Денеге жағылған сәттен бастап жұмыс жасаңыз. Қатты денеге әсер ететін күштің жұмысы мен күші. Жұмыс және потенциалдық энергия

Табыңыз: V A, a A, T.

1. Механикалық жүйенің диаграммасында (26-сурет) барлық сыртқы күштерді бейнелейік:

P A, N A, F tr. , P B, N B, P C, N C.

2. Барлық қажетті сызықтық және бұрыштық жылдамдықтарды қажетті жылдамдықпен өрнектеп көрейік V A. (26-сурет)

ω B = r A = R B; B B

V B = R B V A; r B

ω C = V B = R B V A; 2 R C r B 2 R C

T 1 позициялары.

T 0 = 0 - жүйе тыныштықта болды;

T 1 = T A + T B + T C;

А денесі алға жылжиды;

TA = 0,5 мА ВА 2 = мВ 2 А

В денесі О нүктесі арқылы сызба жазықтығына перпендикуляр болатын OZ осінің айналасында айналмалы қозғалыс жасайды.

С денесі жазық-параллель қозғалыс жасайды:

T 1 = мВ A 2 + 1,125 мВ A 2 + 0,75 мВ A 2 = 2,875 мВ A 2.

4. Берілген s орын ауыстырудағы барлық сыртқы күштердің жұмысының қосындысын анықтайық.

Нүктелердің қозғалысы олардың жылдамдықтарына пропорционалды өзгеретіндіктен,

SC = R B S

2r B

∑ A i E = 1,72mqS - 0,1mqS - 0,5mqS = 1,12mqS.

Барлық сыртқы күштердің жұмысының қосындысының мәні оң болғандықтан, жылдамдықтың V А нақты бағыты 26-суретте көрсетілгенмен сәйкес келеді.

5. T 1 - T 0 = ∑ A i E формуласынан V A жылдамдығының мәнін табыңыз.

2,875мВ A 2 = 1,12мкС

f (x, y, z, t) = 0.

6. АНАЛИТИКАЛЫҚ МЕХАНИКАНЫҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ

6.1. Байланыстар және олардың теңдеулері

Біз аналитикалық механиканың элементтерін зерттеуді қатынастарды толығырақ қарастырудан бастаймыз.

Еркін емес материалдық нүкте – қозғалыс еркіндігі шектелген нүкте. Нүктенің қозғалысын шектейтін денелерді буындар деп атайды. Қосылым нүкте қозғалатын қандай да бір дененің бетін көрсетсін. Сонда нүктенің координаталары осы беттің теңдеуін қанағаттандыруы керек, деп аталады шектеу теңдеуі:

f (x i, y i, z i) = 0.

Жүйелер бос және бос емес деп ажыратады.

Материалдық нүктелер жүйесі еркін деп аталады, егер оған кіретін барлық нүктелер еркін орындарда және еркін жылдамдықтарға ие болса. Әйтпесе, жүйе еркін емес деп айтылады.

6.2. Сілтеме классификациясы

Қарым-қатынастар келесі критерийлер бойынша жіктеледі:

1) стационарлық және стационарлық емес;

2) голономдық және голономдық емес;

3) тежеу ​​және ұстамау.

Теңдеулері сәйкес келмейтін шектеулер стационарлық болып табылады

уақытты t анық сақтаңыз. Стационарлық байланыс теңдеуі келесі түрде болады: f (x i, y i, z i) = 0.

t уақытын анық қамтитын теңдеулер арқылы сипатталған байланыстар деп аталады стационарлық емес.Аналитикалық түрде олар теңдеу арқылы өрнектеледі

Голономдық сілтемелер - бұл жүйедегі нүктелердің жылдамдығына шектеулер қоймайтын сілтемелер. Жоғарыдағы сілтемелер де голономдық болып табылады.

Тек координаттарға ғана емес, сонымен қатар жүйе нүктелерінің жылдамдығына да шектеулер қоятын қосылыстар голономдық емес деп аталады. Олардың жалпы жағдайда аналитикалық көрінісі келесідей

f (t, x i, y i, z i, x & i, y & i, z & i) = 0

Голономдық шектеулерге ұшыраған механикалық жүйелер голономдық жүйелер деп аталады. Егер сілтемелер арасында голономдық емес байланыстар болса, онда жүйелер голономдық емес деп аталады.

Голономдық емес жүйенің қозғалысының классикалық мысалы - қатты доптың өрескел бетке (мысалы, бильярд добы) айналуы.

Сақтау сілтемелері - бұл қозғалысқа мүмкіндік бермейтін сілтемелер, нәтижесінде жүйенің нүктелері сілтемеден босатылуы мүмкін.

Галстуктің мысалы бірінші мысал болып табылады. Тағы бір мысал, арасында доп қозғалатын екі параллель жазықтық.

Ұстағыш байланыс үшін теңдеу f (t, x i, y i, z i, x & i, y & i, z & i) = 0 түріндегі теңдікпен беріледі.

Ұстау байланыстары кейде екі жақты байланыстар деп аталады. Орын ауыстыруға мүмкіндік беретін қосылыстар, нәтижесінде жүйенің нүктелері

байланысын бұзбай, өзін босатады, деп аталады шектеусіз... Кейде мұндай байланыстарды бір жақты деп те атайды. Тоқталмайтын байланыс теңдеуі теңсіздік түрінде болады

f (t, x i, y i, z i, x & i, y & i, z & i) ≤ 0.

Ұстамайтын облигациялардың мысалдары екінші және үшінші мысалдар болып табылады. Мұндай байланыстың тағы бір мысалы - доп қозғалатын бір жазықтық.

