Le të jepet një funksion. Meqenëse x dhe y janë variabla të pavarur, njëra prej tyre mund të ndryshojë, ndërsa tjetra ruan vlerën e saj. Jepini ndryshores së pavarur x një rritje duke e mbajtur vlerën e y të pandryshuar. Atëherë z do të marrë një rritje, e cila quhet rritje e pjesshme e z në lidhje me x dhe shënohet me. Kështu që, .

Në mënyrë të ngjashme, marrim rritjen e pjesshme të z në lidhje me y:.

Rritja totale e funksionit z përcaktohet nga barazia.

Nëse ka një kufi, atëherë ai quhet derivat i pjesshëm i funksionit në një pikë në lidhje me ndryshoren x dhe shënohet me një nga simbolet:

.

Derivatet e pjesshme në lidhje me x në një pikë zakonisht shënohen me simbole .

Derivati ​​i pjesshëm i ndryshores y përcaktohet dhe shënohet në mënyrë të ngjashme:

Kështu, derivati ​​i pjesshëm i një funksioni të disa (dy, tre ose më shumë) ndryshoreve përcaktohet si derivat i një funksioni të njërës prej këtyre variablave, me kusht që vlerat e variablave të pavarur të mbetur të jenë konstante. Prandaj, derivatet e pjesshëm të një funksioni gjenden me formula dhe rregullat për llogaritjen e derivateve të një funksioni të një ndryshoreje (në këtë rast, përkatësisht, x ose y konsiderohen konstante).

Derivatet e pjesshme quhen derivate të pjesshme të rendit të parë. Ato mund të shihen si funksione të. Këto funksione mund të kenë derivate të pjesshëm, të cilët quhen derivate të pjesshëm të rendit të dytë. Ato përcaktohen dhe emërtohen si më poshtë:

; ;

; .

Diferencialet 1 dhe 2 të rendit të një funksioni të dy ndryshoreve.

Diferenciali total i një funksioni (formula 2.5) quhet diferencial i rendit të parë.

Formula për llogaritjen e diferencës totale është si më poshtë:

(2.5) ose , ku ,

diferenciale të pjesshme të funksionit.

Le të ketë funksioni derivate të pjesshëm të rendit të dytë të vazhdueshëm. Diferenciali i rendit të dytë përcaktohet nga formula. Le ta gjejmë:

Prandaj: ... Kjo simbolikisht shkruhet si më poshtë:

.

INTEGRAL I PADAFINUAR.

Antiderivativ i një funksioni, integral i pacaktuar, veti.

Funksioni F (x) thirret antiderivativ për një funksion të caktuar f (x), nëse F "(x) = f (x), ose, që është e njëjtë, nëse dF (x) = f (x) dx.

Teorema. Nëse një funksion f (x), i përcaktuar në një interval (X) me gjatësi të fundme ose të pafundme, ka një antiderivativ, F (x), atëherë ai gjithashtu ka pafundësisht shumë antiderivativë; të gjitha ato përmbahen në shprehjen F (x) + С, ku С është një konstante arbitrare.

Mbledhja e të gjithë antiderivativëve për një funksion të caktuar f (x), të përcaktuar në një interval ose në një segment me gjatësi të fundme ose të pafundme, quhet integral i pacaktuar nga funksioni f (x) [ose nga shprehja f (x) dx] dhe shënohet me simbolin.

Nëse F (x) është një nga antiderivativët për f (x), atëherë sipas teoremës së antiderivativëve

, ku C është një konstante arbitrare.

Sipas përcaktimit të antiderivativit F "(x) = f (x) dhe, për rrjedhojë, dF (x) = f (x) dx. Në formulën (7.1), f (x) quhet integrand, dhe f (x) ) dx është shprehja integrand.

Përkufizimi 1.11 Le të jepet një funksion i dy ndryshoreve z = z (x, y), (x, y) D ... Pika M 0 (x 0 y 0 ) - pika e brendshme e zonës D .

Nëse në D ka një lagje të tillë Um 0 pikë M 0 atë për të gjitha pikat

pika M 0 quhet pikë maksimale lokale. Dhe vetë kuptimi z (M 0 ) - maksimumi lokal.

