Momenti i inercisë është relativ. Momenti i inercisë së trupave gjatë lëvizjes rrotulluese. Shembuj të momenteve të inercisë së disa trupave
Momenti i inercisë së një trupi (sistemi) në lidhje me një bosht të caktuar Oz (ose momenti boshtor i inercisë) është një sasi skalare që është e ndryshme në shumën e produkteve të masave të të gjitha pikave të trupit (sistemit) nga katrorët e largësive të tyre nga ky bosht:
Nga përkufizimi rezulton se momenti i inercisë së një trupi (ose sistemi) në lidhje me çdo bosht është një vlerë pozitive dhe jo e barabartë me zero.
Në vijim do të tregohet se momenti boshtor i inercisë luan të njëjtin rol gjatë lëvizjes rrotulluese të trupit si masa gjatë përkthimit, dmth se momenti boshtor i inercisë është masë e inercisë së trupit gjatë lëvizje rrotulluese.
Sipas formulës (2), momenti i inercisë së një trupi është i barabartë me shumën e momenteve të inercisë së të gjitha pjesëve të tij rreth të njëjtit bosht. Për një pikë materiale të vendosur në një distancë h nga boshti,. Njësia matëse e momentit të inercisë në SI do të jetë 1 kg (në sistemin MKGSS -).
Për të llogaritur momentet boshtore të inercisë, distancat e pikave nga boshtet mund të shprehen në terma të koordinatave të këtyre pikave (për shembull, katrori i distancës nga boshti Ox do të jetë, etj.).
Pastaj momentet e inercisë rreth boshteve do të përcaktohen nga formula:
Shpesh, gjatë llogaritjeve, përdoret koncepti i rrezes së rrotullimit. Rrezja e rrotullimit të një trupi rreth një boshti është një sasi lineare e përcaktuar nga barazia
ku M është pesha trupore. Nga përkufizimi rezulton se rrezja e rrotullimit është gjeometrikisht e barabartë me distancën nga boshti i pikës në të cilën masa e të gjithë trupit duhet të përqendrohet në mënyrë që momenti i inercisë së njërës prej kësaj pike të jetë i barabartë me momentin e inercia e të gjithë trupit.
Duke ditur rrezen e rrotullimit, mund të përdorim formulën (4) për të gjetur momentin e inercisë së trupit dhe anasjelltas.
Formulat (2) dhe (3) janë të vlefshme si për një trup të ngurtë ashtu edhe për çdo sistem pikash materiale. Në rastin e një trupi të ngurtë, duke e ndarë atë në pjesë elementare, gjejmë se në kufi shuma në barazi (2) kthehet në integral. Si rezultat, duke marrë parasysh se ku është dendësia dhe V është vëllimi, marrim
Integrali këtu shtrihet në të gjithë vëllimin V të trupit, dhe dendësia dhe distanca h varen nga koordinatat e pikave të trupit. Në mënyrë të ngjashme, formulat (3) për trupat e ngurtë marrin formën
Është i përshtatshëm për të përdorur formulat (5) dhe (5) kur llogariten momentet e inercisë së trupave uniformë të formës së rregullt. Në këtë rast, dendësia do të jetë konstante dhe do të shkojë përtej shenjës integrale.
Le të gjejmë momentet e inercisë së disa trupave homogjenë.
1. Shufra e hollë homogjene me gjatësi l dhe masë M. Le të llogarisim momentin e saj të inercisë në lidhje me boshtin pingul me shufrën dhe që kalon nga skaji i saj A (Fig. 275). Le ta drejtojmë boshtin e koordinatave përgjatë AB. Pastaj, për çdo segment elementar me gjatësi d, vlera dhe masa, ku është masa e gjatësisë së njësisë së shufrës. Si rezultat, formula (5) jep
Duke e zëvendësuar këtu me vlerën e saj, më në fund e gjejmë
2. Unazë e hollë homogjene e rrumbullakët me rreze R dhe masë M. Le të gjejmë momentin e tij të inercisë në lidhje me boshtin pingul me rrafshin e unazës dhe që kalon nga qendra e saj C (Fig. 276).
Meqenëse të gjitha pikat e unazës janë në një distancë nga boshti, formula (2) jep
Prandaj, për unazën
Natyrisht, i njëjti rezultat do të merret për momentin e inercisë së një guaskë të hollë cilindrike me masë M dhe rreze R në lidhje me boshtin e saj.
3. Një pllakë e rrumbullakët homogjene ose cilindër me rreze R dhe masë M. Le të llogarisim momentin e inercisë së pllakës së rrumbullakët në lidhje me boshtin pingul me pllakën dhe që kalon nga qendra e saj (shih Fig. 276). Për ta bërë këtë, zgjidhni një unazë elementare me një rreze dhe gjerësi (Fig. 277, a). Sipërfaqja e kësaj unaze dhe masa ku është masa e njësisë së sipërfaqes së pllakës. Pastaj, sipas formulës (7), për unazën elementare të zgjedhur dhe për të gjithë pjatën
Trupi m për distancë katrore d ndërmjet boshteve:
J = J c + m d 2, (\ stili i shfaqjes J = J_ (c) + md ^ (2),)ku m- pesha totale e trupit.
