Μέθοδος παραβολής (Simpson)

Η ουσία της μεθόδου, τύπος, εκτίμηση σφαλμάτων.

Έστω η συνάρτηση y = f (x) συνεχής σε ένα διάστημα και πρέπει να υπολογίσουμε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα.

Χωρίζουμε το τμήμα σε ν στοιχειώδες

τμήματα [;], i = 1., n μήκους 2 * h = (b-a) / n σημεία

α =< < < < = b. Пусть точки, i = 1., n являются серединами отрезков [;], i = 1., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства = a + i*h, i = 0,1., 2*n.

Σε κάθε διάστημα [;], i = 1,2., N, η συνάρτηση ολοκλήρωσης

προσεγγίζεται με μια τετραγωνική παραβολή y = a * + b * x + c που διέρχεται από τα σημεία (; f ()), (; f ()), (; f ()). Εξ ου και το όνομα της μεθόδου - η μέθοδος της παραβολής.

Αυτό γίνεται για να λάβουμε ως κατά προσέγγιση τιμή ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz. Αυτό είναι τι η ουσία της μεθόδου της παραβολής.

Παραγωγή της φόρμουλας Simpson.

Για να λάβουμε τον τύπο για τη μέθοδο της παραβολής (Simpson), μένει να υπολογίσουμε

Ας δείξουμε ότι μόνο μία τετραγωνική παραβολή y = a * + b * x + c διέρχεται από τα σημεία (; f ()), (; f ()), (; f ()). Με άλλα λόγια, θα αποδείξουμε ότι οι συντελεστές καθορίζονται μοναδικά.

Εφόσον (; f ()), (; f ()), (; f ()) είναι τα σημεία της παραβολής, τότε καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος

Το γραπτό σύστημα εξισώσεων είναι ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων σε σχέση με άγνωστες μεταβλητές. Η ορίζουσα του κύριου πίνακα αυτού του συστήματος εξισώσεων είναι η ορίζουσα Vandermonde και είναι μη μηδενική για αταίριαστα σημεία. Αυτό υποδηλώνει ότι το σύστημα εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση (η λύση στα συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων αναφέρεται σχετικά στο άρθρο), δηλαδή οι συντελεστές καθορίζονται μοναδικά και μέσω των σημείων (; f ()), ( f ()), (; f ()) είναι η μόνη τετραγωνική παραβολή.

Ας στραφούμε στην εύρεση του ολοκληρώματος.

Προφανώς:

f () = f (0) = + + =

f () = f (h) = + +

f () = f (2 * h) = + +

Χρησιμοποιούμε αυτές τις ισότητες για να κάνουμε την τελευταία μετάβαση στην ακόλουθη αλυσίδα ισοτήτων:

= = (++) = h / 3 * (f () + 4 * f () + f ())

Έτσι, ο τύπος για τη μέθοδο παραβολής μπορεί να ληφθεί:

Ένα παράδειγμα της μεθόδου του Simpson.

Υπολογίστε το κατά προσέγγιση ολοκλήρωμα με τον τύπο του Simpson με ακρίβεια 0,001. Ξεκινήστε τη διαίρεση με δύο τμήματα γραμμής

Το ακέραιο, παρεμπιπτόντως, δεν λαμβάνεται.

Λύση:Εφιστώ αμέσως την προσοχή στον τύπο της εργασίας - είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα με μια ορισμένη ακρίβεια... Όπως και με τη μέθοδο του τραπεζίου, υπάρχει ένας τύπος που θα σας επιτρέψει να προσδιορίσετε αμέσως τον απαιτούμενο αριθμό τμημάτων, προκειμένου να εγγυηθείτε την απαιτούμενη ακρίβεια. Είναι αλήθεια ότι κάποιος πρέπει να βρει την τέταρτη παράγωγο και να λύσει το ακραίο πρόβλημα. Στην πράξη, σχεδόν πάντα χρησιμοποιείται μια απλοποιημένη μέθοδος εκτίμησης σφαλμάτων.

Αρχίζω να αποφασίζω. Αν έχουμε δύο τμήματα του διαμερίσματος, τότε οι κόμβοι θα είναι ένα ακόμα:,. Και η φόρμουλα του Simpson παίρνει μια πολύ συμπαγή μορφή:

Ας υπολογίσουμε το βήμα κατάτμησης:

Ας συμπληρώσουμε τον πίνακα υπολογισμού:

Στην επάνω γραμμή γράφουμε τον «μετρητή» των δεικτών

Στη δεύτερη γραμμή, γράφουμε πρώτα το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης a = 1,2 και μετά προσθέτουμε διαδοχικά το βήμα h = 0,4.