6.3. Ықтимал жүйе қозғалыстары. Еркіндік дәрежелерінің саны. Мінсіз байланыстар

Бос емес дененің қандай да бір түрін елестетіңіз, мысалы, текше, ұшақта жатыр. Осы текшеге шексіз аз орын ауыстыруды ойша берейік. Мысалы, біз оны ұшақтан сәл жоғары көтердік деп елестетейік; мұндай қозғалыспен текше мен жазықтық арасындағы байланыс үзіледі. Бірақ біз текшеге байланысты үзбейтін ойдан шығарылған шексіз аз орын ауыстыруды бере аламыз; мұндай қозғалыс — жазықтық бойындағы кез келген қозғалыс.

Сонымен, еркін емес механикалық жүйенің мүмкін болатын орын ауыстырулары жүйеге қойылған шектеулер арқылы берілген сәтте рұқсат етілген ойша шексіз аз орын ауыстырулар деп аталады.

Біздің мысалда текше үшін мүмкін болатын орын ауыстыру оның жазықтық бойымен кез келген қиялдағы шексіз аз орын ауыстыруы болып табылады.

Механикалық жүйе нүктелерінің мүмкін орын ауыстырулары кішіліктің бірінші ретті шамалары ретінде қарастырылады, бұл ретте кішіліктің жоғары дәрежелі шамалары ескерілмейді. Сондықтан нүктелердің қисық сызықты орын ауыстырулары болады

нүктелердің траекторияларына жанамалар бойымен салынған және δ r арқылы белгіленетін түзу кесінділер арқылы өзгереді.

Сонымен, мысалы, АВ рычагының мүмкін қозғалысы оның О осінің айналасында шексіз аз δϕ бұрышы арқылы айналуы болып табылады (27-сурет).

Бұл айналу кезінде А және В нүктелері AA1 және BB1 шеңбер доғалары бойымен қозғалуы керек. Бірақ бұл кішігірім бірінші ретті мәндерге дейін

орын ауыстырулар мүмкін болатын орын ауыстырулармен ауыстырылуы мүмкін δ r A = AA ′ және δ r B = BB ′ жанамалардың бойымен салынған түзу сызықты кесінділер түріндегі

нүктелердің траекториялары және шамасы бойынша сәйкесінше:

δ rA = ОА δϕ және δ rВ = ОВ δϕ.

Еркін емес механикалық жүйе dr оған әсер ететін күштердің әсерінен қозғалатын нақты орын ауыстырулары оның мүмкін болатын орын ауыстыруларының санына кіреді және олардың ерекше жағдайы болып табылады. Дегенмен, бұл тек стационарлық қосылымдарға қатысты. Тұрақты емес қосылыстарда жүйенің нақты орын ауыстырулары оның мүмкін болатын орын ауыстыруларының санына кірмейді.

Жалпы алғанда, жүйедегі нүктелер үшін көптеген әртүрлі мүмкін орын ауыстырулар болуы мүмкін. Дегенмен, әрбір жүйе үшін, оған жүктелген қосылыстардың сипатына байланысты, кез келген басқа мүмкін орын ауыстыруды олардың геометриялық қосындысы ретінде көрсетуге болатындай, мұндай тәуелсіз орын ауыстырулардың белгілі бір санын көрсетуге болады. Мысалы, жазықтықта жатқан допты осы жазықтықтың бойымен көптеген бағытта жылжытуға болады. Бірақ оның кез келген ықтимал орын ауыстыруы δ r екі орын ауыстырудың қосындысы ретінде алуға болады

Осы жазықтықта жатқан өзара перпендикуляр осьтер бойымен δ х және δ r 2:

δ r = δ r1 + δ r2.

Механикалық жүйенің тәуелсіз мүмкін қозғалыстарының санын анықтайды еркіндік дәрежелерінің саныбұл жүйе.

Сонымен, жоғарыда қарастырылған жазықтықтағы доп, егер ол материалдық нүкте деп есептелетін болса, онда екі еркіндік дәрежесі бар. Жазықтықта жоғарыда қарастырылған текшенің 3 еркіндік дәрежесі бар – координат осі бойынша екі ілгерілемелі орын ауыстыру және тік ось айналасында бір айналу қозғалысы. Оське бекітілген рычаг бір дәрежелі еркіндікке ие. Бос қатты дене бар

Еркіндіктің алты дәрежесі бар - тәуелсіз қозғалыстар координат осі бойымен үш ілгерілемелі қозғалыс және осы осьтердің айналасындағы үш айналмалы қозғалыс.

Қорытындылай келе, жүйеге қолданылатын күштердің мүмкін жұмысы туралы түсінікті енгізейік.

δ r i

Күштің орын ауыстырудағы элементар жұмысы (3.22-сурет) күш пен оның әсер ету нүктесінің элементар қозғалысының скаляр көбейтіндісі деп аталады:

мұндағы a - және векторларының бағыттарының арасындағы бұрыш

Өйткені онда сіз қарапайым жұмыстың басқа өрнегін жаза аласыз:

Бастауыш жұмыс үшін тағы бірнеше өрнек жазуға болады:

Элементар жұмыс формулаларынан бұл шама оң (а бұрышы сүйір), теріс (а бұрышы доғал) немесе нөлге тең (а бұрышы түзу) болуы мүмкін екендігі шығады.

Күштердің толық жұмысы... Күштің нүктеден орын ауыстырудағы толық жұмысын анықтау М 0 дейін Мбұл орын ауыстыруды бөлшектеңіз nығысулар, олардың әрқайсысы шегінде элементар болады. Содан кейін күш жұмысы А:

қайда dA k- жұмыс істеу кэлементар қозғалыс.

Жазбаша қосынды интегралды және орын ауыстыру кезінде қисық сызық бойымен алынған қисық сызықты интегралмен ауыстырылуы мүмкін. М 0 М.Содан кейін

немесе

уақыт қайда т= 0 нүктесіне сәйкес келеді М 0 және уақыт моменті т- нүкте М.