Për shembull, momenti i inercisë së një shufre rreth një boshti që kalon nga fundi i saj është:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\ stili i ekranit J = J_ (c) + md ^ (2) = (\ frac (1) (12)) ml ^ (2) + m \ majtas ((\ frac (l) (2)) \ djathtas) ^ (2) = (\ frac (1) (3)) ml ^ (2).)Momentet boshtore të inercisë së disa trupave
| Trupi | Përshkrim | Pozicioni i boshtit a | Momenti i inercisë J a |
|---|---|---|---|
| Pika materiale e masës m | Në distancë r nga një pikë, i palëvizshëm | ||
| Cilindri i zbrazët me mure të hollë ose unazë me rreze r dhe masat m | Boshti i cilindrit | m r 2 (\ stili i ekranit mr ^ (2)) | |
| Cilindri ose disku i ngurtë me rreze r dhe masat m | Boshti i cilindrit | 1 2 m r 2 (\ stili i ekranit (\ frac (1) (2)) mr ^ (2)) | |
| Cilindri masiv i zbrazët me mure të trasha m me rreze të jashtme r 2 dhe rrezja e brendshme r 1 | Boshti i cilindrit | m r 2 2 + r 1 2 2 (\ stili i ekranit m (\ frac (r_ (2) ^ (2) + r_ (1) ^ (2)) (2))) | |
| Gjatësia e cilindrit të ngurtë l, rreze r dhe masat m | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\ stili i shfaqjes (1 \ mbi 4) m \ cdot r ^ (2) + (1 \ mbi 12) m \ cdot l ^ (2)) | ||
| Gjatësia e cilindrit (unazës) me mure të holla boshe l, rreze r dhe masat m | Boshti është pingul me cilindrin dhe kalon nëpër qendrën e masës së tij | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\ stili i shfaqjes (1 \ mbi 2) m \ cdot r ^ (2) + (1 \ mbi 12) m \ cdot l ^ (2)) | |
| Gjatësia e drejtë e shufrës së hollë l dhe masat m | Boshti është pingul me shufrën dhe kalon nëpër qendrën e masës së tij | 1 12 m l 2 (\ stili i shfaqjes (\ frac (1) (12)) ml ^ (2)) | |
| Gjatësia e drejtë e shufrës së hollë l dhe masat m | Aksi është pingul me shiritin dhe kalon nga fundi i tij | 1 3 m l 2 (\ stili i ekranit (\ frak (1) (3)) ml ^ (2)) | |
| Sferë me mure të hollë me rreze r dhe masat m | Boshti kalon nëpër qendër të sferës | 2 3 m r 2 (\ stili i ekranit (\ frac (2) (3)) mr ^ (2)) | |
| Rrezja e topit r dhe masat m | Boshti kalon nëpër qendër të topit | 2 5 m r 2 (\ stili i ekranit (\ frac (2) (5)) mr ^ (2)) | |
| Koni i rrezes r dhe masat m | Boshti i konit | 3 10 m r 2 (\ stili i shfaqjes (\ frac (3) (10)) mr ^ (2)) | |
| Trekëndëshi dykëndësh me lartësi h, baza a dhe masës m | Boshti është pingul me rrafshin e trekëndëshit dhe kalon nëpër kulm | 1 24 m (a 2 + 12 orë 2) (\ stili i shfaqjes (\ frac (1) (24)) m (a ^ (2) + 12 orë ^ (2))) | |
| Trekëndësh i rregullt me anë a dhe masës m | Boshti është pingul me rrafshin e trekëndëshit dhe kalon nëpër qendrën e masës | 1 12 m a 2 (\ stili i ekranit (\ frak (1) (12)) ma ^ (2)) | |
| Sheshi me anë a dhe masës m | Boshti është pingul me rrafshin e katrorit dhe kalon nëpër qendrën e masës | 1 6 m a 2 (\ stili i ekranit (\ frac (1) (6)) ma ^ (2)) | |
| Drejtkëndësh me brinjë a dhe b dhe masës m | Boshti është pingul me rrafshin e drejtkëndëshit dhe kalon nëpër qendrën e masës | 1 12 m (a 2 + b 2) (\ stili i shfaqjes (\ frac (1) (12)) m (a ^ (2) + b ^ (2))) | |
| N-gon i rregullt me rreze r dhe masës m | Boshti është pingul me rrafshin dhe kalon nëpër qendrën e masës | m r 2 6 [1 + 2 cos (π / n) 2] (\ stili i shfaqjes (\ frac (mr ^ (2)) (6)) \ majtas) | |
| Torus (i zbrazët) me rreze rrethi udhëzues R, rrezja e rrethit gjenerues r dhe masës m | Boshti është pingul me rrafshin e rrethit drejtues të torusit dhe kalon nëpër qendrën e masës | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\ stili i ekranit I = m \ majtas ((\ frac (3) (4)) \, r ^ (2) + R ^ (2) \ djathtas)) |
Nxjerrja e formulave
Cilindri me mure të hollë (unazë, unazë)
Derivimi i formulës
Momenti i inercisë së një trupi është i barabartë me shumën e momenteve të inercisë së pjesëve përbërëse të tij. Le të thyejmë një cilindër me mure të hollë në elementë me masë dm dhe momentet e inercisë dJ i... Pastaj
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (një) . (\ stili i shfaqjes J = \ shuma dJ_ (i) = \ shuma R_ (i) ^ (2) dm. \ qquad (1).)Meqenëse të gjithë elementët e një cilindri me mure të hollë janë në të njëjtën distancë nga boshti i rrotullimit, formula (1) shndërrohet në formën
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2. (\ stili i ekranit J = \ shuma R ^ (2) dm = R ^ (2) \ shuma dm = mR ^ (2).)Cilindri me mur të trashë (unazë, rrathë)
Derivimi i formulës
Le të ketë një unazë homogjene me një rreze të jashtme R, rreze e brendshme R 1, i trashë h dhe dendësia ρ. Le ta ndajmë në unaza të holla të trasha dr... Masa dhe momenti i inercisë së një unaze të hollë me rreze r do të jetë
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r. (\ stili i ekranit dm = \ rho dV = \ rho \ cdot 2 \ pi rhdr; \ qquad dJ = r ^ (2) dm = 2 \ pi \ rho hr ^ (3) dr.)Momentin e inercisë së një unaze të trashë e gjejmë si integral
