Εξετάστε τη μεταβολή των ροπών αδράνειας όταν περιστρέφονται οι άξονες συντεταγμένων. Ας υποθέσουμε ότι οι ροπές αδράνειας ενός συγκεκριμένου τμήματος ως προς τους άξονες Χ και y (όχι απαραίτητα κεντρικό). Απαιτείται να καθοριστεί J u , J v , J UV- ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες u , v , περιστρέφεται υπό γωνία ένα.Προβολή λοιπόν OABCισούται με την προβολή του κλεισίματος:

u= y αμαρτίαένα +Χ συν ένα (1)

v=y cos a – x sin a(2)

Καταργήστε το u,v στις εκφράσεις για τις στιγμές αδράνειας:

J u = ∫v 2 dF; J v = ∫u 2 dF; J UV = ∫uvdF. Αντικαθιστώντας τις παραστάσεις (1) και (2) παίρνουμε:

J u =J Χ συν 2 a-J xy αμαρτία 2a + J y αμαρτία 2 ένα

J v =J Χ αμαρτία 2 a+J xy αμαρτία 2a + J y συν 2 ένα(3)

J UV =J xy cos2a + sin2a(J Χ -Τζ y )/2

J u + J v = J Χ + J y = ∫ φά (y 2 + Χ 2 ) dF => Το άθροισμα των αξονικών ροπών αδράνειας σε σχέση με το 2x κάθετο μεταξύ τους. Άξονες ανεξάρτητοι από γωνία ένα.σημειώσε ότι Χ 2 + y 2 = Π 2 . Π- απόσταση από την αρχή των συντεταγμένων στη στοιχειώδη περιοχή. Οτι. J Χ + J y = J Π .(4)

J Π =∫ φά Π 2 dF – πολική ροπή, ανεξάρτητη από την περιστροφή x,y

2) Τ. Καστελιάνο.

Η μερική παράγωγος της δυναμικής ενέργειας του συστήματος ως προς τη δύναμη είναι ίση με τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης προς την κατεύθυνση αυτής της δύναμης.

Θεωρήστε μια ράβδο φορτωμένη με ένα αυθαίρετο σύστημα δυνάμεων και στερεωμένη όπως φαίνεται στο Σχ.

Έστω η δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης, που συσσωρεύεται στον όγκο του σώματος ως αποτέλεσμα του έργου των εξωτερικών δυνάμεων, ίση με U. Θα δώσουμε την προσαύξηση d F n στη δύναμη F n . Τότε δυναμική ενέργειαΘα λάβετε προσαύξηση
και παίρνει τη μορφή U+
.(5.4)

Ας αλλάξουμε τώρα τη σειρά εφαρμογής των δυνάμεων. Ας ασκήσουμε πρώτα μια δύναμη στο ελαστικό σώμα dPn.Στο σημείο εφαρμογής αυτής της δύναμης θα συμβεί μια αντίστοιχα μικρή μετατόπιση, η προβολή της οποίας στην κατεύθυνση της δύναμης dPnείναι ίσο με . dδ n . Μετά το έργο της δύναμης dPnαποδεικνύεται ίσο dPn dδn /2. Τώρα ας εφαρμόσουμε ολόκληρο το σύστημα των εξωτερικών δυνάμεων. Ελλείψει δύναμης dPnη δυναμική ενέργεια του συστήματος θα έπαιρνε ξανά την αξία U. Αλλά τώρα αυτή η ενέργεια θα αλλάξει κατά την ποσότητα της πρόσθετης εργασίας dPnδn ποια δύναμη θα κάνει dPnεπί μετατόπισης δ n , που προκαλείται από ολόκληρο το σύστημα των εξωτερικών δυνάμεων. Η τιμή του δ n είναι και πάλι η προβολή της συνολικής μετατόπισης στην κατεύθυνση της δύναμης Рn.

Ως αποτέλεσμα, με την αντίστροφη ακολουθία εφαρμογής των δυνάμεων, η έκφραση για τη δυναμική ενέργεια λαμβάνεται με τη μορφή

(5.5)

Εξισώνουμε αυτήν την έκφραση με την έκφραση (5.4) και, απορρίπτοντας το προϊόν dPn dδn /2 ως ποσότητα της υψηλότερης τάξης μικρότητας, βρίσκουμε

(5.6)

Εισιτήριο 23

Κάποιος δεν έχει τύχη

Εισιτήριο 24

1) Στρέψη ράβδου ορθογώνιας διατομής (προσδιορισμός τάσεων και μετατοπίσεων). Στρέψη ορθογώνιας δοκού, τάσεις σε διατομή

Π Σε αυτή την περίπτωση, παραβιάζεται ο νόμος των επίπεδων τομών, τμήματα μη κυκλικού σχήματος κάμπτονται κατά τη στρέψη - παραμόρφωση της διατομής.

Διαγράμματα διατμητικές τάσεις ορθογώνιας τομής.

;
, Jk και Wk - ονομάζεται υπό όρους ροπή αδράνειας και ροπή αντίστασης κατά τη στρέψη. Wk=hb2,

Jk= hb3, Οι μέγιστες τάσεις διάτμησης max θα είναι στο μέσο της μεγάλης πλευράς, οι τάσεις στη μέση της κοντής πλευράς: =max, οι συντελεστές: ,, δίνονται στα βιβλία αναφοράς ανάλογα με ο λόγος h/b (για παράδειγμα, σε h /b=2,=0,246;=0,229;=0,795.

Κατά τον υπολογισμό μιας ράβδου για στρέψη (άξονας), πρέπει να επιλυθούν δύο κύριες εργασίες. Πρώτον, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι τάσεις που προκύπτουν στη δοκό και, δεύτερον, είναι απαραίτητο να βρεθούν οι γωνιακές μετατοπίσεις των τμημάτων της δοκού ανάλογα με τις τιμές των εξωτερικών ροπών.

Γεωμετρικά Χαρακτηριστικά Σύνθετων Σύνθετων Διατομών

Εάν η διατομή σχηματίζεται από ένα σύνολο από τα πιο απλά, τότε σύμφωνα με τις ιδιότητες ορισμένων ολοκληρωμάτων γεωμετρικό χαρακτηριστικόμιας τέτοιας τομής ισούται με το άθροισμα των αντίστοιχων χαρακτηριστικών επιμέρους σύνθετων τομών (Εικ. 3.10).

Ρύζι. 10.

Έτσι, για να υπολογίσουμε τις ροπές αδράνειας ενός μιγαδικού σχήματος, είναι απαραίτητο να το διαιρέσουμε σε έναν αριθμό απλών ψηφίων, να υπολογίσουμε τις ροπές αδράνειας αυτών των ψηφίων και στη συνέχεια να αθροίσουμε αυτές τις ροπές αδράνειας

Αλλαγή των ροπών αδράνειας κατά την περιστροφή των αξόνων

Ας βρούμε τη σχέση μεταξύ των ροπών αδράνειας ως προς τους άξονες και των ροπών αδράνειας ως προς τους άξονες που περιστρέφονται κατά γωνία (Εικ. 3.11). Αφήστε τη θετική γωνία να μετρηθεί αριστερόστροφα από τον άξονα.

Ρύζι. έντεκα. Περιστροφή αξόνων συντεταγμένων

Για να λύσουμε το πρόβλημα, βρίσκουμε τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων μιας απείρως μικρής περιοχής στον αρχικό και τον περιστρεφόμενο άξονα

Τώρα προσδιορίζουμε τις ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες

Ομοίως

Για φυγόκεντρη στιγμή

Προσθέτοντας (3.28) και (3.29), παίρνουμε

Αφαιρώντας το (3.28) από το (3.29), παίρνουμε

Ο τύπος (3.31) δείχνει ότι το άθροισμα των ροπών αδράνειας για οποιουσδήποτε αμοιβαία κάθετους άξονες δεν αλλάζει όταν αυτοί περιστρέφονται.

Ο τύπος (3.32) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της φυγόκεντρης ροπής αδράνειας ως προς τους άξονες από γνωστές αξονικές ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες u.