Бастапқы және толық жұмыстың анықтамасынан мыналар шығады:

1) қорытынды күштің кез келген орын ауыстырудағы жұмысы құраушы күштердің осы орын ауыстырудағы жұмысының алгебралық қосындысына тең;

2) толық орын ауыстыру кезіндегі күштердің жұмысы барлық орын ауыстыру кез келген жолмен бөлінген құрамдас орын ауыстыруларға бірдей күштің жұмысының қосындысына тең.

Күш күші.Күш күші уақыт бірлігіндегі жұмыс деп аталады:

немесе соны ескере отырып

Күш күшіКүштің скаляр көбейтіндісіне және оны қолдану нүктесінің жылдамдығына тең шама.

Осылайша, тұрақты қуатта жылдамдықтың артуы күштің төмендеуіне әкеледі және керісінше. Қуаттың өлшем бірлігі Ватт: 1Вт = 1 Дж/с.

Қозғалмайтын осьтің айналасында айналатын денеге күш түсірілсе, онда оның күші болады

Күштер жұбының күші де дәл осылай анықталады.

3.3.4.3. Күштің жұмысын есептеу мысалдары

Толық күш жұмысы -

қайда h- нүкте төмендеген биіктік.

Осылайша, ауырлық жұмысы нүкте төмен болғанда оң, ал нүкте жоғарыда теріс болады. Ауырлық күшінің жұмысы нүктелер арасындағы траекторияның пішініне тәуелді емес М 0 және М 1 .

Сызықтық серпімділік күшінің жұмысы.Сызықтық серпімділік күші Гук заңы бойынша әрекет ететін күш деп аталады (3.24-сурет):

мұндағы радиус векторы тепе-теңдік нүктесінен, мұндағы күш нөлге тең, қарастырылатын нүктеге дейін М; бірге- қаттылықтың тұрақты коэффициенті.

Нүктеден орын ауыстыру бойынша күш жұмысы М 0 нүктеге дейін М 1 формула бойынша анықталады

Интеграция, біз аламыз

(3.27)

(3.27) формула бойынша нүктеден кез келген жол бойымен қозғалғанда серіппелердің сызықтық серпімділік күшінің жұмысын есептеңіз. М 0, онда оның бастапқы деформациясы болады нүктесіне М 1, мұндағы деформация сәйкесінше тең Жаңа белгілеуде (3.27) формула пішінді қабылдайды

Айналуға әсер ететін күштің жұмысы қатты дене ... Қатты дене қозғалмайтын ось айналасында айналғанда, нүктенің жылдамдығы МЭйлер формуласы арқылы есептеуге болады, суретті қараңыз. 3.25:

Сонда күштің элементар жұмысы формула бойынша анықталады

Аралас айқаспалы өнім қасиетін пайдалану
алу

Өйткені - нүктеге қатысты күш моменті О... Соны ескере отырып - айналу осіне қатысты күш моменті Озжәне ω дт=гφ, біз ақырында аламыз:

дА=М з дφ.

Қозғалмайтын ось айналасында айналатын дененің кез келген нүктесіне әсер ететін күштің элементар жұмысы айналу осіне қатысты күш моментінің дененің айналу бұрышының дифференциалына көбейтіндісіне тең.

Толық жұмыс:

Нақты жағдайда қашан , жұмыс формула бойынша анықталады

мұндағы j – күш жұмысы есептелетін дененің айналу бұрышы.

Қатты дененің ішкі күштерінің жұмысы... Қатты дененің кез келген орын ауыстыруы үшін оның ішкі күштерінің жұмысы нөлге тең болатынын дәлелдейік. Барлық ішкі күштердің элементар жұмысының қосындысы нөлге тең екенін дәлелдеу жеткілікті. Дененің кез келген екі нүктесін қарастырыңыз М 1 және М 2 (3.26-сурет). Ішкі күштер дене нүктелерінің әрекеттесу күштері болғандықтан, онда:

Содан кейін күш бойымен бағытталған бірлік векторын енгіземіз

Элементар жұмыс күштерінің қосындысы және тең

Жақшадағы векторлардың скаляр көбейтінділерін кеңейте отырып, аламыз

Қатты дененің кез келген екі қозғалысы үшін қатты дененің кез келген екі нүктесінің жылдамдықтарының осы нүктелерді қосатын түзудің бағытына проекциялары қатты дененің кез келген қозғалысы үшін бір-біріне тең болатыны кинематикада дәлелденгендіктен, алынған өрнекте: жақшада бірдей мәндердің айырмашылығы бар, яғни нөлге тең мән.

3.3.4.4. Нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

Массасы бар материалдық нүкте үшін мкүштің әсерінен қозғала отырып, динамиканың негізгі заңын түрінде көрсетуге болады

Осы қатынастың екі жағын нүктенің радиус векторының дифференциалына скалярлық түрде көбейтсек, біз

немесе

Соны ескере отырып - қарапайым күш жұмысы,

(3.28)

(3.28) формула нүкте үшін кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теореманы дифференциалдық түрде өрнектейді.

Нүктенің кинетикалық энергиясының дифференциалы нүктеге әсер ететін күштің элементар жұмысына тең.

Теңдіктің екі жағы (3.28) нүктесінен интегралдаса М 0 нүктеге дейін М(3.22-суретті қараңыз), нүктенің кинетикалық энергиясының соңғы түрдегі өзгеруі туралы теореманы аламыз:

Кез келген орын ауыстыру кезіндегі нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі сол орын ауыстырудағы нүктеге әсер ететін күштің жұмысына тең.

3.4.4.5. Жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

Жүйенің әрбір нүктесі үшін кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теореманы мына түрде көрсетуге болады:

Осы қатынастың оң және сол жақтарын жүйенің барлық нүктелеріне қосып, дифференциалдық таңбаны қосынды белгісінен жылжытсақ, мынаны аламыз:

немесе

қайда - жүйенің кинетикалық энергиясы; - сәйкесінше сыртқы және ішкі күштердің элементар жұмысы.