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 dr = (\ stili i shfaqjes J = \ int _ (R_ (1)) ^ (R) dJ = 2 \ pi \ rho h \ int _ (R_ (1)) ^ (R) r ^ (3) dr =) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 - R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 - R 1 2) (R 2 + R 1 2). (\ stili i shfaqjes = 2 \ pi \ rho h \ majtas. (\ frac (r ^ (4)) (4)) \ djathtas | _ (R_ (1)) ^ (R) = (\ frac (1) (2 )) \ pi \ rho h \ majtas (R ^ (4) -R_ (1) ^ (4) \ djathtas) = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho h \ majtas (R ^ (2 ) -R_ (1) ^ (2) \ djathtas) \ majtas (R ^ (2) + R_ (1) ^ (2) \ djathtas).)Meqenëse vëllimi dhe masa e unazës janë të barabarta
V = π (R2 - R12) h; m = ρ V = π ρ (R 2 - R 1 2) h, (\ stili i ekranit V = \ pi \ majtas (R ^ (2) -R_ (1) ^ (2) \ djathtas) h; \ qquad m = \ rho V = \ pi \ rho \ majtas (R ^ (2) -R_ (1) ^ (2) \ djathtas) h,)marrim formulën përfundimtare për momentin e inercisë së unazës
J = 1 2 m (R 2 + R 1 2). (\ stili i ekranit J = (\ frac (1) (2)) m \ majtas (R ^ (2) + R_ (1) ^ (2) \ djathtas).)Disku homogjen (cilindër i ngurtë)
Derivimi i formulës
Duke e konsideruar cilindrin (diskun) si një unazë me rreze të brendshme zero ( R 1 = 0), marrim formulën për momentin e inercisë së cilindrit (diskut):
J = 1 2 m R 2. (\ stili i ekranit J = (\ frac (1) (2)) mR ^ (2).)Kon i ngurtë
Derivimi i formulës
Le ta thyejmë konin në disqe të hollë të trashë dh pingul me boshtin e konit. Rrezja e një disku të tillë është
r = R h H, (\ stili i ekranit r = (\ frac (Rh) (H)),)ku R- rrezja e bazës së konit, H- lartësia e konit, hËshtë distanca nga maja e konit deri te disku. Masa dhe momenti i inercisë së një disku të tillë do të jenë
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h; (\ stili i ekranit dJ = (\ frac (1) (2)) r ^ (2) dm = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho r ^ (4) dh = (\ frac (1) ( 2)) \ pi \ rho \ majtas ((\ frac (Rh) (H)) \ djathtas) ^ (4) dh;)Duke u integruar, ne marrim
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2. (\ stili i ekranit (\ fillimi (i rreshtuar) J = \ int _ (0) ^ (H) dJ = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho \ majtas ((\ frac (R) (H)) \ djathtas) ^ (4) \ int _ (0) ^ (H) h ^ (4) dh = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho \ majtas ((\ frac (R) (H) ) \ djathtas) ^ (4) \ majtas. (\ frac (h ^ (5)) (5)) \ djathtas | _ (0) ^ (H) == (\ frac (1) (10)) \ pi \ rho R ^ (4) H = \ majtas (\ rho \ cdot (\ frac (1) (3)) \ pi R ^ (2) H \ djathtas) (\ frac (3) (10)) R ^ ( 2) = (\ frac (3) (10)) mR ^ (2). \ Fundi (i rreshtuar)))Top i ngurtë homogjen
Derivimi i formulës
Le ta thyejmë topin në disqe të hollë të trashë dh pingul me boshtin e rrotullimit. Rrezja e një disku të tillë ndodhet në një lartësi h nga qendra e sferës, gjejmë sipas formulës
r = R 2 - h 2. (\ stili i ekranit r = (\ sqrt (R ^ (2) -h ^ (2))).)Masa dhe momenti i inercisë së një disku të tillë do të jenë
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h; (\ stili i ekranit dm = \ rho dV = \ rho \ cdot \ pi r ^ (2) dh;) d J = 1 2 r 2 dm = 1 2 π ρ r 4 dh = 1 2 π ρ (R 2 - h 2) 2 dh = 1 2 π ρ (R 4 - 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\ stili i ekranit dJ = (\ frac (1) (2)) r ^ (2) dm = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho r ^ (4) dh = (\ frac (1) ( 2)) \ pi \ rho \ majtas (R ^ (2) -h ^ (2) \ djathtas) ^ (2) dh = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho \ majtas (R ^ ( 4) -2R ^ (2) h ^ (2) + h ^ (4) \ djathtas) dh.)Momentin e inercisë së topit e gjejmë duke integruar:
J = ∫ - RR d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 - 2 R 2 h 2 + h 4) dh = = π ρ (R 4 h - 2 3 R 2 h 3 + 1 5 orë 5) | 0 R = π ρ (R 5 - 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2. (\ stili i shfaqjes (\ fillojë (përafruar) J & = \ int _ (- R) ^ (R) dJ = 2 \ int _ (0) ^ (R) dJ = \ pi \ rho \ int _ (0) ^ ( R ) \ majtas (R ^ (4) -2R ^ (2) h ^ (2) + h ^ (4) \ djathtas) dh = \\ & = \ pi \ rho \ majtas. \ majtas (R ^ (4 ) h - (\ frac (2) (3)) R ^ (2) h ^ (3) + (\ frac (1) (5)) h ^ (5) \ djathtas) \ djathtas | _ (0) ^ ( R) = \ pi \ rho \ majtas (R ^ (5) - (\ frac (2) (3)) R ^ (5) + (\ frac (1) (5)) R ^ (5) \ djathtas ) = (\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5) = \\ & = \ majtas ((\ frac (4) (3)) \ pi R ^ (3) \ rho \ djathtas ) \ cdot (\ frac (2) (5)) R ^ (2) = (\ frac (2) (5)) mR ^ (2). \ fundi (drejtuar)))Sferë me mure të hollë
Derivimi i formulës
Për nxjerrjen, ne përdorim formulën për momentin e inercisë së një topi homogjen me rreze R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5. (\ stili i ekranit J_ (0) = (\ frac (2) (5)) MR ^ (2) = (\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5).)Le të llogarisim se sa do të ndryshojë momenti i inercisë së topit nëse, me një densitet konstant ρ, rrezja e tij rritet me një sasi pafundësisht të vogël dR .
