Τύπος

Ο τύπος του Simpson είναι το ολοκλήρωμα ενός πολυωνύμου παρεμβολής δεύτερου βαθμού σε ένα διάστημα:

όπου και είναι οι τιμές της συνάρτησης στα αντίστοιχα σημεία (στα άκρα του τμήματος και στη μέση του).

Λάθος

Με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση στο τμήμα έχει μια τέταρτη παράγωγο, το σφάλμα, σύμφωνα με τον τύπο που βρήκε ο Giuseppe Peano, είναι:

Λόγω του γεγονότος ότι η τιμή είναι συχνά άγνωστη, χρησιμοποιείται η ακόλουθη ανισότητα για την εκτίμηση του σφάλματος:

Αναπαράσταση με τη μορφή της μεθόδου Runge-Kutta

Ο τύπος του Simpson μπορεί να αναπαρασταθεί ως πίνακας της μεθόδου Runge-Kutta ως εξής:

Σύνθετος τύπος (φόρμουλα Cotes)

Για πιο ακριβή υπολογισμό του ολοκληρώματος, το διάστημα χωρίζεται σε τμήματα του ίδιου μήκους και ο τύπος του Simpson εφαρμόζεται σε καθένα από αυτά. Η τιμή του αρχικού ολοκληρώματος είναι το άθροισμα των αποτελεσμάτων της ολοκλήρωσης σε όλα τα τμήματα.

Επίσης, ο τύπος μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας μόνο τις γνωστές τιμές της συνάρτησης, δηλαδή τις τιμές στους κόμβους:

Το συνολικό σφάλμα κατά την ενσωμάτωση σε ένα τμήμα με ένα βήμα (συγκεκριμένα σε αυτήν την περίπτωση) καθορίζεται από τον τύπο:

Εάν είναι αδύνατο να εκτιμηθεί το σφάλμα χρησιμοποιώντας το μέγιστο της τέταρτης παραγώγου (για παράδειγμα, δεν υπάρχει σε ένα δεδομένο τμήμα ή τείνει στο άπειρο), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια πιο πρόχειρη εκτίμηση:

Σημειώσεις (επεξεργασία)

Λογοτεχνία

• Kostomarov D.P., Favorskiy A.P. "Εισαγωγικές διαλέξεις σχετικά με τις αριθμητικές μεθόδους"
• Petrov I.B., Lobanov A.I. Διαλέξεις για τα υπολογιστικά μαθηματικά

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

• Δυτική Ένωση
• Παταγονικός παπαγάλος

Δείτε τι είναι το "Simpson's Formula" σε άλλα λεξικά:

Η ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΤΟΥ SIMPSON- (τύπος παραβολών) ένας τύπος για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων (τύπος τετραγωνισμού), Ονομάστηκε για τον T. Simpson (1743) ... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Η ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΤΟΥ SIMPSON- (τύπος παραβολών), καθορίζεται ο τύπος για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό. ολοκληρώματα (τύπος τετραγωνισμού), που έχει τη μορφή όπου Α = (b а) / 2n, fk = f (a + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Ονομάστηκε για τον T. Simpson (1743) ...

Η φόρμουλα του Simpson- έναν τύπο για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων, με τη μορφή:, όπου h = (b a) / 2n; fi, = f (a + ih), i = 0, 1, 2, ..., 2n. S. f. μερικές φορές ονομάζεται τύπος των παραβολών, καθώς η παραγωγή αυτού του τύπου βασίζεται σε ... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Η φόρμουλα του Simpson- ένας τύπος παραβολών, ένας τύπος για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων (τύπος τετραγωνισμού), ο οποίος έχει τη μορφή, όπου h = (b – a) / 2n, fk = f (a + kh), k = 0, 1 , 2, ..., 2n. Πήρε το όνομα του T. Simpson (1743). * * * ΦΟΡΜΟΥΛΑ SIMPSON SIMPSON ... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Τύπος ορθογωνίων

Φόρμουλα τραπεζίου- Ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα ως το εμβαδόν ενός σχήματος Αριθμητική ολοκλήρωση (ιστορική ονομασία: τετράγωνο) Υπολογισμός της τιμής ενός ορισμένου ολοκληρώματος (συνήθως κατά προσέγγιση), με βάση το γεγονός ότι η τιμή του ολοκληρώματος είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν . .. ... Βικιπαίδεια

Η ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΤΟΥ SIMPSON- μια ειδική περίπτωση του Newton Cotes τύπος τετραγωνισμού, στους οποίους λαμβάνονται τρεις κόμβοι: Έστω ότι το διάστημα [a, b] διαιρείται σε επιμέρους διαστήματα, i = 0, 1, 2, ..., n 1, μήκους h = (ba) / n, σε αυτήν την περίπτωση Το n θεωρείται άρτιος αριθμός και για να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ... Εγκυκλοπαίδεια των μαθηματικών