Κύριοι άξονες αδράνειας και κύριες ροπές αδράνειας

Όταν αλλάζει η γωνία (Εικ. 3.10), αλλάζουν οι ροπές αδράνειας (3.280 - (3.31)). Ας βρούμε την τιμή της γωνίας στην οποία και έχουμε μια ακραία τιμή. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε από και την πρώτη παράγωγο με και εξισώστε το με μηδέν:

Αυτός ο τύπος καθορίζει τη θέση δύο αξόνων, σε σχέση με τους οποίους η αξονική ροπή αδράνειας είναι μέγιστη και σε σχέση με τον άλλο είναι ελάχιστη. Τέτοιοι άξονες ονομάζονται κύριοι. Οι ροπές αδράνειας ως προς τους κύριους άξονες ονομάζονται κύριες ροπές αδράνειας.

Βρίσκουμε τις τιμές των κύριων ροπών αδράνειας από τους τύπους (3.28) και (3.29, αντικαθιστώντας σε αυτές από τον τύπο (3.33), ενώ χρησιμοποιούμε τους γνωστούς τύπους τριγωνομετρίας για συναρτήσεις διπλών γωνιών. Μετά τον μετασχηματισμό, παίρνουμε έναν τύπο για προσδιορίζοντας τις κύριες ροπές αδράνειας:

Ας δείξουμε τώρα ότι ως προς τους κύριους άξονες η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας είναι ίση με μηδέν. Πράγματι, εξισώνοντας το μηδέν σύμφωνα με τον τύπο (3.30), παίρνουμε

οπότε και πάλι προκύπτει ο τύπος (3.33).

Έτσι, οι κύριοι άξονες ονομάζονται άξονες με τις ακόλουθες ιδιότητες:

Η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας ως προς αυτούς τους άξονες είναι μηδέν.

Οι ροπές αδράνειας σχετικά με τους κύριους άξονες έχουν ακραίες τιμές (σε σχέση με το ένα - μέγιστο, σε σχέση με το άλλο - ελάχιστο).

Οι κύριοι άξονες που διέρχονται από το κέντρο βάρους του τμήματος ονομάζονται κύριοι κεντρικοί άξονες.

Σε πολλές περιπτώσεις, είναι δυνατός ο αμέσως προσδιορισμός της θέσης των κύριων κεντρικών αξόνων. Εάν το σχήμα έχει άξονα συμμετρίας, τότε είναι ένας από τους κύριους κεντρικούς άξονες, ο δεύτερος διέρχεται από το κέντρο βάρους της τομής που είναι κάθετη προς την πρώτη. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι σε σχέση με τον άξονα συμμετρίας και κάθε άξονα σε αυτόν, η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας είναι ίση με μηδέν.

Ας υπολογίσουμε τις ροπές αδράνειας ενός αυθαίρετου σχήματος ως προς τους άξονες που περιστρέφονται γύρω από τους δεδομένους άξονες και
στη γωνία (Εικ.4.14)

Αφήστε τις ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες
και
γνωστός. Επιλέξτε έναν αυθαίρετο ιστότοπο
και να εκφράζει τις συντεταγμένες του στο σύστημα των αξόνων
και
μέσω των συντεταγμένων στους παλιούς άξονες
και
:

Ας βρούμε τις αξονικές και φυγόκεντρες ροπές αδράνειας του σχήματος σε σχέση με τους περιστρεφόμενους άξονες
και
:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι

;
και
,

Εγκαταστήστε με τον ίδιο τρόπο:

Η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας έχει τη μορφή:

. (4.30)

Εκφράζουμε τις αξονικές ροπές ως προς το ημίτονο και συνημίτονο της διπλής γωνίας. Για να γίνει αυτό, εισάγουμε τις ακόλουθες λειτουργίες:

. (4.31)

Αντικαθιστώντας το (4.31) στους τύπους (4.27) και (4.28), παίρνουμε:

Αν προσθέσουμε τις εκφράσεις για τις αξονικές ροπές αδράνειας (4.32) και (4.33), παίρνουμε:

Η συνθήκη (4.34) αντιπροσωπεύει την συνθήκη της αμετάβλητης του αθροίσματος των αξονικών ροπών αδράνειας ως προς δύο αμοιβαία κάθετους άξονες, δηλ. το άθροισμα των αξονικών ροπών αδράνειας για δύο αμοιβαία κάθετους άξονες δεν εξαρτάται από τη γωνία περιστροφής των αξόνων και είναι σταθερή τιμή.Προηγουμένως, αυτή η συνθήκη λήφθηκε με βάση το ότι το άθροισμα των αξονικών ροπών αδράνειας γύρω από δύο αμοιβαία κάθετους άξονες ήταν ίσο με την τιμή της πολικής ροπής αδράνειας ως προς το σημείο τομής αυτών των αξόνων.

Διερευνούμε την εξίσωση για τη ροπή αδράνειας στο άκρο και βρείτε την τιμή της γωνίας , κατά την οποία η ροπή αδράνειας φτάνει σε μια ακραία τιμή. Για να γίνει αυτό, παίρνουμε την πρώτη παράγωγο της ροπής αδράνειας κατά γωνία (έκφραση (4.32)) και εξισώστε το αποτέλεσμα με μηδέν. Παράλληλα, βάζουμε
.

(4.35)

Η έκφραση σε αγκύλες είναι η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας ως προς τους άξονες που είναι κεκλιμένοι προς τον άξονα
διαγωνίως . Σε σχέση με αυτούς τους άξονες, η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας είναι μηδέν:

, (4.36)

που σημαίνει ότι οι νέοι άξονες είναι οι κύριοι άξονες.

Προηγουμένως καθορίστηκε ότι οι κύριοι άξονες αδράνειας είναι οι άξονες ως προς τους οποίους η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας είναι μηδέν. Τώρα αυτός ο ορισμός μπορεί να επεκταθεί - αυτοί είναι οι άξονες, σε σχέση με τους οποίους οι αξονικές ροπές αδράνειας έχουν ακραίες αξίες. Οι ροπές αδράνειας ως προς αυτούς τους άξονες ονομάζονται κύριες στιγμές αδράνειας.

Να βρείτε τη θέση των κύριων αξόνων αδράνειας. Από την έκφραση (4.36) μπορεί κανείς να πάρει:

. (4.37)

Ο προκύπτων τύπος δίνει τη γωνία δύο έννοιες: και
.

Κατά συνέπεια, υπάρχουν δύο αμοιβαία κάθετοι άξονες ως προς τους οποίους οι ροπές αδράνειας έχουν ακραίες τιμές. Όπως σημειώθηκε παραπάνω, τέτοιοι άξονες ονομάζονται κύριοι άξονες αδράνειας. Απομένει να καθοριστεί σε ποιον από τους άξονες η ροπή αδράνειας φτάνει τη μέγιστη τιμή και σε σχέση με ποιον - την ελάχιστη τιμή. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί μελετώντας τη δεύτερη παράγωγο της έκφρασης (4.32) ως προς τη γωνία . Αντικαθιστώντας στην έκφραση τη δεύτερη παράγωγο την τιμή της γωνίας ή
και εξετάζοντας το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου μπορεί κανείς να κρίνει ποια από τις γωνίες αντιστοιχεί στη μέγιστη ροπή αδράνειας, ποια στην ελάχιστη. Παρακάτω υπάρχουν τύποι που δίνουν μια σαφή τιμή της γωνίας .