J = d J 0 d R d R = dd R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2. (\ stili i ekranit (\ fillimi (rrenjuar) J & = (\ frac (dJ_ (0)) (dR)) dR = (\ frac (d) (dR)) \ majtas ((\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5) \ djathtas) dR = \\ & = (\ frac (8) (3)) \ pi \ rho R ^ (4) dR = \ majtas (\ rho \ cdot 4 \ pi R ^ (2) dR \ djathtas) (\ frac (2) (3)) R ^ (2) = (\ frac (2) (3)) mR ^ (2). \ Fundi (i rreshtuar))Shufra e hollë (boshti kalon nëpër qendër)
Derivimi i formulës
Le ta thyejmë shufrën në copa të vogla gjatësi dr... Masa dhe momenti i inercisë së një fragmenti të tillë është
d m = m d r l; d J = r 2 d m = m r 2 d r l. (\ stili i ekranit dm = (\ frac (mdr) (l)); \ qquad dJ = r ^ (2) dm = (\ frac (mr ^ (2) dr) (l)).)Duke u integruar, ne marrim
J = ∫ - l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2. (\ stili i ekranit J = \ int _ (- l / 2) ^ (l / 2) dJ = 2 \ int _ (0) ^ (l / 2) dJ = (\ frac (2m) (l)) \ int _ (0) ^ (l / 2) r ^ (2) dr = (\ frac (2m) (l)) \ majtas. (\ Frac (r ^ (3)) (3)) \ djathtas | _ (0) ^ (l / 2) = (\ frac (2m) (l)) (\ frac (l ^ (3)) (24)) = (\ frac (1) (12)) ml ^ (2).)Shufra e hollë (boshti kalon në fund)
Derivimi i formulës
Kur lëvizni boshtin e rrotullimit nga mesi i shiritit në fund të tij, qendra e gravitetit të shiritit lëviz në lidhje me boshtin me një distancë l⁄ 2... Sipas teoremës së Shtajnerit, momenti i ri i inercisë do të jetë i barabartë me
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2. (\ stili i ekranit J = J_ (0) + mr ^ (2) = J_ (0) + m \ majtas ((\ frac (l) (2)) \ djathtas) ^ (2) = (\ frac (1) ( 12)) ml ^ (2) + (\ frac (1) (4)) ml ^ (2) = (\ frac (1) (3)) ml ^ (2).)Momente pa dimension të inercisë së planetëve dhe satelitëve
Momentet e inercisë pa dimensione kanë një rëndësi të madhe për studimet e strukturës së brendshme të planetëve dhe satelitëve të tyre. Momenti pa dimension i inercisë së një trupi me rreze r dhe masat mështë e barabartë me raportin e momentit të tij të inercisë në lidhje me boshtin e rrotullimit me momentin e inercisë së një pike materiale me të njëjtën masë në lidhje me një bosht fiks rrotullimi të vendosur në një distancë r(e barabartë me Zoti 2). Kjo vlerë pasqyron shpërndarjen në thellësi të masës. Një nga metodat për matjen e tij në planetë dhe satelitë është përcaktimi i zhvendosjes Doppler të një sinjali radio të transmetuar nga një AMC që fluturon rreth një planeti ose sateliti të caktuar. Për një sferë me mure të hollë, momenti i inercisë pa dimension është 2/3 (~ 0,67), për një sferë homogjene - 0,4, dhe në përgjithësi sa më pak, aq më e madhe është masa e trupit të përqendruar në qendër. Për shembull, Hëna ka një moment inercie pa dimension afër 0,4 (e barabartë me 0,391), prandaj supozohet se është relativisht uniforme, dendësia e saj ndryshon pak me thellësinë. Momenti pa dimension i inercisë së Tokës është më i vogël se ai i një sfere homogjene (e barabartë me 0,335), që është një argument në favor të ekzistencës së një bërthame të dendur në të.
Momenti centrifugal i inercisë
Momentet centrifugale të inercisë së një trupi në lidhje me boshtet e një sistemi koordinativ kartezian drejtkëndor janë këto sasi:
J xy = ∫ (m) xydm = ∫ (V) xy ρ d V, (\ stili i shfaqjes J_ (xy) = \ int \ limitet _ ((m)) xydm = \ int \ limitet _ ((V)) xy \ rho dV,) J xz = ∫ (m) xzdm = ∫ (V) xz ρ d V, (\ stili i shfaqjes J_ (xz) = \ int \ limitet _ ((m)) xzdm = \ int \ limitet _ ((V)) xz \ rho dV,) J yz = ∫ (m) yzdm = ∫ (V) yz ρ d V, (\ stili i shfaqjes J_ (yz) = \ int \ limitet _ ((m)) yzdm = \ int \ limitet _ ((V)) yz \ rho dV,)ku x , y dhe z- koordinatat e një elementi të vogël të një trupi me vëllim dV, dendësia ρ dhe masa dm .
Boshti OX quhet boshti kryesor inercia e trupit nëse momentet centrifugale të inercisë J xy dhe J xz janë njëkohësisht të barabarta me zero. Tre akset kryesore të inercisë mund të tërhiqen nëpër secilën pikë të trupit. Këto akse janë reciprokisht pingul me njëri-tjetrin. Momentet e inercisë së trupit në lidhje me tre boshtet kryesore të inercisë të tërhequr në një pikë arbitrare O quhen trupa momentet kryesore të inercisë të trupit të dhënë.
Boshtet kryesore të inercisë që kalojnë nëpër qendrën e masës së trupit quhen boshtet kryesore qendrore të inercisë së trupit, dhe momentet e inercisë rreth këtyre boshteve janë të saj momentet kryesore qendrore të inercisë... Boshti i simetrisë së një trupi homogjen është gjithmonë një nga boshtet e tij kryesore qendrore të inercisë.
Momentet gjeometrike të inercisë
Momenti gjeometrik i inercisë së vëllimit
J V a = ∫ (V) r 2 d V, (\ stili i shfaqjes J_ (Va) = \ int \ kufijtë _ ((V)) r ^ (2) dV,)ku, si më parë r- largësia nga elementi dV te boshti a .
Momenti gjeometrik i inercisë së zonës rreth boshtit - karakteristikë gjeometrike trupi, i shprehur me formulën:
J S a = ∫ (S) r 2 d S, (\ stili i shfaqjes J_ (Sa) = \ int \ kufijtë _ ((S)) r ^ (2) dS,)ku integrimi kryhet mbi sipërfaqe S, a dSështë një element i kësaj sipërfaqeje.
Dimensioni J Sa- gjatësia deri në fuqinë e katërt ( d i m J S a = L 4 (\ stili i shfaqjes \ mathrm (e zbehtë) J_ (Sa) = \ mathrm (L ^ (4)))), respektivisht, njësia SI është 4. Në llogaritjet e ndërtimit, literaturën dhe asortimentet e produkteve metalike të mbështjellë, shpesh tregohet në cm 4.
Nëpërmjet momentit gjeometrik të inercisë së zonës, momenti i rezistencës së seksionit shprehet:
W = J S a r m a x. (\ stili i ekranit W = (\ frac (J_ (Sa)) (r_ (max))).)Këtu r max- distanca maksimale nga sipërfaqja në bosht.
| Momentet gjeometrike të inercisë së sipërfaqes së disa figurave | |
|---|---|
| Lartësia drejtkëndëshe h (\ stili i shfaqjes h) dhe gjerësia b (\ stili i shfaqjes b): | J y = b h 3 12 (\ stili i shfaqjes J_ (y) = (\ frac (bh ^ (3)) (12)))
J z = h b 3 12 (\ stili i shfaqjes J_ (z) = (\ frac (hb ^ (3)) (12))) |
| Kuti-seksion drejtkëndor me lartësi dhe gjerësi përgjatë kontureve të jashtme H (\ stili i ekranit H) dhe B (\ stili i ekranit B), dhe nga e brendshme h (\ stili i shfaqjes h) dhe b (\ stili i shfaqjes b) përkatësisht | J z = BH 3 12 - bh 3 12 = 1 12 (BH 3 - bh 3) (\ stili i shfaqjes J_ (z) = (\ frac (BH ^ (3)) (12)) - (\ frac (bh ^ ( 3)) (12)) = (\ frac (1) (12)) (BH ^ (3) -bh ^ (3)))
J y = HB 3 12 - hb 3 12 = 1 12 (HB 3 - hb 3) (\ stili i shfaqjes J_ (y) = (\ frac (HB ^ (3)) (12)) - (\ frac (hb ^ ( 3)) (12)) = (\ frac (1) (12)) (HB ^ (3) -hb ^ (3))) |
| Diametri i rrethit d (\ stili i shfaqjes d) | J y = J z = π d 4 64 (\ stili i shfaqjes J_ (y) = J_ (z) = (\ frac (\ pi d ^ (4)) (64))) |
Momenti i inercisë në raport me planin
Momenti i inercisë së një trupi të ngurtë në lidhje me një plan të caktuar është një sasi skalare e barabartë me shumën e produkteve të masës së çdo pike të trupit me katrorin e distancës nga kjo pikë në rrafshin në fjalë.