Στην τρίτη γραμμή εισάγουμε τις τιμές του ολοκληρωτή. Για παράδειγμα, εάν = 1,6, τότε. Πόσα δεκαδικά ψηφία να αφήσω;Πράγματι, η κατάσταση και πάλι δεν λέει τίποτα γι 'αυτό. Η αρχή είναι η ίδια όπως στη μέθοδο τραπεζίου, εξετάζουμε την απαιτούμενη ακρίβεια: 0,001. Και προσθέστε επιπλέον 2-3 ψηφία. Δηλαδή, πρέπει να στρογγυλοποιήσετε μέχρι 5-6 δεκαδικά ψηφία.

Σαν άποτέλεσμα:

Το πρωταρχικό αποτέλεσμα έχει ληφθεί. Τώρα διπλασιασμόςαριθμός τμημάτων έως τέσσερα:. Ο τύπος του Simpson για αυτό το διαμέρισμα έχει την ακόλουθη μορφή:

Ας υπολογίσουμε το βήμα κατάτμησης:

Ας συμπληρώσουμε τον πίνακα υπολογισμού:

Με αυτόν τον τρόπο:

Υπολογίζουμε το σφάλμα:

Το σφάλμα είναι μεγαλύτερο από την απαιτούμενη ακρίβεια: 0,002165> 0,001, επομένως είναι απαραίτητο να διπλασιαστεί ξανά ο αριθμός των τμημάτων:.

Ο τύπος του Simpson γίνεται μεγαλύτερος:

Ας υπολογίσουμε το βήμα:

Και πάλι συμπληρώστε τον πίνακα υπολογισμού:

Με αυτόν τον τρόπο:

Σημειώστε ότι εδώ είναι επιθυμητό να περιγράψουμε τους υπολογισμούς με περισσότερες λεπτομέρειες, καθώς ο τύπος του Simpson είναι μάλλον δυσκίνητος:

Υπολογίζουμε το σφάλμα:

Αβεβαιότητα μικρότερη από την απαιτούμενη ακρίβεια: 0,000247< 0,001. Осталось взять наиболее точное приближение, округлить его до трёх знаков после запятой и записать.

Τμήμα "Ανώτατων Μαθηματικών"

Συμπλήρωσε: Matveev F.I.

Έλεγχος: L.V. Burlova

Ulan-Ude. 2002

1 Μέθοδοι Αριθμητικής Ολοκλήρωσης

2. Παραγωγή του τύπου του Simpson

3.Γεωμετρική απεικόνιση

4.Επιλογή του βήματος ολοκλήρωσης

5 παραδείγματα

1. Αριθμητικές μέθοδοι ολοκλήρωσης

Το πρόβλημα της αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι ο υπολογισμός του ολοκληρώματος

Τα προβλήματα αριθμητικής ολοκλήρωσης πρέπει να λυθούν για συναρτήσεις που δίνονται με πίνακα, μια συνάρτηση της οποίας τα ολοκληρώματα δεν λαμβάνονται σε στοιχειώδεις συναρτήσεις κ.λπ. Ας εξετάσουμε μόνο συναρτήσεις μιας μεταβλητής.

Αντί για τη συνάρτηση που θα ολοκληρωθεί, ενσωματώνουμε το πολυώνυμο παρεμβολής. Οι μέθοδοι που βασίζονται στην αντικατάσταση του ολοκληρώματος με ένα πολυώνυμο παρεμβολής καθιστούν δυνατή την εκτίμηση της ακρίβειας του αποτελέσματος από τις παραμέτρους του πολυωνύμου ή την επιλογή αυτών των παραμέτρων με τη δεδομένη ακρίβεια.

Οι αριθμητικές μέθοδοι μπορούν να ομαδοποιηθούν συμβατικά σύμφωνα με τη μέθοδο προσέγγισης του ολοκληρώματος.

