Το κέντρο βάρους ενός άκαμπτου σώματος και πώς να βρείτε τη θέση του. Κέντρο μάζας σώματος. Ισορροπία. Μάζα σώματος Αυτό που ονομάζεται κέντρο βάρους ενός άκαμπτου σώματος

Ας επιλέξουμε σε ένα ανομοιογενές στερεό τον στοιχειώδη όγκο dV = dx dy dz (Εικόνα 5.3). Το βάρος του επιλεγμένου στοιχείου θα είναι, πού βρίσκεται το ειδικό βάρος στο σημείο του σώματος με τις αντίστοιχες συντεταγμένες.

Τα βάρη των στοιχείων σχηματίζουν ένα σύστημα δυνάμεων παράλληλο προς τον ισχύοντα άξονα. Προκύπτουσα ενότητα

βάρη στοιχείων ονομάζεται βάρος στερεός, και το γεωμετρικό σημείο εφαρμογής του προκύπτοντος είναι κέντρο βαρύτηταςσυμπαγές σώμα. Για να υπολογίσουμε αυτά τα μεγέθη, χρησιμοποιούμε τους τύπους (5.1) και (5.4), αντικαθιστώντας το άθροισμα σε αυτά με ολοκλήρωση στον όγκο, δηλαδή

Η τιμή στον αριθμητή του τύπου (5.8) ονομάζεται στατική ροπή του βάρους ενός άκαμπτου σώματος σε σχέση με το επίπεδο συντεταγμένων.

Προφανώς, για ένα ομοιογενές σώμα, ο τύπος (5.8) παίρνει τη μορφή

Η δομή των τύπων για τον υπολογισμό και παρόμοια.

Στην περίπτωση αυτή, το κέντρο βάρους του άκαμπτου σώματος συμπίπτει με το κέντρο του όγκου του.

Αν μία από τις διαστάσεις ενός στερεού είναι σημαντικά μικρότερη από τις άλλες δύο, ονομάζεται σώμα βαριά επιφάνεια... Με σταθερό βάρος ανά μονάδα επιφάνειας, είναι ομοιογενές. Οι τύποι για τον υπολογισμό του βάρους και των συντεταγμένων του κέντρου βάρους λαμβάνονται από (5.7) - (5.9) αντικαθιστώντας τα ολοκληρώματα πάνω από τον όγκο με ολοκληρώματα στην επιφάνεια. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η επιφάνεια μπορεί να είναι επίπεδη.

Εάν δύο μεγέθη ενός άκαμπτου σώματος είναι σημαντικά μικρότερα από το τρίτο, το σώμα ονομάζεται βαριά γραμμή... Με σταθερό βάρος ανά μονάδα μήκους της γραμμής, είναι ομοιογενές. Οι τύποι για τον υπολογισμό του βάρους και των συντεταγμένων του κέντρου βάρους λαμβάνονται από (5.7) - (5.9) αντικαθιστώντας τα ολοκληρώματα όγκου με καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η γραμμή μπορεί να είναι ευθεία.

Εάν ένα ομοιογενές στερεό έχει ένα επίπεδο συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους του σώματος βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο (το άθροισμα των στατικών ροπών των στοιχειωδών δυνάμεων του βάρους σε σχέση με το επίπεδο συμμετρίας είναι ίσο με μηδέν).

Εάν ένα ομοιογενές στερεό έχει δύο επίπεδα συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους του σώματος ανήκει στη γραμμή τομής αυτών των επιπέδων.

Αν ένα ομοιογενές στερεό έχει τρία επίπεδα συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους του σώματος βρίσκεται στο σημείο τομής τους.

Εάν ένα άκαμπτο σώμα μπορεί διανοητικά να διαιρεθεί σε στοιχεία των οποίων τα βάρη και οι θέσεις των κέντρων βάρους είναι γνωστά, τότε ο υπολογισμός του βάρους του άκαμπτου σώματος και η θέση του κέντρου βάρους του μπορούν να πραγματοποιηθούν χρησιμοποιώντας τύπους (5.1 ) και (5.4). Έτσι, για παράδειγμα, υπολογίζονται το βάρος και οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους ενός πλοίου υπό κατασκευή.

Εάν το σώμα έχει εγκοπές, μπορούν να θεωρηθούν αρνητικά στοιχεία βάρους.

Σημειώστε ότι η βιβλιογραφία αναφοράς μηχανικής περιέχει έναν αρκετά μεγάλο αριθμό ομοιογενών στοιχείων (ογκομετρικά, επίπεδα και καμπυλόγραμμα), για τα οποία υπολογίζονται τα βάρη και οι θέσεις των κέντρων βάρους. Μερικά από αυτά φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η θέση του κέντρου βάρους ενός άκαμπτου σώματος μπορεί να βρεθεί από τα αποτελέσματα του πειράματος. Για παράδειγμα, όταν ένα σώμα αιωρείται από ένα νήμα, το κέντρο βάρους του βρίσκεται στη γραμμή του νήματος. Έχοντας αναρτήσει το σώμα από ένα άλλο σημείο που δεν βρίσκεται στην πρώτη γραμμή, βρίσκουμε τη θέση του κέντρου βάρους του σώματος ως το σημείο τομής των δύο γραμμών. Μια άλλη μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εύρεση του κέντρου βάρους εκτεταμένων σωμάτων είναι η λεγόμενη τοποθέτησή του σε «μαχαίρια» με παράλληλες λεπίδες. Όταν πλησιάζουν τα «μαχαίρια», το κέντρο βάρους του σώματος τείνει να παραμένει ανάμεσά τους και, στο όριο, αποδεικνύεται ότι βρίσκεται στη γραμμή σύμπτωσης των λεπίδων.

Στην πρακτική της μηχανικής, μέθοδοι που είναι ένας συνδυασμός υπολογισμού και πειράματος μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της θέσης του κέντρου βάρους ενός σώματος. Για παράδειγμα, ας δώσουμε τον υπολογισμό της απόστασης του κέντρου βάρους του αεροσκάφους που φαίνεται στο σχήμα 5.4 Από τον μπροστινό τροχό του.

Στο σχήμα: D είναι ένα δυναμόμετρο που δείχνει το μέγεθος της κανονικής δύναμης πίεσης του μπροστινού τροχού, το P είναι το βάρος του αεροσκάφους, είναι η απόσταση από τον μπροστινό τροχό στον άξονα των πίσω τροχών.

Προφανώς, η απόσταση ενδιαφέροντος από τον μπροστινό τροχό έως τη γραμμή δύναμης του βάρους του αεροσκάφους μπορεί να ληφθεί από την εξίσωση του αθροίσματος των ροπών των δυνάμεων και του P σε σχέση με τον άξονα των πίσω τροχών, όπως

Σημείωση: εάν το βάρος P του αεροσκάφους δεν είναι γνωστό, τότε μετακινώντας το δυναμόμετρο D κάτω από τους πίσω τροχούς, μπορείτε να λάβετε την τιμή της κανονικής δύναμης πίεσης. Τότε

Παράδειγμα 5.1. Για μια ομοιογενή πλάκα με τη μορφή κυκλικού τομέα με γωνία κορυφής 2 (βλ. Εικ. 5.5), βρείτε τη θέση του κέντρου βάρους της πλάκας.

Ας σχεδιάσουμε την τετμημένη έτσι ώστε να είναι η διχοτόμος της γωνίας 2. Τότε, λόγω συμμετρίας, η τεταγμένη του κέντρου βάρους είναι μηδέν, δηλ. ...

Με δύο ακτίνες, τη στοιχειώδη γωνία μεταξύ των οποίων, επιλέγουμε στην πλάκα ένα στοιχείο του οποίου το εμβαδόν είναι περίπου ίσο με το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου

Η τετμημένη του κέντρου βάρους του επιλεγμένου τριγωνικού στοιχείου είναι.

