Parimi i zhvendosjeve të mundshme. Ekuacioni i përgjithshëm i dinamikës. Llogaritja e reaksionit mbështetës bazuar në parimin e zhvendosjeve të mundshme Metoda e zhvendosjeve të mundshme mekanika teorike

Siç dihet nga kursi i mekanikës teorike, gjendja e ekuilibrit të një objekti mund të ketë një formulim të forcës ose energjisë. Opsioni i parë është kushti për barazinë e vektorit kryesor dhe momentin kryesor të të gjitha forcave dhe reaksioneve që veprojnë në trup në zero. Qasja e dytë (variacionale), e quajtur parimi i zhvendosjeve të mundshme, doli të ishte shumë e dobishme për zgjidhjen e një numri problemesh në mekanikën strukturore.

Për një sistem trupash absolutisht të ngurtë, parimi i zhvendosjeve të mundshme është formuluar si vijon: nëse sistemi i trupave absolutisht të ngurtë është në ekuilibër, atëherë shuma e punës së të gjitha forcave të jashtme në çdo zhvendosje të mundshme infiniteminale është zero. E mundshme (ose virtuale) quhet zhvendosja që nuk cenon lidhjet kinematike dhe vazhdimësinë e trupave. Për sistemin në Fig. 3.1, vetëm rrotullimi i shufrës në lidhje me mbështetësin është i mundur. Kur kthehet në një kënd të vogël arbitrar, forcat dhe bëjnë punën Sipas parimit të zhvendosjeve të mundshme, nëse sistemi është në ekuilibër, atëherë duhet të ketë ... Duke zëvendësuar këtu marrëdhëniet gjeometrike marrim kushtin e ekuilibrit në formulimin e forcës

Parimi i zhvendosjeve të mundshme për trupat elastikë është formuluar si vijon: nëse sistemi i trupave elastikë është në ekuilibër, atëherë shuma e punës së të gjitha forcave të jashtme dhe të brendshme në çdo zhvendosje të mundshme infiniteminale është zero. Ky parim bazohet në konceptin e energjisë totale të një sistemi të deformuar elastik P. Nëse struktura është e ngarkuar në mënyrë statike, atëherë kjo energji është e barabartë me punën e kryer nga forcat e jashtme U dhe W të brendshme gjatë transferimit të sistemit nga i deformuari. gjendjen në gjendjen e tij origjinale:

Me këtë përkthim, forcat e jashtme nuk e ndryshojnë kuptimin dhe kryejnë punë negative U = -F. Në këtë rast, forcat e brendshme zvogëlohen në zero dhe kryejnë punë pozitive, pasi këto janë forcat e kohezionit të grimcave të materialit dhe drejtohen në drejtim të kundërt me ngarkesën e jashtme:

ku - energjia potenciale specifike e deformimit elastik; V është vëllimi i trupit. Për sistemi linear, ku. Sipas teoremës Lagranzh-Dirichlet, gjendja e ekuilibrit të qëndrueshëm korrespondon me minimumin e totalit energji potenciale sistemi elastik, d.m.th.

Barazia e fundit korrespondon plotësisht me formulimin e parimit të zhvendosjeve të mundshme. Rritjet e energjisë dU dhe dW mund të llogariten për çdo zhvendosje (devijim) të mundshëm të sistemit elastik nga gjendja e ekuilibrit. Për të llogaritur strukturat që plotësojnë kërkesat e linearitetit, zhvendosja e mundshme pafundësisht e vogël d mund të zëvendësohet nga një zhvendosje përfundimtare shumë e vogël, e cila mund të jetë çdo gjendje e deformuar e strukturës e krijuar nga një sistem forcash i zgjedhur në mënyrë arbitrare. Duke marrë parasysh këtë, kushti i ekuilibrit të fituar duhet të shkruhet si

Puna e forcave të jashtme

Konsideroni metodologjinë për llogaritjen e punës së forcave të jashtme në zhvendosjen aktuale dhe të mundshme. Sistemi bërthamë ngarkohet me forca dhe (Fig. 3.2, a), të cilat veprojnë njëkohësisht, dhe në çdo kohë raporti mbetet konstant. Nëse marrim parasysh forcën e përgjithësuar, atëherë të gjitha ngarkesat e tjera (në këtë rast) mund të llogariten nga vlera në çdo moment në kohë. Vija e ndërprerë tregon zhvendosjen aktuale elastike që rrjedh nga këto forca. Le ta shënojmë këtë gjendje me indeksin 1. Zhvendosja e pikave të zbatimit të forcave dhe në drejtim të këtyre forcave në gjendjen 1 do të shënohet me dhe.

Në procesin e ngarkimit të një sistemi linear me forca dhe, forcat rriten dhe zhvendosen dhe rriten proporcionalisht me to (Fig. 3.2, c). Puna aktuale e forcave dhe mbi zhvendosjet që krijojnë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të grafikëve, d.m.th. ... Shkrimi i kësaj shprehjeje si , marrim produktin e forcës së përgjithësuar dhe zhvendosjes së përgjithësuar. Në këtë formë, ju mund të përfaqësoni

Më pas, ne do të shqyrtojmë punën e forcave të jashtme në një zhvendosje të mundshme. Si zhvendosje të mundshme marrim për shembull gjendjen e deformuar të sistemit, e cila lind si rezultat i aplikimit të një force në një pikë të caktuar (Fig. 3.2, b). Kjo gjendje, që korrespondon me zhvendosjen shtesë të pikave të zbatimit të forcave dhe në distancë dhe, le të shënojmë 2. Forcat dhe, pa ndryshuar vlerën e tyre, kryejnë punë virtuale mbi zhvendosjet dhe (Fig. 3.2, c):

Siç mund ta shihni, në përcaktimin e lëvizjes, indeksi i parë tregon gjendjen në të cilën janë specifikuar pikat dhe drejtimet e këtyre lëvizjeve. Indeksi i dytë tregon gjendjen në të cilën forcat veprojnë për të shkaktuar këtë lëvizje.