Η φόρμουλα του Simpson- ... Βικιπαίδεια

Η μέθοδος του Simpson- Ο τύπος του Simpson αναφέρεται σε τεχνικές αριθμητικής ολοκλήρωσης. Πήρε το όνομά του από τον Βρετανό μαθηματικό Thomas Simpson (1710 1761). Εξετάστε ένα τμήμα. Έστω γνωστές οι τιμές της πραγματικής συνάρτησης f (x) στα σημεία a, (a + b) / 2, b.…… Wikipedia

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣείναι ένας τύπος που χρησιμεύει για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό του ορισμού. ολοκληρώματα πάνω από τις τιμές του ολοκληρώματος σε πεπερασμένο αριθμό σημείων. Παραδείγματα του K. f. τύπος ορθογωνίων, τραπεζοειδής τύπος, τύπος Simpson ... Φυσικές Επιστήμες. εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Για να κατασκευάσουμε τον τύπο του Simpson, εξετάζουμε πρώτα το ακόλουθο πρόβλημα: υπολογίστε το εμβαδόν S ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από πάνω από τη γραφική παράσταση της παραβολής y = Ax 2 + Bx + C, προς τα αριστερά από μια ευθεία γραμμή x = - h, προς τα δεξιά από μια ευθεία γραμμή x = h και από κάτω από το τμήμα [-h; η]. Αφήστε την παραβολή να περάσει από τρία σημεία (Εικ. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) και F (h; y 2), και x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = η... Ως εκ τούτου,

x 1 = x 0 + h = 0; x 2 = x 0 + 2h.

Τότε η περιοχή S είναι ίση με το ολοκλήρωμα:

Ας εκφράσουμε αυτή την περιοχή με όρους h, y 0, y 1 και y 2. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τους συντελεστές της παραβολής A, B, C. Από την προϋπόθεση ότι η παραβολή διέρχεται από τα σημεία D, E και F, έχουμε:

Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε: C = y 1; Α =

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές A και C στο (3), παίρνουμε την απαιτούμενη περιοχή

Περνάμε τώρα στην παραγωγή του τύπου Simpson για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος

Για αυτό, διαιρούμε το τμήμα ολοκλήρωσης σε 2n ίσα μέρη μήκους

Στα σημεία διαίρεσης (Εικ. 4) .a = x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n = b,

Υπολογίζουμε τις τιμές του ολοκληρώματος f: y 0, y 1, y 2, ..., y 2n-2, y 2n-1, y 2n, de yi = f (xi), xi = a + ih (i = 0, 1, 2, ..., 2n).

Στο τμήμα, το ολοκλήρωμα αντικαθίσταται από μια παραβολή που διέρχεται από τα σημεία (x 0; y 0), (x 1; y 1) και (x 2; y 2) και για να υπολογιστεί η κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος από το x 0 έως x 2 χρησιμοποιούμε τον τύπο (4 ). Στη συνέχεια (στο Σχ. 4 η σκιασμένη περιοχή):

Ομοίως, βρίσκουμε:

................................................

Προσθέτοντας τις ισότητες που προέκυψαν, έχουμε:

Ο τύπος (5) ονομάζεται γενικευμένος τύπος Simpsonή από τον τύπο της παραβολής, αφού κατά την παραγωγή του, η γραφική παράσταση του ολοκληρώματος σε ένα μερικό τμήμα μήκους 2h αντικαθίσταται από το τόξο μιας παραβολής.

Ανάθεση εργασίας:

1. Κατόπιν εντολής του εκπαιδευτικού ή σύμφωνα με την επιλογή από Πίνακες 4 εργασίες (βλ. Παράρτημα) για να λάβετε τις προϋποθέσεις - το integrand, τα όρια της ολοκλήρωσης.

2. Σχεδιάστε ένα διάγραμμα ροής του προγράμματος και ένα πρόγραμμα που θα πρέπει:

Ζητήστε την ακρίβεια του υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος, του κατώτερου και του ανώτερου ορίου ολοκλήρωσης.

Υπολογίστε το δεδομένο ολοκλήρωμα με τις μεθόδους: για τις επιλογές 1,4,7, 10 ... - δεξιόχειρας, για τις επιλογές 2,5,8, ... - μέσος όρος. για επιλογές 2,5,8, ... - αριστερά ορθογώνια. Εξαγωγή του αριθμού των διαμερισμάτων της περιοχής ολοκλήρωσης στην οποία επιτυγχάνεται η καθορισμένη ακρίβεια υπολογισμού.

Υπολογίστε το δεδομένο ολοκλήρωμα με την τραπεζοειδή μέθοδο (για ζυγές παραλλαγές) και τη μέθοδο Simpson (για περιττές παραλλαγές).

Εξαγωγή του αριθμού των διαμερισμάτων της περιοχής ολοκλήρωσης στην οποία επιτυγχάνεται η καθορισμένη ακρίβεια υπολογισμού.

Εκτυπώστε τις τιμές της συνάρτησης ελέγχου για τη δεδομένη τιμή του ορίσματος και συγκρίνετε με τις υπολογισμένες τιμές του ολοκληρώματος. Βγαζω συμπερασματα.