Τώρα μπορείτε να γράψετε μια έκφραση για να υπολογίσετε την τετμημένη του κέντρου βάρους του κυκλικού τομέα ως

Σημείωση: κατά τον υπολογισμό, λήφθηκε υπόψη ότι το κέντρο βάρους ενός ομογενούς επιπέδου σώματος έχει τις ίδιες συντεταγμένες στο επίπεδο με αυτό του αντίστοιχου επίπεδου σχήματος.

Παράδειγμα 5.2. Για μια λεπτή ομοιογενή πλάκα μιγαδικού σχήματος, οι διαστάσεις της οποίας φαίνονται στο σχήμα 5.6, βρείτε τη θέση του κέντρου βάρους.

Ας χωρίσουμε νοερά το πιάτο σε τρία στοιχεία: ένα ορθογώνιο, ένα τρίγωνο και έναν κύκλο. Για καθένα από τα στοιχεία, βρίσκουμε την περιοχή και τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους:

Στη συνέχεια, για την πλάκα, οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους μπορούν να υπολογιστούν με τους τύπους:

Κατά τον υπολογισμό, η τρύπα ερμηνεύτηκε ως η προσάρτηση ενός κύκλου αρνητικού βάρους.

Κέντρο βαρύτηταςένα άκαμπτο σώμα είναι ένα γεωμετρικό σημείο άκαμπτα συνδεδεμένο με αυτό το σώμα και το οποίο είναι το κέντρο των δυνάμεων παράλληλης βαρύτητας που ασκούνται σε μεμονωμένα στοιχειώδη σωματίδια του σώματος (Εικόνα 1.6).

Το διάνυσμα ακτίνας αυτού του σημείου

Εικόνα 1.6

Για ένα ομοιογενές σώμα, η θέση του κέντρου βάρους του σώματος δεν εξαρτάται από το υλικό, αλλά καθορίζεται από το γεωμετρικό σχήμα του σώματος.

Αν το ειδικό βάρος ενός ομοιογενούς σώματος γ , βάρος στοιχειώδες σωματίδιοσώμα

Π k = γΔV κ (Π = γV ) αντικαταστήστε στον τύπο για τον προσδιορισμό r ντο , έχουμε

Έτσι, προβάλλοντας στον άξονα και περνώντας στο όριο, λαμβάνουμε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους ενός ομοιογενούς όγκου

Ομοίως, για τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους μιας ομοιογενούς επιφάνειας με εμβαδόν μικρό (Εικόνα 1.7, α)

Εικόνα 1.7

Για τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους μιας ομοιογενούς γραμμής με μήκος μεγάλο (Εικόνα 1.7, β)

Μέθοδοι προσδιορισμού των συντεταγμένων του κέντρου βάρους

Με βάση τους γενικούς τύπους που ελήφθησαν προηγουμένως, είναι δυνατό να υποδειχθούν μέθοδοι για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των κέντρων βάρους των στερεών:

1 Αναλυτικός(με ενσωμάτωση).

2 Μέθοδος συμμετρίας... Εάν το σώμα έχει επίπεδο, άξονα ή κέντρο συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους του βρίσκεται, αντίστοιχα, στο επίπεδο συμμετρίας, στον άξονα συμμετρίας ή στο κέντρο συμμετρίας.

3 Πειραματικός(μέθοδος ανάρτησης σώματος).

4 Δυνατός... Το σώμα χωρίζεται σε έναν πεπερασμένο αριθμό μερών, για καθένα από τα οποία η θέση του κέντρου βάρους ντο και περιοχή μικρό είναι γνωστοί. Για παράδειγμα, η προβολή του σώματος στο επίπεδο xOy (Εικόνα 1.8) μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύο επίπεδες φιγούρες με εμβαδά μικρό 1 και μικρό 2 (S = S 1 + Σ 2 ). Τα κέντρα βάρους αυτών των μορφών βρίσκονται σε σημεία ντο 1 (Χ 1 , y 1 ) και ντο 2 (Χ 2 , y 2 ) ... Τότε οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του σώματος είναι

Εικόνα 1.8

5Πρόσθεση(μέθοδος αρνητικών περιοχών ή όγκων). Μια ειδική περίπτωση της μεθόδου κατάτμησης. Ισχύει για σώματα με εγκοπές εάν είναι γνωστά τα κέντρα βάρους του σώματος χωρίς την αποκοπή και το τμήμα αποκοπής. Για παράδειγμα, πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους μιας επίπεδης φιγούρας (Εικόνα 1.9):

Εικόνα 1.9

Τα κέντρα βάρους των απλούστερων μορφών

Εικόνα 1.10

1 Τρίγωνο

Το κέντρο βάρους της περιοχής του τριγώνου συμπίπτει με το σημείο τομής των διαμέσου του (Εικόνα 1.10, α).

DM = MB , CM = (1/3)ΕΙΜΑΙ .

2 Τόξο κύκλου

Το τόξο έχει άξονα συμμετρίας (Εικόνα 1.10, β). Το κέντρο βάρους βρίσκεται σε αυτόν τον άξονα, δηλ. y ντο = 0 .

δλ - στοιχείο τόξου, δλ = Rdφ , R - την ακτίνα του κύκλου, x = Rcosφ , L = 2αR ,

Ως εκ τούτου:

Χ ντο = R (sina / α) .

3 Κυκλικός τομέας

Τομέας ακτίνας R με κεντρική γωνία 2 α έχει άξονα συμμετρίας Βόδι , στο οποίο βρίσκεται το κέντρο βάρους (Εικόνα 1.10, γ).

Χωρίζουμε τον τομέα σε στοιχειώδεις τομείς, που μπορούν να θεωρηθούν τρίγωνα. Τα κέντρα βάρους των στοιχειωδών τομέων βρίσκονται σε τόξο κύκλου ακτίνας (2/3) R .

Το κέντρο βάρους του τομέα συμπίπτει με το κέντρο βάρους του τόξου ΑΒ :

14. Μέθοδοι προσδιορισμού της κίνησης ενός σημείου.

Στη μέθοδο του διανύσματος για τον καθορισμό της κίνησης, η θέση του σημείου προσδιορίζεται από το διάνυσμα ακτίνας που λαμβάνεται από το σταθερό σημείο στο επιλεγμένο πλαίσιο αναφοράς.

Με τη μέθοδο συντεταγμένων για τον καθορισμό της κίνησης, οι συντεταγμένες του σημείου καθορίζονται σε συνάρτηση με το χρόνο:

Πρόκειται για παραμετρικές εξισώσεις της τροχιάς ενός κινούμενου σημείου, στο οποίο ο ρόλος μιας παραμέτρου παίζει ο χρόνος t ... Για να γράψετε την εξίσωσή του σε ρητή μορφή, είναι απαραίτητο να εξαιρεθείτε από αυτά t .

Με τη φυσική μέθοδο προσδιορισμού της κίνησης, η τροχιά του σημείου, η αρχή στην τροχιά με την ένδειξη της θετικής κατεύθυνσης της αναφοράς, ο νόμος μεταβολής της συντεταγμένης του τόξου τίθενται: s = s (t) ... Αυτή η μέθοδος είναι βολική στη χρήση εάν η τροχιά του σημείου είναι γνωστή εκ των προτέρων.

15. 1.2 Ταχύτητα σημείου

Σκεφτείτε να μετακινήσετε ένα σημείο σε σύντομο χρονικό διάστημα Δt :

μέση ταχύτητα ενός σημείου σε μια χρονική περίοδο Dt ... Σημείο ταχύτητας σε μια δεδομένη στιγμή

Σημειακή ταχύτηταΕίναι το κινηματικό μέτρο της κίνησής του, ίσο με τη χρονική παράγωγο του διανύσματος ακτίνας αυτού του σημείου στο υπό εξέταση πλαίσιο αναφοράς. Το διάνυσμα της ταχύτητας κατευθύνεται εφαπτομενικά στην τροχιά του σημείου προς την κατεύθυνση της κίνησης.