Οι μέθοδοι Newton-Cotes βασίζονται στην προσέγγιση συναρτήσεων

Οι μέθοδοι ολοκλήρωσης Spline βασίζονται στην προσέγγιση συναρτήσεων

Στις μεθόδους της υψηλότερης αλγεβρικής ακρίβειας (μέθοδος Gauss), χρησιμοποιούνται ειδικά επιλεγμένοι μη ισαπέχοντες κόμβοι, οι οποίοι παρέχουν το ελάχιστο σφάλμα ολοκλήρωσης για δεδομένο (επιλεγμένο) αριθμό κόμβων.

Οι μέθοδοι Monte Carlo χρησιμοποιούνται συχνότερα κατά τον υπολογισμό πολλαπλών ολοκληρωμάτων, οι κόμβοι επιλέγονται τυχαία, η απάντηση είναι πιθανολογική.

σφάλμα στρογγυλοποίησης

Ανεξάρτητα από τη μέθοδο που επιλέχθηκε, στη διαδικασία της αριθμητικής ολοκλήρωσης, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος και να εκτιμηθεί το σφάλμα. Το σφάλμα μειώνεται με την αύξηση του αριθμού n

κατατμήσεις τμημάτων

αθροίζοντας τις τιμές των ολοκληρωμάτων που υπολογίζονται στα επιμέρους τμήματα.

Το σφάλμα περικοπής εξαρτάται από τις ιδιότητες του ολοκληρώματος και το μήκος

2. Παραγωγή του τύπου του Simpson

Αν για κάθε ζεύγος ευθειών τμημάτων

Θα ενσωματωθούμε

και ονομάζεται τύπος Simpson.

Λήφθηκε για το ολοκλήρωμα

Ας υπολογίσουμε τώρα το σφάλμα ολοκλήρωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο Simpson. Θα το υποθέσουμε

Το θεώρημα της μέσης τιμής μπορεί ήδη να εφαρμοστεί σε καθένα από αυτά τα δύο ολοκληρώματα, αφού

(χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα της μέσης τιμής, αφού

Διαφοροποίηση

Και από τις δύο εκτιμήσεις για

Αν το τμήμα

Ας γράψουμε τον τύπο Simpson σε γενική μορφή.

Κατά τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος, δεν παίρνουμε πάντα μια ακριβή λύση. Δεν είναι πάντα δυνατή η αναπαράσταση στη μορφή στοιχειώδης λειτουργία... Ο τύπος Newton-Leibniz δεν είναι κατάλληλος για υπολογισμό, επομένως είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης. Αυτή η μέθοδος σάς επιτρέπει να λαμβάνετε δεδομένα με υψηλή ακρίβεια. Η μέθοδος του Simpson είναι αυτή.

Για αυτό, είναι απαραίτητο να δώσουμε μια γραφική αναπαράσταση της παραγωγής του τύπου. Ακολουθεί η καταγραφή της εκτίμησης του απόλυτου σφάλματος με τη μέθοδο Simpson. Συμπερασματικά, θα συγκρίνουμε τρεις μεθόδους: Simpson, ορθογώνια, τραπεζοειδή.

Μέθοδος παραβολής - ουσία, τύπος, εκτίμηση, λάθη, απεικονίσεις

Δίνεται μια συνάρτηση της μορφής y = f (x), η οποία έχει συνέχεια στο διάστημα [a; b], είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το οριστικό ολοκλήρωμα ∫ a b f (x) d x

Είναι απαραίτητο να διαιρεθεί το τμήμα [a; b] σε n τμήματα της μορφής x 2 i - 2; x 2 i, i = 1, 2,. ... ... , n με μήκος 2 h = b - a n και σημεία a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Κάθε διάστημα x 2 i - 2; x 2 i, i = 1, 2,. ... ... , n του ολοκληρώματος προσεγγίζεται χρησιμοποιώντας μια παραβολή που δίνεται από y = a i x 2 + b i x + c i που διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες x 2 i - 2. f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1, x 2 i; f (x 2 i). Επομένως, η μέθοδος έχει ένα τέτοιο όνομα.

Αυτές οι ενέργειες εκτελούνται προκειμένου να ληφθεί το ολοκλήρωμα ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x ως κατά προσέγγιση τιμή ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x. Μπορούμε να υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz. Αυτή είναι η ουσία της μεθόδου παραβολής, δείτε το παρακάτω σχήμα.