Puna e forcës së njësisë F 2 në zhvendosjen aktuale

Nëse e konsiderojmë gjendjen 1 si një zhvendosje të mundshme për forcën F 2, atëherë puna e saj virtuale mbi zhvendosjen

Puna e forcave të brendshme

Le të gjejmë punën e forcave të brendshme të gjendjes 1, domethënë nga forcat dhe, në zhvendosjet virtuale të gjendjes 2, domethënë ato që dalin nga aplikimi i ngarkesës F 2. Për ta bërë këtë, zgjidhni një pjesë të shiritit me gjatësi dx (Fig. 3.2 dhe 3.3, a). Meqenëse sistemi në shqyrtim është i sheshtë, në seksionet e elementit veprojnë vetëm dy forca S dhe Qz dhe një moment përkuljeje Mu.Këto forca janë të jashtme për elementin e prerë. Forcat e brendshme janë forcat e ngjitjes që sigurojnë forcën e materialit. Ato janë të barabarta në vlerë me ato të jashtme, por të drejtuara në drejtim të kundërt me deformimin, prandaj, puna e tyre nën ngarkim është negative (Fig. 3.3, b-d, treguar në gri). Le të llogarisim në mënyrë sekuenciale punën e kryer nga secili faktor i forcës.

Puna e forcave gjatësore në zhvendosjen, e cila krijohet nga forcat S 2, që lindin si rezultat i aplikimit të ngarkesës F 2 (Fig. 3.2, b, 3.3, b),

Zgjatimi i një shufre me gjatësi dx gjendet me formulën e njohur

ku A është zona e prerjes tërthore të shiritit. Duke e zëvendësuar këtë shprehje në formulën e mëparshme, gjejmë

Në mënyrë të ngjashme, ne përcaktojmë punën e kryer nga momenti i përkuljes në zhvendosjen këndore të krijuar nga momenti (Figura 3.3, c):

Këndin e rrotullimit e gjejmë si

ku J është momenti i inercisë së seksionit të shiritit në lidhje me boshtin y. Pas zëvendësimit, marrim

Le të gjejmë punën e forcës tërthore në zhvendosje (Fig. 3.3, d). Sforcimet prerëse dhe prerëset nga forca prerëse Q z nuk shpërndahen në mënyrë lineare në seksionin e shufrës (në ndryshim nga sforcimet dhe zgjatimet normale në rastet e ngarkimit të mëparshëm). Prandaj, për të përcaktuar punën e prerjes, duhet të merret parasysh puna e kryer nga sforcimet prerëse në shtresat e shufrës.

Sforcimet tangjenciale nga forca Q z, të cilat veprojnë në një shtresë të shtrirë në një distancë z nga boshti neutral (Fig. 3.3, e), llogariten me formulën Zhuravsky

ku Su është momenti statik i pjesës së zonës së prerjes tërthore që shtrihet mbi këtë shtresë, marrë në lidhje me boshtin y; b është gjerësia e seksionit në nivelin e shtresës në shqyrtim. Këto sforcime krijojnë një prerje të shtresës nga një kënd, i cili, sipas ligjit të Hooke, përcaktohet si - moduli i prerjes. Si rezultat, faqja fundore e shtresës zhvendoset nga

Puna totale e sforcimeve prerëse të gjendjes së parë që veprojnë në faqen fundore të kësaj shtrese në zhvendosjet e gjendjes së dytë llogaritet duke integruar produktin mbi sipërfaqen e prerjes.

Pas zëvendësimit të shprehjeve për dhe këtu, marrim

Ne nxjerrim sasitë e pavarura nga z nga nën integrali, shumëzojmë dhe pjesëtojmë këtë shprehje me A, marrim

Këtu futet një koeficient pa dimension,

varësisht vetëm nga konfigurimi dhe raporti i përmasave të seksioneve. Për një drejtkëndësh = 1.2, për trarët I dhe seksione kuti (A c është zona e seksionit kryq të murit ose në seksionin e kutisë - dy mure).

Meqenëse puna e secilit prej komponentëve ngarkues të konsideruar (S, Q, M) në zhvendosjet e shkaktuara nga komponentët e tjerë është e barabartë me zero, puna totale e të gjitha forcave të brendshme për elementin e konsideruar të shiritit me gjatësi dx

Në seksionin e një elementi të një sistemi shufra hapësinore, veprojnë gjashtë forca të brendshme (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), prandaj, për të, shprehja e punës totale të forcave të brendshme do të ketë formë,

Këtu M x është çift rrotullimi në shufër; J T është momenti i inercisë së shiritit në përdredhje të lirë (ngurtësia përdredhëse gjeometrike). Në integrand, indekset "dhe" janë lënë jashtë.

Në formulat (3.3) dhe (3.4) S v Q yV Q zl, М х1, М у1, М г1 tregojnë shprehjet analitike për diagramet e forcave të brendshme nga veprimi i forcave F (dhe F (, aS 2, Q y 2, Q z 2, М х2, М у2, М г2 - përshkrime të diagrameve të forcave të brendshme nga forca F 2.

Teoremat e sistemit elastik

Struktura e formulave (3.3) dhe (3.4) tregon se ato janë "simetrike" në lidhje me gjendjet 1 dhe 2, domethënë, puna e forcave të brendshme të gjendjes 1 në zhvendosjet e gjendjes 2 është e barabartë me punën e gjendjes së brendshme. forcat e shtetit 2 mbi zhvendosjet e gjendjes 1 Por sipas (3.2)

Prandaj, nëse puna e forcave të brendshme është e barabartë, atëherë edhe puna e forcave të jashtme është e barabartë.Ky pohim quhet teorema e reciprocitetit (teorema e Betit, 1872).