Κέντρο βάρους ενός άκαμπτου σώματος

Κέντρο βαρύτηταςένα άκαμπτο σώμα είναι ένα γεωμετρικό σημείο άκαμπτα συνδεδεμένο με αυτό το σώμα και το οποίο είναι το κέντρο των δυνάμεων παράλληλης βαρύτητας που ασκούνται σε μεμονωμένα στοιχειώδη σωματίδια του σώματος (Εικόνα 1.6).

Το διάνυσμα ακτίνας αυτού του σημείου

Εικόνα 1.6

Για ένα ομοιογενές σώμα, η θέση του κέντρου βάρους του σώματος δεν εξαρτάται από το υλικό, αλλά καθορίζεται από το γεωμετρικό σχήμα του σώματος.

Αν το ειδικό βάρος ενός ομοιογενούς σώματος γ , το βάρος ενός στοιχειώδους σωματιδίου του σώματος

P k = γΔV k (P = γV)

υποκατάστατο στον τύπο για τον προσδιορισμό r Γ , έχουμε

Έτσι, προβάλλοντας στον άξονα και περνώντας στο όριο, λαμβάνουμε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους ενός ομοιογενούς όγκου

Ομοίως, για τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους μιας ομοιογενούς επιφάνειας με εμβαδόν μικρό (Εικόνα 1.7, α)

Εικόνα 1.7

Για τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους μιας ομοιογενούς γραμμής με μήκος μεγάλο (Εικόνα 1.7, β)

Μέθοδοι προσδιορισμού των συντεταγμένων του κέντρου βάρους

Με βάση τους γενικούς τύπους που ελήφθησαν προηγουμένως, είναι δυνατό να υποδειχθούν μέθοδοι για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των κέντρων βάρους των στερεών:

Εικόνα 1.8

Εικόνα 1.9

11. Βασικές έννοιες της κινηματικής. Σημειακή κινηματική. Μέθοδοι προσδιορισμού της κίνησης ενός σημείου. Σημειακή ταχύτητα και επιτάχυνση.

Βασικές έννοιες της κινηματικής

Κινηματική- ένα τμήμα της μηχανικής που μελετά την κίνηση των σωμάτων χωρίς να λαμβάνει υπόψη τους λόγους που προκάλεσαν αυτή την κίνηση.

Το κύριο καθήκον της κινηματικής είναι να βρει τη θέση ενός σώματος σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, εάν είναι γνωστές η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνσή του την αρχική χρονική στιγμή.

Μηχανική κίνησηείναι μια αλλαγή στη θέση των σωμάτων (ή των μερών του σώματος) μεταξύ τους στο χώρο με την πάροδο του χρόνου.

Για να περιγράψετε τη μηχανική κίνηση, είναι απαραίτητο να επιλέξετε ένα πλαίσιο αναφοράς.

Σώμα αναφοράς- ένα σώμα (ή μια ομάδα σωμάτων), που λαμβάνεται στην περίπτωση αυτή ως ακίνητο, σε σχέση με το οποίο θεωρείται η κίνηση άλλων σωμάτων.

Πλαίσιο αναφοράςείναι το σύστημα συντεταγμένων που σχετίζεται με το σώμα αναφοράς και ο επιλεγμένος τρόπος μέτρησης του χρόνου (Εικ. 1).

Η θέση του σώματος μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας το διάνυσμα ακτίνας r⃗ r → ή χρησιμοποιώντας συντεταγμένες.

Διάνυσμα ακτίνας r⃗ r → σημεία Μ - ένα τμήμα κατευθυνόμενης γραμμής που συνδέει την αρχή Ομε τελεία Μ (εικ. 2).

Συντεταγμένη x σημεία Μ είναι η προβολή του τέλους του διανύσματος ακτίνας του σημείου Μ ανά άξονα Ω... Συνήθως χρησιμοποιείται ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Σε αυτή την περίπτωση, η θέση του σημείου Μ σε μια γραμμή, το επίπεδο και το διάστημα καθορίζονται, αντίστοιχα, από ένα ( Χ), δύο ( Χ, στο) και τρία ( Χ, στο, z) αριθμοί - συντεταγμένες (Εικ. 3).

Στο δημοτικό μάθημα οι φυσικοί μελετούν την κινηματική της κίνησης ενός υλικού σημείου.

Υλικό σημείο- ένα σώμα του οποίου οι διαστάσεις μπορούν να παραμεληθούν υπό αυτές τις συνθήκες.

Αυτό το μοντέλο χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου οι γραμμικές διαστάσεις των υπό εξέταση σωμάτων είναι πολύ μικρότερες από όλες τις άλλες αποστάσεις στο δεδομένο πρόβλημα ή όταν το σώμα κινείται μεταφορικά.

Μεταφραστικόείναι η κίνηση ενός σώματος κατά την οποία μια ευθεία που διέρχεται από οποιαδήποτε δύο σημεία του σώματος κινείται παραμένοντας παράλληλη με τον εαυτό της. Κατά τη μεταφορική κίνηση, όλα τα σημεία του σώματος περιγράφουν τις ίδιες τροχιές και ανά πάσα στιγμή έχουν τις ίδιες ταχύτητες και επιταχύνσεις. Επομένως, για να περιγράψουμε μια τέτοια κίνηση ενός σώματος, αρκεί να περιγράψουμε την κίνηση ενός αυθαίρετου σημείου του.

Στη συνέχεια, η λέξη «σώμα» θα γίνει κατανοητή ως «υλικό σημείο».

Η γραμμή που περιγράφει ένα κινούμενο σώμα σε ένα ορισμένο πλαίσιο αναφοράς ονομάζεται τροχιά... Στην πράξη, το σχήμα της τροχιάς ορίζεται χρησιμοποιώντας μαθηματικούς τύπους ( y = φά(Χ) - εξίσωση τροχιάς) ή απεικονίζεται στο σχήμα. Ο τύπος της τροχιάς εξαρτάται από την επιλογή του πλαισίου αναφοράς. Για παράδειγμα, η τροχιά ενός σώματος που πέφτει ελεύθερα σε μια άμαξα που κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα είναι μια ευθεία κάθετη γραμμή στο πλαίσιο αναφοράς που σχετίζεται με το αυτοκίνητο και μια παραβολή στο πλαίσιο αναφοράς που σχετίζεται με τη Γη.

Ανάλογα με τον τύπο της τροχιάς, γίνεται διάκριση μεταξύ ευθύγραμμης και καμπυλόγραμμης κίνησης.

Μονοπάτι μικρόείναι ένα βαθμωτό φυσικό μέγεθος που καθορίζεται από το μήκος της τροχιάς που περιγράφεται από το σώμα για μια ορισμένη χρονική περίοδο. Η πορεία είναι πάντα θετική: μικρό > 0.

ΚίνησηΔr⃗ Δr → σώματα για μια ορισμένη χρονική περίοδο - ένα κατευθυνόμενο τμήμα μιας ευθείας γραμμής που συνδέει την αρχική (σημείο Μ 0) και τέλος (σημείο Μ) θέση σώματος (βλ. Εικ. 2):

Δr⃗ = r⃗ −r⃗ 0, Δr → = r → −r → 0,

όπου r⃗ r → και r⃗ 0 r → 0 είναι τα διανύσματα ακτίνας του σώματος σε αυτές τις χρονικές στιγμές.

Προβολή μετατόπισης άξονα Βόδι

Δrx = Δx = x − x0 Δrx = Δx = x − x0

Που Χ 0 και Χ- συντεταγμένες του σώματος στις αρχικές και τελικές χρονικές στιγμές.

Η μονάδα ταξιδιού δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από τη διαδρομή

| Δr⃗ | ≤s | Δr → | ≤s

Το πρόσημο ίσου αναφέρεται στην περίπτωση της ευθείας κίνησης εάν η κατεύθυνση της κίνησης δεν αλλάζει.