(3.29) формула жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы дифференциалды түрде өрнектейді.

Жүйенің кинетикалық энергиясының дифференциалы жүйеге әсер ететін барлық сыртқы және ішкі күштердің элементар жұмысының қосындысына тең.

Егер (3.29) екі жағы да жүйенің екі позициясы арасында интегралданса – бастапқы және соңғы, онда кинетикалық энергиясы тең Т 0 және Т, содан кейін, қосу және интеграциялау тәртібін өзгерте отырып, бізде:

немесе

қайда - жүйенің нүктесі үшін сыртқы күштің жұмысы М кбастапқы позициядан соңғы позицияға ауысқанда М к; - нүктеге әсер ететін ішкі күштің жұмысы М к.

(3.30) формула жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы ақырлы немесе интегралдық түрде өрнектейді.

Жүйенің бір позициядан екінші орынға ауысқандағы кинетикалық энергиясының өзгеруі жүйеге әсер ететін барлық сыртқы және ішкі күштердің жүйенің бірдей қозғалысы бар нүктелерінің сәйкес орын ауыстырулары бойынша жұмысының қосындысына тең. жүйе.

Механикалық жүйенің бөлігі болып табылатын M 1 және M 2 қатты дененің екі ерікті нүктесін қарастырайық. Құрылыстарды жүргізейік (14.13-суретті қараңыз).

Ішкі күштер P J 1, P J 2 бір нүктеден екінші нүктеге әсер ету, теңдік заңы негізінде әрекеттер мен реакциялар шамасы бойынша тең және қарама-қарсы бағытталған P J 1 = - P J 2 .

Берілген сәтте нүктелердің жылдамдықтары сәйкесінше u 1 және u 2-ге тең болсын, ал белгілі бір уақыт аралығында векторлар бойындағы өсулер ds 1 = u 1 dt, ds 2 = u 2 dt.

Жазық фигураның нүктелерінің жылдамдықтары туралы теореманың 1-ші қорытындысы негізінде жылдамдық векторларының M 1 M 2 кесіндісінің бағытына проекциялары тең болғандықтан, онда элементар орын ауыстырулардың проекциялары бұл ұпайлар тең болады.

Сондықтан қарастырылатын орын ауыстыру бойынша 2 ішкі күштің элементар жұмысының қосындысын есептеп, олардың теңдігі мен қарама-қарсы бағытын ескере отырып, аламыз.

P J 1 ds 1 cos (П J 1,u 1) + P J 2 ds 1 cos (П J 2,u 2) = P J 1 * M 1 M ’1 - P J 1 * M 2 M’ 2 = 0.

Әрбір ішкі күш екіншісіне сәйкес келетіндіктен, шамасы тең және қарама-қарсы бағытталған, барлық ішкі күштердің элементар жұмысының қосындысы нөлге тең.

Ақырғы орын ауыстыру – элементар орын ауыстырулар жиынтығы, демек

A j = 0,

анау. қатты дененің кез келген орын ауыстыруындағы ішкі күштерінің жұмысының қосындысы нөлге тең.

Қатты дененің трансляциялық қозғалысы.

Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысында оның барлық нүктелерінің траекториялары бірдей және параллель болады. Демек, элементар орын ауыстырулардың векторлары геометриялық тең.

Күштің қарапайым жұмысы P E i

d A E i =П E i d r.

Барлық күштер үшін болады

d A = Sd A E i = SП E i d r =г rСП Е = г r Р Е.

Демек,

d A = d r Р Е. (14-46)

Трансляциялық қозғалыстағы қатты денеге әсер ететін күштердің элементар жұмысы күштердің негізгі векторының элементар жұмысына тең..

A = . (14-47)

Қозғалмайтын ось айналасында айналатын қатты денеге әсер ететін күштердің элементар жұмысы айналу осіне қатысты сыртқы күштердің негізгі моментінің айналу бұрышының өсіміне көбейтіндісіне тең..

Ауыстыру жұмысын аяқтау

SA i = , (14-48)

қайда - негізгі нүктеайналу осіне қатысты сыртқы күштер.

Егер негізгі нүкте тұрақты болса, онда

SA i = Е з = E z (j 2 - j 1).(14-49)

Бұл жағдайда соңғы орын ауыстыру бойынша жұмыстың қосындысы сыртқы күштердің негізгі моментінің дененің айналу бұрышының соңғы өзгеруіне көбейтіндісіне тең болады.

Содан кейін қуат

N = = M E z dj / dt = M E z w.(14-50)

Қозғалыстың жалпы жағдайында еркін қатты денеге әсер ететін сыртқы күштердің элементар жұмысы тең

dA = SdA i =Р Е д r O + M E W da,(14-51)

қайда М Е В- лездік оське қатысты сыртқы күштердің негізгі моменті; да- лездік оське қатысты элементар айналу бұрышы.

14.10. Айналу кедергісі.

Тыныштық күйінде горизонталь жазықтықта орналасқан цилиндрлік роликте (14.14, а-сурет) өзара теңестіруші екі күш әсер етеді: роликтің салмағы Г және ұшақтың қалыпты реакциясы Н = -Г .

Көлденең күштің әсерінен болса Р C роликтің ортасында қолданылады, ол сырғанаусыз жазықтықта домалап, содан кейін күш Г, Н домалауға кедергі жасайтын жұп күштер құрайды (14.14, б-сурет).

Бұл күштер жұбының пайда болуы ролик пен жазықтықтың жанасу беттерінің деформациясына байланысты. Реакция әрекетінің сызығы Н G күшінің әсер ету сызығынан біршама d қашықтыққа ығысқан болып шығады.

Жұп күштердің сәті Г, Н айналу кедергісі моменті деп аталады. Оның құны өніммен анықталады

M res = Nd. (14-52)

Домалау коэффициенті сызықтық бірліктерде көрсетіледі, яғни. [d] = мысалы, болат рельстегі болат жолақты қараңыз г= 0,005 см; болаттан жасалған ағаш г= 0,03-0,04 см.