Nëse përmes një pike arbitrare O (\ stili i ekranit O) shpenzojnë boshtet koordinative x, y, z (\ stili i shfaqjes x, y, z), pastaj momentet e inercisë rreth planeve koordinative x O y (\ stili i ekranit xOy), y O z (\ stili i ekranit yOz) dhe z O x (\ stili i ekranit zOx) do të shprehet me formulat:
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2, (\ stili i shfaqjes J_ (xOy) = \ shuma _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) z_ (i) ^ (2) \,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2, (\ stili i shfaqjes J_ (yOz) = \ shuma _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) x_ (i) ^ (2) \,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2. (\ stili i shfaqjes J_ (zOx) = \ shuma _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) y_ (i) ^ (2) \.)Në rastin e një trupi të ngurtë, përmbledhja zëvendësohet nga integrimi.
Momenti qendror i inercisë
Momenti qendror i inercisë (momenti i inercisë rreth pikës O, momenti i inercisë rreth një pol, momenti polar i inercisë) J O (\ stili i ekranit J_ (O))është vlera e përcaktuar nga shprehja:
J a = ∫ (m) r 2 dm = ∫ (V) ρ r 2 d V, (\ stili i shfaqjes J_ (a) = \ int \ limitet _ ((m)) r ^ (2) dm = \ int \ kufijtë _ ((V)) \ rho r ^ (2) dV,)Momenti qendror i inercisë mund të shprehet në terma të momenteve kryesore boshtore të inercisë, si dhe në terma të momenteve të inercisë në lidhje me rrafshet:
JO = 1 2 (J x + J y + J z), (\ stili i shfaqjes J_ (O) = (\ frac (1) (2)) \ majtas (J_ (x) + J_ (y) + J_ (z) \ djathtas)) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\ stili i ekranit J_ (O) = J_ (xOy) + J_ (yOz) + J_ (xOz).)Tenzori i inercisë dhe elipsoidi i inercisë
Momenti i inercisë së një trupi rreth një boshti arbitrar që kalon nga qendra e masës dhe ka një drejtim të dhënë nga një vektor njësi s → = ‖ s x, s y, s z ‖ T, | s → | = 1 (\ stili i shfaqjes (\ vec (s)) = \ majtas \ Vert s_ (x), s_ (y), s_ (z) \ djathtas \ Vert ^ (T), \ majtas \ vert (\ vec (s) ) \ djathtas \ vert = 1), mund të përfaqësohet si një formë kuadratike (bilineare):
I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s →, (\ stili i shfaqjes I_ (s) = (\ vec (s)) ^ (T) \ cdot (\ hat (J)) \ cdot (\ vec (s)) , \ qquad) (1)ku është tensori i inercisë. Matrica e tensorit të inercisë është simetrike, ka dimensione 3 × 3 (\ stili i ekranit 3 \ herë 3) dhe përbëhet nga përbërësit e momenteve centrifugale:
Duke zgjedhur sistemin e duhur të koordinatave, matrica e tensorit të inercisë mund të reduktohet në një formë diagonale. Për ta bërë këtë, ne duhet të zgjidhim problemin e eigenvalue për matricën tensore J ^ (\ stili i shfaqjes (\ kapelë (J))):
ku Q ^ (\ stili i ekranit (\ kapelë (Q)))është matrica ortogonale e kalimit në bazën e duhur të tenzorit të inercisë. Në bazën e vet, boshtet e koordinatave drejtohen përgjatë boshteve kryesore të tensorit të inercisë, dhe gjithashtu përkojnë me gjysmëboshtet kryesore të elipsoidit të tensorit të inercisë. Sasitë J X, J Y, J Z (\ stili i ekranit J_ (X), J_ (Y), J_ (Z))- momentet kryesore të inercisë. Shprehja (1) në sistemin e vet të koordinatave ka formën:
prej nga fitohet ekuacioni i elipsoidit në koordinata vetjake. Pjesëtimi i të dyja anët e ekuacionit me Unë s (\ stili i shfaqjes I_ (s))
dhe duke bërë zëvendësime:
ξ = sx I s, η = sy I s, ζ = sz I s, (\ stili i ekranit \ xi = (s_ (x) \ mbi (\ sqrt (I_ (s)))), \ eta = (s_ (y ) \ mbi (\ sqrt (I_ (s)))), \ zeta = (s_ (z) \ mbi (\ sqrt (I_ (s)))),)marrim formën kanonike të ekuacionit elipsoid në koordinata ξ η ζ (\ stili i shfaqjes \ xi \ eta \ zeta):
ξ 2 ⋅ JX + η 2 ⋅ JY + ζ 2 ⋅ JZ = 1. (\ stili i shfaqjes \ xi ^ (2) \ cdot J_ (X) + \ eta ^ (2) \ cdot J_ (Y) + \ zeta ^ ( 2) \ cdot J_ (Z) = 1.)Distanca nga qendra e elipsoidit në disa nga pikat e tij lidhet me vlerën e momentit të inercisë së trupit përgjatë një vije të drejtë që kalon nga qendra e elipsoidit dhe kësaj pike.
lavjerrësi FIZIK
Objektiv: caktoni momentin e inercisë së lavjerrësit fizik në formë shufre me pesha sipas periudhës së lëkundjeve natyrore.
Pajisjet: lavjerrës, kronometër.
HYRJE TEORIKE
Momenti i inercisë një trup i ngurtë është një masë e inertitetit të një trupi gjatë lëvizjes së tij rrotulluese. Në këtë kuptim, është analoge me masën trupore, e cila është një masë e inercisë së trupit gjatë lëvizjes përpara. Sipas definicionit, Momenti i inercisë trupi është i barabartë me shumën e produkteve të masave të grimcave të trupit m i në katrorë të largësive të tyre me boshtin e rrotullimit r i 2:
, ose. (1)
Momenti i inercisë varet jo vetëm nga masa, por edhe nga shpërndarja e tij në lidhje me boshtin e rrotullimit. Siç mund ta shihni, inertiteti gjatë rrotullimit të trupit është aq më i madh, aq më larg nga boshti ndodhen grimcat e trupit.