Dhe nëse për të gjitha pikat

pika M 0 quhet pika e minimumit lokal të funksionit z (x, y) ... Dhe vetë kuptimi z (M 0 ) - një minimum lokal.

Maksimumi lokal dhe minimumi lokal quhen ekstreme lokale të funksionit z (x, y) ... Në fig. 1.4 shpjegon kuptimin gjeometrik të maksimumit lokal: M 0 është pika maksimale, pasi në sipërfaqe z = z (x, y) pikë përkatëse C 0 është mbi çdo pikë ngjitur C (ky është lokaliteti i maksimumit).

Vini re se ka pika në sipërfaqe në tërësi (për shembull, V ) që janë më lart C 0 , por këto pika (për shembull, V ) nuk janë "të afërta" me pikën C 0 .

Në veçanti, pika V Koncepti i një maksimumi global korrespondon:

Minimumi global përcaktohet në mënyrë të ngjashme:

Gjetja e niveleve të larta dhe të ulëta globale do të diskutohet në seksionin 1.10.

Teorema 1.3(kushtet e nevojshme për një ekstrem).

Lëreni funksionin z = z (x, y), (x, y) D ... Pika M 0 (x 0 y 0 D - pika e ekstremit lokal.

Nëse në këtë pikë ka z" x dhe z" y , pastaj

Prova gjeometrike është "e dukshme". Nëse në pikën C 0 vizatoni një plan tangjent në (Figura 1.4), atëherë ai "natyrshëm" do të kalojë horizontalisht, domethënë në një kënd 0° te boshti Oh dhe te boshti OU .

Pastaj, në përputhje me kuptimin gjeometrik të derivateve të pjesshme (Figura 1.3):

siç kërkohet.

Përkufizimi 1.12.

Nëse në pikën M 0 plotësohen kushtet (1.41), atëherë quhet pika stacionare e funksionit z (x, y) .

Teorema 1.4(kushte të mjaftueshme për një ekstrem).

Le të jepet z = z (x, y), (x, y) D , i cili ka derivate të pjesshëm të rendit të dytë në ndonjë lagje të pikës M 0 (x 0 , y 0 ) D ... Dhe M 0 është një pikë e palëvizshme (d.m.th., plotësohen kushtet e nevojshme (1.41). Le të llogarisim:

Vërtetimi i teoremës përdor tema (formula e Taylor-it për funksionet e disa variablave dhe teoria e formave kuadratike) që nuk janë trajtuar në këtë tutorial.

Shembulli 1.13.

Eksploroni për ekstremin:

Zgjidhje

1. Gjeni pika të palëvizshme duke zgjidhur sistemin (1.41):

pra janë gjetur katër pika të palëvizshme. 2.

nga teorema 1.4, në pikën është minimumi. Për më tepër

nga teorema 1.4 në pikën

Maksimumi. Për më tepër

Derivatet e pjesshëm të funksioneve të disa ndryshoreve janë funksione të të njëjtave variabla. Këto funksione, nga ana tjetër, mund të kenë derivate të pjesshëm, të cilët do t'i quajmë derivate të pjesshëm të dytë (ose derivate të pjesshëm të rendit të dytë) të funksionit origjinal.

Kështu, për shembull, një funksion i dy ndryshoreve ka katër derivate të pjesshme të rendit të dytë, të cilat përcaktohen dhe shënohen si më poshtë:

Funksioni me tre ndryshore ka nëntë derivate të pjesshëm të rendit të dytë:

Derivatet e pjesshme të rendit të tretë dhe më të lartë të një funksioni të disa ndryshoreve përcaktohen dhe shënohen në mënyrë të ngjashme: derivati ​​i pjesshëm i rendit të një funksioni të disa ndryshoreve quhet derivat i pjesshëm i rendit të parë të derivatit të pjesshëm të renditja e të njëjtit funksion.

Për shembull, derivati ​​i pjesshëm i rendit të tretë i një funksioni është derivati ​​i pjesshëm i rendit të parë në y i derivatit të pjesshëm të rendit të dytë

Një derivat i pjesshëm i rendit të dytë ose më të lartë, i marrë mbi disa ndryshore të ndryshme, quhet derivat i pjesshëm i përzier.

Për shembull, derivatet e pjesshme

janë derivate të pjesshëm të përzier të një funksioni të dy ndryshoreve.

Shembull. Gjeni derivatet e pjesshme të përziera të rendit të dytë të një funksioni

Zgjidhje. Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë

Pastaj gjejmë derivatet e përziera të pjesshme të rendit të dytë

Shohim që derivatet e pjesshëm të përzier dhe që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në rendin e diferencimit, domethënë në sekuencën në të cilën bëhet diferencimi në lidhje me ndryshore të ndryshme, rezultuan të jenë identikisht të barabartë. Ky rezultat nuk është i rastësishëm. Teorema e mëposhtme vlen për derivatet e pjesshme të përziera, të cilat ne i pranojmë pa prova.

Parimi i përgjithshëm i gjetjes së derivateve të pjesshëm të rendit të dytë të një funksioni me tre ndryshore është i ngjashëm me parimin e gjetjes së derivateve të pjesshëm të rendit të dytë të një funksioni të dy ndryshoreve.

Për të gjetur derivatet e pjesshme të rendit të dytë, së pari duhet të gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë ose, në një shënim tjetër:

Janë nëntë derivate të pjesshëm të rendit të dytë.

Grupi i parë është derivati ​​i dytë në lidhje me të njëjtat variabla:

Ose - derivati ​​i dytë në lidhje me "x";

Ose - derivati ​​i dytë në lidhje me "y";

Ose - derivati ​​i dytë në lidhje me "z".

Grupi i dytë është të përziera derivate të pjesshëm të rendit të dytë, janë gjashtë prej tyre:

ose - të përziera derivati ​​"sipas X Y";

ose - të përziera derivati ​​y-x;

ose - të përziera derivati ​​"në x zet";

ose - të përziera derivati ​​"në zet x";

ose - të përziera derivat "yrek zet";

ose - të përziera derivati ​​"nga zet y."

Ashtu si në rastin e një funksioni të dy ndryshoreve, gjatë zgjidhjes së problemeve, mund të fokusohet në barazitë e mëposhtme të derivateve të përzier të rendit të dytë:

Shënim: Në mënyrë rigoroze, nuk është gjithmonë kështu. Që derivatet e përzier të jenë të barabartë, është e nevojshme të plotësohet kërkesa e vazhdimësisë së tyre.

Për çdo rast, disa shembuj se si ta lexoni saktë këtë turp me zë të lartë:

- "luhen dy goditje dy herë";

- "de two u po de zet katror";

- "kanë dy goditje në x në z";

- "de two u po de zet po de yrek."

Shembulli 10

Gjeni të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë për një funksion me tre ndryshore:

.

Zgjidhja: Së pari, gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të parë:

Marrim derivatin e gjetur

dhe dalloni atë me "lojë":

Marrim derivatin e gjetur

dhe diferencojeni me "x":

Barazia është e kënaqur. Mirë.

Le të merremi me çiftin e dytë të derivateve të përzier.

Marrim derivatin e gjetur

dhe diferencojeni me "z":

Marrim derivatin e gjetur

dhe diferencojeni me "x":

Barazia është e kënaqur. Mirë.

Ne trajtojmë çiftin e tretë të derivateve të përzier në një mënyrë të ngjashme:

Barazia është e kënaqur. Mirë.

Pas punës së kryer, mund të garantohet se, së pari, kemi gjetur saktë të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe së dyti, kemi gjetur saktë derivatet e përziera të pjesshme të rendit të dytë.

Mbetet për të gjetur tre derivate të pjesshëm të rendit të dytë, këtu, për të shmangur gabimet, duhet të përqendroni vëmendjen tuaj sa më shumë që të jetë e mundur:

Gati. Përsëri, detyra nuk është aq e vështirë sa është voluminoze. Zgjidhja mund të shkurtohet dhe t'i referohet barazive diferenciale të përziera të pjesshme, por në këtë rast nuk do të ketë verifikim. Kështu që më mirë merrni kohën tuaj dhe gjeni të gjitha derivatet (përveç kësaj, mund të kërkohet nga mësuesi), ose, si mjet i fundit, kontrolloni një draft.

Shembulli 11

Gjeni të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë për një funksion me tre ndryshore

.

Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë.

Zgjidhjet dhe përgjigjet:

Shembulli 2:Zgjidhja:

Shembulli 4:Zgjidhja: Gjeni private derivatet e rendit të parë.