Γραφική απεικόνιση της μεθόδου παραβολής (Simpson)

Η κόκκινη γραμμή απεικονίζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x), η μπλε - την προσέγγιση της γραφικής παράστασης y = f (x) χρησιμοποιώντας τετραγωνικές παραβολές.

Με βάση την πέμπτη ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος, λαμβάνουμε ∫ abf (x) dx = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 αν (x) dx ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (aix 2 + bix + ci) dx

Για να ληφθεί ο τύπος με τη μέθοδο της παραβολής, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί:

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Έστω x 2 i - 2 = 0. Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Ας αναπαραστήσουμε ότι μέσω των σημείων με συντεταγμένες x 2 i - 2; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1, x 2 i; f (x 2 i) μια τετραγωνική παραβολή της μορφής y = a i x 2 + b i x + c i μπορεί να περάσει. Με άλλα λόγια, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι οι συντελεστές μπορούν να προσδιοριστούν με έναν μόνο τρόπο.

Έχουμε ότι x 2 i - 2; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1, x 2 i; f (x 2 i) είναι σημεία παραβολής, τότε κάθε μία από τις παρουσιαζόμενες εξισώσεις είναι έγκυρη. Το καταλαβαίνουμε

ai (x 2 i - 2) 2 + bi x 2 i - 2 + ci = f (x 2 i - 2) ai (x 2 i - 1) 2 + bi x 2 i - 1 + ci = f ( x 2 i - 1) ai (x 2 i) 2 + bi x 2 i + ci = f (x 2 i)

Το προκύπτον σύστημα επιλύεται σε σχέση με a i, b i, c i, όπου είναι απαραίτητο να αναζητηθεί η ορίζουσα του πίνακα σύμφωνα με τον Vandermonde. Το καταλαβαίνουμε

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1, και θεωρείται ότι είναι μη μηδενικό και δεν συμπίπτει με τα σημεία x 2 i - 2, x 2 i - 1, x 2 i. Αυτό είναι ένα σημάδι ότι η εξίσωση έχει μόνο μία λύση, τότε οι επιλεγμένοι συντελεστές a i; b i; Το c i μπορεί να προσδιοριστεί μόνο μοναδικά, κατόπιν μέσω των σημείων x 2 i - 2. f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1, x 2 i; f (x 2 i) μόνο μία παραβολή μπορεί να περάσει.

Μπορούμε να προχωρήσουμε στην εύρεση του ολοκληρώματος ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x.

Είναι ξεκάθαρο ότι

f (x 2 i - 2) = f (0) = ai 0 2 + bi 0 + ci = cif (x 2 i - 1) = f (h) = ai h 2 + bi h + cif ( x 2 i) = f (0) = 4 ai h 2 + 2 bi h + ci

Για να πραγματοποιηθεί η τελευταία μετάβαση, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί μια ανισότητα της φόρμας

∫ x 2 i - 2 x 2 i (aix 2 + bix + ci) dx = ∫ 0 2 h (aix 2 + bix + ci) dx = = aix 3 3 + bix 2 2 + cix 0 2 h = 8 aih 3 3 + 2 bih 2 + 2 cih = = h 3 8 aih 2 + 6 bih + 6 ci = h 3 fx 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + fx 2 i

Έτσι, παίρνουμε τον τύπο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της παραβολής:

∫ abf (x) dx ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 iaix 2 + bix + cidx = = ∑ i = 1 nh 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) +. ... ... + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Ορισμός 1

Ο τύπος της μεθόδου Simpson είναι ∫ abf (x) dx ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n).

Ο τύπος για την εκτίμηση του απόλυτου σφάλματος έχει τη μορφή δ n ≤ m a x [a; b] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4.

Παραδείγματα κατά προσέγγιση υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων με τη μέθοδο της παραβολής

Η μέθοδος του Simpson περιλαμβάνει τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων. Τις περισσότερες φορές, υπάρχουν δύο τύποι εργασιών για τις οποίες εφαρμόζεται αυτή η μέθοδος:

• στον κατά προσέγγιση υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος.
• όταν βρίσκουμε μια κατά προσέγγιση τιμή με ακρίβεια δ n.

Η ακρίβεια υπολογισμού επηρεάζεται από την τιμή του n, όσο υψηλότερο είναι το n, τόσο πιο ακριβείς είναι οι ενδιάμεσες τιμές.

Παράδειγμα 1

Αξιολογήστε το οριστικό ολοκλήρωμα ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Simpson, διαιρώντας το τμήμα ολοκλήρωσης σε 5 μέρη.