Ең кіші көлденең күшті анықтаңыз Р роликтің ортасына бекітілген.

Ролик домалауды бастау үшін P күші мен адгезия күшінен Fsc тұратын жұп күш моменті қарсылық моментінен үлкен болуы керек, яғни.

PR> Nd.

Қайда P> Nd / R.

Өйткені мұнда N = G, онда

Элементар жұмыс деп аталатын шексіз аз орын ауыстырудағы күш жұмысы формуламен өрнектеледі

мұндағы F күші мен оның әсер ету нүктесінің v жылдамдығы арасындағы бұрыш (171-сурет), немесе нүктелік көбейтінді түрінде:

мұндағы – күштің әсер ету нүктесінің радиус векторының дифференциалы.

Осы скаляр көбейтіндіні F және векторларының проекциялары арқылы өрнектеу координаталық осьтер, біз қарапайым жұмыс үшін аналитикалық өрнек аламыз:

Мұндағы X, Y, Z – күштің координаталық осьтерге проекциялары, осы нүктенің элементар қозғалысы кезінде күштің әсер ету нүктесі координаталарының шексіз аз өзгерістері (дифференциалдары).

Егер F күші қозғалмайтын z осінің айналасында айналатын қатты денеге әсер етсе, онда

мұндағы – дененің ось айналасындағы элементар айналу бұрышы.

Айналу осі қозғалмайтын денеге моменті бар күштер жұбы қолданылса, онда бұл жұптың элементар жұмысы былай өрнектеледі:

мұндағы вектордың проекциясы – жұптың оське моменті.

Күш нүктенің координаталарының функциясы болып табылатын жағдай ерекше қызығушылық тудырады және қосымша

Бұл жағдайда мұндай координаталық функция бар, оның жартылай туындылары координаталардағы сәйкес координаталық осьтерге күштің проекцияларына тең, яғни.

Бұл функция қуат немесе потенциал функциясы деп аталады. Осылайша, егер күш функциясы бар болса, онда

яғни күштің элементар жұмысы күш функциясының толық дифференциалына тең. Күш функциясы бар күштің әрекеті көрінетін кеңістіктің шектелген немесе шектелмеген бөлігі күш потенциалының өрісі деп аталады.

Күш функциясы тұрақты болып қалатын күш потенциалы өрісінің нүктелерінің локусын эквипотенциалды бет немесе деңгей беті деп атайды.

Соңғы жолдағы F күшінің А жұмысы элементар жұмыс қосындысының шегі ретінде анықталады және траектория доғасының бойымен М нүктесінен алынған қисық сызықты интеграл ретінде өрнектеледі:

Егер а туындысы күш қолдану нүктесінің доға координатасы s белгілі функциясымен өрнектелсе, онда интегралдау айнымалысы осы s мәні болып табылады және жұмысты есептеу формуласы пішінді алады

(168)

мұндағы күш қолдану нүктесінің позицияларына сәйкес доға координатасының мәндері және М, күштің осы нүктенің траекториясына жанамаға проекциясы.

Егер модульдегі күш тұрақтысы оның қолданылу нүктесі қозғалатын түзу сызықпен тұрақты бұрыш құраса, онда

Белгілі бір жағдайда, М нүктесі бір түзу сызық бойымен қозғалыс бағытында немесе қозғалысқа қарсы бағытталған тұрақты F күшінің әсерінен түзу бойымен қозғалғанда, сәйкесінше:

нүктенің жүріп өткен жолы қайда.

Егер сағат айналмалы қозғалысқозғалмайтын ось айналасындағы қатты дененің, оған әсер ететін күш моменті дененің айналу бұрышының функциясы болып табылады, яғни.

Күштер жұбының жұмысы ұқсас жолмен анықталады:

Соңғы орын ауыстыру кезінде потенциалдық функциясы бар күштің жұмысы жолдың соңындағы және бастапқы нүктелеріндегі осы функцияның мәндерінің айырмашылығымен өрнектеледі:

яғни бұл жағдайда күштің жұмысы М нүктесінің бойымен қозғалатын қисыққа тәуелді емес, тек оның бастапқы және соңғы орындарына байланысты болады. Күштік потенциал өрісіндегі материалдық нүктенің қозғалысын зерттегенде потенциалдық энергия ұғымының маңызы зор. Материалдық нүктенің потенциалдық энергиясы – күш потенциалы өрісінде орналасқан нүкте иеленетін энергияның ерекше түрі. Потенциалды энергия P өріс күші оны қолдану нүктесі берілген M (x, y, z) позициясынан нөл ретінде қабылданған орынға ауысқанда орындайтын жұмысқа тең, яғни.

Потенциалдық энергия арқылы соңғы жолдағы күштің жұмысы былай өрнектеледі:

Егер нүктеге бірнеше күш әсер етсе, онда осы күштердің нәтижесінің кез келген жолдағы жұмысы сол жолдағы құраушы күштердің жұмысының қосындысына тең болады.

Бірліктердің техникалық жүйесінде жұмыс килограмм-метрмен өлшенеді. Халықаралық жүйеде жұмыс бірлігі 1 джоуль.

N қуат жұмыстың орындалу жылдамдығын сипаттайды және жалпы жағдайда жұмыстың уақыт туындысы ретінде анықталады:

яғни қуат күш векторының жылдамдық векторына скаляр көбейтіндісіне тең.

Егер А жұмысы біркелкі орындалса, онда қуат келесі түрде анықталады:

жұмыс орындалған уақыт қайда.

Осылайша, бұл нақты жағдайда қуат уақыт бірлігінде жасалған жұмысқа сандық түрде тең.

Қатты дене қозғалмайтын ось айналасында айналғанда:

мұндағы айналу осіне қатысты денеге әсер ететін күштердің негізгі моменті, дененің бұрыштық жылдамдығы.