Ερωτήσεις ελέγχου

1. Τι είναι οριστικό ολοκλήρωμα;

2. Γιατί, μαζί με τις αναλυτικές μεθόδους, χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι για τον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων.

3. Ποια είναι η ουσία των κύριων αριθμητικών μεθόδων για τον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων.

4. Επίδραση του αριθμού των διαμερισμάτων στην ακρίβεια υπολογισμού ορισμένου ολοκληρώματος με αριθμητικές μεθόδους.

5. Πώς υπολογίζεται το ολοκλήρωμα με οποιαδήποτε μέθοδο με δεδομένη ακρίβεια;

Για να βρεθεί ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα με τη μέθοδο του τραπεζοειδούς, το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς χωρίζεται επίσης σε n ορθογώνια τραπεζοειδή με ύψη h και βάσεις y 1, y 2, y 3, .. yn, όπου n είναι ο αριθμός των ορθογώνιο τραπεζοειδές. Το ολοκλήρωμα θα είναι αριθμητικά ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογώνιων τραπεζοειδών (Εικόνα 4).

Ρύζι. 4

n - αριθμός κατατμήσεων

Το σφάλμα του τραπεζοειδούς τύπου υπολογίζεται από τον αριθμό

Το σφάλμα στον τύπο για τα τραπέζια μειώνεται με την ταχύτερη ανάπτυξη από το σφάλμα στον τύπο για τα ορθογώνια. Επομένως, ο τραπεζοειδής τύπος είναι πιο ακριβής από τη μέθοδο του ορθογωνίου.

Η φόρμουλα του Simpson

Αν για κάθε ζεύγος τμημάτων κατασκευάσουμε ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού, το ενσωματώσουμε στο τμήμα και χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα προσθετικότητας του ολοκληρώματος, τότε παίρνουμε τον τύπο Simpson.

Στη μέθοδο του Simpson, για τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος, ολόκληρο το διάστημα ολοκλήρωσης χωρίζεται σε υποδιαστήματα ίσου μήκους h = (b-a) / n. Ο αριθμός των διαχωρισμένων τμημάτων είναι ένας ζυγός αριθμός. Στη συνέχεια, σε κάθε ζεύγος γειτονικών υποδιαστημάτων, η συνάρτηση ολοκληρώματος f (x) αντικαθίσταται από ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού Lagrange (Εικόνα 5).

Ρύζι. 5 Η συνάρτηση y = f (x) στο τμήμα αντικαθίσταται από πολυώνυμο 2ης τάξης

Θεωρήστε το ολοκλήρωμα σε ένα τμήμα. Αντικαθιστούμε αυτό το ολοκλήρωμα με το πολυώνυμο παρεμβολής δεύτερου βαθμού Lagrange, το οποίο συμπίπτει με το y = στα σημεία:

Ας ενσωματωθούμε στο τμήμα:

Ας εισάγουμε μια αλλαγή μεταβλητών:

Δεδομένων των τύπων αντικατάστασης,

Αφού εκτελέσουμε την ενσωμάτωση, παίρνουμε τον τύπο Simpson:

Η τιμή που λαμβάνεται για το ολοκλήρωμα συμπίπτει με την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από τον άξονα, τις ευθείες γραμμές και μια παραβολή που διέρχεται από τα σημεία Στο τμήμα, ο τύπος του Simpson θα έχει τη μορφή:

Στον τύπο της παραβολής, η τιμή της συνάρτησης f (x) σε περιττά σημεία του διαμερίσματος x 1, x 3, ..., x 2n-1 έχει συντελεστή 4, σε ζυγά σημεία x 2, x 4, . .., x 2n-2 - ένας συντελεστής 2 και σε δύο οριακά σημεία x 0 = a, x n = b - συντελεστής 1.

Η γεωμετρική έννοια του τύπου Simpson: η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) σε ένα τμήμα αντικαθίσταται κατά προσέγγιση από το άθροισμα των περιοχών των σχημάτων που βρίσκονται κάτω από τις παραβολές.

Αν η συνάρτηση f (x) έχει συνεχή παράγωγο τέταρτης τάξης, τότε απόλυτη τιμήτα σφάλματα του τύπου Simpson δεν είναι περισσότερα από

όπου M είναι η μεγαλύτερη τιμή στο τμήμα. Δεδομένου ότι το n 4 αυξάνεται ταχύτερα από το n 2, το σφάλμα του τύπου Simpson μειώνεται με την αύξηση του n πολύ πιο γρήγορα από το σφάλμα του τραπεζοειδούς τύπου.

Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα

Αυτό το ολοκλήρωμα είναι εύκολο να υπολογιστεί:

Ας πάρουμε n ίσο με 10, h = 0,1, υπολογίσουμε τις τιμές του ολοκληρώματος στα σημεία του διαμερίσματος, καθώς και μισά ακέραια σημεία.

