Ықтимал орын ауыстырулар принципі. Динамиканың жалпы теңдеуі. Ықтимал орын ауыстырулар принципі бойынша тірек реакциясын есептеу Ықтимал орын ауыстырулар әдісі теориялық механика

Теориялық механика курсынан белгілі болғандай, объектінің тепе-теңдік шарты күш немесе энергетикалық тұжырымға ие болуы мүмкін. Бірінші нұсқа – денеге әсер ететін барлық күштер мен реакциялардың негізгі векторы мен негізгі моментінің нөлге теңдігінің шарты. Ықтимал орын ауыстырулар принципі деп аталатын екінші тәсіл (вариациялық) құрылымдық механиканың бірқатар есептерін шешу үшін өте пайдалы болып шықты.

Абсолют қатты денелер жүйесі үшін мүмкін болатын орын ауыстырулар принципі былай тұжырымдалады: абсолютті қатты денелер жүйесі тепе-теңдікте болса, онда кез келген мүмкін болатын шексіз аз орын ауыстырудағы барлық сыртқы күштердің жұмысының қосындысы нөлге тең болады. Мүмкін (немесе виртуалды) денелердің кинематикалық байланыстары мен үздіксіздігін бұзбайтын орын ауыстыру деп аталады. Суреттегі жүйе үшін. 3.1, тек тірекке қатысты өзекшенің айналуы мүмкін. Ерікті кіші бұрышқа бұрылғанда, күштер мен жұмысты орындаңыз Ықтимал орын ауыстырулар принципі бойынша, егер жүйе тепе-теңдікте болса, онда болуы керек ... Мұндағы геометриялық қатынастарды алмастыру күш формуласында тепе-теңдік шартын аламыз

Серпімді денелер үшін мүмкін болатын орын ауыстырулар принципі былай тұжырымдалған: егер серпімді денелер жүйесі тепе-теңдікте болса, онда кез келген мүмкін болатын шексіз аз орын ауыстырудағы барлық сыртқы және ішкі күштердің жұмысының қосындысы нөлге тең болады. Бұл принцип серпімді деформацияланған жүйенің толық энергиясының концепциясына негізделген P. Егер құрылым статикалық жүктелетін болса, онда бұл энергия жүйені деформацияланған жүйеден беру кезінде сыртқы U және ішкі W күштерімен орындалатын жұмысқа тең. бастапқы күйіне келтіріңіз:

Бұл аударма арқылы сыртқы күштер өз мағынасын өзгертпей, U = -F теріс жұмыс жасайды. Бұл жағдайда ішкі күштер нөлге дейін төмендейді және оң жұмыс жасайды, өйткені бұл материал бөлшектерінің біріктіру күштері және сыртқы жүктемеге қарама-қарсы бағытта бағытталған:

қайда - серпімді деформацияның меншікті потенциалдық энергиясы; V - дененің көлемі. Үшін сызықтық жүйе, қайда. Лагранж-Дирихле теоремасы бойынша тұрақты тепе-теңдік күйі жалпы мәннің минимумына сәйкес келеді. потенциалдық энергиясерпімді жүйе, яғни.

Соңғы теңдік мүмкін болатын орын ауыстырулар принципін тұжырымдауға толық сәйкес келеді. dU және dW энергия өсімдерін серпімді жүйенің тепе-теңдік күйден кез келген ықтимал орын ауыстырулары (ауытқулары) үшін есептеуге болады. Сызықтық талаптарды қанағаттандыратын құрылымдарды есептеу үшін шексіз аз мүмкін орын ауыстыру d өте аз соңғы орын ауыстырумен ауыстырылуы мүмкін, ол ерікті түрде таңдалған күштер жүйесімен құрылған құрылымның кез келген деформацияланған күйі болуы мүмкін. Осыны ескере отырып, алынған тепе-теңдік шартын былай жазу керек

Сыртқы күштердің жұмысы

Нақты және мүмкін орын ауыстыру бойынша сыртқы күштердің жұмысын есептеу әдістемесін қарастырыңыз. Ядролық жүйе бір мезгілде әрекет ететін күштермен және (3.2, а-сурет) жүктеледі және кез келген уақытта қатынас тұрақты болып қалады. Егер жалпыланған күшті қарастыратын болсақ, онда барлық басқа жүктемелерді (бұл жағдайда) уақыттың кез келген сәтіндегі мәннен есептеуге болады. Үзік сызық осы күштерден туындайтын нақты серпімді орын ауыстыруды көрсетеді. Бұл күйді 1-көрсеткішпен белгілейік. Күштердің әсер ету нүктелерінің және осы күштердің бағыты бойынша 1-ші күйдегі орын ауыстыруы және арқылы белгіленеді.

Күштері бар сызықтық жүйені жүктеу процесінде және, күштер өседі және орын ауыстырады және оларға пропорционалды өседі (3.2-сурет, в). Күштердің және олар жасайтын орын ауыстырулардың нақты жұмысы графиктердің аудандарының қосындысына тең, яғни. ... Бұл өрнекті былай жазу , жалпыланған күш пен жалпыланған орын ауыстырудың көбейтіндісін аламыз. Бұл пішінде сіз көрсете аласыз

Әрі қарай, мүмкін болатын орын ауыстыру бойынша сыртқы күштердің жұмысын қарастырамыз. Ықтимал орын ауыстыру ретінде, мысалы, белгілі бір нүктеге күштің әсер етуінің нәтижесінде пайда болатын жүйенің деформацияланған күйін аламыз (3.2, б-сурет). Бұл күй, күштердің қолдану нүктелерінің қосымша орын ауыстыруына сәйкес және қашықтықта және 2 деп белгілейік. Күштер және олардың мәнін өзгертпей, орын ауыстырулар бойынша виртуалды жұмысты орындайды және (3.2, в-сурет):

Көріп отырғаныңыздай, қозғалыс белгілеуінде бірінші көрсеткіш осы қозғалыстардың нүктелері мен бағыттары көрсетілген күйді көрсетеді. Екінші көрсеткіш осы қозғалысты тудыратын күштердің әрекет ететін күйін көрсетеді.