Le të përpilojmë diferencialin total të rendit të parë:

Shembulli 6:Zgjidhja: M(1, -1, 0):

Shembulli 7:Zgjidhja: Le të llogarisim derivatet e pjesshme të rendit të parë në pikëM(1, 1, 1):

Shembulli 9:Zgjidhja:

Shembulli 11:Zgjidhja: Le të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të parë:

Le të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të dytë:

.

Integrale

8.1. Integrali i pacaktuar. Shembuj të detajuar të zgjidhjeve

Le të fillojmë të studiojmë temën " integral i pacaktuar ", dhe gjithashtu do të analizojmë në detaje shembuj të zgjidhjeve të integraleve më të thjeshta (dhe jo mjaft). Si zakonisht, ne do të kufizojmë veten në një minimum teorie, e cila është në shumë tekste shkollore, detyra jonë është të mësojmë se si të zgjidhim integrale.

Çfarë duhet të dini për të zotëruar me sukses materialin? Për të përballuar llogaritjet integrale, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivate, të paktën, në nivelin mesatar. Nuk do të jetë një përvojë e tepërt nëse keni disa dhjetëra, ose më mirë - njëqind derivate të gjetura në mënyrë të pavarur pas jush. Së paku, nuk duhet të ngatërroheni nga detyrat e diferencimit të funksioneve më të thjeshta dhe më të zakonshme.

Do të duket, cilat janë derivatet këtu fare, nëse artikulli ka të bëjë me integrale ?! Këtu është gjëja. Fakti është se gjetja e derivateve dhe gjetja e integraleve të pacaktuar (diferencimi dhe integrimi) janë dy veprime reciproke të anasjellta, të tilla si shtimi / zbritja ose shumëzimi / pjesëtimi. Kështu, pa aftësi dhe një lloj përvoje në gjetjen e derivateve, për fat të keq, nuk mund të bëhet asnjë përparim i mëtejshëm.

Në këtë drejtim, ne kemi nevojë për materialet e mëposhtme mësimore: Tabela e derivateve dhe Tabela integrale.

Cila është vështirësia në studimin e integraleve të pacaktuar? Nëse në derivate ka rreptësisht 5 rregulla diferencimi, një tabelë derivatesh dhe një algoritëm mjaft të qartë veprimesh, atëherë në integrale gjithçka është e ndryshme. Ka dhjetëra metoda dhe teknika për integrim. Dhe, nëse metoda e integrimit fillimisht është zgjedhur gabimisht (d.m.th., ju nuk dini si ta zgjidhni atë), atëherë integrali mund të "goditet" fjalë për fjalë për ditë të tëra, si një rebus i vërtetë, duke u përpjekur të vëreni teknika dhe truket e ndryshme. Disa madje e pëlqejnë atë.

Meqë ra fjala, shpesh dëgjuam nga studentë (johumanikë) mendime si: “Kurrë nuk kam pasur interes të zgjidh kufirin apo derivatin, por integralet janë një çështje krejtësisht tjetër, është magjepsëse, gjithmonë ekziston dëshira për të” plasaritur "një integral kompleks" ... Ndalo. Mjaft me humor të zi, le të kalojmë tek këto integrale të pacaktuara.

Meqenëse ka shumë mënyra për të zgjidhur, atëherë ku të filloni të studioni integrale të pacaktuara për një çajnik? Në llogaritjen integrale, sipas mendimit tonë, ekzistojnë tre shtylla ose një lloj "boshti" rreth të cilit rrotullohet gjithçka tjetër. Para së gjithash, duhet të kuptoni mirë integralet më të thjeshta (ky artikull).

Pastaj ju duhet të përpunoni mësimin në detaje. KJO ESHTE PRANIMI MË E RËNDËSISHËM! Ndoshta edhe artikulli më i rëndësishëm i të gjithë artikujve mbi integralet. Dhe, së treti, duhet patjetër të njiheni me të me metodën e integrimit me pjesë sepse integron një klasë të gjerë funksionesh. Nëse zotëroni të paktën këto tre mësime, atëherë tashmë "jo dy". Ju mund të "faleni" që nuk e dini integrale të funksionet trigonometrike , integrale të thyesave, integrale të funksioneve thyesore racionale, integrale të funksioneve irracionale (rrënjët), por nëse "uleni në një pellg" në metodën e zëvendësimit ose metodën e integrimit sipas pjesëve - atëherë do të jetë shumë, shumë keq.