Σύμφωνα με τον τύπο των μεσαίων ορθογωνίων, παίρνουμε I straight = 0,785606 (το σφάλμα είναι 0,027%), σύμφωνα με τον τραπεζοειδή τύπο I trap = 0,784981 (το σφάλμα είναι περίπου 0,054. Όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος των δεξιών και αριστερών ορθογωνίων, το το σφάλμα είναι περισσότερο από 3%.

Για να συγκρίνουμε την ακρίβεια των κατά προσέγγιση τύπων, υπολογίζουμε ξανά το ολοκλήρωμα

αλλά τώρα με τον τύπο του Simpson για n = 4. Διαιρέστε το τμήμα σε τέσσερα ίσα μέρη με σημεία x 0 = 0, x 1 = 1/4, x 2 = 1/2, x 3 = 3/4, x 4 = 1 και υπολογίστε τις κατά προσέγγιση τιμές της συνάρτησης f (x) = 1 / ( 1 + x) σε αυτά τα σημεία: y 0 = 1,0000, y 1 = 0,8000, y 2 = 0,6667, y 3 = 0,5714, y 4 = 0,5000.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Simpson, παίρνουμε

Ας εκτιμήσουμε το σφάλμα του ληφθέντος αποτελέσματος. Για το ολοκλήρωμα f (x) = 1 / (1 + x) έχουμε: f (4) (x) = 24 / (1 + x) 5, από όπου προκύπτει ότι στο τμήμα. Επομένως, μπορούμε να πάρουμε М = 24 και το σφάλμα του αποτελέσματος δεν υπερβαίνει την τιμή 24 / (2880 4 4) = 0,0004. Συγκρίνοντας την κατά προσέγγιση τιμή με την ακριβή, συμπεραίνουμε ότι το απόλυτο σφάλμα του αποτελέσματος που προκύπτει από τον τύπο Simpson είναι μικρότερο από 0,00011. Αυτό συμφωνεί με την παραπάνω εκτίμηση του σφάλματος και, επιπλέον, δείχνει ότι ο τύπος του Simpson είναι πολύ πιο ακριβής από τον τραπεζοειδή τύπο. Επομένως, ο τύπος του Simpson για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων χρησιμοποιείται συχνότερα από τον τραπεζοειδή τύπο.

Το πρόβλημα προκύπτει για αριθμητικός υπολογισμόςοριστικό ολοκλήρωμα, λύθηκε με χρήση τύπων που ονομάζονται τετραγωνισμό.

Ας θυμηθούμε τους απλούστερους τύπους για αριθμητική ολοκλήρωση.

Ας υπολογίσουμε την κατά προσέγγιση αριθμητική τιμή. Διαιρούμε το διάστημα ολοκλήρωσης [a, b] σε n ίσα μέρη διαιρώντας σημεία
ονομάζονται κόμβοι του τύπου τετραγωνισμού. Αφήστε τους κόμβους να γνωρίζουν τις τιμές
:

Η ποσότητα

που ονομάζεται διάστημα ή βήμα ολοκλήρωσης. Σημειώστε ότι στην πρακτική των υπολογισμών, ο αριθμός i επιλέγεται μικρός, συνήθως δεν είναι περισσότερο από 10-20.

το ολοκλήρωμα αντικαθίσταται από το πολυώνυμο παρεμβολής

που στο εξεταζόμενο διάστημα παριστάνει περίπου τη συνάρτηση f (x).

α) Διατηρήστε, λοιπόν, μόνο έναν πρώτο όρο στο πολυώνυμο παρεμβολής

Ο τετραγωνικός τύπος που προκύπτει

ονομάζεται τύπος ορθογωνίου.

β) Διατηρήστε τους δύο πρώτους όρους στο πολυώνυμο παρεμβολής, λοιπόν

(2)

Ο τύπος (2) ονομάζεται τραπεζοειδής τύπος.

γ) Διάστημα ολοκλήρωσης
χωρίζεται σε ζυγό αριθμό 2n ίσα μέρη και το βήμα ολοκλήρωσης h θα είναι ίσο με ... Στο μεσοδιάστημα
μήκους 2h, αντικαθιστούμε το ολοκλήρωμα με ένα πολυώνυμο παρεμβολής δεύτερου βαθμού, δηλαδή κρατάμε τους τρεις πρώτους όρους στο πολυώνυμο:

Ο προκύπτων τύπος τετραγωνισμού ονομάζεται τύπος Simpson

(3)