Βρείτε τις ακραίες τιμές για τις ροπές αδράνειας. Για να γίνει αυτό, μετασχηματίζουμε την έκφραση (4.32) , βγάζοντας από τις αγκύλες
:

Χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση που είναι γνωστή από την τριγωνομετρία και αντικαθιστούμε την έκφραση (4.37) σε αυτήν, παίρνουμε:

. (4.39)

Αντικαθιστώντας την έκφραση (4.39) στον τύπο (4.38) και κάνοντας τους απαραίτητους υπολογισμούς, λαμβάνουμε δύο εκφράσεις για ακραίες ροπές αδράνειας, οι οποίες δεν περιλαμβάνουν τη γωνία κλίσης των αξόνων :

; (4.40)

. (4.41)

Από τους τύπους (4.40) και (4.41) μπορεί να φανεί ότι οι τιμές των κύριων ροπών αδράνειας καθορίζονται απευθείας μέσω των ροπών αδράνειας ως προς τους άξονες
και
. Επομένως, μπορούν να προσδιοριστούν χωρίς να γνωρίζουμε τη θέση των ίδιων των κύριων αξόνων.

Γνωρίζοντας τις ακραίες τιμές των ροπών αδράνειας
και
εκτός από τον τύπο (4.37), είναι δυνατός ο προσδιορισμός της θέσης των κύριων αξόνων αδράνειας.

Δίνουμε τύπους χωρίς παράγωγο που μας επιτρέπουν να βρίσκουμε γωνίες και μεταξύ του άξονα
και κύριοι άξονες:

;
(4.42)

Ενεση καθορίζει τη θέση του άξονα, σε σχέση με τον οποίο η ροπή αδράνειας φτάνει τη μέγιστη τιμή της (
), ένεση καθορίζει τη θέση του άξονα, σε σχέση με τον οποίο η ροπή αδράνειας φτάνει μια ελάχιστη τιμή (
).

Εισάγουμε ένα άλλο γεωμετρικό χαρακτηριστικό, το οποίο ονομάζεται ακτίνα περιστροφής της τομής. Αυτό το χαρακτηριστικό υποδηλώνεται με το γράμμα και μπορεί να υπολογιστεί ως προς τους άξονες
και
με τον εξής τρόπο:

;
(4.43)

Η ακτίνα περιστροφής χρησιμοποιείται ευρέως σε προβλήματα αντοχής υλικών και η εφαρμογή της θα συζητηθεί στις επόμενες ενότητες του μαθήματος.

Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα δομικών υπολογισμών λαμβάνοντας υπόψη την περιστροφή των αξόνων και χρησιμοποιώντας την ακτίνα περιστροφής του τμήματος.

Παράδειγμα 4.7.Οι ροπές αδράνειας μιας ορθογώνιας τομής ως προς τους κύριους άξονες είναι, αντίστοιχα,
cm 4,
cm 4. Όταν περιστραφεί κατά 45 0, οι ροπές αδράνειας σε σχέση με τους νέους άξονες αποδείχθηκαν οι ίδιες. Ποια είναι η αξία τους;

Για να λύσουμε το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε την έκφραση (4.28), λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας ως προς τους κύριους άξονες είναι ίση με μηδέν:

Αντικαταστήστε στον τύπο (α) τις αριθμητικές τιμές για τις ροπές αδράνειας και τη γωνία περιστροφής των αξόνων:

Παράδειγμα 4.8.Ποιο από τα σχήματα (Εικ. 4.15), που έχει το ίδιο εμβαδόν, έχει ακτίνα αδράνειας σε σχέση με τον άξονα , θα είναι το μεγαλύτερο; Προσδιορίστε τη μεγαλύτερη ακτίνα περιστροφής του τμήματος σε σχέση με τον άξονα .

1. Βρείτε το εμβαδόν καθενός από τα σχήματα και τις διαστάσεις των τομών. Το εμβαδόν των σχημάτων είναι ίσο με cm 2 για το τρίτο σχήμα.

Βρίσκουμε τη διάμετρο του πρώτου τμήματος από την έκφραση:

εκ.

Μέγεθος τετράγωνης πλευράς:

Τριγωνική βάση:

εκ.

2. Βρίσκουμε τις ροπές και τις ακτίνες αδράνειας καθενός από τα τμήματα σε σχέση με τον κεντρικό άξονα .

Για κυκλικό τμήμα:

cm 4;
εκ.

Για τετράγωνο τμήμα:

cm 4;
εκ.

Για ορθογώνιο τμήμα:

;

Για τριγωνικό τμήμα:

cm 4;
εκ.

Η μεγαλύτερη ακτίνα περιστροφής αποδείχθηκε ότι ήταν σε ορθογώνιο τμήμα και είναι ίση με
εκ.

16. Βασικές υποθέσεις της επιστήμης της αντοχής των υλικών. Μπάρα, εσωτερικές δυνάμεις, μέθοδος τομής

ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ(στην καθημερινή ζωή - sopromat) - ένα μέρος της μηχανικής ενός παραμορφώσιμου στερεού σώματος που εξετάζει μεθόδους για μηχανικούς υπολογισμούς κατασκευών για αντοχή, ακαμψία και σταθερότητα ενώ πληροί τις απαιτήσεις αξιοπιστίας και απόδοσης. Υπόθεση συνέχεια και ομοιομορφία - υλικόαντιπροσωπεύει ομοιογενής συνέχεια; ιδιότητεςυλικό σε όλα τα σημεία του σώματος είναι το ίδιο και δεν εξαρτώνται από το μέγεθος του σώματος. Υπόθεση για την ισοτροπία του υλικού - φυσικός-μηχανικόςΟι ιδιότητες του υλικού είναι ίδιες προς όλες τις κατευθύνσεις. Υπόθεση της ιδανικής ελαστικότητας του υλικού - σώμαικανός να αποκαταστήσει το δικό του αρχική μορφήκαι διαστάσεις αφού εξαλειφθούν τα αίτια που προκάλεσαν την παραμόρφωσή του. Υπόθεση (υπόθεση) για τη μικρότητα των παραμορφώσεων - παραμορφώσειςστα σημεία του σώματος θεωρούνται τόσο μικρά που δεν έχουν σημαντική επιρροήστη σχετική θέση των φορτίων που εφαρμόζονται στο σώμα. Παραδοχή της εγκυρότητας του νόμου του Χουκ - μετατόπισησημεία σχέδια v ελαστικό στάδιοη εργασία που γίνεται από το υλικό είναι ευθέως ανάλογη με τις δυνάμεις που προκαλούν αυτές τις μετατοπίσεις. Η αρχή της ανεξαρτησίας δράσης των δυνάμεων- αρχή υπερθέσεις; το αποτέλεσμα πολλών εξωτερικών παράγοντεςισοδυναμεί άθροισματα αποτελέσματα του αντίκτυπου καθενός από αυτά, εφαρμόζονται χωριστά, και δεν εξαρτάται από ακολουθίεςτις εφαρμογές τους. ΥπόθεσηΜπερνούλι σχετικά με τα τμήματα του αεροπλάνου- εγκάρσια ενότητες, επίπεδο και κάθετο ως προς τον άξονα ράβδοςπριν εφαρμόσετε ένα φορτίο σε αυτό, παραμείνετε επίπεδο και κάθετο στον άξονά του μετά την παραμόρφωση. ΑρχήSaint Venant - σε τμήματα που είναι αρκετά απομακρυσμένα από τα σημεία εφαρμογής του φορτίου, η παραμόρφωση του σώματος δεν εξαρτάται από τη συγκεκριμένη μέθοδο φόρτισης και καθορίζεται μόνο από το στατικό ισοδύναμο του φορτίου. Μια ράβδος ή δοκός είναι σώμα του οποίου το ένα μέγεθος (μήκος) υπερβαίνει σημαντικά τα άλλα δύο (εγκάρσια) μεγέθη Β Στη μηχανική, υπάρχουν ράβδοι με ευθύγραμμους και καμπυλόγραμμους άξονες. Παραδείγματα ευθύγραμμων ράβδων είναι δοκοί, άξονες, άξονες. Παραδείγματα κυρτών ράβδων είναι άγκιστρα ανύψωσης, κρίκοι αλυσίδας κ.λπ. Η αλληλεπίδραση μεταξύ των μερών του υπό εξέταση σώματος χαρακτηρίζεται από εσωτερικός δυνάμεις, που προκύπτουν στο εσωτερικό του σώματος υπό τη δράση εξωτερικών φορτίων και προσδιορίζονται από τις δυνάμεις της διαμοριακής δράσης. Οι τιμές των εσωτερικών δυνάμεων προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας μέθοδος τομής, η ουσία του οποίου είναι η εξής. Εάν, υπό τη δράση εξωτερικών δυνάμεων, το σώμα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, τότε οποιοδήποτε αποκομμένο μέρος του σώματος, μαζί με τις εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις που πέφτουν πάνω του, είναι επίσης σε ισορροπία, επομένως, οι εξισώσεις ισορροπίας εφαρμόζονται σε αυτό.