Pra, le të fillojmë thjesht. Le të shohim tabelën e integraleve. Ashtu si me derivatet, vërejmë disa rregulla integrimi dhe një tabelë integralesh të disave funksionet elementare... Çdo integral tabelor (dhe në të vërtetë çdo integral i pacaktuar) ka formën:

Ne e kuptojmë menjëherë shënimin dhe termat:

- ikonë integrale.

- funksioni integrand (i shkruar me shkronjën "s").

- ikona diferenciale. Ne do të shohim se çfarë është shumë shpejt. Gjëja kryesore është që kur shkruani integralin dhe gjatë zgjidhjes, është e rëndësishme të mos e humbni këtë ikonë. Do të ketë një defekt të dukshëm.

- integrandi ose "mbushja" e integralit.

– antiderivativ funksionin.

– ... Ju nuk keni nevojë të jeni të ngarkuar shumë me terma, gjëja më e rëndësishme këtu është që në çdo integral të pacaktuar, përgjigjes i shtohet një konstante.

Të zgjidhësh një integral të pacaktuar do të thotë të gjeshgrup antiderivativësh nga integrandi i dhënë

Le të shohim përsëri hyrjen:

Le të shohim tabelën e integraleve.

Cfare po ndodh? Pjesët e mbetura me ne po kthehen për funksionet e tjera:.

Le të thjeshtojmë përkufizimin tonë:

Zgjidhja e integralit të pacaktuar - kjo do të thotë TA KËNDROJMË atë në një funksion të papërcaktuar (deri në një konstante). , duke përdorur disa rregulla, teknika dhe një tabelë.

Merrni, për shembull, integralin tabelor ... Cfare ndodhi? Shënimi simbolik është bërë një mori funksionesh antiderivative.

Ashtu si në rastin e derivateve, për të mësuar se si të gjeni integrale, nuk keni nevojë të jeni të vetëdijshëm se çfarë është një integral, ose një funksion antiderivativ nga pikëpamja teorike. Mjafton thjesht të kryhen transformime sipas disa rregullave formale. Pra, në rastin nuk është aspak e nevojshme të kuptohet pse integrali kthehet pikërisht në. Ju mund ta merrni si të mirëqena këtë dhe formula të tjera. Të gjithë përdorin energji elektrike, por pak njerëz mendojnë se si elektronet kalojnë nëpër tela atje.

Meqenëse diferencimi dhe integrimi janë operacione të kundërta, sa vijon është e vërtetë për çdo antideriv që gjendet në drejtim:

Me fjalë të tjera, nëse diferencohet përgjigja e saktë, atëherë domosdoshmërisht duhet të merret integrandi origjinal.

Le të kthehemi te i njëjti integral tabelor .

Le të jemi të bindur për vlefshmërinë e kësaj formule. Marrim derivatin nga ana e djathtë:

Është funksioni integrand origjinal.

Nga rruga, u bë më e qartë pse një konstante i caktohet gjithmonë një funksioni. Kur diferencohet, konstanta gjithmonë kthehet në zero.

Zgjidhja e integralit të pacaktuar- do të thotë të gjesh një tufë me nga të gjitha antiderivativë, dhe jo ndonjë funksion. Në shembullin e konsideruar tabelor,,,, etj. - të gjitha këto funksione janë zgjidhja e integralit. Ka pafundësisht shumë zgjidhje, kështu që ata shkruajnë shkurt:

Kështu, çdo integral i pacaktuar është mjaft i lehtë për t'u kontrolluar. Ky është një kompensim për një numër të madh integralesh të llojeve të ndryshme.

Le të kalojmë në shqyrtimin e shembujve specifikë. Le të fillojmë, si në studimin e derivatit, me dy rregulla të integrimit:

- konstante C mund (dhe duhet) të hiqet nga shenja integrale.

- integrali i shumës (diferencës) i dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e dy integraleve. Ky rregull është i vlefshëm për çdo numër termash.

Siç mund ta shihni, rregullat janë në thelb të njëjta si për derivatet. Ndonjëherë ato quhen vetitë e linearitetit integrale.

Shembulli 1

Gjeni integralin e pacaktuar.

Kontrolloje.

Zgjidhja:Është më i përshtatshëm për ta kthyer atë si.

(1) Zbatoni rregullin ... Ne harrojmë të shkruajmë ikonën diferenciale dx nën çdo integral. Pse nën secilin? dxËshtë një shumëzues i plotë. Nëse pikturoni në detaje, atëherë hapi i parë duhet të shkruhet si më poshtë:

.

(2) Sipas rregullit i lëvizim të gjitha konstantet jashtë shenjave integrale. Ju lutemi vini re se në mandatin e fundit tg 5 është një konstante, ne gjithashtu e zhvendosim atë.

Përveç kësaj, në këtë hap, ne përgatisim rrënjët dhe shkallët për integrim. Në të njëjtën mënyrë si në diferencim, rrënjët duhet të përfaqësohen në formë ... Rrënjët dhe shkallët që janë në emërues - lëvizin lart.

Shënim: Ndryshe nga derivatet, rrënjët në integrale nuk duhet gjithmonë të reduktohen në formë , dhe lëvizni shkallët lart.

Për shembull, - ky është një integral tabelor i gatshëm, i cili tashmë është numëruar para jush, dhe lloj-lloj trukesh kineze si p.sh. absolutisht e panevojshme. Po kështu: - ky është gjithashtu një integral tabelor, nuk ka kuptim të përfaqësosh thyesën në formë ... Studioni me kujdes tabelën!

(3) Të gjithë integralet janë tabelare. Ne e kryejmë transformimin duke përdorur një tabelë duke përdorur formulat: , dhe

për një funksion të energjisë - .

Duhet të theksohet se integrali tabelor është një rast i veçantë i formulës për funksionin e fuqisë: .

Konstante C mjafton të shtohet një herë në fund të shprehjes

(në vend që t'i vendosim pas çdo integrali).

(4) Ne e shkruajmë rezultatin e marrë në një formë më kompakte, kur të gjitha fuqitë e formës

përsëri përfaqësohen në formën e rrënjëve, dhe fuqitë me një eksponent negativ rivendosen në emërues.

Ekzaminimi. Për të kryer kontrollin, duhet të dalloni përgjigjen e marrë:

Mori origjinalin integrand, d.m.th., integrali gjendet saktë. Nga ajo që kërcenin, u kthyen në atë. Është mirë kur historia me integralin përfundon kështu.

Herë pas here, ekziston një qasje paksa e ndryshme për të kontrolluar integralin e pacaktuar, kur nga përgjigja nuk merret derivati, por diferenciali:

.

Si rezultat, ne nuk marrim integrand, por integrand.

Mos u frikësoni nga koncepti i një diferenciali.

Diferenciali është derivati ​​i shumëzuar me dx.

Megjithatë, nuk janë hollësitë teorike ato që janë të rëndësishme për ne, por çfarë të bëjmë më tej me këtë diferencial. Diferenciali zgjerohet si më poshtë: ikona d heqim, vendosim një goditje në të djathtë mbi kllapa, në fund të shprehjes caktojmë një faktor dx :

Mori origjinalin integrand, pra integrali gjendet drejt.

Siç mund ta shihni, diferenciali reduktohet në gjetjen e derivatit. Më pëlqen më pak metoda e dytë e kontrollit, pasi më duhet të vizatoj gjithashtu kllapa të mëdha dhe të tërhiq ikonën diferenciale dx deri në fund të kontrollit. Edhe pse ai është më korrekt, ose "më solid", ose diçka.

Në fakt, ishte e mundur të heshtej për metodën e dytë të verifikimit. Çështja nuk është tek mënyra, por në faktin se ne kemi mësuar të hapim diferencialin. Përsëri.

Diferenca zbulohet si më poshtë:

1) ikona d ne heqim;

2) në të djathtë mbi kllapa vendosim një kryetar (emërtimi i derivatit);

3) në fund të shprehjes caktojmë një faktor dx .

Për shembull:

Mbaje mend këte. Kjo teknikë do të na duhet shumë shpejt.

Shembulli 2

.

