Ligjet e veprimeve aritmetike janë shembuj. Ligjet e veprimeve aritmetike mbi numrat realë. Tema: Ligjet e veprimeve aritmetike

17.09.2021Titulli: Ndërtesat

Tema numër 1.

Numrat real.Shprehjet numerike. Konvertimi i shprehjeve numerike

I. Materiali teorik

Konceptet bazë

· Numrat e plotë

Shënim dhjetor

Numra të kundërt

· Numrat e plotë

Thyesë e zakonshme

Numrat racionalë

Dhjetë e pafundme

Numri i periudhës, thyesa periodike

Numrat irracionalë

Numrat realë

Veprimet aritmetike

Shprehje numerike

Vlera e shprehjes

Shndërrimi i një dhjetore në një thyesë

Shndërrimi i një thyese të zakonshme në një dhjetore

Shndërrimi i një thyese periodike në një thyesë të zakonshme

Ligjet e veprimeve aritmetike

Kriteret e pjesëtueshmërisë

Numrat që përdoren gjatë numërimit të objekteve ose për të treguar numrin serial të një objekti midis objekteve të ngjashëm quhen natyrore... Çdo numër natyror mund të shkruhet duke përdorur dhjetën shifra: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ky shënim i numrave quhet dhjetore.

për shembull: 24; 3711; 40125.

Bashkësia e numrave natyrorë zakonisht shënohet N.

Quhen dy numra që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në shenjë e kundërt numrat.

për shembull, numrat 7 dhe - 7.

Numrat natyrorë, përballë tyre, si dhe numri zero përbëjnë bashkësinë e tërë Z.

për shembull: – 37; 0; 2541.

Një numër i llojit, ku m - numër i plotë, n - numër natyror, i quajtur i zakonshëm fraksion... Vini re se çdo numër natyror mund të përfaqësohet si thyesë me emërues 1.

për shembull: , .

Bashkimi i bashkësive të numrave të plotë dhe numrave thyesorë (pozitiv dhe negativ) përbën bashkësinë racionale numrat. Është e zakonshme ta shënojmë atë P.

për shembull: ; – 17,55; .

Le të jepet një thyesë dhjetore. Kuptimi i tij nuk do të ndryshojë nëse caktoni ndonjë numër zero në të djathtë.

për shembull: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Kjo thyesë dhjetore quhet thyesë dhjetore e pafundme.

Çdo thyesë mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore e pafundme.

Thirret një grup shifrash i përsëritur në mënyrë sekuenciale pas pikës dhjetore në rekordin e numrave periudhë, dhe quhet një thyesë dhjetore e pafundme me një periudhë të tillë në shënimin e saj periodike... Për shkurtësi, është zakon të shkruhet periudha një herë, duke e vendosur atë në kllapa.

për shembull: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

Thyesat e pafundme dhjetore jo periodike quhen irracionale numrat.

Bashkësia e bashkësive të numrave racionalë dhe irracionalë përbën bashkësinë e vlefshme numrat. Është e zakonshme ta shënojmë atë R.

për shembull: ; 0,(23); 41,3574…

Numri është irracionale.

Për të gjithë numrat, përcaktohen veprimet e tre hapave:

· Veprimet e fazës I: mbledhje dhe zbritje;

· Veprimet e fazës II: shumëzim dhe pjesëtim;

· Veprimet e fazës III: ngritja në fuqi dhe nxjerrja e rrënjës.

Një shprehje e përbërë nga numra, shenja aritmetike dhe kllapa quhet numerike.

për shembull: ; .

Numri i marrë si rezultat i kryerjes së veprimeve quhet vlera e shprehjes.

Shprehje numerike nuk ka kuptim nëse përmban pjesëtimin me zero.

Kur gjendet vlera e shprehjes, veprimet e fazës III, të fazës II dhe në fund të veprimit të fazës I kryhen në mënyrë sekuenciale. Në këtë rast, është e nevojshme të merret parasysh vendosja e kllapave në një shprehje numerike.

Konvertimi i një shprehjeje numerike konsiston në kryerjen vijuese të veprimeve aritmetike mbi numrat e përfshirë në të duke përdorur rregullat e duhura (rregulli për shtimin e thyesave të zakonshme me emërues të ndryshëm, shumëzimin e thyesave dhjetore, etj.). Detyrat për konvertimin e shprehjeve numerike në mësime gjenden në formulimet e mëposhtme: "Gjeni vlerën e një shprehjeje numerike", "Thjeshtoni një shprehje numerike", "Llogaritni" etj.

Kur gjeni vlerat e disa shprehjeve numerike, duhet të kryeni veprime me thyesa lloj te ndryshme: i zakonshëm, dhjetor, periodik. Në këtë rast, mund të jetë e nevojshme të shndërroni një fraksion të zakonshëm në një dhjetor ose të kryeni veprimin e kundërt - të zëvendësoni fraksionin periodik me një të zakonshëm.

Për të kthyer thyesë dhjetore në të përbashkët, mjafton të shënohet numri pas presjes dhjetore në numëruesin e thyesës, dhe një me zero në emërues dhe duhet të ketë aq zero sa shifra në të djathtë të presjes dhjetore.

për shembull: ; .