Ekzistojnë metoda të ndryshme eksperimentale për përcaktimin e momentit të inercisë së trupave. Punimi propozon një metodë për përcaktimin e momentit të inercisë nga periudha e lëkundjeve natyrore të trupit të hetuar si një lavjerrës fizik. Lavjerrësi fizikËshtë një trup me formë arbitrare, pika e pezullimit të të cilit ndodhet mbi qendrën e gravitetit. Nëse në fushën e gravitetit lavjerrësi devijohet nga pozicioni i ekuilibrit dhe lirohet, atëherë nën veprimin e gravitetit lavjerrësi priret në pozicionin e ekuilibrit, por pasi e ka arritur atë, me inerci vazhdon të lëvizë dhe devijon në drejtim të kundërt. Pastaj procesi i lëvizjes përsëritet në drejtim të kundërt. Si rezultat, lavjerrësi do të kryejë lëkundje natyrore rrotulluese.
Për të nxjerrë formulën për momentin e inercisë së lavjerrësit në periudhën e lëkundjeve natyrore, aplikojmë ligji bazë i dinamikës së lëvizjes rrotulluese: nxitimi këndor i trupit është drejtpërdrejt proporcional me momentin e forcës dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me momentin e inercisë së trupit në raport me boshtin e rrotullimit:
 |
Momenti i fuqisë sipas definicionit është i barabartë me produktin e forcës nga supi i forcës. Supi i forcës është një pingul i rënë nga boshti i rrotullimit në vijën e veprimit të forcës. Për një lavjerrës (Fig.1a), shpatulla e gravitetit është d = a mëkat a, ku a- distanca ndërmjet boshtit të rrotullimit dhe qendrës së masës së lavjerrësit. Për lëkundjet e vogla të lavjerrësit, këndi i devijimit a relativisht të vogla, dhe sinuset e këndeve të vogla janë të barabarta me vetë këndet me saktësi të mjaftueshme. Pastaj momenti i gravitetit mund të përcaktohet me formulë М = −mga ∙ a... Shenja minus është për faktin se momenti i gravitetit kundërshton devijimin e lavjerrësit.
Meqenëse nxitimi këndor është derivati i dytë i këndit të rrotullimit në lidhje me kohën, ligji bazë i dinamikës së lëvizjes rrotulluese (1) merr formën
.
(3)
Ky është një ekuacion diferencial i rendit të dytë. Zgjidhja e tij duhet të jetë një funksion që transformon një ekuacion në një identitet pas zëvendësimit. Siç shihet nga ekuacioni (3), për këtë, funksioni i zgjidhjes dhe derivati i dytë i tij duhet të kenë të njëjtën formë. Në matematikë, një funksion i tillë mund të jetë funksioni i kosinusit, sinusit
a = a 0 mëkat ( w t + j), (4)
me kusht që frekuenca ciklike të jetë 
... Frekuenca ciklike lidhet me periudha e luhatjeve, domethënë koha e një lëkundjeje, raporti T = 2p / w. Nga këtu
Periudha e lëkundjeve T dhe distanca nga boshti i rrotullimit në qendrën e gravitetit a ju mund të matni. Pastaj nga (5) momenti i inercisë së lavjerrësit në lidhje me boshtin e rrotullimit ME mund të përcaktohet eksperimentalisht me formulë
. (6)
Lavjerrësi, momenti i inercisë së të cilit përcaktohet në funksionim, është një shufër me dy disqe të vendosura mbi të. Teorikisht, momenti i inercisë së një lavjerrës mund të përkufizohet si shuma e momenteve të inercisë së pjesëve individuale. Momenti i inercisë së disqeve mund të llogaritet duke përdorur formulën për momentin e inercisë së një pike materiale, pasi ato janë të vogla në krahasim me distancën nga boshti i rrotullimit: , .
Momenti i inercisë së një shufre rreth një boshti të vendosur në distancë b nga mesi i shufrës, mund të përcaktohet nga teorema e Shtajnerit 
... Si rezultat, momenti total i inercisë së lavjerrësit mund të llogaritet teorikisht me formulën
. (7)
Këtu m 1 , m 2 dhe m 0 - masat e disqeve dhe shufrës së parë, të dytë, l 1 , l 2 - distanca nga mesi i disqeve deri në boshtin e rrotullimit, l 0 është gjatësia e shufrës.
Largësia nga pika e pezullimit në qendrën e gravitetit të lavjerrësit a e nevojshme për përcaktimin eksperimental të momentit të inercisë në formulën (6) mund të përcaktohet duke përdorur konceptin e qendrës së gravitetit. Qendra e gravitetit trupi është pika në të cilën aplikohet graviteti rezultant. Prandaj, nëse lavjerrësi vendoset horizontalisht në një mbështetje të vendosur nën qendrën e gravitetit, atëherë lavjerrësi do të jetë në ekuilibër. Pastaj mjafton të matni distancën nga boshti ME ndaj mbështetjes.
Por ju mund të përcaktoni distancën a me llogaritje. Nga gjendja e ekuilibrit të lavjerrësit në mbështetës (Fig.1b) rezulton se momenti i gravitetit që rezulton rreth boshtit ME (m 1 + m 2 + m 0)gаështë e barabartë me shumën e momenteve të forcave të rëndesës së ngarkesave dhe shufrës m 1 gl 1 + m 2 gl 2 + m 0 gb... Ku të arrijmë
. (8)
PËRFUNDIMI I PUNËS
1. Duke peshuar në peshore, përcaktoni masat e disqeve dhe të shufrës. Vendoseni në shufër dhe sigurojeni disqet. Matni distancën nga boshti i rrotullimit deri në mes të disqeve l 1 , l 2 dhe deri në mes të shufrës b, gjatësia e shufrës l 0 në ndarje centimetrash në shufër. Regjistroni rezultatet e matjes në tabelë. një.
Tabela 1
2. Lidheni njësinë elektronike me rrjetin 220 V.
Matni periudhën e lëkundjes. Për ta bërë këtë, largojeni lavjerrësin nga pozicioni i ekuilibrit me një kënd të vogël dhe lëshojeni atë. Shtyp butonin Filloni kronometër. Për të matur kohën t p.sh., dhjetë lëkundje, pas lëkundjes së nëntë shtypni butonin Ndalo. Periudha është
T = t / 10.