18. Τέντωμα και συμπίεση. Υπόθεση επίπεδων τομών υπό τάση και συμπίεση. Στρες, καταπονήσεις, νόμος του Χουκ. Αρχή του Saint-Venant. Μέτρο ελαστικότητας, λόγος Poisson.

Ένταση-συμπίεση- v αντοχή των υλικών- όψη του διαμήκους παραμορφώσεις ράβδοςή ξυλεία, το οποίο συμβαίνει εάν εφαρμοστεί το φορτίο σε αυτό κατά μήκος του διαμήκους άξονά του (το αποτέλεσμα των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό είναι κανονικό διατομήράβδος και περνά μέσα από αυτήν κέντρο βαρύτητας). ΥπόθεσηΜπερνούλι σχετικά με τα τμήματα του αεροπλάνου- εγκάρσια ενότητες, επίπεδο και κάθετο ως προς τον άξονα ράβδοςπριν εφαρμόσετε ένα φορτίο σε αυτό, παραμείνετε επίπεδο και κάθετο στον άξονά του μετά την παραμόρφωση Τάσεις.Η δύναμη N που εφαρμόζεται στο κέντρο βάρους μιας αυθαίρετης τομής της ράβδου είναι το αποτέλεσμα των εσωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε μια απείρως μικρή περιοχή dA της διατομής της περιοχής Α και. Στη συνέχεια, εντός των ορίων του νόμου του Hooke (), οι επίπεδες διατομές της ράβδου κατά την παραμόρφωση μετατοπίζονται παράλληλα με την αρχική θέση, παραμένοντας επίπεδες (η υπόθεση των επίπεδων τομών), μετά οι νόρμες. η πίεση σε όλα τα σημεία της τομής είναι η ίδια, δηλ. (Υπόθεση Bernoulli) και μετά Όταν η ράβδος συμπιέζεται, η τάση έχει μόνο διαφορετικό (αρνητικό) πρόσημο (η κανονική δύναμη κατευθύνεται στο σώμα της ράβδου). Παραμόρφωση.Μια ράβδος σταθερής επιφάνειας διατομής Α υπό τη δράση αξονικών δυνάμεων εφελκυσμού εκτείνεται κατά ένα ποσό, όπου είναι τα μήκη της ράβδου στην παραμορφωμένη και όχι παραμορφωμένη κατάσταση. Αυτή η αύξηση μήκους ονομάζεται πλήρη ή απόλυτη επέκταση.. Ο νόμος του Χουκ. Προέκταση ράβδου.Υπάρχει μια γραμμική σχέση μεταξύ του στρες και της μικρής καταπόνησης, που ονομάζεται νόμος του Χουκ. Για την τάση (συμπίεση) έχει τη μορφή σ=Εε, όπου Ε είναι ο συντελεστής αναλογικότητας, Μέτρο ελαστικότητας.E - τάση που προκαλεί παραμόρφωση Νόμος του Hooke για την τάση (συμπίεση) της ράβδου Δl = Fe / EA = λF, όπου λ - συντελεστής διαμήκους συμμόρφωσης της ράβδου Η αρχή σύμφωνα με την οποία εφαρμόζεται ένα ισορροπημένο σύστημα δυνάμεων σε οποιοδήποτε μέρος ενός στερεού σώματος προκαλεί τάσεις σε αυτό, οι οποίες μειώνονται πολύ γρήγορα με την απόσταση από αυτό το μέρος. Έτσι, σε αποστάσεις μεγαλύτερες από τις μεγαλύτερες γραμμικές διαστάσεις της περιοχής εφαρμογής των φορτίων, οι τάσεις και οι παραμορφώσεις είναι αμελητέες. Επομένως, ο S.-V. ν. καθορίζει την εντοπιότητα της επίδρασης των αυτο-ισορροπούμενων εξωτερικών φορτίων. Μέτρο ελαστικότητας- κοινό όνομα για πολλά φυσικές ποσότητεςχαρακτηρίζοντας την ικανότητα συμπαγές σώμα(υλικό, ουσία) παραμορφώνονται ελαστικά(δηλαδή όχι μόνιμα) όταν εφαρμόζεται σε αυτά δύναμη. Στην περιοχή της ελαστικής παραμόρφωσης, ο συντελεστής ελαστικότητας του σώματος καθορίζεται από παράγωγο(κλίση) της εξάρτησης της τάσης από την παραμόρφωση, δηλαδή την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης διαγράμματα τάσης-παραμόρφωσης):που λ (λάμδα) - μέτρο ελαστικότητας. Π - Τάση, που προκαλείται στο δείγμα από την ενεργούσα δύναμη (ίση με τη δύναμη διαιρούμενη με την περιοχή εφαρμογής της δύναμης). - ελαστική παραμόρφωσητου δείγματος που προκαλείται από καταπόνηση (ίσο με την αναλογία του μεγέθους του δείγματος μετά την παραμόρφωση προς το αρχικό του μέγεθος).

19. Ο νόμος κατανομής των τάσεων στο τμήμα σε τάση-συμπίεση. Καταπονήσεις στις πλαγιές. Ο νόμος του ζευγαρώματος των διατμητικές τάσεις Ο νόμος του ζευγαρώματος των διατμητικές τάσεις. Ο νόμος του ζευγαρώματος των διατμητικές τάσεις καθορίζει τη σχέση μεταξύ των μεγεθών και των κατευθύνσεων των ζευγών διατμητικών τάσεων που δρουν σε αμοιβαία κάθετες περιοχές ενός στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου. Τάσεις σε κεκλιμένα αμοιβαία κάθετα επίπεδα. Σε κεκλιμένες διατομές δρουν ταυτόχρονα κανονικές και διατμητικές τάσεις, οι οποίες εξαρτώνται από τη γωνία κλίσης α. Σε θέσεις α=45 και 135 μοίρες. Στο α=90, τόσο οι κανονικές όσο και οι διατμητικές τάσεις απουσιάζουν. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η κάθετη τομή στο συμπέρασμα: 1) σε 2 αμοιβαία κάθετα επίπεδα, το αλγεβρικό άθροισμα των κανονικών τάσεων είναι ίσο με την κανονική τάση στη διατομή 2) οι διατμητικές τάσεις είναι ίσες μεταξύ τους σε απόλυτη τιμή και ανάλογες προς την κατεύθυνση (σημάδι) προς το νόμο του ζευγαρώματος των τάσεων

20. Διαμήκης και εγκάρσια παραμόρφωση, λόγος Poisson. Συνθήκη αντοχής σε εφελκυσμό και θλίψη. Τύποι υπολογισμών αντοχής τέντωμα- αυτό το είδος φόρτισης, όταν στις διατομές της δοκού προκύπτουν μόνο εσωτερικές διαμήκεις δυνάμεις N. Η παραμόρφωση εφελκυσμού χαρακτηρίζεται από 2 μεγέθη: 1. σχετική διαμήκης παραμόρφωση ε =∆l/l; 2. συγγενής εγκάρσια παραμόρφωση: ε 1 =∆d/d.Εντός των ορίων ελαστικών παραμορφώσεων μεταξύ κανονικής τάσης και διαμήκους παραμόρφωσης, ουσιαστικό. ευθέως ανάλογη εξάρτηση (Νόμος του Χουκ): σ= Ε ε, όπου μι- μέτρο ελαστικότητας πρώτου είδους (Young's modulus), χαρακτηρίζει την ακαμψία του υλικού, δηλ. ικανότητα αντίστασης στην παραμόρφωση. Επειδή σ=F/S, μετά F/S= Е∆l/l, που ∆l=φά l/EΣ. Έργο τέχνης μι S nam. ακαμψία τμήματος. => απόλυτος. επιμήκυνση της ράβδου ευθεία ~ την τιμή της διαμήκους δύναμης στην τομή, το μήκος της ράβδου και αντίστροφα ~ το εμβαδόν της διατομής και το μέτρο ελαστικότητας. Έχει διαπιστωθεί πειραματικά ότι, εντός των ορίων εφαρμογής του νόμου του Hooke, εγκάρσια παραμόρφωση ~ διαμήκης: |ε 1 |=μ|ε|, όπου μ=ε 1 /ε - συντελεστής. σχετική παραμόρφωση (Poisson) - χαρακτηρίζει την πλαστικότητα του υλικού, μ st \u003d 0,25 ... 0,5 (για φελλό - 0, για καουτσούκ - 0,5).