Për të kthyer thyesa në dhjetor, duhet ta ndani numëruesin e tij me emëruesin sipas rregullit të pjesëtimit të një thyese dhjetore me një numër të plotë.

për shembull: ;

;

Për të kthyer thyesë periodike në të zakonshme, e nevojshme:

1) nga numri që qëndron përpara periudhës së dytë, zbritni numrin që qëndron përpara periudhës së parë;

2) shkruani këtë ndryshim si numërues;

3) në emërues shkruaje numrin 9 aq herë sa ka numra në pikë;

4) shtoni aq zero në emërues sa ka shifra midis presjes dhe pikës së parë.

për shembull: ; .

Ligjet e veprimeve aritmetike mbi numrat realë

1. Lëvizëse ligji (komutativ) i shtimit: vlera e shumës nuk ndryshon nga ndërrimi i termave:

2. Lëvizëse ligji (komutativ) i shumëzimit: ndërrimi i faktorëve nuk e ndryshon vlerën e prodhimit:

3. Kombinative ligji (asociativ) i shtimit: vlera e shumës nuk do të ndryshojë nëse ndonjë grup termash zëvendësohet nga shuma e tyre:

4. Kombinative Ligji (asociativ) i shumëzimit: vlera e produktit nuk do të ndryshojë nëse ndonjë grup faktorësh zëvendësohet nga një produkt:

5. Kryqëzim Ligji (shpërndarës) i shumëzimit në lidhje me mbledhjen: për të shumëzuar shumën me një numër, mjafton të shumëzoni çdo term me këtë numër dhe të shtoni produktet që rezultojnë:

Vetitë 6 - 10 quhen ligjet e përthithjes 0 dhe 1.

Kriteret e pjesëtueshmërisë

Vetitë që lejojnë, në disa raste, pa bërë pjesëtim, të përcaktohet nëse një numër pjesëtohet me një tjetër, quhen kriteret e pjesëtueshmërisë.

Pjesëtueshmëria me 2. Numri pjesëtohet me 2 nëse dhe vetëm nëse shkrimi i numrit përfundon me madje figura. Kjo është, në 0, 2, 4, 6, 8.

për shembull: 12834; –2538; 39,42.

Pjesëtueshmëria me 3... Një numër pjesëtohet me 3 nëse dhe vetëm nëse shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 3.

për shembull: 2742; –17940.

Pjesëtueshmëria me 4... Një numër që përmban të paktën tre shifra pjesëtohet me 4 nëse dhe vetëm nëse numri dyshifror i formuar nga dy shifrat e fundit të numrit të dhënë është i pjesëtueshëm me 4.

për shembull: 15436; –372516.

Pjesëtueshmëria me 5... Një numër pjesëtohet me 5 nëse dhe vetëm nëse shifra e fundit e tij është ose 0 ose 5.

për shembull: 754570; –4125.

Pjesëtueshmëria me 9... Një numër pjesëtohet me 9 nëse dhe vetëm nëse shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 9.

për shembull: 846; –76455.

18-19.10.2010

Tema: "LIGJET E VEPRIMET ARITHMETIKE"

Synimi: të njohë nxënësit me ligjet e veprimeve aritmetike.

Objektivat e mësimit:

të zbulojë ligjet e zhvendosjes dhe të kombinimit të mbledhjes dhe shumëzimit duke përdorur shembuj të veçantë, t'i mësojë ata të zbatojnë kur thjeshtojnë shprehjet;

për të formuar aftësinë për të thjeshtuar shprehjet;

Puna për zhvillimin e të menduarit logjik dhe të folurit të fëmijëve;

të edukojë pavarësinë, kuriozitetin, interesin për këtë temë.

UUD: aftësia për të vepruar me simbole shenjë-simbolike,

aftësia për të zgjedhur bazat, kriteret për krahasim, ballafaqim, vlerësim dhe klasifikim të objekteve.

Pajisjet: tekst shkollor, AAP, prezantim

Oriz. Fig. 30 31

Duke përdorur Figurën 30, shpjegoni pse ekziston barazia.

a + b = b + a.

Kjo barazi shpreh vetinë e mbledhjes që ju e dini. Mundohuni të mbani mend se cilën.

Kontrolloni veten:

Shuma nuk ndryshon nga ndryshimi i vendeve të termave

Kjo pronë - ligji i udhëtimit i shtimit.

Çfarë barazie mund të shkruhet nga Figura 31? Cila veti e mbledhjes e shpreh këtë barazi?

Kontrolloni veten.

Nga Figura 31 rrjedh se (a + b) + c = a + (b + c): nëse i shtoni termin e tretë shumës së dy anëtarëve, fitoni të njëjtin numër si nga mbledhja e shumës së termave të dytë dhe të tretë në termin e parë.

Në vend të (a + b) + c, si dhe | në vend të një + (b + c), thjesht mund të shkruani një + b + c.

Kjo pronë - ligji i kombinimit të shtimit.

