Αποτελέσματα γραμμικών συντελεστών προσέγγισης. Τμηματική γραμμική προσέγγιση Προσέγγιση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης κατά σημεία

Μεταξύ των διαφόρων μεθόδων πρόβλεψης, είναι αδύνατο να μην ξεχωρίσουμε την προσέγγιση. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να κάνετε κατά προσέγγιση υπολογισμούς και να υπολογίσετε προγραμματισμένους δείκτες αντικαθιστώντας τα αρχικά αντικείμενα με πιο απλά. Στο Excel, υπάρχει επίσης η δυνατότητα χρήσης αυτής της μεθόδου για πρόβλεψη και ανάλυση. Ας δούμε πώς μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η μέθοδος στο καθορισμένο πρόγραμμα με ενσωματωμένα εργαλεία.

Το όνομα αυτής της μεθόδου προέρχεται από τη λατινική λέξη proxima - «πλησιέστερη» Είναι η προσέγγιση με την απλοποίηση και εξομάλυνση γνωστών δεικτών, παρατάσσοντάς τους σε μια τάση που αποτελεί τη βάση της. Αλλά αυτή τη μέθοδομπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για την πρόβλεψη, αλλά και για τη μελέτη των υφιστάμενων αποτελεσμάτων. Εξάλλου, η προσέγγιση είναι στην πραγματικότητα μια απλοποίηση των αρχικών δεδομένων και η απλοποιημένη έκδοση είναι πιο εύκολο να μελετηθεί.

Το κύριο εργαλείο με το οποίο πραγματοποιείται η εξομάλυνση στο Excel είναι η κατασκευή μιας γραμμής τάσης. Η ουσία είναι ότι με βάση τους υφιστάμενους δείκτες, ολοκληρώνεται το γράφημα της συνάρτησης για μελλοντικές περιόδους. Ο κύριος σκοπός της γραμμής τάσης, όπως μπορείτε να μαντέψετε, είναι να κάνει προβλέψεις ή να προσδιορίσει μια γενική τάση.

Αλλά μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας έναν από τους πέντε τύπους προσέγγισης:

• Γραμμικός;
• εκθετικός;
• λογαριθμική?
• πολυώνυμος;
• Εξουσία.

Ας εξετάσουμε κάθε μία από τις επιλογές με περισσότερες λεπτομέρειες ξεχωριστά.

Μέθοδος 1: Γραμμική εξομάλυνση

Πρώτα απ 'όλα, ας εξετάσουμε την απλούστερη έκδοση της προσέγγισης, δηλαδή τη χρήση μιας γραμμικής συνάρτησης. Θα σταθούμε σε αυτό λεπτομερέστερα, αφού θα αναφέρουμε τα γενικά σημεία που είναι χαρακτηριστικά άλλων μεθόδων, δηλαδή την γραφική παράσταση και ορισμένες άλλες αποχρώσεις, στις οποίες δεν θα σταθούμε όταν εξετάζουμε τις επόμενες επιλογές.

Πρώτα απ 'όλα, ας φτιάξουμε ένα γράφημα, με βάση το οποίο θα πραγματοποιήσουμε τη διαδικασία εξομάλυνσης. Για να δημιουργήσουμε ένα γράφημα, ας πάρουμε έναν πίνακα στον οποίο το κόστος μιας μονάδας παραγωγής που παράγεται από την επιχείρηση και το αντίστοιχο κέρδος σε μια δεδομένη περίοδο αναφέρονται σε μηνιαία βάση. Γραφική λειτουργία, που θα κατασκευάσουμε, θα εμφανίζει την εξάρτηση της αύξησης του κέρδους από τη μείωση του κόστους παραγωγής.

Η εξομάλυνση που χρησιμοποιείται σε αυτή την περίπτωση περιγράφεται από τον ακόλουθο τύπο:

Στη συγκεκριμένη περίπτωσή μας, ο τύπος έχει την ακόλουθη μορφή:

y=-0,1156x+72,255

Η τιμή της αξιοπιστίας προσέγγισης είναι ίση με 0,9418 , το οποίο είναι ένα αρκετά αποδεκτό αποτέλεσμα που χαρακτηρίζει την εξομάλυνση ως αξιόπιστη.

Μέθοδος 2: Εκθετική προσέγγιση

Τώρα ας δούμε τον εκθετικό τύπο προσέγγισης στο Excel.

Η γενική μορφή της συνάρτησης εξομάλυνσης είναι η εξής:

που μιείναι η βάση του φυσικού λογάριθμου.

Στη συγκεκριμένη περίπτωσή μας, ο τύπος είχε την ακόλουθη μορφή:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Μέθοδος 3: λογαριθμική εξομάλυνση

Τώρα είναι η σειρά να εξετάσουμε τη μέθοδο της λογαριθμικής προσέγγισης.

V γενική εικόναο τύπος εξομάλυνσης μοιάζει με αυτό:

που lnείναι ο φυσικός λογάριθμος. Εξ ου και το όνομα της μεθόδου.

Στην περίπτωσή μας, ο τύπος έχει την ακόλουθη μορφή:

y=-62,81ln(x)+404,96

Μέθοδος 4: Πολυωνυμική εξομάλυνση

Ήρθε η ώρα να εξετάσουμε τη μέθοδο της πολυωνυμικής εξομάλυνσης.

Ο τύπος που περιγράφει αυτόν τον τύπο εξομάλυνσης έχει την ακόλουθη μορφή:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Μέθοδος 5: εξομάλυνση ισχύος

Συμπερασματικά, εξετάστε τη μέθοδο προσέγγισης ισχύος στο Excel.

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται αποτελεσματικά σε περιπτώσεις έντονης αλλαγής δεδομένων συνάρτησης. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι αυτή η επιλογή είναι εφαρμόσιμη μόνο εάν η συνάρτηση και το όρισμα δεν λαμβάνουν αρνητικές ή μηδενικές τιμές.

Ο γενικός τύπος που περιγράφει αυτή τη μέθοδο είναι ο ακόλουθος:

Στη συγκεκριμένη περίπτωσή μας, μοιάζει με αυτό:

y = 6E+18x^(-6,512)

Όπως μπορείτε να δείτε, όταν χρησιμοποιήσαμε τα συγκεκριμένα δεδομένα που χρησιμοποιήσαμε για το παράδειγμα, η μέθοδος πολυωνυμικής προσέγγισης με πολυώνυμο έκτου βαθμού έδειξε το υψηλότερο επίπεδο αξιοπιστίας ( 0,9844 ), το χαμηλότερο επίπεδο αξιοπιστίας για τη γραμμική μέθοδο ( 0,9418 ). Αλλά αυτό δεν σημαίνει καθόλου ότι θα είναι η ίδια τάση όταν χρησιμοποιούνται άλλα παραδείγματα. Όχι, το επίπεδο αποτελεσματικότητας των παραπάνω μεθόδων μπορεί να ποικίλλει σημαντικά, ανάλογα με τον συγκεκριμένο τύπο λειτουργίας για τον οποίο θα κατασκευαστεί η γραμμή τάσης. Επομένως, εάν η επιλεγμένη μέθοδος είναι η πιο αποτελεσματική για αυτήν τη λειτουργία, αυτό δεν σημαίνει καθόλου ότι θα είναι και η βέλτιστη σε άλλη κατάσταση.

Εάν δεν μπορείτε να προσδιορίσετε αμέσως, με βάση τις παραπάνω συστάσεις, ποιος τύπος προσέγγισης είναι κατάλληλος ειδικά για την περίπτωσή σας, τότε είναι λογικό να δοκιμάσετε όλες τις μεθόδους. Αφού σχεδιάσετε τη γραμμή τάσης και δείτε το επίπεδο εμπιστοσύνης της, μπορείτε να επιλέξετε την καλύτερη επιλογή.

Προσέγγιση, ή προσέγγιση- μια επιστημονική μέθοδος που συνίσταται στην αντικατάσταση ορισμένων αντικειμένων με άλλα, με τη μια ή την άλλη έννοια κοντά στην αρχική, αλλά πιο απλή. Τα προβλήματα που συζητούνται σε αυτήν την ενότητα και στην επόμενη χρησιμοποιούν τα αρχικά δεδομένα που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της ταξινόμησης μιας δεδομένης συνάρτησης. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι σε πραγματικά προβλήματα, τα αρχικά δεδομένα είναι τα αποτελέσματα των παρατηρήσεων (διεξαγωγή πειραμάτων, επιστημονικά πειράματα, παρατήρηση πραγματικών γεγονότων κ.λπ.), τα οποία υπόκεινται σε σφάλματα μέτρησης και άλλους τυχαίους παράγοντες. Το καθήκον του ερευνητή είναι να επιλέξει από τα σημεία εκκίνησης (τα οποία εκ πρώτης όψεως βρίσκονται χαοτικά) μια λειτουργική εξάρτηση (αν είναι δυνατόν), η οποία ο καλύτερος τρόποςπεριγράφει τη διανομή των αρχικών δεδομένων και, σε ορισμένες περιπτώσεις, προσπαθεί να κάνει μια πρόβλεψη περαιτέρω εξέλιξης (για παράδειγμα, μια μελέτη της χρονοσειράς των μεταβολών των τιμών των μετοχών).

Ασκηση. Δημιουργήστε έναν πίνακα τιμών συναρτήσεων F(x)=ax²+bx+cΓια 11 τιμές επιχειρήματος Χστο εύρος –1 ≤ x ≤ +1. Σχεδιάστε αυτή τη συνάρτηση και, στη συνέχεια, εφαρμόστε δύο τύπους γραμμών τάσης. Χρησιμοποιώντας γραμμές τάσης, δημιουργήστε μια πρόβλεψη για δύο μελλοντικές περιόδους.

Όπως και στις προηγούμενες εργασίες, εισάγουμε τα αρχικά δεδομένα: την αρχική τιμή του ορίσματος συνάρτησης xn, τελική τιμή του ορίσματος συνάρτησης Xk, αριθμός σημείων διαχωρισμού συναρτήσεων (αριθμός σειρών πίνακα) Ν, ο τύπος για το βήμα ορίσματος συνάρτησης dX, συντελεστές ένα, σι, ντο, στη συνέχεια δημιουργούμε τον κεντρικό πίνακα και κατασκευάζουμε ένα γράφημα (όλες αυτές οι ενέργειες περιγράφηκαν αναλυτικά στην ενότητα):

Γραμμές τάσης σε ένα γράφημα

Οι γραμμές τάσεων σάς επιτρέπουν να εμφανίζετε γραφικά τις τάσεις δεδομένων και να προβλέψετε μελλοντικές αλλαγές. Μια τέτοια ανάλυση ονομάζεται επίσης ανάλυση παλινδρόμησης. Χρησιμοποιώντας την ανάλυση παλινδρόμησης, μπορείτε να επεκτείνετε μια γραμμή τάσης σε ένα γράφημα πέρα ​​από τα πραγματικά δεδομένα για να προβλέψετε μελλοντικές τιμές.

Οι γραμμές τάσης μπορούν να αποτυπωθούν σε όλα τα 2D γραφήματα(Δεν είναι δυνατή η προσθήκη γραμμών τάσης σε γραφήματα 3D, Radar, Pie, Donut και Bubble.)

Υπάρχουν έξι διάφορα είδηγραμμές τάσης:

• Γραμμικός
• Πολυώνυμος
• λογαριθμική
• Εκθετικός
• Εξουσία

Οι γραμμές τάσης που προστίθενται στο γράφημα μιας συνάρτησης δεν επηρεάζουν τα ίδια τα δεδομένα και το αρχικό γράφημα με κανέναν τρόπο.

Τύποι για τον υπολογισμό των γραμμών τάσης

Γραμμικός. Χρησιμοποιείται για γραμμική προσαρμογή ελαχίστων τετραγώνων δεδομένων σύμφωνα με την εξίσωση:

που: Μ - γωνία κλίσης, σι - η συντεταγμένη της τομής του άξονα της τετμημένης.

Πολυώνυμος. Χρησιμοποιείται για πολυωνυμική ή καμπυλόγραμμη προσαρμογή ελαχίστων τετραγώνων δεδομένων σύμφωνα με την εξίσωση:

που: σι , γ 1 , γ 2 , … από 6 - σταθερές.

Μπορείτε να ορίσετε το βαθμό του πολυωνύμου από 2 έως 6.

λογαριθμική. Χρησιμοποιείται για την καταγραφή του ελάχιστου τετραγώνου των δεδομένων σύμφωνα με την εξίσωση:

που: ντο και σι - σταθερές, lnείναι η φυσική συνάρτηση λογάριθμου.

Εκθετικός. Χρησιμοποιείται για την εκθετική προσαρμογή των δεδομένων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων σύμφωνα με την εξίσωση:

που: ντο και σι - σταθερές, μιείναι η βάση του φυσικού λογάριθμου.

Εξουσία. Χρησιμοποιείται για έναν νόμο ισχύος ελάχιστων τετραγώνων που ταιριάζουν σε δεδομένα σύμφωνα με την εξίσωση:

που: ντο και σι - σταθερές.

Σημείωση. Οι προσεγγίσεις εκθετικής και ισχύος δεν είναι διαθέσιμες εάν οι τιμές της συνάρτησης F(x)περιέχει αρνητικές ή μηδενικές τιμές. Επιπλέον, οι λογαριθμικοί και οι τύποι ισχύος της προσέγγισης δεν είναι διαθέσιμοι εάν οι τιμές του ορίσματος συνάρτησης Χπεριέχει αρνητικές ή μηδενικές τιμές. Δεδομένου ότι οι εργασίες για εργαστηριακές εργασίες χρησιμοποιούν μια αρνητική τιμή του κάτω ορίου του ορίσματος xn (x0), μην επιλέγετε τους τύπους λογαριθμικής και ισχύος προσέγγισης!

Ένας κινητός μέσος όρος είναι μια μέση τιμή για μια συγκεκριμένη περίοδο:

Στο γράφημα, μια γραμμή που σχεδιάζεται από σημεία κινητού μέσου όρου σάς επιτρέπει να δημιουργήσετε μια ομαλή καμπύλη που δείχνει πιο καθαρά το μοτίβο στην ανάπτυξη των δεδομένων.

Προσθήκη γραμμής τάσης στη σειρά δεδομένων

Επιλέξτε το γράφημα (κάντε κλικ οπουδήποτε στο γράφημα), μετά από το οποίο θα εμφανιστούν τρεις πρόσθετες καρτέλες στην κορδέλα μενού: Κατασκευαστής , Διάταξη και Μορφή . Στην καρτέλα Διάταξη στην Ομάδα Ανάλυση κάντε κλικ στο κουμπί .

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΥ ΚΡΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΝΩΤΕΡΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΕΘΝΙΚΟ ΟΡΥΚΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

"ΒΟΥΝΟ"

Τμήμα ΑΤΠΠ

Μαθηματικές μέθοδοι επεξεργασίας δεδομένων

Εργαστήριο #2

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ

Γίνεται από μαθητή γρ.ΑΠΜ-13 ____ __________ /Ozerov B.A./

(υπογραφή) (πλήρες όνομα)

τετραγωνισμένος : Επίκουρος Καθηγητής­­­­­___________ / Ivanov P.V./

(υπογραφή) (πλήρες όνομα)

Αγία Πετρούπολη

Σκοπός:μελέτη πρακτικών μεθόδων εύρεσης των συντελεστών εξαρτήσεων γραμμικής και μη γραμμικής παλινδρόμησης και εκτίμηση της ακρίβειας προσέγγισης χρησιμοποιώντας το περιβάλλον λογισμικού MathCad.

Γραμμική προσέγγιση.

Δεδομένος:

Μέθοδοι προσέγγισης:

γραμμή;

2) λύση συστήματος γραμμικές εξισώσειςμε τη βοήθεια της κατασκευής Δόθηκε-Βρείτε.

Ολοκληρώνοντας την εργασία:

1) επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση γραμμή.

Φτιάχνουμε μια μήτρα με δεδομένες τιμές για εμάς, δηλαδή x και y. Η συνάρτηση γραμμής απλά υπολογίζει γρήγορο τρόπο, βρίσκει άγνωστους συντελεστές. Παίρνουμε τους επιθυμητούς συντελεστές. Η καταχώρηση στο πρόγραμμα MathCad φαίνεται στο Σχ. 1

εικ.1 λύση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη χρήση της συνάρτησης γραμμή

σε ένα πρόγραμμα MathCad

2) Κατασκευή Δόθηκε-Βρείτεχρησιμοποιεί μια μέθοδο υπολογισμού που βασίζεται στην εύρεση μιας ρίζας κοντά στο σημείο αρχικής προσέγγισης.

Στο μπλοκ Δοσμένο, γράφεται ένα σύστημα εξισώσεων (ανισώσεων) που πρέπει να λυθούν. Το σύστημα των εξισώσεων πρέπει να γράφεται μετά ή στα δεξιά του Given. Πριν από τη λέξη Δεδομένα, πρέπει να καθορίσετε τις αρχικές προσεγγίσεις για όλες τις μεταβλητές. Ένα σημάδι του τέλους του συστήματος είναι το Find.

Αρχικά, ορίζουμε τον πίνακα των δεδομένων τιμών σε εμάς, δηλαδή x και y. Και ορίζουμε την αρχική προσέγγιση Α και Β, από την οποία θα αρχίσουμε να αναζητούμε τις τιμές της γραμμικής εξίσωσης Ax + B = y. Στη συνέχεια εισάγουμε την υπηρεσιακή λέξη Given και μετά σημειώνουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας το έντονο σύμβολο ίσου. Και στο τέλος, γράψτε τη συνάρτηση Εύρεση με άγνωστες μεταβλητές ως παράμετρο. Παίρνουμε τους επιθυμητούς συντελεστές. Η καταχώρηση στο πρόγραμμα MathCad φαίνεται στην Εικ. 2

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, γράφουμε εξισώσεις που γράφουμε μετά τη λέξη Δίνεται:

Εικ.2 λύση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με χρήση της κατασκευής Δόθηκε-Βρείτε

σε ένα πρόγραμμα MathCad

Υπολογίσαμε τους συντελεστές του προσεγγιστικού πολυωνύμου της γραμμικής εξίσωσης με δύο διαφορετικούς τρόπους. Ταίριαξαν: (a=A, b=B)

Σκεφτείτε τον χώρο Hilbert πραγματικές λειτουργίες, τετράγωνο-ενσωματώσιμο με βάρος στο . Ο κανόνας σε αυτό είναι όπου το προϊόν κουκίδων ορίζεται ως εξής:

Η φυσική σημασία της συνάρτησης βάρους θα εξηγηθεί στην Ενότητα 4. Ας επιλέξουμε τον γραμμικό συνδυασμό (37) ως συνάρτηση κατά προσέγγιση. Αντικαθιστώντας το στην καλύτερη συνθήκη προσέγγισης (36), λαμβάνουμε

Εξισώνοντας τις παραγώγους ως προς τους συντελεστές στο μηδέν, παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Η ορίζουσα του είναι η ορίζουσα Gram των συναρτήσεων, αφού οι συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες, είναι μη μηδενική. Επομένως, η καλύτερη προσέγγιση ρίζας-μέσος τετραγώνου υπάρχει και είναι μοναδική. Για τον υπολογισμό του είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων (38).

Ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα συναρτήσεων μπορεί να είναι ορθογώνιο.

Ας σχηματίσουμε ήδη ένα ορθοκανονικό σύστημα, δηλ. τότε οι τύποι (38) απλοποιούνται πολύ και γίνονται βολικοί για υπολογισμούς

Αυτοί είναι συντελεστές Fourier, επομένως η καλύτερη προσέγγιση είναι ένα τμήμα της γενικευμένης σειράς Fourier.

Εάν οι συναρτήσεις σχηματίζουν ένα πλήρες ορθοκανονικό σύστημα, τότε δυνάμει της ισότητας Parseval

Αυτό σημαίνει ότι για το , το ποσοστό σφάλματος μειώνεται επ' αόριστον, δηλ. η καλύτερη προσέγγιση συγκλίνει το ριζικό μέσο τετράγωνο στο y και είναι δυνατή η προσέγγιση με οποιαδήποτε ακρίβεια.

Σημειώνουμε ότι εάν δεν είναι ορθογώνιες, τότε στο , η ορίζουσα Gram συνήθως τείνει στο μηδέν γρήγορα, το σύστημα (38) δεν ρυθμίζεται σωστά, δηλαδή, η επίλυσή του σχετίζεται με μεγάλη απώλεια ακρίβειας (βλ. Κεφάλαιο V) και άλλα από 5 - 6 όρους του αθροίσματος (37) δεν είναι σκόπιμο να ληφθούν. Η αριθμητική ορθογωνοποίηση της βάσης σε αυτή την περίπτωση οδηγεί επίσης σε μεγάλη απώλεια ακρίβειας. Επομένως, εάν χρειάζεστε μεγάλο αριθμό όρων, τότε πρέπει είτε να πραγματοποιήσετε ορθογωνοποίηση ακριβώς (αναλυτικά), είτε να χρησιμοποιήσετε έτοιμα συστήματα ορθογώνιων συναρτήσεων.

Κατά την παρεμβολή, συνήθως υποθέταμε ότι για την προσέγγιση ρίζας-μέσος τετραγώνου είναι πιο βολικό να ληφθούν ως πολυώνυμα ορθογώνια με δεδομένο βάρος. Τα πιο κοινά από αυτά είναι τα πολυώνυμα Jacobi (μια ειδική περίπτωση των οποίων είναι τα πολυώνυμα Legendre και Chebyshev), Laguerre και Hermite. Για την προσέγγιση περιοδικών συναρτήσεων, χρησιμοποιείται μια τριγωνομετρική σειρά. αντιστοιχεί.Στο Παράρτημα δίνεται περίληψη τύπων για ορθογώνια πολυώνυμα.

Όλα τα συστήματα συναρτήσεων που αναφέρονται παραπάνω είναι πλήρη, έτσι ώστε οι καλύτερες προσεγγίσεις πάνω τους να συγκλίνουν ρίζα-μέσος-τετράγωνο για το αν είναι τετραγωνικό-ολοκληρώσιμο με ένα δεδομένο βάρος. Κάτω από ισχυρότερους περιορισμούς, λαμβάνει χώρα σύγκλιση σε όλα τα σημεία και ακόμη και ομοιόμορφη σύγκλιση. Παρουσιάζουμε κάποια αποτελέσματα χωρίς απόδειξη.

α) Μια σειρά σε πολυώνυμα Jacobi συγκλίνει σε μια συνεχή συνάρτηση y ομοιόμορφα αν υπάρχει συνεχής συνάρτηση για κάποια και αν . Συγκεκριμένα, για τα πολυώνυμα Chebyshev του πρώτου είδους αρκεί και για τα πολυώνυμα Chebyshev του δεύτερου είδους Για τα πολυώνυμα Legendre αποδεικνύεται ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα: η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα εάν υπάρχει όριο y

β) Αν η συνάρτηση είναι τμηματικά συνεχής και τμηματικά ομαλή και υπάρχει

τότε η σειρά στα πολυώνυμα Laguerre συγκλίνει στη συνάρτηση στα σημεία συνέχειας και στο μισό άθροισμα των μονόπλευρων ορίων στα σημεία ασυνέχειας. Αυτή η σύγκλιση, σε γενικές γραμμές, δεν είναι ομοιόμορφη.

γ) Αν η συνάρτηση y είναι τμηματικά συνεχής και τμηματικά ομαλή και υπάρχει

τότε η σειρά στα πολυώνυμα Ερμίτης συγκλίνει με τον ίδιο τρόπο όπως στην προηγούμενη παράγραφο.

δ) Εάν το y είναι περιοδικό και συνεχές, και το μέτρο συνέχειάς του ικανοποιεί την συνθήκη, τότε η τριγωνομετρική σειρά Fourier συγκλίνει ομοιόμορφα σε αυτήν σε ολόκληρη την περίοδο (δοκιμή Lipschitz). Συγκεκριμένα, αυτή η συνθήκη ικανοποιείται για μια συνάρτηση με δεσμευμένη παράγωγο. Εάν μια συνάρτηση έχει μια περιορισμένη παράγωγο και όλες οι κατώτερες παράγωγοι είναι συνεχείς, τότε ισχύουν οι ακόλουθες εκτιμήσεις για το σφάλμα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier και τις τιμές των επιμέρους συντελεστών:

όπου το Α είναι σταθερά. Μπορεί να φανεί ότι για μεγάλες η σειρά συγκλίνει γρήγορα. Αλλά αν είναι τμηματικά συνεχής, τότε ανεξάρτητα από το πόσες τμηματικές συνεχείς και δεσμευμένες παραγώγους έχει, οι συντελεστές Fourier της δεν μειώνονται γρηγορότερα και η σειρά συγκλίνει αργά (ή ακόμα και αποκλίνει).

Παρατήρηση 1. Η σύγκλιση δεν ήταν ομοιόμορφη σε όλες τις υπό εξέταση περιπτώσεις. Επιπλέον, δεν υπάρχει τέτοιο βάρος που να επεκτείνεται οποιαδήποτε συνεχής συνάρτηση σε μια ομοιόμορφα συγκλίνουσα σειρά σε πολυώνυμα ορθογώνια προς αυτό το βάρος. Οι Bois-Reymond και L. Feuer κατασκεύασαν παραδείγματα περιοδικών συνεχών συναρτήσεων για τις οποίες η τριγωνομετρική σειρά Fourier αποκλίνει σε μεμονωμένα σημεία.

Παρατήρηση 2. Η σύγκλιση της προσέγγισης ρίζας-μέσος-τετράγωνο είναι τόσο καλύτερη, τόσο λιγότερο η συνάρτηση έχει ιδιομορφίες - ασυνέχειες της ίδιας ή των παραγώγων της. Εάν είναι δυνατό να απομονωθούν τα κύρια χαρακτηριστικά με τη μορφή μιας απλής συνάρτησης και να προσεγγιστεί η διαφορά y, η ακρίβεια προσέγγισης βελτιώνεται σημαντικά.