Οι τύποι (1), (2) και (3) έχουν απλή γεωμετρική σημασία. Στον τύπο του ορθογωνίου, το ολοκλήρωμα f (x) στο διάστημα
αντικαθίσταται από ένα ευθύγραμμο τμήμα y = yk, παράλληλο στον άξονα της τετμημένης, και στον τραπεζοειδή τύπο - από ένα ευθύγραμμο τμήμα
και υπολογίζεται το εμβαδόν ενός ορθογωνίου και ενός ευθύγραμμου τραπεζοειδούς αντίστοιχα, τα οποία στη συνέχεια συνοψίζονται. Στον τύπο του Simpson, η συνάρτηση f (x) στο διάστημα
μήκους 2h αντικαθίσταται από ένα τετράγωνο τριώνυμο - μια παραβολή
υπολογίζεται το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου παραβολικού τραπεζοειδούς και μετά αθροίζονται οι περιοχές.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Στο τέλος της εργασίας, θα ήθελα να σημειώσω μια σειρά από χαρακτηριστικά της εφαρμογής των μεθόδων που συζητήθηκαν παραπάνω. Κάθε μέθοδος για μια κατά προσέγγιση λύση ορισμένου ολοκληρώματος έχει τα δικά της πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα, ανάλογα με την εργασία που εκτελείται, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν συγκεκριμένες μέθοδοι.

Μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασηςείναι μια από τις κύριες μεθόδους για τον υπολογισμό των αόριστων ολοκληρωμάτων. Ακόμη και σε περιπτώσεις όπου ενσωματώνουμε με κάποια άλλη μέθοδο, συχνά πρέπει να καταφεύγουμε σε αλλαγές μεταβλητών σε ενδιάμεσους υπολογισμούς. Η επιτυχία της ολοκλήρωσης εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από το αν μπορούμε να βρούμε μια τόσο επιτυχημένη αλλαγή μεταβλητών που θα απλοποιούσε το δεδομένο ολοκλήρωμα.

Ουσιαστικά, η μελέτη των μεθόδων ολοκλήρωσης περιορίζεται στο να μάθουμε τι είδους αλλαγή μεταβλητής πρέπει να γίνει για τη μία ή την άλλη μορφή του ολοκλήρωσης.

Ετσι, ολοκλήρωση οποιουδήποτε λογικού κλάσματοςανάγεται στην ολοκλήρωση ενός πολυωνύμου και μερικών απλών κλασμάτων.

Το ολοκλήρωμα οποιασδήποτε ορθολογικής συνάρτησης μπορεί να εκφραστεί ως στοιχειώδεις συναρτήσεις σε μια πεπερασμένη μορφή, δηλαδή:

μέσω λογαρίθμων - στην περίπτωση των απλούστερων κλασμάτων του τύπου 1.

όσον αφορά τις ορθολογικές συναρτήσεις - στην περίπτωση των απλούστερων κλασμάτων του τύπου 2

από την άποψη των λογαρίθμων και των τόξων - στην περίπτωση των απλούστερων κλασμάτων του τύπου 3

όσον αφορά τις ορθολογικές συναρτήσεις και τις εφαπτομένες - στην περίπτωση των απλούστερων κλασμάτων του τύπου 4. Η καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση εξορθολογίζει πάντα το ολοκλήρωμα, αλλά συχνά οδηγεί σε πολύ δυσκίνητα ορθολογικά κλάσματα, για τα οποία, συγκεκριμένα, είναι σχεδόν αδύνατο να βρεθούν οι ρίζες του παρονομαστή. Επομένως, όποτε είναι δυνατόν, χρησιμοποιούνται μερικές υποκαταστάσεις, οι οποίες εξορθολογίζουν επίσης το ολοκλήρωμα και οδηγούν σε λιγότερο πολύπλοκα κλάσματα.

Φόρμουλα Νεύτωνα - Λάιμπνιτςείναι μια γενική προσέγγιση για την εύρεση ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Όσον αφορά τις τεχνικές υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων, πρακτικά δεν διαφέρουν από όλες αυτές τις τεχνικές και μεθόδους.

Ομοίως ισχύει μεθόδους υποκατάστασης(αλλαγή μεταβλητής), μέθοδος ολοκλήρωσης ανά μέρη, ίδιες μέθοδοι εύρεσης αντιπαραγώγων για τριγωνομετρικές, παράλογες και υπερβατικές συναρτήσεις. Το μόνο χαρακτηριστικό είναι ότι κατά την εφαρμογή αυτών των μεθόδων, είναι απαραίτητο να επεκταθεί ο μετασχηματισμός όχι μόνο στο integrand, αλλά και στα όρια της ολοκλήρωσης. Κατά την αντικατάσταση της μεταβλητής ολοκλήρωσης, μην ξεχάσετε να αλλάξετε ανάλογα τα όρια ολοκλήρωσης.

Ο σωστός τρόπος από το θεώρημα, η συνθήκη συνέχειας για τη συνάρτησηείναι επαρκής προϋπόθεση για να είναι ενσωματωμένη η συνάρτηση. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα υπάρχει μόνο για συνεχείς συναρτήσεις. Η κατηγορία των ενσωματώσιμων συναρτήσεων είναι πολύ ευρύτερη. Έτσι, για παράδειγμα, υπάρχει ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα συναρτήσεων που έχουν πεπερασμένο αριθμό σημείων ασυνέχειας.