Бірлік күшінің жұмысы F 2 нақты орын ауыстыруға

Егер 1 күйді F ​​2 күшінің мүмкін болатын орын ауыстыруы ретінде қарастырсақ, онда оның орын ауыстырудағы виртуалды жұмысы

Ішкі күштердің жұмысы

1-күйдің ішкі күштерінің жұмысын, яғни күштерден және 2-жағдайдың виртуалды орын ауыстыруларына, яғни F 2 жүкті қолданудан туындайтындарды табайық. Ол үшін ұзындығы dx болатын жолақ мүшесін таңдаңыз (3.2 және 3.3, а-суреттер). Қарастырылып отырған жүйе жазық болғандықтан элементтің қималарында тек екі күш S және Q z және иілу моменті Mu әсер етеді.Бұл күштер кесілген элемент үшін сыртқы болып табылады. Ішкі күштер - материалдың беріктігін қамтамасыз ететін адгезия күштері. Олар сыртқы мәндеріне тең, бірақ деформацияға қарама-қарсы бағытта бағытталған, сондықтан олардың жүктеме кезіндегі жұмысы теріс (3.3-сурет, б-д, сұр түспен көрсетілген). Әрбір күш факторының орындайтын жұмысын ретімен есептейік.

F 2 жүкті қолдану нәтижесінде пайда болатын S 2 күштерімен жасалатын орын ауыстырудағы бойлық күштердің жұмысы (3.2, б, 3.3, б-сурет),

Ұзындығы dx болатын жолақтың ұзаруы белгілі формула бойынша табылады

мұндағы A - жолақтың көлденең қимасының ауданы. Осы өрнекті алдыңғы формулаға қойып, табамыз

Осыған ұқсас моментпен жасалған бұрыштық орын ауыстыру бойынша иілу моменті орындаған жұмысты анықтаймыз (3.3, в-сурет):

айналу бұрышын ретінде табамыз

мұндағы J – y осіне қатысты жолақ қимасының инерция моменті. Ауыстырудан кейін біз аламыз

Көлденең күштің орын ауыстырудағы жұмысын табайық (3.3, г-сурет). Ығысу кернеулері мен ығысу күшінен Q z кесінділері сырықтың қимасы бойынша сызықты түрде таралмайды (алдыңғы жүктеу жағдайларындағы қалыпты кернеулер мен ұзартулардан айырмашылығы). Сондықтан ығысу жұмысын анықтау үшін сырықтың қабаттарындағы ығысу кернеулерімен орындалатын жұмыстарды ескеру керек.

Бейтарап осьтен z қашықтықта жатқан қабатта әрекет ететін Q z күшінен жанама кернеулер (3.3, е-сурет) Журавский формуласы бойынша есептеледі.

мұндағы Su – y осіне қатысты қабылданған көлденең қима ауданының осы қабат үстінде жатқан бөлігінің статикалық моменті; b - қарастырылатын қабат деңгейіндегі қиманың ені. Бұл кернеулер қабаттың бұрышпен ығысуын жасайды, ол Гук заңы бойынша былай анықталады: - ығысу модулі. Нәтижесінде қабаттың соңғы беті ығысады

Осы қабаттың соңғы бетінде әрекет ететін бірінші күйдің ығысу кернеулерінің екінші күйдің орын ауыстырулары бойынша жалпы жұмысы туындыны қима ауданы бойынша интегралдау арқылы есептеледі.

және мұндағы өрнектерді ауыстырғаннан кейін аламыз

Интеграл астынан z-ге тәуелсіз шамаларды алып, осы өрнекті А-ға көбейтіп, бөлеміз, аламыз.

Мұнда өлшемсіз коэффициент енгізілген,

тек конфигурацияға және бөлімдердің арақатынасына байланысты. Тіктөртбұрыш үшін = 1,2, I-арқалықтар мен қорап қималары үшін (A c - қабырғаның көлденең қимасының ауданы немесе қорап қимасында - екі қабырға).

Қарастырылған жүк тиеу құрамдастарының (S, Q, M) әрқайсысының басқа құрамдас бөліктерден туындаған орын ауыстырулардағы жұмысы нөлге тең болғандықтан, ұзындығы dx штрихтың қарастырылатын элементі үшін барлық ішкі күштердің жалпы жұмысы.

Кеңістіктік стержень жүйесінің элементінің қимасында алты ішкі күш әрекет етеді (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), сондықтан ол үшін ішкі күштердің жалпы жұмысының өрнегі келесідей болады: пішін,

Мұнда M x – стержендегі айналу моменті; J T – еркін бұралу кезіндегі сырықтың инерция моменті (геометриялық бұралу қаттылығы). Интегралда «және» индекстері алынып тасталады.

(3.3) және (3.4) формулаларында S v Q yV Q zl, М х1, М у1, М г1 F (және F (, aS 2, Q y 2,) күштерінің әсерінен ішкі күштердің диаграммалары үшін аналитикалық өрнектерді белгілейді. Q z 2, М х2, М у2, М г2 - F 2 күшінен ішкі күштердің диаграммаларын сипаттау.

Серпімді жүйе теоремасы

(3.3) және (3.4) формулалардың құрылымы олардың 1 және 2 күйлерге қатысты «симметриялы» екенін көрсетеді, яғни 1-күйдің ішкі күштерінің 2-күйдің орын ауыстырулары бойынша жұмысы ішкі күштердің жұмысына тең. 1-күйдің орын ауыстырулары бойынша 2-күйдің күштері Бірақ (3.2) сәйкес

Демек, ішкі күштердің жұмысы тең болса, сыртқы күштердің жұмысы да тең болады.Бұл тұжырым өзара теорема деп аталады (Бетти теоремасы, 1872).