Për një sistem shufrash të ngarkuar me një forcë F 1 (Fig. 3.4, a), marrim si zhvendosje të mundshme gjendjen e deformuar që u shfaq kur ngarkohej me një forcë F 2 (Fig. 3.4, b). Për këtë sistem, sipas teoremës 1 të Betit- Nëse vendosim, atëherë marrim

Kjo formulë shpreh teoremën e Maksuellit (1864) mbi reciprocitetin e zhvendosjeve: zhvendosja e pikës së aplikimit të forcës së njësisë së parë në drejtimin e saj, e shkaktuar nga veprimi i forcës së njësisë së dytë, është e barabartë me zhvendosjen e pikës së aplikimit. e forcës së dytë të njësisë në drejtimin e saj, e shkaktuar nga veprimi i forcës së njësisë së parë. Kjo teoremë mund të zbatohet në sistemin në Fig. 3.2. Nëse vendosim = 1 H (fq. 3.1.2), atëherë marrim barazinë e zhvendosjeve të përgjithësuara .

Konsideroni një sistem statikisht të papërcaktuar me mbështetëse, të cilit mund t'i caktohet zhvendosja e kërkuar, e marrë sa më shumë që të jetë e mundur (Figura 3.4, c, d). Në gjendjen e parë, ne do ta zhvendosim mbështetjen 1 nga dhe në të dytën, do të vendosim rrotullimin e ngulitjes me një kënd - Kjo do të shkaktojë reagime në gjendjen e parë dhe, dhe në të dytën - i. Sipas teoremës së reciprocitetit, shkruajmë Nëse vendosim (këtu dimensioni = m, dhe sasia është pa dimension), atëherë marrim

Kjo barazi është numerike, pasi dimensioni i reaksionit = H, a = H-m. Kështu, reaksioni R 12 në një lidhje fikse 1, që ndodh kur lidhja 2 lëviz me një, është numerikisht i barabartë me reaksionin që ndodh në lidhjen 2 me një zhvendosje njësi të lidhjes 1. Ky pohim quhet teorema e reciprocitetit të reaksioneve.

Teoremat e paraqitura në këtë seksion përdoren për llogaritjen analitike të sistemeve statikisht të papërcaktuara.

Përkufizimi i zhvendosjeve

Formula e përgjithshme e zhvendosjes

Për të llogaritur zhvendosjet që lindin në sistemin e shufrës nën veprimin e një ngarkese të caktuar (gjendja 1), duhet të formohet një gjendje ndihmëse e sistemit, në të cilën vepron një forcë njësi, duke kryer punë në zhvendosjen e dëshiruar (gjendja 2). Kjo do të thotë se gjatë përcaktimit të zhvendosjes lineare, është e nevojshme të vendoset një forcë njësi F 2 = 1 N e aplikuar në të njëjtën pikë dhe në të njëjtin drejtim në të cilin do të përcaktohet zhvendosja. Nëse kërkohet të përcaktohet këndi i rrotullimit të ndonjë seksioni, atëherë në këtë seksion zbatohet një moment njësi F 2 = 1 N m. Pas kësaj, hartohet ekuacioni i energjisë (3.2), në të cilin gjendja 2 merret si gjendja bazë, dhe e deformuara

gjendja 1 konsiderohet një lëvizje virtuale. Zhvendosja e dëshiruar llogaritet nga ky ekuacion.

Le të gjejmë zhvendosjen horizontale të pikës B për sistemin në Fig. 3.5, a. Për të futur zhvendosjen e dëshiruar D 21 në ekuacionin e punës (3.2), marrim si gjendje kryesore zhvendosjen e sistemit nën veprimin e një force njësi F 2 - 1 N (gjendja 2, Fig. 3.5, b. ). Një zhvendosje e mundshme do të konsiderohet gjendja aktuale e deformuar e strukturës (Fig. 3.5, a).

Puna e forcave të jashtme të gjendjes 2 në zhvendosjet e gjendjes 1 gjendet si sipas (3.2),

pra, zhvendosja e dëshiruar

Meqenëse (Seksioni 3.1.4), puna e forcave të brendshme të gjendjes 2 në zhvendosjet e gjendjes 1 llogaritet me formulën (3.3) ose (3.4). Duke zëvendësuar në (3.7) shprehjen (3.3) për punën e forcave të brendshme të një sistemi shufra të rrafshët, gjejmë

Për përdorim të mëtejshëm të kësaj shprehjeje, këshillohet të prezantohet koncepti i diagrameve të njësive të faktorëve të forcës së brendshme, d.m.th. nga të cilat dy të parat janë pa dimension, dhe dimensioni . Rezultati do të jetë

Shprehjet për diagramet e shpërndarjes së forcave të brendshme përkatëse nga ngarkesa vepruese duhet të zëvendësohen në këto integrale dhe dhe nga forcat F 2 = 1. Shprehja që rezulton quhet formula e Mohr-it (1881).

Kur llogaritni sistemet e shufrave hapësinore për të llogaritur punën totale të forcave të brendshme, përdorni formulën (3.4), atëherë marrim

Është mjaft e qartë se shprehjet për diagramet e përpjekjeve të brendshme S, Q y, Q z, M x, M y, M g dhe vlerat karakteristikat gjeometrike seksionet A, J т, Jу, J, për seksionin e n-të përkatës. Për të shkurtuar shënimin në përcaktimet e këtyre sasive, indeksi "dhe" hiqet.

3.2.2. Raste të veçanta të përcaktimit të zhvendosjeve

Formula (3.8) përdoret në rastin e përgjithshëm të një sistemi me shufra të rrafshët, por në një numër rastesh mund të thjeshtohet ndjeshëm. Le të shqyrtojmë raste të veçanta të zbatimit të tij.