Λύση

Με την υπόθεση, είναι γνωστό ότι a = 0; b = 5; n = 5, f (x) = x x 4 + 4.

Στη συνέχεια γράφουμε τον τύπο του Simpson στη φόρμα

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Για να το εφαρμόσετε πλήρως, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το βήμα με τον τύπο h = b - a 2 n, για να προσδιορίσετε τα σημεία x i = a + i · h, i = 0, 1,. ... ... , 2 n και βρείτε τις τιμές του ολοκληρώματος f (x i), i = 0, 1,. ... ... , 2 n.

Οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί πρέπει να στρογγυλοποιούνται σε 5 ψηφία. Αντικαταστήστε τις τιμές και λάβετε

h = b - a 2 n = 5 - 0 2 5 = 0. 5

Βρείτε την τιμή της συνάρτησης σε σημεία

i = 0: x i = x 0 = a + i h = 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i h = 0 + 1 0. 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0,5) = 0. 50 . 5 4 + 4 ≈ 0. 12308. ... ... i = 10: x i = x 10 = a + i h = 0 + 10 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0. 00795

Η ορατότητα και η ευκολία παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.

Είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν τα αποτελέσματα στον τύπο της μεθόδου παραβολής:

∫ 0 5 xdxx 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0. 5 3 0 + 4 0. 12308 + 0. 16552 + 0. 05806 + + 0. 02272 + 0. 01087 + 2 0. 2 + 0. 1 + + 0. 03529 + 0. 01538 + 0. 00795 ≈ ≈ 0. 37171

Για τον υπολογισμό, επιλέξαμε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα που μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με τους Newton-Leibniz. Παίρνουμε:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0. 37274

Απάντηση:Τα αποτελέσματα ταιριάζουν μέχρι τα εκατοστά.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Simpson σε 0,001.

Λύση

Με την υπόθεση, έχουμε ότι a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή του n. Για αυτό, ένας τύπος για την εκτίμηση του απόλυτου σφάλματος της μεθόδου Simpson της μορφής δ n ≤ m a x [a; b] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0. 001

Όταν βρούμε την τιμή του n, τότε η ανισότητα m a x [a; b] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0. 001 θα εκτελεστεί. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας τη μέθοδο των παραβολών, το σφάλμα υπολογισμού δεν θα υπερβαίνει το 0. 001. Η τελευταία ανισότητα παίρνει τη μορφή

n 4 ≥ m a x [a; b] f (4) (x) · (b - a) 5 2. 88

Τώρα είναι απαραίτητο να μάθουμε ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή του συντελεστή μέτρησης της τέταρτης παραγώγου.

f "(x) = αμαρτία 3 x 2 + 1 2" = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f """ (x) = 3 2 cos 3 x 2 "= - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f" "" ( x) = - 9 4 αμαρτία 3 x 2 "= - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2" = 81 16 αμαρτία 3 x 2

Το πεδίο ορισμού f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 ανήκει στο διάστημα - 81 16; 81 16, και το ίδιο το διάστημα ολοκλήρωσης [0; π) έχει ένα ακραίο σημείο, από αυτό προκύπτει ότι m a x [0; π] f (4) (x) = 81 16.

Κάνουμε την αντικατάσταση:

n 4 ≥ m a x [a; b] f (4) (x) · (b - a) 5 2. 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 π - 0 5 2. 88 ⇔ ⇔ n 4> 537. 9252 ⇔ n> 4. 8159

Καταλάβαμε ότι το n είναι ένας φυσικός αριθμός, τότε η τιμή του μπορεί να είναι ίση με n = 5, 6, 7 ... πρώτα πρέπει να πάρετε την τιμή n = 5.

Εκτελέστε ενέργειες παρόμοια με το προηγούμενο παράδειγμα. Πρέπει να υπολογίσετε το βήμα. Για αυτό

h = b - a 2 n = π - 0 2 5 = π 10

Βρείτε τους κόμβους x i = a + i h, i = 0, 1,. ... ... , 2 n, τότε η τιμή του ολοκληρωτή θα έχει τη μορφή

i = 0: x i = x 0 = a + i h = 0 + 0 π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 0 2 + 1 2 = 0. 5 i = 1: x i = x 1 = a + i h = 0 + 1 π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. ... ... i = 10: x i = x 10 = a + i h = 0 + 10 π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10

Απομένει να αντικαταστήσουμε τις τιμές στον τύπο για τη λύση με τη μέθοδο της παραβολής και να λάβουμε

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 0, 5 + 4 0. 953990 + 1. 487688 + 1. 207107 + + 0. 343566 - 0. 391007 + 21. 309017 + 1. 451056 + + 0. 809017 - 0. 87785 - 0. 5 = = 2. 237650

Η μέθοδος του Simpson μας επιτρέπει να λάβουμε μια κατά προσέγγιση τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237 με ακρίβεια 0,001.

Όταν υπολογίζεται με τον τύπο Newton-Leibniz, προκύπτει ως αποτέλεσμα

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 dx = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2. 237463

Απάντηση:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237

Σχόλιο

Στις περισσότερες περιπτώσεις, η εύρεση του m a x [a; b] f (4) (x) είναι προβληματική. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιείται μια εναλλακτική λύση - η μέθοδος της παραβολής. Η αρχή του εξηγείται λεπτομερώς στην ενότητα της μεθόδου τραπεζίου. Η μέθοδος της παραβολής θεωρείται η προτιμώμενη μέθοδος για ολοκληρωμένη ανάλυση. Το υπολογιστικό σφάλμα επηρεάζει το αποτέλεσμα n. Όσο χαμηλότερη είναι η τιμή του, τόσο πιο ακριβής είναι ο κατά προσέγγιση επιθυμητός αριθμός.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επιλέξτε το και πατήστε Ctrl + Enter

Σε αυτή τη μέθοδο, προτείνεται να προσεγγιστεί το ολοκλήρωμα σε ένα μερικό τμήμα με μια παραβολή που διέρχεται από τα σημεία
(x j, f(x j)), που ι = Εγώ-1; Εγώ-0.5; Εγώ, δηλαδή, το ολοκλήρωμα προσεγγίζεται με ένα πολυώνυμο παρεμβολής δεύτερου βαθμού Lagrange:

Μετά την ενσωμάτωση, παίρνουμε:

Αυτό είναι Η φόρμουλα του Simpson ή ο τύπος των παραβολών. Στο τμήμα
[α, β] Ο τύπος του Simpson παίρνει τη μορφή

Μια γραφική αναπαράσταση της μεθόδου Simpson φαίνεται στο Σχ. 2.4.

Ρύζι. 10.4.Η μέθοδος του Simpson

Ας απαλλαγούμε από τους κλασματικούς δείκτες στην έκφραση (2.16) μετονομάζοντας τις μεταβλητές:

Τότε ο τύπος του Simpson παίρνει τη μορφή

Το σφάλμα του τύπου (2.18) εκτιμάται από την ακόλουθη έκφραση:

που h n = β - α, Έτσι, το σφάλμα του τύπου Simpson είναι ανάλογο Ο(η 4).

Σχόλιο.Θα πρέπει να σημειωθεί ότι, στον τύπο Simpson, το διάστημα ολοκλήρωσης χωρίζεται αναγκαστικά σε ακόμη καιαριθμός διαστημάτων.

10.5. Υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων με μεθόδους
Μόντε Κάρλο

Οι μέθοδοι που συζητήθηκαν προηγουμένως ονομάζονται ντετερμινιστική , δηλαδή χωρίς το στοιχείο της τύχης.

Μέθοδοι Μόντε Κάρλο(MMK) είναι αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων με χρήση μοντελοποίησης τυχαίες μεταβλητές... Το MMK σας επιτρέπει να επιλύετε με επιτυχία μαθηματικά προβλήματα λόγω πιθανοτικών διαδικασιών. Επιπλέον, κατά την επίλυση προβλημάτων που δεν σχετίζονται με πιθανότητες, μπορεί κανείς να βρει τεχνητά ένα πιθανολογικό μοντέλο (και ακόμη περισσότερα από ένα) που επιτρέπει την επίλυση αυτών των προβλημάτων. Θεωρήστε τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος

Κατά τον υπολογισμό αυτού του ολοκληρώματος με τον τύπο του ορθογωνίου, το διάστημα [ α, β] διερηξε Νίσα διαστήματα, στη μέση των οποίων υπολογίστηκαν οι τιμές του ολοκληρώματος. Υπολογίζοντας τις τιμές της συνάρτησης σε τυχαίους κόμβους, μπορείτε να πάρετε ένα πιο ακριβές αποτέλεσμα:

Εδώ το γ i είναι ένας τυχαίος αριθμός που κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα
... Το σφάλμα στον υπολογισμό του ολοκληρωτικού MCM ~, το οποίο είναι πολύ μεγαλύτερο από αυτό των ντετερμινιστικών μεθόδων που μελετήθηκαν προηγουμένως.