Ο υπολογισμός ενός ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνεχούς συνάρτησης χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz ανάγεται στην εύρεση του αντιπαραγώγου, που υπάρχει πάντα, αλλά δεν είναι πάντα στοιχειώδης λειτουργίαή μια συνάρτηση για την οποία έχουν συνταχθεί πίνακες, καθιστώντας δυνατή τη λήψη της τιμής του ολοκληρώματος. Σε πολλές εφαρμογές, η συνάρτηση που πρόκειται να ενσωματωθεί δίνεται με τρόπο πίνακα και ο τύπος Newton - Leibniz δεν είναι άμεσα εφαρμόσιμος.

Αν θέλετε το πιο ακριβές αποτέλεσμα, είναι ιδανικό Η μέθοδος του Simpson.

Από τα παραπάνω, μπορούμε να συναγάγουμε το ακόλουθο συμπέρασμα ότι το ολοκλήρωμα χρησιμοποιείται σε επιστήμες όπως η φυσική, η γεωμετρία, τα μαθηματικά και άλλες επιστήμες. Χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα, υπολογίζεται το έργο της δύναμης, βρίσκονται οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας, η διαδρομή που διανύει το υλικό σημείο. Στη γεωμετρία, χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του όγκου ενός σώματος, την εύρεση του μήκους του τόξου μιας καμπύλης κ.λπ.

Αν αναζητούσατε μόνο τη μέθοδο του Simpson σε αυτήν τη σελίδα, τότε σας συνιστώ να διαβάσετε πρώτα την αρχή του μαθήματος και να δείτε τουλάχιστον το πρώτο παράδειγμα. Για το λόγο ότι πολλές ιδέες και τεχνικές θα είναι παρόμοιες με την τραπεζοειδή μέθοδο.

Και πάλι, ας ξεκινήσουμε με τον γενικό τύπο
Θεωρήστε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, όπου είναι μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα τμήμα. Ας χωρίσουμε το τμήμα σε ακόμη καιαριθμός ίσοςτμήματα. Ένας ζυγός αριθμός τμημάτων συμβολίζεται με.

Στην πράξη, τα τμήματα μπορεί να είναι:
δύο:
τέσσερα:
οκτώ:
δέκα:
είκοσι:
Δεν θυμάμαι άλλες επιλογές.

Προσοχή!Ο αριθμός νοείται ως ΜΟΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ. Αυτό είναι, ΕΙΝΑΙ ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟμειώστε, για παράδειγμα, κατά δύο, παίρνοντας. Εγγραφή μόνο σημαίνειότι ο αριθμός των τμημάτων ακόμη και... Και δεν γίνεται λόγος για συντομογραφίες

Έτσι, το διαμέρισμα μας μοιάζει με αυτό:

Οι όροι είναι παρόμοιοι με εκείνους της τραπεζοειδούς μεθόδου:
Τα σημεία λέγονται κόμβους.

Η φόρμουλα του Simpsonγια τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος έχει την εξής μορφή:
όπου:
- το μήκος καθενός από τα μικρά τμήματα, ή βήμα;
- οι τιμές του ολοκληρώματος σε σημεία.

Αναλυτικά αυτό το συνονθύλευμα, θα αναλύσω τον τύπο με περισσότερες λεπτομέρειες:
- το άθροισμα της πρώτης και της τελευταίας τιμής του ολοκληρώματος.
- το άθροισμα των μελών με ακόμη καιοι δείκτες πολλαπλασιάζονται επί 2.
- το άθροισμα των μελών με Περιττόςοι δείκτες πολλαπλασιάζονται επί 4.

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το κατά προσέγγιση ολοκλήρωμα με τον τύπο του Simpson με ακρίβεια 0,001. Ξεκινήστε τη διαίρεση με δύο τμήματα γραμμής

Το αναπόσπαστο, παρεμπιπτόντως, είναι και πάλι ανυπόφορο.

Λύση:Εφιστώ αμέσως την προσοχή στον τύπο της εργασίας - είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα με μια ορισμένη ακρίβεια... Το τι σημαίνει αυτό έχει ήδη σχολιαστεί στην αρχή του άρθρου, καθώς και σε συγκεκριμένα παραδείγματα της προηγούμενης παραγράφου. Όπως και με τη μέθοδο του τραπεζίου, υπάρχει ένας τύπος που θα σας επιτρέψει αμέσως να προσδιορίσετε τον απαιτούμενο αριθμό τμημάτων (τιμή "en") για να εγγυηθείτε την απαιτούμενη ακρίβεια. Είναι αλήθεια ότι κάποιος πρέπει να βρει την τέταρτη παράγωγο και να λύσει το ακραίο πρόβλημα. Όποιος κατάλαβε τι εννοώ και εκτίμησε τον όγκο της δουλειάς, χαμογέλασε. Ωστόσο, δεν υπάρχει λόγος γελοίας εδώ, η εύρεση του τέταρτου παραγώγου ενός τέτοιου ενσωματωμένου δεν θα είναι πλέον ένας μέγα-βοτάνος, αλλά ένας κλινικός ψυχοπαθής. Ως εκ τούτου, στην πράξη, σχεδόν πάντα χρησιμοποιείται μια απλοποιημένη μέθοδος για την εκτίμηση του σφάλματος.

