Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων. Κανονικός νόμος κατανομής τυχαίων μεταβλητών Τρεις νόμοι κατανομής τυχαίων μεταβλητών

Η μεταβλητή ονομάζεται τυχαίοςεάν, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, μπορεί να λάβει πραγματικές αξίες με ορισμένες πιθανότητες. Το πιο πλήρες, εξαντλητικό χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ο νόμος κατανομής. Νόμος διανομής- μια συνάρτηση (πίνακας, γράφημα, τύπος) που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή Χπαίρνει ένα ορισμένο νόημα ΧΕγώή εμπίπτει σε ένα ορισμένο διάστημα. Εάν μια τυχαία μεταβλητή έχει έναν δεδομένο νόμο κατανομής, τότε λένε ότι κατανέμεται σύμφωνα με αυτόν τον νόμο ή υπακούει σε αυτόν τον νόμο κατανομής.

Τυχαία τιμή Χπου ονομάζεται διακεκριμένοςεάν υπάρχει μια τέτοια μη αρνητική συνάρτηση

που ταιριάζει με την τιμή ΧΕγώμεταβλητός Χπιθανότητα RΕγώμε το οποίο παίρνει αυτή την τιμή.

Τυχαία τιμή Χπου ονομάζεται συνεχήςαν για κανένα ένα < σιυπάρχει μια τέτοια μη αρνητική συνάρτηση φά (Χ), τι

(2)

Λειτουργία φά (Χ) λέγεται πυκνότητα κατανομήςσυνεχής τυχαία μεταβλητή.

Η πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή Χ(διακριτή ή συνεχής) παίρνει τιμή μικρότερη από Χλέγεται συνάρτηση διανομήςτυχαία μεταβλητή Χκαι συμβολίζεται φά (Χ) :

(3)

Η συνάρτηση κατανομής είναι μια καθολική μορφή του νόμου κατανομής κατάλληλη για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή.

Γενικές ιδιότητες της συνάρτησης διανομής:

(4)

Εκτός από αυτό το καθολικό, υπάρχουν επίσης συγκεκριμένοι τύποι νόμων διανομής: σειρά διανομής(μόνο για διακριτές τυχαίες μεταβλητές) και πυκνότητα κατανομής(μόνο για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές).

Οι κύριες ιδιότητες της πυκνότητας κατανομής:

(5)

Κάθε νόμος κατανομής είναι κάποια συνάρτηση που περιγράφει πλήρως μια τυχαία μεταβλητή από πιθανολογική άποψη. Στην πράξη, η κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χσυχνά μόνο τα αποτελέσματα των δοκιμών πρέπει να κριθούν. Επαναλαμβάνοντας τις δοκιμές, θα καταγράφουμε κάθε φορά εάν έχει συμβεί το τυχαίο γεγονός που μας ενδιαφέρει ΕΝΑ, ή όχι. Σχετική συχνότητα(ή απλά συχνότητα) τυχαίο συμβάν ΕΝΑονομάζεται η αναλογία του αριθμού nΕΝΑπεριστατικά αυτού του συμβάντος στο σύνολο nδοκιμές που πραγματοποιήθηκαν. Ταυτόχρονα, υποθέτουμε ότι οι σχετικές συχνότητες των τυχαίων γεγονότων είναι κοντά στις πιθανότητές τους. Αυτό είναι ακόμη πιο αληθινό, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν. Σε αυτήν την περίπτωση, οι συχνότητες, όπως και οι πιθανότητες, θα πρέπει να αποδίδονται όχι σε μεμονωμένες τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής, αλλά σε διαστήματα. Αυτό σημαίνει ότι ολόκληρο το εύρος των πιθανών τιμών της τυχαίας μεταβλητής Χπρέπει να χωριστούν σε διαστήματα. Πραγματοποιώντας μια σειρά δοκιμών δίνοντας εμπειρικές τιμές για την ποσότητα Χ, πρέπει να διορθώσετε τους αριθμούς nΧχτυπήματα των αποτελεσμάτων σε κάθε διάστημα. Με μεγάλο αριθμό δοκιμών nστάση n Χ / n(οι συχνότητες χτυπήματος των διαστημάτων) θα πρέπει να είναι κοντά στις πιθανότητες να χτυπηθούν αυτά τα διαστήματα. Εξάρτηση από τη συχνότητα n Χ / nαπό διαστήματα καθορίζει εμπειρική κατανομήπιθανότητες μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, η γραφική παράσταση του οποίου ονομάζεται ιστόγραμμα(εικ. 1).

Ρύζι. 1. Ιστόγραμμα και εξισωτική πυκνότητα κατανομής

Για τη δημιουργία ενός ιστογράμματος, σχεδιάζονται διαστήματα ίσου μήκους κατά μήκος του άξονα της τετμημένης, στα οποία διαιρείται ολόκληρο το εύρος των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, και κατά μήκος της τεταγμένης απεικονίζονται οι συχνότητες n Χ / n... Τότε το ύψος κάθε ράβδου του ιστογράμματος είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα. Έτσι, λαμβάνεται μια κατά προσέγγιση αναπαράσταση του νόμου κατανομής πιθανοτήτων για μια τυχαία μεταβλητή Χμε τη μορφή βηματικής συνάρτησης, της οποίας η προσέγγιση (ισοπέδωση) κατά κάποια καμπύλη φά(Χ) θα δώσει την πυκνότητα κατανομής.

Ωστόσο, συχνά αρκεί να υποδεικνύονται μόνο μεμονωμένες αριθμητικές παράμετροι που χαρακτηρίζουν τις βασικές ιδιότητες της κατανομής. Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται αριθμητικά χαρακτηριστικά της τυχαίας μεταβλητής.

Η κανονική κατανομή έχει ως εξής:

που ένα- το κέντρο της κατανομής πιθανοτήτων ή η μαθηματική προσδοκία μιας δεδομένης τυχαίας μεταβλητής, δηλ.

