλαντώσεων.
Εξοπλισμός: εκκρεμές, χρονόμετρο.
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Ροπή αδράνειαςενός άκαμπτου σώματος είναι το μέτρο της αδράνειας ενός σώματος κατά την περιστροφική του κίνηση. Με αυτή την έννοια, είναι ένα ανάλογο της μάζας σώματος, το οποίο είναι ένα μέτρο της αδράνειας ενός σώματος κατά τη μεταφορική κίνηση. Σύμφωνα με τον ορισμό, στιγμή αδράνειαςσώμα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των μαζών των σωματιδίων του σώματος m iαπό τα τετράγωνα των αποστάσεων τους προς τον άξονα περιστροφής r i 2:
, ή .(1)
Η ροπή αδράνειας εξαρτάται όχι μόνο από τη μάζα, αλλά και από την κατανομή της σε σχέση με τον άξονα περιστροφής. Όπως μπορείτε να δείτε, η αδράνεια κατά την περιστροφή ενός σώματος είναι μεγαλύτερη, όσο πιο μακριά βρίσκονται τα σωματίδια του σώματος από τον άξονα.
Υπάρχουν διάφορα πειραματικές μεθόδουςπροσδιορισμός της ροπής αδράνειας των σωμάτων. Η εργασία προτείνει μια μέθοδο για τον προσδιορισμό της ροπής αδράνειας από την περίοδο των φυσικών ταλαντώσεων του υπό μελέτη σώματος ως φυσικό εκκρεμές. Φυσικό εκκρεμέςείναι ένα σώμα αυθαίρετου σχήματος, του οποίου το σημείο ανάρτησης βρίσκεται πάνω από το κέντρο βάρους. Εάν σε ένα βαρυτικό πεδίο το εκκρεμές εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας και απελευθερωθεί, τότε υπό την επίδραση της βαρύτητας το εκκρεμές τείνει στη θέση ισορροπίας, αλλά, έχοντας φτάσει σε αυτήν, με αδράνεια συνεχίζει να κινείται και εκτρέπεται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Στη συνέχεια η διαδικασία κίνησης επαναλαμβάνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Ως αποτέλεσμα, το εκκρεμές θα εκτελεί τις δικές του περιστροφικές ταλαντώσεις.
Για να εξάγουμε τον τύπο για τη ροπή αδράνειας ενός εκκρεμούς κατά την περίοδο των δικών του ταλαντώσεων, χρησιμοποιούμε βασικός νόμος της δυναμικής περιστροφής: η γωνιακή επιτάχυνση ενός σώματος είναι ευθέως ανάλογη με τη ροπή δύναμης και αντιστρόφως ανάλογη με τη ροπή αδράνειας του σώματος σε σχέση με τον άξονα περιστροφής:
 |
στιγμή της δύναμηςεξ ορισμού ίσο με το γινόμενο της δύναμης και του βραχίονα της δύναμης. Ο βραχίονας μιας δύναμης είναι μια κάθετη που χαμηλώνει από τον άξονα περιστροφής στη γραμμή δράσης της δύναμης. Για ένα εκκρεμές (Εικ. 1α), ο βραχίονας βαρύτητας είναι ίσος με d = ααμαρτία ένα,Οπου ΕΝΑ– την απόσταση μεταξύ του άξονα περιστροφής και του κέντρου μάζας του εκκρεμούς. Για μικρές ταλαντώσεις του εκκρεμούς, η γωνία εκτροπής Θέση άξοναείναι σχετικά μικρό και τα ημίτονο των μικρών γωνιών είναι ίσα με τις ίδιες τις γωνίες με επαρκή ακρίβεια. Στη συνέχεια, η στιγμή της βαρύτητας μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο М = −mga∙a. Το πρόσημο μείον οφείλεται στο γεγονός ότι η ροπή βαρύτητας εξουδετερώνει την εκτροπή του εκκρεμούς.
Δεδομένου ότι η γωνιακή επιτάχυνση είναι η δεύτερη παράγωγος της γωνίας περιστροφής σε σχέση με το χρόνο, ο βασικός νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης (1) παίρνει τη μορφή
.
(3)
Αυτό διαφορική εξίσωσηδεύτερη παραγγελία. Η επίλυσή του πρέπει να είναι μια συνάρτηση που, κατά την αντικατάσταση, μετατρέπει την εξίσωση σε ταυτότητα. Όπως φαίνεται από την εξίσωση (3), για αυτό, η συνάρτηση λύσης και η δεύτερη παράγωγός της πρέπει να έχουν την ίδια μορφή. Στα μαθηματικά, μια τέτοια συνάρτηση μπορεί να είναι η συνημίτονο, ημιτονοειδής συνάρτηση
α = α 0 αμαρτία( w t + j), (4)
με την προϋπόθεση ότι η κυκλική συχνότητα είναι ίση με 
. Η κυκλική συχνότητα σχετίζεται με περίοδος ταλάντωσης, δηλαδή ο χρόνος μιας ταλάντωσης, ο λόγος Τ= 2p/w.Από εδώ
Περίοδος ταλάντωσης Τκαι την απόσταση από τον άξονα περιστροφής έως το κέντρο βάρους του εκκρεμούς ΕΝΑμπορεί να μετρηθεί. Στη συνέχεια από (5) η ροπή αδράνειας του εκκρεμούς ως προς τον άξονα περιστροφής ΜΕμπορεί να προσδιοριστεί πειραματικά χρησιμοποιώντας τον τύπο
. (6)
Το εκκρεμές, η ροπή αδράνειας του οποίου προσδιορίζεται στο έργο, είναι μια ράβδος με δύο δίσκους τοποθετημένους πάνω του. Θεωρητικά, η ροπή αδράνειας ενός εκκρεμούς μπορεί να οριστεί ως το άθροισμα των ροπών αδράνειας των επιμέρους τμημάτων. Η ροπή αδράνειας των δίσκων μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου, αφού είναι μικρές σε σύγκριση με την απόσταση από τον άξονα περιστροφής: , .
Ροπή αδράνειας της ράβδου σε σχέση με άξονα που βρίσκεται σε απόσταση σιαπό τη μέση της ράβδου, μπορεί να προσδιοριστεί από το θεώρημα του Steiner 
. Ως αποτέλεσμα, η συνολική ροπή αδράνειας του εκκρεμούς μπορεί θεωρητικά να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
. (7)
(\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).) m 1 , m 2 και m 0 – μάζες του πρώτου, του δεύτερου δίσκου και της ράβδου, Συμπαγές μήκος κυλίνδρου 1 , λ 2 – αποστάσεις από το μέσο των δίσκων μέχρι τον άξονα περιστροφής, Συμπαγές μήκος κυλίνδρου 0 – μήκος της ράβδου.
Απόσταση από το σημείο ανάρτησης έως το κέντρο βάρους του εκκρεμούς ΕΝΑ, που είναι απαραίτητο για τον πειραματικό προσδιορισμό της ροπής αδράνειας στον τύπο (6), μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας την έννοια του κέντρου βάρους. Κέντρο βαρύτηταςσώμα είναι το σημείο στο οποίο εφαρμόζεται η προκύπτουσα δύναμη βαρύτητας. Επομένως, εάν το εκκρεμές τοποθετηθεί οριζόντια σε ένα στήριγμα που βρίσκεται κάτω από το κέντρο βάρους, τότε το εκκρεμές θα βρίσκεται σε ισορροπία. Στη συνέχεια απλά μετρήστε την απόσταση από τον άξονα ΜΕστην υποστήριξη.
Μπορείτε όμως να προσδιορίσετε την απόσταση ΕΝΑμε υπολογισμό. Από την κατάσταση ισορροπίας του εκκρεμούς στο στήριγμα (Εικ. 1β) προκύπτει ότι η ροπή της προκύπτουσας δύναμης βαρύτητας σε σχέση με τον άξονα ΜΕ (m 1 +m 2 +m 0)gaίσο με το άθροισμα των ροπών βαρύτητας των φορτίων και της ράβδου m 1 gl 1 +m 2 gl 2 +m 0 γιγαμπάιτ. Από πού το παίρνουμε;
. (8)
ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΗΣ ΔΟΥΛΕΙΑΣ
1. Με ζύγιση σε ζυγαριά, προσδιορίστε τις μάζες των δίσκων και της ράβδου. Τοποθετήστε τους δίσκους στη ράβδο και στερεώστε τους. Μετρήστε τις αποστάσεις από τον άξονα περιστροφής έως τη μέση των δίσκων Συμπαγές μήκος κυλίνδρου 1 , Συμπαγές μήκος κυλίνδρου 2 και μέχρι τη μέση της ράβδου σι, μήκος ράβδου Συμπαγές μήκος κυλίνδρου 0 σύμφωνα με τις διαιρέσεις εκατοστών στη ράβδο. Καταγράψτε τα αποτελέσματα των μετρήσεων στον πίνακα. 1.
Πίνακας 1
2.Ενεργοποίηση ηλεκτρονική μονάδασε δίκτυο 220 V.
Μετρήστε την περίοδο ταλάντωσης. Για να το κάνετε αυτό, μετακινήστε το εκκρεμές από τη θέση ισορροπίας σε μια μικρή γωνία και αφήστε το. Πατήστε το κουμπί Αρχήχρονόμετρο. Για τη μέτρηση του χρόνου t, για παράδειγμα, δέκα ταλαντώσεις, μετά την ένατη ταλάντωση, πατήστε το κουμπί Στάση.Η περίοδος είναι
T = t/ 10.
Καταγράψτε το αποτέλεσμα στον πίνακα. 2, πατήστε το κουμπί Επαναφορά. Επαναλάβετε το πείραμα τουλάχιστον τρεις φορές σε άλλες γωνίες εκτροπής του εκκρεμούς.
Απενεργοποιήστε την εγκατάσταση.
4. Εκτελέστε υπολογισμούς στο σύστημα SI. Προσδιορίστε τη μέση τιμή<Τ> περίοδος ταλάντωσης. Προσδιορίστε την απόσταση ΕΝΑαπό τον άξονα προς το κέντρο βάρους του εκκρεμούς σύμφωνα με τον τύπο (8), ή τοποθετήστε το εκκρεμές σε ένα στήριγμα έτσι ώστε να βρίσκεται σε ισορροπία και μετρήστε την απόσταση χρησιμοποιώντας τα τμήματα στη ράβδο ΕΝΑ.
| ΕΝΑ, m | Τ 1 , Με | Τ 2, s | Τ 3, s | <Τ>, s | | J theor, kg∙m 2 |
Πίνακας 2
5. Να προσδιορίσετε τη μέση πειραματική τιμή της ροπής αδράνειας του εκκρεμούς<J ex> σύμφωνα με τον τύπο (6) σύμφωνα με τη μέση τιμή της περιόδου ταλάντωσης<Τ>.
6. Να προσδιορίσετε τη θεωρητική τιμή της ροπής αδράνειας του εκκρεμούς J θεωρσύμφωνα με τον τύπο (7).
7. Εξάγετε ένα συμπέρασμα συγκρίνοντας τις θεωρητικές και πειραματικές τιμές της ροπής αδράνειας του εκκρεμούς. Εκτίμηση σφάλματος μέτρησης Δ J=
8. Γράψτε το αποτέλεσμα στη φόρμα J exp =< J > ±D J.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΕΣΤ
1. Δώστε τον ορισμό του φυσικού εκκρεμούς, εξηγήστε γιατί είναι δυνατές οι φυσικές ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς.
2. Να γράψετε τον βασικό νόμο της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης για ένα φυσικό εκκρεμές.
Ροπή αδράνειας- ένα βαθμωτό (στη γενική περίπτωση - τανυστής) φυσικό μέγεθος, ένα μέτρο αδράνειας στην περιστροφική κίνηση γύρω από έναν άξονα, όπως η μάζα ενός σώματος είναι ένα μέτρο της αδράνειας του στη μεταφορική κίνηση. Χαρακτηρίζεται από την κατανομή των μαζών στο σώμα: η ροπή αδράνειας είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών μαζών με το τετράγωνο των αποστάσεων τους από το βασικό σύνολο (σημείο, ευθεία ή επίπεδο).
Μονάδα SI: kg m².
Ονομασία: εγώή J.