Në matematikë, ligjet e veprimeve aritmetike shkruhen si në | formë verbale dhe në formën e barazive duke përdorur shkronja:

Shpjegoni se si llogaritjet e mëposhtme mund të thjeshtohen duke përdorur ligjet e mbledhjes dhe kryeni ato:

212. a) 48 + 56 + 52; e) 25 + 65 + 75;

b) 34 + 17 + 83; f) 35 + 17 + 65 + 33;

c) 56 + 24 + 38 + 62; g) 27 + 123 + 16 + 234;

d) 88 + 19 + 21 + 12; h) 156 + 79 + 21 + 44.

213. Duke përdorur figurën 32, shpjegoni pse barazia është e vërtetë ab = b a.

A mund ta merrni me mend se cili ligj e ilustron këtë barazi? A mund të argumentohet se për

Shumëzimi janë të njëjtat ligje si për mbledhjen? Mundohuni t'i formuloni ato,

dhe pastaj kontrolloni veten:

Duke përdorur ligjet e shumëzimit, llogaritni me gojë vlerat e shprehjeve të mëposhtme:

214. a) 76 · 5 · 2; c) 69 * 125 * 8; e) 8 941 125; B C

b) 465 * 25 * 4; d) 4 * 213 * 5 * 5; f) 2 5 126 4 25.

215. Gjeni sipërfaqen e një drejtkëndëshi ABCD(fig. 33) në dy mënyra.

216. Duke përdorur figurën 34, shpjegoni pse vlen barazia: a (b + c) = ab + ac.

Oriz. 34 Çfarë vetie të veprimeve aritmetike shpreh?

Kontrolloni veten. Kjo barazi ilustron vetinë e mëposhtme: kur shumëzoni një numër me një shumë, mund ta shumëzoni këtë numër me çdo term dhe të shtoni rezultatet e marra.

Kjo veti mund të formulohet në një mënyrë tjetër: shuma e dy ose më shumë produkteve që përmbajnë të njëjtin faktor mund të zëvendësohet nga produkti i këtij faktori me shumën e faktorëve të mbetur.

Kjo pronë është një ligj tjetër i operacioneve aritmetike - shpërndarës... Siç mund ta shihni, formulimi verbal i këtij ligji është shumë i rëndë dhe gjuha matematikore është mjeti që e bën atë konciz dhe të kuptueshëm:

Mendoni se si të kryeni me gojë llogaritjet në detyrat Nr. 217 - 220 dhe plotësoni ato.

217. a) 15 13; b) 26 22; c) 34 12; d) 27 21.

218. a) 44 52; b) 16 42; c) 35 · 33; d) 36 26.

219. a) 43 16 + 43 84; e) 62 16 + 38 16;

b) 85 47 + 53 85; f) 85 44 + 44 15;

c) 54 60 + 460 6. g) 240 710 + 7100 76;

d) 23 320 + 230 68; h) 38 5800 + 380 520.

220. a) 4 63 + 4 79 + 142 6; c) 17 27 + 23 17 + 50 19;

b) 7 125 + 3 62 + 63 3; d) 38 46 + 62 46 + 100 54.

221. Vizatoni një vizatim në fletoren tuaj për të vërtetuar barazinë nje ( b - c) = a b - ACE

222. Njehsoni gojarisht, duke zbatuar ligjin e shpërndarjes: a) 6 · 28; b) 18 21; c) 17 · 63; d) 19 98.

223. Njehsoni me gojë: a) 34 · 84 - 24 · 84; c) 51 78 - 51 58;

b) 45 40 - 40 25; d) 63 7 - 7 33

224 Njehsoni: a) 560 188 - 880 56; c) 490 730 - 73 900;

b) 84 670 - 640 67; d) 36 3400 - 360 140.

Llogaritni me gojë duke përdorur teknikat që dini:

225. a) 13 5 + 71 5; c) 87 5 - 23 5; e) 43 25 + 25 17;

b) 58 5 - 36 5; d) 48 5 + 54 5; f) 25 67 - 39 25.

226. Pa bërë asnjë llogaritje, krahasoni vlerat e shprehjeve:

a) 258 * (764 + 548) dhe 258 * 764 + 258 * 545; c) 532 · (618 - 436) dhe 532 · 618 –532 · 436;

b) 751 * (339 + 564) dhe 751 * 340 + 751 * 564; d) 496 (862 - 715) dhe 496 860 - 496 715.

227. Plotësoni tabelën:

A ju desh të bëni llogaritjet për të plotësuar rreshtin e dytë?

228. Si do të ndryshojë ky produkt nëse faktorët ndryshohen si më poshtë:

229. Shkruani cilët numra natyrorë ndodhen në rrezen e koordinatave:

a) në të majtë të numrit 7; c) midis numrave 2895 dhe 2901;

b) ndërmjet numrave 128 dhe 132; d) në të djathtë të numrit 487, por në të majtë të numrit 493.

230. Vendosni shenjat e veprimit për të marrë barazinë e saktë: a) 40 + 15? 17 = 72; c) 40? 15 ? 17 = 8;

b) 40? 15 ? 17 = 42; d) 120? 60? 60 = 0.

231 ... Çorapet janë blu në njërën kuti dhe të bardha në tjetrën. Ka 20 palë çorape blu më shumë se ato të bardha dhe ka vetëm dy kuti me 84 Lara çorape. Sa palë çorape të çdo ngjyre?

232 ... Në dyqan gjenden tre lloje drithërash: hikërror, elb margaritar dhe oriz, vetëm 580 kg. Nëse do të shiteshin 44 kg hikërror, 18 kg elb margaritar dhe 29 kg oriz, atëherë masa e drithërave të të gjitha llojeve do të bëhej e njëjtë. Sa kilogramë nga çdo lloj drithi ka në dyqan.

Qëllimi: të kontrollojë formimin e aftësive për të kryer llogaritjet me formula; të njohë fëmijët me ligjet e zhvendosjes, kombinimit dhe shpërndarjes së aritmetikës.

të njihet me shënimin e mirëfilltë të ligjeve të mbledhjes dhe shumëzimit; të mësojë të zbatojë ligjet e veprimeve aritmetike për të thjeshtuar llogaritjet dhe shprehjet fjalë për fjalë;
zhvillojnë të menduarit logjik, aftësitë mendore, shprehitë vullnetare, të folurit matematikor, kujtesën, vëmendjen, interesin për matematikën, prakticitetin;
nxisin respektin për njëri-tjetrin, ndjenjën e miqësisë, besimin.

Lloji i mësimit: i kombinuar.

verifikimi i njohurive të marra më parë;
përgatitjen e nxënësve për të zotëruar materialin e ri
prezantimi i materialit të ri;
perceptimi dhe ndërgjegjësimi i nxënësve për materialin e ri;
konsolidimi parësor i materialit të studiuar;
përmbledhja e mësimit dhe vendosja e detyrave të shtëpisë.

Pajisjet: kompjuter, projektor, prezantim.

Plani:

1. Momenti organizativ.
2. Verifikimi i materialit të studiuar më parë.
3. Mësimi i materialit të ri.
4. Provimi fillestar i përvetësimit të njohurive (punë me tekstin shkollor).
5. Kontrolli dhe vetëshqyrtimi i njohurive (punë e pavarur).
6. Përmbledhja e mësimit.
7. Reflektimi.

Gjatë orëve të mësimit

1. Momenti organizativ

Mësuesja: Mirëdita, fëmijë! Ne e fillojmë mësimin tonë me një poezi - fjalë ndarëse. Kushtojini vëmendje ekranit. (1 rrëshqitje). Shtojca 2 .

Shokët e matematikës
Absolutisht të gjithë kanë nevojë për të.
Punoni me zell në klasë
Dhe suksesi me siguri do t'ju presë!

2. Përsëritje e materialit

Le të përsërisim materialin e kaluar. Ftoj studentin në ekran. Detyra: të lidhni me tregues formulën e shkruar me emrin e saj dhe t'i përgjigjeni pyetjes, çfarë tjetër mund të gjendet me ndihmën e kësaj formule. (2 rrëshqitje).

Hap fletoret, firmos numrin, punë e lezetshme. Kushtojini vëmendje ekranit. (3 rrëshqitje).

Ne punojmë me gojë në rrëshqitjen tjetër. (5 rrëshqitje).

12 + 5 + 8 25 10 250 – 50
200 – 170 30 + 15 45: 3
15 + 30 45 – 17 28 25 4

Detyrë: gjeni kuptimin e shprehjeve. (Një student punon në ekran.)

- Çfarë gjërash interesante keni vënë re gjatë zgjidhjes së shembujve? Cilëve shembuj duhet t'i kushtoni vëmendje të veçantë? (Përgjigjet e fëmijëve.)

Situata problematike

- Cilat veti të mbledhjes dhe shumëzimit dini nga shkolla fillore? A dini si t'i shkruani ato duke përdorur shprehje fjalë për fjalë? (Përgjigjet e fëmijëve).

3. Mësimi i materialit të ri

- Dhe kështu, tema e mësimit të sotëm është "Ligjet e veprimeve aritmetike" (6 rrëshqitje).
- Shkruani temën e mësimit në një fletore.
- Çfarë të re duhet të mësojmë në mësim? (Së bashku me fëmijët formulohen qëllimet e mësimit).
- Ne shikojmë në ekran. (7 rrëshqitje).

Ju mund të shihni ligjet e shtimit të shkruara në formë shkronjash dhe shembuj. (Analiza e shembujve).

- Rrëshqitja tjetër (8 rrëshqitje).

Ne analizojmë ligjet e shumëzimit.

- Dhe tani le të njihemi me një ligj shumë të rëndësishëm të shpërndarjes (Rrëshqitje 9).

- Përmblidheni. (10 rrëshqitje).

- Pse është e nevojshme të njihen ligjet e veprimeve aritmetike? A do të jenë të dobishëm në studimet e mëtejshme, në studimin e çfarë lëndësh? (Përgjigjet e fëmijëve.)

- Shkruani ligjet në një fletore.

4. Sigurimi i materialit

- Hapni tekstin dhe gjeni me gojë numrin 212 (a, b, e).

Nr.212 (c, d, g, h) me shkrim në dërrasën e zezë dhe në fletore. (Ekzaminim).

- Punuar gojarisht në nr 214.

- Kryejmë detyrën numër 215. Cili ligj përdoret për zgjidhjen e këtij numri? (Përgjigjet e fëmijëve).

5. Punë e pavarur

- Shkruani përgjigjen në kartë dhe krahasoni rezultatet tuaja me shokun tuaj të tryezës. Tani kushtojini vëmendje ekranit. (11 rrëshqitje).(Vetë-test).

6. Përmbledhje e mësimit

- Kujdes ndaj ekranit. (12 rrëshqitje). Plotëso Fjalinë.

Notat e mësimit.

7. Detyrë shtëpie

§13, nr.227, 229.

8. Reflektimi

Qasja ndaj mbledhjes së numrave të plotë jo negativë bën të mundur që të vërtetohen ligjet e njohura të mbledhjes: zhvendosja dhe kombinimi.

Le të vërtetojmë së pari ligjin e zhvendosjes, domethënë do të vërtetojmë se për çdo numër të plotë jo negativ a dhe b vlen barazia a + b = b + a.

Le të jetë a numri i elementeve në bashkësinë A, b - numri i elementeve në bashkësinë B dhe AB = 0. Atëherë, sipas përkufizimit, shuma e numrave të plotë jo-negativ a + b është numri i elementeve të bashkimit të bashkësive A dhe B: a + b = n (A // B). Por bashkësia A B është e barabartë me bashkësinë B A sipas vetive të zhvendosjes së bashkimit të bashkësive, dhe, pra, n (AU B) = n (B U A). Sipas përcaktimit të shumës n (BiA) = b + a, prandaj a + b = b + a për çdo numër të plotë jo negativ a dhe b.

Le të provojmë tani ligjin e kombinimit, domethënë do të vërtetojmë se për çdo numër të plotë jo negativ a, b, c vlen barazia (a + b) + c = a + (b + c).

Le të a = n (A), b = n (B), c = n (C) dhe AUB = 0, BUC = 0 Pastaj, me përcaktimin e shumës së dy numrave, mund të shkruajmë (a + b) + c = n (A / /) B) + n (C) = n ((AUBUC).

Meqenëse bashkimi i bashkësive i bindet ligjit të kombinimit, atëherë n ((AUB) U C) = n (A U (BUC)). Prandaj, me përcaktimin e shumës së dy numrave, kemi n (A J (BUC)) = n (A) + n (BU C) = a + (b + c). Prandaj, (a + b) + c - a + (b + c) për çdo numër të plotë jo negativ a, b dhe c.

Cili është qëllimi i ligjit të kombinimit të mbledhjes? Ai shpjegon se si mund të gjeni shumën e tre termave: për këtë, mjafton të shtoni termin e parë me të dytin dhe të shtoni termin e tretë në numrin që rezulton ose t'i shtoni termin e parë shumës së dytë dhe të tretë. Vini re se ligji i kombinimit nuk nënkupton një ndryshim të termave.

Të dy ligjet e zhvendosjes dhe të kombinimit të mbledhjes mund të përgjithësohen në çdo numër termash. Në këtë rast, ligji i zhvendosjes do të thotë që shuma nuk ndryshon me ndonjë ndryshim të termave, dhe ligji i kombinimit do të thotë që shuma nuk ndryshon me asnjë grupim termash (pa ndryshuar renditjen e tyre).

Nga ligjet e mbledhjes së udhëtimit dhe kombinimit rezulton se shuma e disa termave nuk do të ndryshojë nëse ato riorganizohen në ndonjë mënyrë dhe nëse ndonjë grup prej tyre mbyllet në kllapa.

Ne llogarisim, duke përdorur ligjet e mbledhjes, vlerën e shprehjes 109 + 36+ 191 +64 + 27.

Në bazë të ligjit të transpozimit, ne riorganizojmë termat 36 dhe 191. Më pas 109 + 36 + 191 + 64 + 27 = 109 + 191 + 36 + 64 + 27.

Ne do të përdorim ligjin e kombinimit, duke grupuar termat dhe më pas do të gjejmë shumat në kllapa: 109+ 191 +36 + 64 + 27 == (109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.

Le të zbatojmë ligjin e kombinimit edhe një herë, duke mbyllur shumën e numrave 300 dhe 100 në kllapa: 300+ 100 + 27 = (300+ 100) + 27.

Le të bëjmë llogaritjet: (300+ 100) + 27 = 400+ 27 = 427.

Nxënësit e shkollave fillore njihen me pasurinë e luajtshme të mbledhjes kur studiojnë numrat e dhjetëshes së parë. Fillimisht përdoret për të përpiluar një tabelë mbledhjeje njëshifrore dhe më pas për të racionalizuar llogaritjet e ndryshme.

Ligji i kombinimit të mbledhjes nuk studiohet në mënyrë eksplicite në lëndën elementare të matematikës, por përdoret vazhdimisht. Pra, është baza për metodën e mbledhjes së një numri në pjesë: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1) + 1 = 4 + 1 = 5. Përveç kësaj, në rastet kur është e nevojshme të shtohet një numër në shumë, shuma në numër, shuma në shumë, ligji i kombinimit përdoret në kombinim me ligjin transpozues. Për shembull, propozohet të shtoni shumën 2 + 1 në numrin 4 në mënyrat e mëposhtme:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

Le të analizojmë këto metoda. Në rastin 1, llogaritjet janë kryer në përputhje me procedurën e treguar. Në rastin 2, zbatohet vetia e kombinimit të mbledhjes. Llogaritjet në rastin e fundit bazohen në ligjet e zhvendosjes dhe kombinimit të mbledhjes, dhe transformimet e ndërmjetme janë lënë jashtë. Ata janë të tillë. Së pari, në bazë të ligjit të zhvendosjes, termat 1 dhe 2 u riorganizuan: 4+ (2-1) = 4 + (1 + 2). Më pas kemi përdorur ligjin e kombinimit: 4 + (1 +2) = (4+ 1) + 2. Dhe, në fund, kemi bërë llogaritjet sipas procedurës (4 +1) + 2 = 5 + 2 = 7.

Rregullat për zbritjen e një numri nga një shumë dhe një shumë nga një numër

Le të justifikojmë rregullat e njohura për zbritjen e një numri nga një shumë dhe një shumë nga një numër.

Rregulli për zbritjen e një numri nga një shumë. Për të zbritur një numër nga shuma, mjafton që ky numër të zbritet nga njëra nga shumat e shumës dhe t'i shtohet një mbledhje tjetër në rezultatin e marrë.

Ne e shkruajmë këtë rregull duke përdorur simbolet: Nëse a, b, c janë numra të plotë jo negativ, atëherë:

a) për a> c kemi që (a + b) - c = (a - c) + b;

b) për b> c kemi që (a + b) - c = a + (b - c);

c) për a> c dhe b> c, mund të përdoret ndonjë nga këto formula.

Le të a> c, atëherë diferenca a - c ekziston. Le ta shënojmë me p: a - c = p. Prandaj a = p + c. Zëvendësoni shumën p + -c në vend të a në shprehjen (a + b) - c dhe shndërroni atë: (a + 6) --c = (p + c + b) - c = p + b + -c - c = p + b

Por shkronja p tregon ndryshimin a - c, që do të thotë se kemi (a + b) - - c = (a - c) + b, siç kërkohet.

Arsyetimi kryhet në mënyrë të ngjashme për raste të tjera. Tani le të japim një ilustrim të këtij rregulli (rasti "a") duke përdorur rrathët e Euler-it. Merrni tre grupe të fundme A, B dhe C të tilla që n (A) = a, n (B) = b, n (C) = c dhe AUB = 0, CUA. Atëherë (a + b) - c është numri i elementeve të bashkësisë (AUB) C, dhe numri (a - c) + b është numri i elementeve të grupit (AC) UB. Në rrathët e Euler-it, grupi (AUB) C përfaqësohet nga zona e hijezuar e treguar në figurë.

Është e lehtë të sigurohesh që grupi (AC) UB do të përfaqësohet saktësisht nga e njëjta zonë. Prandaj, (AUB) C = (AC) UB për të dhënat

grupet A, B dhe C. Prandaj, n ((AUB) C) = n ((AC) UB) dhe (a + b) - c - (a - c) + b.

Rasti b mund të ilustrohet në mënyrë të ngjashme.

Rregulli për zbritjen e shumës nga numri. Për të zbritur shumën e numrave nga numri, mjafton që nga ky numër të zbritet çdo term një nga një, dmth nëse a, b, c janë numra të plotë jo negativ, atëherë për a> b + c kemi a - (b + c ) = (a - b) - c.

Arsyetimi për këtë rregull dhe ilustrimi i tij teorik i grupeve kryhen në të njëjtën mënyrë si për rregullin për zbritjen e një numri nga një shumë.

Rregullat e mësipërme konsiderohen në shkollën fillore me shembuj specifikë, imazhet vizuale përdoren për justifikim. Këto rregulla ju lejojnë të kryeni llogaritjet në mënyrë efikase. Për shembull, rregulli për zbritjen e një shume nga një numër është baza për zbritjen e një numri në pjesë:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

Kuptimi i këtyre rregullave zbulohet mirë kur zgjidhen problemet aritmetike në mënyra të ndryshme. Për shembull, problemi “20 anije të vogla dhe 8 të mëdha peshkimi dolën në det në mëngjes. Janë kthyer 6 varka. Sa varka me peshkatarë duhet të kthehen akoma?" mund të zgjidhet në tre mënyra:

/ mënyrë. 1,20 + 8 = 28 2,28 - 6 = 22

// mënyrë. 1,20 - 6 = 14 2,14 + 8 = 22

Metoda III. 1,8 - 6 = 2 2,20 + 2 = 22

Ligjet e shumëzimit

Le të vërtetojmë ligjet e shumëzimit bazuar në përkufizimin e një produkti në termat e prodhimit kartezian të bashkësive.

1. Ligji i zhvendosjes: për çdo numër të plotë jo negativ a dhe b, barazia a * b = b * a është e vërtetë.

Le të a = n (A), b = n (B). Pastaj, sipas përkufizimit të produktit, a * b = n (A * B). Por grupet A * B dhe B * A janë me fuqi të barabartë: çdo çift (a, b) nga bashkësia AXB mund të shoqërohet me një çift të vetëm (b, a) nga bashkësia BxA dhe anasjelltas. Prandaj, n (AXB) = n (BxA), dhe për rrjedhojë a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-a.

2. Ligji i kombinimit: për çdo numër të plotë jonegativ a, b, c, barazia (a * b) * c = a * (b * c) është e vërtetë.

Le të a = n (A), b = n (B), c = n (C). Pastaj, sipas përcaktimit të produktit (ab) -c = n ((AXB) XQ, a- (b -c) = n (AX (BXQ). Bashkësitë (AxB) XC dhe AX (BX Q) janë të ndryshme: e para përbëhet nga çifte të formës ((a, b), c), dhe e dyta - nga çiftet e formës (a, (b, c)), ku aЈA, bЈB, cЈC. Por grupet (AXB) XC dhe AX (BXC) janë të barabarta, pasi ekziston një hartëzimi një me një i një grupi në tjetrin. Prandaj, n ((AXB) * C) = n (A * (B * C)), dhe , pra, (a * b) * c = a * (b * c).

3. Ligji i shpërndarjes së shumëzimit në lidhje me mbledhjen: për çdo numër të plotë jonegativ a, b, c, barazia (a + b) x c = ac + be është e vërtetë.

Le të a - n (A), b = n (B), c = n (C) dhe AUB = 0. Pastaj, me përkufizimin e produktit, kemi (a + b) xc = n ((AUB) * C. Nga ku, bazuar në barazinë (*) marrim n ((A UB) * C) = n ((A * C) U (B * C)), dhe më tej, me përcaktimin e shumës dhe produktit n ( (A * C) U (B * C) ) - = n (A * C) + n (B * C) = ac + bc.

4. Ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me zbritjen: për çdo numër të plotë jonegativ a, b dhe c dhe a ^ b, barazia (a - b) c = = ac - bc është e vërtetë.

Ky ligj rrjedh nga barazia (AB) * C = (A * C) (B * C) dhe vërtetohet në mënyrë të ngjashme me atë të mëparshme.

Ligjet e lëvizjes dhe kombinimit të shumëzimit mund të shtrihen në çdo numër faktorësh. Ashtu si me shtimin, këto ligje shpesh përdoren së bashku, domethënë, produkti i disa faktorëve nuk do të ndryshojë nëse ato riorganizohen në ndonjë mënyrë dhe nëse ndonjë grup prej tyre mbyllet në kllapa.

Ligjet e shpërndarjes vendosin lidhjen midis shumëzimit dhe mbledhjes dhe zbritjes. Në bazë të këtyre ligjeve, kllapat zgjerohen në shprehje si (a + b) c dhe (a - b) c, si dhe faktori nxirret nga kllapat nëse shprehja ka formën ac - be ose

Në kursin elementar të matematikës studiohet vetia e transpozueshme e shumëzimit, ajo formulohet si më poshtë: "Produkti nuk do të ndryshojë nga ndërrimi i faktorëve" - dhe përdoret gjerësisht në përpilimin e tabelës së shumëzimit për numrat njëshifrorë. Ligji i kombinimit në shkollën fillore nuk merret në konsideratë në mënyrë eksplicite, por përdoret së bashku me ligjin e përfaqësuesit kur shumëzohet një numër me një produkt. Ndodh si më poshtë: studentët ftohen të shqyrtojnë mënyra të ndryshme për të gjetur vlerën e shprehjes 3 * (5 * 2) dhe të krahasojnë rezultatet.

Janë dhënë rastet:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

E para prej tyre bazohet në rregullin e rendit të veprimeve, e dyta - në ligjin e kombinimit të shumëzimit, e treta - në ligjet e transpozueshme dhe të kombinimit të shumëzimit.

Ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me mbledhjen konsiderohet në shkollë me shembuj specifik dhe quhet rregullat për shumëzimin e një numri me një shumë dhe një shumë me një numër. Marrja në konsideratë e këtyre dy rregullave diktohet nga konsiderata metodologjike.

Rregullat për pjesëtimin e një shume me një numër dhe të numrave me një produkt

Le të njihemi me disa veti të pjesëtimit të numrave natyrorë. Zgjedhja e këtyre rregullave përcaktohet nga përmbajtja e lëndës elementare të matematikës.

Rregulli për pjesëtimin e një shume me një numër. Nëse numrat a dhe b janë të pjesëtueshëm me numrin c, atëherë shuma e tyre a + b pjesëtohet me c; herësi i përftuar nga pjesëtimi i shumës a + b me numrin c është i barabartë me shumën e herësit që fitohet duke pjesëtuar a me c dhe b me c, d.m.th.

(a + b): c = a: c + b: c.

Dëshmi. Duke qenë se a është i pjesëtueshëm me c, ekziston një numër natyror m = a: c i tillë që a = c-m. Në mënyrë të ngjashme, ekziston një numër natyror n - b: c i tillë që b = c-n. Atëherë a + b = = c-m + c- / 2 = c- (m + n). Nga kjo rrjedh se a + b pjesëtohet me c dhe herësi i marrë duke pjesëtuar a + b me numrin c është i barabartë me m + n, domethënë a: c + b: c.

Rregulli i provuar mund të interpretohet nga një këndvështrim teorik i grupeve.

Le të a = n (A), b = n (B) dhe AGB = 0. Nëse secila prej bashkësive A dhe B mund të ndahet në c nënbashkësi po aq të fuqishme, atëherë bashkimi i këtyre grupeve pranon gjithashtu të njëjtën ndarje.

Për më tepër, nëse çdo nënbashkësi e ndarjes së grupit A përmban elemente a: c, dhe çdo nënbashkësi e grupit B përmban elemente b: c, atëherë çdo nënbashkësi e grupit A [) B përmban elemente a: c + b: c . Kjo do të thotë se (a + b): c = a: c + b: c.

Rregulli për pjesëtimin e një numri me një produkt. Nëse një numër natyror a është i plotpjesëtueshëm me numrat natyrorë b dhe c, atëherë për të pjesëtuar a me prodhimin e numrave b dhe c, mjafton të pjesëtohet numri a me b (c) dhe herësi që rezulton të pjesëtohet me c ( b): a: (b * c) - (a: b): c = (a: c): b Vërtetim. Vendos (a: b): c = x. Atëherë, me përkufizimin e herësit, a: b = c-x, pra është analog me a - b- (cx). Bazuar në ligjin e kombinimit të shumëzimit a = (bc) -x. Barazia që rezulton do të thotë që a: (bc) = x. Pra a: (bc) = (a: b): c.

Rregulli për shumëzimin e një numri me një herës dy numrash. Për të shumëzuar një numër me një herës dy numrash, mjafton që ky numër të shumëzohet me dividentin dhe produkti që rezulton të pjesëtohet me pjesëtuesin, d.m.th.

a- (b: c) = (a-b): c.

Zbatimi i rregullave të formuluara ju lejon të thjeshtoni llogaritjet.

Për shembull, për të gjetur vlerën e shprehjes (720+ 600): 24, mjafton të pjesëtosh me 24 termat 720 dhe 600 dhe të shtosh koeficientët që rezultojnë:

(720+ 600): 24 = 720: 24 + 600: 24 = 30 + 25 = 55. Vlera e shprehjes 1440: (12 * 15) mund të gjendet duke pjesëtuar fillimisht 1440 me 12, dhe më pas herësi që rezulton është pjesëtuar me 15:

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

Këto rregulla merren parasysh në kursin fillestar të matematikës me shembuj specifik. Në njohjen e parë me rregullin e pjesëtimit të shumës 6 + 4 me numrin 2, përdoret materiali ilustrues. Në të ardhmen, ky rregull përdoret për të racionalizuar llogaritjet. Rregulli i pjesëtimit të një numri me një produkt përdoret gjerësisht kur pjesëtohen numrat që mbarojnë me zero.

Në të ardhmen, kur të studiojmë veprimet mbi numrat, të përfaqësuar me numra ose shkronja (nuk ka rëndësi), do të duhet të mbështetemi në shumë përfundime në ato ligje veprimesh që janë studiuar në aritmetikë. Për shkak të rëndësisë së këtyre ligjeve, ato quhen ligje themelore të veprimit.

Le t'i kujtojmë ato.

1. Ligji i udhëtimit i shtimit.

Shuma nuk ndryshon nga një ndryshim në rendin e termave.

Ky ligj është shkruar tashmë në § 1 në formën e barazisë:

ku a dhe janë çdo numër.

Dihet nga aritmetika se ligji i zhvendosjes është i vërtetë për shumën e çdo numri termash.

2. Ligji i kombinuar i shtimit.

Shuma e disa termave nuk do të ndryshojë nëse një grup termash fqinjë zëvendësohet nga shuma e tyre.

Për shumën e tre termave, kemi:

Për shembull, shuma mund të llogaritet në dy mënyra si më poshtë:

Ligji i kombinimit është i vlefshëm për çdo numër termash.

Pra, në shumën e katër termave, termat ngjitur mund të kombinohen në grupe sipas dëshirës dhe këta terma mund të zëvendësohen me shumën e tyre:

Për shembull, marrim të njëjtin numër 16, pavarësisht se si grupojmë termat ngjitur:

Ligjet e lëvizjes dhe kombinimit përdoren shpesh në llogaritjet gojore, duke vendosur numra në mënyrë që të jetë më e lehtë t'i shtoni ato në kokën tuaj.

Le të shkëmbejmë dy termat e fundit, marrim:

Shtimi i numrave në atë renditje doli të ishte shumë më i lehtë.

Zakonisht, termat në rendin e ri nuk rishkruhen, por lëvizin në mendje: pasi kanë riorganizuar 67 dhe unë mendërisht, ata menjëherë shtojnë 89 dhe 11 dhe më pas shtojnë 67.