Στο σχ. Το 2.5 δείχνει μια γραφική υλοποίηση της μεθόδου Monte Carlo για τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος με τυχαίους κόμβους (2.21) και (2.22).

Ρύζι. 10.6.Ενσωμάτωση με τη μέθοδο Monte Carlo (2η περίπτωση)

Όπως φαίνεται στο Σχ. 2.6, η ολοκληρωτική καμπύλη βρίσκεται στο μοναδιαίο τετράγωνο και εάν είμαστε σε θέση να λάβουμε ζεύγη τυχαίων αριθμών ομοιόμορφα κατανεμημένων στο διάστημα, τότε οι λαμβανόμενες τιμές (γ 1, γ 2) μπορούν να ερμηνευτούν ως οι συντεταγμένες του σημείου στην πλατεία της μονάδας. Τότε, εάν έχει ληφθεί επαρκής αριθμός από αυτά τα ζεύγη αριθμών, μπορούμε περίπου να το υποθέσουμε
... Εδώ μικρόΕίναι ο αριθμός των ζευγών σημείων που εμπίπτουν κάτω από την καμπύλη, και Ν- ο συνολικός αριθμός ζευγών αριθμών.

Παράδειγμα 2.1.Υπολογίστε το ακόλουθο ολοκλήρωμα:

Η εργασία επιλύθηκε με διάφορες μεθόδους. Τα αποτελέσματα συνοψίζονται στον πίνακα. 2.1.

Πίνακας 2.1

Σχόλιο.Η επιλογή του ολοκληρώματος του πίνακα μας επέτρεψε να συγκρίνουμε το σφάλμα κάθε μεθόδου και να ανακαλύψουμε την επίδραση του αριθμού των κατατμήσεων στην ακρίβεια των υπολογισμών.

11 ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ
ΚΑΙ ΥΠΕΡΒΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Διαιρούμε το τμήμα ολοκλήρωσης σε άρτιο αριθμό στοιχειωδών τμημάτων ίσου μήκους ανά σημεία με ένα βήμα
(
). Σε κάθε τμήμα
το ολοκλήρωμα προσεγγίζεται με ένα πολυώνυμο βαθμού δύο, το οποίο σε αυτό το τμήμα έχει τη μορφή
... σημειώσε ότι Εγώεδώ παίρνει μόνο περιττές τιμές από 1 έως
... Έτσι, το ολοκλήρωμα προσεγγίζεται από ένα σύνολο τετράγωνων πολυωνύμων ή ένα spline δεύτερου βαθμού.

Ας υπολογίσουμε ένα αυθαίρετο ολοκλήρωμα από τη δεξιά πλευρά.

Πιθανότητα ,και μπορεί να βρεθεί από τη συνθήκη παρεμβολής, δηλαδή από τις εξισώσεις

,

Σημειώστε ότι το σημείο είναι το μέσο του τμήματος
, ως εκ τούτου
... Αντικαταστήστε αυτήν την έκφραση στη δεύτερη εξίσωση παρεμβολής:

.

Πολλαπλασιάστε αυτήν την εξίσωση επί 4 και προσθέστε την στα υπόλοιπα:

Η τελευταία έκφραση είναι ακριβώς η ίδια με την έκφραση στο αγκύλεςτύπους (5.1). Ως εκ τούτου,

Ετσι,

Έτσι, ο τύπος του Simpson είναι:

Εκτίμηση του σφάλματος των τύπων τετραγωνισμού.

Ας εκτιμήσουμε το σφάλμα όταν χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των μέσων ορθογωνίων με την υπόθεση ότι η συνάρτηση
απείρως διαφοροποιήσιμο.

Επεκτείνουμε το integrand
στη σειρά Taylor στην περιοχή του σημείου ,
.

Η τελευταία σειρά περιέχει μόνο περιττές δυνάμεις Χ... Τότε

Με μικρό μέγεθος σκαλοπατιού ηκύριος συντελεστής του λάθους Rθα συμβάλει στην αξία
, που ονομάζεται κύριος όρος του σφάλματος R.

Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο των μεσαίων ορθογωνίων στη συνάρτηση
στο τμήμα
με βήμα η... Τότε

.

Ετσι,
, που
- σταθερή τιμή. Σφάλμα στην κατά προσέγγιση ισότητα
είναι μια απείρως μικρή ποσότητα υψηλότερης τάξης σε σύγκριση με στο
.

Βήμα βαθμού η, του οποίου το υπόλοιπο είναι ανάλογο R, ονομάζεται η σειρά ακρίβειας της μεθόδου ολοκλήρωσης. Η μέθοδος των μεσαίων ορθογωνίων είναι δεύτερης τάξης ακρίβειας.

Ας υπολογίσουμε το σφάλμα κατά τη χρήση της τραπεζοειδούς μεθόδου επίσης με την υπόθεση ότι η συνάρτηση
απείρως διαφοροποιήσιμο.

Επεκτείνουμε το integrand σε μια σειρά Taylor σε μια γειτονιά του σημείου (
).

Ο κύριος όρος του σφάλματος R:

.

Εφαρμογή της μεθόδου του αριστερού ορθογωνίου σε μια συνάρτηση
στο τμήμα
με βήμα η, παίρνουμε

.

Άρα, η τραπεζοειδής μέθοδος έχει και τη δεύτερη τάξη ακρίβειας.

Ομοίως, μπορεί να φανεί ότι οι μέθοδοι των αριστερών και δεξιών ορθογωνίων έχουν την πρώτη, η μέθοδος του Simpson έχει την τέταρτη τάξη ακρίβειας.

Διάλεξη 17.

«Ο κανόνας του Runge για την εκτίμηση πρακτικών σφαλμάτων.

Η έννοια των προσαρμοστικών αλγορίθμων.

Ειδικές περιπτώσεις αριθμητικής ολοκλήρωσης.

Κυτταρική μέθοδος. Υπολογισμός πολλαπλών ολοκληρωμάτων."

Κανόνας Runge για πρακτική εκτίμηση σφαλμάτων.

Αφήστε κάποια μέθοδο ολοκλήρωσης να έχει τη σειρά ακρίβειας κ, αυτό είναι
, που - λάθος, ΕΝΑ- συντελεστής ανάλογα με τη μέθοδο ολοκλήρωσης και την ολοκλήρωση, ηΕίναι το βήμα κατάτμησης. Τότε

και στο βήμα

,

Ο παραγόμενος τύπος ονομάζεται πρώτος τύπος του Runge. Έχει μεγάλη πρακτική σημασία. Εάν πρέπει να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα με ακρίβεια  , τότε πρέπει να υπολογίσουμε τις κατά προσέγγιση τιμές του ολοκληρώματος, διπλασιάζοντας τον αριθμό των στοιχειωδών τμημάτων, μέχρι να πετύχουμε την ανισότητα

Τότε, παραμελώντας τα απειροελάχιστα μεγέθη, μπορούμε να υποθέσουμε ότι

Αν θέλουμε να πάρουμε περισσότερα ακριβής αξίατου απαιτούμενου ολοκληρώματος, στη συνέχεια για την εξευγενισμένη τιμή Jμπορούμε να δεχτούμε αντ' αυτού
το άθροισμα

.

Αυτή είναι η δεύτερη φόρμουλα του Runge. Δυστυχώς, το σφάλμα αυτής της ενημερωμένης τιμής παραμένει απροσδιόριστο, αλλά συνήθως είναι μια τάξη μεγέθους υψηλότερη από την ακρίβεια της αρχικής μεθόδου (όταν η τιμή Jδεχόμαστε
).

Για παράδειγμα, εξετάστε τη μέθοδο τραπεζοειδούς. Όπως φαίνεται παραπάνω, η σειρά ακρίβειας καυτής της μεθόδου είναι 2.

που
... Σύμφωνα με τον δεύτερο τύπο του Runge

που
είναι η κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος που βρέθηκε με τη μέθοδο Simpson με ένα βήμα. Δεδομένου ότι η σειρά αυτής της μεθόδου είναι 4, σε αυτό το παράδειγμα η εφαρμογή του δεύτερου τύπου Runge αύξησε τη σειρά ακρίβειας κατά 2.