2. Φυσική έννοια της ροπής αδράνειας. Το γινόμενο της ροπής αδράνειας ενός σώματος και της γωνιακής του επιτάχυνσης είναι ίσο με το άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Συγκρίνω. Περιστροφική κίνηση. Κίνηση προς τα εμπρός. Η ροπή αδράνειας είναι ένα μέτρο της αδράνειας ενός σώματος σε περιστροφική κίνηση
Για παράδειγμα, η ροπή αδράνειας του δίσκου σε σχέση με τον άξονα O σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner:
Θεώρημα Steiner: Η ροπή αδράνειας I ως προς έναν αυθαίρετο άξονα ισούται με το άθροισμα της ροπής αδράνειας I0 ως προς έναν άξονα παράλληλο προς τον δεδομένο και που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και το γινόμενο της μάζας σώματος m με το τετράγωνο της απόστασης d μεταξύ των αξόνων:
18. Ορμή άκαμπτου σώματος. Διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας και διάνυσμα γωνιακής ορμής. Γυροσκοπικό αποτέλεσμα. Γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης
Ορμή ενός άκαμπτου σώματοςσε σχέση με τον άξονα είναι το άθροισμα της γωνιακής ορμής των επιμέρους σωματιδίων που αποτελούν το σώμα σε σχέση με τον άξονα. Λαμβάνοντας υπόψη αυτό, παίρνουμε.
Εάν το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα είναι ίσο με μηδέν, τότε η γωνιακή ορμή διατηρείται ( νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής): .
γωνιακή ταχύτητα ως διάνυσμα, το μέγεθος του οποίου είναι αριθμητικά ίσο με τη γωνιακή ταχύτητα και κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής και, αν παρατηρηθεί από το τέλος αυτού του διανύσματος, η περιστροφή κατευθύνεται αριστερόστροφα. Ιστορικά, 2 η θετική φορά περιστροφής θεωρείται ως «αριστερόστροφη» περιστροφή, αν και, φυσικά, η επιλογή αυτής της κατεύθυνσης είναι απολύτως υπό όρους.
Για να προσδιορίσετε την κατεύθυνση του διανύσματος γωνιακής ταχύτητας, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τον "κανόνα του τεμαχίου" (ο οποίος ονομάζεται επίσης "κανόνας της δεξιάς βίδας") - εάν η κατεύθυνση κίνησης της λαβής του στελέχους (ή του τιρμπουσόν) συνδυάζεται με την κατεύθυνση περιστροφής, τότε η κατεύθυνση της κίνησης ολόκληρου του διαφράγματος θα συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος γωνιακής ταχύτητας.
Ένα περιστρεφόμενο σώμα (τροχός μοτοσικλέτας) προσπαθεί να διατηρήσει αμετάβλητη τη θέση του άξονα περιστροφής (γυροσκοπικό εφέ). συστήματα καθοδήγησης όπλων. (το πλοίο λικνίζεται στα κύματα και το όπλο κοιτάζει σε ένα σημείο) Στη ναυσιπλοΐα κ.λπ.
Η παρατήρηση της μετάπτωσης είναι αρκετά απλή. Πρέπει να εκκινήσετε την κορυφή και να περιμένετε μέχρι να αρχίσει να επιβραδύνεται. Αρχικά, ο άξονας περιστροφής της κορυφής είναι κατακόρυφος. Στη συνέχεια, η κορυφή του χαμηλώνει σταδιακά και κινείται σε μια αποκλίνουσα σπείρα. Αυτή είναι η μετάπτωση του άξονα της κορυφής.
Η κύρια ιδιότητα της μετάπτωσης είναι η αδράνεια: μόλις εξαφανιστεί η δύναμη που προκαλεί τη μετάπτωση της κορυφής, η μετάπτωση θα σταματήσει και η κορυφή θα πάρει μια ακίνητη θέση στο διάστημα. Στο παράδειγμα με μια κορυφή, αυτό δεν θα συμβεί, αφού σε αυτό η δύναμη που προκαλεί μετάπτωση -η βαρύτητα της Γης- δρα συνεχώς.
19. Ιδανικό και παχύρρευστο υγρό. Υδροστατική ασυμπίεστου ρευστού. Στατική κίνηση ιδανικού ρευστού. Η εξίσωση του Birnoulli. Ιδανικό υγρό που ονομάζεται φανταστικόςασυμπίεστο υγρό , που λείπειιξώδες, εσωτερική τριβή και θερμική αγωγιμότητα . Αφού δεν υπάρχει εσωτερική τριβή σε αυτό, τότε όχιδιατμητική τάση
ανάμεσα σε δύο γειτονικά στρώματα υγρού. παχύρρευστο υγρό χαρακτηρίζεται από την παρουσία δυνάμεων τριβής που προκύπτουν κατά την κίνησή του.που ονομάζεται παχύρρευστο υγρό
Οι εξισώσεις που εξετάζονται στο Γ. αφορούν. η ισορροπία ενός ασυμπίεστου ρευστού σε ένα πεδίο βαρύτητας (σε σχέση με τα τοιχώματα ενός σκάφους που κινούνται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο γνωστό νόμο, για παράδειγμα μεταφορικό ή περιστροφικό) καθιστά δυνατή την επίλυση προβλημάτων σχετικά με το σχήμα της ελεύθερης επιφάνειας και σχετικά με το πιτσίλισμα υγρού σε κινούμενα πλοία - σε δεξαμενές μεταφοράς υγρών, δεξαμενές καυσίμων αεροπλάνων και πυραύλων κ.λπ., καθώς και σε συνθήκες μερικής ή πλήρους έλλειψης βαρύτητας στο διάστημα. μύγα. συσκευές. Κατά τον προσδιορισμό του σχήματος της ελεύθερης επιφάνειας ενός υγρού που περικλείεται σε ένα δοχείο, εκτός από τις υδροστατικές δυνάμεις. πίεση, αδρανειακές δυνάμεις και βαρύτητα, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η επιφανειακή τάση του υγρού. Στην περίπτωση περιστροφής του αγγείου γύρω από την κατακόρυφο. άξονας γ στύλος. ang. ταχύτητα, η ελεύθερη επιφάνεια παίρνει τη μορφή ενός παραβολοειδούς περιστροφής και σε ένα σκάφος που κινείται παράλληλα προς το οριζόντιο επίπεδο μεταφορικά και ευθύγραμμα με έναν σταθμό. επιτάχυνση ΕΝΑ, η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού είναι ένα επίπεδο κεκλιμένο προς το οριζόντιο επίπεδο υπό γωνία 
Στη δυναμική της μεταφορικής κίνησης ενός υλικού σημείου, πέρα από τα κινηματικά χαρακτηριστικά, εισήχθησαν οι έννοιες της δύναμης και της μάζας. Κατά τη μελέτη της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης, εισάγονται φυσικά μεγέθη - ροπήΚαι στιγμή αδράνειας, φυσική έννοιαπου θα αποκαλύψουμε παρακάτω.
Αφήστε κάποιο σώμα υπό την επίδραση μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σημείο ΕΝΑ, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα OO" (Εικόνα 5.1).
Εικόνα 5.1 – Στο συμπέρασμα της έννοιας της ροπής δύναμης
Η δύναμη δρα σε επίπεδο κάθετο στον άξονα. Κάθετος r, έπεσε από το σημείο ΓΙΑ(που βρίσκεται στον άξονα) προς την κατεύθυνση της δύναμης ονομάζεται ώμο δύναμης. Το γινόμενο της δύναμης από τον βραχίονα καθορίζει το μέτρο στιγμή της δύναμηςσε σχέση με το σημείο ΓΙΑ:
(5.1)
στιγμή της δύναμης είναι ένα διάνυσμα που προσδιορίζεται από το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος ακτίνας του σημείου εφαρμογής της δύναμης και του διανύσματος δύναμης:
(5.2)
Μονάδα ροπής δύναμης - νεοτονόμετρο(Ν . m). Η κατεύθυνση του διανύσματος ροπής δύναμης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας κανόνες σωστής προπέλας.
Το μέτρο της αδράνειας των σωμάτων κατά τη μεταφορική κίνηση είναι η μάζα. Η αδράνεια των σωμάτων κατά την περιστροφική κίνηση εξαρτάται όχι μόνο από τη μάζα, αλλά και από την κατανομή της στο χώρο σε σχέση με τον άξονα περιστροφής. Το μέτρο της αδράνειας κατά την περιστροφική κίνηση είναι ένα μέγεθος που ονομάζεται στιγμή αδράνειας του σώματος σε σχέση με τον άξονα περιστροφής.