Бірліктердің техникалық жүйесінде қуат ат күшімен немесе күшімен өлшенеді, және

Халықаралық жүйеде қуат бірлігі болып табылады

Жұмыс пен қуатты есептеуге арналған есептерді шешу кезінде тиімділік жиі қолданылады. Тиімділік коэффициенті пайдалы жұмыстың немесе қуаттың қозғаушы күштердің жұмысына немесе қуатына қатынасы:

Өйткені зиянды қарсылықтарға байланысты, содан кейін.

Жұмысты есептеу кезінде келесі жағдайларды ажырату керек.

1. Шамасы мен бағыты бойынша тұрақты күштің әсерінен түзу сызықты қозғалыс, осы типтегі есептерде (169) және (170) формулалар қолданылады (756, 762 есептер).

2. Күш әсерінен түзу сызықты қозғалыс, оның түзусызықты траектория бағытына проекциясы осы түзу бойындағы қандай да бір қозғалмайтын центрден нүктенің қашықтығына тәуелді (No768 есеп);осы есептерде түрі, формула (167) пайдаланылады, егер ось нүктенің траекториясы бойымен бағытталған болса, пішінді қабылдайды

3. Шамасы мен бағыты бойынша тұрақты күштің әсерінен қисық сызықты қозғалыс, бұл жағдайда (167) формуланы қолдануға болады.

4. Күштің әсер ету нүктесінің координаталарының функциясы болып табылатын күш әсерінен қисық сызықты қозғалыс.

Мұнда жұмыстың анықтамасы (167) формула бойынша қисық сызықты интегралды есептеуге келтіріледі. Егер қарастырылып отырған жағдайда күш функциясы болса, онда жұмыс (173) немесе (176) формуласымен анықталады.

5. Дененің айналу бұрышының функциясы болып табылатын тұрақты моменттің немесе моменттің әсерінен қатты дененің айналмалы қозғалысы; бұл жағдайда жұмысты есептеу үшін (171) формула қолданылады.

Қозғалыс сипатына байланысты қуатты есептеу үшін күш әсер ету нүктесінің түзу сызықты немесе қисық сызықты қозғалысы үшін (177) формуласын (760, 764 есептер) немесе айналу жағдайында (179) формуласын қолданамыз. қатты дененің қозғалысы (771, 772, 765 есептер). Орташа қуатты (178) формула бойынша анықтауға болады.

Мысал 131. Тартқыш бойымен тұрақты күш әсер етеді, оның көмегімен тіркеме көлденең жол бойымен тартылады (172-сурет). Тарту горизонтпен бұрыш жасайды. F күшінің жолда атқарған жұмысын анықтаңыз.

Шешім. Мұнда жұмыс (169) формула бойынша анықталады:

Мысал 132. Салмағы бар дене қашықтыққа көлденең күштің көмегімен көлденең еден бойымен жылжытылады. Дененің беті мен еден арасындағы үйкеліс коэффициенті болса, бұл жағдайда үйкеліс күші орындайтын жұмысты анықтаңыз.

Шешім. Кулон заңына сәйкес үйкеліс күші, мұндағы N еден бетіндегі қалыпты дене қысымы және бұл жағдайда. Үйкеліс күші қозғалысқа қарама-қарсы бағытта бағытталғандықтан, бұл күштің жұмысы теріс болады:

Мысал 133. Материалдық нүктені M күйінен M (x, y, z) позициясына жылжытқандағы ауырлық күшінің жұмысын табыңыз, сонымен қатар М жағдайындағы нүктенің потенциалдық энергиясын есептеңіз (173-сурет).

Шешім. Z осін тігінен жоғары бағыттай отырып, бізде:

дене салмағы қайда. Сондықтан (162) формула бойынша

(182)

яғни ауырлық жұмысы бастапқы және соңғы позициялардағы биіктіктерінің айырмашылығына материалдық нүкте салмағының көбейтіндісіне тең және бұл биіктіктер ерікті түрде таңдалған көлденең жазықтықтан өлшенеді.

Нүктенің потенциалдық энергиясы (175) формула негізінде анықталады:

мұндағы С – интегралдаудың ерікті тұрақтысы.

Мысал 134. Созылған сырықтың серпімділік күшінің жұмысын анықтаңыз, оның соңына дейін жүк М ілінеді, бұл жүк позициядан М күйіне ауысқанда, егер деформацияланбаған сырықтың ұзындығы потенциалды есептеуге тең болса. М позициясындағы нүктенің энергиясы (174-сурет).

Шешім. F серпімді күшін белгілеп, х осін тігінен төмен бағыттасақ, бізде:

мұндағы х – өзекшенің ұзаруы, c – оның қаттылығы.

Демек,

Мысал 135. Күш материалдық нүктеге әсер етеді, оның координаталық осьтеріндегі проекциялары келесідей өрнектеледі?

Нүктені позициядан орынға жылжытқанда бұл күштің жұмысын анықтаңыз, егер күш n-мен, ал координаталары см-мен өрнектелсе.

Шешім. Ең алдымен, бұл жағдайда күш функциясының бар-жоғын анықтайық: ол үшін ішінара туындыларды табамыз:

Сондықтан біз мұны аламыз

яғни (164) шарттар орындалады және күш функциясы бар. Бұл функцияның толық дифференциалы элементар жұмысқа тең, яғни. Біз қарапайым жұмысты формула бойынша табамыз немесе мәндерді ауыстырамыз:

Бұл өрнек шын мәнінде толық дифференциал болып табылады

Функцияның және M нүктелеріндегі мәндері тең:

Сондықтан талап етілетін жұмыс тең

Мысал 136. Модульі материалдық нүктенің осы күштің центрінен қашықтығына байланысты болатын орталық күштің жұмысын анықтаңыз, яғни (175-сурет).

Шешім. Бұл жағдайда бірлік күш векторы болады

Оның үстіне белгі М нүктесінің күш центрінен ығысуына немесе тартылуына байланысты таңдалады.

Осылайша, күш векторы F келесі түрде өрнектеледі:

Демек, (161) формуланы қолданып, бізде:

Демек,

яғни, элементар жұмыс толық дифференциал болып табылады және, демек, күш функциясы бар, және

Сонымен, бұл жағдайда бізде күштің әсер ету нүктесінің радиус векторына байланысты күш функциясын бірден анықтауға болатын жалпы формула бар, содан кейін бұл нүкте позициядан позицияға ауысқан кезде күштің жұмысын есептей аламыз.

Мысал 137. Серіппенің бір шеті О нүктесінде айналмалы түрде бекітілген, ал серіппенің екінші ұшына шар бекітілген.Созылмаған серіппенің ұзындығы, қаттылық. Допты позициядан позицияға жылжытады, серіппе созылады және бүгілмейді. Серіппе күшінің жұмысын анықтаңыз, егер

Шешім. Бұл жағдайда серіппенің серпімділік күшінің модулі келесі түрде өрнектеледі.

«Кинематика» тарауында қатты дененің кез келген нүктесінің жылдамдығы полюс ретінде алынған нүктенің жылдамдығынан және дененің полюс айналасындағы сфералық қозғалысы кезіндегі нүктенің жылдамдығынан геометриялық түрде жинақталатыны белгіленген. . Динамикада әрқашан дененің масса центрі полюс ретінде алынады. Дененің кез келген нүктесінің жылдамдығы формуламен анықталады

- дененің массалар центрінің жылдамдығы;

- дененің лездік бұрыштық жылдамдығының векторы;

- дененің масса центріне қатысты радиус векторы.

Абсолют қатты денеге әсер ететін күштің күші үшін мынаны аламыз:

Қатты дененің жазық-параллель қозғалысы ерекше қызығушылық тудырады. Бұл маңызды ерекше жағдайда күштің қуатын формула бойынша есептеуге болады:

мұндағы – дененің масса центрінің күш пен жылдамдық векторларының арасындағы бұрыш.

Жұмыстың аяқталуы -

Бұл тақырып келесі бөлімге жатады:

Теориялық механика қысқаша курс теориялық механика бойынша дәріс конспектісі

Федералдық мемлекеттік бюджеттік жоғары кәсіптік білім беру мекемесі .. Мәскеу мемлекеттік құрылыс университеті ..

Егер сізге осы тақырып бойынша қосымша материал қажет болса немесе сіз іздеген нәрсені таппасаңыз, біздің жұмыстардың базасында іздеуді пайдалануды ұсынамыз:

Алынған материалмен не істейміз:

Егер бұл материал сізге пайдалы болып шықса, оны әлеуметтік желілердегі парақшаңызға сақтауға болады:

Осы бөлімдегі барлық тақырыптар:

Механиканың негізгі заңдары
Теориялық механикааксиоматикалық деп аталатын ғылымдарға жатады. Ол дәлелдеусіз қабылданған, бірақ тек тікелей емес, расталған бастапқы ұстанымдар жүйесіне - аксиомаларға негізделген.

Аксиома 3
Екі материалдық нүкте шамасы бірдей және бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытта бағытталған күштермен әрекеттеседі (сурет!. 2). Аксиома 4 (Принцип

Нүкте жылдамдығы
Нүктенің қозғалыс жылдамдығы оның жылдамдығымен сипатталады, оның анықтамасына енді тоқталамыз. Уақытында рұқсат етіңіз

Нүктелік үдеу
Жылдамдық векторының өзгеру жылдамдығы нүктенің үдеуімен сипатталады. Уақыт нүктесінде болсын

Аксиома 3
Абсолютті қатты денеге әсер ететін екі күш жүйесі теңдестіріледі (нөлге тең), егер бұл күштер шамасы бойынша тең болса және бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытта әрекет еткенде ғана.

Нүктеге қатысты күш моменті
Нүктеге түсірілген күш берілсін

Оське қатысты күш моменті
Күштің оське қатысты моменті деп осы осьтің кез келген нүктесіне қатысты есептелген күш моментінің осіне проекциясын айтады:

Бір-екі күш
Күштер жұбы – шамасы бірдей және қарама-қарсы бағытта параллель түзулер бойымен әрекет ететін екі күш жүйесі. Қай ұшақ

Механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулері
Материалдық нүктелерден тұратын механикалық жүйені қарастырайық. Жүйенің инерциялық жүйедегі әрбір нүктесі үшін шамамен

Ішкі күштердің негізгі қасиеттері
Механикалық жүйенің кез келген екі нүктесін қарастырайық және

Механикалық жүйе импульсінің өзгеруі туралы теорема
Барлық теңдіктерді (3.1) мүше бойынша қосайық: Бірінші негізгі қатынасты ескере отырып

Бұрыштық импульстің өзгеруі туралы теорема
Сол вектордағы (3.1) теңдеулердің әрқайсысын сәйкес нүктенің радиус-векторына көбейтіп, қосайық.

Тепе-теңдік шарттары
Теориялық механика курсының «Статика» бөлімінің маңызды бөлігін құрайтын материалдық денелердің тепе-теңдігі мәселелеріне тоқталайық. Механикадағы тепе-теңдік дәстүрлі

Әсер ету сызықтары бір жазықтықта жататын күштер жүйесінің тепе-теңдігі
Практикалық қызығушылық тудыратын көптеген жағдайларда дене күштер жүйесінің әсерінен тепе-теңдікте болады, олардың әсер ету сызықтары бір жазықтықта орналасқан. Бұл жазықтықты координат ретінде аламыз

Шаруашылықтарды есептеу
Бірқатар статикалық тапсырмаларда фермаларды есептеу ерекше орын алады. Ферма – түзу жолақтардың қатты құрылымы (3.3-сурет). Егер ферманың барлық шыбықтары және оған барлық бекітілген болса

Үйкеліс болған кезде дененің тепе-теңдігі
Белгілі болғандай, дене тірек бетінде сырғанау кезінде сырғуды тежейтін қарсылық пайда болады. Бұл құбылыс үйкеліс күшін есепке алу арқылы есепке алынады.