1. Nëse deformimet nga forcat gjatësore mund të neglizhohen, gjë që është tipike për sistemet e trarëve, atëherë formula (3.8) do të shkruhet si

2. Nëse një sistem i sheshtë përbëhet vetëm nga përkulja e trarëve me mure të hollë me një raport l / h> 5 për konsolet ose l / h> 10 për hapjet (I dhe h janë gjatësia e traut dhe lartësia e seksionit), atëherë, si rregull , energjia e deformimit të përkuljes tejkalon ndjeshëm energjinë e deformimeve nga forcat gjatësore dhe tërthore, kështu që ato mund të injorohen në llogaritjen e zhvendosjeve. Pastaj formula (3.8) merr formën

3. Për dërrasat, shufrat e të cilave nën ngarkimin nyjor përjetojnë kryesisht forca gjatësore, mund të merren parasysh M = 0 dhe Q = 0. Më pas zhvendosja e nyjës llogaritet me formulën

Integrimi kryhet në gjatësinë e çdo shiriti dhe përmbledhja kryhet në të gjitha shiritat. Duke pasur parasysh se forca S u në shufrën e i-të dhe zona e prerjes tërthore nuk ndryshojnë përgjatë gjatësisë së saj, mund ta thjeshtojmë këtë shprehje:

Me gjithë thjeshtësinë e dukshme të kësaj formule, përllogaritja analitike e zhvendosjeve në kafaze është shumë e mundimshme, pasi kërkon përcaktimin e përpjekjeve në të gjitha shufrat e traversës nga ngarkesa në veprim () dhe nga forca njësi () e aplikuar në pikën zhvendosja e së cilës duhet të gjendet.

3.2.3. Metodologjia dhe shembujt e përcaktimit të zhvendosjeve

Konsideroni llogaritjen e integralit Mohr me metodën e A. N. Vereshchagin (1925). Integrali i Mohr-it ka formën (3.8), ku diagramet e momenteve të përkuljes, forcave gjatësore ose prerëse mund të shfaqen si D 1, D 2. Të paktën një nga diagramet () në integrand është linear ose pjesë-pjesë-linear, pasi është ndërtuar nga një ngarkesë njësi. Prandaj për

I pari nga integralet është numerikisht i barabartë me sipërfaqen nga nëngrafi (i hijezuar në Fig. 3.6), dhe i dyti është i barabartë me momentin statik të kësaj zone në lidhje me boshtin. Momenti statik mund të shkruhet si, ku është koordinata e pozicionit të qendrës së gravitetit të zonës (pika A). Me këtë thamë, ne marrim

(3.13)

Rregulli i Vereshchagin është formuluar si më poshtë: nëse të paktën një nga diagramet në sit është linear, atëherë integrali Mohr llogaritet si produkt i zonës në mënyrë arbitrare.

Kur llogaritni strukturat në mjedisin Mathcad, nuk ka nevojë të përdorni rregullin e Vereshchagin, pasi mund të llogarisni integralin me integrim numerik.

Shembulli 3.1(Fig. 3.7, a). Trari është i ngarkuar me dy forca të ndara në mënyrë simetrike. Gjeni zhvendosjet e pikave të zbatimit të forcave.

1. Të ndërtojmë një diagram të momenteve të përkuljes М 1 nga forcat F 1. Reagimet mbështetëse Momenti maksimal i përkuljes nën forcë

2. Meqenëse sistemi është simetrik, devijimet nën forcat do të jenë të njëjta. Si gjendje ndihmëse, marrim ngarkimin e traut nga dy forca njësi F 2 = 1 N të aplikuara në të njëjtat pika si forcat F 1

(Fig. 3.7, b). Diagrami i momenteve të përkuljes për një ngarkesë të caktuar është i ngjashëm me atë të mëparshëm, dhe momenti maksimal i përkuljes M 2max = 0,5 (L-b).

3. Ngarkimi i sistemit nga dy forca të gjendjes së dytë karakterizohet nga një forcë e përgjithësuar F 2 dhe një zhvendosje e përgjithësuar, të cilat krijojnë punën e forcave të jashtme në zhvendosjen e gjendjes 1, e barabartë me ... Le të llogarisim zhvendosjen me formulën (3.11). Duke shumëzuar diagramet sipas zonës sipas rregullit të Vereshchagin, gjejmë

Pas zëvendësimit të vlerave marr

Shembulli 3.2. Gjeni zhvendosjen horizontale të suportit të lëvizshëm të kornizës në formë U, të ngarkuar me forcë F x (Fig. 3.8, a).

1. Të ndërtojmë një diagram të momenteve të përkuljes nga forca F 1 Reaksionet mbështetëse ... Momenti maksimal i përkuljes nën forcën F 1

2. Si gjendje ndihmëse, marrim ngarkimin e traut nga një forcë horizontale njësi F 2 e aplikuar në pikën В (Fig. 3.8, b). Paraqitni momentet e përkuljes për këtë kuti ngarkimi. Reaksionet mbështetëse А 2у = В 2у = 0, А 2х = 1. Momenti maksimal i përkuljes.

3. Llogaritim zhvendosjen me formulën (3.11). Në seksionet vertikale, produkti është i barabartë me zero. Në seksionin horizontal, grafiku M 1 nuk është linear, por grafiku është linear. Duke shumëzuar diagramet me metodën e Vereshchagin, marrim

Produkti është negativ, pasi diagramet janë në anët e kundërta. Vlera negative e zhvendosjes që rezulton tregon se drejtimi i tij aktual është i kundërt me drejtimin e forcës njësi.

Shembulli 3.3(fig. 3.9). Gjeni këndin e rrotullimit të prerjes tërthore të një trau me dy mbështetës nën forcën dhe gjeni pozicionin e forcës në të cilën ky kënd do të jetë maksimal.

1. Le të ndërtojmë një diagram të momenteve të përkuljes М 1 nga forca F 1. Për këtë do të gjejmë reaksionin mbështetës А 1. Nga ekuacioni i ekuilibrit për sistemin në tërësi Momenti maksimal i përkuljes nën forcën Fj

2. Si gjendje ndihmëse marrim ngarkimin e traut me moment njësi F 2 = 1 Nm në atë seksion, rrotullimi i të cilit duhet të përcaktohet (Fig. 3.9, b). Paraqitni momentet e përkuljes për këtë kuti ngarkimi. Reaksionet mbështetëse А 2 = -В 2 = 1 / L, momentet e përkuljes

Të dy momentet janë negative, pasi janë të drejtuara në drejtim të akrepave të orës. Komplotet vizatohen në një fibër të shtrirë.