Η συνθήκη αντοχής σε εφελκυσμό (συμπίεσης) για μια πρισματική ράβδο για μια ράβδο κατασκευασμένη από πλαστικό υλικό (δηλαδή, ένα υλικό που λειτουργεί εξίσου σε τάση και συμπίεση) θα έχει τη μορφή: . Για ράβδους κατασκευασμένες από εύθραυστα υλικά που αντιστέκονται άνισα στην τάση και τη συμπίεση, το σημάδι τάσης είναι θεμελιώδους σημασίας και η συνθήκη αντοχής πρέπει να διαμορφωθεί ξεχωριστά για τάση και συμπίεση .Στην πρακτική των μηχανικών υπολογισμών, βάσει της συνθήκης αντοχής, επιλύονται τρία βασικά προβλήματα της μηχανικής των δομικών υλικών. Όπως εφαρμόζονται στην περίπτωση της τάσης (συμπίεσης) μιας πρισματικής ράβδου, αυτά τα προβλήματα διατυπώνονται ως εξής: Έλεγχος αντοχής (υπολογισμός επαλήθευσης). Αυτός ο υπολογισμός πραγματοποιείται εάν το τμήμα φορτίου της ράβδου φάκαι καθορίζεται το υλικό του Είναι απαραίτητο να βεβαιωθείτε ότι πληρούται η προϋπόθεση αντοχής Ο υπολογισμός της επαλήθευσης έγκειται στο γεγονός ότι προσδιορίζεται ο πραγματικός συντελεστής ασφάλειας nκαι σε σύγκριση με τον τυπικό παράγοντα ασφάλειας [n]: ΣυντελεστήςPoisson (δηλώνεται ως ν ή μ) χαρακτηρίζει τις ελαστικές ιδιότητες του υλικού. Όταν ασκείται δύναμη εφελκυσμού στο σώμα, αυτό αρχίζει να επιμηκύνεται (δηλαδή, το διάμηκες μήκος αυξάνεται) και η διατομή μειώνεται. Ο λόγος Poisson δείχνει πόσες φορές αλλάζει η διατομή ενός παραμορφώσιμου σώματος όταν αυτό τεντώνεται ή συμπιέζεται. Για ένα απολύτως εύθραυστο υλικό, η αναλογία Poisson είναι 0, για ένα απολύτως ελαστικό υλικό είναι 0,5. Για τους περισσότερους χάλυβες, αυτός ο συντελεστής βρίσκεται στην περιοχή του 0,3· για το καουτσούκ, είναι περίπου ίσος με 0,5. (Μετράται σε σχετικές μονάδες: mm/mm, m/m).

21. Δοκιμή εφελκυσμού υλικών. Διάγραμμα τεντώματος. Μηχανικά χαρακτηριστικά του υλικού. χαρακτηριστικά πλαστικότητας. Η έννοια των εύθραυστων και όλκιμων υλικών. Αληθινές και υπό όρους πιέσεις. Εάν το φορτίο είναι στατικό, τότε το κύριο είναι δοκιμή εφελκυσμού, στο οποίο εντοπίζονται οι σημαντικότερες ιδιότητες των υλικών. Για αυτό, κατασκευάζονται ειδικά δείγματα από το υπό δοκιμή υλικό. Τις περισσότερες φορές κατασκευάζονται κυλινδρικά (Εικ. 4.1, α) και τα επίπεδα δείγματα κατασκευάζονται συνήθως από λαμαρίνα (Εικ. 4.1, β).

όπου είναι η περιοχή διατομής του δείγματος, παίρνουμε για ένα μακρύ δείγμα

για ένα σύντομο δείγμα

Τα χαρακτηριστικά πλαστικότητας, τα οποία επηρεάζουν σημαντικά τα καταστροφικά πλάτη των παραμορφώσεων και τον αριθμό των κύκλων έως την αστοχία, δεν υπολογίζονται κατά την αξιολόγηση της στατικής αντοχής χρησιμοποιώντας τα παραπάνω περιθώρια ασφαλείας για την αντοχή και την αντοχή διαρροής. Ως εκ τούτου, στην πρακτική του σχεδιασμού κατασκευών κυκλικά φορτισμένων, η επιλογή των υλικών σύμφωνα με τα χαρακτηριστικά της στατικής αντοχής (αντοχή διαρροής και αντοχή) πραγματοποιείται στο στάδιο του προσδιορισμού των κύριων διαστάσεων. Το χαρακτηριστικό της μεταλλικής πλαστικότητας είναι το βάθος της οπής πριν εμφανιστεί η πρώτη ρωγμή Το χαρακτηριστικό της μεταλλικής πλαστικότητας είναι το βάθος της οπής πριν την καταστροφή του μετάλλου Το χαρακτηριστικό της πλαστικότητας των μετάλλων είναι η σχετική επιμήκυνση και η σχετική q. χαρακτηριστικό της πλαστικότητας των μετάλλων είναι η σχετική επιμήκυνση και η σχετική στένωση. Χαρακτηριστικό της μεταλλικής πλαστικότητας είναι το βάθος της οπής πριν εμφανιστεί η πρώτη ρωγμή Χαρακτηριστικό της μεταλλικής πλαστικότητας είναι το βάθος της οπής πριν από την καταστροφή του μετάλλου Χαρακτηριστικό της πλαστικότητας του μετάλλου και της ικανότητάς του να τραβιέται είναι το βάθος της εξωθημένης οπής τη στιγμή του σχηματισμού ρωγμών και η μείωση της δύναμης εξώθησης.

Ανάλογα με τον τύπο της παραμόρφωσης, όλα τα δομικά υλικά χωρίζονται σε πλαστικό και εύθραυστο. Τα πρώτα, κατά τη διάρκεια στατικών δοκιμών έως αστοχίας, δέχονται σημαντικές υπολειπόμενες παραμορφώσεις, τα δεύτερα αποτυγχάνουν χωρίς ορατή υπολειμματική παραμόρφωση. Παραδείγματα όλκιμων υλικών είναι τα περισσότερα μέταλλα, κράματα μετάλλων, πλαστικά. Τα εύθραυστα υλικά περιλαμβάνουν φυσικά και τεχνητά (με βάση ορυκτά συνδετικά) πέτρινα υλικά, χυτοσίδηρο, γυαλί, κεραμικά και ορισμένα θερμοσκληρυνόμενα πλαστικά.

Πλαστική ύλη- την ιδιότητα των στερεών υλικών να αλλάζουν χωρίς καταστροφή το σχήμα και τις διαστάσεις υπό την επίδραση φορτίου ή εσωτερικών τάσεων, διατηρώντας σταθερά το σχήμα που προκύπτει μετά τον τερματισμό αυτής της επίδρασης.

Σε αντίθεση με την πλαστικότητα εύθραυστο- η ιδιότητα των στερεών υλικών να καταρρέουν υπό την επίδραση μηχανικών τάσεων που προκύπτουν σε αυτά χωρίς αισθητή πλαστική παραμόρφωση - χαρακτηρίζει την αδυναμία του υλικού να χαλαρώνει (αποδυναμώνει) τάσεις, με αποτέλεσμα, όταν επιτευχθεί η αντοχή σε εφελκυσμό, εμφανίζονται ρωγμές στο υλικό και γρήγορα καταρρέει.

Οι τάσεις μπορεί να είναι: αληθής- όταν η δύναμη αναφέρεται στο τμήμα που υπάρχει τη στιγμή της παραμόρφωσης. υποθετικός- όταν η δύναμη σχετίζεται με την αρχική περιοχή διατομής. Οι πραγματικές διατμητικές τάσεις συμβολίζονται με t και κανονικό S, και υπό όρους, αντίστοιχα, με t και s. Οι κανονικές τάσεις χωρίζονται σε εφελκυστικές (θετικές) και θλιπτικές (αρνητικές).

22. Ενέργεια εφελκυστικής παραμόρφωσης. Θεώρημα Καστιλιάνο. Εφαρμογή του θεωρήματος του Καστιλιάνο

Ενέργεια καταπόνησηςείναι η ενέργεια που εισάγεται στο σώμα κατά την παραμόρφωσή του. Με ελαστικό χαρακτήρα, η παραμόρφωση είναι δυνητικής φύσης και δημιουργεί πεδίο τάσης. Στην περίπτωση της πλαστικής παραμόρφωσης, διαχέεται εν μέρει στην ενέργεια των ελαττωμάτων του κρυσταλλικού πλέγματος και τελικά διαχέεται με τη μορφή θερμικής ενέργειας

23. Επίπεδη κατάσταση τάσης. Διαξονική τάση-συμπίεση. Ο νόμος του ζευγαρώματος των εφαπτομενικών τάσεων. Καθαρή μετατόπιση. Δυνητική ενέργεια σε καθαρή διάτμηση

Επίπεδη κατάσταση τάσης. Ονομάζεται μια επίπεδη ή διαξονική κατάσταση τάσης, στην οποία μία από τις τρεις κύριες τάσεις είναι ίση με μηδέν.Για μια επίπεδη κατάσταση τάσης, διακρίνονται δύο προβλήματα - άμεσο και αντίστροφο. Στο άμεσο πρόβλημα, οι όψεις του εξεταζόμενου στοιχείου είναι οι κύριες περιοχές. s 1 ¹0, s 2 ¹0, s 3 \u003d 0 είναι γνωστές και απαιτείται ο προσδιορισμός των τάσεων sa και ta και sb και tb σε αυθαίρετες περιοχές. Στο αντίστροφο πρόβλημα, οι τάσεις σε δύο αμοιβαία αυθαίρετες κάθετες περιοχές s x , s y , t yx και t xy είναι γνωστές και απαιτείται να προσδιοριστεί η θέση των κύριων περιοχών και το μέγεθος των κύριων τάσεων.

Άμεσο πρόβλημα. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε την αρχή της ανεξαρτησίας της δράσης των δυνάμεων. Ας αναπαραστήσουμε μια κατάσταση επιπέδου τάσης ως άθροισμα δύο ανεξάρτητων γραμμικών καταστάσεων τάσεων: η πρώτη - υπό τη δράση μόνο τάσεων, η δεύτερη - υπό τη δράση μόνο τάσεων. Από κάθε τάση και το άγχος και σε αυθαίρετη περιοχή είναι ίσες Αντίστροφο πρόβλημα. Ας προσδιορίσουμε πρώτα τις τάσεις σε μια κεκλιμένη θέση με κλίση προς την αρχική, σε δεδομένες τάσεις σε δύο αμοιβαία αυθαίρετες κάθετες θέσεις s x , s y , t yx και t xy Οι συναρτήσεις Kc και bP είναι οι αντοχές του σκυροδέματος υπό διαξονική συμπίεση και διαξονική τάση.Αξίες Kc I br Θα συσχετίσουμε με τον συντελεστή Lode - NadaiMb \u003d (2β 2 - β 1 - β 3 ) : (β 1 - β 3 ), Λειτουργίες KcΚαι τα br καθορίζονται με βάση την επεξεργασία πειραματικών δεδομένων ΟΗ αντοχή του σκυροδέματος, αντίστοιχα, υπό διαξονική συμπίεση - τάσεις Β1 και β2Και διαξονική τάση - πιέσεις Β, β2.Στις κατασκευές, όπως ήδη αναφέρθηκε, χρησιμοποιούνται οι σχετικές τιμές των τάσεων Β1, Β2,σι 3 Ορίζεται από εκφράσεις (2.14). Ας επισημάνουμε πρώτα τα γενικά σχήματα για την επεξεργασία πειραμάτων και τις εκφράσεις που προκύπτουν για KcΚΑΙ 6r, και στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα πειραματικών μελετών Η συνάρτηση KcΕπιλέγεται έτσι ώστε υπό συνθήκες διαξονικής συμπίεσης οι τιμές του να συμπίπτουν με τις οριακές τιμές ΓιούχαΑπό αυτή την άποψη, κατά τον προσδιορισμό του, μπορεί κανείς να προχωρήσει με τον συνηθισμένο τρόπο: σε αδιάστατες συντεταγμένες ZU32Εφαρμόστε πειραματικά σημεία που αντιστοιχούν στην εξάντληση της αντοχής των πρωτοτύπων υπό συνθήκες διαξονικής συμπίεσης και στη συνέχεια ορίστε προσεγγίσεις της μορφής b για αυτά Kommersant= Kc = F(b2/b3)(βλ. 5 στην Εικ. 2.5, ΕΝΑ).Είναι ενδιάμεσοι. Η μορφή της ενδιάμεσης προσέγγισης προσδιορίζεται εδώ επίτηδες, καθώς οι συναρτήσεις αυτής της φόρμας μπορούν στη συνέχεια να μετατραπούν εύκολα σε τελικές συναρτήσεις της φόρμας Ks= f1(Mb ), Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (2.28). Ενδιάμεσο στάδιο λειτουργιών κτιρίου KcΜπορεί να παραλειφθεί εάν η κατασκευή από την αρχή γίνει σε συντεταγμένες Β3, MbΟ νόμος του ζευγαρώματος των διατμητικές τάσεις καθορίζει τη σχέση μεταξύ των μεγεθών και των κατευθύνσεων των ζευγών διατμητικών τάσεων που δρουν σε αμοιβαία κάθετες περιοχές ενός στοιχειώδους παραλληλεπίπεδου Θεωρήστε ένα στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο διαστάσεων dx, dy, dz (Εικ. 12). Γράφουμε την εξίσωση ισορροπίας του παραλληλεπίπεδου ως το άθροισμα των ροπών γύρω από τον άξονα, παίρνουμε: από όπου παίρνουμε Ομοίως, μπορούμε να πάρουμε Αυτός είναι ο νόμος του ζευγαρώματος των εφαπτομενικών τάσεων Οι εφαπτομενικές τάσεις κατά μήκος δύο αμοιβαία κάθετων περιοχών είναι ίσες σε μέγεθος και απέναντι σε πρόσημο. ΜΙΑ ΚΑΘΑΡΗ ΑΛΛΑΓΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΤΕΤΟΙΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΡΕΣ ΣΥ-

ΣΤΑΘΜΟΣ ΣΤΟΝ ΟΠΟΙΟ ΚΟΝΤΑ ΣΕ ΔΟΜΕΝΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟΝ ΝΑ ΕΠΙΛΕΞΕΤΕ ΕΝΑ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕ ΠΛΑΪΡΕΣ ΠΡΟΣΩΠΕΣ ΚΑΤΩ ΤΗΣ ΔΡΑΣΗΣ

ΜΕ ΤΗ ΔΡΑΣΗ ΜΟΝΟ ΤΩΝ ΕΦΑΓΜΕΝΩΝ.

25. Στρέψη. Ροπές στρέψης και συστροφής. Κανόνας υπογραφής. Στατικές Διαφορικές και Ολοκληρωμένες Σχέσεις στη Στρέψη.