Γνωρίζοντας την κίνηση και την αρχική θέση του σώματος, μπορείτε να βρείτε τη θέση του τη στιγμή t:

r⃗ = r⃗ 0 + Δr⃗; r → = r → 0 + Δr →;

(x = x0 + Δrx; y = y0 + Δry. (x = x0 + Δrx; y = y0 + Δry.

Ταχύτητα

Η μέση ταχύτητα hυ⃗ i hυ → i είναι ένα διανυσματικό φυσικό μέγεθος, αριθμητικά ίσο με τον λόγο της μετατόπισης προς το χρονικό διάστημα κατά το οποίο συνέβη και κατευθυνόμενο κατά μήκος της μετατόπισης (Εικ. 4):

hυ⃗ i = Δr⃗ Δt· hυ⃗ i⇈Δr⃗. hυ → i = Δr → Δt· hυ → i⇈Δr →.

Η μονάδα ταχύτητας SI είναι το μέτρο ανά δευτερόλεπτο (m / s).

Η μέση ταχύτητα, που βρίσκεται από αυτόν τον τύπο, χαρακτηρίζει την κίνηση μόνο σε εκείνο το τμήμα της τροχιάς για το οποίο προσδιορίζεται. Σε ένα άλλο μέρος της τροχιάς, μπορεί να είναι διαφορετικό.

Μερικές φορές χρησιμοποιούν μέση ταχύτητα ταξιδιού

hυi = sΔt hυi = sΔt

Όπου s είναι η διαδρομή που διανύθηκε κατά το χρονικό διάστημα Δ t... Η μέση ταχύτητα διαδρομής είναι μια κλιμακωτή τιμή.

Στιγμιαία ταχύτηταυ⃗ υ → σώματα - η ταχύτητα του σώματος σε μια δεδομένη χρονική στιγμή (ή σε ένα δεδομένο σημείο της τροχιάς). Είναι ίσο με το όριο στο οποίο τείνει η μέση ταχύτητα για ένα απείρως μικρό χρονικό διάστημα υ⃗ = limΔt → 0Δr⃗ Δt = r⃗ ′ υ → = limΔt → 0Δr → Δt = r → ′. Εδώ r⃗ ′ r → ′ είναι η χρονική παράγωγος του διανύσματος ακτίνας.

Προβάλλεται στον άξονα Ω:

υx = limΔt → 0ΔxΔt = x ′. υx = limΔt → 0ΔxΔt = x ′.

Η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος κατευθύνεται εφαπτομενικά στην τροχιά σε κάθε σημείο προς την κατεύθυνση της κίνησης (βλ. Εικ. 4).

Επιτάχυνση

Μέση επιτάχυνση- ένα φυσικό μέγεθος, αριθμητικά ίσο με τον λόγο της μεταβολής της ταχύτητας προς το χρόνο κατά τον οποίο συνέβη:

ha⃗ i = Δυ⃗ Δt = υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha → i = Δυ → Δt = υ → −υ → 0Δt.

Το διάνυσμα ha⃗ i ha → i κατευθύνεται παράλληλα προς το διάνυσμα μεταβολής της ταχύτητας Δυ⃗ Δυ → (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha → i⇈Δυ →) προς την κοιλότητα της τροχιάς (Εικ. 5).

Στιγμιαία επιτάχυνση:

a⃗ = limΔt → 0Δυ⃗ Δt = υ⃗ ′. a → = limΔt → 0Δυ → Δt = υ → ′.

Στο SI, η μονάδα επιτάχυνσης είναι το μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο (m / s 2).

Γενικά, η στιγμιαία επιτάχυνση κατευθύνεται υπό γωνία ως προς την ταχύτητα. Γνωρίζοντας την τροχιά, μπορείτε να καθορίσετε την κατεύθυνση της ταχύτητας, αλλά όχι την επιτάχυνση. Η κατεύθυνση της επιτάχυνσης καθορίζεται από την κατεύθυνση των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα.

Σε ευθύγραμμη κίνηση με αυξανόμενη συντελεστή ταχύτητας (Εικ. 6, α) τα διανύσματα a⃗ a → και υ⃗ 0 υ → 0 είναι συνκατευθυνόμενα (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a → ⇈υ → 0) και η προβολή της επιτάχυνσης στην κατεύθυνση της κίνησης είναι θετική.

Σε ευθύγραμμη κίνηση με ταχύτητα φθίνουσα σε απόλυτη τιμή (Εικ. 6, β), οι κατευθύνσεις των διανυσμάτων a⃗ a → και υ⃗ 0 υ → 0 είναι αντίθετες (a⃗ ↓ υ⃗ 0 a → ↓ υ → 0) και η προβολή η επιτάχυνση προς την κατεύθυνση της κίνησης είναι αρνητική.

Το διάνυσμα a⃗ a → κατά τη διάρκεια της καμπυλόγραμμης κίνησης μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο συνιστώσες που κατευθύνονται κατά μήκος της ταχύτητας a⃗ τ a → τ και κάθετα στην ταχύτητα a⃗ na → n (Εικ. 1.7), a⃗ τ a → τ είναι η εφαπτομενική επιτάχυνση που χαρακτηρίζει τον ρυθμό της μεταβολής του συντελεστή ταχύτητας κατά την καμπυλόγραμμη κίνηση, a⃗ na → n είναι η κανονική επιτάχυνση, η οποία χαρακτηρίζει τον ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης του διανύσματος ταχύτητας κατά την καμπυλόγραμμη κίνηση Μέτρο επιτάχυνσης a = a2τ + a2n −−−−−− √ a = aτ2 + an2.

Μέθοδοι για τον καθορισμό της κίνησης του σημείου

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μία από τις ακόλουθες τρεις μεθόδους για να ορίσετε την κίνηση ενός σημείου:

1) διάνυσμα, 2) συντεταγμένη, 3) φυσική.

1. Διανυσματικός τρόπος προσδιορισμού της κίνησης ενός σημείου.

Αφήστε το θέμα Μκινείται σε σχέση με κάποιο πλαίσιο αναφοράς Oxyz... Η θέση αυτού του σημείου ανά πάσα στιγμή μπορεί να προσδιοριστεί προσδιορίζοντας το διάνυσμα της ακτίνας του από την αρχή Οακριβώς Μ(εικ. 3).

Εικ. 3

Όταν μετακινείτε ένα σημείο Μτο διάνυσμα θα αλλάξει με την πάροδο του χρόνου τόσο σε απόλυτη τιμή όσο και σε κατεύθυνση. Επομένως, είναι ένα μεταβλητό διάνυσμα (διάνυσμα-συνάρτηση) ανάλογα με το όρισμα t:

Η ισότητα καθορίζει τον νόμο κίνησης ενός σημείου σε διανυσματική μορφή, αφού επιτρέπει ανά πάσα στιγμή να κατασκευαστεί το αντίστοιχο διάνυσμα και να βρεθεί η θέση του κινούμενου σημείου.

Ο τόπος των άκρων ενός διανύσματος, δηλ. οδογράφημα αυτού του διανύσματος, ορίζει την τροχιά του κινούμενου σημείου.

2. Συντεταγμένος τρόπος προσδιορισμού της κίνησης ενός σημείου.

Η θέση ενός σημείου μπορεί να προσδιοριστεί άμεσα από τις καρτεσιανές συντεταγμένες του. x, y, z(Εικ. 3), το οποίο κατά την κίνηση του σημείου θα αλλάξει με την πάροδο του χρόνου. Να γνωρίζει το νόμο της κίνησης ενός σημείου, δηλ. τη θέση του στο χώρο σε οποιαδήποτε στιγμή του χρόνου, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις τιμές των συντεταγμένων του σημείου για κάθε στιγμή του χρόνου, δηλ. γνωρίζουν τις εξαρτήσεις

x = f 1 (t), y = f 2 (t), z = f 3 (t).

Οι εξισώσεις αντιπροσωπεύουν τις εξισώσεις κίνησης ενός σημείου σε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες. Καθορίζουν τον νόμο κίνησης ενός σημείου με τον συντεταγμένο τρόπο προσδιορισμού της κίνησης.

Για να ληφθεί η εξίσωση της τροχιάς, είναι απαραίτητο να εξαιρεθεί η παράμετρος t από τις εξισώσεις κίνησης.

Δεν είναι δύσκολο να καθοριστεί η σχέση μεταξύ των μεθόδων διανύσματος και συντεταγμένων για τον καθορισμό της κίνησης.

Ας αποσυνθέσουμε το διάνυσμα στα συστατικά του κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων:

όπου r x, r y, r z είναι οι προβολές του διανύσματος στον άξονα. - μοναδιαία διανύσματα κατευθυνόμενα κατά μήκος των αξόνων, τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων.

Εφόσον η αρχή του διανύσματος βρίσκεται στην αρχή, οι προβολές του διανύσματος θα είναι ίσες με τις συντεταγμένες του σημείου Μ... Έτσι

Εάν η κίνηση του σημείου καθορίζεται σε πολικές συντεταγμένες

r = r (t), φ = φ (t),

όπου r η πολική ακτίνα, φ η γωνία μεταξύ του πολικού άξονα και της πολικής ακτίνας, τότε αυτές οι εξισώσεις εκφράζουν την εξίσωση της τροχιάς του σημείου. Καταργώντας την παράμετρο t, παίρνουμε

r = r (φ).

Παράδειγμα 1.Η κίνηση ενός σημείου δίνεται από τις εξισώσεις

Εικ. 4

Για να αποκλειστεί ο χρόνος, η παράμετρος t, βρίσκουμε από την πρώτη εξίσωση sin2t = x / 2, από τη δεύτερη cos2t = y / 3. Στη συνέχεια τετραγωνίζουμε και προσθέτουμε. Αφού sin 2 2t + cos 2 2t = 1, παίρνουμε. Αυτή είναι η εξίσωση μιας έλλειψης με ημιάξονες 2 cm και 3 cm (Εικ. 4).

Σημείο αρχική θέση Μ 0 (στο t= 0) καθορίζεται από τις συντεταγμένες x 0 = 0, y 0 = 3 cm.

Μετά από 1 δευτερόλεπτο. το σημείο θα είναι στη θέση του Μ 1 με συντεταγμένες

x 1 = 2sin2 = 2 ∙ 0,91 = 1,82 cm, y 1 = 2cos2 = 3 ∙ (-0,42) = -1,25 cm.

Σημείωση.

Η κίνηση του σημείου μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας και άλλες συντεταγμένες. Για παράδειγμα, κυλινδρικό ή σφαιρικό. Ανάμεσά τους θα υπάρχουν όχι μόνο γραμμικές διαστάσεις, αλλά και γωνίες. Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να εξοικειωθείτε με το έργο της κίνησης με κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες από σχολικά βιβλία.

3. Ο φυσικός τρόπος ορισμού της κίνησης ενός σημείου.

Εικ. 5

Είναι βολικό να χρησιμοποιείται ο φυσικός τρόπος προσδιορισμού της κίνησης σε περιπτώσεις όπου η τροχιά του κινούμενου σημείου είναι εκ των προτέρων γνωστή. Αφήστε την καμπύλη ΑΒείναι η τροχιά του σημείου Μόταν κινείται σε σχέση με το πλαίσιο αναφοράς Oxyz(Εικ. 5) Επιλέξτε σε αυτή την τροχιά κάποιο σταθερό σημείο Ο", που θα πάρουμε ως αρχή και θα ορίσουμε τις θετικές και αρνητικές κατευθύνσεις αναφοράς στην τροχιά (όπως στον άξονα συντεταγμένων).

Στη συνέχεια η θέση του σημείου Μστην τροχιά θα καθοριστεί μοναδικά από την καμπυλόγραμμη συντεταγμένη μικρό, που ισούται με την απόσταση από το σημείο Ο'μέχρι κάποιο σημείο Μμετράται κατά μήκος του τόξου της τροχιάς και λαμβάνεται με το κατάλληλο πρόσημο. Όταν οδηγείτε ένα σημείο Μμετακινείται σε θέσεις Μ 1 , Μ 2, .... εξ ου και η απόσταση μικρόθα αλλάξει με την πάροδο του χρόνου.

Να γνωρίζει τη θέση του σημείου Μστην τροχιά ανά πάσα στιγμή, πρέπει να γνωρίζετε την εξάρτηση

Η εξίσωση εκφράζει το νόμο της κίνησης ενός σημείου Μκατά μήκος της τροχιάς. Η συνάρτηση s = f (t) πρέπει να είναι μονής τιμής, συνεχής και διαφοροποιήσιμη.

Για τη θετική φορά αναφοράς της συντεταγμένης τόξου s, η φορά κίνησης του σημείου λαμβάνεται τη στιγμή που καταλαμβάνει τη θέση Ο. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι η εξίσωση s = f (t) δεν καθορίζει το νόμο του κίνηση ενός σημείου στο χώρο, αφού για να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου στο χώρο, πρέπει επίσης να γνωρίζετε την τροχιά ενός σημείου με την αρχική θέση του σημείου σε αυτό και μια σταθερή θετική κατεύθυνση. Έτσι, η κίνηση ενός σημείου θεωρείται δεδομένος φυσικός τρόπος εάν είναι γνωστές η τροχιά και η εξίσωση (ή ο νόμος) κίνησης του σημείου κατά μήκος της τροχιάς.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η συντεταγμένη του τόξου του σημείου s είναι διαφορετική από τη διαδρομή σ που διέρχεται από το σημείο κατά μήκος της τροχιάς. Κατά την κίνησή του, το σημείο διανύει μια συγκεκριμένη διαδρομή σ, η οποία είναι συνάρτηση του χρόνου t. Ωστόσο, η διανυθείσα διαδρομή σ συμπίπτει με την απόσταση s μόνο εάν η συνάρτηση s = f (t) αλλάζει μονότονα με το χρόνο, δηλ. όταν το σημείο κινείται προς μία κατεύθυνση. Ας πούμε ότι το σημείο M πηγαίνει από το M 1 στο M 2. Η θέση του σημείου στο M 1 αντιστοιχεί στον χρόνο t 1 και η θέση του σημείου στο M 2 αντιστοιχεί στον χρόνο t 2. Ας επεκτείνουμε το χρονικό διάστημα t 2 - t 1 σε πολύ μικρά χρονικά διαστήματα Δt 1 (i = 1,2, ... n) έτσι ώστε σε καθένα από αυτά το σημείο να κινείται προς μία κατεύθυνση. Η αντίστοιχη αύξηση της συντεταγμένης του τόξου θα συμβολίζεται με Δs i. Η διαδρομή σ που περνά από το σημείο θα είναι θετική τιμή:

Εάν η κίνηση ενός σημείου καθορίζεται με τρόπο συντεταγμένων, τότε η διαδρομή που διανύεται καθορίζεται από τον τύπο

όπου dx = xdt, dy = ydt, dz = zdt.

Ως εκ τούτου,

Παράδειγμα 2.Το σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή, σύμφωνα με το νόμο s = 2t + 3 (cm) (Εικ. 6).

Εικ. 6

Στην αρχή της κίνησης, στο t = 0 s = OM 0 = s 0 = 3 εκ. Η θέση του σημείου Μ 0 ονομάζεται Αρχική θέση. Σε t = 1 s, s = OM 1 = 5 cm.

Φυσικά, σε 1 δευτερόλεπτο. σημείο που διανύθηκε απόσταση Μ 0 Μ 1 = 2 εκ. Άρα μικρόΔεν είναι το μονοπάτι που διανύει το σημείο, αλλά η απόσταση από την αρχή στο σημείο.

Διάνυσμα ταχύτητας σημείου

Ένα από τα κύρια κινηματικά χαρακτηριστικά της κίνησης ενός σημείου είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που ονομάζεται ταχύτητα του σημείου. Η έννοια της ταχύτητας ενός σημείου σε ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση είναι μια από τις στοιχειώδεις έννοιες.

Ταχύτητα- ένα μέτρο της μηχανικής κατάστασης του σώματος. Χαρακτηρίζει τον ρυθμό μεταβολής της θέσης του σώματος σε σχέση με ένα δεδομένο σύστημα αναφοράς και είναι ένα διανυσματικό φυσικό μέγεθος.

Η μονάδα μέτρησης της ταχύτητας είναι m / s. Συχνά χρησιμοποιούνται άλλες μονάδες, για παράδειγμα, km / h: 1 km / h = 1 / 3,6 m / s.

Η κίνηση ενός σημείου ονομάζεται ομοιόμορφη αν οι αυξήσεις του διανύσματος ακτίνας του σημείου για ίσα χρονικά διαστήματα είναι ίσες μεταξύ τους. Αν, στην περίπτωση αυτή, η τροχιά ενός σημείου είναι ευθεία γραμμή, τότε η κίνηση του σημείου ονομάζεται ευθύγραμμη.

Για ομοιόμορφη ευθεία κίνηση

∆r = vΔt, (1)

που vΕίναι ένα σταθερό διάνυσμα.

Διάνυσμα vπου ονομάζεται η ταχύτητα της ευθύγραμμης και ομοιόμορφης κίνησης την καθορίζει πλήρως.

Από τη σχέση (1) φαίνεται ότι η ταχύτητα της ευθύγραμμης και ομοιόμορφης κίνησης είναι ένα φυσικό μέγεθος που καθορίζει την κίνηση ενός σημείου ανά μονάδα χρόνου. Από το (1) έχουμε

Διάνυσμα κατεύθυνση vφαίνεται στο σχ. 6.1.

Εικόνα 6.1

Εάν η κίνηση είναι άνιση, αυτή η φόρμουλα δεν θα λειτουργήσει. Ας εισαγάγουμε πρώτα την έννοια της μέσης ταχύτητας ενός σημείου σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο.

Αφήστε το σημείο κίνησης να είναι τη στιγμή του χρόνου tέγκυος Μ, καθορίζεται από το διάνυσμα ακτίνας, και τη στιγμή το t 1 έρχεται στη θέση Μ 1 που προσδιορίζεται από το διάνυσμα (Εικ. 7). Τότε η μετατόπιση του σημείου για το χρονικό διάστημα Δt = t 1 -t προσδιορίζεται από ένα διάνυσμα το οποίο θα ονομάσουμε διάνυσμα μετατόπισης του σημείου. Έξω από το τρίγωνο OMM 1 δείχνει ότι? ως εκ τούτου,

Ρύζι. 7

Ο λόγος του διανύσματος μετατόπισης ενός σημείου προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα δίνει μια διανυσματική τιμή, που ονομάζεται μέσος όρος σε μέγεθος και κατεύθυνση της ταχύτητας του σημείου στο χρονικό διάστημα Δt:

Η ταχύτητα ενός σημείου σε μια δεδομένη στιγμή του χρόνου t είναι η διανυσματική τιμή v, προς την οποία τείνει η μέση ταχύτητα v cf καθώς το χρονικό διάστημα Δt τείνει στο μηδέν:

Άρα, το διάνυσμα της ταχύτητας ενός σημείου σε μια δεδομένη χρονική στιγμή είναι ίσο με την πρώτη παράγωγο του διανύσματος ακτίνας του σημείου ως προς το χρόνο.

Δεδομένου ότι η περιοριστική κατεύθυνση της διατομής ΜΜ 1 είναι εφαπτομένη, τότε το διάνυσμα της ταχύτητας του σημείου σε μια δεδομένη χρονική στιγμή κατευθύνεται εφαπτομενικά στην τροχιά του σημείου προς την κατεύθυνση της κίνησης.

Προσδιορισμός της ταχύτητας ενός σημείου με τη μέθοδο συντεταγμένων προσδιορισμού κίνησης

Το διάνυσμα ταχύτητας του σημείου, λαμβάνοντας υπόψη ότι r x = x, r y = y, r z = z, βρίσκουμε:

Έτσι, η προβολή της ταχύτητας ενός σημείου επάνω άξονες συντεταγμένωνείναι ίσες με τις πρώτες παραγώγους των αντίστοιχων συντεταγμένων του χρονικού σημείου.

Γνωρίζοντας την προβολή της ταχύτητας, βρίσκουμε το μέτρο και την κατεύθυνσή της (δηλαδή τις γωνίες α, β, γ, που σχηματίζει το διάνυσμα v με τους άξονες συντεταγμένων) από τους τύπους

Άρα, η αριθμητική τιμή της ταχύτητας ενός σημείου σε μια δεδομένη χρονική στιγμή είναι ίση με την πρώτη παράγωγο της απόστασης (καμπυλόγραμμη συντεταγμένη) μικρόσημεία στο χρόνο.

Το διάνυσμα της ταχύτητας κατευθύνεται εφαπτομενικά στην τροχιά, την οποία γνωρίζουμε εκ των προτέρων.

Προσδιορισμός της ταχύτητας ενός σημείου με φυσικό τρόπο προσδιορισμού της κίνησης

Το μέγεθος της ταχύτητας μπορεί να οριστεί ως το όριο (Δr είναι το μήκος της χορδής ΜΜ 1):

όπου Δs είναι το μήκος τόξου ΜΜένας . Το πρώτο όριο είναι ίσο με ένα, το δεύτερο όριο είναι η παράγωγος ds / dt.

Συνεπώς, η ταχύτητα ενός σημείου είναι η πρώτη φορά παράγωγος του νόμου της κίνησης:

Το διάνυσμα της ταχύτητας κατευθύνεται, όπως καθορίστηκε νωρίτερα, εφαπτομενικά στην τροχιά. Εάν η τιμή της ταχύτητας τη στιγμή είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, τότε το διάνυσμα ταχύτητας κατευθύνεται προς τη θετική κατεύθυνση

Διάνυσμα σημειακής επιτάχυνσης

Επιτάχυνσηείναι ένα διανυσματικό φυσικό μέγεθος που χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας. Δείχνει πόσο αλλάζει η ταχύτητα του σώματος ανά μονάδα χρόνου.

Στο SI, η μονάδα επιτάχυνσης είναι το μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο. στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα Το Δt καθορίζει το διάνυσμα της μέσης επιτάχυνσης ενός σημείου για αυτό το χρονικό διάστημα:

Το διάνυσμα μέσης επιτάχυνσης έχει την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα, δηλ. κατευθύνεται προς την κοιλότητα της τροχιάς.

Επιτάχυνση ενός σημείου σε μια δεδομένη στιγμή tείναι η διανυσματική τιμή στην οποία τείνει η μέση επιτάχυνση όταν το χρονικό διάστημα Δt τείνει στο μηδέν: Το διάνυσμα επιτάχυνσης ενός σημείου σε μια δεδομένη χρονική στιγμή είναι ίσο με την πρώτη παράγωγο του διανύσματος ταχύτητας ή τη δεύτερη παράγωγο του διανύσματος ακτίνας του σημείο στο χρόνο.

Η σημειακή επιτάχυνση είναι μηδέν μόνο όταν η σημειακή ταχύτητα vσταθερό τόσο σε μέγεθος όσο και σε κατεύθυνση: αυτό αντιστοιχεί μόνο σε ευθεία και ομοιόμορφη κίνηση.

Ας βρούμε πώς βρίσκεται το διάνυσμα σε σχέση με την τροχιά του σημείου. Στην ευθύγραμμη κίνηση, το διάνυσμα κατευθύνεται κατά μήκος της ευθείας γραμμής κατά μήκος της οποίας κινείται το σημείο. κατευθύνεται προς την κοιλότητα της τροχιάς και βρίσκεται στο επίπεδο που διέρχεται από την εφαπτομένη της τροχιάς στο σημείο Μκαι ευθεία παράλληλη στην εφαπτομένη σε διπλανό σημείο Μ 1 (εικ. 8). Στο όριο όταν το σημείο Μαγωνίζεται για Μ, αυτό το επίπεδο καταλαμβάνει τη θέση του λεγόμενου επιπέδου επαφής, δηλ. ένα επίπεδο στο οποίο συμβαίνει μια απείρως μικρή περιστροφή της εφαπτομένης στην τροχιά κατά τη διάρκεια μιας στοιχειώδους κίνησης του κινούμενου σημείου. Επομένως, στη γενική περίπτωση, το διάνυσμα επιτάχυνσης βρίσκεται στο επίπεδο επαφής και κατευθύνεται προς την κοιλότητα της καμπύλης.

Προσδιορισμός της επιτάχυνσης στη μέθοδο συντεταγμένων προσδιορισμού της κίνησης

Το διάνυσμα επιτάχυνσης του σημείου της προβολής στον άξονα είναι:

εκείνοι. η προβολή της σημειακής επιτάχυνσης στους άξονες συντεταγμένων είναι ίση με τις πρώτες παραγώγους των προβολών ταχύτητας ή τις δεύτερες παραγώγους των αντίστοιχων σημειακών συντεταγμένων στο χρόνο. Το μέτρο και η κατεύθυνση της επιτάχυνσης μπορούν να βρεθούν από τους τύπους

Εικ. 10

Προβολές επιτάχυνσης a x = = 0, a y = = -8 cm ∙ s -2. Από την προβολή του διανύσματος επιτάχυνσης στον άξονα Χισούται με μηδέν, και στον άξονα y- είναι αρνητικό, τότε το διάνυσμα επιτάχυνσης κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα κάτω και η τιμή του είναι σταθερή, δεν εξαρτάται από το χρόνο.

Οποιοδήποτε σώμα μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο υλικών σημείων, τα οποία μπορούν να ληφθούν, για παράδειγμα, από μόρια. Έστω ότι το σώμα αποτελείται από n υλικά σημεία με μάζες m1, m2, ... mn.

Κέντρο μάζας σώματος, που αποτελείται από n υλικά σημεία ονομάζεται ένα σημείο (με τη γεωμετρική έννοια), το διάνυσμα ακτίνας του οποίου καθορίζεται από τον τύπο:

Εδώ το R1 είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου με αριθμό i (i = 1, 2, ... n).

Αυτός ο ορισμός φαίνεται ασυνήθιστος, αλλά στην πραγματικότητα δίνει τη θέση του ίδιου του κέντρου μάζας, για το οποίο έχουμε μια διαισθητική ιδέα. Για παράδειγμα, το κέντρο μάζας μιας ράβδου θα βρίσκεται στη μέση της. Το άθροισμα των μαζών όλων των σημείων που περιλαμβάνονται στον παρονομαστή του παραπάνω τύπου ονομάζεται μάζα σώματος. Μάζα σώματοςπου ονομάζεται το άθροισμα των μαζών όλων των σημείων του: m = m1 + m2 + ... + mn.

Στα συμμετρικά ομοιογενή σώματα, το CM βρίσκεται πάντα στο κέντρο της συμμετρίας ή βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας εάν το σχήμα δεν έχει κέντρο συμμετρίας. Το κέντρο μάζας μπορεί να βρίσκεται τόσο μέσα στο σώμα (δίσκος, τετράγωνο, τρίγωνο) όσο και έξω από αυτό (δακτύλιος, πλαίσιο, τετράγωνο).

Για ένα άτομο, η θέση του CM εξαρτάται από τη στάση που υιοθετείται. Σε πολλά αθλήματα, σημαντικό συστατικό της επιτυχίας είναι η ικανότητα διατήρησης της ισορροπίας. Έτσι, στην καλλιτεχνική γυμναστική, στα ακροβατικά

θα περιλαμβάνει μεγάλο αριθμό αντικειμένων ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙισορροπία. Σημαντική είναι η ικανότητα διατήρησης της ισορροπίας στο καλλιτεχνικό πατινάζ, στο πατινάζ στον πάγο, όπου η στήριξη έχει πολύ μικρή περιοχή.

Οι συνθήκες ισορροπίας για ένα σώμα σε ηρεμία είναι η ταυτόχρονη ισότητα προς το μηδέν του αθροίσματος των δυνάμεων και το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα.

Ας μάθουμε ποια θέση πρέπει να καταλαμβάνει ο άξονας περιστροφής ώστε το σώμα που είναι στερεωμένο πάνω του να παραμένει σε ισορροπία υπό την επίδραση της βαρύτητας. Για να γίνει αυτό, ας σπάσουμε το σώμα σε πολλά μικρά κομμάτια και ας τραβήξουμε τις δυνάμεις της βαρύτητας που ενεργούν πάνω τους.

Σύμφωνα με τον κανόνα των ροπών για την ισορροπία, είναι απαραίτητο το άθροισμα των ροπών όλων αυτών των δυνάμεων γύρω από τον άξονα να είναι ίσο με μηδέν.

Μπορεί να φανεί ότι για κάθε σώμα υπάρχει ένα μόνο σημείο όπου το άθροισμα των ροπών βαρύτητας γύρω από οποιονδήποτε άξονα που διέρχεται από αυτό το σημείο είναι ίσο με μηδέν. Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο βάρους (συνήθως συμπίπτει με το κέντρο μάζας).

Κέντρο βάρους σώματος (CG)που ονομάζεται το σημείο σε σχέση με το οποίο το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων της βαρύτητας που δρουν σε όλα τα σωματίδια του σώματος είναι ίσο με μηδέν.

Έτσι, οι δυνάμεις βαρύτητας δεν αναγκάζουν το σώμα να περιστρέφεται γύρω από το κέντρο βάρους. Επομένως, όλες οι δυνάμεις της βαρύτητας θα μπορούσαν να αντικατασταθούν από μια ενιαία δύναμη που εφαρμόζεται σε αυτό το σημείο και είναι ίση με τη δύναμη της βαρύτητας.

Για τη μελέτη των κινήσεων του σώματος ενός αθλητή, συχνά εισάγεται ο όρος κοινό κέντρο βάρους (GCG). Οι κύριες ιδιότητες του κέντρου βάρους:

Εάν το σώμα είναι στερεωμένο σε έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο βάρους, τότε η δύναμη της βαρύτητας δεν θα το αναγκάσει να περιστραφεί.

Το κέντρο βάρους είναι το σημείο εφαρμογής της δύναμης βάρους.

Σε ένα ομοιόμορφο πεδίο, το κέντρο βάρους συμπίπτει με το κέντρο μάζας.

Ισορροπία είναι η θέση του σώματος στην οποία μπορεί να παραμείνει σε ηρεμία για αυθαίρετα μεγάλο χρονικό διάστημα. Όταν το σώμα αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας, οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό αλλάζουν και η ισορροπία των δυνάμεων διαταράσσεται.

Υπάρχει διαφορετικά είδηισορροπία (Εικ. 9). Συνηθίζεται να γίνεται διάκριση μεταξύ τριών τύπων ισορροπίας: σταθερή, ασταθής και αδιάφορη.

Η σταθερή ισορροπία (Εικ. 9, α) χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το σώμα επιστρέφει στην αρχική του θέση όταν εκτρέπεται. Σε αυτή την περίπτωση, προκύπτουν δυνάμεις ή στιγμές δυνάμεων, που προσπαθούν να επαναφέρουν το σώμα στην αρχική του θέση. Ένα παράδειγμα είναι η θέση του σώματος με ένα πάνω στήριγμα (για παράδειγμα, κρεμασμένο σε εγκάρσια ράβδο), όταν, για τυχόν αποκλίσεις, το σώμα τείνει να επιστρέψει στην αρχική του θέση.