3. Ne llogarisim këndin e rrotullimit sipas formulës (3.11), duke kryer shumëzim në dy seksione,

Duke përcaktuar, mund ta merrni këtë shprehje në një formë më të përshtatshme:

Grafiku i varësisë së këndit të rrotullimit nga pozicioni i forcës F 1 është paraqitur në Fig. 3.9, shek. Duke e diferencuar këtë shprehje, nga kushti gjejmë pozicionin e forcës në të cilën këndi i prirjes së rrezes nën të do të jetë më i madhi në vlerë absolute. Kjo do të ndodhë me vlera të barabarta me 0.21 dhe 0.79.

Parimi i zhvendosjeve të mundshme bën të mundur zgjidhjen e një sërë problemesh mbi ekuilibrin e sistemeve mekanike - gjetjen e forcave aktive të panjohura, përcaktimin e reaksioneve të lidhjeve, gjetjen e pozicioneve të ekuilibrit të një sistemi mekanik nën veprimin e një sistemi mekanik të aplikuar. sistemi i forcave. Le ta ilustrojmë këtë me shembuj specifik.

Shembulli 1. Gjeni madhësinë e forcës P që mban prizma të rënda të lëmuara me masa në ekuilibër. Këndi i pjerrët i prizmave është i barabartë (Fig. 73).

Zgjidhje. Le të përdorim parimin e zhvendosjeve të mundshme. Le të informojmë sistemin për zhvendosjen e mundshme dhe të llogarisim punën e mundshme të forcave aktive:

Puna e mundshme e forcës së gravitetit është e barabartë me zero, pasi forca është pingul me vektorin e zhvendosjes elementare të pikës së aplikimit të forcës. Duke zëvendësuar vlerën këtu dhe duke barazuar shprehjen me zero, marrim:

Meqenëse, atëherë shprehja në kllapa është e barabartë me zero:

Nga këtu gjejmë

Shembulli 2. Një rreze homogjene AB me gjatësi dhe peshë P, e ngarkuar nga një palë forcash me një moment të caktuar M, është e fiksuar siç tregohet në Fig. 74 dhe është në pushim. Përcaktoni reaksionin e shtyllës BD nëse ajo bën një kënd a me horizontin.

Zgjidhje. Detyra ndryshon nga ajo e mëparshme në atë që këtu kërkohet të gjendet reagimi i lidhjes ideale. Por në ekuacionin e punimeve që shprehin parimin e zhvendosjeve të mundshme nuk përfshihen reaksionet e lidhjeve ideale. Në raste të tilla, parimi i zhvendosjeve të mundshme duhet të zbatohet në lidhje me parimin e lirimit nga lidhësit.

Ne e hedhim mendërisht shufrën BD dhe e konsiderojmë reagimin e saj S një forcë aktive me madhësi të panjohur. Pas kësaj, ne do të informojmë sistemin për një lëvizje të mundshme (me kusht që kjo lidhje të mungojë plotësisht). Ky do të jetë një rrotullim elementar i rrezes AB nga një kënd rreth boshtit të menteshës A në një drejtim ose në tjetrin (në drejtim të kundërt të akrepave të orës në Fig. 74). Zhvendosjet elementare të pikave të zbatimit të forcave aktive dhe reaksionit S të referuara ndaj tyre janë të barabarta:

Bëjmë ekuacionin e punës

Duke barazuar me zero shprehjen në kllapa, nga këtu gjejmë

Shembulli 3. Një shufër homogjene OA me një peshë fiksohet me anë të një menteshe cilindrike O dhe një suste AB (Fig. 75). Përcaktoni pozicionet në të cilat shufra mund të jetë në ekuilibër, nëse ngurtësia e sustës është e barabartë me k, gjatësia natyrore e sustës - dhe pika B është në të njëjtën vijë vertikale me pikën O.

Zgjidhje. Në shufrën ОА aplikohen dy forca aktive - pesha e saj dhe forca elastike e sustës ku është këndi i formuar nga shufra me vijën vertikale ОВ. Lidhjet e mbivendosura janë ideale (në këtë rast, ekziston vetëm një lidhje - mentesha O).

Le të informojmë sistemin për një lëvizje të mundshme - një rrotullim elementar të shufrës rreth boshtit të menteshës O me një kënd, llogarisim punën e mundshme të forcave aktive dhe barazojmë atë me zero:

Duke zëvendësuar këtu shprehjen për forcën F dhe vlerën

pas transformimeve të thjeshta, marrim ekuacionin trigonometrik të mëposhtëm për përcaktimin e këndit (p kur shufra është në ekuilibër:

Ekuacioni përcakton tre vlera për këndin:

Rrjedhimisht, shufra ka tre pozicione ekuilibri. Meqenëse dy pozicionet e para të ekuilibrit ekzistojnë nëse kushti plotësohet. Ekuilibri ekziston gjithmonë.

Si përfundim, vërejmë se parimi i zhvendosjeve të mundshme mund të zbatohet për sistemet me lidhje të papërsosura. Theksi në idealitetin e lidhjeve bëhet në formulimin e parimit me një qëllim të vetëm - të tregojë se ekuacionet e ekuilibrit të sistemeve mekanike mund të hartohen pa përfshirë reagimet e lidhjeve ideale në to, duke thjeshtuar kështu llogaritjet.

Për sistemet me lidhje të papërsosura, parimi i zhvendosjeve të mundshme duhet të riformulohet si vijon: për ekuilibrin e një sistemi mekanik me lidhje frenuese, ndër të cilat ka lidhje të papërsosura, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që puna e mundshme e forcave aktive dhe reaksioneve të lidhjet e papërsosura të jenë të barabarta me zero. Sidoqoftë, është e mundur të bëhet pa riformuluar parimin, duke i referuar në mënyrë konvencionale reagimet e lidhjeve të papërsosura në numrin e forcave aktive.