Συστροφή- ένας από τους τύπους παραμόρφωσης του σώματος. Εμφανίζεται όταν εφαρμόζεται ένα φορτίο σε ένα σώμα με τη μορφή ζεύγους δυνάμεων (ροπή) στο εγκάρσιο επίπεδο του. Σε αυτή την περίπτωση, μόνο ένας εσωτερικός παράγοντας δύναμης προκύπτει στις διατομές του αμαξώματος - ροπή. Τα ελατήρια τάσης-συμπίεσης και οι άξονες λειτουργούν στη στρέψη.

Στιγμή δύναμης(συνώνυμα: ροπή, ροπή, ροπή, ροπή) - ένα διανυσματικό φυσικό μέγεθος ίσο με το γινόμενο του διανύσματος ακτίνας που αντλείται από τον άξονα περιστροφής μέχρι το σημείο εφαρμογής της δύναμης από το διάνυσμα αυτής της δύναμης. Χαρακτηρίζει την περιστροφική δράση της δύναμης σε ένα άκαμπτο σώμα.

Οι έννοιες των ροπών "περιστροφής" και "ροπής" γενικά δεν είναι πανομοιότυπες, επειδή στην τεχνολογία η έννοια της "περιστρεφόμενης" ροπής θεωρείται ως μια εξωτερική δύναμη που εφαρμόζεται σε ένα αντικείμενο και η "ροπή" είναι μια εσωτερική δύναμη που εμφανίζεται σε ένα αντικείμενο. υπό τη δράση των εφαρμοζόμενων φορτίων ( αυτή η έννοια χρησιμοποιείται στην αντίσταση των υλικών).

28. Ροπές αδράνειας. Κύριοι άξονες αδράνειας. Μεταβολή των ροπών αδράνειας σε παράλληλη μεταφορά αξόνων συντεταγμένων. Παραδείγματα Η ροπή αδράνειας είναι ένα βαθμωτό φυσικό μέγεθος, ένα μέτρο της αδράνειας ενός σώματος σε περιστροφική κίνηση γύρω από έναν άξονα, όπως η μάζα ενός σώματος είναι ένα μέτρο της αδράνειας του στη μεταφορική κίνηση. Χαρακτηρίζεται από την κατανομή των μαζών στο σώμα: η ροπή αδράνειας ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών μαζών και το τετράγωνο των αποστάσεων τους από το βασικό σύνολο (σημείο, ευθεία ή επίπεδο). Μονάδα SI: kg m². Ονομασία: I ή J.

Η ροπή αδράνειας ενός μηχανικού συστήματος σε σχέση με έναν σταθερό άξονα («αξονική ροπή αδράνειας») είναι ένα φυσικό μέγεθος Ja, ίσο με το άθροισμα των γινομένων των μαζών και των n υλικών σημείων του συστήματος και των τετραγώνων των αποστάσεις από τον άξονα: πού: mi- μάζα ι-ουσημεία, ri - απόσταση από i-ο σημείοπρος τον άξονα.

Οι φυγόκεντρες ροπές αδράνειας ενός σώματος ως προς τους άξονες ενός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων είναι οι ακόλουθες ποσότητες: όπου x, y και z είναι οι συντεταγμένες ενός μικρού στοιχείου του σώματος με όγκο dV, πυκνότητα ρ και μάζα dm. Ο άξονας OX ονομάζεται κύριος άξονας αδράνειας του σώματος αν οι φυγόκεντρες ροπές αδράνειας Jxy και Jxz είναι ταυτόχρονα ίσο με μηδέν. Τρεις κύριοι άξονες αδράνειας μπορούν να συρθούν σε κάθε σημείο του σώματος. Αυτοί οι άξονες είναι αμοιβαία κάθετοι μεταξύ τους. Οι ροπές αδράνειας του σώματος ως προς τους τρεις κύριους άξονες αδράνειας που χαράσσονται σε ένα αυθαίρετο σημείο Ο του σώματος ονομάζονται κύριες ροπές αδράνειας του σώματος.Οι κύριοι άξονες αδράνειας που διέρχονται από το κέντρο μάζας του σώματος ονομάζονται οι κύριοι κεντρικοί άξονες αδράνειας του σώματος, και οι ροπές αδράνειας γύρω από αυτούς τους άξονες ονομάζονται κύριες κεντρικές ροπές αδράνειας. Ο άξονας συμμετρίας ενός ομογενούς σώματος είναι πάντα ένας από τους κύριους κεντρικούς άξονες αδράνειας του Τύποι για τις ροπές αδράνειας με παράλληλη μετάφραση των αξόνων: Jx1= (y+a)2dA=Jx+2aSx+a2A; Jy1= (x+b)2dA=Jy+2bSy+b2A; Jx1y1= (y+a)(x+b)dA=Jxy+aSy+bSx+abA

29. Αλλαγή των ροπών αδράνειας κατά την περιστροφή των αξόνων συντεταγμένων. Η θέση των κύριων αξόνων αδράνειας.

Αλλαγή των ροπών αδράνειας της τομής κατά την περιστροφή των αξόνων συντεταγμένων.Ας βρούμε τη σχέση μεταξύ των ροπών αδράνειας ως προς τους άξονες x, y και των ροπών αδράνειας ως προς τους άξονες x1, y1, που περιστρέφονται κατά γωνία α. Έστω Jx > Jy και η θετική γωνία a μετριέται αριστερόστροφα από τον άξονα x. Έστω οι συντεταγμένες του σημείου Μ πριν από τη στροφή x, y, μετά τη στροφή - x1, y1 (Εικ. 4.12).

ΚΑΙ Από το σχήμα προκύπτει: Τώρα προσδιορίζουμε τις ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες x1 και y1:

ή παρόμοια:

Προσθέτοντας τις εξισώσεις όρο προς όρο (4.21), (4.22), παίρνουμε: δηλ. το άθροισμα των ροπών αδράνειας για οποιονδήποτε αμοιβαίο κάθετο άξονες παραμένει σταθερό και δεν αλλάζει όταν περιστρέφεται το σύστημα συντεταγμένων.

Οι άξονες γύρω από τους οποίους η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας είναι μηδέν και οι αξονικές ροπές αδράνειας παίρνουν ακραίες τιμές ονομάζονται βασικούς άξονες. Εάν αυτοί οι άξονες είναι επίσης κεντρικοί, τότε ονομάζονται κύριοι κεντρικοί άξονες. Οι αξονικές ροπές αδράνειας ως προς τους κύριους άξονες ονομάζονται κύριες ροπές αδράνειας.

30. Η έννοια της άμεσης, καθαρής και λοξής κάμψης. Σημάδι κανόνες για εσωτερικούς παράγοντες δύναμης στην κάμψη. Στατικές διαφορικές και ολοκληρωτικές σχέσεις στην κάμψη

Η κάμψη λέγεταιτύπος φόρτισης μιας ράβδου, στην οποία εφαρμόζεται μια ροπή σε αυτήν, που βρίσκεται σε ένα επίπεδο που διέρχεται από τον διαμήκη άξονα. Στις διατομές της δοκού συμβαίνουν ροπές κάμψης. στροφή ονομάζεται επίπεδη, αν το επίπεδο δράσης της ροπής διέρχεται από τον κύριο κεντρικό άξονα αδράνειας της τομής. Εάν η ροπή κάμψης είναι ο μόνος συντελεστής εσωτερικής δύναμης, τότε μια τέτοια κάμψη ονομάζεται ΚΑΘΑΡΗ.Με την παρουσία εγκάρσιας δύναμης, η κάμψη ονομάζεται εγκάρσια. Κάτω από μια λοξή κάμψηεννοείται μια τέτοια περίπτωση κάμψης στην οποία το επίπεδο της ροπής κάμψης δεν συμπίπτει με κανέναν από τους κύριους άξονες της διατομής (Εικ. 5.27, α). Η λοξή κάμψη θεωρείται πιο βολικά ως ταυτόχρονη κάμψη της δοκού σε σχέση με τους κύριους άξονες x και y της διατομής της δοκού. Για να γίνει αυτό, το γενικό διάνυσμα της ροπής κάμψης M, που ενεργεί στη διατομή της δοκού, αποσυντίθεται σε συνιστώσες της ροπής σε σχέση με αυτούς τους άξονες (Εικ. 5.27, β): Mx = M × sina; My = M×cosa Μια ράβδος που λειτουργεί στην κάμψη ονομάζεται δοκός. Π κανόνας υπογραφής για:συμφωνούμε να θεωρήσουμε την εγκάρσια δύναμη στο τμήμα ως θετική εάν το εξωτερικό φορτίο που εφαρμόζεται στο εξεταζόμενο τμήμα αποκοπής τείνει να περιστρέφει αυτό το τμήμα δεξιόστροφα και αρνητικό - διαφορετικά.