Kur gjejmë një integral të pacaktuar, GJITHMONË përpiqemi të kontrollojmë për më tepër, ekziston një mundësi e madhe për këtë. Jo të gjitha llojet e problemeve në matematikën e lartë janë dhurata nga ky këndvështrim. Nuk ka rëndësi që shpesh në detyrat e kontrollit verifikimi nuk kërkohet, askush dhe asgjë nuk e pengon atë të kryhet në një draft. Një përjashtim mund të bëhet vetëm kur nuk ka kohë të mjaftueshme (për shembull, në një test, një provim). Personalisht, kontrolloj gjithmonë integralet dhe mungesën e një kontrolli e konsideroj si hak dhe detyrë të kryer keq.

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar:

... Kontrolloje.

Zgjidhje: Duke analizuar integralin, shohim se nën integralin kemi produktin e dy funksioneve, madje edhe fuqizimin e një shprehjeje me numër të plotë. Fatkeqësisht, në fushën e betejës integrale Nr e mirë dhe e rehatshme formulat për integrimin e produktit dhe koeficientit si: ose .

Prandaj, kur jepet një produkt ose një koeficient, gjithmonë ka kuptim të shikohet, por a është e mundur të shndërrohet integrani në një shumë? Shembulli në shqyrtim është rasti kur është e mundur.

Së pari, ne do të japim një zgjidhje të plotë, komentet do të jenë më poshtë.

(1) Ne përdorim formulën e mirë të vjetër për katrorin e shumës për cilindo numra realë duke hequr qafe shkallën mbi kllapa të përbashkëta. jashtë kllapave dhe duke zbatuar formulën e shumëzimit të shkurtuar në drejtim të kundërt:.

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar

Kontrolloje.

Ky është një shembull për zgjidhjen tuaj. Përgjigjuni dhe plotësoni zgjidhjen në fund të orës së mësimit.

Shembulli 5

Gjeni integralin e pacaktuar

... Kontrolloje.

Në këtë shembull, integrandi është një thyesë. Kur shohim një thyesë në një integrand, mendimi i parë duhet të jetë pyetja: "A është e mundur që disi të heqim qafe këtë thyesë, ose të paktën ta thjeshtojmë atë?"

Vini re se emëruesi përmban rrënjën e vetme të "x". Njëri në fushë nuk është luftëtar, që do të thotë se mund ta ndani numëruesin me emëruesin sipas termit:

Ne nuk komentojmë veprime me fuqi thyesore, pasi ato janë diskutuar vazhdimisht në artikuj mbi derivatin e një funksioni.

Nëse jeni ende në mëdyshje nga një shembull si p.sh

dhe askush nuk merr përgjigjen e duhur,

Gjithashtu vini re se zgjidhjes i mungon një hap, që është zbatimi i rregullave , ... Zakonisht, me një përvojë në zgjidhjen e integraleve, këto rregulla konsiderohen një fakt i dukshëm dhe nuk përshkruhen në detaje.

Shembulli 6

Gjeni integralin e pacaktuar. Kontrolloje.

Ky është një shembull për zgjidhjen tuaj. Përgjigjuni dhe plotësoni zgjidhjen në fund të orës së mësimit.

Në rastin e përgjithshëm, nuk është aq e thjeshtë me fraksionet në integrale, materiali shtesë për integrimin e fraksioneve të disa llojeve mund të gjendet në artikull: Integrimi i disa thyesave... Por, përpara se të kaloni në artikullin e mësipërm, duhet të lexoni mësimin: Metoda e zëvendësimit në integralin e pacaktuar... Fakti është se përmbledhja e një funksioni nën një diferencial ose një metodë e ndryshimit të një ndryshoreje është pika kyçe në studimin e temës, pasi ajo gjendet jo vetëm "në probleme të pastra mbi metodën e zëvendësimit", por edhe në shumë varietete të tjera integralesh.

Zgjidhjet dhe përgjigjet:

Shembulli 2: Zgjidhja:

Shembulli 4: Zgjidhja:

Në këtë shembull, ne kemi përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit

Shembulli 6: Zgjidhja:

Metoda e ndryshimit të një ndryshoreje në një integral të pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh

Në këtë mësim do të njihemi me një nga teknikat më të rëndësishme dhe më të zakonshme të përdorura në zgjidhjen e integraleve të pacaktuara - metodën e ndryshimit të ndryshoreve. Për të zotëruar me sukses materialin, kërkohen njohuri fillestare dhe aftësi integruese. Nëse ka një ndjenjë të një çaji të plotë të zbrazët në llogaritjen integrale, atëherë së pari duhet të njiheni me materialin Integrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh, ku shpjegohet në një formë të arritshme se çfarë është një integral dhe shembujt bazë për fillestarët janë zbërthyer në detaje.

Teknikisht, metoda e ndryshimit të një ndryshoreje në një integral të pacaktuar zbatohet në dy mënyra:

- Sjellja e funksionit nën shenjën diferenciale.

- Zëvendësimi aktual i ndryshores.

Në thelb, ato janë një dhe e njëjta, por dizajni i zgjidhjes duket i ndryshëm. Le të fillojmë me një rast më të thjeshtë.

Le të jepet një funksion i dy ndryshoreve. Le t'i japim argumentit një rritje dhe ta lëmë argumentin të pandryshuar. Atëherë funksioni do të marrë një rritje, e cila quhet rritje e pjesshme në një ndryshore dhe shënohet:

Në mënyrë të ngjashme, duke rregulluar argumentin dhe duke i dhënë argumentit një rritje, marrim rritjen e pjesshme të funksionit në lidhje me variablin:

Vlera quhet rritja totale e funksionit në pikë.

Përkufizimi 4. Derivati ​​i pjesshëm i një funksioni të dy ndryshoreve në lidhje me njërën prej këtyre ndryshoreve është kufiri i raportit të rritjes korresponduese të pjesshme të funksionit me rritjen e një ndryshoreje të caktuar kur kjo e fundit tenton në zero (nëse ky kufi ekziston). Derivati ​​i pjesshëm shënohet si më poshtë: ose, ose.

Kështu, sipas përkufizimit, kemi:

Derivatet e pjesshëm të një funksioni llogariten sipas të njëjtave rregulla dhe formula si funksion i një ndryshoreje, duke marrë parasysh se kur diferencohet në lidhje me një ndryshore, ajo konsiderohet konstante dhe kur diferencohet në lidhje me një ndryshore, konsiderohet konstante.

Shembulli 3. Gjeni derivatet e pjesshme të funksioneve:

Zgjidhje. a) Për të gjetur, ne e konsiderojmë atë një konstante dhe diferencojmë si funksion të një ndryshoreje:

Në mënyrë të ngjashme, duke supozuar një vlerë konstante, gjejmë:

Përkufizimi 5. Diferenciali total i një funksioni është shuma e produkteve të derivateve të pjesshme të këtij funksioni nga rritja e variablave të pavarur përkatës, d.m.th.

Duke marrë parasysh se diferencialet e variablave të pavarur përkojnë me rritjet e tyre, d.m.th. , formula për diferencialin total mund të shkruhet si

Shembulli 4. Gjeni diferencialin total të një funksioni.

Zgjidhje. Meqenëse, atëherë me formulën për diferencialin total gjejmë

Derivatet e pjesshme të rendit më të lartë

Derivate të pjesshëm dhe quhen derivate të pjesshëm të rendit të parë ose derivate të pjesshëm të parë.

Përkufizimi 6. Derivatet e pjesshëm të rendit të dytë të një funksioni janë derivatet e pjesshëm të derivateve të pjesshëm të rendit të parë.

Ekzistojnë katër derivate të pjesshme të rendit të dytë. Ato janë caktuar si më poshtë:

Derivatet e pjesshme të rendit të tretë, të katërt dhe më të lartë përcaktohen në mënyrë të ngjashme. Për shembull, për një funksion kemi:

Derivatet e pjesshëm të rendit të dytë ose më të lartë, të marra në lidhje me variabla të ndryshëm, quhen derivate të pjesshëm të përzier. Për një funksion, këto janë derivatet. Vini re se në rastin kur derivatet e përziera janë të vazhdueshme, atëherë barazia vlen.

Shembulli 5. Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të dytë të funksionit

Zgjidhje. Derivatet e pjesshme të rendit të parë për këtë funksion gjenden në shembullin 3:

Duke diferencuar dhe në lidhje me ndryshoret x dhe y, marrim