Pyetje vetë-testimi

1. Cili është tipari kryesor i një sistemi mekanik jo të lirë në krahasim me atë të lirë?

2. Çfarë quhet lëvizje e mundshme? Jep shembuj.

3. Si përcaktohen ndryshimet në koordinatat e pikave të sistemit gjatë lëvizjes së mundshme të tij (trego tre mënyra)?

4. Si klasifikohen lidhjet sipas formës së ekuacioneve të tyre? Jepni shembuj të lidhjeve frenuese dhe jo frenuese, të palëvizshme dhe jo të palëvizshme.

5. Në cilin rast lidhja quhet ideale? Papërsosur?

6. Jepni formulimin verbal dhe regjistrimin matematikor të parimit të zhvendosjeve të mundshme.

7. Si formulohet parimi i zhvendosjeve të mundshme për sistemet që përmbajnë lidhje jo të përsosura?

8. Listoni llojet kryesore të problemeve që mund të zgjidhen duke përdorur parimin e zhvendosjeve të mundshme.

Ushtrime

Duke përdorur parimin e zhvendosjeve të mundshme, zgjidhni problemet e mëposhtme nga koleksioni i I.V. Meshchersky 1981 botimi: 46.1; 46,8; 46,17; 2,49; 4.53.

KLASIFIKIMI I MARRËDHËNIEVE

Koncepti i obligacioneve i paraqitur në seksionin 3 nuk mbulon të gjitha llojet e tyre. Meqenëse metodat e konsideruara të njëtrajtshme për zgjidhjen e problemeve të mekanikës janë përgjithësisht të zbatueshme për sistemet jo me ndonjë kufizim, ne do të shqyrtojmë çështjen e kufizimeve dhe klasifikimin e tyre disi më në detaje.

Kufizimet e çdo lloji quhen kufizime që vendosen në pozicionet dhe shpejtësitë e pikave të një sistemi mekanik dhe që plotësohen pavarësisht se cilat forca janë aplikuar në sistem. Le të shohim se si klasifikohen këto lidhje.

Lidhjet që nuk ndryshojnë me kalimin e kohës quhen të palëvizshme, dhe ato që ndryshojnë me kalimin e kohës quhen jo-stacionare.

Kufizimet që vendosin kufizime në pozicionet (koordinatat) e pikave të sistemit quhen gjeometrike, dhe ato që vendosin kufizime në shpejtësinë (derivatet e para të koordinatave në lidhje me kohën) të pikave të sistemit quhen kinematike ose diferenciale. .

Nëse lidhja diferenciale mund të paraqitet si gjeometrike, d.m.th., varësia midis shpejtësive të krijuara nga kjo lidhje mund të reduktohet në varësinë midis koordinatave, atëherë një lidhje e tillë quhet e integrueshme, dhe përndryshe - e paintegrueshme.

Kufizimet diferenciale gjeometrike dhe të integrueshme quhen kufizime golsnominale, dhe kufizimet diferenciale jointegruese quhen kufizime joholonomike.

Sipas llojit të lidhjeve, sistemet mekanike ndahen gjithashtu në holonomike (me lidhje holonomike) dhe joholonomike (që përmbajnë lidhje joholonomike).

Së fundi, bëhet dallimi midis lidhjeve frenuese (kufizimet që ato vendosin mbeten në çdo pozicion të sistemit) dhe atyre jo kufizuese, të cilat nuk e kanë këtë pronë (siç thonë ata, sistemi mund të "çlirohet" nga lidhje të tilla). . Le të shohim disa shembuj.

1. Të gjitha kufizimet e konsideruara në § 3 janë gjeometrike (holonomike) dhe, për më tepër, të palëvizshme. LPF lëvizëse, e paraqitur në Fig. 271, a, do të jetë për ngarkesën që ndodhet në të, kur pozicioni i ngarkesës merret në konsideratë në lidhje me akset Oxy, me një lidhje gjeometrike jo të palëvizshme (dyshemeja e kabinës, e cila zbaton lidhjen, ndryshon pozicionin e saj. në hapësirë ​​me kalimin e kohës).

2 Pozicioni i rrotullimit të rrotës pa rrëshqitje (shih Fig. 328) përcaktohet nga koordinata e qendrës C të rrotës dhe këndi i rrotullimit. Kur rrotullohet, gjendja ose

Kjo është një lidhje diferenciale, por ekuacioni që rezulton është i integruar dhe jep, domethënë reduktohet në marrëdhënien midis koordinatave. Prandaj, kufizimi i vendosur është holonomik.

3. Ndryshe nga një rrotë për një top që rrotullohet pa rrëshqitur në një plan të ashpër, kushti që shpejtësia e një pike në topin që prek rrafshin të jetë zero nuk mund të zvogëlohet (kur qendra e topit nuk lëviz drejt linjë) ndaj çdo varësie midis koordinatave, duke përcaktuar pozicionin e topit. Ky është një shembull i një komunikimi jo-halogjen. Një shembull tjetër jepet nga kufizimet e vendosura në lëvizjen e kontrolluar. Për shembull, nëse në lëvizjen e një pike (raketë) vendoset një kusht (lidhje) që shpejtësia e saj në çdo moment në kohë duhet të drejtohet në një pikë tjetër lëvizëse (rrafsh), atëherë ky kusht nuk mund të reduktohet në ndonjë varësi midis koordinatat, dhe lidhja është joholonomike ...

4. Në § 3 lidhjet e paraqitura në fig. po mbajnë, dhe në Fig. 8 dhe 9 - jo-mbajtje (në Fig. 8, dhe topi mund të largohet nga sipërfaqja, dhe në Fig. 9 - të lëvizë drejt pikës A, duke shtypur fillin). Duke marrë parasysh veçoritë e obligacioneve të pandalshme, kemi hasur në problemat 108, 109 (seksioni 90) dhe në problemin 146 (seksioni 125).

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë një parim tjetër të mekanikës, i cili vendos një kusht të përgjithshëm për ekuilibrin e një sistemi mekanik. Me ekuilibër (shih § 1) nënkuptojmë atë gjendje të sistemit në të cilin të gjitha pikat e tij nën veprimin e forcave të aplikuara janë në qetësi në lidhje me kornizën inerciale të referencës (ne konsiderojmë të ashtuquajturin ekuilibër "absolut"). Në të njëjtën kohë, të gjitha komunikimet e imponuara në sistem do t'i konsiderojmë të palëvizshme dhe këtë nuk do ta specifikojmë në të ardhmen çdo herë.

Le të prezantojmë konceptin e punës së mundshme si një punë elementare që një forcë që vepron në një pikë materiale mund të kryejë në një zhvendosje që përkon me zhvendosjen e mundshme të kësaj pike. Ne do të shënojmë punën e mundshme të forcës aktive me simbolin, dhe punën e mundshme të reaksionit të lidhjes N me simbolin

Le të japim tani një përkufizim të përgjithshëm të konceptit të kufizimeve ideale, të cilin e kemi përdorur tashmë (shih § 123): kufizimet quhen ideale për të cilat shuma e funksioneve elementare të reagimeve të tyre në çdo zhvendosje të mundshme të sistemit është e barabartë me zero, dmth

Kushti për idealitetin e kufizimeve të dhëna në § 123 dhe të shprehura me barazi (52), kur ato janë njëkohësisht të palëvizshme, korrespondon me përkufizimin (98), pasi për kufizimet stacionare, çdo zhvendosje reale përkon me një nga të mundshmet. Prandaj, shembujt e lidhjeve ideale janë të gjithë shembuj të dhënë në § 123.

Për të përcaktuar gjendjen e nevojshme të ekuilibrit, vërtetojmë se nëse një sistem mekanik me kufizime ideale është në ekuilibër nga veprimi i forcave të aplikuara, atëherë për çdo zhvendosje të mundshme të sistemit, barazia

ku është këndi ndërmjet forcës dhe zhvendosjes së mundshme.

Le të shënojmë rezultatin e të gjitha forcave aktive (si të jashtme ashtu edhe të brendshme) dhe reagimet e lidhjeve që veprojnë në një pikë të sistemit, përkatësisht, përmes. Atëherë, meqenëse secila nga pikat e sistemit është në ekuilibër, prandaj, edhe shuma e punës së këtyre forcave për çdo lëvizje të pikës do të jetë e barabartë me zero, d.m.th. Duke kompozuar barazi të tilla për të gjitha pikat e sistemit dhe duke i shtuar ato term pas termi, marrim

Por duke qenë se lidhjet janë ideale, ato përfaqësojnë zhvendosjet e mundshme të pikave të sistemit, shuma e dytë sipas kushtit (98) do të jetë e barabartë me zero. Atëherë shuma e parë është gjithashtu e barabartë me zero, d.m.th., vlen barazia (99). Kështu, kemi vërtetuar se barazia (99) shpreh kusht i nevojshëm ekuilibri i sistemit.

Le të tregojmë se ky kusht është gjithashtu i mjaftueshëm, d.m.th., se nëse forcat aktive që plotësojnë barazinë (99) zbatohen në pikat e një sistemi mekanik në prehje, atëherë sistemi do të mbetet në qetësi. Le të supozojmë të kundërtën, domethënë që sistemi do të fillojë të lëvizë dhe disa nga pikat e tij do të lëvizin në të vërtetë. Atëherë forcat do të kryejnë punë në këto zhvendosje dhe, sipas teoremës për ndryshimin e energjisë kinetike, do të jetë:

ku, padyshim, që në fillim sistemi ishte në qetësi; prandaj, dhe. Por me lidhjet stacionare, zhvendosjet aktuale përkojnë me disa nga zhvendosjet e mundshme, dhe në këto zhvendosje duhet të ketë gjithashtu diçka që bie ndesh me kushtin (99). Kështu, kur forcat e aplikuara plotësojnë kushtin (99), sistemi nuk mund të largohet nga gjendja e prehjes dhe ky kusht është një kusht i mjaftueshëm për ekuilibër.

Parimi i mëposhtëm i zhvendosjeve të mundshme rrjedh nga ajo që është vërtetuar: për ekuilibrin e një sistemi mekanik me kufizime ideale, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma e punëve elementare të të gjitha forcave aktive që veprojnë mbi të për çdo zhvendosje të mundshme të sistemit. është e barabartë me zero. Kushti i ekuilibrit i formuluar matematikisht shprehet me barazi (99), i cili quhet edhe ekuacioni i punëve të mundshme. Kjo barazi mund të përfaqësohet gjithashtu në formë analitike (shih § 87):

Parimi i zhvendosjeve të mundshme vendos një kusht të përgjithshëm për ekuilibrin e një sistemi mekanik, i cili nuk kërkon shqyrtimin e ekuilibrit të pjesëve (trupave) individuale të këtij sistemi dhe lejon, me kufizime ideale, të përjashtohen nga shqyrtimi të gjitha reaksionet e kufizimit të panjohura më parë. .

Figura 2.4

Zgjidhje

Zëvendësoni ngarkesën e shpërndarë me një forcë të përqendruar Q = q ∙ DH... Kjo forcë zbatohet në mes të segmentit. DH- në pikën L.

Forcë F zbërthehet në përbërës, duke e projektuar në boshtin: horizontal F x cosα dhe vertikale F y sinα.

Figura 2.5

Për të zgjidhur problemin duke përdorur parimin e zhvendosjeve të mundshme, është e nevojshme që struktura të mund të lëvizë dhe, në të njëjtën kohë, të ketë një reagim të panjohur në ekuacionin e punës. Ne mbeshtetje A reaksioni zbërthehet në përbërës X A, Y A.

Për përcaktimin X A ne do të ndryshojmë strukturën e mbështetjes A në mënyrë që pika A mund të lëvizte vetëm horizontalisht. Le të shprehim zhvendosjet e pikave të strukturës përmes rrotullimit të mundshëm të pjesës CDB rreth pikës B në cep δφ 1, pjesë AKC struktura në këtë rast rrotullohet rreth pikës C V1- qendra e menjëhershme e rrotullimit (Figura 2.5) në një kënd δφ 2, dhe pikat lëvizëse L dhe C- do

δS L = BL ∙ δφ 1;
δS C = BC ∙ δφ 1.