Σχηματικά, αυτός ο κανόνας σημείων μπορεί να αναπαρασταθεί ως: η ροπή κάμψης στην τομή είναι αριθμητικά ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στη μία πλευρά του εξεταζόμενου τμήματος, σε σχέση με τον άξονα x που διέρχεται από αυτό το τμήμα. Κανόνας υπογραφής για: συμφωνούμε να θεωρήσουμε τη ροπή κάμψης στο τμήμα ως θετική εάν το εξωτερικό φορτίο που εφαρμόζεται στο εξεταζόμενο τμήμα αποκοπής οδηγεί σε τάση στο δεδομένο τμήμα των κάτω ινών της δοκού και αρνητικό - διαφορετικά.

Σχηματικά, αυτός ο κανόνας σημείων μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι όταν χρησιμοποιείτε τον κανόνα πρόσημου για στην υποδεικνυόμενη μορφή, το διάγραμμα αποδεικνύεται πάντα ότι είναι κατασκευασμένο από την πλευρά των συμπιεσμένων ινών της δοκού. Διαφορικές εξαρτήσεις στην κάμψη:

Μπορείτε να σχεδιάσετε όσους κεντρικούς άξονες θέλετε. Το ερώτημα είναι αν είναι δυνατόν να εκφραστεί η ροπή αδράνειας για οποιονδήποτε κεντρικό άξονα ανάλογα με τη ροπή αδράνειας για έναν ή δύο συγκεκριμένους άξονες. Για να γίνει αυτό, ας δούμε πώς θα αλλάξουν οι ροπές αδράνειας περίπου δύο αμοιβαία κάθετοι άξονες όταν περιστρέφονται σε μια γωνία.

Ας πάρουμε οποιοδήποτε σχήμα και ας τραβήξουμε μέσα από το κέντρο βάρους του O δύο κάθετους άξονες Oy και Oz (Εικ. 2).

Ρύζι. 2.

Ενημερώστε μας τις αξονικές ροπές αδράνειας για αυτούς τους άξονες, καθώς και τη φυγόκεντρη ροπή αδράνειας. Ας σχεδιάσουμε το δεύτερο σύστημα άξονες συντεταγμένωνκαι κλίση προς την πρώτη υπό γωνία. Η θετική κατεύθυνση αυτής της γωνίας θα ληφθεί υπόψη όταν οι άξονες περιστρέφονται γύρω από το σημείο Ο αριστερόστροφα. Η αρχή των συντεταγμένων O αποθηκεύεται. Ας εκφράσουμε τις ροπές σε σχέση με το δεύτερο σύστημα αξόνων συντεταγμένων u ως προς τις γνωστές ροπές αδράνειας u.

Ας γράψουμε εκφράσεις για τις στιγμές αδράνειας για αυτούς τους άξονες:

Από το σχέδιο φαίνεται ότι οι συντεταγμένες της θέσης dF στο σύστημα των περιστρεφόμενων αξόνων θα είναι:

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές σε τύπους (14.9), λαμβάνουμε:

ή ροπή αδράνειας επίπεδος άξονας

Ομοίως:

Τα δύο πρώτα ολοκληρώματα των παραστάσεων (4) και (5) αντιπροσωπεύουν τις αξονικές ροπές αδράνειας και το τελευταίο είναι η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας της περιοχής γύρω από αυτούς τους άξονες. Τότε:

Για την επίλυση προβλημάτων, μπορεί να χρειαστείτε τύπους για τη μετάβαση από τον έναν άξονα στον άλλο για τη φυγόκεντρη ροπή αδράνειας. Κατά την περιστροφή των αξόνων (Εικ. 2) έχουμε:

όπου και υπολογίζονται με τους τύπους (14.10). τότε

Μετά από μετασχηματισμούς, παίρνουμε:

Έτσι, για να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας για οποιονδήποτε κεντρικό άξονα, πρέπει να γνωρίζετε τις ροπές αδράνειας και το σύστημα δύο περίπου κάθετων κεντρικών αξόνων Oy και Oz, τη φυγόκεντρη ροπή αδράνειας για τους ίδιους άξονες και τη γωνία της κλίσης του άξονα προς τον άξονα y.

Για να υπολογίσετε τις τιμές \u003e, πρέπει να επιλέξετε τους άξονες y και z με τέτοιο τρόπο και να διαιρέσετε την περιοχή του σχήματος σε τέτοια συστατικά μέρη για να μπορείτε να κάνετε αυτόν τον υπολογισμό χρησιμοποιώντας μόνο το τύπους για τη μετάβαση από τους κεντρικούς άξονες καθενός από τα συστατικά μέρη στους άξονες που είναι παράλληλοι με αυτούς. Πώς να το κάνετε αυτό στην πράξη θα παρουσιαστεί παρακάτω με ένα παράδειγμα. Σημειώστε ότι σε αυτόν τον υπολογισμό, τα σύνθετα στοιχεία πρέπει να χωριστούν σε τέτοια στοιχειώδη μέρη, για τα οποία, εάν είναι δυνατόν, είναι γνωστές οι τιμές των κεντρικών ροπών αδράνειας σε σχέση με το σύστημα των αμοιβαία κάθετων αξόνων.

Σημειώστε ότι η πορεία της παραγωγής και τα αποτελέσματα που προέκυψαν δεν θα άλλαζαν εάν η αρχή των συντεταγμένων δεν λαμβανόταν στο κέντρο βάρους της τομής, αλλά σε οποιοδήποτε άλλο σημείο O. Έτσι, οι τύποι (6) και (7) είναι τύποι για τη μετάβαση από ένα σύστημα αμοιβαία κάθετων αξόνων σε ένα άλλο που περιστρέφεται κατά κάποια γωνία, ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για κεντρικούς άξονες ή όχι.

Από τους τύπους (6) μπορεί κανείς να αποκτήσει μία ακόμη σχέση μεταξύ των ροπών αδράνειας όταν οι άξονες περιστρέφονται. Προσθέτοντας τις εκφράσεις για και παίρνουμε

εκείνοι. το άθροισμα των ροπών αδράνειας ως προς τυχόν αμοιβαία κάθετους άξονες y και z δεν αλλάζει όταν αυτοί περιστρέφονται. Αντικαθιστώντας την τελευταία έκφραση και τις τιμές τους, παίρνουμε:

όπου είναι η απόσταση των πλατφορμών dF από το σημείο Ο. Η τιμή είναι, όπως είναι ήδη γνωστό, η πολική ροπή αδράνειας της τομής σε σχέση με το σημείο Ο.

Έτσι, η πολική ροπή αδράνειας της τομής ως προς οποιοδήποτε σημείο είναι ίση με το άθροισμα των αξονικών ροπών αδράνειας ως προς τους αμοιβαία κάθετους άξονες που διέρχονται από αυτό το σημείο. Επομένως, αυτό το άθροισμα παραμένει σταθερό όταν οι άξονες περιστρέφονται. Αυτή η εξάρτηση (14.16) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να απλοποιήσει τον υπολογισμό των ροπών αδράνειας. Έτσι, για έναν κύκλο:

Επειδή, κατά συμμετρία για έναν κύκλο,

που προέκυψε παραπάνω με ενσωμάτωση.

Το ίδιο μπορεί να ληφθεί για μια δακτυλιοειδή τομή με λεπτά τοιχώματα.