Η αδιάφορη ισορροπία (Εικ. 9, β) χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι όταν αλλάζει η θέση του σώματος, δεν υπάρχουν δυνάμεις ή ροπές δυνάμεων που τείνουν να επαναφέρουν το σώμα στην αρχική του θέση ή να απομακρύνουν περαιτέρω το σώμα από αυτό. Αυτή είναι μια σπάνια περίπτωση στους ανθρώπους. Ένα παράδειγμα είναι η κατάσταση έλλειψης βαρύτητας σε ένα διαστημόπλοιο.

Μια ασταθής ισορροπία (Εικ. 9, γ) παρατηρείται όταν, σε μικρές αποκλίσεις του σώματος, εμφανίζονται δυνάμεις ή ροπές δυνάμεων, που τείνουν να εκτρέψουν περαιτέρω το σώμα από την αρχική θέση. Μια τέτοια περίπτωση μπορεί να παρατηρηθεί όταν ένα άτομο, που στέκεται σε ένα στήριγμα μιας πολύ μικρής περιοχής (πολύ μικρότερη από την περιοχή των δύο ποδιών ή ακόμα και του ενός ποδιού του), αποκλίνει στο πλάι.

Εικόνα 9. Σωματική ισορροπία: σταθερό (α), αδιάφορο (β), ασταθές (γ)

Μαζί με τους αναφερόμενους τύπους ισορροπίας σώματος στην εμβιομηχανική, θεωρείται ένας ακόμη τύπος ισορροπίας - περιορισμένος-σταθερός. Αυτός ο τύπος ισορροπίας διαφέρει στο ότι το σώμα μπορεί να επιστρέψει στην αρχική του θέση όταν αποκλίνει από αυτήν σε ένα ορισμένο όριο, για παράδειγμα, που καθορίζεται από το όριο της περιοχής στήριξης. Εάν η απόκλιση υπερβεί αυτό το όριο, η ισορροπία γίνεται ασταθής.

Το κύριο καθήκον για τη διασφάλιση της ισορροπίας του ανθρώπινου σώματος είναι να διασφαλιστεί ότι η προβολή του GCM του σώματος βρίσκεται εντός της περιοχής στήριξης. Ανάλογα με τον τύπο της δραστηριότητας (διατήρηση στατικής θέσης, περπάτημα, τρέξιμο κ.λπ.) και τις απαιτήσεις για σταθερότητα, η συχνότητα και η ταχύτητα των διορθωτικών ενεργειών αλλάζουν, αλλά οι διαδικασίες διατήρησης της ισορροπίας είναι οι ίδιες.

Κατανομή της μάζας στο ανθρώπινο σώμα

Το σωματικό βάρος και η μάζα των μεμονωμένων τμημάτων είναι πολύ σημαντικά για διάφορες πτυχές της εμβιομηχανικής. Σε πολλά αθλήματα, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την κατανομή της μάζας για να αναπτύξουμε τη σωστή τεχνική άσκησης. Για να αναλυθούν οι κινήσεις του ανθρώπινου σώματος, χρησιμοποιείται η μέθοδος τμηματοποίησης: τεμαχίζεται συμβατικά σε ορισμένα τμήματα. Για κάθε τμήμα προσδιορίζεται η μάζα του και η θέση του κέντρου μάζας. Τραπέζι 1 οι μάζες των μερών του σώματος προσδιορίζονται σε σχετικές μονάδες.

Τραπέζι 1. Βάρη τμημάτων του σώματος σε σχετικές μονάδες

Συχνά, αντί για την έννοια του κέντρου μάζας, χρησιμοποιείται μια άλλη έννοια - το κέντρο βάρους. Σε ένα ομοιογενές πεδίο βαρύτητας, το κέντρο βάρους συμπίπτει πάντα με το κέντρο μάζας. Η θέση του κέντρου βάρους του συνδέσμου υποδεικνύεται ως η απόστασή του από τον άξονα της εγγύς άρθρωσης και εκφράζεται σε σχέση με το μήκος του συνδέσμου που λαμβάνεται ως μονάδα.

Τραπέζι 2 δείχνει την ανατομική θέση των κέντρων βάρους διαφόρων μερών του σώματος.

Πίνακας 2. Κέντρα βάρους μερών του σώματος

Εάν ένα στερεό σώμα βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια της Γης, τότε η βαρύτητα εφαρμόζεται σε κάθε υλικό σημείο αυτού του σώματος. Σε αυτή την περίπτωση, οι διαστάσεις του σώματος σε σύγκριση με το μέγεθος της Γης είναι τόσο μικρές που οι δυνάμεις βαρύτητας που δρουν σε όλα τα σωματίδια του σώματος μπορούν να θεωρηθούν παράλληλες μεταξύ τους.

Κεντρικό σημείο ΜΕ) του συστήματος παράλληλων δυνάμεων βαρύτητας όλων των σημείων του σώματος ονομάζεται το κέντρο βάρους ενός άκαμπτου σώματος , και λέγεται το άθροισμα των δυνάμεων βαρύτητας όλων των υλικών σημείων του από τη βαρύτητα ενεργώντας πάνω του

Οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους ενός άκαμπτου σώματος καθορίζονται από τους τύπους:

όπου βρίσκονται οι συντεταγμένες των σημείων εφαρμογής των δυνάμεων βαρύτητας που δρουν κ-ο υλικό σημείο.

Για ένα ομοιογενές σώμα:

όπου V είναι ο όγκος ολόκληρου του σώματος.

V κ- Ενταση ΗΧΟΥ κτο σωματίδιο.

Για ένα ομοιόμορφο λεπτό πιάτο:

όπου S είναι η περιοχή της πλάκας.

μικρό κ -τετράγωνο κ-το μέρος του πιάτου.

Για τη γραμμή:

που μεγάλο- το μήκος ολόκληρης της γραμμής.

L k- μήκος κμέρος της γραμμής.

Μέθοδοι για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των κέντρων βάρους των σωμάτων:

Θεωρητικός

Συμμετρία.Εάν ένα ομοιογενές σώμα έχει επίπεδο, άξονα ή κέντρο συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους του βρίσκεται, αντίστοιχα, είτε στο επίπεδο συμμετρίας είτε στον άξονα είτε στο κέντρο συμμετρίας.

Δυνατός.Εάν το σώμα μπορεί να χωριστεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό τέτοιων μερών, για καθένα από τα οποία είναι γνωστή η θέση του κέντρου βάρους, τότε οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους ολόκληρου του σώματος μπορούν να υπολογιστούν απευθείας χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους.

Πρόσθεση.Αυτή η μέθοδος είναι μια ειδική περίπτωση της μεθόδου διαχωρισμού. Ισχύει για σώματα με εγκοπές εάν είναι γνωστά τα κέντρα βάρους του σώματος χωρίς την αποκοπή και το τμήμα αποκοπής. Περιλαμβάνονται στους υπολογισμούς με το σύμβολο "-".

Ενσωμάτωση. Όταν το σώμα δεν μπορεί να χωριστεί στα συστατικά μέρη του, των οποίων τα κέντρα βάρους είναι γνωστά, χρησιμοποιείται η μέθοδος ολοκλήρωσης, η οποία είναι καθολική.

Πειραματικός

Μέθοδος κρέμασης.Το σώμα αιωρείται σε δύο ή τρία σημεία, τραβώντας κατακόρυφα από αυτά. Το σημείο τομής τους είναι το κέντρο μάζας.

Μέθοδος ζύγισης... Το σώμα τοποθετείται σε διαφορετικά μέρη στην ισορροπία, καθορίζοντας έτσι τις αντιδράσεις στήριξης. Συντάσσονται εξισώσεις ισορροπίας, από τις οποίες καθορίζονται οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους.

Μέσω θεωρητικές μεθόδουςτύποι για τον προσδιορισμό συντεταγμένες κέντρου βάρους η πιο κοινή ομοιογενή σώματα:

Τόξο κύκλου