Ne te njejten kohe

δS C = CC V1 ∙ δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙ BC / CC V1.

Është më i përshtatshëm të formohet ekuacioni i punës përmes punës së momenteve të forcave të dhëna, në lidhje me qendrat e rrotullimit.

Q ∙ BL ∙ δφ 1 + F x ∙ BH ∙ δφ 1 + F y ∙ ED ∙ δφ 1 +
+ M ∙ δφ 2 - X A ∙ AC V1 ∙ δφ 2 = 0.

Reagimi Y A nuk bën punë. Duke e transformuar këtë shprehje, marrim

Q ∙ (BH + DH / 2) ∙ δφ 1 + F ∙ cosα ∙ BD ∙ δφ 1 +
+ F ∙ sinα ∙ DE ∙ δφ 1 + M ∙ δφ 1 ∙ BC / CC V1 -
- X A ∙ AC V1 ∙ δφ 1 ∙ BC / CC V1 = 0.

Duke reduktuar me δφ 1, marrim një ekuacion nga i cili është e lehtë të gjendet X A.

Për përcaktimin Y A struktura mbështetëse A ndryshojnë në mënyrë që gjatë lëvizjes së pikës A vetëm forca e bëri punën Y A(Figura 2.6). Ne do të marrim për një lëvizje të mundshme të një pjese të strukturës BDC duke u kthyer rreth një pike fikse B — δφ 3.

Figura 2.6

Për pikë C δS C = BC ∙ δφ 3, qendra e menjëhershme e rrotullimit për një pjesë të strukturës AKC do të ketë një pikë C V2, dhe duke lëvizur pikën C vënë atë.

Është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma e punës së të gjitha forcave aktive të aplikuara në sistem në çdo zhvendosje të mundshme të sistemit të jetë e barabartë me zero.

Numri i ekuacioneve që mund të hartohen për një sistem mekanik, bazuar në parimin e zhvendosjeve të mundshme, është i barabartë me numrin e shkallëve të lirisë së këtij sistemi mekanik.

Letërsia

• Targ S. M. Një kurs i shkurtër në mekanikën teorike. Libër mësuesi. për kolegjet teknike - botimi i 10-të, rev. dhe shtoni. - M .: Më e lartë. shk., 1986.- 416 s, ill.
• Kursi kryesor i mekanikës teorike (pjesa e parë) N. N. Bukhgolts, shtëpia botuese "Nauka", Botimi kryesor i letërsisë fizike dhe matematikore, Moskë, 1972, 468 f.

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Shihni se çfarë është "Parimi i lëvizjeve të mundshme" në fjalorë të tjerë:

parimi i zhvendosjeve të mundshme

Një nga parimet variacionale të mekanikës, duke vendosur kushtet e përgjithshme për ekuilibrin e mekanikës. sistemeve. Sipas V. p. P., Për balancën mekanike. sisteme me lidhje ideale (shiko LIDHJET MEKANIKE) është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma e punimeve dAi ... ... Enciklopedi fizike

Fjalori i madh enciklopedik

PARIMI I LËVIZJES TË MUNDSHME, për ekuilibrin e një sistemi mekanik është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma e punës së të gjitha forcave që veprojnë në sistem për çdo zhvendosje të mundshme të sistemit të jetë e barabartë me zero. Parimi i zhvendosjeve të mundshme zbatohet kur ... ... fjalor enciklopedik

Një nga parimet variacionale të mekanikës (shih Parimet variacionale të mekanikës), i cili vendos një kusht të përgjithshëm për ekuilibrin e një sistemi mekanik. Sipas V. p. P., Për ekuilibrin e një sistemi mekanik me kufizime ideale (shih. Lidhjet ... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Parimi i shpejtësive virtuale, një parim ndryshimi diferencial i mekanikës klasike, që shpreh kushtet më të përgjithshme për ekuilibrin e sistemeve mekanike të kufizuara nga kufizimet ideale. Sipas V. p. P. Mekanik. sistemi është në ekuilibër ... Enciklopedia e matematikës

Për ekuilibrin e një sistemi mekanik, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma e punës së të gjitha forcave që veprojnë në sistem për çdo zhvendosje të mundshme të sistemit të jetë e barabartë me zero. Parimi i zhvendosjeve të mundshme zbatohet në studimin e kushteve të ekuilibrit ... ... fjalor enciklopedik

Për ekuilibër, mekanik sistemi është i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që shuma e punës së të gjitha forcave që veprojnë në sistem për çdo zhvendosje të mundshme të sistemit të jetë e barabartë me zero. V. p. P. Përdoret në studimin e kushteve të ekuilibrit të mekanikës komplekse. sistemet ...... Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik

parimi i zhvendosjes virtuale- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. parimi i vok zhvendosjes virtuale. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. parimi i zhvendosjeve virtuale, m; parimi i lëvizjeve të mundshme, m pranc. principe des… Fizikos terminų žodynas

Një nga parimet variacionale të mekanikës, sipas rumit, për një klasë të caktuar lëvizjesh mekanike të krahasueshme. sistemi është i vlefshëm për cilin fizik. vlerë, e quajtur. veprim, ka më të voglin (më saktë, të palëvizshëm) ... ... Enciklopedi fizike

libra

• Mekanika teorike. Në 4 vëllime. Vëllimi 3: Dinamika. Mekanika analitike. Tekste leksionesh. Qafa e Ministrisë së Mbrojtjes së Federatës Ruse, Bogomaz Irina Vladimirovna. Tutoriali përcakton dy pjesë të një kursi të unifikuar në mekanikën teorike: dinamikën dhe mekanikën analitike. Në pjesën e parë trajtohen në detaje problemi i parë dhe i dytë i dinamikës, gjithashtu ...