F 1 күшімен жүктелген стержендік жүйе үшін (3.4, а-сурет) мүмкін орын ауыстыру ретінде оны F 2 күшімен жүктеген кезде пайда болған деформацияланған күйді аламыз (3.4, б-сурет). Бұл жүйе үшін Бетти теоремасы бойынша 1- қойсақ, онда аламыз

Бұл формула Максвеллдің (1864) орын ауыстырулардың өзара әрекеттестігі туралы теоремасын өрнектейді: екінші бірлік күштің әсерінен пайда болған бірінші бірлік күштің әсер ету нүктесінің оның бағыты бойынша орын ауыстыруы қолдану нүктесінің орын ауыстыруына тең. бірінші бірлік күштің әрекетінен туындаған екінші бірлік күштің өз бағыты бойынша. Бұл теореманы суреттегі жүйеге қолдануға болады. 3.2. Егер = 1 H (3.1.2 б.) орнатсақ, онда жалпыланған орын ауыстырулардың теңдігін аламыз. .

Мүмкіндігінше алынған қажетті орын ауыстыруды тағайындауға болатын тіректері бар статикалық анықталмаған жүйені қарастырайық (3.4, в, г-сурет). Бірінші күйде біз тіреуді 1 ауыстырамыз, ал екіншісінде ендірілген бұрыштың айналуын орнатамыз - Бұл бірінші күйде реакцияларды тудырады, ал екіншісінде - i. Өзара теорема бойынша, егер біз орнатқан деп жазамыз (мұнда өлшем = m, ал шама өлшемсіз), содан кейін аламыз

Бұл теңдік сандық болып табылады, өйткені реакцияның өлшемі = H, a = H-m. Сонымен, 2-ші байланыс бір орын ауыстырғанда болатын 1-қозғалмайтын байланыстағы R 12 реакциясы 1-байланыстың бірлік орын ауыстыруымен 2-ші байланыста болатын реакцияға сан жағынан тең. Бұл тұжырым реакциялардың өзара теоремасы деп аталады.

Бұл бөлімде келтірілген теоремалар статикалық анықталмаған жүйелерді аналитикалық есептеу үшін қолданылады.

Орын ауыстырулардың анықтамасы

Жалпы орын ауыстыру формуласы

Берілген жүктің (1-күй) әсерінен стержендік жүйеде пайда болатын орын ауыстыруларды есептеу үшін жүйенің көмекші күйін құру керек, онда бір бірлік күш әсер етеді, қажетті орын ауыстыру бойынша жұмысты орындайды (2-күй). Бұл сызықтық орын ауыстыруды анықтау кезінде сол нүктеде және сол бағытта орын ауыстыру анықталатын F 2 = 1 Н бірлік күшін орнату қажет екенін білдіреді. Егер кез келген қиманың айналу бұрышын анықтау қажет болса, онда бұл қимада бірлік момент F 2 = 1 Н m қолданылады.Осыдан кейін (3.2) энергетикалық теңдеу құрылады, ондағы күй 2 болып қабылданады. негізгі күйі және деформацияланған

күй 1 виртуалды қозғалыс болып саналады. Қажетті орын ауыстыру осы теңдеуден есептеледі.

Жүйе үшін В нүктесінің көлденең жылжуын суретте табайық. 3.5, а. (3.2) жұмыс теңдеуіне қажетті D 21 орын ауыстыруды алу үшін негізгі күй ретінде жүйенің бірлік күш әсерінен F 2 - 1 Н орын ауыстыруын аламыз (2-күй, 3.5-сурет, б. ). Ықтимал орын ауыстыру құрылымның нақты деформацияланған күйі ретінде қарастырылады (3.5, а-сурет).

2-күйдің сыртқы күштерінің 1-күйдің орын ауыстырулары бойынша жұмысы (3.2) сәйкес табылады,

демек, қалаған орын ауыстыру

Өйткені (3.1.4-бөлім) 2-күйдің ішкі күштерінің 1-күйдің орын ауыстырулары бойынша жұмысы (3.3) немесе (3.4) формуласымен есептеледі. (3.7) өрнектегі (3.3) жазық өзек жүйесінің ішкі күштерінің жұмысын ауыстырып, табамыз.

Бұл өрнекті одан әрі қолдану үшін ішкі күш факторларының бірлік диаграммалары түсінігін енгізген жөн, яғни. оның ішінде алғашқы екеуі өлшемсіз және өлшем . Нәтиже болады

Әсер етуші жүктемеден сәйкес ішкі күштердің таралу диаграммаларының өрнектері осы интегралдарға ауыстырылуы керек. және және бастапкүштері F 2 = 1. Алынған өрнек Мор формуласы деп аталады (1881).

Ішкі күштердің жалпы жұмысын есептеу үшін кеңістіктік штангалық жүйелерді есептеу кезінде (3.4) формуланы қолданыңыз, содан кейін біз аламыз

S, Q y, Q z, M x, M y, M g ішкі күш-жігер диаграммалары үшін өрнектер және мәндері анық. геометриялық сипаттамаларсәйкес n-ші бөлім үшін A, J т, Jу, J бөлімдері. Осы шамаларды белгілеудегі белгілерді қысқарту үшін «және» индексі алынып тасталады.

3.2.2. Жылжуларды анықтаудың ерекше жағдайлары

Формула (3.8) жазық өзек жүйесінің жалпы жағдайында қолданылады, бірақ бірқатар жағдайларда оны айтарлықтай жеңілдетуге болады. Оны жүзеге асырудың ерекше жағдайларын қарастырайық.

1. Арқалық жүйелерге тән бойлық күштерден деформацияларды елемеуге болатын болса, онда (3.8) формула былай жазылады.

2. Егер жазық жүйе консольдар үшін қатынасы l/h> 5 немесе аралықтар үшін l/h> 10 (I және h - арқалық ұзындығы мен қиманың биіктігі) иілуден тұратын жұқа қабырғалы арқалықтардан ғана тұрса, онда, әдетте, , иілу деформациясының энергиясы бойлық және көлденең күштерден деформациялар энергиясынан айтарлықтай асып түседі, сондықтан оларды орын ауыстыруларды есептегенде ескермеуге болады. Сонда (3.8) формула пішінді алады

3. Түйінді жүктеме кезінде өзекшелері негізінен бойлық күштерді бастан кешіретін фермалар үшін M = 0 және Q = 0 деп есептеуге болады.Одан кейін түйіннің орын ауыстыруы формула бойынша есептеледі.

Интеграция әрбір жолақтың ұзындығы бойынша орындалады, ал жинақтау барлық жолақтарда орындалады. i-ші өзектегі S u күші мен көлденең қима ауданы оның ұзындығы бойынша өзгермейтінін ескере отырып, бұл өрнекті жеңілдетуге болады:

Бұл формуланың барлық көрінетін қарапайымдылығымен фермалардағы жылжуларды аналитикалық есептеу өте қиын, өйткені ол барлық ферма шыбықтарындағы күштерді әрекет етуші жүктемеден () және орын ауыстыруы қажет нүктеде қолданылатын бірлік күштен () анықтауды талап етеді. табылуы.

3.2.3. Жылжуларды анықтау әдістемесі мен мысалдары

А.Н.Верещагин (1925) әдісі бойынша Мор интегралының есебін қарастырайық. Мор интегралы (3.8) түрінде болады, мұнда иілу моменттерінің, бойлық немесе ығысу күштерінің диаграммалары D 1, D 2 түрінде көрінуі мүмкін. Интегралдағы диаграммалардың () кем дегенде біреуі сызықтық немесе бөліктік сызықты болады, өйткені ол бірлік жүктемеден құрастырылған. Сондықтан үшін

Интегралдардың біріншісі сандық жағынан субграф бойынша ауданға тең (3.6-суретте көлеңкеленген), ал екіншісі оське қатысты осы ауданның статикалық моментіне тең. Статикалық моментті былай жазуға болады, мұндағы ауданның ауырлық центрінің орнының координатасы (А нүктесі). Осыны айта отырып, біз аламыз

(3.13)

Верещагин ережесі келесідей тұжырымдалған: егер сайттағы диаграммалардың кем дегенде біреуі сызықты болса, онда Мор интегралы ауданның туындысы ретінде еркін түрде есептеледі.

Mathcad ортасында құрылымдарды есептеу кезінде Верещагин ережесін қолданудың қажеті жоқ, өйткені интегралды сандық интегралдау арқылы есептеуге болады.

3.1-мысал(3.7, а-сурет). Арқалық екі симметриялы аралық күшпен жүктеледі. Күштердің әсер ету нүктелерінің орын ауыстыруларын табыңыз.

1. F 1 күштерден М 1 иілу моменттерінің диаграммасын тұрғызайық. Қолдау реакциялары Күш әсерінен максималды иілу моменті

2. Жүйе симметриялы болғандықтан, күштердің әсерінен ауытқулар бірдей болады. Көмекші күй ретінде біз сәуленің жүктемесін F 1 күштерімен бірдей нүктелерде қолданылатын F 2 = 1 Н екі бірлік күшпен аламыз.

(3.7, б-сурет). Берілген жүктеме үшін иілу моменттерінің диаграммасы алдыңғыға ұқсас және максималды иілу моменті M 2max = 0,5 (L-b).

3. Жүйені екінші күйдің екі күшімен жүктеу жалпыланған күш F 2 және жалпыланған орын ауыстырумен сипатталады, олар 1 күйдің орын ауыстыруы бойынша сыртқы күштердің жұмысын жасайды, тең ... (3.11) формула бойынша орын ауыстыруды есептейік. Верещагин ережесі бойынша диаграммаларды ауданға көбейтіп, табамыз

Мәндерді ауыстырғаннан кейін алу

3.2-мысал. F x күшімен жүктелген U-тәрізді раманың жылжымалы тірегінің көлденең жылжуын табыңыз (3.8, а-сурет).

1. F күшінен иілу моменттерінің сызбасын тұрғызайық 1 Тірек реакциялары ... F 1 күші әсерінен ең үлкен иілу моменті

2. Көмекші күй ретінде біз В нүктесінде қолданылатын бірлік көлденең күш F 2 арқалық жүктемесін аламыз (3.8, б-сурет). Осы жүктеу жағдайы үшін иілу моменттерін сызыңыз. Тірек реакциялары А 2у = В 2у = 0, А 2х = 1. Максималды иілу моменті.

3. (3.11) формула бойынша орын ауыстыруды есептейміз. Тік бөліктерде өнім нөлге тең. Көлденең қимада M 1 сызбасы сызықты емес, сызба сызықты. Верещагин әдісімен диаграммаларды көбейту арқылы аламыз

Диаграммалар қарама-қарсы жағында болғандықтан өнім теріс. Алынған теріс орын ауыстыру мәні оның нақты бағыты бірлік күштің бағытына қарама-қарсы екенін көрсетеді.

3.3-мысал(3.9-сурет). Күш әсерінен екі тірек арқалықтың көлденең қимасының айналу бұрышын табыңыз және осы бұрыш максимал болатын күштің орнын табыңыз.

1. F 1 күшінен М 1 иілу моменттерінің диаграммасын тұрғызайық. Ол үшін А 1 тірек реакциясын табамыз. Жалпы жүйе үшін тепе-теңдік теңдеуінен Fj күші әсерінен ең үлкен иілу моменті

2. Көмекші күй ретінде сол қимадағы бірлік моменті F 2 = 1 Нм сәуленің жүктемесін аламыз, оның айналуын анықтау керек (3.9, б-сурет). Осы жүктеу жағдайы үшін иілу моменттерін сызыңыз. Тірек реакциялары А 2 = -В 2 = 1 / L, иілу моменттері

Екі сәт те теріс, өйткені олар сағат тілімен бағытталған. Сюжеттер созылған талшыққа салынған.

3. Екі кесіндіге көбейтуді орындай отырып, (3.11) формула бойынша айналу бұрышын есептейміз,

Белгілеу арқылы сіз бұл өрнекті ыңғайлырақ пішінде ала аласыз:

Айналу бұрышының F 1 күшінің орнына тәуелділік графигі суретте көрсетілген. 3.9, б. Бұл өрнекті ажырата отырып, шарттан біз оның астындағы сәуленің көлбеу бұрышы абсолютті мәнде ең үлкен болатын күштің орнын табамыз. Бұл 0,21 және 0,79 мәндерінде болады.

Ықтимал орын ауыстырулар принципі механикалық жүйелердің тепе-теңдігіне көптеген мәселелерді шешуге мүмкіндік береді - белгісіз белсенді күштерді табуға, байланыстардың реакцияларын анықтауға, механикалық жүйенің қолданылған әсерінен тепе-теңдік орындарын табуға күштер жүйесі. Мұны нақты мысалдармен түсіндірейік.

Мысал 1. Тепе-теңдікте массалары бар ауыр тегіс призмаларды ұстап тұрған Р күшінің шамасын табыңыз. Призманың қиғаш бұрышы тең (73-сурет).

Шешім. Ықтимал орын ауыстырулар принципін қолданайық. Жүйеге ықтимал орын ауыстыру туралы хабарлап, белсенді күштердің мүмкін жұмысын есептейік:

Ауырлық күшінің мүмкін болатын жұмысы нөлге тең, өйткені күш күштің әсер ету нүктесінің элементар орын ауыстыру векторына перпендикуляр. Мұндағы мәнді қойып, өрнекті нөлге теңестірсек, біз мынаны аламыз:

Өйткені, жақшадағы өрнек нөлге тең:

Осы жерден табамыз

Мысал 2. Берілген моменті M бар күштер жұбымен жүктелген ұзындығы мен салмағы P біртекті АВ сәулесі суретте көрсетілгендей бекітілген. 74 және демалуда. Егер көкжиекпен а бұрышын жасаса, BD жолының реакциясын анықтаңыз.

Шешім. Тапсырманың алдыңғы тапсырмадан айырмашылығы, мұнда идеалды байланыстың реакциясын табу қажет. Бірақ мүмкін болатын орын ауыстырулар принципін өрнектейтін жұмыстардың теңдеуінде идеалды байланыстардың реакциялары кірмейді. Мұндай жағдайларда мүмкін болатын орын ауыстырулар принципін байлаулардан босату принципімен бірге қолдану керек.

Біз BD таяқшасын ойша тастаймыз және оның S реакциясын белгісіз шамадағы белсенді күш деп есептейміз. Осыдан кейін біз жүйеге ықтимал қозғалыс туралы хабарлаймыз (егер бұл байланыс толығымен жоқ болса). Бұл A топса осінің айналасында бір бағытта немесе басқа бағытта бұрышпен AB сәулесінің элементар айналуы болады (74-суретте сағат тіліне қарсы). Белсенді күштердің әсер ету нүктелерінің элементар орын ауыстырулары және оларға қатысты S реакциясы тең:

Жұмыстың теңдеуін жасаймыз

Жақшадағы өрнекті нөлге теңеп, осы жерден табамыз

Мысал 3. Салмағы бар біртекті стержень ОА цилиндрлік топса O және серіппе АВ арқылы бекітіледі (75-сурет). Өзекшенің тепе-теңдікте болуы мүмкін позицияларды анықтаңыз, егер серіппенің қаттылығы k-ке тең болса, серіппенің табиғи ұзындығы - және В нүктесі О нүктесімен бір тік түзуде болса.

Шешім. ОА стерженьге екі белсенді күш әсер етеді – өз салмағы және серіппенің серпімділік күші, мұндағы өзекшенің ОВ тік сызығымен жасаған бұрышы. Біріктірілген қосылыстар өте қолайлы (бұл жағдайда бір ғана байланыс бар - O топсасы).

Ықтимал қозғалыс жүйесін хабарлайық - шыбықтың О топсасының осі айналасында бұрышпен элементар айналуы, белсенді күштердің мүмкін жұмысын есептеп, оны нөлге теңестірейік:

Мұндағы өрнекті F күші мен мәннің орнына қою

қарапайым түрлендірулерден кейін бұрышты анықтау үшін келесі тригонометриялық теңдеуді аламыз (стержен тепе-теңдікте болғанда p:

Теңдеу бұрыштың үш мәнін анықтайды:

Демек, штанганың үш тепе-теңдік позициясы бар. Өйткені шарт орындалса, алғашқы екі тепе-теңдік позициясы бар. Тепе-теңдік әрқашан болады.

Қорытындылай келе, мүмкін болатын орын ауыстырулар принципін байланыстары жетілмеген жүйелерге қолдануға болатынын атап өтеміз. Принципті тұжырымдауда байланыстардың идеалдылығына баса назар аудару бір ғана мақсатты көздейді - механикалық жүйелердің тепе-теңдік теңдеулерін олардағы идеалды байланыстардың реакцияларын қоспай-ақ құруға болатындығын көрсету, осылайша есептеулерді жеңілдету.

Жетілмеген қосылыстары бар жүйелер үшін мүмкін болатын орын ауыстырулар принципін келесідей қайта тұжырымдау керек: олардың арасында жетілмеген байланыстар бар тежегіш байланыстары бар механикалық жүйенің тепе-теңдігі үшін белсенді күштердің және реакциялардың мүмкін болатын жұмысы қажет және жеткілікті. жетілмеген қосылыстар нөлге тең болады. Дегенмен, шартты түрде жетілмеген қосылыстардың реакцияларын белсенді күштердің санына жатқыза отырып, принципті қайта тұжырымдамай-ақ жасауға болады.

Өзін-өзі тексеру сұрақтары

1. Еркін емес механикалық жүйенің бос жүйемен салыстырғандағы басты ерекшелігі неде?

2. Ықтимал қозғалыс деп нені атайды? Мысалдар келтіріңіз.

3. Жүйенің мүмкін болатын қозғалысы кезінде нүктелерінің координаталарының вариациялары қалай анықталады (үш жолды көрсетіңіз)?

4. Сілтемелер теңдеулерінің түріне қарай қалай жіктеледі? Қозғалмайтын және тұрақты емес тежеуші және тежеусіз байланыстарға мысалдар келтіріңіз.

5. Қандай жағдайда жалғау идеал деп аталады? Кемелсіз бе?

6. Ықтимал орын ауыстырулар принципінің ауызша тұжырымын және математикалық жазбасын келтіріңіз.

7. Құрамында жетілмеген қосылыстары бар жүйелер үшін мүмкін болатын орын ауыстырулар принципі қалай тұжырымдалады?

8. Ықтимал орын ауыстырулар принципін қолданып шешуге болатын есептердің негізгі түрлерін атаңыз.

Жаттығулар

Ықтимал орын ауыстырулар принципін қолдана отырып, И.В. жинағынан келесі есептерді шығарыңыз. Мещерский 1981 жылғы басылым: 46.1; 46,8; 46,17; 2,49; 4.53.

ҚАТЫНАСТАРДЫҢ Жіктелуі

3-бөлімде енгізілген облигациялар түсінігі олардың барлық түрлерін қамтымайды. Механика есептерін шешудің қарастырылған жұптық әдістері әдетте ешқандай шектеулері жоқ жүйелерге қатысты болғандықтан, шектеулер мен олардың классификациясы мәселесін біршама толығырақ қарастырамыз.

Кез келген түрдегі шектеулер механикалық жүйе нүктелерінің позициялары мен жылдамдықтарына қойылатын және жүйеге қандай күштердің әсер еткеніне қарамастан орындалатын шектеулер деп аталады. Бұл сілтемелердің қалай жіктелгенін көрейік.

Уақыт өте келе өзгермейтін буындарды стационарлы деп атайды, ал өзгеретінін стационарлы емес деп атайды.

Жүйе нүктелерінің орындарына (координаталарына) шектеулер қоятын шектеулер геометриялық деп аталады, ал жүйе нүктелерінің жылдамдығына (уақытқа қатысты координаталардың бірінші туындылары) шектеулер кинематикалық немесе дифференциалдық деп аталады. .

Егер дифференциалдық байланысты геометриялық түрде көрсетуге болатын болса, яғни осы байланыс арқылы орнатылған жылдамдықтар арасындағы тәуелділікті координаталар арасындағы тәуелділікке келтіруге болатын болса, онда мұндай байланыс интегралданатын, ал басқаша түрде интегралдық емес деп аталады.

Геометриялық және интегралданатын дифференциалдық шектеулер голсномншы шектеулер, ал интегралданбайтын дифференциалдық шектеулер голономдық емес шектеулер деп аталады.

Байланыс түрі бойынша механикалық жүйелер голономдық (голономдық байланыстары бар) және голономдық емес (құрамында голономдық емес байланыстар бар) болып бөлінеді.

Соңында, шектеуші байланыстар (олар енгізген шектеулер жүйенің кез келген позициясында қалады) және бұл қасиетке ие емес тежегіш емес (өздер айтқандай, жүйе мұндай байланыстардан «өзін-өзі босатады») арасында айырмашылық жасалады. . Кейбір мысалдарды қарастырайық.

1. § 3 қарастырылған барлық шектеулер геометриялық (голономикалық) және, сонымен қатар, стационарлық. Жылжымалы LPF, суретте көрсетілген. 271, а, стационарлы емес геометриялық байланыс арқылы (қосылуды жүзеге асыратын кабинаның едені өз орнын өзгертеді) Oxy осьтеріне қатысты жүктің орны қарастырылған кезде оның ішінде жатқан жүкке арналған болады. уақыт бойынша кеңістікте).

2 Доңғалақтың сырғанаусыз айналу жағдайы (328-суретті қараңыз) доңғалақтың С центрінің координатасы мен айналу бұрышымен анықталады. Домалау кезінде жағдай немесе

Бұл дифференциалдық байланыс, бірақ алынған теңдеу интегралданады және береді, яғни координаталар арасындағы қатынасқа келтіріледі. Демек, қойылған шектеу голономдық болып табылады.

3. Доптың дөрекі жазықтықта сырғанамай домалануына арналған дөңгелектен айырмашылығы, шардың жазықтыққа тиіп тұрған нүктесінің жылдамдығы нөлге тең болу шартын азайтуға болмайды (доптың центрі түзу қозғалмағанда сызық) доптың орнын анықтайтын координаттар арасындағы кез келген тәуелділіктерге. Бұл галогендік емес байланыстың мысалы. Басқа мысал басқарылатын қозғалысқа қойылған шектеулермен келтірілген. Мысалы, егер нүктенің (зымыранның) қозғалысына оның жылдамдығы уақыттың кез келген мезетінде басқа қозғалатын нүктеге (жазықтыққа) бағытталуы керек деген шарт (байланыс) қойылса, онда бұл шартты нүктенің (зымыранның) қозғалысына қандай да бір тәуелділікке келтіруге болмайды. координаттар және байланыс голономдық емес ...

4. § 3-те суретте көрсетілген байланыстар. ұстап тұр, және сур. 8 және 9 - ұстамау (8-суретте және доп бетінен кетуі мүмкін, ал 9-суретте - жіпті жаншып, А нүктесіне қарай жылжу). Тоқталмайтын байланыстардың ерекшеліктерін ескере отырып, біз 108, 109 есептер (90 бөлім) және 146 есепте (125 бөлім) кездестік.

Механикалық жүйенің тепе-теңдігінің жалпы шартын белгілейтін механиканың басқа принципін қарастыруға көшейік. Тепе-теңдік деп (§ 1-ді қараңыз) біз жүйенің келтірілген күштердің әсерінен барлық нүктелері инерциялық санақ жүйесіне қатысты тыныштықта болатын күйін түсінеміз («абсолюттік» тепе-теңдік деп аталатынды қарастырамыз). Сонымен қатар, біз жүйеге жүктелген барлық коммуникацияларды стационарлық деп санаймыз және болашақта бұл туралы әр уақытта нақтыламаймыз.

Материалдық нүктеге әсер ететін күш осы нүктенің мүмкін орын ауыстыруымен сәйкес келетін орын ауыстыруда орындай алатын элементар жұмыс ретінде мүмкін болатын жұмыс ұғымын енгізейік. Белсенді күштің мүмкін жұмысын таңбамен, N байланыс реакциясының мүмкін жұмысын таңбамен белгілейміз.

Енді біз пайдаланған идеалды шектеулер ұғымына жалпы анықтама берейік (§ 123-ті қараңыз): шектеулер жүйенің кез келген мүмкін орын ауыстыруына олардың реакцияларының элементар жұмысының қосындысы тең болатын идеал деп аталады. нөл, яғни

§ 123 берілген және теңдікпен (52) өрнектелген шектеулердің идеалдылық шарты, олар бір уақытта стационар болған кезде, анықтамаға (98) сәйкес келеді, өйткені стационарлық шектеулер үшін әрбір нақты орын ауыстыру мүмкін болатындардың бірімен сәйкес келеді. Сондықтан идеалды байланыстардың мысалдары § 123-те келтірілген мысалдардың барлығы болып табылады.

Қажетті тепе-теңдік шартын анықтау үшін, егер идеал шектеулері бар механикалық жүйе түсірілген күштердің әсерінен тепе-теңдікте болса, онда жүйенің кез келген мүмкін орын ауыстыруы үшін теңдік болатынын дәлелдейміз.

мұндағы күш пен мүмкін орын ауыстыру арасындағы бұрыш.

Жүйенің қандай да бір нүктесінде әрекет ететін байланыстардың барлық (сыртқы және ішкі) белсенді күштер мен реакциялардың нәтижесін сәйкесінше арқылы белгілейік. Сонда жүйенің әрбір нүктесі тепе-теңдікте болғандықтан, сондықтан нүктенің кез келген қозғалысы үшін бұл күштердің жұмысының қосындысы да нөлге тең болады, яғни. Жүйенің барлық нүктелері үшін осындай теңдіктерді құрастырып, оларды мүшелер бойынша қоссақ, біз аламыз

Бірақ қосылыстар идеалды болғандықтан, олар жүйе нүктелерінің мүмкін орын ауыстыруларын көрсетеді, (98) шарты бойынша екінші қосынды нөлге тең болады. Сонда бірінші қосынды да нөлге тең, яғни (99) теңдігі орындалады. Осылайша (99) теңдік жүйенің тепе-теңдігінің қажетті шартын білдіретіні дәлелденді.

Бұл шарттың да жеткілікті екенін көрсетейік, яғни (99) теңдігін қанағаттандыратын белсенді күштер тыныштықтағы механикалық жүйенің нүктелеріне әсер етсе, онда жүйе тыныштықта қалады. Керісінше, жүйе қозғала бастайды және оның кейбір нүктелері іс жүзінде қозғалады деп алайық. Сонда күштер осы орын ауыстырулар бойынша жұмысты орындайды және кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теорема бойынша ол келесідей болады:

мұнда, анық, басынан бастап жүйе тыныштықта болды; сондықтан, және. Бірақ стационарлық қосылыстарда нақты орын ауыстырулар мүмкін болатын орын ауыстырулардың кейбірімен сәйкес келеді және бұл орын ауыстыруларда (99) шартқа қайшы келетін нәрсе де болуы керек. Осылайша, қолданылған күштер (99) шартын қанағаттандырғанда, жүйе тыныштық күйінен шыға алмайды және бұл шарт жеткілікті шарттеңгерім.

Дәлелденгеннен мүмкін болатын орын ауыстырулардың келесі принципі шығады: идеалды шектеулері бар механикалық жүйенің тепе-теңдігі үшін жүйенің кез келген мүмкін орын ауыстыруы үшін оған әсер ететін барлық белсенді күштердің элементар жұмысының қосындысы қажет және жеткілікті. нөлге тең. Математикалық тұжырымдалған тепе-теңдік шарты теңдікпен (99) өрнектеледі, оны мүмкін болатын жұмыстардың теңдеуі деп те атайды. Бұл теңдікті аналитикалық түрде де көрсетуге болады (§ 87 қараңыз):

Ықтимал орын ауыстырулар принципі механикалық жүйенің тепе-теңдігінің жалпы шартын белгілейді, ол осы жүйенің жеке бөліктерінің (денелерінің) тепе-теңдігін ескеруді қажет етпейді және идеалды шектеулермен бұрын белгісіз барлық шектеу реакцияларын қарастырудан шығаруға мүмкіндік береді. .

2.4-сурет

Шешім

Бөлінген жүктемені шоғырланған күшпен ауыстырыңыз Q = q ∙ DH... Бұл күш сегменттің ортасында қолданылады. DH- нүктеде Л.

Күш Фқұрамдас бөліктерге ыдырау, оны оське проекциялау: көлденең F x cosαжәне тік F y sinα.

2.5-сурет

Мүмкін болатын орын ауыстырулар принципін қолданып есепті шешу үшін құрылымның қозғалуы және сонымен бірге жұмыс теңдеуінде бір белгісіз реакция болуы қажет. Қолдауда Ареакция компоненттерге ыдырайды X А, Я А.

Анықтау үшін X Атірек құрылымын өзгертеміз Асондықтан нүкте Атек көлденең қозғала алады. Құрылым нүктелерінің орын ауыстыруларын бөліктің мүмкін айналуы арқылы өрнектеп көрейік CDBнүктенің айналасында Ббұрышта δφ 1, бөлігі AKCбұл жағдайда құрылым нүктенің айналасында айналады C V1- бұрышта лездік айналу орталығы (2.5-сурет). δφ 2, және қозғалатын нүктелер Лжәне C- болады

δS L = BL ∙ δφ 1;
δS C = BC ∙ δφ 1.

Сол уақытта

δS C = CC V1 ∙ δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙ BC / CC V1.

Айналу центрлеріне қатысты берілген күштердің моменттерінің жұмысы арқылы жұмыс теңдеуін құру ыңғайлырақ.

Q ∙ BL ∙ δφ 1 + F x ∙ BH ∙ δφ 1 + F y ∙ ED ∙ δφ 1 +
+ M ∙ δφ 2 - X A ∙ AC V1 ∙ δφ 2 = 0.

Реакция Я Ажұмыс істемейді. Осы өрнекті түрлендіре отырып, біз аламыз

Q ∙ (BH + DH / 2) ∙ δφ 1 + F ∙ cosα ∙ BD ∙ δφ 1 +
+ F ∙ sinα ∙ DE ∙ δφ 1 + M ∙ δφ 1 ∙ BC / CC V1 -
- X A ∙ AC V1 ∙ δφ 1 ∙ BC / CC V1 = 0.

бойынша азайту δφ 1, біз оны оңай табуға болатын теңдеуді аламыз X А.

Анықтау үшін Я Ақолдау құрылымы Анүктені жылжытқанда өзгертіңіз Атек күш жұмыс жасады Я А(2.6-сурет). Біз құрылымның бір бөлігінің ықтимал қозғалысын аламыз BDCбекітілген нүктені айналдыру Б — δφ 3.

2.6-сурет

Нүкте үшін C δS C = BC ∙ δφ 3, құрылымның бір бөлігі үшін лездік айналу орталығы AKCнүкте болады C V2, және нүктені жылжытыңыз Cқойыңыз.

Жүйенің кез келген мүмкін орын ауыстыруы бойынша жүйеге әсер ететін барлық белсенді күштердің жұмысының қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Мүмкін болатын орын ауыстырулар принципіне негізделген механикалық жүйе үшін құрастыруға болатын теңдеулер саны осы механикалық жүйенің еркіндік дәрежелерінің санына тең.

Әдебиет

• Тарг С.М. Теориялық механиканың қысқаша курсы. Оқулық. техникалық колледждерге арналған.- 10-шы басылым, рев. және қосыңыз. - М .: Жоғары. шк., 1986.- 416 с, сырқат.
• Теориялық механиканың негізгі курсы (бірінші бөлім) Н.Н.Бухгольц, «Наука» баспасы, Физика-математикалық әдебиеттердің бас басылымы, Мәскеу, 1972, 468 б.

Викимедиа қоры. 2010.

Басқа сөздіктерде «Мүмкін қозғалыстар принципі» не екенін қараңыз:

ықтимал орын ауыстырулар принципі

Механикалық тепе-теңдіктің жалпы шартын белгілейтін механиканың вариациялық принциптерінің бірі. жүйелер. V. p. P. сәйкес, механикалық тепе-теңдік үшін. идеалды қосылыстары бар жүйелер (МЕХАНИКАЛЫҚ ҚОСЫЛЫМдарды қараңыз) жұмыстардың сомасы dAi ... ... қажет және жеткілікті. Физикалық энциклопедия

Үлкен энциклопедиялық сөздік

ПРИНЦИПТІҢ МҮМКІН ҚОЗҒАЛЫСЫ, механикалық жүйенің тепе-теңдігі үшін жүйенің кез келген мүмкін орын ауыстыруы үшін жүйеге әсер ететін барлық күштердің жұмысының қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті. Ықтимал орын ауыстырулар принципі ... ... болғанда қолданылады. энциклопедиялық сөздік

Механикалық жүйенің тепе-теңдігінің жалпы шартын белгілейтін механиканың вариациялық принциптерінің бірі (механиканың вариациялық принциптерін қараңыз). V. p. P. сәйкес, идеалды шектеулері бар механикалық жүйенің тепе-теңдігі үшін (қараңыз. Қосылымдар ... ... Ұлы Совет энциклопедиясы

Виртуалды жылдамдықтар принципі, идеалды шектеулермен шектелген механикалық жүйелердің тепе-теңдігінің ең жалпы шарттарын білдіретін классикалық механиканың дифференциалды вариациялық принципі. Механик V. p. P. айтуынша. жүйе тепе-теңдікте ... Математика энциклопедиясы

Механикалық жүйенің тепе-теңдігі үшін жүйенің кез келген мүмкін орын ауыстыруы үшін жүйеге әсер ететін барлық күштердің жұмысының қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті. Мүмкін болатын орын ауыстырулар принципі тепе-теңдік жағдайларын ... ... зерттеуде қолданылады. энциклопедиялық сөздік

Тепе-теңдік үшін, механикалық Жүйе жүйенің кез келген ықтимал орын ауыстыруы үшін жүйеге әсер ететін барлық күштердің жұмысының қосындысы нөлге тең болуы үшін қажетті және жеткілікті. V. p. P. Күрделі механикалық тепе-теңдік жағдайларын зерттеуде қолданылады. жүйелер ...... Жаратылыстану. энциклопедиялық сөздік

виртуалды орын ауыстыру принципі- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis physika atitikmenys: angl. виртуалды орын ауыстыру принципі vok. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. виртуалды орын ауыстырулар принципі, м; мүмкін қозғалыстар принципі, м пранк. Principe des… Физико термині žodynas

Салыстырмалы механикалық қозғалыстардың берілген класы үшін ромға сәйкес механиканың вариациялық принциптерінің бірі. жүйе қай физикалық үшін жарамды. мәні, деп аталады. әрекет, ең кішкентай (дәлірек, стационарлық) ... ... бар Физикалық энциклопедия

Кітаптар

• Теориялық механика. 4 томда. 3-том: Динамика. Аналитикалық механика. Дәріс мәтіндері. Ресей Федерациясы Қорғаныс министрлігінің мойны, Богомаз Ирина Владимировна. Оқулық теориялық механиканың біртұтас курсының екі бөлімін белгілейді: динамика және аналитикалық механика. Бірінші бөлімде динамиканың бірінші және екінші мәселелері егжей-тегжейлі қарастырылады, сонымен қатар ...