τυπική απόκλιση μιας δεδομένης τυχαίας μεταβλητής.

Στην πράξη υπολογίζονται οι αντίστοιχες στατιστικές εκτιμήσεις. Έτσι, η εκτίμηση για τη μαθηματική προσδοκία θα είναι η μέση τιμή:

όπου είναι η ποσότητα των δεδομένων στον εξεταζόμενο στατιστικό πίνακα.

Η μαθηματική προσδοκία είναι αυτή η θεωρητική τιμή μιας δεδομένης τυχαίας μεταβλητής, στην οποία η μέση τιμή τείνει με απεριόριστη αύξηση του όγκου των δεδομένων.

Τυπική απόκλιση:

Στα logistics, αυτή ή αυτή η αξία της ποσότητας εκτιμάται από την αξία

Στην περίπτωση αυτή, ο συντελεστής διακύμανσης υπολογίζεται:

Το σχήμα 4 δείχνει ένα γράφημα της κανονικής κατανομής των πιθανοτήτων.

Σχήμα 4- Κανονικός νόμος κατανομής πιθανοτήτων

Η πυκνότητα του νόμου της εκθετικής κατανομής πιθανοτήτων είναι η εξής:

όπου είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου.

Ο εκθετικός νόμος περιγράφει τις χρονικές παραμέτρους των τυχαίων λογιστικών διεργασιών. Οι ακόλουθες τυχαίες μεταβλητές εμπίπτουν στον εκθετικό νόμο:

1) χρόνος εξυπηρέτησης πελατών.

2) ο χρόνος φόρτωσης και εκφόρτωσης των οχημάτων.

3) χρόνος που δαπανάται για την εκτέλεση άλλων λειτουργιών εφοδιαστικής

4) το διάστημα μεταξύ των αιτημάτων που φτάνουν για σέρβις.

Ένα χαρακτηριστικό του εκθετικού νόμου είναι ότι καθορίζεται από μία παράμετρο. Εν

όπου είναι η μέση τιμή της παραμέτρου χρόνου που διερευνήθηκε.

Για μεγέθη που υπακούουν σε έναν εκθετικό νόμο, η μαθηματική προσδοκία M και η τιμή του μέσου τετραγώνου της ρίζας είναι ίσες μεταξύ τους:

Το σχήμα 5 δείχνει ένα γράφημα του εκθετικού νόμου.

Σχήμα 5- Εκθετικός νόμος κατανομής πιθανοτήτων

Διωνυμικός νόμος κατανομής πιθανοτήτων

Ο διωνυμικός νόμος της κατανομής πιθανοτήτων εκφράζεται με τον τύπο:

Ο νόμος αυτός καθορίζει τις πιθανότητες εμφάνισης γεγονότων από τον συνολικό αριθμό των γεγονότων

πού είναι η πιθανότητα ενός γεγονότος από μια δεδομένη ομάδα γεγονότων;

την πιθανότητα μη εμφάνισης του καθορισμένου συμβάντος,

Η τιμή είναι ο αριθμός των συνδυασμών του επί , καθορίζεται από τον τύπο:

Για τον υπολογισμό του αριθμού των συνδυασμών, χρησιμοποιείται η ισότητα:

Με μια διωνυμική κατανομή, ο πιο πιθανός αριθμός γεγονότων είναι:

Σύγκριση των νόμων της κατανομής πιθανοτήτων. Κριτήριο συναίνεσης

Στη θεωρία πιθανοτήτων, υπάρχουν μέθοδοι για την αξιολόγηση του βαθμού στον οποίο οι πραγματικές κατανομές πιθανοτήτων αντιστοιχούν στις θεωρητικές τους τιμές. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούνται τα λεγόμενα τεστ καλής προσαρμογής, το πιο γνωστό από τα οποία είναι το τεστ. Αυτό το κριτήριο σάς επιτρέπει να συγκρίνετε τους εμπειρικούς νόμους κατανομής που λαμβάνονται από τα ίδια πραγματικά δεδομένα.

Όσο χαμηλότερη είναι η τιμή, τόσο καλύτερα ο δεδομένος εμπειρικός νόμος συμφωνεί με τον θεωρητικό. Για να συγκριθούν οι εμπειρικοί νόμοι κατανομής πιθανοτήτων, οι τιμές υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Όπου, αντίστοιχα, βρίσκονται οι πραγματικές και οι θεωρητικές τιμές των συχνοτήτων των διερευνημένων νόμων διανομής.

Η ποσότητα είναι επίσης τυχαία και επομένως υπακούει στον δικό της νόμο κατανομής. Η προσέγγιση για τη σύγκριση των εμπειρικών νόμων κατανομής μπορεί να παρουσιαστεί με ένα παράδειγμα.

Ας καθορίσουμε ποιος νόμος κατανομής πιθανότητας - κανονικός ή εκθετικός - αντανακλά καλύτερα την κατανομή μιας δεδομένης ποσότητας, δηλ. θα πραγματοποιήσουμε έλεγχο υποθέσεων. Ως ποσότητα που ερευνήθηκε, λαμβάνουμε τον όγκο των πωλήσεων ενός συγκεκριμένου προϊόντος. Τα αρχικά δεδομένα παρουσιάζονται στον πίνακα 3:

τραπέζι 3. Πληροφορίες για την πώληση αγαθών

Η εργασία διαμορφώνεται ως εξής: να κατασκευάσετε την κατανομή των πιθανοτήτων της αξίας της ζήτησης για ένα δεδομένο προϊόν, εάν, ως αποτέλεσμα της μελέτης, προκύψουν αποτελέσματα επί των πωλήσεων, σε χιλιάδες ρούβλια. σε μια μέρα.

Η λύση του προβλήματος παρουσιάζεται στο Παράρτημα 4.

Στη γενική περίπτωση, μια σειρά από διαδικασίες εφοδιαστικής, και συγκεκριμένα: πωλήσεις, αποστολές προϊόντων από επιχειρήσεις χονδρικού εμπορίου, διακίνηση αποθεμάτων, παροχή υπηρεσιών στην προμήθεια προϊόντων, δαπάνη υλικών πόρων κ.λπ. περιγράφεται από τον κανονικό νόμο της κατανομής πιθανοτήτων. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα αυτής της κατανομής είναι η παρουσία έντονης συμμετρίας τυχαίων μεταβλητών σε σχέση με τη μέση τιμή τους. Για αυτές τις διαδικασίες, η συνήθης νομοθεσία ισχύει για όλα τα προϊόντα, ορισμένες ομάδες ποικιλίας ή μεμονωμένες ονομασίες αγαθών.

Στην ανάλυση ABC της δομής των logistic διεργασιών, τα λαμβανόμενα χαρακτηριστικά σε αξία ή φυσικούς όρους υπόκεινται σε εκθετική κατανομή.

Το γεγονός ότι η πώληση των προϊόντων συμμορφώνεται με τη συνήθη νομοθεσία είναι σημαντικό για την εφοδιαστική, καθώς σας επιτρέπει να προσδιορίσετε το ποσό του αποθέματος, για το οποίο συνιστάται ο ακόλουθος τύπος:

όπου το απαιτούμενο ποσό αποθέματος για αόριστο χρονικό διάστημα,

μέσες πωλήσεις ανά μονάδα χρόνου (ημέρα, εβδομάδα, μήνας),

τυπική απόκλιση.

Για το εξεταζόμενο παράδειγμα, το απόθεμα ισούται με:

Αυτό το μοντέλο δείχνει ότι οποιαδήποτε απαίτηση πελάτη για μια συγκεκριμένη ποιότητα αγαθών πρέπει να ικανοποιείται με πιθανότητα κοντά στο 1. Αυτό το μοντέλο χρησιμοποιεί τον κανόνα «τρία σίγμα». Στο κανονικό δίκαιο, αυτό αντιστοιχεί σε πιθανότητα 0,99.

V σύγχρονες συνθήκεςΟι τεχνολογίες υπολογιστών επιτρέπουν την παρακολούθηση των μέσων πωλήσεων και των τυπικών αποκλίσεων στην τρέχουσα λειτουργία ώρας, καθώς και την προσαρμογή της αξίας του αποθέματος.

Το παρεχόμενο μοντέλο για τον προσδιορισμό του αποθέματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο για το λιανικό όσο και για το χονδρικό εμπόριο.

ΝΟΜΟΣ ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΤΙΜΕΣ

Τυχαίες μεταβλητές, ταξινόμηση και μέθοδοι περιγραφής τους.

Μια τυχαία τιμή είναι μια ποσότητα που, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, μπορεί να λάβει μια συγκεκριμένη τιμή, αλλά η οποία δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Για μια τυχαία μεταβλητή, λοιπόν, μπορείτε να καθορίσετε μόνο τιμές, μία από τις οποίες θα λάβει απαραίτητα ως αποτέλεσμα του πειράματος. Στη συνέχεια, αυτές οι τιμές θα ονομαστούν οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής. Εφόσον μια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζει ποσοτικά το τυχαίο αποτέλεσμα ενός πειράματος, μπορεί να θεωρηθεί ως ποσοτικό χαρακτηριστικό ενός τυχαίου συμβάντος.

Οι τυχαίες μεταβλητές συνήθως υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, για παράδειγμα, X..Y..Z, και οι πιθανές τιμές τους υποδεικνύονται με τα αντίστοιχα μικρά γράμματα.

Υπάρχουν τρεις τύποι τυχαίων μεταβλητών:

Διακεκριμένος; Συνεχής; Μικτός.

Διακεκριμένοςκαλείται μια τέτοια τυχαία μεταβλητή, ο αριθμός των πιθανών τιμών της οποίας σχηματίζει ένα μετρήσιμο σύνολο. Με τη σειρά του, ένα σύνολο ονομάζεται αριθμήσιμο, τα στοιχεία του οποίου μπορούν να αριθμηθούν. Η λέξη «discrete» προέρχεται από το λατινικό discretus, που σημαίνει «ασυνεχές, που αποτελείται από χωριστά μέρη».

Παράδειγμα 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι ο αριθμός των ελαττωματικών μερών X σε μια παρτίδα ntuk. Πράγματι, οι πιθανές τιμές αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι μια σειρά ακεραίων από 0 έως n.

Παράδειγμα 2. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι ο αριθμός των βολών πριν από το πρώτο χτύπημα στον στόχο. Εδώ, όπως στο παράδειγμα 1, οι πιθανές τιμές μπορούν να αριθμηθούν, αν και στην περιοριστική περίπτωση η πιθανή τιμή είναι ένας απείρως μεγάλος αριθμός.

Συνεχήςκαλείται μια τυχαία μεταβλητή, οι πιθανές τιμές της οποίας συμπληρώνουν συνεχώς ένα ορισμένο διάστημα του αριθμητικού άξονα, που μερικές φορές ονομάζεται διάστημα ύπαρξης αυτής της τυχαίας μεταβλητής. Έτσι, σε οποιοδήποτε πεπερασμένο διάστημα ύπαρξης, ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι απείρως μεγάλος.

Παράδειγμα 3. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι η κατανάλωση ενέργειας στην επιχείρηση για ένα μήνα.

Παράδειγμα 4. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι το σφάλμα μέτρησης υψομέτρου χρησιμοποιώντας ένα υψόμετρο. Ας γίνει γνωστό από την αρχή λειτουργίας του υψομέτρου ότι το σφάλμα βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 2 m. Επομένως, το διάστημα ύπαρξης αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι το διάστημα από 0 έως 2 m.

Ο νόμος της κατανομής των τυχαίων μεταβλητών.

Μια τυχαία μεταβλητή θεωρείται πλήρως δεδομένη εάν οι πιθανές τιμές της υποδεικνύονται στον αριθμητικό άξονα και έχει καθοριστεί ο νόμος κατανομής.

Ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται η σχέση που καθορίζει τη σχέση μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των αντίστοιχων πιθανοτήτων.

Μια τυχαία μεταβλητή λέγεται ότι κατανέμεται σύμφωνα με έναν δεδομένο νόμο ή υπόκειται σε έναν δεδομένο νόμο κατανομής. Ένας αριθμός πιθανοτήτων, μια συνάρτηση κατανομής, μια πυκνότητα πιθανότητας και μια χαρακτηριστική συνάρτηση χρησιμοποιούνται ως νόμοι κατανομής.

Ο νόμος κατανομής δίνει μια πλήρη πιθανή περιγραφή της τυχαίας μεταβλητής. Σύμφωνα με τον νόμο κατανομής, είναι δυνατόν να κρίνουμε πριν από την εμπειρία ποιες πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής θα εμφανίζονται πιο συχνά και ποιες - λιγότερο συχνά.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, ο νόμος κατανομής μπορεί να καθοριστεί με τη μορφή πίνακα, αναλυτικά (με τη μορφή τύπου) και γραφικά.

Η απλούστερη μορφή ορισμού του νόμου κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ένας πίνακας (μήτρας), ο οποίος παραθέτει σε αύξουσα σειρά όλες τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και τις αντίστοιχες πιθανότητες, δηλ.

Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται σειρά διανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. ένας

Γεγονότα X 1, X 2, ..., X n, που συνίστανται στο γεγονός ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής, μια τυχαία μεταβλητή X θα λάβει τις τιμές x 1, x 2, ... xn, αντίστοιχα, είναι ασυνεπής και η μόνη δυνατή (επειδή ο πίνακας παραθέτει όλες τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής), π.χ. σχηματίσουν μια πλήρη ομάδα. Επομένως, το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι 1. Έτσι, για οποιαδήποτε διακριτή τυχαία μεταβλητή

(Αυτή η μονάδα κατανέμεται κατά κάποιο τρόπο μεταξύ των τιμών της τυχαίας μεταβλητής, εξ ου και ο όρος "κατανομή").

Η σειρά κατανομής μπορεί να παρουσιαστεί γραφικά εάν οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και οι αντίστοιχες πιθανότητες απεικονίζονται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. Η σύνδεση των σημείων που λαμβάνονται σχηματίζει μια πολύγραμμη, που ονομάζεται πολύγωνο ή πολύγωνο της κατανομής πιθανότητας (Εικ. 1).

ΠαράδειγμαΗ κλήρωση: ένα αυτοκίνητο αξίας 5.000 den. μονάδες, 4 τηλεοράσεις αξίας 250 ντεν. μονάδες, 5 συσκευές εγγραφής βίντεο αξίας 200 ντεν. μονάδες Συνολικά πωλούνται 1000 εισιτήρια για 7 ημέρες. μονάδες Συντάξτε τον νόμο διανομής των καθαρών κερδών που έλαβε ο συμμετέχων στη λαχειοφόρο αγορά που αγόρασε ένα δελτίο.

Λύση... Οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής X - τα καθαρά κέρδη ανά δελτίο - είναι 0-7 = -7 den. μονάδες (αν δεν κερδηθεί το εισιτήριο), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ντεν. μονάδες (αν το εισιτήριο περιέχει τα κέρδη ενός βίντεο, τηλεόρασης ή αυτοκινήτου, αντίστοιχα). Λαμβάνοντας υπόψη ότι από 1000 εισιτήρια, ο αριθμός των μη κερδισμένων είναι 990 και τα υποδεικνυόμενα κέρδη είναι 5, 4 και 1 αντίστοιχα, και χρησιμοποιώντας τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, παίρνουμε.

Τυχαίοςονομάζεται μια τιμή που, ως αποτέλεσμα μιας δοκιμής, μπορεί να λάβει μια ή άλλη πιθανή τιμή, άγνωστη εκ των προτέρων. Διάκριση μεταξύ διακριτών και συνεχών τυχαίων μεταβλητών.
Εάν το σύνολο των πιθανών τιμών της τυχαίας μεταβλητής είναι πεπερασμένο ή σχηματίζει ένα άπειρο αριθμητική ακολουθία, τότε καλείται μια τέτοια τυχαία μεταβλητή διακεκριμένος (παραδείγματα 3.1, 3.3, 3.4).
Μια τυχαία μεταβλητή, το σύνολο των τιμών της οποίας καλύπτει πλήρως ένα συγκεκριμένο αριθμητικό διάστημα, ονομάζεται συνεχής (παράδειγμα 3.2). Σημειώστε ότι οι διακριτές και συνεχείς μεταβλητές δεν εξαντλούν όλους τους τύπους τυχαίων μεταβλητών.
Εάν μια τυχαία μεταβλητή δεν ανήκει σε διακριτές ή συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, τότε ονομάζεται μικτός .
Προφανώς, για να χαρακτηρίσουμε πλήρως μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, δεν αρκεί να γνωρίζουμε την τιμή της. Είναι απαραίτητο να τα βάλουμε σύμφωνα με τις πιθανότητες.
Καλείται η αντιστοιχία μεταξύ όλων των πιθανών τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και των πιθανοτήτων τους νόμος διανομής δεδομένης τυχαίας μεταβλητής.
Η απλούστερη μορφή ορισμού του νόμου κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ένας πίνακας που παραθέτει τις πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής (συνήθως σε αύξουσα σειρά) και τις αντίστοιχες πιθανότητες:

Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται σειρά διανομής. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι πεπερασμένος: Χ 1 , Χ 2 , …, x n... Σε ένα τεστ, μια τυχαία μεταβλητή παίρνει μία και μόνο σταθερή τιμή. Επομένως γεγονότα Χ = x i (Εγώ = 1, 2, … , n) σχηματίστε μια πλήρη ομάδα ανεξάρτητων συμβάντων ανά ζεύγη. Ως εκ τούτου, R 1 + R 2 + … + p n = 1.
Ο νόμος κατανομής μπορεί επίσης να απεικονιστεί γραφικά, απεικονίζοντας τις πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής στον άξονα της τετμημένης και τις αντίστοιχες πιθανότητες στον άξονα των τεταγμένων. Για μεγαλύτερη εκφραστικότητα, τα ληφθέντα σημεία συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα. Το σχήμα που προκύπτει ονομάζεται πολύγωνο κατανομής (πολύγωνο).
Υπάρχουν διάφοροι νόμοι διανομής:

Διωνυμικός

Poisson

Κανονικό (Γκαουσιανό)

Εκθετική (εκθετική)

Στολή

Διωνυμική κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής

n - αριθμός δοκιμών

Κατανομή Poisson.
Μια κατάσταση όπου η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε κάθε δοκιμή είναι κοντά στο 0 (τέτοια συμβάντα ονομάζονται σπάνια συμβάντα) και ο αριθμός των δοκιμών είναι μεγάλος. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν m φορές σε n ανεξάρτητες δοκιμές είναι περίπου ίση με:

n - αριθμός δοκιμών
m - αναμενόμενη εμφάνιση του επιθυμητού συμβάντος
p είναι η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε μία δοκιμή
Παράδειγμα: Έχει διαπιστωθεί ότι κατά τη μεταφορά περισσότερων από 5.000 ειδών σε μια άμαξα, κατά μέσο όρο ένα αντικείμενο χαλάει. Βρείτε την πιθανότητα τρία στοιχεία να χαλάσουν. (0,06).

– Μαθηματική προσδοκία

Διασπορά

Εκθετική (εκθετική) κατανομή

- ένταση (μέσος αριθμός γεγονότων ανά μονάδα χρόνου)

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ, η συνάρτηση πυκνότητας της οποίας δίνεται από αυτή την έκφραση, ονομάζεται τυχαία μεταβλητή με εκθετική ή εκθετική κατανομή.

Το μέγεθος της διάρκειας ζωής διαφόρων συσκευών και ο χρόνος λειτουργίας μεμονωμένων στοιχείων αυτών των συσκευών υπό ορισμένες συνθήκες υπόκεινται συνήθως σε εκθετική κατανομή. Με άλλα λόγια, το μήκος του χρονικού διαστήματος μεταξύ της εμφάνισης δύο διαδοχικών σπάνιων γεγονότων υπακούει σε μια συχνά εκθετική κατανομή.

Όπως φαίνεται από τον τύπο, η εκθετική κατανομή καθορίζεται από μία μόνο παράμετρο. Αυτό το χαρακτηριστικό της εκθετικής κατανομής δείχνει το πλεονέκτημά της έναντι των κατανομών που εξαρτώνται από μεγαλύτερο αριθμό παραμέτρων.

Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων εκθετικής κατανομής είναι η εξής:

Η πιθανότητα να χτυπήσετε μια τυχαία μεταβλητή Χ στο διάστημα:

,αναμενόμενη αξία

, διαφορά

Τυπική απόκλιση

Έτσι, είναι χαρακτηριστικό για την εκθετική κατανομή ότι η τυπική απόκλιση είναι αριθμητικά ίση με τη μαθηματική προσδοκία.

Ομοιόμορφη διανομή
Η ομοιόμορφη κατανομή πιθανοτήτων είναι η απλούστερη και μπορεί να είναι είτε διακριτή είτε συνεχής. Μια διακριτή ομοιόμορφη κατανομή είναι μια κατανομή για την οποία η πιθανότητα καθεμιάς από τις τιμές του SV είναι η ίδια, δηλαδή:

όπου N είναι ο αριθμός των πιθανών τιμών του SV.

Η κατανομή πιθανότητας του συνεχούς CВ Х, λαμβάνοντας όλες τις τιμές τους από το διάστημα [a; b] ονομάζεται ομοιόμορφη εάν η πυκνότητα πιθανότητας σε αυτό το διάστημα είναι σταθερή και έξω από αυτήν είναι ίση με μηδέν:

11. Η συνάρτηση κατανομής και οι ιδιότητές της.

Λειτουργία διανομήςτυχαία μεταβλητή Χείναι η πιθανότητα να πάρει μια τιμή μικρότερη από το όρισμα της συνάρτησης Χ:

φά(Χ) = P ( Χ<Χ}.

Γεωμετρικά, η συνάρτηση κατανομής ερμηνεύεται ως η πιθανότητα ότι ένα τυχαίο σημείο X θα πέσει στα αριστερά ενός δεδομένου σημείου X. βασικές ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής.

1. φά(-¥) = 0.

2. φά(+ ¥) = 1.

3. Φ(Χ) Είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση του ορίσματός της, δηλ. στο Χ 1 < Χ 2

φά(Χ 1) £ φά(Χ 2).

4. P (α £ Χ < β) = φά(β) - φά(α), για "[α, β [ÎR. (5.4)

Η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή Χ ως αποτέλεσμα του πειράματος θα πέσει στην τομή από α έως β (συμπεριλαμβανομένου του α) ισούται με την αύξηση της συνάρτησης κατανομήςΕίμαι σε αυτόν τον ιστότοπο.

Έτσι, η συνάρτηση κατανομής F (x) οποιασδήποτε τυχαίας μεταβλητής είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση του ορίσματός της, οι τιμές της οποίας είναι μεταξύ 0 και 1: 0≤F (x) ≤1 και F (-∞) = 0, F (+ ∞) = ένα.

12. Συνάρτηση κατανομής διακριτής και συνεχούς τυχαίας μεταβλητής.

Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Αν το x είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή λαμβάνοντας τιμές Χ 1 <Χ 2 < … <x i < … с вероятностями Π 1 <Π 2 < … <πι < …, то таблица вида

που ονομάζεται κατανομή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, με τέτοια κατανομή, έχει τη μορφή

Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή έχει μια συνάρτηση κατανομής βημάτων.

Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι αμέτρητο και συνήθως αντιπροσωπεύει κάποιο πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα.

Καλείται μια τυχαία μεταβλητή x (w) που δίνεται στο χώρο πιθανοτήτων (W, S, P). συνεχής(απολύτως συνεχής) W αν υπάρχει μια μη αρνητική συνάρτηση τέτοια ώστε για οποιοδήποτε x η συνάρτηση κατανομής Fx (x) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ολοκλήρωμα

13. Πυκνότητα κατανομής συνεχούς τυχαίας μεταβλητής.

Η συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητα κατανομής πιθανότητας.

Ο ορισμός υποδηλώνει τις ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής:

1. Η πυκνότητα κατανομής είναι μη αρνητική:.

2. Το ολοκλήρωμα σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή της πυκνότητας κατανομής πιθανότητας είναι ίσο με ένα:

3. Στα σημεία συνέχειας, η πυκνότητα κατανομής είναι ίση με την παράγωγο της συνάρτησης κατανομής:.

4. Η πυκνότητα κατανομής καθορίζει τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, αφού καθορίζει την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να χτυπήσει το διάστημα:

5. Η πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει μια συγκεκριμένη τιμή είναι ίση με μηδέν:. Επομένως, ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

Καλείται η γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής καμπύλη κατανομής, και το εμβαδόν που οριοθετείται από την καμπύλη κατανομής και την τετμημένη είναι ίσο με ένα. Τότε, γεωμετρικά, η τιμή της συνάρτησης κατανομής Fx (x) στο σημείο x0 είναι η περιοχή που οριοθετείται από την καμπύλη κατανομής και την τετμημένη και βρίσκεται στα αριστερά του σημείου x0.

14. Σχέση μεταξύ της συνάρτησης κατανομής και της πυκνότητας κατανομής. Ολοκληρωμένος τύπος συνολικής πιθανότητας.

Γνωρίζοντας την πυκνότητα κατανομής F (X), μπορείτε να βρείτε τη συνάρτηση διανομής F (X)σύμφωνα με τον τύπο

.

Πραγματικά, F (X) = P (X< X ) = P (-∞< X < X) .

Ως εκ τούτου,

.

.

Με αυτόν τον τρόπο, Γνωρίζοντας την πυκνότητα κατανομής, μπορείτε να βρείτε τη συνάρτηση κατανομής. Φυσικά, από τη γνωστή συνάρτηση κατανομής, μπορεί κανείς να βρει την πυκνότητα κατανομής, και συγκεκριμένα:

F (X) = F "(X).
15. Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών.

Ο νόμος κατανομής περιγράφει πλήρως την τυχαία μεταβλητή με

πιθανολογική άποψη. Αλλά συχνά αρκεί να υποδείξουμε μόνο ένα ξεχωριστό

αριθμητικές παράμετροι που σας επιτρέπουν να εκφράσετε συνοπτικά

τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά της διανομής. Τέτοιες παράμετροι ονομάζονται

είναι τα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής.

Μεταξύ των αριθμητικών χαρακτηριστικών, μπορεί κανείς να ξεχωρίσει τα χαρακτηριστικά του

θέσεις, δηλαδή κάποιες μέσες, κατά προσέγγιση τιμές μιας τυχαίας τιμής

τάξεις γύρω από τις οποίες ομαδοποιούνται οι πιθανές έννοιές του.

Τα αριθμητικά χαρακτηριστικά περιλαμβάνουν:

· Αναμενόμενη αξία

Διασπορά

Διάμεσος

Στιγμές

Ποσοστιαία

Ασυμμετρία

Εκκεντρικότητα

16. Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής και οι ιδιότητές της.

Αναμενόμενη αξία -ο αριθμός γύρω από τον οποίο συγκεντρώνονται οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής. Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής x συμβολίζεται Μ Χ.

Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής x που έχει κατανομή

μια ποσότητα ονομάζεται αν ο αριθμός των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι πεπερασμένος.

Εάν ο αριθμός των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι μετρήσιμος, τότε. Επιπλέον, εάν η σειρά στη δεξιά πλευρά της ισότητας αποκλίνει, τότε λένε ότι η τυχαία μεταβλητή x δεν έχει μαθηματική προσδοκία.

Η μαθηματική προσδοκία μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητήςμε πυκνότητα πιθανότητας p x(Χ) υπολογίζεται με τον τύπο. Επιπλέον, εάν το ολοκλήρωμα στη δεξιά πλευρά της ισότητας αποκλίνει, τότε η τυχαία μεταβλητή x λέγεται ότι δεν έχει μαθηματική προσδοκία.

Αν η τυχαία μεταβλητή h είναι συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής x, h = στ(Χ), τότε

.

Παρόμοιοι τύποι ισχύουν για συναρτήσεις μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής:

, .

Οι κύριες ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:

Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθεράς είναι ίση με αυτή τη σταθερά, Μ c = c ;

· Μαθηματική προσδοκία - μια γραμμική συνάρτηση στο χώρο των τυχαίων μεταβλητών, π.χ. για οποιεσδήποτε δύο τυχαίες μεταβλητές x, h και αυθαίρετες σταθερές ένακαι σιέκθεση: Μ (τσεκούρι+ bh) = ένα Μ (x) + σι Μ (η)·

Μαθηματική προσδοκία του γινομένου των δύο ανεξάρτητοςοι τυχαίες μεταβλητές ισούνται με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους, δηλ. Μ (x h) = Μ (Χ) Μ (η).

17. Διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής και οι ιδιότητές της.

Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής χαρακτηρίζει το μέτρο της διασποράς μιας τυχαίας μεταβλητής σχετικά με τις μαθηματικές προσδοκίες της.

Αν μια τυχαία μεταβλητή x έχει μαθηματική προσδοκία Μ Χ, τότε διαφοράΗ τυχαία μεταβλητή x ονομάζεται ποσότητα ρε x =Μ (Χ - ΜΧ) 2 .

Είναι εύκολο να το δείξεις αυτό ρε x = Μ (Χ - ΜΧ) 2 =Μ Χ 2 - Μ (x) 2.

Αυτός ο γενικός τύπος είναι εξίσου καλά εφαρμόσιμος τόσο σε διακριτές τυχαίες μεταβλητές όσο και σε συνεχείς. Το μέγεθος Μ Χ 2> για διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, αντίστοιχα, υπολογίζεται από τους τύπους

, .

Για τον προσδιορισμό του μέτρου της εξάπλωσης των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής, χρησιμοποιείται συχνά τυπική απόκλιση, που σχετίζεται με τη διακύμανση κατά την αναλογία.

Οι κύριες ιδιότητες της διασποράς:

Η διακύμανση οποιασδήποτε τυχαίας μεταβλητής είναι μη αρνητική, ρε Χ 0;

Η διακύμανση της σταθεράς είναι μηδέν, ρε ντο=0;

Για μια αυθαίρετη σταθερά ρε (cx) = ντο 2 ρε (Χ);

Διακύμανση του αθροίσματος των δύο ανεξάρτητοςτυχαίες μεταβλητές ίσες με το άθροισμα των διακυμάνσεών τους: ρε (x ± η) = ρε (x) + ρε (η).

18. Ροπή τάξης k τυχαίας μεταβλητής, απόλυτες και κεντρικές ροπές.

Η αρχική στιγμή της kth τάξηςμιας τυχαίας μεταβλητής x ονομάζεται μαθηματική προσδοκία κ-η δύναμη μιας τυχαίας μεταβλητής x, δηλ. ένα k = Μ x k.

Η κεντρική στιγμή της kth τάξηςΗ τυχαία μεταβλητή x ονομάζεται ποσότητα m κορίζεται από τον τύπο m k = Μ (Χ - ΜΧ)κ.

Σημειώστε ότι η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η αρχική στιγμή της πρώτης τάξης, ένα 1 = ΜΧ, και η διακύμανση είναι η κεντρική στιγμή δεύτερη παραγγελία,

ένα 2 = ΜΧ 2 = Μ (Χ - ΜΧ) 2 =ρε Χ.

Υπάρχουν τύποι που επιτρέπουν την έκφραση των κεντρικών ροπών μιας τυχαίας μεταβλητής ως προς τις αρχικές της ροπές, για παράδειγμα:

m 2 = α 2 -ένα 1 2, m 3 = α 3 - 3α 2 α 1 + 2α 1 3.

Εάν η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x = ΜΧ, τότε όλες οι κεντρικές του ροπές περιττής τάξης είναι ίσες με μηδέν.

Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΣΤΙΓΜΗ

τυχαία μεταβλητή s Χ -μαθηματικός. προσδοκία Ο συνήθης προσδιορισμός A. m είναι έτσι

Ο αριθμός r ονομάζεται. τάξη του Α. μ. Αν το F (x) είναι η συνάρτηση κατανομής Χ,τότε

και, για παράδειγμα, αν η κατανομή X έχει πυκνότητα p (x) , τότε

19. Μόδα και Μόδα

Η τυχαία μεταβλητή Χ ονομάζεται η πιο πιθανή τιμή της, δηλαδή,

για την οποία η πιθανότητα π

ή έχει φτάσει η πυκνότητα κατανομής f (x).

Η μέγιστη. Η μόδα συνήθως υποδηλώνεται με Mx

Εάν το πολύγωνο πιθανότητας ή η πυκνότητα της κατανομής φτάσει στο μέγιστο στο

πολλά σημεία, τότε τέτοιες κατανομές ονομάζονται πολυτροπικό διάμεσο μιας τυχαίας μεταβλητής.

Η διάμεσος μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ είναι

δίνεται η τιμή του xm για το οποίο

20. Ποσοστό του επιπέδου x της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.

-ποσοστότυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής είναι οποιοσδήποτε αριθμός που πληροί δύο προϋποθέσεις:

2)

Σημειώστε ότι αυτές οι συνθήκες είναι ισοδύναμες με τις ακόλουθες:

Αν είναι συνεχής αυστηρά μονοτονική λειτουργία, τότε υπάρχει ένα μοναδικό μερίδιο οποιασδήποτε τάξης που καθορίζεται μοναδικά από την εξίσωση και, επομένως, εκφράζεται ως η συνάρτηση αντίστροφη προς τη συνάρτηση κατανομής:

Εκτός από την υποδεικνυόμενη κατάσταση, όταν η εξίσωση έχει μια μοναδική λύση (η οποία δίνει το αντίστοιχο ποσό), είναι επίσης δυνατές δύο άλλες:

§ εάν η καθορισμένη εξίσωση δεν έχει λύσεις, τότε αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα μόνο σημείο στο οποίο η συνάρτηση κατανομής έχει ασυνέχεια, η οποία ικανοποιεί αυτόν τον ορισμό και είναι ένα ποσοστό τάξης. Για αυτό το σημείο, ικανοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις: και (η πρώτη ανισότητα είναι αυστηρή και η δεύτερη μπορεί να είναι είτε αυστηρή είτε να μετατραπεί σε ισότητα).

§ αν η εξίσωση έχει περισσότερες από μία λύσεις, τότε όλες οι λύσεις του σχηματίζουν ένα διάστημα στο οποίο η συνάρτηση κατανομής είναι σταθερή. Οποιοδήποτε σημείο αυτού του διαστήματος μπορεί να ληφθεί ως το μερίδιο της παραγγελίας. Τα ουσιαστικά συμπεράσματα, στα οποία εμπλέκεται το ποσοστό, δεν θα αλλάξουν σημαντικά από αυτό, αφού η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πέσει σε ένα δεδομένο διάστημα είναι μηδέν.

21. Ασυμμετρία και εκκεντρότητα κατανομής τυχαίας μεταβλητής.

Ασυμμετρία

Στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική, ο συντελεστής ασυμμετρίας χρησιμοποιείται ως μέτρο της ασυμμετρίας μιας κατανομής, η οποία καθορίζεται από τον τύπο:

όπου m 3 είναι η κεντρική ροπή της τρίτης τάξης, είναι η τυπική απόκλιση.

Η κανονική κατανομή χρησιμοποιείται συχνότερα στη θεωρία πιθανοτήτων και στις μαθηματικές στατιστικές, επομένως το γράφημα της πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής έχει γίνει ένα είδος σημείου αναφοράς με το οποίο συγκρίνονται άλλες κατανομές. Μία από τις παραμέτρους που καθορίζουν τη διαφορά μεταξύ της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής x από την κανονική κατανομή είναι η κύρτωση.

Κούρτωση ζΗ τυχαία μεταβλητή x ορίζεται από την ισότητα.

Η κανονική κατανομή έχει φυσικά g = 0.Αν g (x)> 0, τότε αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της πυκνότητας πιθανότητας p x(Χ) είναι πιο «αιχμηρό» από αυτό της κανονικής κατανομής, αν g (x)< 0, то “заостренность” графикаp x(Χ) είναι μικρότερη από αυτή της κανονικής κατανομής.

22. Διωνυμικός νόμος κατανομής.

P είναι η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε μία δοκιμή.
q - πιθανότητα μη εμφάνισης του συμβάντος σε ένα τεστ q = (1-p)
n - αριθμός δοκιμών
k - ο εκτιμώμενος αριθμός εμφάνισης του επιθυμητού συμβάντος
Ο τύπος του Bernoulli επιτρέπει τον υπολογισμό της πιθανότητας ότι ένα γεγονός θα εμφανιστεί σε n τεστ ακριβώς k φορές.

23. Ο κανονικός νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. Θεωρία Laplace-Lyapunov.
Κανονική (Gaussian) κατανομή
Αυτός είναι ο βασικός νόμος της θεωρίας πιθανοτήτων. Στο όριο, όλοι οι νόμοι τείνουν σε νόμους κανονικής διανομής. Το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού τυχαίων μεταβλητών, που κατανέμονται σύμφωνα με οποιουσδήποτε νόμους, αποκτά τελικά έναν κανονικό νόμο κατανομής.

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ ονομάζεται κανονικά κατανεμημένη εάν η πυκνότητα κατανομής της είναι:

– Μαθηματική προσδοκίαμια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι το άθροισμα των γινομένων των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής με βάση την πιθανότητα εμφάνισής τους

Διασπορά- για να εκτιμηθεί ο βαθμός διασποράς (απόκλισης) κάποιου δείκτη από τη μέση τιμή του, χρησιμοποιούνται οι έννοιες της διακύμανσης.

Η διακύμανση δείγματος ή διακύμανση δείγματος είναι ένα μέτρο της μεταβλητότητας μιας μεταβλητής. Η διακύμανση υπολογίζεται με τον τύπο:

όπου x είναι ο μέσος όρος του δείγματος, N είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων στο δείγμα. Η διακύμανση ποικίλλει από το μηδέν έως το άπειρο. Μια ακραία τιμή 0 σημαίνει καμία μεταβλητότητα όταν οι τιμές της μεταβλητής είναι σταθερές. - τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής (τετραγωνική ρίζα διακύμανσης.)

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης κανονικής κατανομής, όπως φαίνεται από το σχήμα, έχει τη μορφή μιας καμπύλης σε σχήμα θόλου, που ονομάζεται
Gaussian, το μέγιστο σημείο έχει συντεταγμένες Αυτό σημαίνει ότι αυτή η τεταγμένη μειώνεται με την αύξηση της τιμής (η καμπύλη «συμπιέζεται» στον άξονα Ox) και αυξάνεται με τη φθίνουσα τιμή (η καμπύλη «τεντώνεται» στη θετική κατεύθυνση του άξονα Oy). Η αλλαγή των τιμών της παραμέτρου u (με σταθερή τιμή) δεν επηρεάζει το σχήμα της καμπύλης, αλλά μετακινεί μόνο την καμπύλη κατά μήκος του άξονα Ox. Μια κανονική κατανομή με παραμέτρους = 0 και = 1 ονομάζεται κανονικοποιημένη. Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής σε αυτήν την περίπτωση θα έχει τη μορφή:

Για = 0, = 1, το γράφημα έχει τη μορφή:

Αυτή η καμπύλη στο = 0, = 1 έχει λάβει την κατάσταση ενός προτύπου, ονομάζεται κανονική καμπύλη μονάδας, δηλαδή, οποιαδήποτε δεδομένα συλλέγονται τείνουν να μετασχηματιστούν έτσι ώστε η καμπύλη κατανομής τους να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά σε αυτήν την τυπική καμπύλη.

Η κανονικοποιημένη καμπύλη επινοήθηκε για την επίλυση προβλημάτων της θεωρίας πιθανοτήτων, αλλά αποδείχθηκε στην πράξη ότι προσεγγίζει τέλεια την κατανομή συχνότητας για μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων για πολλές μεταβλητές

Έστω x 1, x 2,…, x n,… μια απεριόριστη ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με μαθηματικές προσδοκίες Μ 1 , Μ 2 , …, Μ n,… και διακυμάνσεις s 1 2, s 2 2,…, s n 2…. Δηλώνουμε, και.