Ροπή αδράνειας υλικού σημείου σε σχέση με τον άξονα περιστροφής - το γινόμενο της μάζας αυτού του σημείου με το τετράγωνο της απόστασης από τον άξονα:
Ροπή αδράνειας του σώματος σε σχέση με τον άξονα περιστροφής - το άθροισμα των ροπών αδράνειας των υλικών σημείων που απαρτίζουν αυτό το σώμα:
(5.4)
Στη γενική περίπτωση, αν το σώμα είναι συμπαγές και αντιπροσωπεύει μια συλλογή σημείων με μικρές μάζες dm, η ροπή αδράνειας καθορίζεται από την ολοκλήρωση:
, (5.5)
Οπου r- απόσταση από τον άξονα περιστροφής σε στοιχείο μάζας d m.
Αν το σώμα είναι ομοιογενές και η πυκνότητά του ρ = m/V, τότε η ροπή αδράνειας του σώματος
(5.6)
Η ροπή αδράνειας ενός σώματος εξαρτάται από τον άξονα που περιστρέφεται και από το πώς κατανέμεται η μάζα του σώματος σε όλο τον όγκο.
Η ροπή αδράνειας των σωμάτων που έχουν κανονικό γεωμετρικό σχήμα και ομοιόμορφη κατανομή της μάζας στον όγκο προσδιορίζεται πιο εύκολα.
Ροπή αδράνειας ομοιογενούς ράβδουσε σχέση με έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο αδράνειας και είναι κάθετος στη ράβδο,
Ροπή αδράνειας ομογενούς κυλίνδρουσε σχέση με άξονα κάθετο στη βάση του και που διέρχεται από το κέντρο αδράνειας,
(5.8)
Ροπή αδράνειας κυλίνδρου ή στεφάνης με λεπτό τοίχωμασε σχέση με άξονα κάθετο στο επίπεδο της βάσης του και που διέρχεται από το κέντρο του,
Ροπή αδράνειας της μπάλαςσε σχέση με τη διάμετρο
(5.10)
Ας προσδιορίσουμε τη ροπή αδράνειας του δίσκου σε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο αδράνειας και είναι κάθετος στο επίπεδο περιστροφής. Αφήστε τη μάζα του δίσκου να είναι m, και η ακτίνα του είναι R.
Η περιοχή του δακτυλίου (Εικόνα 5.2) που περικλείεται μεταξύ Σε απόστασηκαι , ισούται με .
Εικόνα 5.2 – Στο τέλος της ροπής αδράνειας του δίσκου
Περιοχή δίσκου. Με σταθερό πάχος δακτυλίου,
από πού ή 
.
Στη συνέχεια, η στιγμή της αδράνειας του δίσκου,
Για λόγους σαφήνειας, το σχήμα 5.3 δείχνει ομοιογενή στερεά διάφορα σχήματακαι υποδεικνύονται οι ροπές αδράνειας αυτών των σωμάτων ως προς έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας.
Σχήμα 5.3 – Ροπές αδράνειας εγώ C ορισμένων ομοιογενών στερεών.
Θεώρημα Steiner
Οι παραπάνω τύποι για τις ροπές αδράνειας των σωμάτων δίνονται με την προϋπόθεση ότι ο άξονας περιστροφής διέρχεται από το κέντρο αδράνειας. Για να προσδιορίσετε τις ροπές αδράνειας ενός σώματος σε σχέση με έναν αυθαίρετο άξονα, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε Θεώρημα Steiner : η ροπή αδράνειας του σώματος σε σχέση με έναν αυθαίρετο άξονα περιστροφής είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας J 0 σε σχέση με τον άξονα που είναι παράλληλος προς τον δεδομένο και διέρχεται από το κέντρο αδράνειας του σώματος και η τιμή md 2:
(5.12)
Οπου m- σωματικό βάρος, ρε- απόσταση από το κέντρο μάζας στον επιλεγμένο άξονα περιστροφής. Μονάδα ροπής αδράνειας - χιλιόγραμμο μέτρο στο τετράγωνο (kg . m 2).
Έτσι, η ροπή αδράνειας μιας ομοιογενούς ράβδου μήκους Συμπαγές μήκος κυλίνδρουσε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το άκρο του, σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner ισούται με