Regjistroni rezultatin në tabelë. 2, shtypni butonin Rivendos... Përsëriteni eksperimentin të paktën tre herë me kënde të tjera të devijimit të lavjerrësit.
Fikni instalimin.
4. Bëni llogaritjet në sistemin SI. Përcaktoni mesataren<T> periudha e lëkundjeve. Përcaktoni distancën a nga boshti në qendrën e gravitetit të lavjerrësit sipas formulës (8), ose vendoseni lavjerrësin në një mbështetëse në mënyrë që të jetë në ekuilibër dhe matni distancën a.
| a, m | T 1 , Me | T 2, s | T 3, s | <T>, me | | Teoria J, kg ∙ m 2 |
tabela 2
5. Përcaktoni vlerën mesatare eksperimentale të momentit të inercisë së lavjerrësit<J ish> sipas formulës (6) sipas vlerës mesatare të periudhës së lëkundjeve<T>.
6. Përcaktoni vlerën teorike të momentit të inercisë së lavjerrësit J teori sipas formulës (7).
7. Nxirrni një përfundim duke krahasuar vlerat teorike dhe eksperimentale të momentit të inercisë së lavjerrësit. Vlerësoni gabimin e matjes D J =
8. Shkruani rezultatin si J exp =< J > ± D J.
PYETJE KONTROLLIN
1. Jepni një përkufizim të lavjerrësit fizik, shpjegoni pse janë të mundshme lëkundjet natyrore të lavjerrësit.
2. Shkruani ligjin bazë të dinamikës së lëvizjes rrotulluese për një lavjerrës fizik.
Momenti i inercisë- një sasi fizike skalare (në përgjithësi tensore), një masë e inertitetit në lëvizjen rrotulluese rreth një boshti, ashtu si masa e një trupi është një masë e inercisë së tij në lëvizjen përkthimore. Karakterizohet nga shpërndarja e masave në trup: momenti i inercisë është i barabartë me shumën e produkteve të masave elementare me katrorin e distancave të tyre me grupin bazë (pika, drejtëza ose plani).
Njësia SI: kg · m².
Përcaktimi: Unë ose J.
2. Kuptimi fizik i momentit të inercisë. Prodhimi i momentit të inercisë së një trupi nga nxitimi këndor i tij është i barabartë me shumën e momenteve të të gjitha forcave të aplikuara në trup. Krahasoni. Lëvizja rrotulluese. Lëvizja përkthimore. Momenti i inercisë është një masë e inercisë së një trupi në lëvizje rrotulluese
Për shembull, momenti i inercisë së diskut rreth boshtit O "në përputhje me teoremën e Steiner:
Teorema e Shtajnerit: Momenti i inercisë I rreth një boshti arbitrar është i barabartë me shumën e momentit të inercisë I0 rreth një boshti paralel me atë të dhënë dhe që kalon nga qendra e masës së trupit, dhe produkti i masës së trupit m me katrorin e distancës d ndërmjet boshteve:
18. Momenti i impulsit të një trupi të ngurtë. Vektori i shpejtësisë këndore dhe vektori i momentit këndor. Efekt xhiroskopik. Shkalla këndore e precesionit
Momenti i momentit të një trupi të ngurtë në lidhje me boshtin është shuma e momentit këndor të grimcave individuale që përbëjnë trupin në lidhje me boshtin. Duke pasur parasysh këtë, ne marrim.
Nëse shuma e momenteve të forcave që veprojnë në një trup që rrotullohet rreth një boshti fiks është e barabartë me zero, atëherë momenti këndor ruhet ( ligji i ruajtjes së momentit këndor):. Derivati i momentit këndor të një trupi të ngurtë në lidhje me kohën është i barabartë me shumën e momenteve të të gjitha forcave që veprojnë në trup:
shpejtësia këndore si vektor, vlera e të cilit numerikisht është e barabartë me shpejtësinë këndore, e drejtuar përgjatë boshtit të rrotullimit dhe, nëse shihet nga fundi i këtij vektori, rrotullimi drejtohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Historikisht, 2 që drejtimi pozitiv i rrotullimit konsiderohet të jetë rrotullim "kundër akrepave të orës", megjithëse, natyrisht, zgjedhja e këtij drejtimi është absolutisht arbitrare. Për të përcaktuar drejtimin e vektorit të shpejtësisë këndore, mund të përdorni gjithashtu "rregullin e gjimbalit" (i quajtur gjithashtu "rregulli i vidës së djathtë") - nëse drejtimi i lëvizjes së dorezës së gjimbalit (ose vidhosës) kombinohet me drejtimin e rrotullimit. , atëherë drejtimi i lëvizjes së të gjithë gimbalit përkon me drejtimin e vektorit të shpejtësisë këndore.
Trupi rrotullues (rrota e motoçikletës) përpiqet të mbajë të pandryshuar pozicionin e boshtit të rrotullimit në hapësirë.(Efekti xhiroskopik) Prandaj lëvizja në dy rrota është e mundur, por qëndrimi në dy rrota nuk është i mundur. Ky efekt përdoret në anije dhe sistemet e drejtimit të armëve të tankeve. (anija lëkundet mbi dallgë, dhe arma shikon në një pikë) Në lundrim, etj.
Precesioni është i lehtë për t'u vëzhguar. Ju duhet të filloni pjesën e sipërme dhe të prisni derisa të fillojë të ngadalësohet. Fillimisht, boshti i rrotullimit të majës është vertikal. Pastaj pika e saj e sipërme zbret gradualisht dhe lëviz në një spirale divergjente. Ky është precesioni i boshtit të majës.
Vetia kryesore e precesionit është inercia: sapo forca që shkakton precesionin e majës zhduket, precesioni ndalet dhe maja merr një pozicion të palëvizshëm në hapësirë. Në shembullin e rrotullimit, kjo nuk do të ndodhë, sepse në të forca që shkakton precesionin - graviteti i Tokës - vepron vazhdimisht.
19. Lëng ideal dhe viskoz. Hidrostatika e lëngut të pakompresueshëm. Lëvizja e palëvizshme e një lëngu ideal. ekuacioni i Birnoulli-t.
Lëng ideal quhet imagjinare lëng i pakompresueshëm që i mungon viskoziteti, fërkimi i brendshëm dhe përçueshmëria termike... Meqenëse nuk ka fërkime të brendshme në të, atëherë jo sforcimet prerëse ndërmjet dy shtresave ngjitur të lëngut.
lëng viskoz karakterizohet nga prania e forcave të fërkimit që lindin gjatë lëvizjes së tij. viskoze thirrur. lëngshme, në të cilën gjatë lëvizjes krahas sforcimeve normale vërehen edhe sforcime tangjenciale
Konsiderohet në G. ur-niya i referohet. ekuilibri i një lëngu të pakthyeshëm në një fushë graviteti (në lidhje me muret e një anijeje që lëviz sipas një ligji të caktuar të njohur, për shembull, përkthimor ose rrotullues) bën të mundur zgjidhjen e problemeve në lidhje me formën e një sipërfaqe të lirë dhe rreth spërkatjes. lëng në anije lëvizëse - në tanke për transportin e lëngjeve, rezervuarët e karburantit të avionëve dhe raketave, etj., Si dhe në kushtet e mungesës së peshës së pjesshme ose të plotë në hapësirë. fluturojnë. pajisje. Gjatë përcaktimit të formës së sipërfaqes së lirë të një lëngu të mbyllur në një enë, përveç forcave hidrostatike. presioni, forcat inerciale dhe forcat e gravitetit, duhet të merren parasysh tensioni sipërfaqësor i lëngut. Në rastin e rrotullimit të enës rreth kulmeve. boshtet me DC ang. shpejtësia, sipërfaqja e lirë merr formën e një paraboloidi rrotullues dhe në një anije që lëviz paralelisht me planin horizontal në mënyrë përkthimore dhe drejtvizore nga shtylla. nxitimi a, sipërfaqja e lirë e lëngut është një rrafsh i prirur në rrafshin horizontal në një kënd 
Në dinamikën e lëvizjes përkthimore të një pike materiale, përveç karakteristikave kinematike, u prezantuan konceptet e forcës dhe masës. Kur studiohet dinamika e lëvizjes rrotulluese, futen sasi fizike - momenti i forcave dhe Momenti i inercisë, kuptimi fizik i të cilit do të zbulohet më poshtë.
Lëreni një trup nën veprimin e një force të aplikuar në një pikë A, vjen në rrotullim rreth boshtit të OO "(Figura 5.1).
Figura 5.1 - Deri në përfundimin e konceptit të momentit të forcës
Forca vepron në një rrafsh pingul me boshtin. pingul R i rënë nga pika O(i shtrirë në bosht) në drejtimin e forcës quhet shpatulla e forcës... Produkti i forcës në shpatull përcakton modulin momenti i forcës në lidhje me pikën O:
(5.1)
Momenti i fuqisë është vektori i përcaktuar nga produkti vektorial i vektorit të rrezes së pikës së aplikimit të forcës dhe vektorit të forcës:
(5.2)
Njësia e momentit të forcës është Njuton metër(H . m). Drejtimi i vektorit të momentit të forcës gjendet duke përdorur rregullat e vidhave të duhura.
Masa është një masë e inertitetit të trupave gjatë lëvizjes përkthimore. Inercia e trupave gjatë lëvizjes rrotulluese varet jo vetëm nga masa, por edhe nga shpërndarja e saj në hapësirë në raport me boshtin e rrotullimit. Masa e inercisë gjatë lëvizjes rrotulluese quhet një madhësi momenti i inercisë së trupit rreth boshtit të rrotullimit.
Momenti i inercisë së një pike materiale në lidhje me boshtin e rrotullimit - produkti i masës së kësaj pike me katrorin e distancës nga boshti:
Momenti i inercisë së trupit rreth boshtit të rrotullimit - shuma e momenteve të inercisë së pikave materiale që përbëjnë këtë trup:
(5.4)
Në rastin e përgjithshëm, nëse trupi është i fortë dhe është një koleksion pikash me masa të ulëta dm, momenti i inercisë përcaktohet nga integrimi:
, (5.5)
ku r- largësia nga boshti i rrotullimit në një element me masë d m.
Nëse trupi është homogjen dhe dendësia e tij ρ = m/V, pastaj momenti i inercisë së trupit
(5.6)
Momenti i inercisë së një trupi varet nga cili bosht rrotullohet dhe si shpërndahet masa e trupit mbi vëllimin e tij.
Momenti i inercisë së trupave me formë të saktë gjeometrike dhe shpërndarje uniforme të masës mbi vëllim përcaktohet më thjeshtë.
Momenti i inercisë së një shiriti homogjen në lidhje me boshtin që kalon nëpër qendrën e inercisë dhe pingul me shiritin,
Momenti i inercisë së një cilindri homogjen në lidhje me boshtin pingul me bazën e tij dhe që kalon nëpër qendrën e inercisë,
(5.8)
Momenti i inercisë së një cilindri ose rrethi me mure të hollë në lidhje me një bosht pingul me rrafshin e bazës së tij dhe që kalon nga qendra e tij,
Momenti i inercisë së topit në raport me diametrin
(5.10)
Le të përcaktojmë momentin e inercisë së diskut në lidhje me boshtin që kalon nëpër qendrën e inercisë dhe pingul me rrafshin e rrotullimit. Le të jetë masa e diskut m, dhe rrezja e saj është R.
Zona e unazës (Figura 5.2), e mbyllur midis r dhe, është e barabartë me.
Figura 5.2 - Deri në përfundimin e momentit të inercisë së diskut
Zona e diskut. Me një trashësi unaze konstante,
nga ku ose 
.
Pastaj momenti i inercisë së diskut,
Për qartësi, Figura 5.3 tregon homogjene të ngurta tregohen forma të ndryshme dhe momentet e inercisë së këtyre trupave në lidhje me boshtin që kalon nga qendra e masës.
Figura 5.3 - Momentet e inercisë Unë C disa lëndë të ngurta homogjene.
Teorema e Shtajnerit
Formulat e mësipërme për momentet e inercisë së trupave janë dhënë me kusht që boshti i rrotullimit të kalojë nga qendra e inercisë. Për të përcaktuar momentet e inercisë së një trupi rreth një boshti arbitrar, duhet të përdorni Teorema e Shtajnerit : momenti i inercisë së një trupi rreth një boshti arbitrar rrotullimi është i barabartë me shumën e momentit të inercisë J 0 rreth një boshti paralel me atë të dhënë dhe që kalon nga qendra e inercisë së trupit, dhe vlera md 2:
(5.12)
ku m- masa trupore, d- distanca nga qendra e masës në boshtin e zgjedhur të rrotullimit. Njësia e momentit të inercisë është kilogram metër në katror (kg . m 2).
Pra, momenti i inercisë së një shufre homogjene me gjatësi l në lidhje me boshtin që kalon nga fundi i tij, nga teorema e Shtajnerit është