Αρχίζουμε να αποφασίζουμε. Αν έχουμε δύο τμήματα του διαμερίσματος, τότε οι κόμβοι θα είναι ένα ακόμα:. Και η φόρμουλα του Simpson παίρνει μια πολύ συμπαγή μορφή:

Ας υπολογίσουμε το βήμα κατάτμησης:

Ας συμπληρώσουμε τον πίνακα υπολογισμού:

Για άλλη μια φορά, σχολιάζω τον τρόπο συμπλήρωσης του πίνακα:

Στην επάνω γραμμή γράφουμε τον «μετρητή» των δεικτών

Στη δεύτερη γραμμή, γράφουμε πρώτα το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης και, στη συνέχεια, προσθέτουμε το βήμα διαδοχικά.

Στην τρίτη γραμμή εισάγουμε τις τιμές του ολοκληρωτή. Για παράδειγμα, εάν, τότε. Πόσα δεκαδικά ψηφία να αφήσω;Πράγματι, η κατάσταση και πάλι δεν λέει τίποτα για αυτό. Η αρχή είναι η ίδια όπως στη μέθοδο τραπεζίου, εξετάζουμε την απαιτούμενη ακρίβεια: 0,001. Και προσθέστε επιπλέον 2-3 ψηφία. Δηλαδή, πρέπει να στρογγυλοποιήσετε μέχρι 5-6 δεκαδικά ψηφία.

Σαν άποτέλεσμα:

Το πρωταρχικό αποτέλεσμα έχει ληφθεί. Τώρα διπλασιασμόςαριθμός τμημάτων έως τέσσερα:. Ο τύπος του Simpson για αυτό το διαμέρισμα έχει την ακόλουθη μορφή:

Ας υπολογίσουμε το βήμα κατάτμησης:

Ας συμπληρώσουμε τον πίνακα υπολογισμού:


Ετσι:

Υπολογίζουμε το σφάλμα:

Το σφάλμα είναι μεγαλύτερο από την απαιτούμενη ακρίβεια: , επομένως είναι απαραίτητο να διπλασιαστεί ξανά ο αριθμός των τμημάτων:.

Η φόρμουλα του Simpson αυξάνεται με άλματα και όρια:

Ας υπολογίσουμε το βήμα:

Και πάλι συμπληρώστε τον πίνακα υπολογισμού:

Ετσι:

Σημειώστε ότι εδώ είναι σκόπιμο να περιγράψετε τους υπολογισμούς με περισσότερες λεπτομέρειες, καθώς ο τύπος του Simpson είναι αρκετά δυσκίνητος και αν κάνετε αμέσως έκρηξη:
, τότε αυτό το ποτό θα μοιάζει με hack. Και με μια πιο λεπτομερή σημείωση, ο δάσκαλος θα έχει την καλή εντύπωση ότι έχετε σβήσει ευσυνείδητα τα πλήκτρα της αριθμομηχανής για μια καλή ώρα. Λεπτομερείς υπολογισμοί για «δύσκολες» περιπτώσεις υπάρχουν στην αριθμομηχανή μου.

Υπολογίζουμε το σφάλμα:

Το σφάλμα είναι μικρότερο από την απαιτούμενη ακρίβεια: ... Απομένει να κάνουμε την πιο ακριβή προσέγγιση, να την στρογγυλοποιήσουμε σε τρία δεκαδικά ψηφία και να γράψουμε:

Απάντηση:με ακρίβεια 0,001

Παράδειγμα 5

Υπολογίστε το κατά προσέγγιση ολοκλήρωμα με τον τύπο του Simpson εντός 0,0001. Ξεκινήστε τη διαίρεση με δύο τμήματα γραμμής

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια λύση "φτιάξ' το μόνος σου". Ένα κατά προσέγγιση δείγμα του τελικού «σύντομου» σχεδίου της λύσης και η απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Στο τελευταίο μέρος του μαθήματος, ας δούμε μερικά κοινά παραδείγματα.

Παράδειγμα 6

Υπολογίστε την κατά προσέγγιση τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Simpson, διαιρώντας το τμήμα ολοκλήρωσης σε 10 μέρη. Ακρίβεια υπολογισμού 0,001.

Αυτό το ολοκλήρωμα λαμβάνεται, ωστόσο, δεν είναι τόσο εύκολο για έναν αρχάριο να το σπάσει, η αντίστοιχη μέθοδος λύσης εξετάζεται στο παράδειγμα 5 του μαθήματος Μιγαδικά ολοκληρώματα... Σε προβλήματα κατά προσέγγιση υπολογισμού, το ολοκλήρωμα δεν χρειάζεται να είναι μη τετριμμένο! Οι περίεργοι μαθητές μπορούν να το υπολογίσουν με ακρίβεια και να εκτιμήσουν το σφάλμα σε σχέση με την κατά προσέγγιση τιμή.