Параллель күштер орталығы
Бұл ұғым нәтиже беретін параллель күштер жүйесі үшін енгізілген және жүйе күштерінің әсер ету нүктелері нүктелер болып табылады.

Дененің ауырлық орталығы
Жер бетіне жақын орналасқан материалдық денені қарастырайық (ауырлық күшінде). Алдымен дене соңғы санды материалдық нүктелерден тұрады деп алайық, басқаша айтқанда бөлшектерден,

Механикалық жүйенің ауырлық центрі. Массалар центрінің қозғалысы туралы теорема
Материалдық дененің инерциялық қасиеттері оның массасымен ғана емес, сонымен бірге осы массаның денеде таралу сипатымен де анықталады. Мұндай бөлуді сипаттауда орталықтың позициясы маңызды рөл атқарады

5-ДӘРІС
5.1. Абсолют қатты дененің қозғалысы Механиканың маңызды міндеттерінің бірі абсолют қатты дененің қозғалысын сипаттау болып табылады. Жалпы, әртүрлі нүктелер

Қатты дененің трансляциялық қозғалысы
Қатты дененің қозғалысы трансляциялық деп аталады, онда денеде жүргізілген кез келген түзу бүкіл қозғалыс кезінде өзінің бастапқы орнына параллель болып қалады.

Қатты дененің айналмалы қозғалысының кинематикасы
Денедегі айналмалы қозғалыс кезінде бір түзу сызық болады, оның барлық нүктелері

Дене жылдамдығы
Соңында мынаны аламыз: (5.4) формула (5.4) Эйлер формуласы деп аталады. 5-сурет.

Қатты дененің айналу қозғалысының дифференциалдық теңдеуі
Қатты дененің айналуы, кез келген басқа қозғалыстар сияқты, сыртқы күштердің әрекеті нәтижесінде пайда болады. Айналмалы қозғалысты сипаттау үшін бұрыштық импульстің өзгеруі туралы теореманы пайдаланамыз.

Қатты дененің жазық-параллель қозғалысының кинематикасы
Дененің кез келген нүктесінен қандай да бір қозғалмайтын (негізгі) жазықтыққа дейінгі қашықтық бүкіл қозғалыс бойы өзгеріссіз қалса, дененің қозғалысы жазық-параллель деп аталады.

Қатты дененің жазық-параллель қозғалысына арналған дифференциалдық теңдеулер
Қатты дененің жазық-параллель қозғалысының кинематикасын зерттегенде полюс ретінде дененің кез келген нүктесін алуға болады. Динамика есептерін шешуде әрқашан полюс ретінде дененің масса центрі алынады, және

Кениг жүйесі. Кенигтің бірінші теоремасы
(Өз бетінше оқу) Санақ жүйесі тұрақты болсын (инерциялық). Жүйе

Жұмыс және күш күші. Потенциалды энергия
Нүкте массасының оның жылдамдығының квадратына көбейтіндісінің жартысы материалдық нүктенің кинетикалық энергиясы деп аталады. Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясы деп аталады

Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема
Кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теорема импульстің өзгеруі және шама моментінің өзгеруі туралы бұрын дәлелденген теоремалармен қатар динамиканың жалпы теоремаларының бірі болып табылады.

Геометриялық өзгермейтін механикалық жүйенің ішкі күштерінің жұмысы
Назар аударыңыз, импульстің өзгеруі туралы теорема мен бұрыштық импульстің өзгеруі туралы теоремадан айырмашылығы, кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теорема негізінен ішкі күштерді қамтиды.

Абсолют қатты дененің кинетикалық энергиясын есептеу
Абсолют қатты дененің кейбір қозғалыстары үшін оның кинетикалық энергиясын есептеу формулаларын алайық. 1. Кез келген уақытта трансляциялық қозғалыс кезінде дененің барлық нүктелерінің жылдамдығы бір

Ауырлық күші жұмысы
Гравитация жұмысын есептеген кезде біз жер бетіне жақын кеңістіктің шектеулі аймағын қарастырамыз деп есептейміз, оның өлшемдері Жердің өлшемдерімен салыстырғанда шағын

Серпімділік күшінің жұмысы
Серпімділік күші ұғымы әдетте сызықты серпімді серіппенің реакциясымен байланысты. осьті pr бойымен бағыттайық

Момент жұмысы
Күш айналу осімен дененің қандай да бір нүктесінде қолданылсын. Дене бұрыштық жылдамдықпен айналады

Ықтимал жылдамдықтар және мүмкін қозғалыстар
Алдымен голономдық ұстаушы стационарлық емес шектеу қойылған материалдық нүкте үшін мүмкін болатын жылдамдық және мүмкін орын ауыстыру ұғымдарын енгізейік. Мүмкін мат жылдамдығы

Мінсіз байланыстар
Механикалық жүйеге қойылған шектеулер идеал деп аталады, егер жүйенің кез келген мүмкін орын ауыстыруындағы барлық шектеу реакцияларының жұмысының қосындысы нөлге тең болса:

Ықтимал орын ауыстырулар принципі
Ықтимал орын ауыстырулар принципі механикалық жүйелер үшін тепе-теңдік шарттарын белгілейді. Механикалық жүйенің тепе-теңдігі дәстүрлі түрде таңдалған инерцияға қатысты оның тыныштық күйі ретінде түсініледі.

Динамиканың жалпы теңдеуі
Материалдық нүктелерден тұратын механикалық жүйені қарастырайық, оларда идеалды уделер қабаттасады