Λύση:Δώστε προσοχή στη διατύπωση της εργασίας: "Η ακρίβεια των υπολογισμών είναι 0,001". Η σημασιολογική απόχρωση αυτής της διατύπωσης υποδηλώνει ότι τα αποτελέσματα χρειάζεται μόνο να στρογγυλοποιηθούν στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο και να μην επιτευχθεί τέτοια ακρίβεια. Έτσι, όταν σας προσφέρεται να λύσετε ένα πρόβλημα στη μέθοδο του τραπεζίου, τη μέθοδο Simpson, πάντα εμβαθύνετε προσεκτικά στην κατάσταση! Βιασύνη, όπως γνωρίζετε, χρειάζεται όταν κυνηγάμε ψύλλους.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο Simpson:

Για δέκα τμήματα του διαμερίσματος, το βήμα είναι

Ας συμπληρώσουμε τον πίνακα υπολογισμού:

Είναι πιο λογικό να κάνετε το τραπέζι διώροφο, για να μην χρειάζεται να "μικρό" και να χωράνε όλα ευανάγνωστα στο φύλλο του σημειωματάριου.

Υπολογισμοί, δεν είμαστε τεμπέληδες, περιγράφουμε λεπτομερέστερα:

Απάντηση:

Και για άλλη μια φορά τονίζω ότι εδώ δεν τίθεται θέμα ακρίβειας. Στην πραγματικότητα, η απάντηση μπορεί να μην είναι, αλλά, σχετικά μιλώντας,. Από αυτή την άποψη, η απάντηση δεν χρειάζεται να αποδίδει αυτόματα την κατάληξη "καθήκον": "με ακρίβεια 0,001"

Παράδειγμα 7

Υπολογίστε την κατά προσέγγιση τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο του Simpson διαιρώντας το τμήμα ολοκλήρωσης σε 10 μέρη. Όλοι οι υπολογισμοί θα πρέπει να γίνονται με ακρίβεια τρίτου δεκαδικού ψηφίου.

Μια πρόχειρη εκδοχή του φινιρίσματος και η απάντηση στο τέλος του μαθήματος, που έφτασε στο τέλος του.

Για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιούνται και άλλες μέθοδοι. Ειδικότερα, η θεωρία σειρά ισχύοςμε μια τυπική εργασία Κατά προσέγγιση υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος επεκτείνοντας το ολοκλήρωμα σε μια σειρά... Αλλά αυτή είναι ήδη η ύλη του δεύτερου μαθήματος.

Και τώρα ήρθε η ώρα να αποκαλύψουμε το τρομερό μυστικό του ολοκληρωτικού λογισμού. Έχω ήδη δημιουργήσει περισσότερα από δώδεκα μαθήματα για ολοκληρώματα, και αυτό είναι, θα λέγαμε, θεωρία και κλασικά του θέματος. Στην πράξη, ειδικότερα, στους υπολογισμούς μηχανικής, είναι σχεδόν αδύνατο να έρθουν πιο κοντά αντικείμενα του πραγματικού κόσμου με τυπικές μαθηματικές συναρτήσεις. Αδύνατο απόλυτα ακριβήςυπολογίστε την περιοχή, τον όγκο, την πυκνότητα, για παράδειγμα, ασφαλτικό οδόστρωμα. Λάθος, ακόμη και από το δέκατο, ακόμη και από το εκατοστό δεκαδικό ψηφίο - αλλά αυτό θα είναι ακόμα... Γι' αυτό, σύμφωνα με κατά προσέγγιση μεθόδους υπολογισμού, έχουν γραφτεί εκατοντάδες βαριές τούβλα και έχει δημιουργηθεί σοβαρό λογισμικό για κατά προσέγγιση υπολογισμούς. Η κλασική θεωρία του ολοκληρωτικού λογισμού χρησιμοποιείται στην πραγματικότητα πολύ λιγότερο συχνά. Αλλά, παρεμπιπτόντως, χωρίς αυτήν - επίσης πουθενά!

Αυτό το σεμινάριο δεν είναι ένας τόμος που σπάει ρεκόρ, αλλά μου πήρε ασυνήθιστα πολύ χρόνο για να το δημιουργήσω. Διόρθωσα το υλικό και ξαναέγραψα τη δομή του άρθρου αρκετές φορές, καθώς νέες αποχρώσεις και λεπτές αποχρώσεις σχεδιάζονταν συνεχώς. Ελπίζω ότι η δουλειά δεν ήταν μάταιη, και αποδείχθηκε αρκετά λογική και προσιτή.

Τα καλύτερα!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 3:Λύση: Χωρίζουμε το τμήμα της ολοκλήρωσης σε 4 μέρη:
Τότε ο τραπεζοειδής τύπος παίρνει την ακόλουθη μορφή:

Ας υπολογίσουμε το βήμα:
Ας συμπληρώσουμε τον πίνακα υπολογισμού: